不等式への招待 第３章

1 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/13(日) 05:00:00 ] ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める… 　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 ----- 　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　 　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　 　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ ＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　 　　　黙っちゃゐられねゑ… 　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　　　 　　 　　　　ﾊｧﾊｧ 　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ 過去スレ ・不等式スレッド （Part1）　 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/ ・不等式への招待 第２章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/ 過去スレのミラー置き場：briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/ まとめWiki　wiki.livedoor.jp/loveinequality/ 姉妹サイト（？） Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000 101 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/07(土) 04:27:54 ] >100 左辺に 　(1/k)^{(m-1)/m} < ∫[k-1,k] (1/x)^{(m-1)/m} dx を代入するらしいお… 102 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/12(木) 11:14:54 ] x,y,z is possible. Prove {(xy^2+1)^(1/3)+(yz^2+1)^(1/3)+(zx^2+1)^(1/3)}^3≧xyz+1 103 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/13(金) 03:23:30 ] >>102 wiki.livedoor.jp/loveinequality/d/%b8%c4%ca%cc%a4%ce%cc%e4%c2%ea%b2%f2%c5%fa#content_4 に３通りの解答を載せておきました。 104 名前：102 mailto:sage [2007/07/13(金) 04:23:56 ] >>103 ありがとう！ 105 名前：102 mailto:sage [2007/07/13(金) 09:35:05 ] >>104 どちらさま？ >>103ありがとうございますっ っってどうみても>>102には右辺の定数倍が欠けてるっっorz 右辺を３倍いやむしろ２７倍してもたぶん成立するという事実 102自体も問題としてはなりたっているが… 103様、もしよろしければ解き直して、wikiのほうも追加してもらえませんか？ 申し訳ない 106 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/13(金) 10:45:35 ] |　 |　　　　　　　　　　　　　 |　‖　　　　　 　　　　　ﾉﾉﾉﾉ　-＿_ 　勘違いするなよ！ |>>102　　　 　　　　　(ﾟ∈ﾟ　)　　─_＿___　___ |∧ 从ﾉ　　　　　 (ミ_　(⌒＼ヽ　_　__＿ （ (≡￣￣￣￣三＼⌒ノ　ノ ) |(つWつ ￣￣＼ 　⌒彡) 　 ﾉ　　＝＿ | ＼つ　つ　　　　＼,_＿_,ノノ |　 |　 )　　　　　　　　/　／　≡＝ |　 |　　　　　　　　　 / ノ　　　　　　__________ |　 |　　　　　　　　 /ノ　＿─ (´⌒(´ |　 |　　　　　　　ﾐ/＝　(´⌒(´⌒;; |　''''""'''"'''"""''"""'''''"'"''''""''"''''"""''"'''""''"''"'''"'' 107 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/14(土) 05:35:41 ] >102 　(xy^2)^(1/3) =Z, (yz^2)^(1/3) =X,　(zx^2)^(1/3) =Y とおくと 　(X+Y+Z)/3 ≧ XYZ = xyz, 　g(t) = (t^n +1)^(1/n)　とおくと 　g'(t) = t^(n-1) /（t^n +1)^(1 -1/n)　>0, 　　　(単調増加) 　g"(t) = (n-1)t^(n-2) / (t^n +1)^(2 -1/n) >0,　　(下に凸) 　(左辺)^3 = {g(X) + g(Y) + g(Z)}/3 ≧ g((X+Y+Z)/3) ≧ g((XYZ)^(1/3)) = g((xyz)^(1/3)) = (右辺)^3, 108 名前：107 mailto:sage [2007/07/14(土) 08:01:35 ] >102 いつもの事だが訂正 　(X+Y+Z)/3 ≧ (XYZ)^(1/3) = (xyz)^(1/3), 　n>1 　(左辺)^(1/3) = …… = (右辺)^(1/3). 109 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/14(土) 12:41:49 ] 102は、f(e^x)がｘについて凸な関数のときに、（ｘ＞０） Jensen不等式の相乗平均verが成り立つことを 問題にしたかっただけなんだ。 迷惑かけて申し訳ない。お詫びとして a,b,cは正の実数。このとき常に次の式が成り立つような最大のαを求めよ a^b+b^c+c^a>α 110 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/14(土) 23:23:13 ] >109 c=a^(1/a) のとき、 　(左辺) = a^b + b^c + a, a→0 のとき c⇒0 なので, 　lim[a→0] (左辺) = 0^b + b^0 + 0 = 1, 　α = 1. 111 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/16(月) 13:40:04 ] >110 Q. ほんとに1以下にならない?? A. (1) a,b,c の1つでも1以上なら おk, (2) 0<a,b,c<1 のとき 　f(x) = (1/a)^x は下に凸だから、 　(1/a)^b < (1-b) + b/a = (a+b-ab)/a　　… ベルヌーイの不等式 　a^b > a/(a+b-ab) > a/(a+b+c), 辺々たす。 www.nikonet.or.jp/spring/zettaiti/zettaiti.htm 112 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/21(土) 08:13:14 ] ( ﾟ∀ﾟ)つ>>87の改良版 a,b,c>0 のとき， 　(2/3)(a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)) ≧ ((a^3+b^3+c^3)/3)^(1/3) が成立することを示せ。 113 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/02(木) 11:33:35 ] Polyaの不等式のH.Alzerによる拡張 f,g,h は [a,b] 上の実数値関数で，f は単調増加，g,h はC^1級で， g(a)=h(a)，g(b)=h(b) を満たすものとするとき， (∫_[a,b] f(x)g'(x)dx) (∫_[a,b] f(x)h'(x)dx)≦(∫_[a,b] f(x)√[(g(x)h(x))']dx)^2 114 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/16(木) 02:18:39 ] 〔問題〕 　x+y+z=1,　x,y,z ≧0 のとき　f(x,y,z) = (x-y)(y-z)(z-x) ≦ 1/(6√3) を示せ。 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1186908806/56 分かスレ２７９ 115 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/16(木) 02:32:44 ] >114 f(x,y,z)>0 となるのは 0≦x<y<z またはその cyclic の場合。 そこで、x<y<z の場合を考える。（他の場合も同様） 　f(x,y,z) = (y-x)(z-y)(z-x) は zについて単調増加、xについて単調減少。 　f(x,y,z) ≦ f(0,y,z+x) = f(0,y,1-y) = y(1-y)(1-2y) 　= 1/(6√3) - 2{y -(1/2) +(1/2√3)}^2･{y +(1/2) +(1/√3)} ≦ 1/(6√3), 等号成立は x=0, y=(1/2)-1/(2√3), z=(1/2)+1/(2√3) のとき。 116 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/16(木) 08:23:31 ] 数蝉の最新号に、不等式が載っていたなはぁはぁ…せｄｆｒｔｇｙふじこｌｐ 117 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/16(木) 22:37:32 ] ★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第九問 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1182629190/634- 【問題】 3辺の長さがa，b，cである三角形の内接円の半径をrとする． このとき，不等式 　　(a + b + c)/r ≧6√3 が成り立つことを示せ． 118 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/16(木) 23:54:59 ] >117 　a/r = cot(B/2) + cot(C/2), …, … を左辺に代入し、cotθは下に凸, A+B+C=π を使う。 119 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/17(金) 22:37:24 ] 【問題】 3辺の長さがa，b，cである三角形の外接円の半径をRとする． このとき，不等式 　　 (a + b + c)/R ≦ 3√3 が成り立つことを示せ． 120 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/17(金) 22:43:31 ] >119 だから 　a/R = 2sin(A), …, … を左辺に代入し、sinθ は上に凸, A+B+C=π を使うだお。 〔系〕R ≧ 2r. science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1182629190/638-639 121 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/17(金) 23:10:15 ] 〔系〕R ≧ 2r. これは、球殻不等式というんだお。 （・3・） 122 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/18(土) 18:00:49 ] >121 �dクス. △の3辺の中点を通る円の半径 = R/2. この円は△の3辺を切るから、半径 ≧r. (清水多門氏) [前スレ.496-499,660,974] 文献[3] p.8 (絶版) 123 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/18(土) 20:10:08 ] 【問題】 3辺の長さがa,b,cである三角形の内接円の半径をr, 外接円の半径をR とする. このとき, 不等式 　(a + b + c - 4R) /r ≦ 6√3 -8 = 2.39230484…, が成り立つことを示せ. 等号は正3角形のとき, 直角3角形のとき 左辺は2. science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1182629190/674 東大入試作問者スレ９ 124 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/21(火) 00:06:01 ] >123 このスレの解答は↓になるだろうな。ちっともエレガントぢゃねぇが… a,b,cが3角形の辺をなすとき、次の附帯条件（3角不等式）がある。 　s-a >0,　s-b >0,　s-c >0, s=(a+b+c)/2 そこで s-a, s-b, s-c を独立変数と見れば、附帯条件は無くなる。基本対称式を 　(s-a) + (s-b) + (s-c) = s, 　(s-a)(s-b) + (s-b)(s-c) + (s-c)(s-a) = t, 　(s-a)(s-b)(s-c) = u, とおくと abc = st-u, 　�� = √{s(s-a)(s-b)(s-c)} = √(su), 　r = ��/s = √(u/s), 　R = abc/(4��) = (st-u) / {4√(su)}, 　(左辺) = {2s - (st-u)/√(su)} / √(u/s) = 2(s^1.5)/√u - (st/u) +1, 示すべき式は 　{(st/u) +(右辺-1)}^2 - 4(s^3)/u = (1/t^2)H(s,t,u) ≧0, 　H(s,t,u) = {st + 2(右辺-1)u}sF_(-2) + 27(7-4√3)uF_(-1) + 3(16√3 -27)sG , ここに F_n はSchurの不等式のF_nで, 　F_(-2) = (t^3 -4stu +9u^2)/(u^2) ≧0, 　F_(-1) = (t^2 -3su)/u ≧0, 　F_0 = s^2 -3t ≧0, 　G(s,t,u) = st-9u ≧0, これより、 　H(s,t,u) ≧0, ぬるぽ 125 名前：124 mailto:sage [2007/08/21(火) 00:22:21 ] （補足） 3角形の面積を�凾ﾆおくと、 　�� = √{s(s-a)(s-b)(s-c)} = √(su),　　　…… ヘロンの公式 126 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/21(火) 11:18:25 ] グッジョブ！ (*ﾟ∀ﾟ) 127 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/23(木) 05:27:52 ] 【類題】 3辺の長さがa,b,cである鈍角*三角形の内接円の半径をr, 外接円の半径をR とする. このとき, 不等式 　(a + b + c - 4R) /r ≦ 2, が成り立つことを示せ。　(*直角3角形も含める) 等号は直角3角形のとき. 128 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/25(土) 10:43:13 ] >127 　r=��/s, R=abc/(4��)　より, 　(4R+r)r = {(�竸2)/s + abc}/s = s^2 + (ab+bc+ca) = (2ab+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2)/4 (=t), 　(4R+2r)^2 - (a+b+c)^2 = 16R^2 +4(4R+r)r - (a+b+c)^2 　　= 16R^2 + (2ab+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2) - (a+b+c)^2 　　= 2(8R^2 -a^2 -b^2 -c^2), 　　= -16R^2 cos(A)cos(B)cos(C),　　　　　　　　(← 補題) 〔補題〕 　(a^2 +b^2 +c^2) -8R^2 = (a^2 +b^2 -c^2) - 2(4R^2 -c^2) 　= 2abcos(C) - 2(4R^2 -c^2)　　　　　　　 (← 第2余弦定理) 　= 8R^2 {sin(A)sin(B)-cos(C)}cos(C)　　　　(← 正弦定理) 　= 8R^2 {sin(A)sin(B)+cos(A+B)}cos(C)　　　(← A+B+C=π) 　= 8R^2 cos(A)cos(B)cos(C), これは、鋭角・直角・鈍角に従って 正･0･負。(終) (数セミ, 2007/09) ぬるぽ 129 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/26(日) 13:25:45 ] 〔問題〕 a,b,c は abc=G^3 を満たす正の実数である. 0≦p≦q のとき次の不等式が成り立つことを示せ. 　{a^p + b^p + c^p}*G^(q-p) ≦ a^q + b^q + c^q. science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1182629190/753-754 を改作 東大入試作問者スレ９ 130 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/26(日) 14:54:55 ] >>129 wiki.livedoor.jp/loveinequality/d/%b8%c4%ca%cc%a4%ce%cc%e4%c2%ea%b2%f2%c5%fa?wiki_id=54872#content_5 131 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/26(日) 15:37:41 ] >129 相加･相乗平均 と 乱順序積≦同順序積 より 左辺 ≦ (a^p+b^p+c^p)*{a^(q-p)+b^(q-p)+c^(q-p)}/3 ≦ 右辺. science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1182629190/766,771 132 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/26(日) 16:54:33 ] >129 は q≦p≦0 のときも成立. q-p = d とおくと >131 より 　(左辺) ≦ (a^p + b^p + c^p)(a^d + b^d + c^d)/3 = (右辺) + {(a^p -b^p)(a^d -b^d) + (b^p -c^p)(b^d -c^d) + (c^p -a^p)(c^d -a^d)}/3 ≧ (右辺). 133 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/27(月) 11:14:33 ] >>132 確かに>>130の証明も，q≦p≦0のときにも成り立っていますね。 >>130の証明を追記しておきました。 134 名前：１３２人目の素数さん [2007/09/10(月) 22:34:38 ] IMO longlisted problem 1987 θ[1],θ[2],θ[3]・・・,θ[n]を実数とし、sinθ[1]+sinθ[2]+・・・sinθ[n]=0とするとき次の不等式を示せ。 |sinθ[1]+2sinθ[2]+・・・+nsinθ[n]|≦[n^2/4 ] The IMO compendium P209 より この本って問題は豊富なんだけど解答がその半分もないんですね 135 名前：１３２人目の素数さん [2007/09/11(火) 00:01:21 ] あっさりオイラー使えよ 136 名前：１３２人目の素数さん [2007/09/11(火) 06:43:58 ] nt-t+(n-1)t-2t...=tn(n+1)/2-2t(n/2)(n-2+1)/2= 137 名前：１３２人目の素数さん [2007/09/11(火) 06:48:20 ] tn(n+1)/2-2t(n/2)(n/2+1)/2= f df/dt=n(n+1)/2-n(n+2)/4=0 nn/4=0 t=1->n^2/4 138 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/11(火) 06:55:08 ] >134 a[k] = sinθ[k+1] + sinθ[k+2] + …… + sinθ[n], とおく。題意より 　a[0] = a[n] = 0, また 　|a[k-1] - a[k]| = |sinθ[k]| ≦ 1, よって 　|a[k]| ≦ k　　　(k=0,1,2,…,[n/2]) 　|a[k]| ≦ n-k　　(k=[n/2]+1,･･･,n-1,n) 与式 = | Σ[k=1,n-1] a[k] | ≦ Σ[k=1,n-1] |a[k]| ≦ ･･･ あっさり。 139 名前：１３２人目の素数さん [2007/09/12(水) 16:23:24 ] >>138　あっさりでしたか。 問題仕入れてきました。1988年/大学への数学「宿題」らしいです。 実数x[1],,x[2],・・・,x[n]が x[1]+x[2]+・・・+x[n]=0 (x[1])^2+(x[2])^2+・・+(x[n])^2=1 を満たしながら動くとき次の不等式を示せ。ただしnは3以上の整数とする。 (x[1])^3+(x[2])^3+・・・+(x[n])^3≦(n-2)/√(n^2-n) 140 名前：１３２人目の素数さん [2007/09/12(水) 20:02:15 ] xk=-xn-k+1=t nt^2=1 t^3=n^-3/2 nt^3=n^-1/2 141 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/14(金) 12:07:31 ] >>139 [略解] ラグランジュ乗数法で停留点条件を調べると， x[1],x[2],……,x[n] たちは2種類の値のみをとることが必要と分かる。 そこで x[1] から x[n] のうちで p 個が a という値をとり，(n-p)個が b という値をとるとする。 ただし x[1]=……=x[n] とはなりえないので a<b，1≦p≦n-1 としてよい。 2本の束縛条件の式に代入して解くと， a, b を p の式で表せる。 すると (x[1])^3 + …… + (x[n])^3 が p の関数として表せる。 この関数は p について単調増加なので，p=n-1 のときが最大値。 その最大値は (n-2)/√(n^2-n) となる。 142 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/19(水) 12:38:04 ] ★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十問 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1188545067/622- より転載。 622 ：１３２人目の素数さん：2007/09/19(水) 11:28:28 0<x<eのとき， 　(e+x)^(e-x)>(e-x)^(e+x) が成り立つことを示せ。ただし e は自然対数の底である。 ちなみにこれに続く>>624の解答は間違い。 143 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/23(日) 08:22:51 ] >142 f(x) = (e-x)log(e+x) - (e+x)log(e-x)　とおく。 　f(0) =0, 　f '(x) = (e-x)/(e+x) + (e+x)/(e-x) -log(e+x) -log(e-x) 　　　　= 4(x^2)/(e^2 -x^2) +2 -log(e^2 -x^2) 　　　　= 4(x^2)/(e^2 -x^2) - log{1-(x/e)^2} >0, ∴ 0<x<e　⇒　f(x) >0. 144 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/03(水) 21:44:32 ] 〔問題〕 nは自然数、x>0として、(1+x)(1-x)x^n の最大値を、 「微分積分も 相加相乗平均も コーシーの不等式も 因数定理も 判別式も 平方完成も 使わずに」求めよ。 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190854032/272, 293 東大入試作問者スレ１１ 145 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/03(水) 21:52:36 ] >144 最大値は M = {2/(n+2)}{n/(n+2)}^(n/2) の辺りなので、差をとってみよう。 x･√{(n+2)/n} ≡ y とおくと、 　M - (1+x)(1-x)x^n = M - {1-(n/(n+2))y^2}･{n/(n+2)}^(n/2)･y^n 　= M{1 -(1/2)(n+2)y^n +(n/2)y^(n+2)} 　= M(1-y){1 +y +y^2 +･･･+y^(n-1) -(n/2)(1+y)y^n} 　= M(1-y)^2･{1 +2y +3y^2 +･･･+ny^(n-1) +(n/2)y^n} ≧ 0, 等号成立は y=1 のとき。 もっとも、x≧1 のときは (左辺)≦0 から明らかだが･･･ 146 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/03(水) 22:23:52 ] さすがに後付けにもほどがあるな 147 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/03(水) 22:51:55 ] これは、「最大値を求めた」のではなく、最大値を取る付近で適当な変数を取って関数を展開しただけのこと。 微分方程式等、動きが判らない関数の性質を調べるときなど、よく使われる手法。お疲れ様 148 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/06(土) 01:13:14 ] 任意の三角形の三辺a,b,cに対して常に a^(2n)+b^(2n)+c^(2n)＜2(a^nb^n+b^nc^n+c^na^n) が成り立つような正の整数nを全て求めよ。 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190854032/352 まず必要条件を求めるため，xを0<x<1なる実数として， a=2，b=1，c=1+x という三角形を考える。 このとき，題意を満たす n が存在するとすると， 　　2^(n+1) + 2(1+x)^n + 2^(n+1)(1+x)^n ＞ 2^(2n) + 1 + (1+x)^(2n) が成り立つ。 これが0<x<1なる任意のxに対して成立するので，両辺 x→+0 として， 　　2^(n+2) ≧ 2^(2n) 　　∴ 4≧2^n 　　∴ n≦2 よって n≦2 が必要。 n=1のとき， 　2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)＝(b+c-a)(c+a-b)+(c+a-b)(a+b-c)+(a+b-c)(b+c-a) ＞ 0 より成立。 n=2のとき， 　2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4) 　＝(a+b-c)^2(b+c-a)(c+a-b)+(a+b-c)(b+c-a)^2(c+a-b)+(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)^2 ＞ 0 より成立。 以上より n=1,2 149 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/13(土) 22:17:13 ] 〔問題〕 n を自然数として定積分 I(n) を 　　I(n) = ∫[0,π/2] {x･sin(x)}^n dx で定める。このとき、すべての自然数n に対して　I(n+1) > I(n) が成り立つことを示せ。 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190854032/174 東大入試作問者スレ１１ 150 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/13(土) 22:21:20 ] >149 (略解) ・n = 1 のとき 　I(1) = ∫[0,π/2] x･sin(x) dx = [ sin(x) - x･cos(x) ](x=0,π/2) = 1, 　I(2) = ∫[0,π/2] {x･sin(x)}^2 dx = π/8 + (π^3)/48 = 1.038663･･･, ゆえ n=1 のとき成立。 ・n> 1 のとき u = ∫[0,x] x'･sin(x') dx' = sin(x) - x･cos(x) はxについて狭義の単調増加。 xの替わりにuを独立変数と考え、x･sin(x) = s(u) とおく。x･sin(x)dx = du から 　I(n) ≡ ∫[0,π/2] {x･sin(x)}^n dx = ∫[0,1] s(u)^(n-1) du, ここで ヘルダーの不等式 により 　{∫[0,1] s(u)^n du}^((n-1)/n)・{∫[0,1] 1^n du}^(1/n) ≧ ∫[0,1] s(u)^(n-1) du, 　I(n+1)^(1/n) > I(n)^(1/(n-1)), 　I(n) > I(2)^(n-1) > 1, から 　I(n+1) > I(n), n> 1 のときも成立。 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190854032/637 東大入試作問者スレ１１ 151 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/15(月) 15:39:52 ] 〔問題〕 α、β、γ は 0 < α,β,γ< π/2 、(sinα)^3 + (sinβ)^3 +(sinγ)^3 =1 を満たす。このとき、以下の不等式が成り立つことを証明せよ。 　　(tanα)^2 + (tanβ)^2 + (tanγ)^2 ≧ (3√3)/2 〔略解〕 (sinθ)^3 / (tanθ)^2 = (sinθ)(cosθ)^2 = (sinθ){1-(sinθ)^2} = 2/(3√3) - {(2/√3) + sinθ}{(1/√3) - sinθ}^2 ≦ 2/(3√3), ∴(tanθ)^2 ≧ {(3√3)/2}(sinθ)^3 θ=α,β,γを代入して辺々足せば得られる。 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190854032/438-462 東大入試作問者スレ１１ 152 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/15(月) 15:43:15 ] 任意の実数 x[1],……,x[n] に対して 　�納k=1,n](x[k])^2･cosπ/n ≧ �納k=1,n-1]x[k]x[k+1]-x[n]x[1] が成り立つことを示せ。 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190854032/656 東大作問者スレ１１ 153 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/18(木) 03:27:58 ] >152 　2次形式なので行列で表す。半正値であることを使う。 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1181970000/196-202 線形代数/線型代数４ 154 名前：１３２人目の素数さん [2007/10/26(金) 21:18:01 ] [問題] f:[0,1] → R は f(0)=f(1)=0を満たす滑らかな関数とするとき、次を示せ． ∫^1_0 |f'(x) x|^2 dx < 2 ∫^1_0 |f(x)|^2 dx 155 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/27(土) 07:39:25 ] >>154 f(x)=sin(2πx) のとき，f(0)=f(1)=0 で， 2∫_[0,1] |f(x)|^2 dx = 1 ∫_[0,1] |x f'(x)|^2 dx = (2π^2)/3 + 1/4 = 6.82…… よって不成立。 156 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/27(土) 09:27:36 ] >>154 f(x)=sin(nπx)のとき， ∫_[0,1] |f(x)|^2 dx = 1/2 ∫_[0,1] |x f'(x)|^2 dx = (n^2π^2)/6 + 1/4 なので，>>154の命題は係数２をいかに大きくしても不成立。 157 名前：１３２人目の素数さん [2007/10/28(日) 11:31:45 ] >>154 成り立たないのですか！ [3]　不等式への招待，大関信雄・大関清太，近代科学社，1987年（絶版） の本の最後のページにこの手の不等式があって、幾つか自分でやったんですけど、 これだけはどうしても出来なかったが、間違っていたとは思わなかった orz お騒がせしました。 しかし、直ぐに成り立たないと反例を挙げるその才能に驚きました。 158 名前：１３２人目の素数さん [2007/10/28(日) 18:57:34 ] 〔問題〕 こんな問題が流れてきた。カッコ良く解いて呉れってよ。 x+y+z =s, x≧0, y≧0, z≧0 のとき、 　w(x,y,z) = (y^2+yz+z^2)(z^2+zx+x^2)(x^2+xy+y^2) の最大値は? science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1193029141/59 分かスレ２８０ 159 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/28(日) 19:03:47 ] >158 いつものように 基本対称式を x+y+z =s, yz+zx+xy =t, xyz =u とおく。 　y^2 +yz +z^2 = s^2 -t -sx, 　z^2 +zx +x^2 = s^2 -t -sy, 　x^2 +xy +y^2 = s^2 -t -sz, よって 　w(x,y,z) = (s^2 -t -sx)(s^2 -t -sy)(s^2 -t -sz) 　= (s^2 -t)^3 -(s^2 -t)^2･s^2 +(s^2 -t)ts^2 -us^3 　= (s^2 -t)t^2 -us^3 　≦ (s^2 -t)t^2 + min{0, -(s^3)(4st-s^3)/9},　(← s^3 -4st ≧ -9u) ここで t/s^2 =τ, w/s^6 =ω とおくと 0≦τ≦1/3, 　ω ≦ τ^2 - τ^3 + min{0, -(4τ-1)/9}, ω(τ) の増減表から、ωは 0≦τ<1/4 で増加し、1/4<τ≦1/3 では減少する。 ゆえに τ=1/4 で最大値 3/64 をとる。 等号成立は τ =t/s^2 =1/4, u=0 のとき、すなわち 　(x,y,z) = (a,a,0), (0,b,b), (c,0,c). ぬるぽ 160 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/28(日) 20:46:19 ] 問題を投下した者です。ちょっとこのスレ的ではない解ですが… ω=exp(2πi/3) を用いて問題の関数は w(x,y,z)=|(yω-z)(zω-x)(xω-y)|^2 と表せる。そこで p=x+yω+zω^2 という変数を考えるとpは複素平面上で 1,ω,ω^2 を頂点とする三角形の内部または周上 (Tとする) を動く。ここで p-1=(x+yω+zω^2)-(x+y+z)=(1-ω^2)(yω-z) p-ω=(x+yω+zω^2)-(x+y+z)ω=(ω-1)(zω-x) p-ω^2=(x+yω+zω^2)-(x+y+z)ω^2=(ω^2-ω)(xω-y) であるから w=(1/27)|p^3-1|^2 である。この式の形とTの形状から、pの動く範囲はTのうちの 2π/3≦arg(p)≦4π/3 に制限してもよいことがわかる。このとき p^3の動く範囲(Dとする)を描いてみればわかるように、max(w) を与えるpはTの周上のどこかになる。そこで p = (-1+it√3)/2 (-1≦t≦1)と置いてwを計算してみると p^3-1 = (3√3/8)(t^2-1)(√3+it) |p^3-1|^2 = (27/64)(t^2-1)^2(3+t^2) w = (1/64)(t^2-1)^2(3+t^2) あとは u=t^2 (0≦u≦1) の3次関数の問題で、u=0で最大となる ことがわかり、max(w)=3/64 である。最大を与えるpは p=-1/2 のときと p^3の位置が同じp、すなわち p=-1/2,-ω/2,-ω^2/2 である。 161 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/28(日) 22:11:57 ] >>160 は >>158 の解でございます。 162 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/28(日) 22:17:41 ] おっと >>158 は x+y+z=s になってますね。元の問題は x+y+z=1 です。 163 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/29(月) 00:47:04 ] ｲﾊﾟｰﾝ化してしまうのが不等式ヲタのSA・GA 164 名前：156 mailto:sage [2007/10/29(月) 13:38:52 ] >>157 >>157 確かにその本にはそう書いてありますね。 しかし，前後の文脈を読むと，おそらく著者が言いたかったのは 「f:[0,1] → R は f(0)=f(1)=0 を満たす C^1級の関数で，かつ恒等的に0でないものとする。 このとき， ∫_[0,1] |x f'(x)|^2 dx ＞ (1/4) ∫_[0,1] |f(x)|^2 dx が成立する。」 ではないかと思われます。 おそらく著者は， links.jstor.org/sici?sici=0002-9890%28197108%2F09%2978%3A7%3C705%3AIIIAFA%3E2.0.CO%3B2-2&size=LARGE&origin=JSTOR-enlargePage から引用したものだと思われますが，引用元のこの論文において既に同じミスをしています。 この修正版の不等式は，次のようにして示せます。 g(x) = √(x) f(x)$ とおくと，g(0)=g(1)=0 を満たし，かつg'(x)は[0,1]上で恒等的に0ではない。 また，f(x)=x^(-1/2)g(x)なので {xf'(x)}^2＝(1/4)x^(-1){g(x)}^2 - g'(x)g(x) + x{g'(x)}^2 ＝ (1/4){f(x)}^2 - g'(x)g(x) + x{g'(x)}^2 よって， ∫_[0,1] {xf'(x)}^2 dx ＝(1/4)∫_[0,1] \{f(x)\}^2dx - (1/2)[{g(x)}^2]_0^1 + ∫_[0,1] x\{g'(x)\}^2 dx ＞ (1/4)∫_[0,1] {f(x)}^2dx (∵g(0)=g(1)=0, x\{g'(x)\}^2≧0で恒等的に0でない) この係数1/4の最良性は言えそうで言えない…… 165 名前：１３２人目の素数さん [2007/10/29(月) 14:40:59 ] >>164 ご丁寧な解答ありがとうございます。 逆向きの不等号ならば、本に書いてある方法でできますね。 ちなみに、積分区間は [0,1] となっていますが、これは任意の区間 [a,b] （ただし，0<a, b< ∞）でも大丈夫ですね。 私も少し調べたのですが、大体関数 f の積分を f やそれらの微分を 使って上から押さえるタイプのが多いようです。 しかし、逆タイプ、つまり、f の微分を f で押さえるというタイプの 式が見つからなかったので、案の定、間違っていたのですね。 そもそも、一般にこの逆向きの不等式は無理なのでしょうかね？ 166 名前：156 mailto:sage [2007/10/29(月) 15:55:37 ] >>165 おっと， links.jstor.org/sici?sici=0002-9890%28197108%2F09%2978%3A7%3C705%3AIIIAFA%3E2.0.CO%3B2-2&size=LARGE&origin=JSTOR-enlargePage をよく読むと， 　∫_[0,1] |x f'(x)|^2 dx ＜ 2∫_[0,1] |f(x)|^2 dx については，「そういうf(x)が存在する」と主張しているだけでした。 存在を示すだけなら折れ線だけで大丈夫です。 つまり，この論文は間違っておらず，この論文を「不等式への招待」に転載したときに 著者が「存在」を「任意」だと取り違えてしまった，というのが実情でしょう。 ＞そもそも、一般にこの逆向きの不等式は無理なのでしょうかね？ 難しいと思いますね。 直観的に言うと，|f(x)|がいかに小さく抑えられていたとしても， その小さな幅の中で激しく振動しまくれば，|f'(x)|はいくらでも大きくすることができてしまいます。 逆に，|f'(x)|がある程度小さく抑えられていれば，f(x)の変動が小さいわけですから， |f(x)|もある程度の幅しか動けなくなります。 また，[0,1]上の関数f(x)を周期１の周期関数と見てexp(2πinx)によって フーリエ級数展開したときのフーリエ係数をc_nとすると，パーセバルの等式から 　∫_[0,1] |f(x)|^2 dx ＝ Σ_[n=-∞,∞] |c_n|^2 　∫_[0,1] |f'(x)|^2 dx ＝ (2π)^2Σ_[n=-∞,∞] n^2|c_n|^2 です。Σ|c_n|^2 と Σn^2|c_n|^2 の収束性の善し悪しを比較しても， |f'(x)|を|f(x)|で評価することの困難さが分かると思います。 167 名前：１３２人目の素数さん [2007/10/30(火) 22:30:48 ] >>166 >∫_[0,1] |x f'(x)|^2 dx ＜ 2∫_[0,1] |f(x)|^2 dx >については，「そういうf(x)が存在する」と主張しているだけでした。 >存在を示すだけなら折れ線だけで大丈夫です。 ご丁寧にありがとうございます。それなら、納得です。 （ところで、JSTORってフリーじゃないですね。） このタイプの不等式、つまり、微分を評価するのは、偏微分方程式の解の 評価とかで非常に重要で、また、いろいろと応用が多いのですが、 さすがにこれだけの条件では無理ですね。 ただ、不等式の形が特殊なのでいけるのかな？と思ったんですけど、おっしゃる ように関数が激しく振動してしまうと無理ですよね。 積分型の不等式で何か良い本がございましたら、教えてください。 （洋書でも構いません） 168 名前：156 mailto:sage [2007/10/31(水) 01:14:28 ] >>167 今手元にあるわけではなく，以前図書館でパラパラ見たときの記憶ですが， amazon.com/o/ASIN/0444517952 には積分型の不等式が大量に載っていたように思います。 お探しのタイプの不等式が載っているかどうかは分かりませんが。 169 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/12(月) 06:25:55 ] 多変数が良いな。L^p, p\neq 2 に関する不等式はないか？ 小平-Spencer-NirenbergのL^4 ぐらいで。 170 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/12(月) 18:01:36 ] >>169 お前の負けだな。 171 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/12(月) 18:04:38 ] リクエスト ｢二次式｣だけで、ごっつい不等式 172 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/12(月) 21:02:13 ] >>171 [問題（激難）] 実数 a_i > 0 (i=1,,,n) のとき、 a_1/(a_2 + a_3) + a_2/(a_3 + a_4) + … + a_{n-1}/(a_{n} + a_1) + a_n /(a_1 + a_2) >= n/2 が成り立つような、n の範囲を求めよ。 173 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/12(月) 22:45:09 ] >172 n≦13 および n(奇数)≦23 については成り立つらしいお。 　mathworld.wolfram.com/ShapirosCyclicSumConstant.html 　大関, ｢不等式への招待」 近代科学社 (1987) 絶版 n=3〜6 については 　過去スレのミイラ置場の 不等式スレ2.html の >889 n≦13 については 　H.S.Shapiro: "Problem 4603." Amer. Math. Monthly, ６１, p.571 (1954). 〔余談〕 (左辺) > n/3 ならば、3以上の自然数について成り立つらしい。 　過去スレのミイラ置場の 不等式スレ1.html の >501 174 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/12(月) 23:25:12 ] >>173 >>171 激難というか、未解決問題じゃねえかよ！ Shapiro の巡回不等式だな。 まあ、答えが直ぐに出る問題もいいが、こんな不等式でも未解決である ということは不思議だよな。（n によって真偽が異なるし） これを解いたら、かなりいい雑誌に論文として載るだろうから、挑戦 する価値は十分にあるだろう。 175 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/12(月) 23:40:49 ] 不等式に未解決問題があるとは驚いた。 176 名前：171 mailto:sage [2007/11/12(月) 23:50:29 ] >>172　どうもです。 >>173　なるほど。 干からびるにはもっていこいということですね。 177 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/13(火) 03:22:28 ] Shapiro's Cyclic Inequality (google) www.google.co.jp/search?hl=ja&q=Shapiro+Cyclic+Inequality&lr= J. Ineq. Appl. Shapiro’s cyclic inequality for even n (by P. J. Bushell and J. B. Mcleod) www.hindawi.com/GetArticle.aspx?doi=10.1155/S1025583402000164 In 1954 H. S. Shapiro proposed an inequality for a cyclic sum in n variables. All the numerical evidence indicates that the inequality is true for even n≤12 and for odd n≤23. We give an analytic proof for the case n=12, which implies the former result. The remaining case n=23 remains an open problem. 2002年の時点ではまだ未解決。 178 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/14(水) 00:46:05 ] >177 ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ! Full-text PDF もDLして読んでまつ････ 179 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/14(水) 03:11:28 ] >>178 他にも Shapiroの巡回不等式関係の論文は山ほどあるから、最新のを探して から読んだほうがいいよ。 漏れも今どこまで分かっているのか知らないから、もし分かったら教えてちょ。 しかし、Journal of Inequality なんて雑誌があるんだ。 不等式は奥が深いぞ！ やべ〜、はまりそうだ 180 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/14(水) 04:48:46 ] 『古田の不等式』は既出？ 181 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/14(水) 07:30:27 ] >>180 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1045388265/95 182 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/14(水) 08:55:34 ] 古田って前に新聞に出ていたけど、この不等式がよほどいい仕事だと 勘違いしているようだねｗ かなり痛い男だｗ 183 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/14(水) 08:57:15 ] 95 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 11:18 古田の不等式。 作った本人に聞けばそれが載ってる数学辞典やら他 様々な文献を見せ付けられることでしょう。 96 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 11:28 ﾜﾛﾀ 184 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/14(水) 20:47:18 ] 問題　次の不等式を証明せよ。ただし0<=ｘ<=1とする。 　　　　1/2 <= 1/1+√x <=　1/1+x二乗 どうしても分かりません;;;誰か解いてください!!;;;; 185 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/14(水) 20:51:44 ] 858 名前：１３２人目の素数さん ：2007/11/14(水) 20:41:47 藤川英華っておばはん顔じゃんｗ ブスだな 186 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/14(水) 21:11:15 ] >>182 いや、ホンマに凄いことなんやで！ 世界的数学者 古田の不等式 www.zaikai21.co.jp/zaifuku/back/0310.html 187 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/14(水) 21:14:59 ] 国際的に権威のある「数学百科全書」に名前が掲載されている日本人数学者はわずかしか存在しない。 数学百科全書ってなに？ Springerからでている　Encyclopaedia of Mathematical Science？ 188 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/14(水) 21:29:28 ] ディドロ＆ダランベール 189 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/15(木) 00:23:04 ] >>183 すごいな 四年も粘着してるのか どんな私怨があるんだろ？ 190 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/15(木) 00:41:41 ] >>189 どこにいる？ 191 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/15(木) 10:00:55 ] おまえのこと？ 192 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/15(木) 11:14:35 ] Shapiroの巡回不等式って、 本当に>>172のような単純な形をしているのか？ 元の原型はもっと複雑な形をしているんじゃないのか？ 不等式の未解決問題にしては妙に単純な形だ。 「不等式への招待」に現れる不等式の中には 何らかの理論の中に現れるものが結構あるのだが。 193 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/17(土) 10:15:46 ] 【問題】 f: [0,1] ---> R を C^2 級関数で f(0)=f(1)=0 をみたせば， 次の不等式が常に成立することを示せ： max_{x ∈ [0,1]} |f(x)| ≦ 1/8 max_{x ∈ [0,1]} |f^{(2)}(x)|． 194 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/17(土) 15:15:42 ] >193 (左辺) = |f(ξ)| とする。(ξ∈[a,b]) X>ξ でも X<ξ でも f(X)≦f(ξ) だから f'(ξ)≧0 かつ f'(ξ)≦0, ∴ f'(ξ) = 0, 　|f'(X)−f'(ξ)| = |(X-ξ)f"(η)| ≦ |X-ξ|･max{|f"(x)|;x∈[a,b]|}, 　|f (X)−f (ξ)| ≦ (1/2)(X−ξ)^2･max{|f"(x)|;x∈[a,b]}, 題意より f(a)=f(b)=0 だから, 　(左辺) = |f(ξ)| ≦ (1/2){min(ξ-a,b-ξ)}^2･max{|f"|} ≦ (1/8)(b-a)^2･max{|f"|} = (右辺), 注)　ξ∈[a,b] ⇒　min{ξ-a,b-ξ} ≦ |b-a|/2 を使った。 195 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/18(日) 03:42:56 ] >180-189 「ある作用素不等式のやさしい証明」 数学(岩波), Vol.40, p.354 (1988) wwwsoc.nii.ac.jp/msj6/sugaku/s-index.html 「それはスペルミスの手紙から始まった／フルタの不等式の成立をめぐって」 数セミ, Vol.32, No.10, 通巻385, p.68-71 (1993.10) www.nippyo.co.jp/maga_susemi/ss9310.htm 196 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/18(日) 14:41:48 ] >>192 そうだよ。 どうしてこの不等式が出てきたのかは知らないが、まだ未解決らしい。 もっとも、問題が簡単な形をしているから易しい、というのは完全な誤解。 それは、フェルマー予想やポアンカレ予想のことを思えば納得行くだろう。 しかし、Shapiro の巡回不等式の場合、n=14, 20 で反例があることは分かっている。 16≦n の場合を大型計算機ででチェックぐらいはすれば、ある程度は分かると思う。 なお、n が十分大きければ、不成立であることも分かっている。 197 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/19(月) 20:00:37 ] Shapiro の巡回不等式は本当にあの形をしているのか！ むしろ、今まで多くの人に知られずにいたのが不思議なくらいだ。 フェルマー予想のように有名な問題であってよかった筈だが。 198 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/23(金) 04:38:52 ] 92 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [] 投稿日：2007/11/22(木) 21:22:50 a,bは正の実数，tは正の実数とする．このとき，いかなるa,bに対しても以下の不等式が成り立つようなtの最小値を求めよ． log√(ab)≦{(a+b)/2}^t 93 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2007/11/22(木) 22:15:42 >>92 a=b=e^eとすれば、(左辺)=e,(右辺)=e^(et)　となるので、与不等式が成立するためには et≧1、すなわちt≧1/eでなければならない。 次に、t=1/eで不等式が成立することを示す。 y=logx上の点(e,1)での接線がy=x/eであり、y=logxのグラフが上に凸なので x/e≧logxが言え、この式からx≧log(x^e)が導かれる。 このときx^e=zとすることでz^(1/e)≧logzとなる……�@ また相加相乗平均の不等式から{(a+b)/2}^(1/e)≧(√ab)^(1/e)となる……�A �@でz=√abとして�Aと組み合わせることで{(a+b)/2}^(1/e)≧log√abが示される。 以上から、求めるtの最小値は1/e。 問題文の左辺をloga+logbとした方が解きづらい問題になりそう。 94 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2007/11/22(木) 22:46:51 >92 相加相乗平均より、(左辺) ≦ log((a+b)/2) = log(A), 　>84 の式で y=(1/e)A^t とおく。 　t*log(A) ≦ (1/e)A^t, 与式成立条件は、t≧1/e, 199 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/28(水) 05:10:35 ] 高校質問スレで質問したところ、こちらを勧められたので質問させて頂きます。 |a|,|b|,|c|<1のとき、(1)ab+1>a+b(2)abc+2>a+b+cを証明せよ。 という問題があり、この2つはゴリ押しで何とか解けたのですが 4文字以上の場合に繋がるような証明法がどうしても思いつきません。 |a1|,|a2|,・・・,|an|<1のとき、a1・a2・・・an+(n-1)>a1+a2+・・・+an 成り立つかどうかもわからないのですが、わかる方いましたらよろしくお願いします。 200 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/28(水) 10:00:00 ] a(bc)+2>a+bc+1>a+b+c.

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