代数的整数論 II

1 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 16:08:30 ] さぁ、好きなだけ語れ。 シロート厳禁、質問歓迎！ 前スレ science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1126510231 944 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/09(木) 11:51:25 ] >>943 Supp(M) = V(Ann(M)) (前スレの161) だから dim(M) は Supp(M) だけで決まる。 945 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/11(土) 12:09:58 ] king kong bundy.... sugoi wrestler datta..... 946 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/02/11(土) 12:13:42 ] talk:>>945 私を呼んだか？ 947 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/14(火) 14:09:59 ] ころ 948 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/02/14(火) 16:46:22 ] 補題 A を環とし、M を有限生成 A-加群とする。 p を A の素イデアルとし、A_p の剰余体 A_p/pA_p を k とおく。 標準射 A → A_p により k を A-加群とみて A 上のテンソル積 M(x)k を考える。 このとき、M(x)k = 0 は M_p = 0 と同値である。 証明 M(x)k = M_p/(pA_p)M_p であり、M_p は有限生成 A_p-加群であるから 中山の補題(前スレの242)より、M_p/(pA_p)M_p = 0 から M_p = 0 が 出る。逆は明らか。 証明終 949 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/14(火) 16:47:36 ] 補題 k を体とし、M, N を k-加群とする。 M(x)N を k 上のテンソル積とする。 M ≠ 0 かつ N ≠ 0 なら M(x)N ≠ 0 である。 証明 x ∈ M で x ≠ 0 なら x は M の k 上の基底の要素となる。 同様に、y ∈ N で y ≠ 0 なら y は N の k 上の基底の要素となる。 よって x(x)y も M(x)N の基底の要素となる。 よって x(x)y ≠ 0 であり、M(x)N ≠ 0 となる。 証明終 950 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/14(火) 16:48:24 ] 補題 A を環とし、M と N を A-加群とする。 B を A-代数とする。 このとき、(M(x)N)_B = M_B(x)N_B となる。 ここで、M_B = M(x)B である。N_B, (M(x)N)_B も同様。 M_B(x)N_B は B 上のテンソル積である。 証明 テンソル積の結合法則と B と B-加群 N_B の B 上のテンソル積 B(x)N_B は N_B に等しいことを使う。 (M(x)N)_B = M(x)N_B = M(x)(B(x)N_B) = M_B(x)N_B 証明終 951 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/14(火) 16:58:59 ] 補題 A を環とし、M と N を有限生成 A-加群とする。 Supp(M(x)N) = Supp(M) ∩ Supp(N) となる。 証明 p を A の素イデアルとし、A_p の剰余体 A_p/pA_p を k とおく。 標準射 A → A_p により k を A-代数とみる。 >>950 において B を k に置き換えて (M(x)N)_k = (M_k)(x)(N_k) となる。 よって、>>948 と >>949 より Supp(M(x)N) = Supp(M) ∩ Supp(N) となる。 証明終 952 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/14(火) 18:31:32 ] ころ 953 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/15(水) 10:28:58 ] 命題 A を環とし、M を有限生成 A-加群とする。 I を A のイデアルとする。 Supp(M/IM) = V(Ann(M) + I) である。 証明 M/IM = M(x)(A/I) だから、 >>951 より Supp(M/IM) = Supp(M) ∩ Supp(A/I) となる。 Supp(M) = V(Ann(M)) (前スレの161) だから Supp(M/IM) = V(Ann(M)) ∩ V(I) = V(Ann(M) + I) となる。 証明終 954 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/15(水) 10:59:38 ] >>953の別証明をする。 この別証明は、あまり知られてないのではないか。 少なくとも、私は他で見たことがない。 955 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/15(水) 11:00:28 ] 補題 A を環とし、M を有限生成 A-加群とする。 I を A のイデアルとする。 Ann(M/IM) ⊂ rad(Ann(M) + I) となる (rad の記号については前スレの164参照)。 証明 M の生成元を ω_1, ..., ω_n とする。 x ∈ Ann(M/IM) とする。 xM ⊂ IM となる。 よって、以下の関係式が成立つ。 xω_1 = a_(1,1) ω_1 + a_(1,2) ω_2 + ... + a_(1,n) ω_n xω_2 = a_(2,1) ω_1 + a_(2,2) ω_2 + ... + a_(2,n) ω_n . . . xω_n = a_(n,1) ω_1 + a_(n,2) ω_2 + ... + a_(n,n) ω_n ここで、各 a(i,j) は I の元。 前スレの505の証明と同様にして、 モニックな n 次の多項式 f(X) ∈ A[X] で、 その X^n 以外の係数がすべて I に属すものがあり、f(x)M = 0 となる。 よって、f(x) ∈ Ann(M) である。 よって、x^n ∈ Ann(M) + I となる。 これは x ∈ rad(Ann(M) + I) を意味する。 証明終 956 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/20(月) 14:36:42 ] ころ 957 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/20(月) 18:52:01 ] age 958 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/20(月) 21:09:34 ] もう飽きたのか？ 959 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/02/21(火) 12:27:51 ] >>953の別証明 Ann(M) + I ⊂ Ann(M/IM) は明らか。 よって、>>955 より Ann(M) + I ⊂ Ann(M/IM) ⊂ rad(Ann(M) + I) となる。 一方、V(Ann(M) + I) = V(rad(Ann(M) + I) ) だから V(Ann(M) + I) = V(Ann(M/IM)) である。 この右辺の V(Ann(M/IM)) は、Supp(M/IM) だから Supp(M/IM) = V(Ann(M) + I) である。 証明終 960 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/21(火) 17:21:49 ] ころ 961 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/22(水) 14:35:46 ] 次ｽﾚ live19.2ch.net/test/read.cgi/ogame/1140344331/ 962 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/22(水) 14:50:23 ] 次ｽﾚ終了 963 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/22(水) 14:52:18 ] ころ 964 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/23(木) 02:07:35 ] このスレ 　〜〜〜終了〜〜〜 965 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/23(木) 13:33:21 ] ころ 966 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/23(木) 18:06:46 ] 命題 A をネーター環とし、M を有限生成 A-加群とする。 I を A のイデアルとすると、 dim(M/IM) = dim(A/(Ann(M) + I)) となる。 証明 >>943, >>944 と >>953 より明らか。 967 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/24(金) 09:44:38 ] 定義 A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、 M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。 x_1, ... x_r を m の相異なる元の列とする。 dim(M/x_1M + ... + x_rM) = dim(M) - r となるとき、 x_1, ... x_r を M に関する切断列(secant sequence) または M-切断列と呼ぶ。 968 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/24(金) 09:50:15 ] 話は変わるけど、代数多様体の正規点における局所環の完備化は 正規であるというZariskiの定理の証明ってあまり本に書いてないね。 この定理は代数幾何では重要なんだけど。 Zariski-Samuelには当然書いてある。 969 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/24(金) 09:56:44 ] 補題 A をネーター環とし、M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。 x を rad(A) の元とすれば、 dim(M/xM) ≧ dim(M) - 1 となる。 証明 I = Ann(M)、B = A/I とおく。 定義より、dim(M) = dim(B) である。 前スレの446より dim(B) ≧ dim(B/xB) - 1 となる。 B/xB = A/(I + xA) であるから、>>953 より dim(B/xB) = dim(M/xM) である。 証明終 970 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/24(金) 10:04:33 ] 補題 A をネーター局所環とし、m をその極大イデアルとする。 I を m に含まれるイデアルとする。 dim(A/I) ＜ dim(A) なら x ∈ I で dim(A/xA) = dim(A) - 1 となるものが存在する。 証明 dim(A) = n とする。 dim(A/p) = n となる A の素イデアル p は A の極小素イデアル であるから有限個である。これ等を p_1, .., p_r とする。 dim(A/I) ＜ dim(A) だから I はどの p_i にも含まれない. 前スレの579より I の元 x でどの p_i にも含まれないものがある。 >>942 より dim(A/xA) = dim(A) - 1 である。 証明終 971 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/24(金) 10:06:30 ] 補題 A をネーター局所環とし、m をその極大イデアルとする。 dim(A) ≧ 1 なら x ∈ m で dim(A/xA) = dim(A) - 1 となるものが存在する。 証明 >>970 において I = m とすればよい。 証明終 972 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/24(金) 10:09:54 ] >>967 の切断列の定義はBourbakiによる。 973 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/24(金) 10:24:44 ] 命題 A をネーター環とし、M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。 x_1, ... x_r を rad(A) の元の列とすれば、 dim(M/(x_1M + ... + x_rM)) ≧ dim(M) - r となる。 証明 r に関する帰納法を使う。 r = 1 のときは >>969 で証明されている。 r > 1 とする。 M/(x_1M + ... x_(r-1)M) = N とおく。 N/x_rN = M/(x_1M + ... + x_rM) である。 >>969 より、dim(N/x_rN) ≧ dim(N) - 1 である。 帰納法の仮定より、dim(N) ≧ dim(M) - r + 1 である。 よって、dim(N/x_rN) ≧ dim(N) - 1 ≧ dim(M) - r 証明終 974 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/24(金) 10:45:48 ] A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、 M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。 S = {x_1, ..., x_r} を m の r 個の元からなる集合とする。 列 x_1, ..., x_r が M-切断列(>>967)になることは、集合 S のみで 定まる。よって、集合 S も（不正確だが）M-切断列と呼ぶ。 x_1M + ... + x_rM を SM と書く。 975 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/24(金) 10:48:21 ] 記法の定義 集合 S の濃度を |S| と書く。 976 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/24(金) 11:14:03 ] 補題 A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、 M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。 S と T を m の元からなる空でない有限集合で交わらないものとする。 S∪T が M-切断列(>>974)になることと、 S が M-切断列 であり、かつ T が (M/SM)-切断列 となることは同値である。 証明 N = M/SM とおく。 N/TN = M/(S∪T)M となる。 よって、次の等式が得られる(記法 |S| については >>975)。 dim(M/(S∪T)M) - dim(M) + |S| + |T| = (dim(N/TN) - dim(N) + |T|) + (dim(M/SM) - dim(M) + |S|) >>973 より、この等式の左辺 ≧ 0 であり、 右辺の括弧の中の各項も ≧ 0 である。 さらに、S と T は交わらないから、|S∪T| = |S| + |T| である。 よって本補題の主張が得られる。 証明 977 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/24(金) 15:21:18 ] ころ 978 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/27(月) 14:46:32 ] 9208さん、新スレ立てましたので 引越しをお願いいたします。 science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1141019088/ 979 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/27(月) 21:24:08 ] 梅 980 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/27(月) 21:24:50 ] ウメ 981 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/28(火) 00:02:57 ] メシ 982 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/28(火) 00:43:37 ] シマ 983 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/28(火) 09:57:11 ] ( ´,_ゝ｀)プッ 984 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/28(火) 16:08:30 ] 九十八日。 985 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/28(火) 21:49:11 ] （；゜〇゜) 986 名前：１３２人目の素数さん [2006/03/01(水) 11:00:31 ] king氏ね 987 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/03/01(水) 11:24:43 ] talk:>>986 お前に何が分かるというのか？ 988 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/01(水) 11:40:00 ] >>987 たまには数学の話もしてみれば？ 989 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/03/01(水) 11:42:47 ] talk:>>988 何やってんだよ？ 990 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/01(水) 12:48:41 ] 　 ε　⌒ﾍ⌒ヽﾌ 　（ 　　( ；・ω・）＝3　呼んだブヒ？ 　　しー し─Ｊ 991 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/01(水) 20:37:49 ] kkkinggguuu 992 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/03/01(水) 21:50:52 ] talk:>>991 私を呼んだか？ 993 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/02(木) 00:10:52 ] 消えろ 994 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/02(木) 04:20:59 ] ほらほら 995 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/02(木) 04:22:16 ] もうすぐだよ、ほら 996 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/02(木) 04:23:08 ] 後少しで、ほら 997 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/02(木) 04:23:54 ] みんな、寝てるのかな 998 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/02(木) 04:24:56 ] きっとこの先何年たってもこれだけは変わらない！ 999 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/02(木) 04:25:49 ] そうこの数学板のみんなも！ 1000 名前： ◆xeS.CIM.Jk [2006/03/02(木) 04:28:16 ] 数学を愛するすべての人は幸せになる！ 小さな希望にも無限の可能性を抱いて頑張れる！ 数学は不滅だ！それを愛するおまいらがいる限り！ 1001 名前：１００１ [Over 1000 Thread] このスレッドは１０００を超えました。 もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。

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