不等式への招待第３章

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不等式への招待第３章

1 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/13(日) 05:00:00 ]: ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　　　　黙っちゃゐられねゑ…
　　　　|┃=＿＿　　　＼　　　　　　　　　ﾊｧﾊｧ
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ガラッ

過去スレ
・不等式スレッド（Part1）　 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待第２章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/

過去スレのミラー置き場：briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/

まとめWiki　wiki.livedoor.jp/loveinequality/

姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板「出題不等式」 messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000
341 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/26(木) 05:30:00 ]: 543
www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/2008/prob_apr.pdf
B4101
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200805&t=mat&l=en
A.447
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200802&t=mat&l=en
B.4043
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200712&t=mat&l=en
B.4049
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200712&t=mat&l=en
A.439、B.4040
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200711&t=mat&l=en
A.435、A436、B.4029
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200710&t=mat&l=en
A.433、B4019、B4021
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200709&t=mat&l=en
B.4101（懐かしい）
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200805&t=mat&l=en
342 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/26(木) 05:31:02 ]: 【f(x)】
A.450
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200803&t=mat&l=en
B.4060
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200801&t=mat&l=en

【nCr】
B.4091
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200804&t=mat&l=en

【other】
B.4046
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200712&t=mat&l=en
B.4035
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200711&t=mat&l=en
B.4031
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200710&t=mat&l=en
B.4097
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200805&t=mat&l=en

雑事が多くて、ﾊｧﾊｧする時間が取れな… ｹﾞﾌﾝｹﾞﾌﾝ
343 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/28(土) 14:55:09 ]: 【問題148】(改作)
　sin(cosθ)、cos(sinθ) の大小を比較せよ。

science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212563635/148

---------------------------------------------------
(略解)
・|θ| < π/2 のとき, |sin(x)| ≦ |x| より
　|sin(cosθ)| < |cosθ| = cosθ ≦ cos(sinθ),
・cosθ ≦0 のとき
　-1 ≦ cosθ ≦0,
　sin(cosθ) ≦ 0 < cos(1) ≦ cos(sinθ),
344 名前：１３２人目の素数さん [2008/06/28(土) 21:48:06 ]: >>341
A.435ムズイな…
345 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/28(土) 21:58:18 ]: >>341
やさしいのは･･･

B.4019.
　　1/(2k+1)^2 < 1/{4k(k+1)} = 1/(4k) - 1/(4(k+1)),
　より
　　(左辺) < 1/4 - 1/(4(n+1)) < 1/4.
　なお、真の極限値は (3/4)ζ(2) -1 = (3/4)(π^2)/6 -1 = (π^2)/8 -1 = 0.23370055013617･･･

B.4035. 積和公式
　2cos(kx)sin(x/2) = sin((k+1/2)x) - sin((k-1/2)x),
を使うと
　(左辺) = sin((11/2)x) / sin(x/2),
　x=(2/11)nπ, 　　(nは整数, 但し11の倍数を除く.)

B.4043.
　(a,b,c,d) = (1,3,5,11)　(1,2,8,17)

B.4046.
　(a,b) = (169/9, 196/9)　　順不同
　|a-b|=3,
346 名前：345 mailto:sage [2008/06/28(土) 22:07:34 ]: 〔問題〕は↓でつ･･･

B.4019. Prove that
　　　1/(3^2) + 1/(5^2) + ･･･ + 1/(2n+1)^2 < 1/4,
　for every positive integer n.

B.4035. Solve the following equation:
　　　2cos(5x) + 2cos(4x) + 2cos(3x) + 2cos(2x) + 2cos(x) + 1 = 0.

B.4043. For what pairwise-different positive integers is the value of
　　　a/(a+1) + b/(b+1) + c/(c+1) + d/(d+1) = 3, or
　　　1/(a+1) + 1/(b+1) + 1/(c+1) + 1/(d+1) = 1 ?

B.4046. Solve the following simultaneous equations:
　　　a√a + b√b = 183,
　　　a√b + b√a = 182,
347 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/29(日) 00:50:11 ]: 私のコレクションの中にも無いなぁ…
348 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/30(月) 22:51:51 ]: A436とか微妙におもしろいね。不等式ならでは。解析ならでは。
349 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/02(水) 01:21:20 ]: 中心がＯで半径１の円に内接する△ＡＢＣがある。
↑ＯＡ＝↑ａ、↑ＯＢ＝↑ｂ、↑ＯＣ＝↑ｃ
とするとき

↑ａ・↑ｂ＋↑ｂ・↑ｃ＋↑ｃ・↑ａ

の取りうる値の範囲を求めよ。
350 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/02(水) 20:57:26 ]: >>341

B.4040.
　a=tan(A/2), b=tan(B/2), c=tan(C/2)　　　　(0<A,B,C<π)
とおく。附帯条件から
　cot((A+B+C)/2) = (1-ab-bc-ca)/(a+b+c-abc) = 0,
　A+B+C = π,
　ABCは三角形をなす。

(1) 鋭角三角形（or直角三角形）のとき
　(左辺) = cos(A) + cos(B) + cos(C) ≦ 3cos((A+B+C)/3)　　(← 上に凸)
　　　　= 3cos(π/3) = 3/2.
(2) 鈍角三角形のとき、0<A,B<π/2<C とする。
　　　(左辺) = cos(A) + cos(B) + cos(C) ≦ 2cos((A+B)/2) + cos(C)　(← 上に凸)
　　　　= 2sin(C/2) + cos(C) = 1 +2sin(C/2) -2sin(C/2)^2
　　　　= √2 - 2{sin(C/2) -(1/√2)}{sin(C/2) -1 +(1/√2)} < √2　　(← sin(C/2) > 1/√2)
351 名前：350 mailto:sage [2008/07/02(水) 21:18:08 ]: 〔問題〕は↓でつ･･･

B.4040.
　a,b,c are positive real numbers, and ab+bc+ca=1. Prove that
　(1-a^2)/(1+a^2) + (1-b^2)/(1+b^2) + (1-c^2)/(1+c^2) ≦ 3/2.
352 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/03(木) 01:31:20 ]: >>351
ab+bc+ca=1 をみたす正の数 a、b、c に対して、
　 1/(1+a^2) + 1/(1+b^2) + 1/(1+c^2) ≦ 9/4
を示せばよい。

s = a+b+c、t = ab+bc+ca、u = abc とおくと、 t=1、u > 0 より、
　（右辺）-（左辺） = (s-9u)(s-u)/{4(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)} ≧ 0
等号成立条件は a=b=c．

なぜならばっ！なぜならばっ！
　 s-u > s-9u = st-9u ≧ 0 （←相加相乗平均の関係）

蛇足、t=1 より
　 s-u = st-u = (a+b)(b+c)(c+a) > 0
　 s-9u = st-9u = c(a-b)^2 + a(b-c)^2 + b(c-a)^2 ≧ 0

　　　　　　　　　　＿＿＿　　
　　　　|┃三　.／　　≧　＼
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　久々の出番だね！
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　　　　黙っちゃゐられねゑ…
　　　　|┃=＿＿　　　＼　　　　　　　ﾊ,ｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ…
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ガラッ
353 名前：350-351 mailto:sage [2008/07/03(木) 23:28:16 ]: >>352
　成る程。 >>350 は牛刀だったか･･･orz.

>>349
　(与式) = ↑a･↑b + ↑b･↑c + ↑c･↑a = {|↑a + ↑b + ↑c|^2 - |a↑|^2 - |b↑|^2 - |c↑|^2 }/2
　= {|↑a + ↑b + ↑c|^2 -3}/2,
ここに
　0 ≦ |↑a + ↑b + ↑c| ≦ 3,
　-3/2 ≦ (与式) ≦ 3,
等号成立は (左側 :ABCが正三角形のとき,　右側 : A=B=C のとき）
ハｧハｧ

>>350
354 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/03(木) 23:58:49 ]: >>353
牛刀も大歓迎です！ (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
なぜならばっ！なぜならばっ！
不等式ヲタだからです！
別解が多いほど興奮するからです！
355 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/04(金) 23:51:52 ]: B.4101.
Assume xyz=8. Prove that
1/√(1+x^2) + 1/√(1+y^2) + 1/√(1+z^2) ≧ 1,

不等式スレッド　143-157

IMO-2001 (USA) Problem 2 の類題らしいよ。
imo.wolfram.com/problemset/index.html
356 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/05(土) 04:38:10 ]: >>355
解けたけど芋のもんだいよりは簡単だった。
357 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/06(日) 10:42:24 ]: >>341 , >>355 念のため･･･

B.4101.
　a=k／(x^(3/2)), b=k／(y^(3/2)), c=k／(z^(3/2)),　(k>0) とおくと
x^2 = 4bc/a^2, y^2 = 4ca/b^2, z^2 = 4ab/c^2,
　(左辺) = a/√(a^2 + 4bc) + b/√(b^2 + 4ca) + c/√(c^2 + 4ab)
　　　≧ a/√{a^2 +(b+c)^2} + b/√{b^2 +(c+a)^2} + c/√{c^2 +(a+b)^2} (← 相乗相加平均)
　　　> a/(a+b+c) + b/(a+b+c) + c/(a+b+c)
　　　= 1.
358 名前：357 mailto:sage [2008/07/06(日) 10:49:06 ]: >357 の訂正、ｽﾏｿ

　a=k／(x^(2/3)), b=k／(y^(2/3)), c=k／(z^(2/3)),　(k>0) とおくと
359 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/09(水) 17:25:53 ]: 誰かA.435解いて～
360 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/09(水) 17:27:45 ]: ★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十五問
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212563635/231

nは自然数とする
{Σ[k=0→2n](C[2n,k])}/{Σ[k=0→n](C[n,k])^2}≦2√n
を示せ
361 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/10(木) 00:11:21 ]: バーゼル不等式を自力で見つけた俺は普通より上
362 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/10(木) 21:42:46 ]: A435
s1=a+b+c,s2=ab+bc+ca,s3=abc
S1*S2/S3≧6{a/(s1-a)+b/(s1-b)+c/(s1-c)}
363 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/10(木) 21:45:10 ]: a/(s1-a)+b/(s1-b)+c/(s1-c)={a(s1-b)(s1-c)+b(s1-c)(s1-a)+c(s1-a)(s1-b)}/{(s1-a)(s1-b)(s1-c)}
364 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/10(木) 21:50:42 ]: a(s1-b)(s1-c)+b(s1-c)(s1-a)+c(s1-a)(s1-b)
=(a+b+c)s1^2-(ab+ac+bc+ab+ca+bc)S1-3abc
=S1^3-S1*S2-3*S3
365 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/10(木) 21:53:15 ]: >>362-364
証明になっとらん
366 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/10(木) 21:53:25 ]: a(s1-b)(s1-c)+b(s1-c)(s1-a)+c(s1-a)(s1-b)
=(a+b+c)s1^2-(ab+ac+bc+ab+ca+bc)S1+3abc
=S1^3-2*S1*S2+3*S3

(s1-a)(s1-b)(s1-c)=S1^3-(a+b+c)S1^2+(ab+bc+ca)S1-abc
=S1*S2-S3
367 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/10(木) 21:57:14 ]: >>366
続き教えてください
368 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/10(木) 21:58:19 ]: S1*S2/S3≧6{S1^3-2*S1*S2+3*S3}/{S1*S2-S3}

S1*S2*{S1*S2-S3}-6*S3*{S1^3-2*S1*S2+3*S3}≧0
369 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/10(木) 22:02:04 ]: -6*S3*S1^3+S2^2*S1^2+13*S2*S3*S1-18*S3^2≧0
370 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/10(木) 22:08:15 ]: >>369
それが常に成り立つことの証明は？
371 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/10(木) 23:05:37 ]: >>360

　(分子) = Σ[k=0→2n] C[2n,k] = (1+1)^(2n) = 2^(2n),
　(分母) = Σ[k=0→n] (C[n,k])^2 = Σ[k=0→n] C[n,k]･C[n,n-k] = C[n+n,n],
より
　(左辺) = {2^(2n)}/C[2n,n] = b[n]
とおく。
　b[1] = 2 = √(2n),
　b[n]/b[n-1] = 4*(n*n)/[(2n)(2n-1)] = n/(n - 1/2)
　　= √{n*n/(n - 1/2)(n - 1/2)}
　　= √{n/(n-1)} * √{(n-1)n/[(n-1)n + (1/4)]}
　　< √{n/(n-1)}.
∴　b[n]/√(2n) は単調減少。
なお、
　b[n]/√(2n) → (√π)/2,　　　　(n→∞)

science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212563635/239
372 名前：371 mailto:sage [2008/07/10(木) 23:08:51 ]: 　b[1] = 2 = 2√n,
　b[n]/b[n-1] = 4*(n*n)/[(2n)(2n-1)] = n/(n - 1/2)
　　= √{n*n/(n - 1/2)(n - 1/2)}
　　= √{n/(n-1)} * √{(n-1)n/[(n-1)n + (1/4)]}
　　< √{n/(n-1)}.
∴　b[n]/(2√n) は単調減少。
なお、
　b[n]/(2√n) → √(π/2),　　　　(n→∞)
373 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/11(金) 10:14:37 ]: a,b,cは0より大きく1/2より小さい実数でa+b+c=1を満たすとする。このとき
(7a-1)/(a-a^2)+(7b-1)/(b-b^2)+(7c-1)/(c-c^2)≦18
374 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/11(金) 10:15:47 ]: >>373
0＜a,b,c≦1/2 で考えてください。m(_ _)m
375 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/13(日) 11:09:47 ]: ∫[-1,1]|x^2+ax+b|dx≧1/2
を示せ
376 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/13(日) 18:12:00 ]: 今までで一番綺麗だと思った不等式は何ですか
377 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/13(日) 20:49:27 ]: >376
シュワルツの不等式
378 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/14(月) 21:51:14 ]: >>375
(ア)　[-1,1] 内に x^2 +ax+b =0 の2根がない場合は
　a ,bを適当に動かすことによって [-1,1]の全域にわたり |x^2 +ax +b| を減少させることが可能(証略)。

(イ)　[-1,1] 内に x^2 +ax +b =0 の2根がある場合 -1≦α≦β≦1 と置いて積分を実行！
　(左辺) = ∫_[-1,α] (α-x)(β-x)dx + ∫_[α,β] (x-α)(β-x)dx + ∫_[β,1] (x-α)(x-β)dx
　　　= {(1/6)(3β-α)α^2 + b - (1/2)a + (1/3)} + (1/6)(β-α)^3 + {(1/6)(β-3α)β^2 + b + (1/2)a + (1/3)}
　　　= (1/3)(β-α)^3 + 2b + 2/3　　　　　　　　　　　　(αβ≧0 のときは明らかに ≧2/3)
　　　= (1/3)(β-α)^3 -(1/2)(β-α)^2 + 1/6 + (1/2)a^2 + 1/2　(← 以下、α≦0≦β とした.)
　　　= (1/3)(β-α +1/2)(β-α-1)^2 + (1/2)a^2 + 1/2
　　　≧ 1/2.
等号成立は β-α=1 かつ α+β= -a =0、すなわち α=-1/2, β=1/2 のとき. (終)

いくら何でもマンドクセ？
379 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/14(月) 22:40:32 ]: >>342
B.4097.
　(x,y) = (6,2), (50,10), (294,42).

>>377
　さようなら。
　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1110615777/

>>378　　　　(← 注釈無用)
380 名前：379 mailto:sage [2008/07/14(月) 22:44:37 ]: 〔問題〕は↓でつ･･･

B.4097.
Solve the following equation on the set of integers:
　　　2^((x-y)/y) － (3/2)y = 1.
381 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/14(月) 23:29:34 ]: >>380
そういや、まだ考えてなかった…
382 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/15(火) 13:27:24 ]: Jensenの不等式で
f(t_1･x_1+…+t_n･x_n)<=t_1･f(x_1)+…+t_n･f(x_n)
が証明されて、特に
t_1=…=t_=1/n
とおけば
f((x_1+…+x_n)/n)<=(f(x_1)+…+f(x_n))/n
ですが、
t_1+…+t_n=1
の場合を示さないで、直接
f((x_1+…+x_n)/n)<=(f(x_1)+…+f(x_n))/n
を示すことは可能なんですかね？
383 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/16(水) 23:32:04 ]: 入試問題でも貼ろうか？
384 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/16(水) 23:36:21 ]: 不等式ならドンと来い
385 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/16(水) 23:59:00 ]: 2S|x^2+ax+b|>2S|(1+a)x^2+b|>2S|x^2+b|>2S|x^2|>2/3|x|>2/3>1/2
386 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/17(木) 01:05:11 ]: >>380
x,yは整数でy≠0よりx≠0、さらに2^(x/y)は整数よりy|xかつｘ≧y≧1
あとはゴリ押しで、任意の正整数nに対して
x=(2/3)(2n+1)((2^n)-1)((2^n)+1)、y=(2/3)((2^n)-1)((2^n)+1)
が求める整数解となる

不等式とか関係ない気がするが
387 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/17(木) 02:16:55 ]: ａ≧０，ｂ≧０，ｃ≧０，ａ＋ｂ≧ｃのとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ
｛ａ／（１＋ａ）｝＋｛ｂ／（１＋ｂ）｝≧ｃ／（１＋ｃ）
（５３群馬大，５９中部工大）

２数ａ，ｂがａ＞０，ｂ＞０，ａ＋ｂ＝１を満たすとき，
｛ａ＋（１／ａ）｝＾２＋｛ｂ＋（１／ｂ）｝＾２≧２５／２
を証明せよ（５２茨城大）

３つの正数ｘ，ｙ，ｚがｘ＋ｙ＋ｚ＝１をみたすとき，不等式
｛２＋（１／ｘ）｝｛２＋（１／ｙ）｝｛２＋（１＋ｚ）｝≧１２５
が成り立つことを示せ（５８東京女大・数理）

ｎは２５以上の定数，ｘ，ｙ，ｚは負でない整数で，ｘ＋ｙ＋ｚ＝２５のとき
｛１－（ｘ／ｎ）｝｛１－（ｙ／ｎ）｝｛１－（ｚ＋ｎ）｝
の最大値を求めよ（５８東京理科大）

暇潰しにもならないと思うがどうぞ
388 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/17(木) 02:20:48 ]: 訂正
ｎは２５以上の定数，ｘ，ｙ，ｚは負でない整数で，ｘ＋ｙ＋ｚ＝２５のとき
｛１－（ｘ／ｎ）｝｛１－（ｙ／ｎ）｝｛１－（ｚ／ｎ）｝
の最大値を求めよ（５８東京理科大）
389 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/17(木) 03:40:53 ]: フハハハハ…、解ける、解けるぞ！
390 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/17(木) 07:02:42 ]: (1-25/3n)^3
2*2.5^2=2*5^2/2>25/2
2(c/2+2/c)^2=(4+c^2)^2/2c^2>c/(c+1)

　2^((x-y)/y) － (3/2)y = 1
2^(x/y-1)=1+(3/2)y=(2+3y)/2
2^(x/y)=2+3y
(x/y)log2=log(2+3y)
xlog2=ylog(2+3y)
x=ylog(2+3y)/log2

log(2+3y)=klog2
2+3y=2^k
y=(2^k-2)/3=2(2^(k-1)-1)/3
2^(k-1)-1=3m
k-1=log(3m+1)/log2
k=log(3m+1)/log2+1
y=(2^k-2)/3=2(2e^log(3m+1)-2)/3=2(2(3m+1)-2)/3=4m
x=ylog(2+3y)/log2=4mlog(2+12m)/log2
391 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/17(木) 22:10:13 ]: 私にも解けますた…

>>387
(1)　a/(1+a) + b/(1+b) ≧ a/(1+a+b) + b/(1+a+b) = (a+b)/(1+a+b) ≧ c/(1+c).　　　{← x/(1+x) は単調増加}
　　∵ (a+b)(1+c) - (1+a+b)c = (a+b) - c ≧ 0.

(2)　a+b=s, b-a=d とおくと
　(左辺) = {a+(1/a)}^2 + {b+(1/b)}^2
　　= (a^2 + b^2) + {(1/a)^2 + (1/b)^2} + 4
　　= (a^2 + b^2){1 + (1/ab)^2} + 4
　　= (1/2)(s^2 + d^2){1 + 16/(s^2 - d^2)^2} + 4
これは d^2 について単調増加。d=0 のとき最小値
　(1/2)(s^2){1 + (2/s)^4} + 4 = 2{(s/2)+(2/s)}^2.
　(別法)　f(x) = {x + (1/x)}^2 = x^2 + 2 + 1/(x^2)　は下に凸だから
　　f(a) + f(b) ≧ 2f((a+b)/2) = 2f(s/2) = 2{(s/2)+(2/s)}^2.

(3)　基本対称式を x+y+z =s, xy+yz+zx =t, xyz =u とおく。
　(xy+yz+zx)/(xyz) = t/u ≧ 3*(3/s),
　(x+y+z)/(xyz) = s/u ≧ 3*(3/s)^2,
　1/(xyz) = 1/u ≧ (3/s)^3,
　(左辺) = {2+(1/x)}{2+(1/y)}{2+(1/z)} = {8xyz + 4(xy+yz+zx) + 2(x+y+z) + 1}/(xyz)
　　= 8 + 4(xy+yz+zx)/(xyz) + 2(x+y+z)/(xyz) + 1/(xyz)
　　≧8 + 12*(3/s) + 6*(3/s)^2 + (3/s)^3
　　= {2 + (3/s)}^3

>>388
(4) 相乗相加平均より
　(与式) ≦ {1 - (x+y+z)/(3n)}^3 = {1 - s/(3n)}^3.
392 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/18(金) 19:46:07 ]: とりあえずIMO

'08 2
(1)x,y,z∈R-{1}, xyz=1のとき, x^2/(x-1)^2+y^2/(y-1)^2+z^2/(z-1)^2≧1を示せ。
(2)(1)で、等号が成立する有理数の組(x,y,z)が無限に存在することを示せ。
393 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/19(土) 00:09:16 ]: >>392
(1)　基本対称式を x+y+z =s, xy+yz+zx =t, xyz =u とおく。
　{x(y-1)(z-1)}^2 + {(x-1)y(z-1)}^2 + {(x-1)(y-1)z}^2 - {(x-1)(y-1)(z-1)}^2
　= 3u^2 -4tu +2t^2 -2(st-3u) + (s^2 -2t) - (u-t+s-1)^2
= (t-3)^2 + 2(u-1)(u-t-s+5),
　= (t-3)^2　　　　　　　　　　 (← 題意より u=1)
　≧ 0,
これを {(x-1)(y-1)(z-1)}^2 >0 で割る。

(2)　等号条件は t=3, u=1. なので･･･
394 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/20(日) 08:47:38 ]: とりあえず、>>373-374が解ければA.435が解けることが分かった。
395 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/20(日) 15:21:54 ]: そろそろ、３文字の対称式に対する不等式に対して一般的解法をここへ載せてもいい時期ではないか？
表立って現れて来ない条件は３文字が実数を現すって事だけで、後は問題の条件が付け加われば
もう、解法に使える条件式は本質的にはないのだから、後はその式が少々煩雑で
一般的にはそれほどよく目にしないってだけの話なんだから、、、。
そうして、文字の次数をあげれば、それはそれで一般的な理論への道が開けている。

そうして、事はそれほどには単純明快にはならないだろうが、、、。
ここらへんから先には幾何や代数もからんで来て数学を学んで視野や地平線を広げていくのには
格好の話題になると思う。

別に不等式だけからでも、数学の全分野に近い範囲を見渡す事だってできると思うし、
そいつは結構おもしろい旅路だと思うよ。
396 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/21(月) 00:10:03 ]: >>395
さあ！
397 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/23(水) 01:01:13 ]: a,b,c≧1のとき、次の不等式を証明せよ。
4(a+b+c)≧(1+a)(1+b)(1+c)
・・・なんか間違ってるような気がするんだが、
どのようなものと間違えたか心当たりある人いる？
398 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/23(水) 01:38:49 ]: >>397
a = b = c = 2 のとき左辺 = 24、右辺 = 27 にて不成立
399 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/24(木) 23:12:44 ]: 頭悪いので次の式が成り立つのが分かりません。
C>1、nが正の整数であるとき、C<=(1+((C-1)/n))^n
教えてください。引き算と割り算のどちらからも
数学的帰納法をうまく使えませんでした。
400 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/24(木) 23:21:20 ]: 数式部分を書き直すと、
Ｃ＞１で、nが正の整数であるとき、
C≦(1+((C-1)/n))^n
401 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/24(木) 23:31:57 ]: >>399
x ≧ 0 について (1 + x)^n = 1 + n x + ... ≧ 1 + n x なので
x = (C - 1)/n を代入するだけ。
402 名前：399 mailto:sage [2008/07/25(金) 11:47:10 ]: 早速のご回答ありがとうございます。リロードするのを忘れて
レスが付いたのに気づくのが遅れました。２項定理でしたか。
なるほど。ありがとう。
403 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/26(土) 18:28:48 ]: 図書館に
[2]　不等式，大関信雄・青木雅計，槇書店，1967年（絶版）
あったから借りてきた
受験参考書っぽくてよさげ
404 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/26(土) 23:38:37 ]: >>403
すばらしい！
くれ！
405 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/26(土) 23:42:40 ]: どこの大学にもあるんじゃね？
うちの大学にもあるが数学科が借りてるらしい
406 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/27(日) 18:03:41 ]: うちの大学って言われても……
407 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/28(月) 03:43:15 ]: 復刊希望ンヌ！
408 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/30(水) 23:03:59 ]: 他スレから１題･･･

〔問題396〕実数 a,b,c が条件
　(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 60,
を満たすとき、
　S = |a-b| + |b-c| + |c-a| の最大値と最小値を求めよ。

science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212563635/396 ,442
409 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/30(水) 23:07:48 ]: >>408

(略解)
　b-a=x, c-b=y, a-c=z とおく。x+y+z =0,
∴ ≧0 のものと ≦0 のものがある。
題意より　(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 3(a-b)(b-c)(c-a) = -3xyz > 0,
{x,y,z} の2つは正、1つが負である。
x,y>0>z としてもよい。(x,y)-平面の第一象限で考える。
　(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = -3xyz = 3xy(x+y),

(最小値)
軸を45ﾟ回して
　S/(√8) = (x+y)/√2,　
　d = (x-y)/√2,
とおくと、
　3xy(x+y) = (3/√2){(1/8)S^2 - d^2}S,
題意より、
　0 ≦ d^2 = (1/8)S^2 - 80/S = F(S),　　　（F は単調増加函数）
　S ≧ 4･10^(1/3),
　等号成立は x = y = -z/2 = 10^(1/3), またはその rotation のとき。

(最大値) なし
　x→∞ のとき、0 < y < 20/x^2 →0,　S=2(x+y) →∞.
410 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/02(土) 12:58:58 ]: π^4+π^5<e^6を示せ
411 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/02(土) 13:39:34 ]: グーグルで計算したら殆ど同じだった。
でも少しだけe^6が大きかった。
これはただの偶然か？
412 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/02(土) 14:24:28 ]: これだけ近い値だと近似して示すのは無理ぽいな
なんかうまい方法があるのかな
413 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/02(土) 23:05:28 ]: π^4 + π^5 ≒ e^6 は有名な近似式でつ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
414 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/03(日) 02:29:53 ]: スゲーΣ(0д０`ノ)ノ
誰がこんな近似思いついたんだ！
415 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 02:49:01 ]: 持ってる本で一つ、>>410関連のことをごく短く書いてあるのがあったな

「数のエッセイ」（一松信、ちくま学芸文庫）
のP.236（ただし、俺の持ってるのは第二刷発行のものなので、それ以外はわからん）で、
文庫本編のエッセイに対する補足説明の部分の一文なのだが、

――――もっとおもしろいのは
π^4 + π^5 ＝ 403.4267758… ≒ e^6 ＝ 403.4267934…
であろう。
最後の式（↑の式のこと）はカナダでT^3（電卓研究会）が開かれたとき（2003年）、
現地の年配の女性教員から教えられた。

と書いてあった
他にも何かの本で見たような気がするが、ちょっと思い出せないな
416 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 04:36:00 ]: 別にすごくないでしょ。
eやπでの近似を考えて掛けたり割ったりしていれば
e^6をπで割っていってe^6/π^4を見れば気づく。
417 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 05:33:41 ]: >>416
じゃあ、eとπだけを使って
π^4+π^5≒e^6
みたいに小さい数で見た目のキレイな誤差0.0001以下の近似を作ってみな
どうせ作れないから
418 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 06:39:02 ]: >>417
　20 + π - e^π ≒ 0.0009000208 1052423273 3557015330 9555･･･
　e^6 - π^5 - π^4 ≒ 0.0000176734 5123210920 5537811247 561872･･･
419 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 12:07:27 ]: >>418
「e π 整数」
とかで検索すると上の式の載ってるHPがいくつか出てくる。
それと、下の式をそんな自信満々に貼られても……移項しただけじゃん。

そろそろ不等式に戻ろうか。
420 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/04(月) 00:32:46 ]: 近似式がすごいのか、思いつくのがすごいのか、どっちだ？
421 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/04(月) 00:39:08 ]: よく見つけるなーとは思う
422 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/04(月) 00:53:21 ]: 係数と定数を無視すれば、e1項とπ2項では50乗くらいまでの中で一番良い近似っぽいね
これにて終了
423 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/04(月) 01:34:21 ]: 結局
π^4+π^5<e^6
を示すのは電卓使わないと無理でＯＫ？
424 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/04(月) 07:08:35 ]: >>423
ゼータ関数ζ(3)を求める事くらい難しいと思うからＯＫ
425 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/04(月) 07:26:18 ]: >>423
その不等式を数値計算しないで示せというのが数検であったからＯＫじゃない
426 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/04(月) 19:46:28 ]: >>425　kwsk
427 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/05(火) 19:33:24 ]: ３段の問題だな
428 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 00:32:34 ]: >>427
もっとくわしく！ (；´ρ｀) ﾊｧﾊｧ
429 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 07:51:39 ]: >>415
情報グッジョブ！
430 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 10:09:16 ]: www.suken.net/img/2008-07dani.pdf

これか
431 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 16:29:09 ]: >回答締切平成２０年９月１２日（当日消印有効）

ここに解答書いたらまずいってことか。
ここにいる猛者なら誰かは出来たであろう
432 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 19:03:52 ]: x>1に対しd/dx (1 - √(ln(x)/x))^(√(xln(x))<0を示せ.
433 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 20:48:07 ]: (√2)+(√3)-π＞0
であることをなるべく数値計算をせずに示せ

一応、答は用意してある
434 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/09(土) 08:07:33 ]: 東大スレに不等式がらみのが沢山あるね
435 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/09(土) 18:35:34 ]: 分かスレにもある･･･

〔問題823〕
曲面Q： (x/a)^r + (y/b)^r + (z/c)^r = 1　(a,b,c,r>0)と
平面P： ax + by + cy = 0 がある。

平面Pに平行で曲面Qに接する平面P'の式と接点の座標を a,b,c,r で表わせ。

science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1217024032/823 874
436 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/09(土) 23:11:58 ]: 面白スレに三角比の(；´ρ｀) ﾊｧﾊｧ問題があるね
437 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2008/08/18(月) 16:38:21 ]: 相加相乗平均に新証明法　高校教諭、運転中にひらめく
www.asahi.com/science/update/0816/OSK200808160004.html

高校の数学で習う定理の新しい証明法を県立倉敷古城池高校教諭の内田康晴さん（４９）が見つけ、オーストラリアの数学専門誌に論文が掲載された。
「高校の教育現場から論文投稿はもっと増えていい。励みになるだろう」と数学者からも喝采の声が上がっている。

証明したのは「相加相乗平均の定理」。高校１年で習うことが多い。

内田さんは、ある定理の証明で描いていた図形が、相加相乗平均の定理の証明に使えることに気づいた。さらに簡単な証明法がないかと連日、考えていたところ、
出勤途中の運転中にひらめいた。高校入学後すぐに扱う簡単な公式を使うだけの方法だった。
438 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/18(月) 16:40:34 ]: ＞「この証明方法に気づいた人はこれまでにもいたはず。
＞簡単すぎるので発表済みと思ったのかもしれない」と謙遜（けんそん）する
分かってる先生だな。

>>437の証明法ってどういう証明かご存知の方いらっしゃいますか？
439 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/18(月) 16:42:33 ]: www.emis.de/journals/JIPAM/images/080_08_JIPAM/080_08.pdf

これじゃないでしょうか
440 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/18(月) 17:11:56 ]: 萌え死にそうでつ
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
441 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/18(月) 17:20:19 ]: ありがとう。
442 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/18(月) 17:32:14 ]: www.nhk.or.jp/special/onair/070128.html
video.google.com/videoplay?docid=-8960593568071128585
www.nhk.or.jp/special/onair/080727.html
www.nhk.or.jp/special/onair/070903.html
443 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/18(月) 22:13:17 ]: >>439
あんまり簡単だとは思えないな。
444 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/18(月) 22:22:40 ]: まぁあれだ！
不等式があれば、あと10年は戦える！
445 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/18(月) 22:28:24 ]: 実数a,b,cに対してf(x)=ax^2+bx+cとする．このとき

∫[-1,1](1-x^2){f'(x)}^2dx≦6∫[-1,1]{f(x)}^2dx

であることを示せ． (08京大文系)
446 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/18(月) 23:27:08 ]: >>445
x∈[-1,1] のとき 1-x^2 < 6 だから自明？
447 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/18(月) 23:33:48 ]: ∫[-1,1](1-x^2){f’(x)}^2dx≦6∫[-1,1]{f(x)}^2dx
448 名前：446 [2008/08/18(月) 23:41:22 ]: >>447
thanks
' が見えなかった
449 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/19(火) 01:04:57 ]: >>439
昔すう折りの本で見た子とあるぞ
450 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/19(火) 08:32:28 ]: >>437
相加相乗平均に新証明法　県立高校教諭、運転中にひらめく
namidame.2ch.net/test/read.cgi/news/1219015315/
451 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 00:38:27 ]: >>433
用意しといた解答書いておく

sin(π/12) ＞ (π/12) - (1/6)(π/12)^3
tan(π/12) ＞ (π/12) + (1/3)(π/12)^3
より
8sin(π/12) + 4tan(π/12) ＞ π　　…(*)

一方
sin(π/12) = (√6 - √2)/4
tan(π/12) = 2 - √3
より
√2 + √3 - (8sin(π/12) + 4tan(π/12))
= √2 + √3 - (2√6 - 2√2 + 8 - 4√3)
= (√2-1)^2 (2-√3)^2 (√3-√2)
これは明らかに正なので
√2 + √3 ＞ 8sin(π/12) + 4tan(π/12)　　…(**)

(*)(**) より
√2 + √3 ＞ π
452 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 00:43:24 ]: >>451
神過ぎる！
453 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 01:53:34 ]: >>452
thx
今、こんなの見つけた
ttp://www2.ocn.ne.jp/~mizuryu/toukou2/toukou56.html
簡単な証明あったら、カッコ悪いと思ったけど、大丈夫だった
454 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 03:13:45 ]: >>451

sin(π/12) ＞ (π/12) - (1/6)(π/12)^3
tan(π/12) ＞ (π/12) + (1/3)(π/12)^3

これはどこから沸いてきた。
455 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 04:03:37 ]: 3 次のTaylor展開を用いた不等式でしょ。
456 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/21(木) 18:36:37 ]: ｋ∈N、ｔ≠0 のとき、

｜(d^k/dt^k) exp｛-1/(t^2)｝｜≦ ｛(2^k・k! / (｜ｔ｜^k)｝ exp｛-4/(81t^2)｝

を示せ。
457 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 22:17:40 ]: >>445
　f(x) = ax^2 +bx +c,
　f '(x) = 2ax +b,
を与式の両辺に代入する。
奇数次の項は積分すれば0である（計算するには及ばない）。
(左辺) = ∫[-1,1](1-x^2){(2ax)^2 + b^2}dx = (16/15)a^2 + (4/3)b^2,
(右辺) = 6∫[-1,1]{(a^2)x^4 +(2ac+b^2)x^2 +c^2}dx = (12/5)a^2 + 4(2ac+b^2) + 12c^2
　　　= (16/15)a^2 + 4b^2 + (4/3)(a+3c)^2
　　　≧ (16/15)a^2 + 4b^2,
458 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/21(木) 22:39:41 ]: 0<θ<π/4のとき不等式
(cosθ)^(cosθ)＞(sinθ)^(sinθ)
を示せ。
459 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/21(木) 23:30:30 ]: >>458
この範囲において
cosθ＞sinθ
よって不等式は明らか
460 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/22(金) 01:40:53 ]: x1,x2,x3,a1,a2,a3は実数。
x1≧0,x2≧0,x3≧0、
a1+a2≧0,a2+a3≧0,a1+a3≧0とする。
x1+x2+x3=1のとき、
a1x1+a2x2+a3x3≧a1(x1)^2+a2(x2)^2+a3(x3)^2を示せ。
(2)正の実数x,yに対し
√x＋√y≦k√(2x+y)が成り立つような実数kの最小値を点と直線の距離公式を用いて求めよ。
461 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/22(金) 07:16:47 ]: >>460
学校の宿題は自分で考えましょうね
462 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/22(金) 07:30:01 ]: >>459
ｘ＾ｘは単調増加ではない。
463 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/22(金) 11:48:30 ]: >>462
ですよね
464 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/22(金) 17:44:47 ]: cosxと(sinx)^tanxのグラフを書いて・・・
力技過ぎるか
465 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/22(金) 18:17:06 ]: 対数とって考えてみるか・・・
466 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/22(金) 21:43:06 ]: f(θ) =log (cosθ)^(cosθ) -log (sinθ)^(sinθ)
を微分したら単調性は自明。
多分 0 < θ < π/4 の条件はもっと弱くできると思う。
467 名前：466 mailto:sage [2008/08/22(金) 21:45:36 ]: 最後の1行は勘違い。
468 名前：466 mailto:sage [2008/08/22(金) 21:49:54 ]: 全部勘違いだ～
469 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/23(土) 00:41:31 ]: >>460(1)解説よろ
470 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/23(土) 07:00:51 ]: >>458

0≦t≦1 とする。
　f(t) = (1/2)log(1+t^2) + log(1/√2)･t,
とおくと
　f(0) = f(1) = 0,
　f "(t) = (1-t^2)/(1+t^2)^2 ≧0,
　f(t) ≦ 0　　　　　　　　　　　　(0≦t≦1)
t=tanθ とおいて
　log(cosθ) ≧ tanθ･log(1/√2),
cos(x) >0 を掛けて
　cosθ･log(cosθ) ≧ sinθ･log(1/√2) ≧ sinθ･log(sinθ),　(0<θ≦π/4)
471 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/23(土) 07:36:55 ]: >>460(1) ,>>469
(左辺) - (右辺) = a1･x1(1-x1) + a2･x2(1-x2) + a3･x3(1-x3)
　　= a1･x1(x2+x3) + a2･x2(x3+x1) + a3･x3(x1+x2)
　　= (a1+a2)x1･x2 + (a2+a3)x2･x3 +(a3+a1)x3･x1 ≧0,

>>460(2)
　2x=u^2, y=v^2 とおく。
　(k^2)(u^2 + v^2) - (u/√2 + v)^2 = (k^2 -1/2)u^2 -(√2)uv + (k^2 -1)v^2,
が常に≧0である条件は相異なる2実根をもたないこと。
判別式 D' ≦0,
　D' = 1/2 - (k^2 -1/2)(k^2-1) = (k^2)(3/2 - k^2),
　k ≧ √(3/2),
472 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/23(土) 09:16:09 ]: >>470
見事な攻撃だ、たけちゃんまん。
ｆ（ｔ）≧ｇ（ｔ）を示すより、ｆ（ｔ）≧ｈ（ｔ）かつｈ（ｔ）≧ｇ（ｔ）を示す方が簡単なｈ（ｔ）を作ってくる眼力には脱毛だぁ
473 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/23(土) 21:54:54 ]: >>454

　f(x) = sin(x) - x + (1/6)x^3,
とおくと
　f '"(x) = -cos(x) +1 ≧ 0,
これと f "(0) =0 から,
　x･f "(x) = x{-sin(x) +x} > 0,
これと f '(0) =0 から,
　f '(x) = cos(x) -1 +(1/2)x^2 > 0,
これと f(0) =0 から,
　x･f(x) > 0,

　{tan(x) - x} ' = 1/cos(x)^2 -1 = tan(x)^2 > 0,
と tan(0) -0 =0 から
　x･{tan(x)-x} > 0,　　(|x|<π/2)

　g(x) = tan(x) -x -(1/3)x^3
とおくと
　g '(x) = 1/cos(x)^2 -1 -x^2 = tan(x)^2 - x^2 >0　　(|x|<π/2)
これと g(0) =0 から
　x･g(x) >0,
474 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/23(土) 23:55:48 ]: >>473
マクローリンの３次＋剰余項で自明でないの。
475 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/24(日) 00:10:03 ]: >>474
ええじゃん。
476 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/24(日) 00:14:25 ]: 誰か>>456をお願いします
477 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/24(日) 03:29:33 ]: 通約可能って意味を教えてくんなませ
はーでぃの本でいきなりつまったwww
478 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/25(月) 01:52:02 ]: >>477
ネタ？
何ページ？
479 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/26(火) 22:46:19 ]: >>456って右辺は｛(2^k・k! / (｜ｔ｜^k)｝ exp｛-4/(9t^2)｝にならないかな？
勿論 exp｛-4/(9t^2)｝ ≦ exp｛-4/(81t^2)｝なんだけど。
おらの勘違い？
480 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/26(火) 23:05:21 ]: >>477
通約可能ってのは例えば 4/6 が = 2/3 と直せたり
(x^2 - 1)/(x^2 + 2x - 3) が
= [(x + 1)(x - 1)]/[(x - 1)(x + 3)] = (x + 1)/(x + 3) と直せたりするように
分母分子に共通の因子があることだけど。

そういう意味で言ってるの？
もしかして不等式の専門書では通約可能という言葉を
難しい意味で使うのかな、とも思ってレス控えてたけど。

Hardyの本って「不等式」のこと？もしかして「数論入門」のほう？
481 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/27(水) 07:48:32 ]: ★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十五問
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212563635/937-945 より。

937 ：１３２人目の素数さん：2008/08/26(火) 19:55:34
a,b,cをabc=1を満たす正の実数とする。次の不等式を示せ。
　(a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)≦1

945 ：１３２人目の素数さん：2008/08/26(火) 22:40:11
　abc=1 とあるから当然、 a=y/z, b=z/x, c=x/y と置くんだろうな。
（左辺) = {(y-z+x)/z}{(z-x+y)/x}{(x-y+z)/y}

題意より、-x+y+z, x-y+z, x+y-z のいづれか2つの和は正だから、
　正でないのは高々１つだけ。
・1つが正でない場合、明らかに成り立つ。
・3つとも正の場合、相乗・相加平均より
　√{(x-y+z)(y-z+x)} = √{x^2 - (y-z)^2} ≦ x,
　√{(y-z+x)(z-x+y)} = √{y^2 - (z-x)^2} ≦ y,
　√{(z-x+y)(x-y+z)} = √{z^2 - (x-y)^2} ≦ z,
辺々掛けて
　(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y) ≦ xyz,
482 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/30(土) 00:54:44 ]: >>478, 480さん
レスありがとうございます。
「不等式」のほうです
例えば、p15に「通約可能なウエイト付き平均」と「通約可能でないウエイト付き平均」の
話が出てきます

「また、通約可能でないウエイト付き平均は、通常の平均の中のある種の極限とみなす」
などと書いてあります。

それと、話は違うのですが、これは益田塾のなかの問題ですが、
abc=1(a,b,cは正)で、abcについての対称式である不等式を
a=x/y, b=y/z, c=z/xとおいて一般性を失わず、として書き換えて解く論法っていうのは
一般的な方法なんですか?
483 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/30(土) 00:56:27 ]: うわwww　偶然だげと481とかぶった。481で引用されているのが益田塾サイトにある
問題とその解答ですね。
484 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/30(土) 01:12:12 ]: ちょっと長めに引用しておきます

「通常の平均はすでに述べたようにウエイト付き平均の特別な場合である。
一方、通約可能なウエイトつき平均は, 通常の平均に帰着することができる。
実際、同次性によりウエイトはすべて整数であるとしてよく、さらに(ry」
これ読むと、ウエイトが有理数って意味なんかなと(深く考えずに)思っていたんですが
ググってもよくわからずで。
485 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/06(土) 06:57:59 ]: >>456,476

f(t) = exp{-1/(t^2)} とおく。
f^(k)(t) = {(2/t^3)^k - 3･2^(k-2)･k(k-1)/t^(3k-2) + ･････ + (-1)^k (k-1)(k+6)(k+1)!/[12t^(k+4))] + (-1)^(k-1) (k+1)!/t^(k+2)} exp{-1/(t^2)}
　　= {(2/t^2)^k - (3/2)k(k-1) (2/t^2)^(k-1) + ･･････ + (-1)^k (k-1)(k+6)(k+1)!/(12t^4) + (-1)^(k-1) (k+1)!/t^2} (1/t^k) exp{-1/(t^2)}
　　= P_k(1/t^2) (1/t^k) exp{-1/(t^2)},
ここに P_k はk次の多項式で
　P_k(x) = (2x)^k -(3/2)k(k-1) (2x)^(k-1) + ････････ + (-1)^k [(k-1)(k+6)(k+1)!/12] x^2 + (-1)^(k-1) (k+1)! x,
ところで、
f^(k)(t) (t^k) exp{a/(t^2)} = P_k(1/t^2) exp{-(1-a)/(t^2)} = P_k(x) exp{-(1-a)x},　　　　(a=4/81 or 4/9)
これの絶対値が (2^k)(k!) 以下であることを示す。

〔補題〕 a<1, j>0 ならば
　(x^j)exp{-(1-a)x} ≦ {j/[(1-a)e]}^j,　　　　等号成立は x=j/(1-a) のとき。
486 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/06(土) 15:45:53 ]: >>485
流石不等式スレ、恐れ入ります。
実は元ネタがあって、コーシーの積分公式より

(d^k/dt^k) exp｛-1/(t^2)｝＝（k!/2πi）∫[exp｛-1/(z^2)｝/(z-ｔ)^(ｋ+1)] dz
487 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/06(土) 18:52:13 ]: 1＜cosA＋cosB＋cosC≦3/2
を示す巧い方法ありますかね？
488 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/06(土) 18:56:09 ]: >>487
成り立たないだろ
489 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/06(土) 20:16:27 ]: 記号から考えて、A≧0，B≧0，C≧0，A＋B＋C＝πが仮定されているのではなかろうか。
凸不等式とか使えばなんとかなるんじゃね。
490 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/06(土) 20:47:20 ]: (0,π)でcos xは凸関数でも凹関数でもないからなあ。
とりあえず、A≧B≧Cを仮定して、
f(B,C)=cosB+cosC-cos(B+C)を、0＜C≦π/3、C≦B≦(π-C)/2の範囲で
偏微分でゴリゴリやれば、示せるが。
491 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/06(土) 21:03:58 ]: それはウマい方法じゃないだろｗ
492 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/07(日) 01:12:43 ]: A+B+C=π　π＞A≧B≧C＞0　として
cos(A)+cos(B)+cos(C)-1
=cos(A)+cos(B)-cos(B+C)-1
=2*cos(（A+B)/2)*cos((A-B)/2)-2*cos^2((A+B)/2)
=2*cos((A+B)/2)*{cos((A-B)/2)-cos((A+B)/2)}
=2*sin((A+B)/2)*{(-2)*sin(A/2)*sin(-B/2)}
=4*sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)>0

log(cos(A)+cos(B)+cos(C)-1)
=log(4)+log(sin(A/2))+log(sin(B/2))+log(sin(C/2))
≦log(4)+3*log( sin( (A/2+B/2+C/2)/3 ) )　(∵log(sin(x)) は0<x<π/2で上に凸)
=log(4)+3*log(sin(π/6))=log(1/2)

log(x)の単調増加性から　cos(A)+cos(B)+cos(C)-1≦1/2
以上から　1<cos(A)+cos(B)+cos(C)≦3/2
493 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/07(日) 01:15:39 ]: >>487
cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)+1 が成り立つ[*]ので，
示すべき不等式は 0<sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) ≦ 1/8 と同値。
sin(A/2)>0などより，左側の不等号は明らか。

右側は，まずは相加相乗平均により
sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) ≦ ( { sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2) }/3 )^3
さらに，凸不等式より
{ sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2) }/3 ≦ sin((A+B+C)/6) = 1/2
なので，sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) ≦ (1/2)^3 = 1/8 となり示せた。

[*]の証明は，C=π-(A+B)を左辺に代入して和積，倍角公式で変形するだけ。
494 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/07(日) 13:37:35 ]: 半径１の円の周上に３点Ａ，Ｂ，Ｃをとる
↑ＡＢ・↑ＡＣの最大値，最小値を求めよ
495 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/07(日) 13:46:11 ]: >>487
三角形ABCの内接円の半径をr、外接円の半径をとすればR
cosA+cosB+cosC=1+r/R
で、R≧2rはすぐ示せるから与不等式も示される
496 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/08(月) 01:06:12 ]: >>494
それ、ハイ理にあったような
497 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/08(月) 01:15:31 ]: >>496
ハイ理とは何ぞや？

>>495
cosA+cosB+cosC=1+r/R はどうやってだすの？
498 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/08(月) 02:04:14 ]: >>497
ハイレベル理系数学という大学受験参考書の一つでつ
ところで、R≧2rを一番簡単に示す方法はなんでしょ?
499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/08(月) 02:31:50 ]: >>498
( ﾟ∀ﾟ)ﾃﾍｯ、呼んだ？
私のコレクションには４通りの解法が汚い字でメモってあるけど、
久しぶりなので、自分の走り書きが理解できない秘密 ('A;;;,,...

----------------------------------------------------------
(1) ヘロンの公式に …（←走り書きなので読み取れない）を用いた後、
　 S = abc/(4R) を用いる

(2) 示すべき不等式を基本対称式を用いて表してから頑張る！
　 R = u/(4S)、r = 2S/s、16S^2 = s(-s^3+4st-8u)

(3) チャップル・オイラーの定理を用いる

(4) 示すべき不等式を sinA、sinB、sinC で表してから頑張る！
----------------------------------------------------------

私は初代不等式スレで自作自演していた一人です。
主に収拾＆出題担当でしたが…

その頃には、書き込んだ不等式を片っ端から証明する不等式神がいますた
それらの証明は、その神に託します

不等式にﾊｧﾊｧしたいのに、雑事が多すぎて時間が取れない我が糞人生… ('A;;;,,...
500 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/08(月) 03:12:31 ]: >>495の式が一番明瞭の気がするけど、r/R示すのにまたワンステップ踏まないといけないのか

>>499
なんか各辺の中点を通る円でのキカ的な証明があった気がする
501 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/08(月) 07:55:04 ]: >>498
外心をO、内心をIとするとに
OI=√(R^2-2Rr)
となることを幾何学的に示す
502 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/08(月) 18:39:01 ]: >>501
それ、チャップル・オイラー
503 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/10(水) 02:33:32 ]: ヴィルティンガーの不等式
504 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/10(水) 02:38:27 ]: 有名どころでヘルダーの不等式。
505 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/10(水) 02:53:30 ]: >>503
聞いたことないのは不勉強？
506 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/10(水) 03:09:02 ]: ディルレヴァンガーの方程式

>>505
ヴィルティンガーつったらspellはwirtingerだろうからぐぐろうぜ
507 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/11(木) 17:32:26 ]: ぐぐったら聞いたことがあることになる？
508 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/11(木) 21:01:53 ]: 聴覚を使わない限り聞いたことにはならないと思う。
ぐぐった結果、動画ファイルなどを見つけて聞いたのならOK
509 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/11(木) 21:12:16 ]: >>508
何その詭弁
空気読めないねって良く言われるだろ
510 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/11(木) 21:54:23 ]: >>509
死ねｗ
511 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/11(木) 21:57:09 ]: 独学した内容は聞いたことないってのも珍しくないがな
聞いたことはないが知ってるってやつ
512 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/11(木) 21:58:30 ]: >>508
KY1級
513 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/13(土) 16:23:44 ]: 不等式ではないですが・・・
θ=(360/11)°の時(1/cosθ)+(1/cos2θ)+(1/cos3θ)+(1/cos4θ)+(1/cos5θ)の値を求めよ
お願いします
514 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/13(土) 16:49:42 ]: なぜスレチとわかってて．．．
515 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/13(土) 17:38:47 ]: マルチと見た
516 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/13(土) 18:31:11 ]: >>513
ヒント：2倍して1を足せ
517 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/14(日) 07:01:32 ]: >>513

次の恒等式を考える。　　(11倍角公式)
　cos(11t) = T_11(cos(t)),
ここに　T_11(x) = 1024x^11 -2816x^9 +2816x^7 -1232x^5 +220x^3 -11x,
T_11(x) -1 = (x-1)(32x^5 +16x^4 -32x^3 -12x^2 +6x+1)^2 = (x-1)p(x)^2,
∴　cos(θ), cos(2θ), cos(3θ), cos(4θ), cos(5θ) は T_11(x)-1=0, x≠1 の根、すなわち p(x)=0 の根。
∴　1/cos(θ), 1/cos(2θ), 1/cos(3θ), 1/cos(4θ), 1/cos(5θ) は p(1/t)=0 の根。
　(t^5)p(1/t) = t^5 +6t^4 -12t^3 -32t^2 +16t +32,
根と係数の関係より、
　(与式) = -6.
518 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/15(月) 11:17:09 ]: >498

>>121-122
519 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/15(月) 12:15:13 ]: >>497
左辺に第二余弦定理　cos(A) = (b^2 +c^2 -a^2)/(2bc), etc. を代入してゴリゴリ計算する.

　(左辺) = 1 + (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/(2abc) = 1 + 4(s-a)(s-b)(s-c)/(abc) = 1 + 4(S^2)/(abcs) = 1 + (r/R) = (右辺),

ここで、s=(a+b+c)/2, Sは△ABCの面積, r=S/s, R=abc/(4S)　を使った。
520 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/15(月) 12:43:00 ]: >>487
中辺に第二余弦定理　cos(A) = (b^2 +c^2 -a^2)/(2bc), etc. を代入して計算すると
　(中辺) = 1 + (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/(2abc),
ここで、
　√{( a-b+c)(a+b-c)} = √{a^2 -(b-c)^2} ≦ a,
　√{(-a+b+c)(a+b-c)} = √{b^2 -(c-a)^2} ≦ b,
　√{(-a+b+c)(a-b+c)} = √{c^2 -(a-b)^2} ≦ c,
辺々掛けて
　(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) ≦ abc,
521 名前：519 mailto:sage [2008/09/15(月) 21:24:35 ]: >>497
　ヘロンの公式も使った。
　s = (a+b+c)/2 とおくと、S = √{s(s-a)(s-b)(s-c)},

ja.wikipedia.org/wiki/ヘロンの公式
mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html
遠山啓, 数学セミナー, √{(三辺の和の半)×(同－第一辺)(同－第二辺)(同－第三辺)} (1977)
宮沢賢治, 和賀郡二子村・花巻農学校齋藤貞一あて封書 (1927)
522 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/15(月) 22:19:32 ]: ∫[0→1]dx/(1+x^2*e^x)>1/(e-1)

x+y+z=1,x>0,y>0,z>0のとき
(x^x)(y^y)(z^z)≧1/3

△ABCの内部に点Pをとり，△ABCの面積をSとおけば
PA+PB+PC≧2(3S^2)^(1/4)
523 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/15(月) 22:49:30 ]: >>521
>>ヘロンの公式
どっかの馬鹿が勝手につけた名前は重要ではない
524 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/16(火) 15:30:46 ]: For distinct real numbers $a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f$ such that $a < b < c < d < e < f$ and $abcdef = - 6$, let
\[
M = (a^{12} + 58a^8 + 193a^4 + 36)(b^{12} + 58b^8 + 193b^4 + 36)(c^{12} + 58c^8 + 193c^4 + 36)(d^{12} + 58d^8 + 193d^4 + 36)(e^{12} + 58e^8 + 193e^4 + 36)(f^{12} + 58f^8 + 193f^4 + 36)
\]

\[
N = 64(a^8 + 12a^4 + 11)(b^8 + 12b^4 + 11)(c^8 + 12c^4 + 11)(d^8 + 12d^4 + 1)(e^8 + 12e^4 + 11)(f^8 + 12f^4 + 11)
\]
.

Prove the following inequality.
\[
\sqrt [8]{\frac {M}{N}}\geq 6.
\]
525 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/16(火) 21:58:34 ]: >>523
そりゃ定理名や式の名前は重要ではないけど、
名前が付いてなきゃ呼びづらいだろ。
526 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/17(水) 00:56:06 ]: >>522

(上) コーシーの不等式より
　∫[0→1] {1+(x^2)(e^x)}dx * ∫[0→1] 1/{1+(x^2)(e^x)} dx ≧ {∫[0→1] dx}^2 = 1,
　∫[0→1] {1+(x^2)(e^x)}dx = [ x + (x^2 -2x+2)(e^x) ](0→1) = e-1,

(中)
　f(x) = x･log(x) とおく。
　f "(x) = 1/x >0 だから、fは下に凸。
　f(x) + f(y) + f(z) ≧ 3f((x+y+z)/3) = 3f(1/3) = log(1/3).
この真数をとる。
527 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/17(水) 22:00:51 ]: f’(x)≧0とする
∫[-1→1]{f(x)/√(1+x^2)}dx≧0
528 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/17(水) 22:34:51 ]: 質問です
(0＜a＜b、X、Y、Zはいずれもa以上b以下であるー)「X+Y+Z=a+2b⇒XYZ≧ab＾2」を示せ
529 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/18(木) 07:08:59 ]: >>522 (下)

(Toth の証明)
　Pの辺BC,CA,ABに関する対称点をA',B',C'とし、6辺形AC'BA'CB'を考える。
　周長L=2(AP+BP+CP), 面積F=2S,

　一方、等周問題から、n辺形については、L^2 ≧ {4n*tan(π/n)}F,
　n=6 のとき L^2 ≧ (8√3)F, これに代入。

文献[3] 例題9, p.17 (1987)
大関・青柳「不等式」p.162
530 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/18(木) 09:25:58 ]: www.thehcmr.org/issue2_1/problems.pdf

S08-4 が不等式の手強い問題。
既に応募締切は過ぎてるけど…。
531 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/18(木) 22:03:27 ]: というか寧ろ締切り過ぎてない問題は晒しちゃダメだろうｗ
532 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/18(木) 22:04:08 ]: >>522
(上) の別解
e^x ≦ e < 3 より
　(左辺) > ∫[0→1] 1/(1+3x^2) dx = (1/√3)∫[0→√3] 1/(1+y^2) dy = (1/√3)arctan(√3) = π/(3√3) > 3/5,
一方、e > 2 + 2/3 より
　(右辺) < 3/5.

>>528
　XY - b(X+Y-b) = (b-X)(b-Y) ≧ 0,　　････ (1)
　Z(a+b-Z) - ab = (b-Z)(Z-a) ≧ 0,　　････ (2)
　X+Y+Z -a -2b = 0,　　　　　　　　　････ (3)
(1)*Z + (2)*b + (3)*bZ より
　XYZ - ab^2 ≧ 0.
等号成立は (X,Y,Z)=(a,b,b) (b,a,b) (b,b,a) のとき。
533 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/18(木) 22:29:42 ]: そう言えば上の数検の3段の問題は締め切りすぎてそろそろ回答できたやつもいるのかな。
534 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/18(木) 22:58:03 ]: 今気付いたけどこのスレのURL0がいっぱい並んでて綺麗
535 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/19(金) 01:11:37 ]: >>528 2008 千葉大の問題でした。回答速報の答えはへたくそ。
実際、誘導つきなんですがねえ。
536 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/19(金) 02:50:44 ]: n個の正の実数x[1],x[2],,,,x[n]がx[1]+x[2]+･･･+x[n]=1を満たすとき
不等式
{x[1]}^2+{x[2]}^2+･･･+{x[n]}^2＜{-1+x[1]*x[2]+x[2]*x[3]+x[3]*x[4]+･･･+x[n-1]*x[n]+x[n]*x[1]}^2
を示せ。
537 名前：５３６ mailto:sage [2008/09/19(金) 02:55:48 ]: n> 2です
538 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/19(金) 11:19:16 ]: king ↔ うんち
(ab)^½ ≤ (a²+b²)/2
(a²+b²+c²)(x²+y²+z²) ≥ (ax+by+cz)²
539 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/19(金) 11:20:41 ]: 荒らそうと必死ですね　わかります
540 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/19(金) 11:42:06 ]: >>535-537
(-1+∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2　(x[n+1]=x[1])
=1-2∑[j=1,n]x[j]x[j+1]+(∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2
=(∑[j=1,n]x[j])^2-2∑[j=1,n]x[j]x[j+1]+(∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2
=∑[j=1,n]x[j]^2+2∑[1≦i＜j-1≦n]x[i]x[j]+(∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2
＞∑[j=1,n]x[j]^2
541 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/19(金) 11:45:52 ]: ↑なんか凄い見難いし、安価ミスってるし、∑の記法もいい加減だけど、なんかこんな感じだと思う。
542 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/19(金) 11:46:41 ]: なんか²
543 名前：KingMind ◆KWqQaULLTg [2008/09/19(金) 12:30:28 ]: Reply:>>538 お前は何をたくらんでいる。
544 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/19(金) 14:54:59 ]: >>540
＞　=(∑[j=1,n]x[j])^2-2∑[j=1,n]x[j]x[j+1]+(∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2
＞　=∑[j=1,n]x[j]^2+2∑[1≦i＜j-1≦n]x[i]x[j]+(∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2

これはどういう変形？
545 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/19(金) 16:20:24 ]: >>544
(∑[j=1,n]x[j])^2 を展開しただけ
546 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/19(金) 17:52:03 ]: king ≤ うんこ
547 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/19(金) 18:29:25 ]: 荒らそうと必死ですね　わかります
548 名前：KingMind ◆KWqQaULLTg [2008/09/19(金) 21:06:37 ]: Reply:>>546 何をしている。
549 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/20(土) 03:45:57 ]: >>536
　x[1] + x[2] + ･･･ + x[n] = s,
　Σ[1≦i<j≦n] x[i]*x[j] = t,
とおくと
　s = 1,
　∑[j=1,n]x[j]*x[j+1] ≦ t,
だから
　(左辺) = s^2 -2t = 1-2t,
　(右辺) > (1-t)^2,
よって成立。
550 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/20(土) 08:07:35 ]: 本質的に>>540=>>549
551 名前：551蓬莱 mailto:sage [2008/09/20(土) 23:51:56 ]: www.551horai.co.jp/
552 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/21(日) 07:57:45 ]: >>533
3段の方が4段より難しかったな。
553 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/25(木) 20:27:12 ]: 〔問題620〕
全ての自然数nについて
　n*log(n) -(n-1) ≦ log(n!) ≦ (n+1)log(n) -(n-1),
が成り立つことを証明せよ。
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/620

(略証)
　左辺を a_n, 右辺を b_n とおく。
nについての帰納法による。

　log(1!)=0　より a_1 = log(1!) = b_1,
n>1 のとき
　a_n - a_(n-1) = n*log(n) -(n-1)log(n-1) -1
　　= n*log(n) - (n-1){log(n) + log(1 -1/n)} -1
　　= n*log(n) - (n-1){log(n) - log(1 + 1/(n-1))} -1
　　< n*log(n) - (n-1){log(n) - 1/(n-1)} -1
　　= log(n),
　b_n - b_(n-1) = (n+1)log(n) -n*log(n-1) -1
　　= (n+1)log(n) -n*log(n-1) -1
　　= (n+1)log(n) -n{log(n) + log(1 -1/n)} -1
　　> (n+1)log(n) -n{log(n) - 1/n} -1
　　= log(n),
よって成立。
554 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/25(木) 23:57:11 ]: 不等式たん (；´д｀) ﾊｧﾊｧ…
555 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/03(金) 03:31:17 ]: 俺も>>410の証明知りたい
夏休みずっと考えたけどできんかった(´･ω･`)
556 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/04(土) 01:08:48 ]: >>555
みせてもらおうか！
その過程とやらを！
557 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/04(土) 01:37:22 ]: πを上から評価して e を下から評価するだけでしょ。
e の方はテーラー展開ですぐ出る。
π の方は単位円に外接する正 2^n 角形の面積を考えれば良い。
558 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/04(土) 07:12:07 ]: >>557
全然計算してないでしょ
それじゃあ、１日計算しても無理
559 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/04(土) 09:38:47 ]: >>557
なめんなよ！
560 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/04(土) 14:07:15 ]: >>415の小数第三位は 6 じゃ無くて 8 の間違いじゃない？
e^6 =403.42879 34927 35122 60838 71805.........
とかそんな感じになったんだけど。
561 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/04(土) 20:39:17 ]: 〔問題096〕
連続函数f(x): R→R に対して、以下の2つの方程式(1)～(4)を考える。
　f(x) = x　　… (1)
　f(f(x)) = x　　… (2)
　f(f(f(x))) = x　　… (3)
　f(f(f(f(x)))) = x　　… (4)
方程式(1)が実数解を持たないならば、方程式(2)～(4)も実数解を持たないことを示せ。

science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1219648297/096, 104, 118
京都大学入試作問者スレ①
562 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/04(土) 20:41:28 ]: >>561 スレ違いっぽいが･････

(略証)
　f(x) - x = g(x) とおくと (1) は
　g(x) = 0,
題意により、g はすべての実数xで連続。もし
　g(a) ≦ 0 ≦ g(b),
なる a,b があったと仮定すれば、中間値の定理により、(1)が実数解をもつ。
これは題意に反する。
∴　g(x) は定符号。

題意より f(0) ≠ 0,
f(0) < 0 のとき g(x) <0,
　x > f(x) > f(f(x)) > f(f(f(x))) > …
f(0) > 0 のとき g(x) >0,
　x < f(x) < f(f(x)) < f(f(f(x))) < …
563 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/04(土) 23:49:07 ]: >>557
評価がかなりｼﾋﾞｱなんで､手計算だとその方法では無理。
564 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/05(日) 00:26:53 ]: >>562
関数方程式ヲタもいるから、okokよん！ (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
565 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/05(日) 04:42:02 ]: e のほうはTaylor展開の収束がやたら速いから
十数桁ならすぐ計算できる。（解析概論に例題として載ってる）

だからこの問題は要するに
π を誤差 0.00 001/400・5 = 1/200,000,000 ・100% 程度で
上から評価せよという問題とほぼ同義。11桁くらい正しく出ればうまくいく。

2^n 角形による近似は誤差が約 1/2 倍で小さくなっていくだけだから
1 桁進むのに 3.3 回くらい掛かる。 30 回程度は計算しないといけないので
一日じゃ無理そう。じゃあ不可能なのかというとそうでもなくて
1579年にVièteが外接正 393216 角形の周長から π ＜ 3.1415926537 を導出している。
1596-1610年にはLudolph van Ceulenが正 32212254720 ( = 60・2^29 ) 角形の周長から
32（35？）桁まで正しく計算している。独逸では彼の業績を記念して円周率をLudolph数とも言う。
和算家の村松茂清が同じ方法で七桁正しく計算している。Archimedesから続く伝統的方法で
中国人は劉徽のalgorithmというらしい。
en.wikipedia.org/wiki/Liu_Hui%27s_%CF%80_algorithm
# 建部賢弘は正1024角形を用いて42桁まで求めたとか書いてあるけど
# これは42桁まで正しかったんだろうか？だとするとかなり工夫を凝らした方法のはずだが。

で、もっと早く求めたいなら色んな方法があるが、
θ ＜ (2sin θ + tan θ)/3 を使うSnell（Ludolphの弟子）の方法（1621）ってのがあって、
Huygensはこれを改良して正六角形だけで π ＜ 3.1415926538 まで出している。
これ系を使うのが一番賢いかな。
566 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/05(日) 04:43:19 ]: arctan のTaylor 展開（Gregory-Leibnitz級数）を使う方法もあり
これはかなり色んな亜種があってMachin-like formulaと呼ばれている。
π/4 = 4arctan(1/5) - arctan(1/239) が本家Machinだけど、これ以外にいろいろあって
π/4 = arctan(1/2) + arctan(1/7) とか π/4 = 5arctan(1/7) + arctan(3/79) はEulerによる。
Eulerは後者を使って一時間で20桁計算したらしい。ただしEulerは暗算の達人だったので
自分も出来るなどとはあまり思わないほうが良いかも。
ただarctanを使って上から評価はきちんと厳密にやると面倒。ほぼ等比級数のスピードで収束。

Ramanujanの9801公式とかChudnovsky兄弟の公式なんてのもあって
これはきちんと証明されたのはつい最近のこと。厳密な上からの評価には向かなさそう。
計算機で計算する場合は算術幾何平均を利用した
Gauss-Legendre algorithm(Brent-Salamin algorithm)
とかBorwein's algorithmとかいうのも使われる。

円周率の公式と計算法
www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~ooura/pi04.pdf

イロモノとしてはBBP公式なんていう、16進数表記での n 桁目を
n-1 桁までを計算せず直接に計算できるような公式や、
Buffon's needleと言って針を等間隔の縞模様にたくさん
確率計算から近似的にπを求める、というのもある。
統計的に処理できれば、これでも科学的には実験で値を測定したことになる。
数学的には却下だが。

残りの参考サイト
円周率の公式集暫定版
www.pluto.ai.kyutech.ac.jp/plt/matumoto/pi_small/
en.wikipedia.org/wiki/Category:Pi_algorithms
en.wikipedia.org/wiki/Pi 記事内のリンクも参照。
ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87%E3%81%AE%E6%AD%B4%E5%8F%B2
567 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/05(日) 15:38:02 ]: 全面的に数値計算するのは題意に反してるんだが。
と思ったが>>410には書いてないか。数検の方にはなるべく数値計算せずに、と書いてある
568 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/05(日) 17:33:57 ]: 綺麗には出て来ないと思うけどなあ。
だから「なるべく」と数値計算が少ない解答を
高く評価するという表現に止めてあるわけで。

Snellの公式改良してsinやtanのTaylor展開使ったら
数値計算は少なくて済むと思う。
569 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/05(日) 18:00:03 ]: >>410は数値計算しないで示すことができるの？
もしできても普通思いつきもしないようなことするんだろうな(人´Ａ`;)
570 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/06(月) 20:05:15 ]: >>410 のもとの問題文は↓(>>430)

円周率をπ、自然対数の底をeとするとき
　　π^4+π^5≒e^6　　(400余りの数値で小数点以下4けたまで同じ)
で、しかも右辺が僅かに大きいことがコンピュータによる数値計算で知られています。
　数値計算をせずに
　　π^4+π^5＜e^6
であることを理論的に証明しなさい。
571 名前：KingMind ◆KWqQaULLTg [2008/10/06(月) 20:54:56 ]: Reply:>>570 数値計算もまた誤差の評価で成り立っている。
572 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/06(月) 23:59:10 ]: >>570
論理的になら証明できるんだけど、残念！
573 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/07(火) 00:09:55 ]: >>570
いかにもエレ解な問題だな
574 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/07(火) 01:17:05 ]: これなんで自然に出て来なさそうかというと、
π^4+π^5≒e^6
ってのは偶然近いだけで、別に
深い数学的事実の表れとかじゃないからなんだよなあ、
575 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/08(水) 01:17:31 ]: >>534
www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
最後の2つを参照、作成時刻にも注目
576 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/09(木) 21:33:02 ]: >373-374 , 394
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1219648297/121

f(x) = 6/(1-x) - 1/x とおくと、
　(左辺) = f(a) + f(b) + f(c),
(a,b,c)の変域は、平面a+b+c=1上の a=1/2, b=1/2, c=1/2 を辺とする正三角形（但し頂点は除く）

・境界上の極大
　6/x + 6/(0.5+x) = 16 + 2(1-4x)^2 /{(1-x)(1+2x)},
　1/x + 1/(0.5-x) = 8 + (1-4x)^2 /{x(1-2x)},
より、辺 c=1/2 では
　(左辺) = f(a) + f(1/2 - a) + f(1/2) = 18 - (1-4a)^2 {7+(1-4a)^2}/{4a(1-a)(1+2a)(1-2a)} ≦ 18,
等号成立は (a,b,c) = (1/4,1/4,1/2) のとき。

・内部の極大
生姜ないから、微分法を使おう。
束縛条件（a+b+c=1）があるので、ラグランジュの未定乗数λを使う。
　I(a,b,c;λ) = f(a) + f(b) + f(c) - λ(a+b+c-1),
　∂I/∂a = ∂I/∂b = ∂I/∂c = 0　から
　f '(a) = f '(b) = f '(c) = λ,　　f '(x) = 6/(1-x)^2 + 1/(x^2),
∴　(a,b,c; λ) = (1/3, 1/3, 1/3; 45/2) で極大値 18 をとる。

なお、この極大と境界上の極大(1/4,1/4,1/2)の間の鞍点（峠点）↓も解ではあるが、これらは捨てる。
　(a,b,c; λ) = (0.279000307274921, 0.279000307274921, 0.441999385450158, 24.3886725897975)

しかし･････後味わるいな。
577 名前：576 mailto:sage [2008/10/09(木) 21:47:21 ]: ・境界上の極大
　6/(1-x) + 6/(0.5+x) = 16 + 2(1-4x)^2 /{(1-x)(1+2x)},
578 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/10(金) 00:57:08 ]: 後味の悪さってのは、やはり、中高生でも分かる解法じゃないからだろうな
579 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/11(土) 00:16:10 ]: ド田舎に住んでいるんだけど、近所の大学にAMMが置かれなくなってネタがたりねぇ…
580 名前：576 mailto:sage [2008/10/13(月) 04:25:00 ]: >>　f '(a) = f '(b) = f '(c) = λ,
を解くところを補足しとく。
　f '(x) = 6/(1-x)^2 + 1/(x^2),
　f "(x) = 12/(1-x)^3 - 2/(x^3),
∴　{x - 1/[1+6^(1/3)]}*f "(x) ≧ 0,
∴　区間 (0,1/2] で、f '(x) が等しいxは高々2個しかない。
∴　極値では、a,b,c のうちの2つは一致する。
a=b, c=1-2a としてよい。このとき
　(左辺) = 2f(a) + f(1-2a)
　　= 2{6/(1-a) -1/a} + 6/(2a) - 1/(1-2a)
　　= (1+8a-21a^2)/{a(1-a)(1-2a)}
　　= 18 - (4a-1)(3a-1)^2 /{a(1-a)(1-2a)}
　　≦ 18,　　　　　(1/4 ≦ a ≦ 1/2).
等号成立は a=1/4 と 1/3 のみ。

なお、a=0.279000307274921･･･には極小（鞍点、峠点）がある。
581 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/18(土) 06:28:12 ]: >>341
A.435. Prove
　(a+b+c)*(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)},
where 1≦a,b,c≦2.

(略解)　　　　　　　　　　　　　　　(>>394 を参照)
>>373-374 から,
　6/(b+c) - 1/a + 6/(c+a) - 1/b + 6/(a+b) - 1/c ≦ 18/(a+b+c),
両辺に a+b+c を掛けて,
　6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} - (a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≦ 0,
582 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/18(土) 08:19:15 ]: >>341

B.4021
a_k = 1 + b_k,　b_k≧0 とおくと
　(左辺) = (b_1 +2)(b_2 +2)(b_3 +2)･････(b_n +2) ≧ (b のn～2次の項) + 2^(n-1)･(b_1 + b_2 + ･････ + b_n) + 2^n
　　　≧ {2^(n-1)}{b_1 + b_2 + ･････ + b_n +2) = (右辺).

A.433　A.436　A.439　A.447 は解答付き。
583 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/19(日) 00:12:38 ]: >>373-374 を何とか高校ﾚﾍﾞﾙで解けないか頑張ってみて
次の問題に帰着され所までいって挫折した。
より遠ざかった感もあり．．．

t に関する実係数3次方程式 t^3 - (r-2)t^2 + qt - r＝0 が全て1以上の実数解を3個持てば､
r(r+1)≧6q が成り立つ。
584 名前：583 mailto:sage [2008/10/19(日) 00:45:17 ]: 4 r^2 + 32 r - 4 q r - 11 r^2 - q r^2 + 2 r^3≦0、r≧5、q≧2 r-7 ならば
r (r+1)≧6 q が成り立てば良いか．．．駄目だ．．．
585 名前：584 mailto:sage [2008/10/19(日) 00:46:41 ]: × 4 r^2 + 32 r - 4 q r - 11 r^2 - q r^2 + 2 r^3≦0
○ 4 q^2 + 32 r - 4 q r - 11 r^2 - q r^2 + 2 r^3≦0
586 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/19(日) 07:23:26 ]: 〆切過ぎたから今月の大数の宿題

a_1=2，a_(n+1)={1+(2+√3)a_n}/{(2+√3)-a_n}

a_n<5を示せ
587 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/19(日) 11:54:01 ]: >586
　a_(n+1) = (2-√3 + a_n)/{1 - (2-√3)a_n}
　　　= {tan(π/12) + a_n}/{1 - tan(π/12)a_n},
∴　a_n = tan(α + (n-1)π/12),
ここに α = arctan(a_1), a_n は周期12をもつ。
　a_(n+6) = -1/a_n.
∴　はじめの6項を求めれば分かる。
588 名前：583-585 mailto:sage [2008/10/19(日) 15:08:21 ]: 多投スマ祖。

q≦2 r - 3 を忘れてた。
4 q^2 + 32 r - 4 q r - 11 r^2 - q r^2 + 2 r^3 ≦ 0 を q について解いて、
r-q 平面でグラフ書いて領域で責めたら何とかなった。
589 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/20(月) 04:57:18 ]: >>583
　t - {(r-2)/3} = T,
とおいて 2次の項を消すと、
　t^3 - (r-2)t^2 + qt - r = T^3 + QT - R,
ここに、Q = q -3{(r-2)/3}^2, R = r - q{(r-2)/3} + 2{(r-2)/3}^3,

・3つの実根をもつから
　Q <0,　R^2 < 4(-Q/3)^3,

・解が t≧1 だから
　(t-1)^3 -(r-5)(t-1)^2 + (q-2r+7)(t-1) + (q-2r-3) =0,
の解がすべて t-1≧0.
根と係数の関係より
　r-5 ≧0,　q-2r+7 ≧0,　q-2r+3 ≦0,
590 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/20(月) 05:37:48 ]: >>341

A.436. Prove that |{n√2} - {n√3}| > 1/(7n^3),
　for every positive integer n.

(略証)
0 ≦ {x} <1 より |t| <1, また、k = [n√3] - [n√2] とおくと　　　(← ガウスの記号)
　t = {n√2} - {n√3}
　　= n√2 - [n√2] - n√3 + [n√3]
　　= k - (√3 -√2)n (k∈N)
　　= ((k^2 -5n^2) + (2√6)n^2) / (k + (√3 -√2)n)
　　= ((k^2 -5n^2)^2 -24n^4) / ((k - (√3 +√2)n)(k + (√3 -√2)n)(k + (√3 +√2)n))
　　= (k^4 - 10(kn)^2 + n^4) / ((t -2√2･n)(t +2(√3 -√2)n)(t +2√3･n)),
　分母は0でない整数。

・ n≧20 のとき
　|t -2√2･n| < 2√2･n + 1 ≦ (2√2 + 1/20)n,
　t +2(√3 -√2)n < 2(√3 -√2)n + 1 ≦ (2(√3 -√2) + 1/20)n,
　t +2√3･n < 2√3･n +1 ≦ (2√3 + 1/20)n,
　辺々掛けて
　|分母| < 6.9356560324845688673761191952915･･･ * n^3,
　より成立。

・n≦20 のとき、
　(左辺) ≧ (√3 -√2)/n^3 > 1/(√10･n^3) > 1/(7n^3).
591 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/20(月) 23:06:03 ]: >590
　分子は0でない整数。

>>565
Snellの方法の略証
相加･相乗平均より
　{ cos(x) + cos(x) + 1/cos(x)^2 }/3 > 1,
これをxで積分する。 [0<x<θ]
592 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/27(月) 01:28:31 ]: >>341

B.4049. a,b,c are positive real numbers, such that ab+bc+ca=t. Prove that
　　　a/(a^2 -bc+3t) + b/(b^2 -ca+3t) + c/(c^2 -ab+3t) ≧ 1/(a+b+c),

(略証)
　a+b+c =s, abc =u とおく。
　(左辺) - (右辺) = 2{us^3 + (s^2 -4t)t^2} / {(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3)s}　　････(*)
　　= 2{u(s^4 -9t^2) + (s^3 -4st +9u)t^2} / {(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3)s^2}
　　= 2{u(s^2 +3t)F_0 + t^2･F_1} / {(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3)s^2}
　　≧ 0,
ここで Schur の不等式　F_0 = s^2 -3t ≧0,　F_1 = s^3 -4st +9u ≧0 を使った。

(*) a^2 -bc =A, b^2 -ca =B, c^2 -ab =C とおくと
　S = A + B + C = s^2 -3t,
　T = AB + BC + CA = -t(s^2 -3t),
　U = ABC = us^3 - t^3,
　(左辺) = a/(A+3t) + b/(B+3t) + c/(C+3t)
　　= (aBC + AbC + ABc +9st^2)) / (U +3tT +9t^2･S +27t^3)
　　= 2{us^3 + (s^2 -4t)t^2}/{(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3)s}.
593 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/27(月) 02:43:50 ]: 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
30分以内に確実にやって下さいと要請されたらどうするかっていうこと。

[問題]
abc=2なる正の実数a,b,cの組に対して、次の式の最小値を求めよ
1/(a(b+1))＋1/(b(c+1))＋1/(c(a+1))
594 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/27(月) 08:44:05 ]: >>593
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？

新手の釣り師か？
595 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/27(月) 09:34:46 ]: 計算機で解けば？
596 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/27(月) 09:45:21 ]: 釣りじゃないですよ。
この問題の出典は数学検定1級の2次という変なところなのですが、
試験時間が短めで、時間制限を気にしないといけないのです。
もちろん値だけではだめで、論証しないといけません。
なので、『現実的な方法』という言葉を使いました。
そこで皆様の知恵をかりたいのですが、どうでしょうか。
597 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/27(月) 09:55:56 ]: それのどこが不等式？
598 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/27(月) 16:59:40 ]: >597さん
a=b=c=2^(1/3)で最小を取ることが予想できるので、
abc=2なる任意に正の実数a,b,cに対して、
次の不等式を示すことになるので、
そういう意味で不等式の問題とみなせると思いました。

1/(a(b+1))＋1/(b(c+1))＋1/(c(a+1)) ≧ 3/(2^(1/3)*(1+2^(1/3)))
599 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/27(月) 23:10:30 ]: >>596
お前な、順序が間違ってるだろ！
まず、>>596を書いてから、>>593で質問だろ！
情報を小出しにするなとママに教わらなかったのか？
600 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/29(水) 03:55:59 ]: Σ［k＝1→n］（1／k）＞5
となる最小の整数nを求めよ

a，b，cが相異なる正の数で√a＋√b＋√c＝1を満たすとき
｛ab／（b－a）｝log（b／a）＋｛bc／（c－ b）｝log（c／b）＋｛ca／（a－c）｝log（a／c）≦1／3
を示せ
601 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/29(水) 04:24:00 ]: Σ［k＝1→n］（1／k）= log(n)＋γ＋O(1/n) に注意すると、
だいたいn=[e^(5-γ)]＝83 とわかる。
答えはn=83
602 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/29(水) 19:49:32 ]: Σ［k＝1→n］（1／k）＞4
となる最小の整数nを求めよ

これだと高校生でも何とかできるか
603 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/29(水) 21:34:14 ]: それの改良問題。
[Σ［k＝1→n]（1／k)] = [e^(5-γ)]
を満たさない正整数nは無限に存在するか。
ただし、γはオイラー定数とし、
[x]はxの整数部分を表すとする。

これだと愚直に計算機使うだけじゃ無理。
604 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/29(水) 21:40:55 ]: >603
問題ミス。
Σ［k＝1→n］（1／k）＞m を満たす最小の整数nが、
n = [e^(m-γ)] とならない正整数mは無限に存在するか。
605 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/29(水) 23:24:13 ]: >>600
S_82 = 5 -　 971061970808803141778039548955447 / D_5,
S_83 = 5 + 16703434187251287967291034353582814 / (D_5 * 83),
D_5 = 2^6 * 3^4 * 5^2 * 7^2 *11*13*17*19*23*29*31*37*41*43*47*53*59*61*67*71*73*79,

>>602
S_30 = 4 - 11675421053 / D_4,
S_31 = 4 + 1967151510157 / (D_4 * 31),
D_4 = 2^4 * 3^3 * 5^2 *7*11*13*17*19*23*29,

S_11 = 3 - 2221 / D_3,
S_12 = 3 + 89 / D_3,
D_3 = 2^3 * 3^2 * 5*7*11,

S_3 = 2 - 1/D_2,
S_4 = 2 + 1/(D_2*2),
D_2 = 2 * 3,
606 名前：592 mailto:sage [2008/10/29(水) 23:35:18 ]: >>592 の訂正, ｽﾏｿ.

　(左辺) = a/(A+3t) + b/(B+3t) + c/(C+3t) = (3us + 8t^2)s/(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3).
607 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/31(金) 21:53:26 ]: >>600

↓の補題に x=√(a/b), √(b/c), √(c/a) を代入してたす。
　　(左辺) < √(ab) + √(bc) + √(ca) < (1/3)(√a + √b + √c)^2,

〔補題〕
x>0, x≠1 のとき
　{x/(x^2 -1)}log(x^2) < 1,
(略証)
　f(x) = x -(1/x) -2log(x),
とおくと、f(1) =0,
平均値の定理より
　{f(x)-f(1)}/(x-1) = f '(ξ) = (1 - 1/ξ)^2 >0,　　　(ξは1とxの中間にある)
これに x/(x+1) を掛ける。

ハｧハｧ
608 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/31(金) 22:19:48 ]: (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
609 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/02(日) 04:23:18 ]: 正の実数x,y,zに対して次を示せ。
(xy)^3/(x^3+1)＋(yz)^3/(y^3+1)＋(zx)^3/(z^3+1) ≧ 6/{xyz(1＋xyz)}
できる神いる？
610 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/02(日) 06:46:30 ]: >>609
x=y=z=1のときとか成り立たないんだが・・・
なんか間違えてねーか？
611 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/02(日) 10:20:43 ]: >>593 >>598の変形し損ね？
612 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/04(火) 04:11:04 ]: >>600
次の問いに答えよ。
（１） xが正の数のとき│log x│≦│x-1│/√x を示せ。
（２） p, q, r がp + q + r =1を満たす正の数のときp＾2+ q＾2+ r＾2 ≧1/3を示せ。
（３） a , b, c が相異なる正の数で、√a + √b　+ √c　= 1を満たすとき、
｛ab/(b - a)｝・ log(b/a) + ｛bc/(c - b)｝・ log(c/b) + ｛ca/(a - c)｝・ log(a/c) ≦　1/3
を示せ。　　　　　　　　　　　　　（２００７　阪大）
613 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/04(火) 10:21:31 ]: >>612
誘導なしだったら、いい感じだね
614 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/04(火) 20:40:08 ]: test
615 名前：不等式だけの学会があるらしい mailto:sage [2008/11/04(火) 21:07:44 ]: lemmma3
a1≧a2,b1≧b2 -> (a1-a2)(b1-b2)≧0 -> a1*b1+a2*b2≧a1*b2+a2*b1

TH2
任意の自然数nに対して：a1^n+a2^n+,,,+an^n≧n*a1*a2*,,,*an
証明)
n=1:a1≧a1
n=kの時成立していると仮定しn=k+1で成立する事を示す。
まず、a1≧a2≧,,,≧a(k+1)①と仮定しても一般性を失わない。

a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,+ak^(k+1)+a(k+1)^(k+1)
=a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,+ak^k*ak +a(k+1)^k*a(k+1)
≧a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,+ak^k*a(k+1)+a(k+1)^k*ak
=a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,,+a(k-1)^k*a(k-1)+ak^k*a(k+1)+a(k+1)^(k-1)*ak*a(k+1)
≧a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,,+a(k-1)^k*a(k+1)+ak^k*a(k+1)+a(k+1)^(k-1)*ak*a(k-1)
(ここまでの不等号は全てlemma3と①による)
,,,,
≧(a1^k+a2^k+,,,+ak^k)*a(k+1)+a1*a2*,,,*ak*a(k+1)
(,,,及び最後の不等号もlemmma3と①による。
ai^k*ai+a(k+1)^i*a(i+1)*,,,*ak*a(k+1)≧ai^k*a(k+1)+a(k+1)^(i-1)*ai*a(i+1)*,,,*ak*a(k+1)
がやはりlemmma3と①によって成立するので、この事が言える)

≧k*(a1*a2*,,,*ak)*a(k+1)+a1*a2*,,,*ak*a(k+1)
(この不等号は帰納法の仮定による）

=(k+1)*a1*a2*,,,*ak*a(k+1)

よってTH2が成立。

TH1.TH2において、Ak=ak^nと置いていけば、明らかな相加相乗平均の不等式が現れる。

という事が今年の夏、8/18だか8/19に日本の高校の教師が示された。
616 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/04(火) 21:11:03 ]: >>615
>>437
617 名前：不等式だけの学会があるらしい mailto:sage [2008/11/04(火) 21:19:36 ]: 日本の高校の教師によって示された。

俺はまず、ハーディーにあたってみたが、あの不等式の本ではもう少し一般化した式が
もう少し、めんどくさく示されており、ハーディーとリトルウッドの明晰でわかりやすいスタイルの中には入らない。

次に「天書の証明」にあたったが、コーシーがほんの一歩、めんどくさい証明をしており、
これが、美しい部類の物として、「載っていた」

シンプルであり、アルゴリズムの様な、簡単な、美しい証明だと思う。

「日本の高校の先生が「天書」から証明を盗んできた。」
618 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/05(水) 00:00:11 ]: >>617
「天書の証明」は、数ヲタとして持っておいたほうがいいですか？
本棚に飾っておいたほうがいいですか？
てか、オヌヌメですか？

最近、本を買っていないので何か買いたい気分です( ﾟ∀ﾟ)
619 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/05(水) 00:27:11 ]: >>618
あれは持っておいて損はない。
俺は日本語版（第２版）と原書（第３版）を両方買った。
620 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/05(水) 00:31:41 ]: アルゴリズムの様な、簡単な、美しい証明

のアルゴリズムのようなっていう比喩が全く意味が分からん
621 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/05(水) 00:47:21 ]: >>620
俺は分かるぞ。手続きが明らかになる構成的証明だということだと思う。
相加平均と相乗平均という，全く形が異なるものの間を一気に飛ぶのではなく，
相加平均が，１つずつ項を入れ替えてゆくことで少しずつ小さくなってゆき，
やがて相乗平均に至るという，途中経過が明らかになる証明だ，という意味だろう。
俺も全く同感だ。
622 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/05(水) 05:24:54 ]: x,y,z≧0,x+y+z=1のとき
xy+yz+zx-2xyzの最大値、最小値を求めよ

ところで質問なんですが
任意の整数nに対して
n^2+an+b≧0
となるようなa,bの条件出すこと出来ますか？
623 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/05(水) 07:24:12 ]: >>622
(1-2x)(1-2y)(1-2z)を展開すればわかる。

a^2-4b≦0
624 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/05(水) 07:32:47 ]: すまん。整数だったな。
0<a^2-b≦1これも必要かな……。
625 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/06(木) 20:53:25 ]: 基本対称式を使った初心者でも何とか解ける不等式を教えてください。
626 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/06(木) 23:19:08 ]: ('A` )　ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉﾋｬｰ
　くく　へﾍﾉ ←>>625
627 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/07(金) 00:08:42 ]: >>625
x_1, ……, x_n を正の数とする。
これらの相加平均を A，
これらの二乗平均平方根を M ( =√{((x_1)^2+……+(x_n)^2)/n} )，
これらから作られる２次の基本対称式を S (=x_1x_2+……) とおく。

このとき，A≧M*n^{S/{n(n-1)M^2}-1/2} が成り立つことを示せ。（出典：Part2-847）

--------------
x_1, ……, x_n を正の数とする。
これらから作られる k 次の基本対称式を e_k とおき，
A_k=(e_k / C[n,k])^(1/k) とおく（C[n,k]は二項係数）。
このとき，
A_1≧A_2≧……≧A_n
が成り立つことを示せ。（出典：マクローリンの不等式）
628 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/07(金) 19:37:45 ]: >>620
>>621さんに付け加える事は何もないですが、要はlemma3がサブルーチンで、この証明ではほとんどが
このサブルーチンで片がついているのです。プログラムでも、すっきりした簡単なメインルーチンと
もし、サブルーチン一つでかなりな複雑な事柄が片付けば、それは「美しいプログラム」だと
思います。
　要はわかりやすく、読みやすい。と言う事かなと思います。話はむずかしくではなく、簡単でわかりやすい
方が「美しい」と思います。あなたが例えば、人様のノートをテスト前にコピーさせてもらった場合、要約もすばらしく、
論点も明確なノートなら、やはり、「美しい」と思うのではないでしょうか？
それと同じだと思います。
629 名前：>>615訂正 mailto:sage [2008/11/07(金) 19:53:16 ]: 「まず、a1≧a2≧,,,≧a(k+1)①と仮定しても一般性を失わない。」の位置がおかいかったようです。
n=1の前に、
「まず、a1≧a2≧,,,≧an①と仮定しても一般性を失わない。」が正しいです。
630 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/07(金) 20:07:16 ]: 反応がないのは>>437で既出だからだよ>>615くん
どこの山から出てきたんだ？
631 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/07(金) 20:09:40 ]: 単発スレ立てる厨房よりはマシじゃね？
632 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/07(金) 23:55:05 ]: >>630-631
少し黙ってろ！
633 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/08(土) 03:26:54 ]: a，b，cは自然数で
（1/a)＋（2/b)＋（3/c)＜1
を満たすとき
（1/a)＋（2/b)＋（3/c)の最大値を求めよ

f（a）＝∫［0→π/4］｜sinx－a cosx｜dx
の最小値を求めよ

x≧0において
f’（x）＞0，∫［0→x］ f（t）dt≧x
ならば，x＞0においてf（x）＞1を示せ
634 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/08(土) 03:32:44 ]: >>633

f（a）＝∫［0→π/4］｜sinx－a cosx｜dx
の最小値を求めよ

不等式では、ない。これ去年、代ゼミに通ってた友人が持ってきたテキストにあったな。
635 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/08(土) 09:53:36 ]: >>634
それは東工大の過去問だな。sinx=t と置換すれば ∫|f(t)-a|dt の形になるので，はみ出し削り論法で終わり。
636 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/08(土) 20:04:09 ]: >>633 (上)
　1-(1/1332),
(a,b,c) = (37,9,4) のとき.

>>633 (中)
　f(a)　=　1 - (1+a)/√2,　　　　　　　(a≦0)
　　　　= -1 - (1+a)/√2 +2√(1+a^2),　(0≦a≦1)
　　　　= -1 + (1+a)/√2,　　　　　　　(a≧1)
637 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/08(土) 22:43:41 ]: >>636
それf(a)求めただけやん(笑)
638 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/08(土) 23:55:39 ]: >>637
具体的に書けるから自明すぎてつまらないと言うメッセージなのかもしれない
639 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/09(日) 01:17:19 ]: >>638
おまいはテレパスか！
640 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/09(日) 02:10:10 ]: >>636
上教えてちょ
641 名前：636 mailto:sage [2008/11/09(日) 21:47:35 ]: >>637
　f '(a) = 0 から a = 1/√7, 最小値は
　f(a) = -1 + (√7 -1)/√2 = 0.16372191220042316839103000405343･･･
642 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/09(日) 22:10:22 ]: >>633 (下)

部分積分を使うらしい･･･
　∫[0→x] f(t)dt = [ t･f(t) ](t=0→x) - ∫[0→x] t･f'(t)dt < [ t･f(t) ](t=0→x) = x･f(x).
643 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/09(日) 23:17:35 ]: その部分積分は名古屋大かどっかの問題にあったな
解いたことがある。もう忘れてたけど。
644 名前：ヘルマンワイル先生生誕記念カキコ mailto:私もあやかりたい。里 [2008/11/09(日) 23:48:18 ]: ≧≦
645 名前：446 [2008/11/10(月) 23:33:38 ]: >>642
g'(x)≧0 かつ ∫[0→x] g(x)≧0 と同値だから lim[x→0] g(x)≧0 が自然に言えて解決．
646 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/11(火) 08:00:00 ]: 1/37+2/9+3/4=1331/1332.
1/31+2/3+3/10=929/930.
1/5+2/41+3/4=819/820.
1/38+2/9+3/4=683/684.
1/15+2/11+3/4=659/660.
647 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/13(木) 03:04:12 ]: 不等式のノート作ってる方とかいます？
648 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/13(木) 06:56:52 ]: >>647
名前を書かれると無性に不等式を証明したくなるとか？
649 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/13(木) 13:03:58 ]: >>647
てふでまとめていますが何か？
650 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/14(金) 07:59:40 ]: >>649
もううｐせざるを得ないだろう
651 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/14(金) 10:04:11 ]: B5サイズで50枚以上になるからなぁ…、断るッ！
652 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/18(火) 23:21:51 ]: 【(2nCn)/(n+1)】カタラン数【(2n)!/(n+1)!n!】より

64 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2008/01/03(木) 18:20:39
〔不等式064〕
　C[2m,m] = (4^m)/√(mπ) * exp(-1/8m + O(1/m^3)) ～ (4^m)/√(mπ) *(1 - 1/(8m) + …),

(略証)
スターリングの不等式
　(n +1/2)log(n) -n +(1/2)log(2π) +1/(12n) -1/(360n^3) < log(n!) < (n +1/2)log(n) -n +(1/2)log(2π) +1/(12n),
を
　log(C[2m,m]) = log((2m)!) -2log(m!),
に代入する。
　(2log(2))m -(1/2)log(mπ) -1/(8m) -1/(2880m^3) < log(C[2m,m]) < (2log(2))m -(1/2)log(mπ) -1/(8m) +1/(180m^3),

65 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2008/01/20(日) 20:24:33
大学への数学１月号の宿題を解いたつわものはいる？
　lim[n→∞) {(1/2^(2n -1/2))*C[4n,2n]/C[2n,n]}^(2n)

science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1200494361/113
さくらスレ２３５

66 名前：スターリング[sage] 投稿日：2008/01/20(日) 20:34:06
>65

log(n!) = (n +1/2)log(n) -n +(1/2)log(2π) + 1/(12n) -1/(360n^3) +O(1/n^5),

log(C[2n,n]) = log((2n)!) - 2*log(n!)
　= 2log(2)*n -(1/2)log(nπ) -1/(8n) +1/(192n^3) +O(1/n^5),

log(与式) = -(2n -1/2)log(2) +log(C[4n,2n]) -log(C[2n,n])
　= {1/(16n) -O(1/n^3)}*(2n)
　= (1/8) - O(1/n^2) → 1/8,　　(n→∞)
653 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/18(火) 23:56:52 ]: 〔問題202〕
任意の正の整数mに対して不等式
　|sin(a)| + |sin(2a)| + ････ + |sin(ma)| > (m/2) + (1/4) - 1/|4sin(a)|.

(略証)
|sin(ka)| ≧ {sin(ka)}^2 = {1 - cos(2ka)}/2 = (1/2) - 2cos(2ka)sin(a)/(4sin(a)) = (1/2) - {sin((2k+1)a)-sin((2k-1)a)}/(4sin(a)),
k=1,2,･･･,m について和をとる。

　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1220115988/202
654 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/19(水) 00:26:14 ]: 任意の正の整数mに対して不等式
　|sin(a)| + |sin(2a)| + ････ + |sin(ma)| < √{m[(m/2) + (1/4) + 1/|4sin(a)|]}.
が成り立つ。
　
(略証)
　(左辺) ≦ √{mΣ[k=1,m] sin(ka)^2} = √{m[(m/2) - (sin((2m+1)a)-sin(a))/4sin(a) ]}
655 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/19(水) 16:36:21 ]: なんだこのスレｗｗｗｗ
おもすれーｗｗｗうぇｗｗｗｗ
656 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/19(水) 22:37:59 ]: >>653-654
ワイルの一様分布定理から、

〔補題〕 a/π≠整数ならば、
　(左辺)/m → (1/π)∫[0,π] sin(x)dx = 2/π.　　(m→∞)
657 名前：656 mailto:sage [2008/11/20(木) 22:30:32 ]: 訂正
〔補題〕 a/π ≠有理数ならば、
658 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/24(月) 20:12:49 ]: f(x)=x^2-2mx+m+6　とする。

(1) すべてのxの値に対してf(x)≧0となる
　　定数mの値の範囲は-2≦m≦3である。

(2) 0≦x≦8のすべてのxの値に対してf(x)>0となる
　　定数mの値の範囲は-6<m<3である。

これを証明してください。
659 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/24(月) 22:18:03 ]: >>658
お前は勉強をやめた方がいい。
660 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/24(月) 23:23:19 ]: >>658
荒ら砂！
質問は質問スレに池！
661 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/26(水) 01:34:42 ]: science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1227275638/700

1/π<x<πの時、
sinx･sin(1/x)の最大値を求めよ
662 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/26(水) 21:32:47 ]: うるさい。
663 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/26(水) 22:31:04 ]: 　　　ｒ;;;;;ノヾ　　　　　　　　>>662
　　　ﾋ‐=r=;'　　　　∬　　　口を慎みたまえ！
　　　'ヽニ/　っ━~~　　　君は不等式王の前にいるのだぞ！
　＿と~,,　 ~,,,ﾉ_　　∀　　　
　　　　ﾐ,,,,/~).　│ ┷┳━　
　￣￣￣.じ'Ｊ￣￣|　┃
　￣￣￣￣￣￣￣　┻
664 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/27(木) 09:56:45 ]: nCrｵﾀ向け
∑[k=0,n](k+2)*(k+1)*[2k+1]C[k]=？
665 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/27(木) 23:22:39 ]: >>661

[751] 微分法を使う。
　g(t) = log(sin(e^t))　とおくと
　g '(t) = (e^t)/tan(e^t) 　は単調減少(*)　
　g "(t) = －(e^t){1 - sin(e^t)cos(e^t)}/{sin(t)}^2 < 0,
∴ f は上に凸。
　log(与式) = f(log(x)) + f(-log(x)) ≦ 2f(0) = log{sin(1)^2}

(*) {x/tan(x)} ' = 1/tan(x) - x/{sin(x)^2} = {sin(x)cos(x)-x}/{sin(x)^2} <0,
　　より、x/tan(x) は単調減少。

[763] 無限乗積表示（オイラー積表示）を使う。
sin(x) = x･Π[n=1,∞) {1－(x/nπ)^2},
　{1－(x/nπ)^2}{1－1/(nπx)^2} = {1－1/(nπ)^2}^2 －(1/nπ)^2 (x－1/x)^2 ≦ {1－1/(nπ)^2}^2,
　等号成立は x=1 のとき,
∴ (与式) ≦ {sin(1)}^2.
666 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/27(木) 23:24:24 ]: >>664
それ本当に求まるのか？
Mathematicaにやらせてみたら
-((2 + n)*(3 + n)*Gamma[5 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[1, 5/2 + n, 3 + n, 4] +
2*Gamma[7 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[2, 7/2 + n, 4 + n, 4] +
8*(7 + 2*n)*Gamma[6 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[3, 9/2 + n, 5 + n, 4])/(2*Gamma[3 + n])
になったぞ。
667 名前：665 mailto:sage [2008/11/27(木) 23:57:46 ]: >>665 訂正

　f(x) = log(sin(x)) なので、
　log(与式) = f(x) + f(1/x) = g(log(x)) + g(-log(x)) ≦ 2g(0) = 2f(1) = log{sin(1)^2},
668 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/28(金) 05:13:49 ]: みなさんは不等式の必須手法みたいなのを何で学びましたか？
669 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/28(金) 23:42:33 ]: >>668
おまえには教えてやらねーよ！
670 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/29(土) 00:20:54 ]: 不等式を制する者は解析を制する。
671 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/29(土) 12:07:58 ]: △ABC の辺 a、b、c に対して、次式を示せ

　 3abc ≧ (b+c-a)a^2 + (c+a-b)b^2 + (a+b-c)c^2

　　　∧_∧　
　　_ ( ﾟ∀ﾟ)　　　　　　　　　　　　たぶん、出したことないと思う…
　|≡(つc□≡|
　`Ｔ￣∪∪￣Ｔ
ﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞ
672 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/29(土) 18:50:59 ]: >>664
　(k+2)(k+1) = (2k+3)(2k+2)/3 - (k+1)k/3,

　(k+2)(k+1)*Ｃ[2k+1,k] = (1/3)(2k+3)(2k+2)*Ｃ[2k+1,k] - (1/3)(2k+1)(2k)*Ｃ[2k-1,k-1]
　　　　　　　　　　　　= (1/3)(k+2)(k+1)*Ｃ[2k+3,k+1] - (1/3)(k+1)k*Ｃ[2k+1,k],

　(与式) = (1/3)(2n+3)(2n+2)*Ｃ[2n+1,n] = (1/3)(n+2)(n+1)*Ｃ[2n+3,n+1].

>>671
三角不等式の束縛からのがれるため
b+c-a = a' >0,　c+a-b = b' >0,　a+b-c = c' >0,
とおく。条件は a', b', c' >0 だけになった。両辺に
　a = (b'+c')/2,　b = (c'+a')/2,　c = (a'+b')/2,
を代入すれば、
　(左辺) - (右辺) = (3/8)(st-u) - (1/4)(3u+st) = (1/8)(st-9u) ≧0,
いつものように　s = a'+b'+c' = a+b+c,　t = a'b' + b'c' + c'a', u = a'b'c' とおいた。
等号成立は a'=b'=c' すなわち a=b=c のとき。

ハｧハｧ
673 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/29(土) 19:19:09 ]: >>671

移項したらSchur不等式････
　(左辺) - (右辺) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) = F_1 ≧0,
三角条件なくても成立････
674 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/29(土) 20:11:59 ]: さすが。
675 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/29(土) 21:13:11 ]: 問題を作ったときには
(左辺)-(右辺)=(a-b)^2･(a+b-c)/2+(b-c)^2･(b+c-a)/2+(c-a)^2･(c+a-b)/2
から導いたと思われ
676 名前：671 mailto:sage [2008/11/29(土) 22:30:45 ]: 毎度ながら、100歩前を行くレスに感心。
ありがとうございます。
677 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/01(月) 20:28:22 ]: 1 ≤ a,b,c ≤ 2 のとき
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) ≥ 6(a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b))

たのもー(　^ิิ,_ゝ^ิ)
678 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/01(月) 22:14:56 ]: homogeneousなのに何で1<=a,b,c<=2が必要？
679 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/02(火) 16:40:46 ]: 1≦a,b,c≦2がないと問題が成り立たないから
680 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/02(火) 20:31:05 ]: 別にk≦a,b,c≦2kでも良いけど
いずれにせよ或る一定範囲内に三つとも入ってないといけなくて
a=b=1、c=1000とかそういうのはダメってことでしょ。

それぞれa/kとかで置き換えて要らないkを消去したのが問題文と。
681 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/03(水) 03:15:18 ]: >>677 , 679
　>>341 の [A.435] でつね。

>>394 いわく、
　とりあえず、>>373-374 が解ければ [A.435] が解けることが分かった。

>>576 は微分法（未定乗数法）でそれを解こうとしたようだが････
682 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/03(水) 11:48:57 ]: もっとすきっとした解法はないもんかねぇ
683 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/03(水) 19:23:45 ]: >>576 を高校ﾚﾍﾞﾙで解いたのが
>>583-585 >>588-589
684 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/03(水) 23:40:27 ]: >>588
　r-q 平面のグラフが見たい････
685 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/07(日) 00:24:18 ]: >>679
>>680
誤解してた、すまない。
686 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/07(日) 04:23:34 ]: 1)a,b,cが正の実数のとき
a/(b+c^2)+b/(c+a^2)+c/(a+b^2)≧9/(a+b+c+3)
を示せ

2)a,b,cが相異なる実数のとき
{(4a-3b)/(a-b)}^2+{(4b-3c)/(b-c)}^2+{(4c-3a)/(c-a)}^2≧25
を示せ

3)a,b,cが正の実数のとき
{(b+c-a)^2}/{(b+c)^2+a^2}+{(c+a-b)^2}/{(c+a)^2+b^2}+{(a+b-c)^2}{(a+b)^2+c^2}≧3/5
を示せ(日本数学五輪1997)
687 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/08(月) 01:45:32 ]: つwww.math.ust.hk/excalibur/v13_n3.pdf
688 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/08(月) 03:44:10 ]: >>686
(2)(3)は、ともに凸不等式に帰着できた
(1)に苦戦中
689 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/08(月) 03:46:55 ]: >>686
(3)は公式解答は汚い解法だったんだがエレガントに解けるのかな
俺はｼｭﾜたんで失敗した
690 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/08(月) 04:58:11 ]: >>686
(3)
Σはcycとして
a+b+c=1とおくと

与式
⇔Σ[(1-2a)^2/{(1-a)^2+a^2}]≧3/5
⇔Σ[1/(2a^2-2a+1)-9/5]≦0
⇔Σ[25/(2a^2-2a+1)-45-18(3a-1)]≦0 (∵Σ(3a-1)=3(a+b+c)-3=0)
⇔-Σ[(3a-1)^2*(6a+1)/{a^2+(1-a)^2}]≦0

a,b,c> 0よりこれは正しい。
691 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/11(木) 13:39:30 ]: 実数上の任意の確率変数 X と、0以上の実数値が値域の関数f,gに関して
E[ f(X)g(X) ] ≦ E[ f(X) ] E[ g(X) ] が成り立つための関数f,gの条件として
∀x,y f(x)≦f(y) → g(x)≧g(y) が十分条件であると予想しているのですが
証明の仕方がわかりません。お願いします。
692 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/11(木) 14:36:06 ]: >>691
解答PDFを作ってみた。
image02.wiki.livedoor.jp/l/y/loveinequality/48ec20d82641686f.pdf
693 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/11(木) 16:39:46 ]: まさかのpdf、ありがとうございます。
自分の頭で理解できるか不安ですが
じっくり読まさせていただきます。
694 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/11(木) 17:51:33 ]: 定理1のX(Y-E[Y])]≧X(x0)(Y-E[Y]) による
E[X(Y-E[Y])]≧E[X(x0)(Y-E[Y])]=0がコツですね。
どうもありがとうございました。
695 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/18(木) 00:22:39 ]: 数蝉２月号は「不等式の世界」
www.nippyo.co.jp/magazine/maga_susemi.html

不等式ヲタとしては、買わねばなるまいな…
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
696 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/18(木) 00:37:29 ]: >>695
このスレの住民が満足できる内容ならいいね。
参考文献に付け加えられるくらいの内容を気盆濡！
697 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/18(木) 22:53:51 ]: >>588

Q,R を >>589 のようにおくと

(判別式) = 27R^2 - 4(-Q)^3
　= (q-1+2r){4q^2 +(32-4q)r -(11+q)r^2 +2r^3}　　　>>585
　= (q-1+2r){[2q - r(r+4)/4]^2 - (1/16)r(r-8)^3},
∴ r<8 には求める領域はない。

　rを固定したときの q の下限および上限は
　q_min = [r(r+4) - (√r)(r-8)^1.5]/8,
　q_max = min{[r(r+4) + (√r)(r-8)^1.5]/8, 2r-3}
　　　　= [r(r+4) + (√r)(r-8)^1.5]/8　　　　　(8≦r≦9)
　　　　= 2r-3　　　　(r≧9)
　rが大きいほど細く鋭くなる。　　　　（素手で触るな）

　r>9 のとき q < 2r-3 = (1/6)r(r+1) -(1/6)(r-2)(r-9) < (1/6)r(r+1)
　8<r<9 についても同様。
698 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/19(金) 22:34:05 ]: >>588, 684, 697
　8<r<9 のときは、
　r-8 < r/9,
　q < [r(r+4) + (√r)(r-8)^1.5]/8 < [r(r+4) + (1/3)r(r-8)]/8 = (1/6)r(r+1),

-------------------------------------

　(2r-3) - q_min = 8(r-9)/{r^2 -12r +24 +(√r)(r-8)^1.5} → 0　(r→∞)
699 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/24(水) 12:09:03 ]: >>677
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) - 9 = Σ(a-b)^2/ab
6(Σa/(b+c)) - 9 = 3Σ(a-b)^2/((a+c)(b+c))
より
Σ(a-b)^2/ab ≧ 3Σ(a-b)^2/((a+c)(b+c))
(a, b, c∈[1, 2])
を証明すればよい.
ここで,
S[a] = 1/bc - 3/((a+b)(a+c))
S[b] = 1/ca - 3/((b+c)(b+a))
S[c] = 1/ab - 3/((c+a)(c+b))
とおく.
また, a≧b≧c とおいても一般性を失わない。
S[a] = (a^2 + ab + ac - 2bc)/(bc(a+b)(a+c)) ≧ 0
(∵ ab≧bc, ac≧bc)
S[b] = (ab + b^2 + bc - 2ac)/(ca(b+c)(b+a)) ≧ 0
(∵ ab≧ac; a≦2, y, z≧1 より b+c≧a; よって b(b+c)≧ac)
ここで, S[b]+S[a]≧0 は明らかなので, S[b]+S[c]≧0 を証明する.
S[b]+S[c]
= (bc(b+c)^2 + a^2(b^2-4bc+c^2) + a(b^3+c^3))/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
= (bc(b+c)^2 + a^2(b^2-4bc+c^2) + a(b+c)(b^2-bc+c^2))/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
≧ (a^2(bc) + a^2(b^2-4bc+c^2) + a^2(b^2-bc+c^2))/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
= (2a^2 (b-c)^2)/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
≧ 0
よって SOS より ΣS[a](b-c)^2 ≧ 0.
等号成立は a=b=c or b=c=1, a=2 (cyc).
700 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/24(水) 14:12:31 ]: (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
701 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/24(水) 14:30:59 ]: ネ申
702 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/24(水) 15:50:36 ]: 自演乙
703 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/24(水) 16:25:07 ]: このスレで自演とか言ってるやつは新参者
自演は初代スレから恒例だ！
もうねアホガドバナナかと… ( ﾟ∀ﾟ)
704 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/24(水) 16:40:29 ]: 飯島愛死亡だとよ
705 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/24(水) 16:49:15 ]: >>704
死因は何？
706 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/24(水) 16:52:47 ]: 1:春デブリφ ★[sage]
2008/12/24(水) 16:29:31 ID:???0
　元タレント・飯島愛さんが都内のマンションで死亡。

■ソース(日テレニュース24）
www.news24.jp/125696.html
※有志によるキャプチャ画像
tvde.web.infoseek.co.jp/cgi-bin/jlab-dat/s/347618.jpg
■前スレ(1の立った日時　12/24(水) 16:14:24）
mamono.2ch.net/test/read.cgi/newsplus/1230102864/

【訃報】飯島愛さん、東京都内のマンションで死亡★２
mamono.2ch.net/test/read.cgi/newsplus/1230103771/
707 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/24(水) 16:59:52 ]: 　　／　 ≧ ＼
　／　　 _ノ　　＼
　|　　　（ ●）（●）　＜おっと、スレ違いな発言はそこまでだ！
.　|　　　　（__人__）＿＿＿_
　 |　　　　　｀ ⌒／ ─'　'ー＼
.　 |　　　　　／（ ○）　（○）＼
.　ヽ　　　／　　⌒（n_人__）⌒ ＼
　　ヽ　　　|、　　　　（　　ヨ　　　　|
　　　/　　　`ー─－　　厂　　　／
　　　|　　､＿　　__,,／　　　　＼
708 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/25(木) 01:24:11 ]: x,y,n∈N,(1/x)+(1/y)<1/n

max{(1/x)+(1/y)}=(n^2+2n+2)/{(n+1)(n^2+n+1)}
709 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/25(木) 02:06:44 ]: >>708
なん…だと！
710 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/28(日) 08:06:19 ]: >>708
どうやったんだよ
711 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/28(日) 13:22:09 ]: >>678,685
誤解してた、すまない。
三角不等式で十分だった。

>>699 の証明によれば････
bはaとcの間にあるとしても、一般性を失なわない。
　c-a = (c-b) + (b-a) より
(左辺) - (右辺) = S[a](b-c)^2 + S[b](c-a)^2 + S[c](a-b)^2
　　　　　　　　= (S[a]+S[b])(b-c)^2 + 2S[b](c-b)(b-a) + (S[b]+S[c])(a-b)^2,
また　(c-b)(b-a)≧0,
したがって、S[a]+S[b] ≧0, S[b] ≧0, S[b]+S[c] ≧0 を示せばよい。
　S[a] + S[b] = {2(c^2)(a-b)^2 + (a+b-c)[(b+c)a^2 + (c+a)b^2]} / {abc(a+b)(b+c)(c+a)},
　S[b] = {b(a+b+c) -2ac} / {ca(a+b)(b+c)}
　　= {2b^2 -Mm + (c-b)(b-a)} / {ca(a+b)(b+c)}　　(← {M,m}={a,c}, m≦b≦M とした.)
　　= {b(b+m-M) + (b-m)(b+M)^+ (c-b)(b-a)} / {ca(a+b)(b+c)},
　S[b] + S[c] = {2(a^2)(b-c)^2 + (b+c-a)[(c+a)b^2 + (a+b)c^2]} / {abc(a+b)(b+c)(c+a)},
これらが負にならないためには、a+b-c≧0, b+c-a≧0 （三角不等式）があれば十分。
712 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/29(月) 18:19:53 ]: [A.435] の拡張　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　>>341
a,b,c が三角形の３辺をなすとき、　
　(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ 9,
　等号成立は (a,b,c) = (k,k,k), (2k,k,k), (k,2k,k), (k,k,2k) のとき。

そこで >>672 に習って
　b+c-a = a',　c+a-b = b',　a+b-c = c', a+b+c = a'+b'+c' = s,
とおく。上式に
　a = (b'+c')/2 = (s-a')/2,
　b = (c'+a')/2 = (s-b')/2,
　c = (a'+b')/2 = (s-c')/2,
を代入すると･･･

[A.435'] (正準形)
a',b',c' ≧0 のとき
　6 + 2{a'/(b'+c') + b'/(c'+a') + c'/(a'+b')} ≧ 6{(s-a')/(s+a') + (s-b')/(s+b') + (s-c')/(s+c')} ≧ 9.
　ここに s = a'+b'+c'.
　等号成立は (a',b',c') = (k,k,k), (0,2k,2k), (2k,0,2k), (2k,2k,0) のとき。

【系】
a,b,c ≧0 のとき
　(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ 18{(s-a)/(s+a) + (s-b)/(s+b) + (s-c)/(s+c) -1} ≧ 9.

science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/677
713 名前：712 mailto:sage [2008/12/29(月) 18:24:36 ]: 訂正、すまそ。

【系】
a,b,c が三角形の3辺をなすとき
　(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ 18{(s-a)/(s+a) + (s-b)/(s+b) + (s-c)/(s+c) -1} ≧ 9.
714 名前：Shapiro mailto:sage [2009/01/03(土) 19:56:03 ]: >>712
　Sh_3(x,y,z) = x/(y+z) + y/(z+x) + z/(x+y) - 3/2,
とおく。

[A.435']
a',b',c' ≧ 0 のとき
　Sh_3(a',b',c')／Sh_3(b'+c', c'+a', a'+b') ≧ 3,
715 名前：１３２人目の素数さん [2009/01/16(金) 19:05:31 ]: 数セミ2月号出たね
716 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/16(金) 23:11:26 ]: >>715
うちの田舎は入荷数が少ないので予約注文したんだけど、
まだ連絡が来ないぜ… ('A`)
717 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/17(土) 23:53:44 ]: >>598 (593,596)

〔問題〕
abc = d^3,　√3 -1 ≦ d ≦ (1+√3)/2 なる正の実数の組(a,b,c)に対して、次を示せ。
　1/{a(b+1)} + 1/{b(c+1)} + 1/{c(a+1)} ≧ 3/{d(d+1)},

(略証)
　abc = … と来たら a=d･z/y, b=d･x/z, c=d･y/x とおく。（これ定石）
ただし x,y,z >0

　(左辺) - (右辺) = (1/d){y/(dx+z) + z/(dy+x) + x/(dz+y) - 3/(d+1)}
　　= {d(d+1)･S -(3d^2 -d-1)･T1 -d(-d^2 -d+3)･T2 -(d+1)(d-1)^2･(3xyz)} / {d(d+1)(dx+z)(dy+x)(dz+y)},
ここに、S = x^3 + y^3 + z^3,　T1 = yz^2 + zx^2 + xy^2,　T2 = zy^2 + xz^2 + yx^2 とおいた。

・√3 -1 ≦ d < 1.30 のとき
　{(左辺)-(右辺)}d(d+1)(dx+z)(dy+x)(dz+y) = {d(d^2 +2d-2)(S-T1) + d(-d^2 -d+3)(S-T2) + (d+1)(d-1)^2･(T1-3xyz)} ≧ 0,

・0.77 < d ≦ (1+√3)/2 のとき
　{(左辺)-(右辺)}d(d+1)(dx+z)(dy+x)(dz+y) = {(3d^2 -d-1)(S-T1) + (-2d^2 +2d+1)(S-T2) + (d+1)(d-1)^2･(T2-3xyz)} ≧ 0,
718 名前：717 mailto:sage [2009/01/17(土) 23:56:03 ]: >>598

〔補題〕↑ のようにおくとき
　S ≧ T1 ≧ 3xyz,　S ≧ T2 ≧ 3xyz,

(左側)　チェビシェフ不等式から、あるいは
　(y^3 + 2z^3)/3 - yz^2 = (1/3)(y+2z)(y-z)^2 ≧ 0,　　(相加・相乗平均)
これを循環的にたすと S - T1 ≧ 0,
　(2y^3 + z^3)/3 - zy^2 = (1/3)(2y+z)(y-z)^2 ≧ 0,　　(相加・相乗平均)
これを循環的にたすと S - T2 ≧ 0,

(右側)も　相加・相乗平均。
719 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/20(火) 00:55:25 ]: >>2に追加

数学セミナー vol.48 no.2_569，日本評論社，2009年2月号
720 名前：１３２人目の素数さん [2009/01/28(水) 07:31:59 ]: web.mit.edu/~tmildorf/www/Inequalities.pdf
721 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/28(水) 13:41:41 ]: >>720 　　　　ﾊｧﾊｧ　　　∩　　　　　　　　　　　不等式と聞ゐちゃぁ
　　　　　　　　　　　　　　 ( ⌒)＿　　 ∩_ _　　　　　黙っちゃゐられねゑ…
ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!! .＿＿＿　／/,. ノ≧　＼ .i　.,,E）__　　　
　　　　　／ nCr　＼| /　/＼ .／　|/　/ cos ＼　ﾊｧﾊｧ　　　　／/
　　_n 　.|::::＼ .／　　|/　/(●　(● |　ノ＼ .／　|　　　　　　／　/＿＿＿
　（　l　　|::●)　●)　.|　/:::... .ワ ....ノ／(●　(● |　　　　　./ 　／　 Σ　＼
　＼＼ヽ:::::.∀ 　 .ノ　　　　　　／ヽ:::::... .▽....ノ　　n　　 / ∩.|:::: ＼ .／　|
　　　ヽ__￣　　　ノヽ　　　　　 |　￣　　　＼　　（ E） /　.| | |　(●　(●）|＿
　　　　　/ 　　/　　＼　　　　ヽﾌ　　　 / ヽヽ_／／./／ | | ヽ:::::. へ　ノ／
722 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/30(金) 20:57:27 ]: 非等式と不等式の違いはなんですか。
723 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/30(金) 21:43:48 ]: a,b,c＞0, a+b+c=1 のとき
(a+1/b)(b+1/c)(c+1/a)≧(41/5)(a/b+b/c+c/a-3)+1000/27
724 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/05(木) 00:42:33 ]: 他スレで見かけたお。

次の等式を証明せよ。
nHr=Σ[m=1,n]{Σ[l=1,m]…(Σ[j=1,k]j) }
※右辺のΣの数はr-1個

↓例
8H3=Σ[m=1,8](Σ[l=1,m]l)
5H4=Σ[m=1,5]{Σ[l=1,m](Σ[k=1,l]k)}

面白い問題おしえて～な十五問目
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/99
725 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/07(土) 20:47:34 ]: このスレを見てる人は、もれなくそっちも見てると思
726 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/07(土) 23:07:15 ]: >>725
分かってないな～チミ
そんなこと百も承知の助さ～
ここに保存しておけば、後で探すときにどのスレだったか困らないだろ～う
727 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/08(日) 03:05:54 ]: 次の不等式は一見シンプルにみえますが、
左辺は対称式でないせいか、(私には)証明がうまくいかないです。

任意の非負実数a,b,cに対して、次が成立する。
{(a+2b)(b+2c)(c+2a)}^2 ≧ 27(ab+bc+ca)^3

もしよろしければ、どなたかご教授おねがい致します。
728 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/08(日) 04:40:48 ]: s、t、uでズコバコするといいよ
729 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/08(日) 09:00:45 ]: >>727
相加相乗から
(a+a+b)/3 ≧ (a*a*b)^(1/3)
2a+b ≧ 3(a^2b)^(1/3)
以下略
730 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/08(日) 09:01:38 ]: 問題見まちがった
731 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/08(日) 19:32:27 ]: >>727 力づくで解いた

a+b+c=0 のとき題意は明らかなので a+b+c ＞ 0 としてよい
左辺-右辺は同次式なので a+b+c=3 とする
a-1, b-1, c-1 のうち符号が同じ(または片方が 0)のものを
a-1, b-1 としても一般性を失わない
つまり (a-1)(b-1)≧0 とする

a = 1+x, b = 1+y, c = 1-x-y とする
a,b,c≧0 より、 x,y≧-1, x+y≦1　…(1)
(a-1)(b-1)≧0 より、 xy≧0　…(2)
(1)(2) より、 -1≦x,y≦ 1　…(3)

s = x-y, u = x^2+xy+y^2 として
((a+2b)(b+2c)(c+3a))^2 - 27(ab+bc+ca)^3
= 9(3-u){3u(3-u) - 2s(3u-s^2)} + s^2(3u-s^2)^2
(3) より 3-u≧0 なので { } の中が非負になることを言えばよい
3u-s^2 = 2x^2+5xy+2y^2 は (2) より非負
s＜0 のとき { } の中は明らかに非負なので、以降
s ≧ 0　…(4)
とする。また (2)(3) より s ≦ 1 …(5)

t = xy として
{ } の中 = -27t^2 + 9t(3-2s-2s^2) + s^2(9-4s-3s^2)　…(6)
(6) で s を一定と見て t を動かす。t の動く範囲は (2)(3)(4) より
0 ≦ t ≦ 1-s
t^2 の係数が負なので、端点の t = 0, 1-s について (6) が
非負になることを確認すればよい
t = 0 のとき (6) が正なのは (4)(5) より明らか
t = 1-s のとき
(6) = 9(1-s)^2 + s^2(5-3s)
これが正なのは (5) より明らか■
732 名前：731 mailto:sage [2009/02/08(日) 22:58:40 ]: いろいろ間違ってた
× ((a+2b)(b+2c)(c+3a))^2 - 27(ab+bc+ca)^3
○ ((a+2b)(b+2c)(c+2a))^2 - 27(ab+bc+ca)^3

あと、下から1行目と4行目の「正」は「非負」に直しといて

因みに、等号成立の必要条件は
a=b=c ∨ 3-u=0 ∨ s=t=0
なのは議論をたどれば分かる
結局、等号成立条件は
a=b=c か a,b,c のうちふたつ以上が 0 であること
733 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/08(日) 23:03:07 ]: V
734 名前：１３２人目の素数さん [2009/02/09(月) 16:59:31 ]: >>727
x=a+2b, y=b+2c, z=c+2a とおくと、
右辺 = [ (-2/9)(x+y+z)^2 + xy+yz+zx ]^3.

X=[(x^2)/(yz)]^(1/3), Y=[(y^2)/(zx)]^(1/3), Z=[(z^2)/(xy)]^(1/3)
とし、X, Y, Z に関する相加相乗調和平均をそれぞれ A, G(=1), H とすると、
右辺/左辺 = (-2A^2 + 3/H)^3.
735 名前：734 mailto:sage [2009/02/09(月) 20:55:19 ]: とはしてみたものの、もうだめかもわからんね
736 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/09(月) 21:01:40 ]: 5行で証明できたのかと思って一瞬驚愕した
737 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/11(水) 22:32:08 ]: >>734-735
s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u=abc とおくと　　　　　>>728
　(a+2b)(b+2c)(c+2a) = 3st + (a-b)(b-c)(c-a) = 3st + ⊿,
だから↓を示せればいいのだが。。。

〔補題〕
a,b,c≧0 のとき |⊿| ≦ (3t/2s)(s^2 -3t),
ここに、⊿ = (a-b)(b-c)(c-a).
738 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/12(木) 00:57:10 ]: 107 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2009/02/11(水) 21:17:45
自然数nについての不等式
(n^n)/(e^(n-1))≦n!≦(n^(n+1))/(e^(n-1))
を証明せよ。
ただしeはネイピアの数

108 名前：１３２人目の素数さん[sage ] 投稿日：2009/02/11(水) 23:35:25
>>107
n=1 のときは等号成立。
n>1 のときは log(1+x) < x を使う。
　k･log(k) - (k-1)log(k-1) -1 = k･log(k) - (k-1){log(k) - log(k/(k-1))} -1
　= log(k) + (k-1)log(1 + 1/(k-1)) -1 < log(k) +1 -1 = log(k),
　(k+1)log(k) - k･log(k-1) -1 = (k+1)log(k) - k{log(k) + log((k-1)/k)} -1
　= log(k) - k･log(1 - 1/k) -1 > log(k) +1 -1 = log(k),
k=2,3,･･･,n についてたす。
　n･log(n) - (n-1) < log(n!) < (n+1)log(n) - (n-1),
739 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/14(土) 00:12:52 ]: >>737
〔補題〕 a,b,c≧0 のとき |⊿| ≦ (2/√3)(t/s)(s^2 -3t),

(略証)
min(a,b,c) = m とおき、{a,b,c} = {m, m+x, m+x+y} とする。(x,y≧0)
然らば、　|⊿| = xy(x+y),　s = 3m+2x+y,　t = 3m^2 + 2m(2x+y) + x(x+y),　s^2 -3t = x^2 +xy +y^2,
∴　t(s^2 -3t) - ((√3)/2)s|⊿| = 3m^2･(x^2 +xy +y^2) + m･{4x^3 + 3(1-(√3)/2)xy(x+y) +2y^3} + x(x+y){x - ((√3 -1)/2)y}^2 ≧0,
等号成立は m=0 かつ x/y = (√3 -1)/2 のとき。

>>727
　(左辺) - (右辺) = (3st+⊿)^2 - 27t^3 = 9(t^2)(s^2 -3t) +6st⊿ + ⊿^2
　≧ (9-4√3)(t^2)(s^2 -3t) ≧ 0,
740 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/21(土) 03:25:55 ]: 〔問題〕
n は自然数, N = 3n(2n^2 +1) のとき
　{N + (n^2)/N}^2 < (2n＾2 +1)(3n^2 +1)(6n^2 +1) < {N + 1/(6n)}^2,

(略証)
・左側
　(左辺) = N^2 + 2n^2 + {(n^2)/N}^2 < N^2 +2n^2 +1 = N{N + 1/(3n)} = (中辺),
・右側
　(中辺) = N{N +1/(3n)} < ｛N +1/(6n)}^2,

science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1219648297/555
京大入試作問者スレ①
741 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/21(土) 03:52:11 ]: (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
742 名前：１３２人目の素数さん [2009/02/21(土) 18:13:33 ]: 不等式に興味が出たんだけど
とりあえずモノグラフ注文してみたよ
まとめwikiの「よく使う不等式」すらわかんないレベルだけどねorz
群とかわかんないし・・・
743 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/26(木) 13:49:15 ]: >>742
分からないことを自分で調べていけば一生楽しめるぜ
744 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/26(木) 23:01:51 ]: 前スレ49が気になったので注文した…
楽しみだぜ！

(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
745 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/02(月) 17:46:17 ]: ミラーみれなくね？
746 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/03(火) 23:52:29 ]: 【不等式 | 高校数学】
www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/l50
747 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/04(水) 00:07:59 ]: >>745
Yahoo ブリーフケースの有料化に伴い，
cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
に避難しました。
748 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/04(水) 00:23:39 ]: >>746
グッジョブ！
749 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/04(水) 00:32:35 ]: a≧b≧0，c≧d≧0のとき

√（a^2+ab+b^2）+√（c^2+cd+d^2）≧√（a^2+ac+c^2）+√（b^2+bd+d^2）
750 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/04(水) 00:47:23 ]: >>749は今月号の大数の宿題。
ネタバレになるから回答しないように。
751 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/04(水) 01:18:18 ]: >>749
簡単すぎ
752 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/04(水) 01:38:52 ]: >>749
過去に解いたことがある
入試問題かな？
753 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/04(水) 03:06:05 ]: >>749
泥沼にはまった予感
754 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/05(木) 01:59:49 ]: √(x^2)＋√(1－x^2)
の最大値の求め方って何通りありますかね？
755 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/05(木) 02:21:41 ]: 0
756 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/05(木) 17:02:58 ]: 鳥取市の誘致企業リコーマイクロエレクトロニクスにアルバイトに行っていた。
勤務態度不良でリコーのアルバイトをクビ同然で辞めた。

その後、鳥取市のテスコという工場に勤め真面目に働いていた。
「真面目に働いているのはリコーに対する報復（あてつけ？）」という噂でテスコをクビになった。
直後、テスコの社長から雇用保険の書類をとりに来るよう泣きそうな声で電話があった。
噂は嘘だと知ったのだろう。

雇用保険の手続きのため職安に行った。
職安の次長と相談すると、口止めをされた。
職安と会社は連絡を取り合っていたらしい。

しかし噂は狭い鳥取市である程度広がっているようだ。

リコーマイクロエレクトロニクスに電話を掛けた。
「君はうちのような一流企業が組織ぐるみでやったとでも思っているのかね？」
「そんなことはありませんけど」
「じゃあ会社には関係ないじゃないか」

しかし公的機関（職安）も巻き込んだ組織ぐるみの人権侵害の揉み消しである。
757 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/05(木) 21:51:51 ]: (1) 実数xが-1<x<1,x≠0を満たすとき,次の不等式を示せ.

(1-x)^{1-(1/x)}<(1+x)^(1/x)

(2) 次の不等式を示せ.

0.9999^101<0.99<0.9999^100
758 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/05(木) 22:02:25 ]: >>757
なんで命令形なの？むかつくんだけど
759 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/05(木) 22:38:50 ]: >>757-758
今年の東大入試の第５問のコピペだから。
760 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/05(木) 23:20:42 ]: >>758
消えろ！カーッ(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)､ペッ
761 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/06(金) 12:53:46 ]: >>757
これに30分もかけなければ今頃俺は
762 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/07(土) 00:22:41 ]: >>757

(1)　f(x)=log(1-x) は上に凸だから、平均変化率 g(x)={f(x)-f(0)}/(x-0) は単調減少。
　x<0 のとき g(x^2) > g(x),
　x>0 のとき g(x^2) < g(x),
よって
　x･g(x^2) < x･g(x),
　f(x^2)/x < f(x),
　(1/x)log(1-x^2) < log(1-x),
763 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/07(土) 00:43:26 ]: >>757

(1)　f(x)=log(1-x) は上に凸で f(0)=0.
　平均変化率 g(x)={f(x)-f(0)}/(x-0) は単調減少。
　x<0 のとき g(x) > g(x^2),
　x>0 のとき g(x) < g(x^2),
よって
　x･g(x) < x･g(x^2),
　f(x) < f(x^2)/x,
　log(1-x) < (1/x)log(1-x^2),
　1-x < (1-x^2)^(1/x),

(2)　(1-x^2)^{1+(1/x)} < 1-x < (1-x^2)^(1/x),
を示す....
764 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/07(土) 02:06:15 ]: みんな解いた問題って保存してるの？
765 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/07(土) 02:11:03 ]: >>757を改めて試験中の様にエレガントに解いてみせようとしたら間違いに気づいた。
落ちてそうだから死にたい。
766 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/07(土) 08:45:08 ]: >>764
最近は時間がなくてのぉ…
このスレを保存するだけで精一杯さ ('A`)
767 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/07(土) 22:26:28 ]: >>763 (2) の左側

(1) で x→-x として, 1+x = (1-x^2)/(1-x) を使えば出る。
768 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/08(日) 01:00:22 ]: >>754
　f(x) = |x| + √(1-x^2),
とおく。

(1)　f(x)^2 = 1 + √{4x^2･(1-x^2)} = 1 + √{1 - (1-2x^2)^2} ≦ 2,
等号成立は x = ±1/√2 のとき。

(2)　x=cosθ (0≦θ≦π/2) とおく。
　f(x) = cosθ + sinθ = (√2)sin(θ + π/4) ≦ √2,
等号成立は θ=π/4 のとき。
769 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/08(日) 16:10:21 ]: コーシー・シュワルツから
(1*|x|+1*√(1-x)^2)^2≦(1+1)(x^2+(1-x^2))=2
770 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/08(日) 19:05:38 ]: >>757
もし(2)の不等式だけ出たらやっぱ(1)の不等式を示すことに帰着されるんかな
771 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/08(日) 19:57:44 ]: 不等式は嫌いなんだ
772 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/08(日) 23:43:39 ]: >>771
ありえん！？
一度医者に見てもらったほうがいい…
773 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/09(月) 00:02:16 ]: この本に出てくる形の不等式って本当にそのまま論文で出版されてんのか？
他の議論をしているときに「たまたま現れました」っていう不等式や、
もっと洗練されたものの特殊ヴァージョンじゃないのか？
774 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/09(月) 00:15:14 ]: >>773だがさ、蛇足するが、
例えば、(「不等式への招待」)第５章「不等式の作成と証明法」
の例題１の不等式が本当にそのまま論文で出版されているのか、
ということを聞いた訳さ。
ちょっと読みにくかったり曖昧に書かれている箇所がところどころあるんだがな。
775 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/09(月) 22:50:15 ]: >>757 >>763
(2)
　|x| << 1 のとき、マクローリン展開から
　(1 + 1/x)log(1-x^2) = -x -　　 x^2 -O(x^3),
　　　　　　 log(1-x) = -x -(1/2)x^2 -O(x^3),
　　　(1/x)log(1-x^2) = -x 　　　　　-O(x^3),
･･･ぢゃあダメだろうな。
776 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/11(水) 00:00:41 ]: xとyはともに正の実数でx+4y=3のとき、1/x+1/yの最小値は。

1文字消して微分したらできたけど全く愉快じゃないので、
かっこいい解法をお願いします。
777 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/11(水) 00:10:00 ]: (1^(1/2)+4^(1/2))^2<=(x+4y)(1/x+1/y).
778 名前：776 mailto:sage [2009/03/11(水) 00:33:11 ]: はやっ。
(√(ax),√(bx)) と (1/√x,1/√y) にCauchy-schwarzってことですね。
かっこいいす。ありがとう。
779 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/11(水) 21:00:44 ]: モノグラフって調和平均とか重みつきとかないよね
受験ではいらないってことか
他の不等式を学びたい場合はどんな本がいい？
780 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/11(水) 23:00:18 ]: >>779

>>2を読め！
781 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/11(水) 23:28:00 ]: >746のprime_132ってこのスレの住人？
782 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/11(水) 23:34:10 ]: あぁ、だがそれ以上は詮索しないでもらいたい
783 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/13(金) 16:40:42 ]: そろそろ>>749の大数の宿題は〆切？
784 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/13(金) 20:10:07 ]: books.google.com/books?printsec=frontcover&id=1tHgb5oIidcC#PPP1,M1

これいいよ
785 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/13(金) 20:46:55 ]: F(a,b)=√（a^2+ab+b^2）
Fa=(2a+b).5/()^.5=0 a=-.5b
Fb=0 b=-.5a
F(a,b)=(a^2-.5a^2+.25a^2)^.5=(.75)^.5a
a=rcost,b=rsint a>b>0->cost>sint>0
F=r(1+costsint)^.5
786 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/13(金) 23:45:21 ]: >>783
3/15締め切りです。
787 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/14(土) 23:52:56 ]: ある直方体の12辺の長さの和を4L、表面積をS、体積をVとする
（1）L、Sが一定のときVのとりうる値を答えよ
（2）L、Vが一定のときSのとりうる値を答えよ
（3）S、Vが一定のときLのとりうる値を答えよ
788 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/15(日) 00:22:26 ]: >746 から一題･･･

〔問題〕
　0 < x のとき e^x > 3sin(x) を示せ。

www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/19
789 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/15(日) 03:04:09 ]: >>788
グラ…接…
790 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/15(日) 20:34:14 ]: >>749
後四時間で解禁
791 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/15(日) 20:56:47 ]: >>749 は問題としては簡単だが，何がしか背景があるのだろう
792 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/15(日) 20:57:41 ]: 120°
793 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/15(日) 23:03:12 ]: >746 からもう一題･･･（外出だったらスマソ）

〔出題87〕
正数列 a[n] >0 の初項から第n項までの総和を S[n] とおく:
　S[n] = Σ[k=1,n] a[k].
このとき，
　{a[1]/S[n+1]}^(1/n) + ∑[m=1,n+1] {a[m]/(n･S[m])} ≦ 1 + (1/n),

www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/87, 121
794 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/16(月) 00:04:47 ]: 〆切あげ
795 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 00:22:04 ]: >746 から･･･

〔出題95〕
x, yを正の実数とし, x,yの調和平均, 相乗平均, 相加平均, 2乗平均をそれぞれH, G, A, Q とおく.
すなわち,
　H = 2xy/(x+y),　G = √(xy),　A = (x+y)/2,　Q = √{(x^2+y^2)/2}
とおく.
(1)　H ≦ G ≦ A ≦ Q を示せ.
(2)　G-H ≦ Q-A ≦ A-G を示せ。

--------------------------------------------
H,G,A は等比数列だから
　(A+H)/2 ≧ √(AH) = G,
　G-H ≦ A-G,
また G^2, A^2, Q^2 は等差数列で、公差は
　⊿ = Q^2 - A^2 = A^2 - G^2 = (1/4)(x-y)^2 ≧ 0,
　(Q+A)(Q-A) = (A+G)(A-G)　　　　　････ (*)
よって
　G ≦ A ≦ Q,
　Q+A ≧ A+G,
これで (*) を割ると
　Q-A ≦ A-G,
あとは
　G-H ≦ Q-A,
を示せれば･･･
　G^2 - H^2 = (H/G)^2･⊿ = (G/A)^2･⊿ = (H/A)･⊿,

www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/95, 100
796 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/16(月) 01:18:31 ]: 今年の東北大入試問題から

a+b≧cであるとき
a^3+b^3+3abc≧c^3
797 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 01:53:36 ]: それは易しすぎるだろ・・・
湘南工科大レベル
798 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 01:59:18 ]: >>796
3乗の因数分解の公式そのもの。
レベル０
高校入学時の始業式の翌日にやる試験レベル
799 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 02:00:00 ]: ｃ＝０。
ｄ＝０。

ｂ＝０。
ｄ＝０。
800 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 02:55:19 ]: >>796
これはひどい
こんなのが出るのが今の入試は
801 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 02:57:01 ]: もしかして文系学部の問題？
802 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/16(月) 03:12:29 ]: 理系だね、（１）もあったね
www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/recent/tohoku/zenki/sugaku_ri/mon1.html
803 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 03:33:06 ]: >>802
ガセネタかと思ったら、マジかよ！
オ㍗ル
804 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 04:01:21 ]: おまえら不等式には厳しいなｗ
805 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/16(月) 04:02:27 ]: >>797 >>798 >>800 >>801 >>803
勘違いしてないか？そこまで簡単じゃないよ。
806 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 04:08:35 ]: >>805
アー、アー、キコエマスカー？
どの辺が難しいのかな？

因数分解の公式かな？
それともその後の平方完成の仕方かな？
807 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/16(月) 04:10:09 ]: >>796
ウソだろ・・・高1の1学期の中間レベルだと・・・？
808 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 04:10:12 ]: >>805
Ｆランのお前には難しいのだろう
国立行けるレベルの理系には簡単すぎるよ
809 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 04:14:48 ]: 講評では難易度は標準って書かれてるんだけどな
810 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 04:16:33 ]: ゆとり的には標準なんじゃないか
811 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 04:20:19 ]: >>809
そのとおり。
言うほど簡単じゃない。模範解答見ればやさしいけどね。
問い１としての難易度は適切だと思う。
良問かどうかはわかりかねるが、東北大の入試の倍率が３倍だとすると、
この問い１で受験生のうち下３分の１くらいは落とせるんじゃないかな。
812 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 04:25:08 ]: >>811
どこが難しいのかｋｗｓｋ
813 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 04:25:12 ]: まず、下１０％くらいは、
a+b>=c　＜＝＞　a^3+b^3+3ab(a+b)>=c^3
として、a+bをｃで置き換えて証明終わり
とする（東北大入試の）受験生はでてくる。
　そういった論理性の欠ける人を落とすのがひとつの目的だと推測
814 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 04:27:21 ]: >>813
え？
815 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 04:30:04 ]: （１）は=だから、>>813のとおりにやって良いんだけど、
（２）は不等号だから、だめ。
講評では（１）がヒントになる、と書いてあるけれど、かえって（１）の
おかげで間違える人も１０％（いいすぎか５％）はいると思う。
816 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 04:32:04 ]: だからいくらなんでも
>>798
>3乗の因数分解の公式そのもの。
>レベル０
>高校入学時の始業式の翌日にやる試験レベル
は言いすぎだろ。
817 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 04:34:27 ]: >>816
え？高1はじめの中間に出るレベルだけど？
818 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 04:40:21 ]: その入試問題１－６全部みるとわかるけど、問題１以外は証明問題は
問題５（１）だけで、あとは、値を求めさせる問題。
問題１は、証明がちゃんと書けるか、を見るのがねらいなんじゃないの？
問題１がなかったら、論証がいいかげんで答えを見つけるのが得意な
人だけが入ってきちゃう。
　それに、数学科志望生だけが受けるレベルじゃないからね。

>>817
でも、中間テストでみんなが満点なわけじゃないと思うよ。
しかも公式を習った直後で範囲が狭まっている時に出題すれば
得点率上がるのは当たり前。
君は高１か？予備校の模試受けたら（できれば東北大限定模試）、
各問題の平均点見てみ。
そんなに高くないよ。制限時間内ではね。
問題１としては適当。（６題全部がこれだったらやさしいけどね。）
819 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 04:42:16 ]: >>817
君の学校は、始業式の翌日に中間テストをやるのか？
820 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 04:48:50 ]: >>818
そうだね
ごめん
821 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 04:54:54 ]: 今年東北落ちた人か？
河合は標準、駿台はやや易だった
822 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 05:01:08 ]: >>821
＞今年東北落ちた人か？
落ちてない。落ちるほどの学力なら、あぁ、俺には難しいけど、
受かった人にとっては簡単なのかも、、と思って難易度は断定できない。

＞河合は標準、駿台はやや易だった

そうだろ、標準か、やや易、だろ。そんなもんだ。
びっくりするほど易しすぎはしない。入試問題として。
823 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 07:56:31 ]: >>819
>>817のどこに始業式の翌日にやるってかいてあるんだよ
824 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 07:59:47 ]: >>811
真剣な話、どこが難しいのかな？

>>819
入学式の翌日に実力テストをやりましたが何か？
範囲は２次関数の終わりまで。
825 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 08:06:16 ]: そろそろどこか他のところでやってくれ。
826 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 08:40:09 ]: >>811は解けなかっただけだろ
827 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 09:17:11 ]: 件の人はa^3 + b^3 + c^3 - 3abcの因数分解の公式知らんのかね。

つうかこのスレは大学入試問題レベルの簡単な問題を
扱うような感じじゃないと思うけど。
828 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 09:21:55 ]: 少なくともこのスレ的には対称式に対する標準的な処方箋で解ける問題．
因数分解の公式なんて忘れても，基本対称式で書こうとするだけでいい．
829 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 19:32:17 ]: >>749の正しい問題文は何だろう
830 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 22:31:37 ]: >>795
　G-H ≦ Q-A　を示そう。
　(A-H) = (A^2 -G^2)/A = (Q^2 -G^2)/(2A) = (Q-G){(Q+G)/(2A)},
　(Q-A) - (G-H) = (Q-G) - (A-H) = (Q-G){1-(Q+G)/(2A)} = {(Q-G)/(2A)}{(A-G)-(Q-A)}　･･････ (**)
∴　Q-A は G-H と A-G の間にある(G-H寄り)。

**)　右辺の係数は 0 < (Q-G)/(2A) ≦ (Q+G)/(2A) < 1,

よって
(3)　(Q-A)-(G-H) ≦ (A-G)-(Q-A),

〔問題〕
　3変数(x,y,z) のときは (1) のみが成り立つことを示せ。
831 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/16(月) 23:39:12 ]: 東大入試数学過去問
hwm5.gyao.ne.jp/yonemura/t_archives.html

京大入試数学過去問
hwm5.gyao.ne.jp/yonemura/archives.html

大学入試数学過去問
www.densu.jp/

いくつかは不等式の問題拾えるんじゃない？
832 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 23:49:27 ]: そんなもん見るよりジャーナル見るほうが有意義だ
833 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/17(火) 00:00:13 ]: >>830

(1)
　H = 3/(1/x + 1/y + 1/z),　G = (xyz)^(1/3),　A = (x+y+z)/3,　Q = √{(x^2 + y^2 + z^2)/3}, 　
　Q^2 - A^2 = (x^2 +y^2 +z^2)/3 - (1/9)(x+y+z)^2 = (1/9){(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2} ≧ 0,
　A^3 - G^3 = {(x+y+z)/3}^3 -xyz = {(x+y+7z)/2}(x-y)^2 + {(7x+y+z)/2}(y-z)^2 + {(x+7y+z)/2}(z-x)^2 ≧ 0,
　(1/H)^3 - (1/G)^3 = {[(1/x)+(1/y)+(1/z)]/3}^3 - 1/(xyz) = {(x'+y'+z')/3}^3 - x'y'z' ≧ 0,
∴　H ≦ G ≦ A ≦ Q,

(2) y=z=1 の場合を考えると
　H = 3x/(1+2x),　G = x^(1/3),　A = (2+x)/3,　Q = √{(2+x^2)/3},
　x<1 のとき　G-H > A-G > Q-A,
　x>1 のとき　G-H < A-G < Q-A,
834 名前：830 mailto:sage [2009/03/17(火) 00:05:05 ]: >>833
GJ!!

されど、3変数のときはQよりも
　T = {(x^3+y^3+z^3)/3}^(1/3),
使った方が良くね？
835 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/17(火) 23:05:37 ]: >>830, 833

(2) y=z=1 の場合は････
　0 < x < 0.00415949095310635… のとき、　　　　　　G-H < Q-A < A-G,
　0.00415949095310635… < x < 0.15064425… のとき,　Q-A < G-H < A-G,
　0.15064425… < x < 1 のとき,　　　　　　　　　　　Q-A < A-G < G-H,
　1 < x < 9.33372455･･･のとき、　　　　　　　　　　G-H < Q-A < A-G,
　9.33372455･･･ < x のとき、　　　　　　　　　　　　G-H < A-G < Q-A,
と成増とんねるず。

但し、区間の端点は
0.15064425142615432931841204604911････ = 1/{2cos(π/9)}^3,　x + 3･x^(2/3) -1 =0 の根。
9.3337245536744706772511885807731････ = {(2√3)cos([π-arccos(25/27)]/6) - 1}^3,　x + 3･x^(2/3) -6･x^(1/3) -10 =0 の根。
836 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/17(火) 23:15:33 ]: a≧b≧0，c≧d≧0のとき

√（a^2+ab+b^2）+√（c^2+cd+d^2）≧√（a^2+ac+c^2）+√（b^2+bd+d^2）
837 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/18(水) 03:27:30 ]: a,b,cを実数とする
a+b+c=0のとき
（|a|+|b|+|c|)^2≧2（a^2+b^2+c^2)
838 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/18(水) 16:53:54 ]: 2(a^2+b^2+c^2) = (a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)
=(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)
≦(a^2+b^2+c^2)+2(|ab|+|bc|+|ca|) = (|a|+|b|+|c|)^2
839 名前：835 mailto:sage [2009/03/18(水) 22:01:22 ]: >>830, >>833,

　0.00415949095310635… は x^3 +3x^(8/3) +3x^(7/3) +(9/2)x^2 +3x^(5/3) +3x^(4/3) +(39/8)x +(33/8)x^(2/3) + (3/4)x^(1/3) -(1/4) =0　の根。
840 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/19(木) 16:04:37 ]: >>836
チェビシェフの不等式
841 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/19(木) 22:36:19 ]: >>836
三角不等式
842 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/19(木) 23:37:37 ]: >>749 >>799 >>829 >>836
a=1,b=1,c=0,d=0.
√（3）≧2.
843 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/20(金) 00:22:31 ]: a≧b≧0，c≧d≧0のとき

√（a^2+ad+d^2）+√（b^2+bc+c^2）≧√（a^2+ac+c^2）+√（b^2+bd+d^2）

じゃね？
844 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/20(金) 01:39:13 ]: >>843
bingo!
845 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/22(日) 07:14:22 ]: >>843

∠UOV = 120ﾟなる半直線 OU,OV を考える。 >>792
OU上に OA=a, OB=b なる点A,B をとる。
OV上に OC=c, OD=d なる点C,D をとる。

題意により、2つの線分AD, BC は交わるから、交点を X とする。2つの線分AC, BD は交わらない。
　(左辺) = AD + BC = (AX + XD) + （BX +XC) = (AX + XC) + (BX + XD) ≧ AC + BD = (右辺).

[初代スレ.068, 071] の類題ぢゃね？
846 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/25(水) 01:42:40 ]: (；´д｀) ﾊｧﾊｧできそうなネタ満載
www.math.ust.hk/excalibur/v13_n4.pdf
www.math.ust.hk/excalibur/v13_n5.pdf
847 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/28(土) 00:40:44 ]: >>846

Problem 1.
a,b,c は正の実数で、a+b+c=1 を満たすとき
　a^(1-a) * b^(1-b) * c^(1-c) ≦ 1/9,

　Austrian M.O. 2008, Final round (part 2)

Problem 312.
　a,b,c を正の実数とするき
(a+1)^4 /(b^2) + (b+1)^4 /(c^2) + (c+1)^4 /(a^2) ≧ 48,

Problem 316.
　n>6 のとき, 凸ｎ角形Ａ0Ａ1……Ａn に対して適当な i≠j が存在して
　　|cos(∠Ａi) －cos(∠Ａj)| < 1/{2(n-6)},
848 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/28(土) 00:59:42 ]: >>847

Solution 1.
　f(x) = (1-x)log(x),　とおくと
　f "(x) = -(1+x)/(x^2) < 0,
∴ y=f(x) は上に凸。
∴　log(左辺) = f(a) + f(b) + f(c) ≦ 3f((a+b+c)/3) = 3f(1/3) = 2log(1/3) = log(1/9) = log(右辺),

Solution 312.
相加相乗平均２回
　(a+1)^2 = (a-1)^2 + 4a ≧ 4a, etc.
　(左辺) ≧ 16{(a/b)^2 + (b/c)^2 + (c/a)^2}
　　= 16{(aac)^2 + (bba)^2 + (ccb)^2}/(abc)^2
　　= 48 + {(aac)^2 + (bba)^2 + (ccb)^2 -3(abc)^2}/(abc)^2
　　= 48 + (X^3 + Y^3 + Z^3 -3XYZ)/(abc)^2
　　≧ 48 = (右辺).
ここに X=(AAC)^(2/3), Y=(BBA)^(2/3), Z=(CCB)^(2/3),
　X^3 +Y^3 +Z^3 -3XYZ = (1/2)(X+Y+Z){(X-Y)^2 +(Y-Z)^2 +(Z-X)^2} ≧ 0,
849 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/29(日) 01:26:28 ]: >>847

Solution 316.
外角 π-A_i の和は2πである:
　(π-A_1) + (π-A_2) + …… + (π-A_n) = 2π,
n>k とする。
π-A_i > 2π/k となる A_i は k-1 個以下。
残りの n-k+1 個以上については　0 <π-A_i ≦ 2π/k,
　-1 < cos(A_i) ≦ - cos(2π/k),
ディリクレの引き出し論法（鳩ノ巣原理）により、
　| cos(A_i) - cos(A_j) | < {1 - cos(2π/k)}/(n-k),
本問では k=6.

〔蛇足〕
nを固定すると、k ≒ 2n/3 の辺りで最小になると･･･
　(右辺) < (2π^2)/{(n-k)k^2} < (27/2)π^2 / n^3,
850 名前：849 mailto:sage [2009/04/05(日) 19:45:07 ]: ↑は
www.math.ust.hk/excalibur/v14_n1.pdf
のp.3に出てた。orz
しかたないので一題･･･

Problem 2.
Let a_1 ～ a_5 be real numbers satisfying the following equations:
　a_1/(1+k^2) + a_2/(2+k^2) + a_3/(3+k^2) + a_4/(4+k^2) + a_5/(5+k^2),
for k=1～5.　Find the value of
　a_1/37 + a_2/38 + a_3/39 + a_4/40 + a_5/41,
　(Express the value in a single fraction.)
851 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/05(日) 19:51:15 ]: >>850
結果だけ並べると･･･

　a_1 =　1105/72,
　a_2 = -2673/40,
　a_3 =　1862/15,
　a_4 = -1885/18,
　a_5 =　1323/40,
より
　b_6 =　187465/(3*37*38*39*41)　　　　≒ 1.00061649483987･･･ / 36,
　b_7 =　　1197/(5*13*17*53) 　　　　　≒ 1.00150260394436･･･ / 49,
　b_8 =　 85345/(16*13*17*23*67) 　　　≒ 1.00240485551780･･･ / 64,
　b_9 =　277289/(9*17*41*43*83)　　　　≒ 1.00321917612728･･･ / 81,
　b_10=12117378/(3*25*7*13*17*101*103) ≒ 1.00391855290609･･･ / 100,
　b_0 = 13489 / 3600 ≒ 3.74694444444444･･･
ここに b_k =　a_1/(1+k^2) + a_2/(2+k^2) + a_3/(3+k^2) + a_4/84+k^2) + a_5/(5+k^2),
852 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/05(日) 23:12:36 ]: 不等式ﾊﾞﾝｼﾞｬｲ！
853 名前：850 mailto:sage [2009/04/07(火) 21:04:51 ]: スレ違いだったか･････　　---> 線形代数/線型代数スレ
ぢゃあもう一題

〔問題322'〕
Let a,b,c be positive real numbers satisfying the condition a+b+c=s.　
Prove that
　(a^2)(3b+s)/(as+bs+3ab) + (b^2)(3c+s)/(bs+cs+3bc) + (c^2)(3a+s)/(cs+as+3ca) ≧ 2,
854 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/07(火) 23:31:17 ]: >>853
忙しいので、とりあえずﾊｧﾊｧしておく！
(；´ρ｀) ﾊｧﾊｧ…
855 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [2009/04/08(水) 00:00:00 ]: 　ａ（１）／（ｘ＋１）＋ａ（２）／（ｘ＋２）＋ａ（３）／（ｘ＋３）＋ａ（４）／（ｘ＋４）＋ａ（５）／（ｘ＋５）－１／ｘ
＝（ｘ－１）（ｘ－４）（ｘ－９）（ｘ－１６）（ｘ－２５）／１２０ｘ（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋３）（ｘ＋４）（ｘ＋５）。
856 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/08(水) 00:09:21 ]: >>855
？
857 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/08(水) 01:16:17 ]: >>853
a=b=c=1/2とかで不等式が成立しない気が
858 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/08(水) 23:41:08 ]: >>857
　スマン。↓に訂正。

　(a^2)(3b+s)/(as+bs+3ab) + (b^2)(3c+s)/(bs+cs+3bc) + (c^2)(3a+s)/(cs+as+3ca) ≧ (2/3)ｓ,
859 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/09(木) 19:57:31 ]: >>686 2)

　(pa-qb)/(a-b) =X,　(pb-qc)/(b-c) =Y,　(pc-qa)/(c-a) =Z,
とおくと、
　X^2 + Y^2 + Z^2 = p^2 + q^2 + (X+Y+Z-p-q)^2 ≧ p^2 + q^2,

本問では p=4, q=3,
860 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/09(木) 21:05:57 ]: >>858
(左辺)={a-abs/(as+bs+3ab)}+{b-bcs/(bs+cs+3bc)}+{c-cas/(cs+as+3ca)}
　　　 ≧{a-(b+a+s/3)/9}+{b-(c+b+s/3)/9}+{c-(a+c+s/3)/9}　　(-調和≧-相加)
　　　　=(2/3)s
861 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/10(金) 16:55:30 ]: >>686 1)
a≧b≧c,x≧y≧z,X≧Y≧Zのとき
a/(y+Z)+b/(z+X)+c/(x+Y)≧a/(x+X)+b/(y+Y)+c/(z+Z)
が成り立てば示せるが…
成り立つ？
862 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/11(土) 16:35:09 ]: >>686 2), >>859 の略証･･･

　X = {p+q+(p-q)x}/2,　Y = {p+q+(p-q)y}/2,　Z = {p+q+(p-q)z}/2,
とおくと
　X^2 + Y^2 + Z^2 = (X+Y+Z)^2 -2(XY+YZ+ZX)
　　= (X+Y+Z-p-q)^2 -(p+q)^2 +2(p+q)(X+Y+Z) -2(XY+YZ+ZX)
　　= (X+Y+Z-p-q)^2 -(p+q)^2 +3(p+q)^2 -(3/2)(p+q)^2 -(1/2)(p-q)^2･(xy+yz+zx)
　　= p^2 + q^2 + (X+Y+Z-p-q)^2 -(1/2)(p-q)^2･(xy+yz+zx+1),
ところで、題意から
　x = (a+b)(a-b),　y = (b+c)/(b-c),　z = (c+a)/(c-a),
∴　xy + yz + zx + 1 = 0,
863 名前：１３２人目の素数さん [2009/04/16(木) 01:49:31 ]: 問題投下
３辺がa,b,cの三角形の面積と３辺が1/a,1/b,1/cの三角形の面積の積が3/16を超えないことを示せ

ヘロンでどぞー
864 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/16(木) 02:05:16 ]: キタコレ！
865 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/18(土) 10:54:55 ]: >>863
　⊿ = (1/2)ab･sin(C) = (1/2)bc･sin(A) = (1/2)ca･sin(B),
でも解けるお。
　⊿ = (1/2)(abc)^(2/3)･{sin(A)sin(B)sin(C)}^(1/3)
　　　≦ (1/2)(abc)^(2/3)･{sin(A)+sin(B)+sin(C)}/3　　(相加･相乗平均)
　　　≦ (1/2)(abc)^(2/3)･sin((A+B+C)/3)　　　　　　　(0～πで上に凸)
　　　=　(1/2)(abc)^(2/3)･sin(π/3)
　　　=　(√3)/4･(abc)^(2/3), 　　　　(等号成立はA=B=C(正三角形)のとき.)
　⊿ '≦ (√3)/4･(1/abc)^(2/3),
辺々掛ける。
866 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/18(土) 11:52:00 ]: >>863
せっかくのヒントなのでヘロンで･････

本問では、 (a+b+c)/2 =s とおく。
　(s-a) + (s-b) + (s-c) = s,
　⊿ = √{s(s-a)(s-b)(s-c)}
　　≦ √{s(s/3)^3} 　　　　　　(相加･相乗平均)
　　= (1/√27)s^2
　　= (√3)/4･{(a+b+c)/3}^2
　　≦ (√3)/4･(abc)^(2/3),　　　(相加･相乗平均)
　⊿ '≦ (√3)/4･(1/abc)^(2/3),
辺々掛ける。
867 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/18(土) 11:54:39 ]: >>866 はまちがい。
　無視してください。
868 名前：１３２人目の素数さん [2009/04/18(土) 11:55:55 ]: 無視しません！
869 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/18(土) 13:48:39 ]: 黙殺する
870 名前：866 mailto:sage [2009/04/18(土) 23:39:33 ]: >>863
せっかくのヒントなのでヘロンで･････

本問では、 (a+b+c)/2 =s とおく。また
　(s-a) + (s-b) + (s-c) = s,
　(s-a)(s-b) + (s-b)(s-c) + (s-c)(s-a) = t,
　(s-a)(s-b)(s-c) = u,
とおく。
　⊿ = √(su)
　　= {s･(√su)･u}^(1/3)
　　≦ {(1/√3)st･u}^(1/3)　　　　　　　(3su≦t^2)
　　≦ (√3)/4･(st-u)^(2/3)　　　　　　(*)
　　= (√3)/4･(abc)^(2/3),

※ st-u ≧ (8/9)st ≧ 8u　より
　st≦(9/8)(st-u),　u≦(1/8)(st-u),
871 名前：１３２人目の素数さん [2009/04/22(水) 19:51:53 ]: n：自然数とする。

(1) 2数 x、y の和、積を考え
　x+y=p、xy=q この p、q が共に整数ならば
　x^n + y^n は整数であることを証明せよ。

(2) x>0、y>0 のとき
　( (x+y)/2 )^n ≦ (x^n + y^n )/2 であることを証明せよ。　
872 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/22(水) 20:57:26 ]: >>871
馬鹿か？
873 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/22(水) 22:15:48 ]: >>861

〔命題〕
a,b,c >0, x,y,z >0 のとき
　f(x,y,z) = a/(b+cx) + b/(c+ay) + c/(a+bz) - 9/(x+y+z+3) ≧0,
が成り立てば示せるが…
成り立つ？

　f(0,0,0) = (a/b) + (b/c) + (c/a) -3 ≧0,
　x,y,z のいずれかが∞となるとき、(右辺) → 0 で成立。
f(,,)に極値があるとすれば
　∂f/∂x = -ca/(b+cx)^2 + 9/(x+y+z+3)^2 =0,
　∂f/∂y = -ab/(c+ay)^2 + 9/(x+y+z+3)^2 =0,
　∂f/∂z = -bc/(a+bz)^2 + 9/(x+y+z+3)^2 =0,
b+cx >0, c+ay >0, a+bz >0, x+y+z+3 >0 から
　a/(b+cx) = 3{√(a/c)}／(x+y+z+3),
　b/(c+ay) = 3{√(b/a)}／(x+y+z+3),
　c/(a+bz) = 3{√(c/b)}／(x+y+z+3),
に限る。この点でf(,,)が極大なら　　　　　　　　　(←これが問題だが････)
　f(x,y,z) ≧ 3{√(a/c) + √(b/a) + √(c/b) -3}／(x+y+z+3) ≧0,
874 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/22(水) 23:47:37 ]: >>872
馬鹿か？
875 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/23(木) 08:55:27 ]: ( ﾟ∀ﾟ)＜荒らしイクナイ！
876 名前：１３２人目の素数さん [2009/04/23(木) 09:10:06 ]: こんなスレがあったとは！！最近不等式に興味持ち出していろいろやってます。

ところSOS不等式って何ですか？
877 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/23(木) 10:24:04 ]: >>876
sum of squares inequality: Σa_k^2 ≧ 0

「任意の非負有理式は有理式の自乗和で書ける」というArtinの結果があるので，
有理式≧0 は，左辺を記述する有理式の自乗和を構成する方法で必ず証明できる．
（もちろん，それを見つけるのが簡単とか難しいとかはあるけれど）
878 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/23(木) 13:53:03 ]: マジ？
SOS不等式ってもは初めて聞いたし、877の解説が面白くて、ネタに見えて仕方がないんだけど…
879 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/23(木) 15:32:04 ]: >>878
SOS不等式と呼ばれている不等式が何種類かあって紛らわしいから，
普通は前後の脈絡無しに「SOS不等式」って言うことはないんだけど，
最近最適化の専門家の間で >>877 の「SOS不等式」が盛んに研究されてて，
個人的にも今その辺がホットだから，勢いで書いちゃった．

数学的な内容としては >>877 の結果は正しくて，
特にここ10年くらいで，この方法を使った多項式の最小値を計算する
アルゴリズムが実用的になってきてる．

興味があるなら，古典的な話題はHilbertの第17問題で調べるとよくて，
最近は Pablo A. Parrilo って人が活発にやってる．
880 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/24(金) 00:09:49 ]: >>879
勉強になりますた！
881 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/07(木) 21:53:59 ]: 〔問題857〕
xが自然数のとき
　3^(x-1) ≧ LCM(1,2,3,････,x) ≧ 2^(x-1),

science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1220115988/857
東大入試作問者スレ１６
882 名前：１３２人目の素数さん [2009/05/08(金) 03:29:09 ]: 質問です。
一応、有名不等式(Weighted AM-GM,Cauchy-schwartz,Holder,Rearrangement,
Jensen,Muirhead,Schur,etc...)などについての知識やその証明は理解したのですが
実際に問題に取り組む時に「どんな場合にどの有名不等式を用いるべきか」が見えてきません。
不等式が得意な方々の解法などを眺めていても妙に突拍子なアイディアにしか見えないんです。

数多くの問題に当たってるうちにこういう直観的なものは磨かれどれをいつ適用するかなど
見えてくるものなんでしょうか？
883 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/08(金) 03:44:16 ]: >>882
そうです！
甘ったれないで下さい！
884 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/09(土) 19:20:05 ]: >>882
職人芸修行　　文献を大量に勉強してどの方法はどこで使うか博覧強記
イメージ戦略　解きたい問題が解けると信じる直観的理由と同じ意味の不等式を利用
試行錯誤　　　各場面毎に片端から使って出てくる不等式をノートに蓄積
他にもあるが時間が無くなったので
885 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/09(土) 23:26:18 ]: >>882
とりあえず、片っ端から不等式とその証明（別解も全て）をコレクションし、Texでまとめるんだ！
886 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/09(土) 23:31:21 ]: >>881
休憩が終わったら、他スレの不等式をここに貼る作業に戻るんだ！

>>882
休憩が終わったら、刺身の上にタンポポを乗せる仕事に戻るんだ！

>>884
休憩が終わったら、不等式を証明する作業に戻るんだ！

>>885
休憩が終わったら、不等式まとめサイトを更新する作業に戻るんだ！

>>886
休憩が終わったら、不等式を収集する作業に戻るんだ！
887 名前：１３２人目の素数さん [2009/05/10(日) 03:49:35 ]: >>876
SOS を具体的に用いて解いた解法は >>699 にありますよ。

簡単に言ってしまえば SOS ineq は
それぞれ S[a], S[b], S[c] は a, b, c の関数とし,
S = f(a, b, c) = S[a](b-c)^2 + S[b](c-a)^2 + S[c](a-b)^2
とおいたとき, S≧0 を証明するために使われる手法です。

>>887, >>889 で言われているものも SOS ineq ですが, >>876 さんが知りたいのはこういう類の方の ineq ですよね？
888 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/10(日) 21:46:04 ]: 〔問題〕
　a,b,c,p,q >0, 1/2 ≦ p/q ≦ 2 のとき
　a/(pb+qc) + b/(pc+qa) + c/(pa+qb) ≧ (p+q)^2 (a+b+c)^3 /{9(pb+qc)(pc+qa)(pa+qb)}
　　　≧ (1/3)(a+b+c){1/(pb+qc) + 1/(pc+qa) + 1/(pa+qb)}
　　　≧ 3/(p+q),
　　　(Shapiro不等式の一拡張)
889 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/10(日) 21:59:17 ]: >>888
見かけほど難しくない(?)

左側:
　a/(pb+qc) + b/(pc+qa) + c/(pa+qb) - (p+q)^2 (a+b+c)^3 /{9(pb+qc)(pc+qa)(pa+qb)}
　= {(2p-q)(2q-p)F_1 + (p+q)(2p-q)G + (p+q)(2q-p)H}/{9(pb+qc)(pc+qa)(pa+qb)} ≧ 0,
ここに
　F_1 = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) = s^3 -4st +9u ≧ 0,
　G = F_1 + (st-9u+3⊿)/2 = a(a-b)^2 + b(b-c)^2 + c(c-a)^2 ≧ 0,
　H = F_1 + (st-9u-3⊿)/2 = a(a-c)^2 + b(b-a)^2 + c(c-b)^2 ≧ 0,
ここに
　s = a+b+c,　t = ab+bc+ca,　u = abc,　基本対称式
　⊿ = (a-b)(b-c)(c-a),　差積

中央と右側:
　pb+qc = x,　pc+qa = y,　pa+qb = z,　とおく。
　a+b+c = (x+y+z)/(p+q),
よって相加･調和平均より
　(x+y+z)^3 /(9xyz) = (x+y+z){F_0 + 3(xy+yz+zx)}/(9xyz) ≧ (1/3)(x+y+z)(1/x + 1/y + 1/z) ≧ 3,
これを (p+q) で割る。ここに
　F_0 = (x-y)(x-z) + (y-z)(y-x) + (z-x)(z-y)
　　= (x^2 + y^2 + z^2) - (xy+yz+zx)
　　= (1/2){(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2} ≧ 0,
890 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/11(月) 20:17:25 ]: nを正の整数とする。
(n+2)角形A1A2……AnA(n+1)A(n+2)について、面積をS
正整数kに対して辺AkA(k+1)の長さをx(k)とする。
このとき
∑[k=1_n] {(k^2-k+1)*(x(k))^2} + n*x(n+1)^2 ≧4S
を示せ。
891 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/11(月) 20:28:43 ]: 〔問題895〕
正の実数a,b,cに対して不等式

　a／{(s/3)+2b} + b／{(s/3)+2c} + c／{(s/3)+2a} ≧ 1,

が成立することを示せ。ただし、s = a+b+c.

science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1220115988/895
東大入試作問者スレ１６

　a/{(s/3) +2b} = a/{s +2(b -s/3)} ≧ a{s -2(b -s/3)}/(s^2) = a(5s-6b)/(3s^2),
巡回的にたす。
　(左辺) ≧ {5s^2 -6(ab+bc+ca)}/(3s^2) = (3s^2 +2F_0)/(3s^2) ≧ 1,
ここに
　F_0 = s^2 - 3(ab+bc+ca) = (a-b)(a-c) + (b-c)(b-a) + (c-a)(c-b) = (1/2){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} ≧ 0,
892 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/11(月) 22:56:21 ]: >>886
つ problem.322
ttp://www.math.ust.hk/excalibur/v14_n1.pdf
893 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/12(火) 02:26:44 ]: >>891

　ab+bc+ca ≦ (1/3)s^2,
　f(x) = 1/{(s/3)+2x} は単調減少かつ下に凸。
　(左辺) = a･f(b) + b･f(c) + c･f(a) ≧ s･f((ab+bc+ca)/s) ≧ s･f(s/3) = 1,
894 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/12(火) 02:34:51 ]: パネェっす
895 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/13(水) 03:26:07 ]: nを正の整数とする。
(n+2)角形 A1A2……AnA(n+1)A(n+2) について、面積をS,
正整数kに対して、辺AkA(k+1) の長さをx(k)とする。(1≦k≦n+1)
このとき
　(1/2)∑[1≦i<j≦n+1] x_i･x_j ≧ S,
を示せ。
896 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/13(水) 05:00:00 ]: 二年。
897 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/13(水) 23:27:15 ]: >>895

180度より大きい内角が存在するような図形も考慮するの？
898 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/16(土) 15:02:41 ]: >>892
Problem 322.
　a+b+c=3 のとき、
　a^2･(b+1)/(a+b+ab) + b^2･(c+1)/(b+c+bc) + c^2･(a+1)/(c+a+ca) ≧ 2,

(略証)
　a+b+c=s とする。
　D = (a+b+ab)/(b+1) + (b+c+bc)/(c+1) + (c+a+ca)/(a+1)
　　= (a+1) -1/(b+1) + (b+1) -1/(c+1) + (c+1) -1/(a+1)
　　= s + 3 -1/(a+1) -1/(b+1) -1/(c+1),
ところで、
　1/(x+1) = 1/{2 + (x-1)} ≧ (1/4){2 - (x-1)} = (3-x)/4,
より
　1/(a+1) + 1/(b+1) + 1/(c+1) ≧ (9-s)/4,
あるいは、y=1/(x+1) は下に凸だから、
　1/(a+1) + 1/(b+1) + 1/(c+1) ≧ 3/(s/3 +1) = 9/(s+3),
よって
　D ≦ s+3 - (9-s)/4 = (5s+3)/4 = 9/2,　あるいは
　D ≦ s+3 - 9/(s+3) = 9/2,
コーシー不等式より
　(左辺) ≧ s^2 /D ≧ s^2 /{(5s+3)/4} = 2, あるいは
　(左辺) ≧ s^2 /D ≧ s^2 /{(s+3) -9/(s+3)} = 2,
899 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/16(土) 15:58:00 ]: >>892
Problem 322.
　a,b,c>0, a+b+c=3 のとき、
　a^2･(b+1)/(a+b+ab) + b^2･(c+1)/(b+c+bc) + c^2･(a+1)/(c+a+ca) ≧ 2,

(略証)
　xy ≦ (1/4)(x+y)^2, より
　(左辺) = (a-1) + (a+b)/(a+b+ab) + (b-1) + (b+c)/(b+c+bc) + (c-1) + (c+a)/(c+a+ca)
　　 = s-3 +(a+b)/(a+b+ab) + (b+c)/(b+c+bc) + (c+a)/(c+a+ca)
　　≧ s-3 + 1/{1 + (a+b)/4} + 1/{1 + (b+c)/4} + 1/{1 + (c+a)/4}
　　≧ s-3 + 9/(3 + s/2)　　　　　　　　　　　　(← 相加･調和平均)
　　= 2,
900 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/16(土) 16:43:25 ]: >>895
凸でない場合は、凸でない部分を折り返すことで
辺の長さの構成を変えずにより面積を大きくできるので
凸の場合を考えればよい。
(n+2)角形を、点A1を端点の一つとする対角線で分割し
それぞれで三角不等式を用いて上からおさえれば示せる。
901 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/16(土) 18:33:49 ]: >>900
　正解でつ!!

三角形Ａ1ＡjＡ(j+1) の面積は
　(1/2)Ａ1Ａj･x_j･sin(∠Ａ1ＡjＡ(j+1)) ≦ (1/2)Ａ1Ａj･x_j ≦ (1/2){x_1 + x_2 + ･････ + x_(j-1)}x_j
これを j=2 から j=n+1 までたす。
　x_(n+2) を含まないところがミソ。この辺が重なるように2つ並べると･･･

〔系〕
点対称または線対称な2n+2角形の面積を S, 周長を
　L = 2(x_1 + x_2 + ･････ + x_n + x_(n+1)),
とすると、
　{n/(8(n+1))}L^2 ≧ ∑[1≦i<j≦n+1] x_i･x_j ≧ S,

※　等周問題からは　{1/(4π)}L^2 ≧ S,　(等号成立は円のとき)
902 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/26(火) 03:04:31 ]: a,b,cは正の実数でa+b+c=1を満たす。nを正の整数とするとき
Π(k=0_n) 1/{1+a^(2^k)}{1+b^(2^k)}{1+c^(2^k)} ＞ 8abc
を示せ。
903 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/26(火) 09:33:40 ]: >>902
難解すぐる…
904 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/26(火) 21:46:19 ]: >>902
左辺に
　1 + a^(2^k) = {1 - a^(2^(k+1))}/{1 - a^(2^k)}, 等
を代入して
　Π(k=0,n) 1/{1 + a^(2^k)} = (1-a)/{1 - a^(2^(n+1))} > 1-a, 等(0<a,b,c<1)
ここで a+b+c = s とおくと、
　(左辺) - (右辺) > (s-a)(s-b)(s-c) - 8abc
　　= s(ab+bc+ca) - 9abc
　　= a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 ≧ 0,

ハｧハｧ
905 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/27(水) 01:16:53 ]: Σ(ﾟДﾟ )！

ふ、ふつくしい…
906 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/27(水) 02:20:23 ]: どの角も鈍角でない三角形ABCの三辺の長さをa,b,cとする。このとき
(1/a^2+1/b^2+1/c^2)(a^2+b^2)≧5
を示せ。
907 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/27(水) 02:39:42 ]: >>906
a,bを固定すると、c^2が最大のとき左辺は最小。
鈍角が無いからc^2=a^2+b^2が最大値である。

一般性を失うことなくa^2+b^2=1とすると、
左辺=1/a^2+1/b^2+1 なので、
a^2=b^2=1/2のときに最小値を取る。
908 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/27(水) 07:01:24 ]: >>906
左辺に c^2 がないから、タイプミスかと思っていたぜ…
909 名前：１３２人目の素数さん [2009/05/28(木) 01:42:00 ]: >>2の本でお薦めはありますか？
910 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/28(木) 05:48:50 ]: >>909
全てだ！
911 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/28(木) 15:20:08 ]: 実数x,y,zが、xyz=1,0＜x＜y≦1を満たすとき
z/(y-x)≧4
を示せ。
912 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/28(木) 15:29:02 ]: xyz=1　なので　z=1/(xy).　これをz/(y-x)≧4 に代入して整理すると、
xy(y-x)≦1/4 を示せばよいことがわかる。
相加相乗平均の関係式より x(y-x)≦y^2/4 なので、
xy(y-x)≦y^3/4≦1/4.
913 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/28(木) 19:58:50 ]: 〔Stirlingの不等式〕
nが自然数のとき、
　√(2π)･n^(n +1/2)･e^(-n) < n! ≦ e･n^(n +1/2)･e^(-n),
を示してくださいです。
できれば代数的に･･･

science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1242389481/50
東大入試作問者スレ１７
914 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/28(木) 22:08:23 ]: >>913
代数的とは？
915 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/28(木) 22:50:08 ]: >>914
　ビブンのことはしない、ってことぢゃね？
916 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/28(木) 23:07:10 ]: 解析使わないってことでしょ
917 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/28(木) 23:42:26 ]: 積分による不等式評価もだめかしら。
expをどうやって定義しようか。
918 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/29(金) 05:18:05 ]: >>913
オイラーの無限解析に書いてあるよとか確認せずに言って見るテスト
919 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/29(金) 06:10:07 ]: >>918
責任もって確認してくるように！
920 名前：１３２人目の素数さん [2009/05/30(土) 23:38:14 ]: ノート派ですか？ルーズリーフですか？

□□□示すべき不等式□□□

（証明）
・・・・・・・・・
・・・・・・・・・
・・・・・・・・・

（証明2）
・・・・・・・・・
・・・・・・・・・
・・・・・・・・・

こんな感じで書いてるんですが、皆さんはどうですか？
921 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/30(土) 23:56:10 ]: >>920
TeXで書いて、別の証明があったら付け加えて…、の繰り返しだわな… ( ﾟ∀ﾟ)ﾃﾍｯ！
922 名前：１３２人目の素数さん [2009/05/31(日) 00:48:23 ]: 0＜a，b，cかつa＋b＋c＝6のとき
（a＾a）（b＾b）（c＾c）≧（abc）＾2
923 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/31(日) 08:50:57 ]: たいしょうせいよりうんたらかんたら
たいすうとってちぇびしぇふ
924 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/31(日) 10:07:41 ]: >>923
なるほど，上手いね！
925 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/31(日) 23:08:05 ]: >>906
は C≦90ﾟならおk.

蛇足だが、C>90ﾟも許すと、
　(1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2)(a^2 + b^2) > 9/2,

(略証)
コーシーより
　(1/a^2 + 1/b^2)(a^2 + b^2) = 4 + (a/b - b/a)^2 ≧ 4,
c<a+b より
　c^2 < (a+b)^2 = 2(a^2 + b^2) - (a-b)^2 ≦ 2(a^2 + b^2),
　(1/c^2)(a^2 + b^2) > 1/2,
926 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/01(月) 03:22:29 ]: >>920
ルーズリーフに大きく不等式を書いてセクションみたくして
次ページから証明を書けばよい
そうすれば後から追加し放題じゃね？
927 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/01(月) 14:42:43 ]: >>926
なるほどなー
TeXが使えなかったら、きっとそうしていたね！
928 名前：926 mailto:sage [2009/06/02(火) 10:42:43 ]: ページの片側だけ使うようにすれば，さらに視認性が上がる(ひっくり返さなくて済む)
ただしページが倍になる．．．
929 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/02(火) 22:12:20 ]: >>925

C≧90ﾟのときは
　cos(C) ≦ 0,
　c^2 = a^2 + b^2 -2ab･cos(C) ≦ {1-cos(C)}(a^2 +b^2),　　第二余弦定理
　(1/c^2)(a^2 + b^2) ≧ 1/{1-cos(C)},
　(906の左辺) ≧ 4 + 1/{1-cos(C)},
930 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/02(火) 22:15:36 ]: >>926
？？？
931 名前：926 mailto:sage [2009/06/02(火) 22:35:55 ]: >>930
>>926 >>928方式だと
ルーズリーフの
1枚目表：不等式(1)
2枚目表：証明(1)
・・・3枚証明に割く・・・
5枚目表：証明(2)
・・・2枚証明に割く・・・

7枚目表：不等式(2)
8枚目表：証明(1)
・・・以下続く・・・

不等式(1)の証明が増えたら，7枚目の前に入れていく．
セクションとは区切りね．不等式ごとに区切る．物理的という意味ではないが，目印として付箋貼っとくとかインデックスシール貼るとか，そのまんまルーズリーフ区切り入れるとか
932 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/03(水) 02:06:48 ]: >>931
どのくらいのレベルの不等式から取捨選択するかによって大きく異なりそう

長方形ABCDの辺AD,CD(頂点は除く)上にそれぞれ点P,Qをとる
PB+PQ<AB+AQ

a,b,cは自然数とする
2^(a+b)+2^(b+c)+2^(c+a)≧2^(a+b+c+1)+1
933 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/04(木) 01:12:43 ]: 　2^(a+b) + 2^(b+c) + 2^(c+a) ≦ 2^(a+b+c) + 4,

(略証)
A,B,C≧0 のとき
　(2+A)(2+B)(2+C) +4 -(2+A)(2+B) -(2+B)(2+C) - (2+C)(2+A) = AB+BC+CA + ABC ≧ 0,
934 名前：１３２人目の素数さん [2009/06/05(金) 23:06:39 ]: 　　　　　　　＿＿＿_
　　　　　　／　　　　＼　　宿題が終わらないお
　　　　　／　 _ノ　ヽ､_　＼
　　　／ oﾟ(（●）) (（●）)ﾟo ＼
　　　 |　　　　（__人__）　　　　|
　　　＼　　　｀ ⌒´ 　　／
　　　／´　　　　　　　　　｀＼
　　/　 /　　　　　　　　　　l　　l　　 .＿＿＿
＿_l　　l_¶＿＿＿＿＿＿/＿/＿_/　　　　ヽ
　　＼,　´-'ヽ￣|￣￣￣￣|　　　l二二二二l
　　　ヾ＿ノ　　|　'''' '　　　|　　　l二二二二l
　　　| 9=ε-8.　|　'''..--　　|　　　l二二二二l:::..
　　　|　　　..''　　|　　''-.　　,|
935 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/06(土) 00:57:38 ]: 2^x ≧ 2φ(x) のとき
　2^(a+b)φ(c) + 2^(b+c)φ(a) + 2^(c+a)φ(b) ≦ 2^(a+b+c) + 4φ(a)φ(b)φ(c),

(略証)
　2^a - 2φ(a) = A, 2^b -2φ(b) = B, 2^c -2φ(c) = Cとおくと、
題意により A,B,C≧0,
　2^(a+b+c) + 4φ(a)φ(b)φ(c) - 2^(a+b)φ(c) - 2^(b+c)φ(a) - 2^(c+a)φ(b)
　= {2φ(a)+A}{2φ(b)+B}{2φ(c)+C} + 4φ(a)φ(b)φ(c) - φ(c){2φ(a)+A}{2φ(b)+B} - φ(a){2φ(b)+B}{2φ(c)+C} - φ(b){2φ(c)+C}{2φ(a)+A}
　= ABφ(c) + BCφ(a) + CAφ(b) +ABC ≧ 0,

(例)
　φ(x) = 1, x, (x^2 -x+2)/2, ･････, Σ[k=0,n] Ｃ[x-1,k], ････
936 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/06(土) 14:43:04 ]: >>932 (上)

辺CD上に、CA '= QD なる点A 'をとる。
辺CDの延長線上に、B 'D = DQ なる点B 'をとる。
　A 'B '= AB かつ A 'B '//BA ゆえ、ABA 'B 'は平行4辺形。
AD上の点Pは、その内部にある。〔系〕により
　 BP ＋PB '< BA + AB ',
∴　 BP ＋PQ < BA + AQ,

〔補題〕　点Pが △XYZ の内部にあれば　PY + PZ < XY + XZ,
　(略証) 　YPの延長線とXZの交点をP 'とおく。三角不等式により PY + PZ < P 'Y + P 'Z < XY + XZ,

〔系〕　点Pが平行四辺形ABA 'B 'の内部にあれば、BP + PB ' < BA + AB ',
937 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/06(土) 15:04:12 ]: 〔問題〕
　△PQR が △XYZ に含まれるならば　PQ+QR+RP ≦ XY+YZ+ZX,
938 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/06(土) 23:09:59 ]: >>937
(・∀・) ｼﾞﾒｲ…のような気もするが・・・
939 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/06(土) 23:19:48 ]: >>938
　△PQR を相似拡大して △XYZ に内接させる。
（△XYZ を相似縮小して △PQR に外接させる）
かな？
940 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/06(土) 23:40:00 ]: 凸多角形が閉曲線に囲まれた図形に含まれているとき
凸多角形の辺ＡＢのＡの側の延長と閉曲線の共有点の一つをＣ
Ｂの側の延長と閉曲線の共有点の一つをＤとすると
閉曲線のＣＤの部分を線分ＣＤに置き換えると閉曲線の長さは長くはならない。
この置き換えを凸多角形の全ての辺に対して順に行う。
最初の閉曲線の長さ≧最後の閉曲線の長さ＝凸多角形の周の長さ。
941 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/07(日) 01:01:29 ]: x+y+z=1を満たす正の数x,y,zについて以下の不等式が成立することを示せ。
(1+x^2)/x(y+z)+(1+y^2)/y(z+x)+(1+z^2)/z(x+y)≧3
942 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/07(日) 01:12:45 ]: >>941
x,y,z≠0も追加で
943 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/07(日) 13:00:55 ]: >>942
>>941 で正の数x,y,z
っていってるから、
それはなくていいんでわ？
944 名前：１３２人目の素数さん [2009/06/07(日) 20:48:48 ]: 【トレビアン動画】朝日が台湾を「核保有国」に分類した件で紙面で「おことわり」掲載！　購読者が電話攻撃！

朝日新聞5月26日朝刊の6面に掲載された「核兵器をめぐる現状」という地図に「核保有５大国」にアメリカ、ロシア、イギリス、フランス、中国に赤色に染められているほか、
なんと台湾まで赤色になっているのだ。台湾は中国領土という見解なのか、6月5日に「おことわり」として紙面に掲載。その内容は以下のようなものだ。

おことわり
5月26日付「闇市場に関与指摘次々」の記事で核不拡散条約（NPT）で認められた核保有5大国などを地図に示しました。
その中で台湾については核保有国と同様の色分けでしたが、台湾は核兵器を保有していません。（原文ママ）

このことに疑問に思った購読者が朝日新聞に電話突撃攻撃。録音した内容を『YouTube』や『ニコニコ動画』にアップしている。
朝日新聞の対応も酷く受話器を放置してそのまま仕事をしたり「名前は名乗っていませんー」と名前も名乗らない対応。
電突者が「一流企業の広報とは思えない対応」というとその後は音信不通になりまたも受話器を放置される始末。

対応の状況をまとめると以下の様な感じだ。
・「おことわり」の意味を聞いても「読んで理解しろ」と言われる
・「おことわり」は訂正では無い（動画10:25～）
・ガキレベルの対応（動画10:25～）
・「ほかにも電話入っているので失礼します！」と強制的に切ろうとする（動画12:50）
・お名前は？　「名前は名乗っておりませんー」（動画15:27）

19分と長い戦いになるが、この動画を観れば大企業、朝日新聞社の対応の凄さがわかるぞ。
何回も電話を掛け直し、この対応に耐え抜いた忍耐力は凄いものである。
news.livedoor.com/article/detail/4190772/

★動画：朝日新聞に電凸　６月５日
www.nicovideo.jp/watch/sm7255107
www.youtube.com/watch?v=ThGlsJBtlM0 www.youtube.com/watch?v=WQxexTEOduQ
945 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/08(月) 01:26:51 ]: >>941
対称性から考えようとしたけどうまくいかない。。。

1/x + 1/y + 1/z -3 + 2/(1-x) + 2/(1-y) + 2/(1-z)

までは変形したんだけど
946 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/08(月) 02:20:00 ]: （１＋ｘ＾２）／ｘ（１－ｘ）＞１。

（１＋ｘ＾２）／ｘ（３－ｘ）≧（１＋ｘ）／２。
947 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/08(月) 21:11:03 ]: >>945
　1/x, 1/(1-x) は下に凸から、あるいは相加･調和平均から
　1/x + 1/y + 1/z = (9/s) + (st-9u)/(su) ≧ 9/s,
　1/(1-x) + 1/(1-y) + 1/(1-z) ≧ 9/(3-s),
　(左辺) ≧ (9/s) -3 +18/(3-s),

>>946
　(1+x^2)/{x(1-x)} = 1/x -1 +2/(1-x)
は下に凸だから x=1/3 での接線の上側にある。
∴　(1+x^2)/{x(1-x)} = (13-9x)/2 + (1-3x)^2･{(2-x)/(2x(1-x))} ≧ (13-9x)/2,
　(左辺) ≧ 3(13-3s)/2,
948 名前：１３２人目の素数さん [2009/06/08(月) 22:05:51 ]: ∫[0→π]{(e^x)(sinx)^2}dx>8
であることを示せ．ただし，π=3.14…は円周率，e=2.71…は自然対数の底である．

エレガントな解を求む．
949 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/08(月) 22:13:00 ]: 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　,, -－──－-､、
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　　　　　　　　　　　 ,ｒ'"　　　　〈　　　　　　　　　　　ヽ　　ヽ、
　　　　　　　　　　／　　　　　　　　ヽ、　　　　　　　　　　　　　!
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　　　　ノ ,イ　　　　　　　　　　　　　　　ﾞ､::.　　　　　　　ｒ　　　　　　　￣"'''ー--------一'" 　　,'
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950 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/08(月) 22:59:25 ]: >>949
誰がエレファントなＡＡを貼れと言った！
951 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/09(火) 02:57:13 ]: a[1],…,a[n]>0において
(a[1]/a[2])+(a[2]/a[3])+…+(a[n]/a[1])
≧{(a[1]+a[2])/(a[2]+a[3])}+{(a[2]+a[3])/(a[3]+a[4])}+…+{(a[n]+a[1])/(a[1]+a[2])}

f(x)は微分可能かつf'(x)が連続で,f(0)=f(π)=0のとき
∫[0,π](f(x))^2dx≦∫[0,π](f'(x))^2dx

a,b,c>0,ab+bc+ca=1において
{(1-a^2)/(1+a^2)}+{(1-b^2)/(1+b^2)}+{(1-c^2)/(1+c^2)}≦3/2
952 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/09(火) 23:44:18 ]: >>948
地道にやると･･･
∫ e^x･(sinx)^2 dx = ∫ e^x･{1-cos(2x)}/2 dx = e^x･{(1/2) - (1/10)cos(2x) -(1/5)sin(2x)},
(与式) = (2/5)(e^π - 1) だが、この後が････

>>951 (下)
　a^2 + b^2 + c^2 = ab+bc+ca + F_0 ≧ ab+bc+ca,
　(左辺) = 2/(1+a^2) + 2/(1+b^2) + 2/(1+c^2) -3
　　≦ 6/{1 + (a^2 + b^2 + c^2)/3} -3　　　(← 2/(1+x) は下に凸)
　　≦ 6/{1 + (ab+bc+ca)/3} -3,
953 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/10(水) 16:04:31 ]: >>951上
a[i]/a[i+1]=x[i]、a[n]/a[1]=x[n]とおくと
(右辺)=(1+x[1])/(1+1/x[2])+(1+x[2])/(1+1/x[3])+……+(1+x[n])/(1+1/x[1])≦(1+x[1])/(1+1/x[1])+(1+x[2])/(1+1/x[2])+……+(1+x[n])/(1+1/x[n]) (チェビシェフ)
=x[1]+x[2]+……+x[n]=(左辺)

>>951下
左辺を整理すると
1+4abc/(b+c)(c+a)(a+b)
よりabc/(b+c)(c+a)(a+b)≦1/8
をしめせばよいが
2√bc≦b+c,2√ca≦c+a,2√ab≦a+b
を辺々掛ければ明らか
(a=tanA,b=tanB,c=tanCとおいても解ける)
954 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/11(木) 21:06:25 ]: >>951 中
　>>503-512
　mathworld.wolfram.com/WirtingersInequality.html
955 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/11(木) 22:25:59 ]: >>948
　e^2.302585･･･ = 10,
　π = 2.302585･･･ + 0.83900･･･> 2.302585･･･ + 5/6,
　e^(5/6) ≧ 1 + (5/6) + (1/2)(5/6)^2 > 1 + (5/6) + 1/3 > 2 + 1/6,　
　e^π > (e^2.302585)･e^(5/6) > 10･(2 + 1/6) = 21 + 2/3,
　(2/5)(e^π -1) > 8 + 4/15 > 8,

>>952 下
　無理筋ですた･････orz

>>953 下 (続き)
　cot(A+B+C) = {1-(ab+bc+ca)}/(a+b+c-abc) =0,
より A+B+C = π/2,
　(左辺) = cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) = 1 + 4sin(A)sin(B)sin(C)
　≦ 1 + 4{[sin(A)+sin(B)+sin(C)]/3}^3　　　　(相乗･相加平均)
　≦ 1 + 4{sin((A+B+C)/3)}^3　　　　　　　　　　(上に凸)
　= 1 + 4{sin(π/6)}^3
　= 1 + 4(1/2)^3
　= 3/2,
956 名前：１３２人目の素数さん [2009/06/11(木) 23:43:43 ]: x,y,z>0,x^2<y<logzのとき
xy^4<z^2

a,b,c,d∈N,r=1-(a/b)-(c/d),a+c≦1982,r>0のとき
r>(1/1983)^3
957 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/12(金) 04:01:37 ]: a,b,c≧1のとき
{a^3-(1/a)^3}+{b^3-(1/b)^3}+{c^3-(1/c)^3}≧3{abc-(1/abc)}

a>b>c>0のとき
[1/{(a-b)(a-c)√a}]+[1/{(b-c)(b-a)√b}]+[1/{(c-a)(c-b)√c}]>0
958 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/12(金) 11:57:35 ]: a_k(k=1,2,3,..n)は正の数
Π[k=1,n]a_k^a_k≧(Π[k=1,n]a_k)^(Σa_k/n)を示せ
959 名前：１３２人目の素数さん mailto: sage [2009/06/13(土) 00:21:06 ]: >>957 上
　a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおくと、
　a^3 + b^3 +c^3 -3abc = (a+b+c){(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2}/2
　≧ 3{(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2}/2　　　　　　　　　　(← a,b,c≧1)
　≧ (1/a + 1/b + 1/c){[(a-b)/ab]^2 + [(b-c)/bc]^2 + [(c-a)/ca]^2}/2　　(← 1≧1/a,1/b,1/c)
　≧ 1/(a^3) + 1/(b^3) + 1/(c^3) - 3/(abc),

>>957 下
　(a-c)/{(b-c)(b-a)} = -1/(a-b) - 1/(b-c) より
　(左辺)*(a-c) = {1/(a-b)}(1/√a - 1/√b) + {1/(b-c)}(1/√c - 1/√b)
　　　　　= - 1/(a√b + b√a) + 1/(c√b + b√c) > 0,　　　　(← a>c)

>>958
　対数を考えれ。チェビシェフより
　Σ[k=1,n] (a_k)log(a_k) ≧ {Σ[i=1,n] log(a_i)}(Σ[j=1,n] a_j)/n,
960 名前：959 mailto: sage [2009/06/13(土) 00:42:37 ]: >>957 上
　a^3 + b^3 +c^3 -3abc = (a+b+c){(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2}/2
　≧ 3{(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2}/2　　　　　　　　　　(← a,b,c≧1)
　≧ (1/a + 1/b + 1/c){[(a-b)/ab]^2 + [(b-c)/bc]^2 + [(c-a)/ca]^2}/2　　(← 1≧1/a,1/b,1/c)
　= 1/(a^3) + 1/(b^3) + 1/(c^3) - 3/(abc),

>>957 下
　√a = A, √b = B, √c = C とおくと、
　(左辺)*(a-c) = (A-C)(A+B+C)/{(A+B)(B+C)ABC},
　(左辺) = (A+B+C)/{(A+B)(B+C)(C+A)ABC} >0,
961 名前：１３２人目の素数さん [2009/06/13(土) 02:28:42 ]: f(a)=f(b)=0
f’’(x)≧0 （a≦x≦b）
なら，なぜ
f(x)≦0 （a≦x≦b）なんですか？
962 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/13(土) 02:50:39 ]: 不等式ヲタ＝関数方程式ヲタ＝整数ヲタ＝ＣのΣヲタ
963 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/13(土) 03:45:15 ]: >>961
ほとんど明らか
964 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/13(土) 04:49:24 ]: π＞3.05であることを示せ。
965 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/13(土) 05:37:48 ]: >>962
ほとんど明らか
966 名前：１３２人目の素数さん mailto: sage [2009/06/13(土) 09:33:18 ]: >>961
ロルの定理から、
　f '(ξ) = 0,
なるξが (a,b) にある。
　a<x≦ξ では f '(x) = f '(ξ) -∫[x,ξ] f "(x)dx ≦ f'(ξ) = 0,
　　　　　　f(x) = f(a) + ∫[a,x] f '(y)dy ≦ f(a) = 0,
　ξ≦x<b では f '(x) = f '(ξ) +∫[ξ,x] f "(x)dx ≧ f'(ξ) = 0,
　　　　　　f(x) = f(b) - ∫[x,b] f '(y)dy ≦ f(b) = 0,
967 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/13(土) 13:18:11 ]: これって入試にそのまま使っていいのか悩んだ記憶がある
968 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/13(土) 17:06:22 ]: 最近じゃヘロンの公式も入試で使っていいのかダメなのか議論されている
969 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/13(土) 17:47:53 ]: 使っていいに決まってんじゃん
970 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/13(土) 19:28:20 ]: それが最近はダメだという意見もあるそうだ
971 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/13(土) 20:55:32 ]: ロルの定理使ったらダメなら平均値の定理も使ったらダメになるwww
972 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/13(土) 23:09:24 ]: >>970
どこのヌケ作が言っているんだ？ボケ！
973 名前：１３２人目の素数さん [2009/06/13(土) 23:33:34 ]: プロレスの三沢光晴さん、リングで頭強打し死亡

　１３日午後８時４５分頃、広島市中区の広島県立総合体育館グリーンアリーナで、
プロレスリング・ノアの試合中、社長でプロレスラーの三沢光晴さん（４６）が
相手選手にバックドロップをかけられ、頭部を強打した。
　三沢さんは救急車で市内の病院に運ばれたが、間もなく死亡した。
　三沢さんは２代目タイガーマスクとして人気を集め、
全日本プロレスやプロレスリング・ノアで中心選手として活躍してきた。

（2009年6月13日23時24分読売新聞）

www.yomiuri.co.jp/sports/news/20090613-OYT1T01053.htm?from=top
974 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/13(土) 23:50:11 ]: 不等式で頭を挟み撃ちにされたわけだな
975 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/14(日) 16:04:44 ]: ロルの定理
ja.wikipedia.org/wiki/ロルの定理
mathworld.wolfram.com/RollesTheorem.html
高木: 解析概論 (改訂第三版) 第2章, §18. 定理19, p.47 (1961) 岩波

ヘロンの公式
ja.wikipedia.org/wiki/ヘロンの公式
mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html
www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/heron/heron.htm
976 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/14(日) 23:06:06 ]: >>974
かわいいオニャノコに､挟み撃ちにされたいです
977 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/15(月) 11:04:47 ]: >>972
荒らすなヌケ作ボケ！
978 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/15(月) 19:10:00 ]: 不等式への招待第４章
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
979 名前：１３２人目の素数さん [2009/06/15(月) 23:24:53 ]: nは自然数とする
(sinx)^n+(cosx)^n
の最大値、最小値を求めよ

Kを非負の定数とする
区間[t1,t2]で定義された負でない連続関数f(t),g(t)が
f(t)≦K+∫[t1→t]g(s)f(s)ds （t1≦t≦t2）
を満たすならば
f(t)≦Kexp(∫[t1→t]g(s)ds) （t1≦t≦t2）
が成り立つことを示せ
980 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/16(火) 05:00:00 ]: 二年三十四日。
981 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/16(火) 14:43:59 ]: カーッ(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)､ペッ >>977,980
982 名前：１３２人目の素数さん [2009/06/16(火) 16:19:53 ]: A,B,C>0，A+B+C=πのとき
sinA+sinB+sinC≦4sinAsinBsinC
を示せ

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