純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20

1 名前：１３２人目の素数さん [2025/04/24(木) 23:06:30.63 ID:ntJgvTuV.net] クレレ誌： https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%83%AC%E8%AA%8C クレレ誌はアカデミーの紀要ではない最初の主要な数学学術誌の一つである（Neuenschwander 1994, p. 1533）。ニールス・アーベル、ゲオルク・カントール、ゴットホルト・アイゼンシュタインらの研究を含む著名な論文を掲載してきた。 (引用終り) そこで 現代の純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）スレとして 新スレを立てる（＾＾； ＜前スレ＞ 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）19 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1725190538/ ＜関連姉妹スレ＞ ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/ スレタイ 箱入り無数目を語る部屋22 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724982078/ Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 71 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1713536729/ IUTを読むための用語集資料スレ2 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1606813903/ 現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3 (過去スレ落ち) https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/ ＜過去スレの関連（含むガロア理論）＞ ・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む84 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582200067/ ・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む83 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/ つづく 652 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/17(火) 08:27:45.29 ID:AiDc4ZSY.net] >>607 面白い？ 653 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/17(火) 08:29:25.54 ID:imHVDh7R.net] >>608 おまえはつまらないから消えて 654 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/17(火) 09:00:09.05 ID:AiDc4ZSY.net] きみは面白いわけか 655 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/17(火) 09:03:52.40 ID:AiDc4ZSY.net] 部分集合族が面白いわけは？ 656 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/17(火) 09:46:31.43 ID:imHVDh7R.net] 言葉分からん？　消えろ 657 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/17(火) 09:50:16.18 ID:AiDc4ZSY.net] 当分無理だということが分からん？ 658 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/06/17(火) 14:13:48.42 ID:5DT6XHJJ.net] >>606-613 ID:imHVDh7R は、御大か 巡回ありがとうございます。 旧帝N大 OTゼミでも 口先だけで、ゼミを”しのぐ”ことを考える ヤカラがいる 大概、黒板ハリツケの刑だｗ　；ｐ） とつぜん”部分集合族”という用語で、矛先をそらすか？ｗ どっこい、数学科のゼミはそれを許すような甘いものではない さて、世に ”存在定理”というものがある（下記） AIさんが「高木の存在定理」とか例示するんだ 「代数学の基本定理」は、ja.wikipediaの例だ ”存在公理”という言葉はないが、 ”存在定理”と同様に 存在のみを保証し、その具体的な性質については、あまり触れない公理がある 典型例が、選択公理で選択関数の存在のみを保証する もう一つの例が、無限公理だろう。無限集合の存在を主張するが 無限がいくつあって、それがどんなものかは、示されない その 無限公理の主張する 具体的でない無限集合から 自然数の集合Nを抽出する それが >>605 の Axiom of infinity ”Extracting the natural numbers from the infinite set”だね ”部分集合族”ね。ゴマカシでしょｗ　；ｐ） (参考) google検索： 存在定理 AI による概要（AI の回答には間違いが含まれている場合があります。） 存在定理とは、数学において、ある条件を満たす対象の存在を保証する定理の総称です。具体的にどのような対象が存在するかは示されない場合もあります 例 高木の存在定理: 類体論における重要な定理で、代数体の合同群とアーベル拡大の関係を述べています 存在定理の特徴: ・「ある対象が存在する」ということを保証するだけで、具体的な対象の構成方法や求め方を示すものではない場合があります ・存在を示すことで、その後の研究や問題解決に繋がる手がかりを与えることがあります ・数学の様々な分野で、存在定理が重要な役割を果たしています 存在定理は、数学における証明や問題解決において、対象の存在を前提として議論を進めることができるため、非常に重要な役割を果たしています (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AD%98%E5%9C%A8%E5%AE%9A%E7%90%86 存在定理（英: existence theorem[1]または英: theorem of existence[2]）とは、何らかの数学的対象の存在をいう定理の総称。定理の内容や証明において、対象の具体的な構成方法は必ずしも示されない 具体例 代数学の基本定理 中間値の定理 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%AB%98%E6%9C%A8%E3%81%AE%E5%AD%98%E5%9C%A8%E5%AE%9A%E7%90%86 類体論の高木の存在定理とは、代数体 K の一般化されたイデアル類群に対してそれに対応する K の有限 659 名前：次アーベル拡大が存在するという定理である 歴史 存在定理は高木貞治の論文 (1915) で証明された[8]。その後、高木は「アーベル拡大すなわち類体」という類体論の基本定理に到達し、結果を Takagi (1920) にまとめた[9]。これらの研究は第一次世界大戦の最中になされ、1920年の国際数学者会議で発表された。1920年代の類体論の古典的理論の発展に主導的な役割を果たした [] [ここ壊れてます] 660 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/17(火) 14:26:00.66 ID:imHVDh7R.net] >>614 >とつぜん”部分集合族”という用語で、矛先をそらすか？ｗ 君さあ >　和記号Σや積記号Πならば、普通その範囲を明示するべきだろ？ >　Σ n=1〜∞とか Σ m,n=1〜∞とかね >　では問う 記号∩について 同じことを要求する >　きちんと、記号∩の定義を書け！ >　ここ、ツッコミどころだねｗ と、大ボケかましたのもう忘れたのかい？ ∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]} はAの部分集合族の共通部分。範囲の明示なんて要らないよｗ って教えてあげたのに、何を「矛先をそらす」とか発狂してんの？　発狂してないで勉強しろよｗ そんなだから落ちこぼれるんだよ 661 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/17(火) 14:33:10.25 ID:imHVDh7R.net] >>614 >もう一つの例が、無限公理だろう。無限集合の存在を主張するが >・・・それがどんなものかは、示されない ほらね　>>603で言った通り誤解してる。 ∃A({}∈A∧∀x∈A(x∪{x}∈A))という論理式が読めないんだね。 この程度も読めないんじゃ数学は無理だからあきらめたら？ 662 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/17(火) 14:41:00.25 ID:imHVDh7R.net] >>614 >”部分集合族”ね。ゴマカシでしょｗ　；ｐ） 部分集合族も知らずに「∩の範囲が書かれてないからwikipediaは眉唾だ」とか言って赤っ恥かいたのをゴマカシてるのが君 君の無自覚力は強烈やなｗ 663 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/17(火) 15:19:12.28 ID:imHVDh7R.net] >>597 >全ての無限集合の共通部分が、自然数の集合Nだと言えるのです 大間違い。Nではなく{}。 証明 偶数全体の集合をE、奇数全体の集合をOと書く。E,Oは無限集合である。E,Oを除くすべての無限集合の共通部分をCと書く。 すべての無限集合の共通部分=C∩E∩O=C∩{}={}。 口から出まかせ言って赤っ恥かいてもごまかして平然としてるから成長できないんだよ、オチコボレ君。 664 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/17(火) 15:26:14.21 ID:imHVDh7R.net] >>597 >全ての無限集合の共通部分が、自然数の集合Nだと言えるのです 正しくは 「無限公理が存在を謳う集合全体の集合の共通部分をNと定義すれば、Nはペアノの公理を満たす。」 まあ無教養なオチコボレには到底理解できないだろうなぁ（遠い目） 665 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/06/17(火) 17:55:54.81 ID:5DT6XHJJ.net] >>615 ふっふ、ほっほ 必死のゴマカシ >∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]} >はAの部分集合族の共通部分。範囲の明示なんて要らないよｗ １）数学ゼミにおいて、”自明”禁句ですよｗ　；ｐ） 　だいたいゼミで、”自明”を連発するやつは、”あやしい”と相場が決まっているｗ ２）無限の和や積の操作が、きちんと意味を持つかどうか？ 　それは、常に注意しておく必要があるのです 　卑近な例が、（下記）（無限）交代級数の収束です ３）つまり、上記”y∪{y}”は 有限２つの集合和だから 無問題 　では ∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}の 集合の積はどうか？ 　そもそも 有限積ではないのだろうが・・（有限積か無限積かの証明さえないよ） 　いま、無限積として、それに意味を与えられるかどうかの証明がない！ ４）ならば、”∩”は、使わない方が無難ってことじゃないの？ｗ　；ｐ） (参考) https://wiis.info/math/real-number/series/alternating-series/ wiis 交代級数の定義と収束条件 項の正負が交互に入れ替わる無限級数を交代級数と呼びます。交代級数が収束するための条件を明らかにします。 目次 交代級数 交代級数の収束条件 先の命題が要求する条件の吟味 演習問題 関連知識 666 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/17(火) 18:23:23.90 ID:imHVDh7R.net] >>620 >>∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]} >>はAの部分集合族の共通部分。範囲の明示なんて要らないよｗ >１）数学ゼミにおいて、”自明”禁句ですよｗ　；ｐ） ”明示”な？ ガチで字読めなくて草　小学校からやり直し >いま、無限積として、それに意味を与えられるかどうかの証明がない！ 意味を与えられない部分集合族の共通部分の例を一つでよいから挙げてみて >４）ならば、”∩”は、使わない方が無難ってことじゃないの？ｗ　；ｐ） オチコボレはまず大学一年の教科書を勉強しろ　意見するのは100年早い 667 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/17(火) 22:46:35.49 ID:imHVDh7R.net] >>620 >>∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]} >>はAの部分集合族の共通部分。範囲の明示なんて要らないよｗ オチコボレ君はなんで範囲の明示が要らないかチンプンカンプンなんだろうね。 添字付けられた集合族ではないからそもそも範囲という概念が無いんだよｗ ちなみに "x⊂A"はxがAの部分集合であることを表しているから、{x⊂A|P(x)}はAの部分集合族（すなわち2^Aの部分集合）であり、 開論理式P(x):={}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]が真となるような元xのみを持つ集合である。 よって∩{x⊂A|P(x)}は、前記集合族に属すいずれの集合にも属すような元のみを持つ集合である。 この通り∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}の素性は明らかであって、オチコボレ君が言いがかりつける隙なんて１ミリも無い。 オチコボレ君さあ、せっかく部分集合族って教えてあげたんだからwikipedia「集合族」のページくらい読もうよ。 添字付けられた集合族も部分集合族もちゃんと載ってるよ。君、ほんと勉強嫌いだね。 668 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/17(火) 22:51:17.01 ID:imHVDh7R.net] 人に教えられなくても理解するのが正常人 人に教えられて理解するのは普通のバカ 人に教えられても理解できないオチコボレ君 669 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/17(火) 23:02:10.00 ID:imHVDh7R.net] オチコボレ君「wikipediaは誰でも編集できるから眉唾」 眉唾なら君自身で中身を読んで理解して判断しようね。いい歳した大人なんだから。 大学教授が書いたから正しいみたいに肩書で判断しちゃダメだよ。そんなだから落ちこぼれたんだよ。分ったかい？ 670 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/06/18(水) 10:35:20.49 ID:1ZjEJMOG.net] >>621-624 ふっふ、ほっほ (引用開始) >>∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]} >>はAの部分集合族の共通部分。範囲の明示なんて要らないよｗ オチコボレ君はなんで範囲の明示が要らないかチンプンカンプンなんだろうね。 添字付けられた集合族ではないからそもそも範囲という概念が無いんだよｗ (引用終り) まあ、素人考えだな （普通ではあるが、公理的集合論にはなじまない） ツッコミどころは １）”旅の途中”＊） ２）∩（集合積）は、俗にいう構造敏感だということ （　＊）”旅の途中”という昔流行った歌がある https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%97%85%E3%81%AE%E9%80%94%E4%B8%ADなど） さて、まず１）について、そもそも公理による無限集合N（自然数の集合）の構築について 素朴には、ペアノ公理による 0,1,2,3・・・をすべて集めて、集合にすれば よかんべだが 問題は、ラッセルパラドックスで、無限に関する操作を 無制限に認めるのはまずってことだ そこで、集合論の公理を設定して、抑制的に集合操作をして カントールやデデキントの素朴集合論の構築をしようとなった いまは、”旅の途中”で 無限集合N（自然数の集合）さえ、まだ得ていない ちょっと脱線するが、誰しも考えるのは 素朴単純に 公理として ”ペアノ公理による 0,1,2,3・・・をすべて集めて、集合Nが出来た”（0,1,2,3・・・たちはノイマン後者関数による） を公理として 決めればよかんべ と思う ところが、次には 自然数の集合Nより大きな集合を認めるかどうかが問題になるのです そこで、公理としては 自然数の集合Nを含む大きな集合の存在を公理として認めて、Nはそこから落としてくる この方が公理としてキレイなのだ 次に、２）について >>571から再録すると ”簡単に例示すると、5つの集合A,B,C,D,Eにおいて ∩{A,B,C} 3つだけの積集合と ∩{A,B,C,D,E} 5つ全部の積集合とでは 当然 積集合の大きさが異なる” 繰り返すが、100個の集合の積∩に 新たに一つ集合が増えると ∩{100個} ≠∩{101個}となる可能性が高い というか そう考えるべきなのだ 記号∩を使う問題点は、そこにある つまり、冒頭の∩の式で無限の集合全て "∀"が きちんと尽くされたという保証がないと 最小であるべき無限集合たる自然数Nの定義に曖昧さが残ることになる ところが、そもそも”無限集合”の概念が確立されていない （”旅の途中”では 無限集合族などを無造作に使うべきではない） 対して、>>571 Extracting the natural numbers from the infinite set https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity や、>>569 筑波大 坪井明人 PDF P9 が やっていることは 無限公理で保証されたNを含む無限集合の部分集合として 再度 ペアノ公理による 0,1,2,3・・・をすべて集めて 部分集合として構築するってことだね しかも、公理で許される集合操作のみを使ってってこと 君の 部分集合族の議論は、最終段階では正しいだろうが いまは、”旅の途中”ってことよ 671 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/18(水) 12:03:16.69 ID:Qh/3AgjL.net] >>625 >まあ、素人考えだな 素人に失礼だろ。ど素人だよ君は。初歩の初歩から分かってない。 >そもそも公理による無限集合N（自然数の集合）の構築について もう一行目からおかしい。 >素朴には、ペアノ公理による 0,1,2,3・・・をすべて集めて、集合にすれば よかんべだが ペアノの公理も分かってない。ペアノの公理読めよｗ >問題は、ラッセルパラドックスで、無限に関する操作を 無制限に認めるのはまずってことだ 全然違うけど。 >そこで、集合論の公理を設定して、抑制的に集合操作をして カントールやデデキントの素朴集合論の構築をしようとなった >いまは、”旅の途中”で 無限集合N（自然数の集合）さえ、まだ得ていない ZF公理系にNなんて無い。だから構成が必要。 >ちょっと脱線するが、誰しも考えるのは 素朴単純に 公理として >”ペアノ公理による 0,1,2,3・・・をすべて集めて、集合Nが出来た”（0,1,2,3・・・たちはノイマン後者関数による） >を公理として 決めればよかんべ と思う ペアノの公理も分かってない。ペアノの公理読めよｗ >ところが、次には 自然数の集合Nより大きな集合を認めるかどうかが問題になるのです 実数全体の集合が自然数全体の集合より大きいことはカントールが証明済み。認めなくてどうするｗ >そこで、公理としては 自然数の集合Nを含む大きな集合の存在を公理として認めて、Nはそこから落としてくる >この方が公理としてキレイなのだ それ君の感想だよね？　何を言うのかと思えば愚にもつかぬ感想を言いたかっただけかい オチコボレに感想を述べる権利なんて無いよ　オチコボレは黙って勉強すべし 672 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/18(水) 12:05:46.37 ID:Qh/3AgjL.net] >>625 >次に、２）について >>571から再録すると >”簡単に例示すると、5つの集合A,B,C,D,Eにおいて >∩{A,B,C} 3つだけの積集合と >∩{A,B,C,D,E} 5つ全部の積集合とでは >当然 積集合の大きさが異なる” >繰り返すが、100個の集合の積∩に 新たに一つ集合が増えると >∩{100個} ≠∩{101個}となる可能性が高い というか そう考えるべきなのだ >記号∩を使う問題点は、そこにある 君が言ってるのは集合の内包的表記の否定そのものだよ。そりゃ落ちこぼれるわ。 https://wiis.info/math/set/set/set/#elementor-toc__heading-anchor-1 の「集合と内包的表記」のところ読んでみ？ >つまり、冒頭の∩の式で無限の集合全て "∀"が きちんと尽くされたという保証がないと >最小であるべき無限集合たる自然数Nの定義に曖昧さが残ることになる 君が集合の内包的表記を分かってないことから来る誤解。 673 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/18(水) 12:06:08.80 ID:Qh/3AgjL.net] >>625 >ところが、そもそも”無限集合”の概念が確立されていない >（”旅の途中”では 無限集合族などを無造作に使うべきではない） 今度は無限公理を否定する気かい？ >対して、>>571 Extracting the natural numbers from the infinite set https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity >や、>>569 筑波大 坪井明人 PDF P9 が やっていることは >無限公理で保証されたNを含む無限集合の部分集合として うん、そこまでは正しい。 >再度 ペアノ公理による 0,1,2,3・・・をすべて集めて 部分集合として構築するってことだね ぜんぜん違うけど。ゼロ点。 正しくは、無限公理が存在を謳うどの集合にも属す元のみを持つ部分集合。 >しかも、公理で許される集合操作のみを使ってってこと 公理で許されてない集合操作って具体的に何？一例でよいから挙げて。 >君の 部分集合族の議論は、最終段階では正しいだろうが >いまは、”旅の途中”ってことよ ぜんぜん的外れ。 で、なんかシレっとごまかしてるけど （引用開始） >いま、無限積として、それに意味を与えられるかどうかの証明がない！ 意味を与えられない部分集合族の共通部分の例を一つでよいから挙げてみて （引用終了） はどうなったの？ 674 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/06/18(水) 17:02:57.74 ID:1ZjEJMOG.net] >>626-628 素人が、グダグダ言い訳している さて １）なぜ無限公理が必要なのか？ 　その答えが 下記 渕野”Dedekind の数学の基礎付けと集合論の公理化” 　P173-174 "3 無限の存在証明"に記されている通り 　「無限の存在が集合論の他の公理から独立である」ってこと ２）集合論の公理は”スッキリ”していることが求められる 　なので、>>625に示したように 単に 自然数の集合Nの存在だけを公理とするのではなく 　Nを含む（Nより大きな）集合の存在を公理として認めて、それ以外の公理系から 　もし”Extracting the natural numbers from the infinite set”（下記）が可能なら 　その方がスッキリだってこと（我々が求めているのは そのさらに先で N→Q→Rと 順序数*)の構築なのだから） 　*)https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0 ３）下記に ”Extracting the natural numbers from the infinite set”を 　全文引用しておいたから、百回音読してね 　文中で、axiom schema of specification 、axiom of extensionality、 axiom of induction 　など 使う公理が明示されているでしょ？ そして 最後”I=ω”が結論ですよ！ 素人が、グダグダ書いても なんの格好付けにもなってないよｗ (参考) https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1739-16.pdf RIMS講究録 Dedekind の数学の基礎付けと集合論の公理化 渕野昌(神大)2011 P170 無い物ねだり的な指摘をすることはたやすい．彼の時代には，現代の我々が識るような形式論理はまだ生れてすらいなかった(彼とほぼ同時代のFrege の研究には形式論理学の萌芽のようなものが見られるが，[3] の第2版の前書き(1893)では，Dedekind は，Frege の仕事を後になってからはじめて知ることになったと書いている).いわんや，形式的推論の体系や，その体系の完全性，そして不完全性定理に基づく知見は，どう頑張ったとしてもDedekindの行なった考察の背景にはなり得なかったはずのものである P173 3 無限の存在証明 単純無限的体系によって自然数の全体の体系の基礎付けがなされうるためには， そもそも無限集合の存在が大前提となる．しかも，これが，「数の理論を扱かう論理学の部分の基礎付け」としてなされるためには，無限集合の存在が無条件に証明できなくてはならない． P174 晩年のDedekind が，無限の存在証明([3] の66.) の残ったままのテキストをこの再版に回してしまったことの背景だったのではないだろうか． ただし，Dedekind の名誉のために付け加えておくと，1911 年の時点では，無限の存在が集合論の他の公理から独立であることは，当時の若い集合論の研究者たちすら，まだ完全には把握しきれていなかった可能性がある P176 集合論の基礎に関してDedekind の越えられなかった壁は，Zermelo やFraenkelが易々と越えることができたが，このZermelo も後にG"odel の不完全性定理を全く理解できず，不完全性定理以降の数学の発展に取り残されることになっ た. 1960 年代に強制法の理論が確立されたときにも，この手法を理解できなかったことで，多くの集合論の研究者が脱落していった つづく 675 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/18(水) 17:03:29.67 ID:1ZjEJMOG.net] つづき 集合論の研究の内部でも，Cantor とDedekind の集合論について述べたよ うな，「純粋集合論」と「数学としての集合論」の問の大きな分離は早い時期か ら見られたが，20 世紀の終りごろから，この2 つの集合論の潮流が合流し，新 しいパラダイムが生れつつあるように見える． （ついでに下記も） https://fuchino.ddo.jp/misc/kyoto10-08-24-talk-pf.pdf RIMS研究集会「数学史の研究」での講演 2010 Kronecker,Dedekind,Hilbert on the Foundation of Arithemetic 渕野昌神戸大学大学院システム情報学研究科 https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku/65/4/65_0654411/_article/-char/en https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku/65/4/65_0654411/_pdf/-char/en 数学 2013 Volume 65 Issue 4 Pages 411-421 特別企画 これから学ぶ人のために 公理的集合論 渕野昌 https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity Axiom of infinity Extracting the natural numbers from the infinite set The infinite set I is a superset of the natural numbers. To show that the natural numbers themselves constitute a set, the axiom schema of specification can be applied to remove unwanted elements, leaving the set N of all natural numbers. This set is unique by the axiom of extensionality. To extract the natural numbers, we need a definition of which sets are natural numbers. The natural numbers can be defined in a way that does not assume any axioms except the axiom of extensionality and the axiom of induction—a natural number is either zero or a successor and each of its elements is either zero or a successor of another of its elements. In formal language, the definition says: ∀n(n∈N⟺([n=∅∨∃k(n=k∪{k})]∧∀m∈n[m=∅∨∃k∈n(m=k∪{k})])). Or, even more formally: ∀n(n∈N⟺([∀k(¬k∈n)∨∃k∀j(j∈n⟺(j∈k∨j=k))]∧ 　∀m(m∈n⇒[∀k(¬k∈m)∨∃k(k∈n∧∀j(j∈m⟺(j∈k∨j=k)))]))). つづく 676 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/06/18(水) 17:04:07.45 ID:1ZjEJMOG.net] つづき Alternative method An alternative method is the following. Let Φ(x) be the formula that says "x is inductive"; i.e. Φ(x)=(∅∈x∧∀y(y∈x→(y∪{y}∈x))). Informally, what we will do is take the intersection of all inductive sets. More formally, we wish to prove the existence of a unique set W 677 名前： such that ∀x(x∈W↔∀I(Φ(I)→x∈I)). (*) For existence, we will use the Axiom of Infinity combined with the Axiom schema of specification. Let I be an inductive set guaranteed by the Axiom of Infinity. Then we use the axiom schema of specification to define our set W={x∈I:∀J(Φ(J)→x∈J)} – i.e. W is the set of all elements of I, which also happen to be elements of every other inductive set. This clearly satisfies the hypothesis of (*), since if x∈W, then x is in every inductive set, and if x is in every inductive set, it is in particular in I, so it must also be in W. For uniqueness, first note that any set that satisfies (*) is itself inductive, since 0 is in all inductive sets, and if an element x is in all inductive sets, then by the inductive property so is its successor. Thus if there were another set W′ that satisfied (*) we would have that W′⊆W since W is inductive, and W⊆W′since W′is inductive. Thus W=W′. Let ω denote this unique element. This definition is convenient because the principle of induction immediately follows: If I⊆ω is inductive, then also ω⊆I, so that I=ω.■ (引用終り) 以上 [] [ここ壊れてます] 678 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/18(水) 17:43:23.15 ID:Qh/3AgjL.net] >>629 >無限の存在が集合論の他の公理から独立である 無限の存在？　なにそれ？　無限集合の存在だろ？　バカなの？ で、誰が従属と言ったの？　幻聴かい？　精神科行きなよ >単に 自然数の集合Nの存在だけを公理とするのではなく 誰がNの存在を公理とすべきだと言ったの？　幻聴かい？　精神科行きなよ >素人が、グダグダ言い訳している 部分集合族も集合族の共通部分も内包的表記もチンプンカンプンだったことをグダグダ言い訳してるど素人が君 >素人が、グダグダ書いても >なんの格好付けにもなってないよｗ wikipediaは眉唾とかほざいて赤っ恥かいたど素人が君 君の無自覚力は驚愕に値するね　まぁちょっとでも自覚があったら恥ずかしくて生きていけないだろうね 679 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/18(水) 17:50:54.96 ID:Qh/3AgjL.net] >>629 ああ、君が「グダグダ言い訳してる」と書いた動機が分かったよ 数学ではまったく歯が立たず、かといって何か言い返さずにはいられなくてそう書いた訳ね？ 愚かだねえ　どこまでも愚かだねえ 680 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/18(水) 17:57:44.13 ID:Qh/3AgjL.net] >>629 で、君、なんかシレっとごまかしてるけど （引用開始） >いま、無限積として、それに意味を与えられるかどうかの証明がない！ 意味を与えられない部分集合族の共通部分の例を一つでよいから挙げてみて >しかも、公理で許される集合操作のみを使ってってこと 公理で許されてない集合操作って具体的に何？一例でよいから挙げて。 （引用終了） はどうなったの？　ごまかさないで答えてよ 681 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/18(水) 17:59:08.63 ID:Qh/3AgjL.net] 答えられないなら数学板から去ろうな 数学板にいても馬鹿にされて発狂して病気拗らすだけだよ　しっかり療養して病気を治そう 682 名前：死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ [2025/06/18(水) 18:07:23.42 ID:izxts7rz.net] たしかに能力の差は否めないが機械は均等なべき。 683 名前：死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ [2025/06/18(水) 18:08:27.69 ID:izxts7rz.net] 発狂は良い徴候。 684 名前：死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ [2025/06/18(水) 18:10:33.27 ID:izxts7rz.net] 有限の命を日記風に更新するほうがヤンキー無限より有利かもな。 685 名前：死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ [2025/06/18(水) 18:12:26.14 ID:izxts7rz.net] 通算一点でも落としたりいつも必ず上限じゃない責苦が無限だから。 686 名前：死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ [2025/06/18(水) 18:14:28.89 ID:izxts7rz.net] 無だの死だの考えるよりは有意味学習や生が大事。 687 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/19(木) 11:07:54.95 ID:sYFuiPqO.net] オチコボレ君の赤っ恥まとめ 集合∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}について Q1.∩の範囲の記述が無い。 A1.添字付けられた集合族でもあるまいし範囲という考えが意味を為さない。 Q2.∩の対象が不明確。 A2. {}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]:=P(x)と書く。 P(x)は変数x∈2^Aに関する命題関数であるから https://wiis.info/math/set/set/set/#elementor-toc__heading-anchor-1 の「集合と内包的表記」の通り、集合{x⊂A|P(x)}はwell-defined、すなわち∩の対象は明確。 オチコボレ君は部分集合族や集合の内包的表記といった数学の初歩の初歩から分かってない。 そのことを指摘するとなぜか発狂して幻聴が聞こえてしまう始末。 数学板にいても病気を拗らすだけ。数学板から去りしっかり療養することをお勧めする。 688 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/20(金) 04:28:46.13 ID:1B ] [ここ壊れてます] 689 名前：rgYeYj.net mailto: 有理数を項とする無限級数が通常の実数として収束するとき、 ｐが有理素数であるｐ-進数として収束するか？あるいはしないか。 それらの収束するしないはどう違っているかあるいは同じか。 [] [ここ壊れてます] 690 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/20(金) 18:01:21.97 ID:S3g1Aii2.net] >>642 ご苦労様です スレ主です その話を聞くと、加藤 文元さんの下記逸話を連想します ”『天に向かって続く数』（中井保行との共著）日本評論社”があるそうです (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%A0%E8%97%A4%E6%96%87%E5%85%83 加藤 文元（かとう ふみはる、1968年7月27日 - ）は、日本の数学者。ZEN大学知能情報社会学部教授、東京工業大学名誉教授、学校法人角川ドワンゴ学園理事、株式会社SCIENTA・NOVA代表取締役。博士（理学）。専門分野は代数幾何学・数論幾何学（対数的幾何学、リジッド幾何学、志村多様体、モジュライ理論、代数的微分方程式）。 人物・エピソード 大学に入学した当初は、数学の専門家になろうとは毛頭考えていなかったという。むしろ、「数学科に行くと性格が悪くなる」という一種の偏見を持っており、数学科は避けていた。最初は物理学科に進もうと考えていたが、生物学のほうが面白そうだ、あるいはお金になりそうだと思うようになり、生物学科に進学した。しかし、解剖や実験が嫌いであったこと等からモチベーションが上がらず、またサークル活動も忙しかったため、勉強を蔑ろにしがちであった。 　4年生に進級する際、自分に生物学は向いていないと感じ、またサークルも引退したため、大学を休学して仙台にある実家に帰った。何もすることがなく手持ち無沙汰であったときに目に入ったのが、『おもしろい数学教室』（ヤコブ・ペレルマン著／山崎昇訳）という小学生のときに数学者である祖父に買ってもらった本だった。 　その中に書かれている「二乗しても変わらない無限に続く数」という概念に目が留まった。このとき、どうやら自分が見たこともない数の世界があると気付いたのだという。そこからその概念に興味を持ち始め定理をまとめた。それをトーリック多様体で有名な小田忠雄（当時東北大学教授）に見せたところ、 　「無手勝流であるが、クルト・ヘンゼルという数学者が約100年前に書いたp進数の体系と全く同じものである」と言われた。さらに小田教授が驚き評価したのは、「ヘンゼルの補題」というp進数を扱う上で最も基本となる定理を何も見ずに編み出したという点であった。 　そこで、小田教授に勧められた『可換体論』（永田雅宜著）という数学書を参考にヘンゼルの補題を追証明することにした。すると、苦労した証明の言い回しを現代数学は巧妙に「きれいな言葉」で行なっており、 　そこから数学の魅力に惹かれていった。このとき、もはや生物学を学ぶ気はなくなっていたという。その後、数学科へ転向した[21][22]。 著作 ・『天に向かって続く数』（中井保行との共著）日本評論社、2016年 ISBN 978-4535798069 691 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/20(金) 20:39:08.40 ID:LS/4Ckc6.net] >>641 ふっふ、ほっほ おサルさんか >>5 囲碁上達の格言の一つに、”相手の手のついて回るな”というのがあります 相手の打つ手について回るのは、初心者や中級者であって 有段者をめざすならば、まずは手抜きから考えるべし（もっと大場、急場があるなら そちらを打つべし） これを、君の>>641に当て嵌めると 君のヘボ手にお付き合いする必要がないってことだなｗ　；ｐ） 以上 (参考) https://ss406167.stars.ne.jp/igojotatsuhintshu.html ≦囲碁上達ヒント集≧ 第一部 思想・考え方編 碁の主導権と先手 ◎　序盤の布石作戦から中盤の戦いを通じて、プロでもアマでも、碁はお互いのぺ一スの争いです。どうしたら自分の得意の局面に導けるか、対局者の苦心もそこにあります。碁盤のペース争いに勝つことこそ勝利への最短距離といえるのです。（坂田栄男） ◎　ヨセに限らず、先手、後手の問題はきわめて重要な要素です。（曲励起） ◎　先手の意味をもっと拡大して、先手すなわち主導権というふうに解釈すれば、序盤から終盤に至るまで、碁はすべて先手をめぐる争いということができます。特にヨセでは、打つ箇所がある程度限定されてきている段階なので、先手が何にもまして貴重になっているのです。（坂田栄男） 692 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/20(金) 20:40:36.63 ID:LS/4Ckc6.net] >>644 タイポ訂正 囲碁上達の格言の一つに、”相手の手のついて回るな”というのがあります 　↓ 囲碁上達の格言の一つに、”相手の手について回るな”というのがあります 693 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/20(金) 20:44:29.29 ID:5VJHkbCl.net] >>644 >君のヘボ手にお付き合いする必要がないってことだなｗ　；ｐ） そうだね 集合の内包的表記もチンプンカンプンじゃまったくお話にならないから無理に付き合う必要無いよ それより数学板から去って療養すべきだよ　幻聴は病気だから 694 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/06/20(金) 21:28:47.16 ID:v1Sk8AyC.net] >>644 >相手の打つ手について回るのは、初心者や中級者であって >有段者をめざすならば、まずは手抜きから考えるべし 相手の打つ手にすら対応できない全くの初心者が おれは有段者ぁぁぁといきがって手抜きとか考えると・・・死ぬ 述語論理も集合論の公理も集合の記法も 何一つ知らんというのは 将棋でいえば駒の動かし方すら知らんということ それじゃ全然話になりませんなぁ 695 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/20(金) 21:41:12.74 ID:5VJHkbCl.net] 内包的表記が分かってないってことは分出公理も分かってないね。 ラッセルのパラドックスを持ち出してたけどハッタリってバレちゃったね。ああ赤っ恥。 696 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/06/20(金) 22:24:13.97 ID:LS/4Ckc6.net] >>632 戻る (引用開始) >無限の存在が集合論の他の公理から独立である 無限の存在？　なにそれ？　無限集合の存在だろ？　バカなの で、誰が従属と言ったの？　 (引用終り) ・独立 vs 従属？ ああ、線形代数と勘違いの条件反射かよ、おまえ。お里が知れるな、オチコボレさんよｗ ・”無限の存在”は、渕野先生の表現から借用したんだよ >>629の "P173 3 無限の存在証明"な 　公理的集合論以前でも、古代ギリシャの昔から、”無限”の概念は人類は知っていた（アリストテレスの著作がある） 　それ以外にも、ポンスレの射影幾何無限遠点や、リーマンの複素平面を球面としたときの北極点など 　ところで、カントールとデデキントさんは、無限を無限集合で扱うことを考えたのです 　なので、渕野先生 >>629 "P173 3 無限の存在証明"は、これで意味は通じるｗ　；ｐ） ・さて、「無限の存在が集合論の他の公理から独立」を語るには 　極限順序数（下記）から始めるのが分かり易いだろう 　下記の通り、極限順序数で ノイマンの後者関数とフォンノイマン基数割り当て（英語版）を用いれば 　自然数の集合ω＝Nであり、ωは”後続順序数でない”という性質を持つ 　だから、有限の順序数から後者関数を使うだけ では、ω＝Nには到達できないのだ ・だから、無限公理が必要で、但し”自然数の集合ω＝N”の存在を、まず公理と置いても良いのだが 　もっと賢いのは、ω(＝N)を含みそれより大きい集合を一気に認めてしまうことだね 　つまり カントールの順序数 ωのあとも, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω・・ とやることが分っているのだからね 　そしてωは、部分集合として ωより大きい集合から 取り出して構成すれば良いんだよ （おっと "∩"は使わない方がいいぞ！ｗｗｗ　；ｐ） (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0 極限順序数は 0 でも後続順序数でもない順序数を言う あるいは、順序数 λ が極限順序数であるための必要十分条件は「λ より小さい順序数が存在して、順序数 β が λ より小さい限り別の順序数 γ が存在して β < γ < λ とできることである」と言ってもよい。任意の順序数は、0 または後続順序数、さもなくば極限順序数である。 例えば、任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω は、それよりも小さい任意の順序数（つまり自然数）n が常にそれよりも大きい別の自然数（なかんずく n + 1）を持つから、極限順序数である 順序数に関するフォンノイマンの定義（英語版）を用いれば、任意の順序数はそれより小さい順序数全体の成す整列集合として与えられる。このとき、空でない順序数の集合が最大元を持たないならば、その和集合は常に極限順序数になる。フォンノイマン基数割り当て（英語版）を用いれば、任意の無限基数もまた極限順序数となる https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0 順序数 すべての順序数は自分自身より小さな順序数全体の集合と等しいと言うことができる ω より小さな順序数（すなわち自然数）を有限順序数と呼び・・ 0, 1, 2, 3, ...., ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), .., ω + ω・・ 697 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/20(金) 22:36:25.34 ID:5VJHkbCl.net] >>649 >・独立 vs 従属？ ああ、線形代数と勘違いの条件反射かよ、おまえ。お里が知れるな、オチコボレさんよｗ なんで線形代数が出てくるんだよｗ　アタオカかこいつ 698 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/20(金) 22:40:38.36 ID:5VJHkbCl.net] >>649 >・”無限の存在”は、渕野先生の表現から借用したんだよ 借用すればいいってもんじゃない　だからおまえは落ちこぼれる 「無限の存在」って意味通じねーの分からんの？　バカなの？ 699 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/20(金) 22:49:03.97 ID:5VJHkbCl.net] >>649 >（おっと "∩"は使わない方がいいぞ！ｗｗｗ　；ｐ） うむ、∩を分かってない君は使わない方がいいね つーか∩も分からないんじゃ数学やめた方がよいのでは？ 700 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/06/20(金) 23:30:04.53 ID:LS/4Ckc6.net] >>649 補足 無限公理で、仏版 （fr.wikipedia）が、分かり易い 下記の通りで、やろうとしているのは ”ω を 0 を含み、かつ後続集合によって閉じられたすべての集合の共通集合（したがって包含の意味で最小）として定義することにより実現される（Aは ω を集合として定義できるようにするためにのみ介入するが、ω はAに依存しない）”なの だが これを、公理のみを使って実現するのです（>>630 で en.wikipedia ”Axiom of infinity”も 紹介ずみ） うかつに”∩”は使わないのです！ｗ　；ｐ） （和訳と英訳と仏原文を並べておいたので百回音読してねｗ） (参考) https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_de_l%27infini Axiome de l'infini 以下google和訳 無限公理 自然数の集合 確かに ： ・A をCl( A )を検証する集合とし、その存在は無限公理によって保証される。すると、集合 ω の存在は内包公理スキームによって保証され、その一意性は外延性公理によって保証される。これは、ω を 0 を含み、かつ後続集合によって閉じられたすべての集合の共通集合（したがって包含の意味で最小）として定義することにより実現される（Aは ω を集合として定義できるようにするためにのみ介入するが、ω はAに依存しない）。 ω = { x ∈ A | Ent( x ) } ; （注） ・逆に、ωを自然数を要素とする集合とすると、ωはCl(ω)を証明します。 （注）：Ent( x ) の定義は、この直前にあるので、原文ご参照 google英訳 ndeed : ・let A be a set verifying Cl( A ) whose existence is ensured by the axiom of infinity. Then, the existence of the set ω is ensured by the axiom scheme of comprehension and its uniqueness by the axiom of extensionality , by defining ω as the intersection (therefore the smallest in the sense of inclusion) of all sets containing 0 and closed by successor ( A only intervenes to be able to define ω as a set, but ω does not depend on A ): ω = { x ∈ A | Ent( x ) } ; ・conversely, let ω be a set whose elements are the natural numbers. Then, ω verifies Cl(ω). 仏原文 En effet : ・soit A un ensemble vérifiant Cl(A) dont l'existence est assurée par l'axiome de l'infini. Alors, l'existence de l'ensemble ω est assurée par le schéma d'axiomes de compréhension et son unicité par l'axiome d'extensionnalité, en définissant ω comme l'intersection (donc le plus petit au sens de l'inclusion) de tous les ensembles contenant 0 et clos par successeur (A n'intervient que pour pouvoir définir ω en tant qu'ensemble, mais ω ne dépend pas de A) : ω = { x ∈ A | Ent(x) } ; ・réciproquement, soit ω un ensemble dont les éléments sont les entiers naturels. Alors, ω vérifie Cl(ω). 701 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/06/20(金) 23:33:04.09 ID:LS/4Ckc6.net] >>653 タイポ訂正 ndeed : 　↓ indeed : 702 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/21(土) 01:02:35.11 ID:vzkn7e2Y.net] >>653 >”ω を 0 を含み、かつ後続集合によって閉じられたすべての集合の共通集合（したがって包含の意味で最小）として定義することにより実現される 共通集合って書いてあるじゃんｗ >うかつに”∩”は使わないのです！ｗ　；ｐ） うん、理解してない君は使わない方が良い。理解してないものを使うと間違えるから。 集合族の共通部分の定義は https://en.wikipedia.org/wiki/Intersection_(set_theory) の「Arbitrary intersections」に書かれてるけど君はバカだから読めないもんね。 >ω = { x ∈ A | Ent( x ) } これ、なんとか先生のと同じだよｗ　君、分かってないでしょｗ どうせ必死に検索して「∩が無い！」って狂喜してコピペしたんでしょ？　愚かだねえ　どこまでも愚かだねえ 703 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/21(土) 01:10:59.09 ID:vzkn7e2Y.net] ちなみに >集合族の共通部分の定義は >https://en.wikipedia.org/wiki/Intersection_(set_theory) >の「Arbitrary intersections」に書かれてるけど君はバカだから読めないもんね。 に、 >Set theorists will sometimes write "⋂M" って書かれてるけど、「範囲が書かれてない！　尽くされてるか保証が無い！」って発狂しないのかい？ｗ 704 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/06/21(土) 09:11:42.32 ID:sEkgudR9.net] >>655-656 ふっふ、ほっほ >>”ω を 0 を含み、かつ後続集合によって閉じられたすべての集合の共通集合（したがって包含の意味で最小）として定義することにより実現される >共通集合って書いてあるじゃんｗ その通りだよ。やろうとしているのは、カントールの順序数理論の 公理的集合論による構築なのだから 「順序数」 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0 を百回音読してね 結論は、”ω を 0 を含み、かつ後続集合によって閉じられたすべての集合の共通集合（したがって包含の意味で最小）として定義することにより実現される”だよ これを、(例えば)ZFC公理系で実現することだ >>Set theorists will sometimes write "⋂M" >って書かれてるけど、「範囲が書かれてない！　尽くされてるか保証が無い！」って発狂しないのかい？ｗ そこ君のつまみ食いだろｗ 全文引用するから、百回音読してね Intersection (set theory) https://en.wikipedia.org/wiki/Intersection_(set_theory) Arbitrary intersections Further information: Iterated binary operation The most general notion is the intersection of an arbitrary nonempty collection of sets. If M is a nonempty set whose elements are themselves sets, then x is an element of the intersection of M if and only if for every element A of M, x is an element of A. In symbols: (x∈⋂A∈M A)⇔(∀A∈M, x∈A). The notation for this last concept can vary considerably. Set theorists will sometimes write "⋂M", while others will instead write "⋂A∈M A". The latter notation can be generalized to "⋂i∈I Ai", which refers to the intersection of the collection {Ai:i∈I}. Here I is a nonempty set, and Ai is a set for every i∈I. In the case that the index set I is the set of natural numbers, notation analogous to that of an infinite product may be seen: ⋂i=1〜∞ Ai. When formatting is difficult, this can also be written "A1∩A2∩A3∩⋯". This last example, an intersection of countably many sets, is act 705 名前：ually very common; for an example, see the article on σ-algebras. [] [ここ壊れてます] 706 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/21(土) 09:16:26.57 ID:vzkn7e2Y.net] >>653 >（注）：Ent( x ) の定義は、この直前にあるので、原文ご参照 >where Cl(Y) is the predicate "{} ∈ Y and ∀ y (y ∈ Y ⇒ y ∪ {y} ∈ Y)" より、Cl(Y)＝命題「Yは無限公理が存在を謳う集合である」 >let's define the predicate Ent(x) like:∀A (Cl(A)⇒x∈A) より、Ent(x)＝命題「xは無限公理が存在を謳うどの集合にも属す」 これを読んで君は「『無限公理が存在を謳う集合』の範囲が明示されてない！　『無限公理が存在を謳う集合』が尽くされてる保証が無い！」って発狂しないのかい？ｗ 707 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/21(土) 09:23:32.19 ID:vzkn7e2Y.net] >>657 >そこ君のつまみ食いだろｗ 「∩M」と範囲が書かれてないことは紛れもない事実だから君の言いがかりは却下。 早く「範囲が書かれてない！　尽くされてるか保証が無い！」って発狂しなよｗ　日本語wikipediaに対して発狂したようにｗ 708 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/21(土) 09:33:21.35 ID:vzkn7e2Y.net] >>658 自由変数があるからよりきちんと書けば >Cl(Y)＝命題「Yは無限公理が存在を謳う集合である」 Cl(Y)＝命題関数「Yは無限公理が存在を謳う集合である」 >Ent(x)＝命題「xは無限公理が存在を謳うどの集合にも属す」 Ent(x)＝命題関数「xは無限公理が存在を謳うどの集合にも属す」 709 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/21(土) 09:39:20.10 ID:vzkn7e2Y.net] ちなみにオチコボレ君は命題と命題関数の違いもチンプンカンプンでしょ 「20世紀初頭ガー　ヒルベルト構想ガー　ノイマン宇宙ガー」と大風呂敷広げてないで述語論理を初歩から勉強しなよ 710 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/06/21(土) 09:57:49.07 ID:sEkgudR9.net] >>657 補足 ・天地創造 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%A9%E5%9C%B0%E5%89%B5%E9%80%A0 　1日目神は天と地をつくられた ・・・ 6日目神は獣と家畜をつくり、神に似せた人をつくられた 7日目神はお休みになった ・さて、やろうとしていることは 公理的集合論による カントールの順序数などの構築だ 　1日目　神は空集合を作られた 　2日目　後者関数を作られた 　3日目　有限順序数を作られた 　4日目　無限公理を作られた。そこから、最初の無限順序数ω （極限順序数）を分離された ＊） 　5日目　ωから、カントールの順序数構築された 　6日目　ノイマン宇宙 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%9E%E3%83%B3%E5%AE%87%E5%AE%99 　　　　　を作られた。そこには、実数も含まれる。人は、∩も無限集合に対して使えるようになった 　7日目　数学の神はお休みになった ＊）4日目の 無限集合が無限公理で導入された直後に∩を使うのは、如何なものか 　時期尚早でしょう　（＾＾ 　目指しているのは、そこで 結論も正しいのだが 　公理的に一歩一歩進んでいこうという話だから、先を急ぎすぎてはいけないってことだね　；ｐ） 711 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/21(土) 10:13:29.00 ID:vzkn7e2Y.net] >>662 ZFとZF上での自然数の構成がごっちゃになってる。 だから >＊）4日目の 無限集合が無限公理で導入された直後に∩を使うのは、如何なものか などと意味不明なことを口走る。 ゼロ点。落第。 ちなみに >　2日目　後者関数を作られた 後者関数を定義するには対の公理と和集合の公理が必要。 オチコボレがなに勝手に持論述べてんだよ。オチコボレにそんな権利は無い。黙って勉強しろ。 712 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/21(土) 10:25:06.98 ID:vzkn7e2Y.net] >>662 >・さて、やろうとしていることは 公理的集合論による カントールの順序数などの構築だ 順序数の定義も知らんのか？ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0 に書かれてるから読めよ　読まずに妄想するから落ちこぼれるんだよ 713 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/06/21(土) 10:42:35.59 ID:sEkgudR9.net] >>649 戻る >無限の存在が集合論の他の公理から独立である これ >>629の "P173 3 無限の存在証明" RIMS講究録 Dedekind の数学の基礎付けと集合論の公理化 渕野昌 2011 https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1739-16.pdf さて、アリストテレスの昔から 「無限」は、いろいろ論じられてきた 上記 Dedekind の数学の基礎付けと集合論の公理化 によれば、Dedekindが 無限集合で 無限公理は必要ないと考えていたらしい 一方で、カントールや Dedekind以前では、「無限」は集合論の外で 論じられていた ”ポンスレの射影幾何無限遠点や、リーマンの複素平面を球面としたときの北極点など”>>649 カントールは、フーリエ級数の収束を考察する必要から 無限集合論を構築したという。現代数学の視点では ”ポンスレの射影幾何無限遠点や、リーマンの複素平面を球面としたときの北極点など” すべてを、無限集合論で論じることができるようになったのです なので、そういう大きな枠組みとして、渕野"3 無限の存在証明"は これで 十分分るのです（＾＾ (参考) https://www.medieviste.org/2016/08/23/%E3%82%A2%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%86%E3%83%AC%E3%82%B9%E3%81%A8%E3%80%8C%E7%84%A1%E9%99%90%E3%80%8D/ アリストテレスと「無限」20160823 sxolastikos (抜粋) A.W.ムーア『無限 その哲学と数学 (講談社学術文庫)』（石村多門訳、講談社、2012） 原著は1990刊。古代ギリシアから現代にいたるまでの「無限」にまつわる思想の展開を追ったもので、哲学史と数学史が交差する興味深い一冊 前半は思想的な通史のまとめ、後半は現代数学での無限の解釈についての概観になっている 前半部分の前半、つまり全体の4分の1で主役となっているのは、なんといってもアリストテレス。プラトンとそれ以前の古代ギリシアの無限論では、無限はつまるところ事物の構造の基礎をなしているという考え方がある程度「共有」されていたというが、それらに対して、そもそも現象と実在の区別を否定するアリストテレスの場合、もしその共有された考え方を保持するなら、無限を時空間の場面において理解する必要に迫られることになる。つまり自然の中に無限なものが存在するかどうかが重要な問題となった、という では自然界にそのような無限なものは存在するのか。アリストテレスは自然界には「何も無限なものは存在しない」との立場を取るのだが、そこにはジレンマもあって、時間の無限の分割可能性、物質の無限の分割可能性、自然数の連続や空間が無限であるという数学的真理などが立ちふさがった。で、それらへのアリストテレスの対応策として出てきたのが、有名な「無限は可能的には存在するが現実的には存在しない」という考え方だという。これは、「すべてが同時にそこに存在できはしないという意味での無限」の言い換えでもある。この可能的／現実的の区別はなかなか秀逸で、時間や空間が分割において無限であることはこれで一応認めることができ、数学で仮定される空間は、現実の空間がどんなものかとはおよそ関係がないとすることもできる https://www.jstage.jst.go.jp/article/philosophy1952/1968/18/1968_18_36/_article/-char/ja/ 哲学/1968巻(1968) アリストテレスの無限 和泉良久 714 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/06/21(土) 11:17:34.60 ID:sEkgudR9.net] >>663 >後者関数を定義するには対の公理と和集合の公理が必要。 ふっふ、ほっほ おっさん、なんも分ってないね （＾＾ まず >>657より Intersection (set theory) https://en.wikipedia.org/wiki/Intersection_(set_theory) Arbitrary intersections Further information: Iterated binary operation ここで、”Iterated binary operation”に下記のリンクがあるよ https://en.wikipedia.org/wiki/Iterated_binary_operation Iterated binary operation （google 和訳） 反復二項演算 数学において、反復二項演算とは、集合S上の二項演算を、反復適用によってSの有限個の要素の列上の関数へと拡張したものである。 [ 1 ]一般的な例としては、加算演算を総和演算に拡張することや、乗算演算を積演算に拡張することがあげられる。集合論的な演算である和と積など、他の演算も反復されることが多い Σ、Π、∪、∩ さらに、下記がある（英文に戻す） If S also is equipped with a metric or more generally with topology that is Hausdorff, so that the concept of a limit of a sequence is defined in S, then an infinite iteration on a countable sequence in S is defined exactly when the corresponding sequence of finite iterations converges. Thus, e.g., if a0, a1, a2, a3, … is an infinite sequence of real numbers, then the infinite product ∏i=0〜∞ ai is defined, and equal t 715 名前：o lim n→∞ ∏i=0〜n ai, if and only if that limit exists. (引用終り) つまり、集合論の公理として 二項演算で ∪、∩ を定義するのは良い また、その有限の繰返しとして、 ∪と∩ を使うのも良い しかし、∪と∩ を （可算）無限回繰り返すのは、”ご注意を！”ってことだよ やれやれ、子供に教えている気分だなｗ ；ｐ） [] [ここ壊れてます] 716 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/21(土) 11:24:16.95 ID:vzkn7e2Y.net] >>665 君そういうの好きだね 数学はからっきしだけどね 717 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/21(土) 11:29:50.45 ID:vzkn7e2Y.net] >>666 >>後者関数を定義するには対の公理と和集合の公理が必要。 >おっさん、なんも分ってないね （＾＾ それが君。 xに対し{x}が存在することを保証するのが対の公理。 x,{x}に対しx∪{x}が存在することを保証するのが和集合の公理。 よってS(x):=x∪{x}がwell-definedであるためには対の公理と和集合の公理が必要。 君、初歩の初歩からぜんぜん分かってないじゃん。だから黙って勉強しなって言ってるのに人の言うこと聞けないね。だから落ちこぼれるんだよ。 718 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/21(土) 11:41:14.67 ID:vzkn7e2Y.net] >>666 （引用開始） さらに、下記がある（英文に戻す） If S also is equipped with a metric or more generally with topology that is Hausdorff, so that the concept of a limit of a sequence is defined in S, then an infinite iteration on a countable sequence in S is defined exactly when the corresponding sequence of finite iterations converges. Thus, e.g., if a0, a1, a2, a3, … is an infinite sequence of real numbers, then the infinite product ∏i=0〜∞ ai is defined, and equal to lim n→∞ ∏i=0〜n ai, if and only if that limit exists. (引用終り) つまり、集合論の公理として 二項演算で ∪、∩ を定義するのは良い また、その有限の繰返しとして、 ∪と∩ を使うのも良い しかし、∪と∩ を （可算）無限回繰り返すのは、”ご注意を！”ってことだよ （引用開始） ∪と∩に極限なんて無いんだが、何を注意しろと？ >やれやれ、子供に教えている気分だなｗ ；ｐ） ∪と∩の極限とか言い出すオチコボレが子供に教えたら手後ろに回るよ　オチコボレは黙って勉強しようね 719 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/21(土) 11:51:17.19 ID:vzkn7e2Y.net] >>666 極限は解析学の概念。なんで集合論に解析学が必要なんだ？　集合論は解析学含めすべての数学の基礎だぞ？ ダメだこりゃ　初歩の初歩からズタボロ　落ちこぼれるのも当然 720 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/21(土) 11:59:02.27 ID:vzkn7e2Y.net] いやあ今日もオチコボレが大暴走してますなあ 日本は平和で良いね　世界じゃあっちこっちできな臭いことになってるけど 721 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/06/21(土) 12:41:17.67 ID:sEkgudR9.net] ふっふ、ほっほ 　>>644 より再録 囲碁上達の格言の一つに、”相手の手のついて回るな”というのがあります これを、君の>>641に当て嵌めると 君のヘボ手にお付き合いする必要がないってことだなｗ　；ｐ） 以上 (参考) https://ss406167.stars.ne.jp/igojotatsuhintshu.html ≦囲碁上達ヒント集≧ 第一部 思想・考え方編 碁の主導権と先手 (引用終り) さて、まとめると 1）カントールや デデキントにより、素朴無限集合論が出来た 2）ところが、ラッセルのパラドックスのパラドックスが出てきた（下記） 3）そこで、ヒルベルトは無限集合論を公理的に構築することで、このパラドックスを解決しようとした 4）つまりは、結論は分っている。公理的に カントール、デデキントの無限集合論を再構築すること 5）このときの大きな問題の一つが、無限公理だった 　極限順序数ω＝Ｎ これは、自然数の集合であるが、極限順序数なので 有限順序数の後者関数としては実現できない 　よって、なんらかの無限公理を置く必要がある 6）このとき、単純に 極限順序数ω＝Ｎ のみを認める公理にすると、 　単純だが その後でさらに ωに後者関数を適用して 無限集合たる順序数の構築を続けたいのだ 　なので、無限公理としては、極限順序数ω＝Ｎを含む無限集合を認めることにしたのです 　勿論、ω＝Ｎや 順序数という言葉を使わずに 無限公理を定義するのです 7）こうして、無限公理として認めた 極限順序数ω＝Ｎを含む無限集合から、集合操作の公理のみを使って、ω＝Ｎを分離する 　無限公理の陳述として、極限順序数ω＝Ｎを匂わせる記述を入れてあるから、これは可能なのだ 8）こうやって、極限順序数ω＝Ｎが出来たあとは、これをもとにいろんな無限集合 例えば実数Rとかも 構成できるのです あとは、集合論の本を読んでください！■ （＾＾ (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%BB%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9 ラッセルのパラドックス（英: Russell's paradox） 矛盾の解消 公理的集合論ではまず集合論を形式化する。次にいかなる形の集合が存在するかを公理によって規定する。 集合論の公理は通常の数学を集合論の上で展開するために十分なだけの集合の存在を保証しつつ、パラドックスを発生させる集合は構成できないように慎重に設定する必要がある。 1.公理的集合論による解消 　略 2.単純型理論による解消[注 2] 　略 722 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/21(土) 13:19:35.01 ID:vzkn7e2Y.net] >>672 そんなクソの価値も無い駄文はいいから >ω = { x ∈ A | Ent(x) } で定義されるωが自然数全体の集合であることを証明してごらん　できるかい？　何を示せば証明になるかすら分かってないのでは？ 723 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/21(土) 14:57:09.05 ID:vzkn7e2Y.net] >>672 >君のヘボ手にお付き合いする必要がないってことだなｗ　；ｐ） 反論できないときに使える便利な言い訳だなｗ じゃあ肝心の>>673に答えてごらん　答えられないってことは自然数を構成できてないってことだよ 724 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/06/21(土) 20:27:35.90 ID:NOcL6ZiM.net] >>672 >カントールや デデキントにより、素朴無限集合論が出来た >ところが、ラッセルのパラドックスのパラドックスが出てきた はい、ダウト１ ラッセルのパラドックスは、素朴無限集合論に関するものではありません！ wikipedia　ラッセルのパラドックス 「バートランド・ラッセルからゴットロープ・フレーゲへの1902年6月16日付けの書簡において フレーゲの『算術の基本法則』における矛盾を指摘する記述に現れ、 1903年出版のフレーゲの『算術の基本法則』第II巻（独: Grundgesetze der Arithmetik II）の後書きに収録された。」 >そこで、ヒルベルトは無限集合論を公理的に構築することで、このパラドックスを解決しようとした >つまりは、結論は分っている。公理的に カントール、デデキントの無限集合論を再構築すること はい、ダウト２ 集合論の公理系を作ったのは、ヒルベルトじゃありません！ wikipedia　ツェルメロ＝フレンケル集合論 「集合論の現代的な研究は、1870年代にカントールとデーデキントによって始められた。 しかし、ラッセルのパラドックスなどのパラドックスが発見され、 これらのパラドックスのない、より厳密な形式の集合論の探求につながった。 1908年、ツェルメロは最初の公理的集合論であるツェルメロ集合論を提案した。」 725 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/06/21(土) 20:28:37.51 ID:NOcL6ZiM.net] >>672 >（集合論の公理化の）大きな問題の一つが、無限公理だった >極限順序数ω＝Ｎ これは、自然数の集合であるが、 >極限順序数なので 有限順序数の後者関数としては実現できない >よって、なんらかの無限公理を置く必要がある >このとき、単純に 極限順序数ω＝Ｎ のみを認める公理にすると、単純だが >その後でさらに ωに後者関数を適用して 無限集合たる順序数の構築を続けたいので、 >無限公理としては、極限順序数ω＝Ｎを含む無限集合を認めることにしたのです >勿論、ω＝Ｎや 順序数という言葉を使わずに 無限公理を定義するのです >こうして、無限公理として認めた 極限順序数ω＝Ｎを含む無限集合から、 >集合操作の公理のみを使って、ω＝Ｎを分離する >無限公理の陳述として、極限順序数ω＝Ｎを匂わせる記述を入れてあるから、これは可能なのだ >こうやって、極限順序数ω＝Ｎが出来たあとは、 >これをもとにいろんな無限集合 例えば実数Rとかも 構成できるのです 「集合操作の公理のみをつかって」とか書いてるけど どの公理をどう使うか全部明示してな　 できないなら書いちゃダメゼッタイ 高卒は大学数学無理だから二度とこの板に●違いＨＮで書き込むのやめてな 726 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/06/21(土) 20:56:19.75 ID:sEkgudR9.net] >>673 >定義されるωが自然数全体の集合であることを証明してごらん ふっふ、ほっほ お断りする 5ｃｈ便所板で、学会ごっこ？ それとも 数学ゼミごっこ？ 便所板は、基本的に数学記号を書くのに不向きだろ？ なんで、便所板で 証明ごっこしたいのかね？ オチコボレさんは そもそも、君に理解できる能力があるのかね？ その証明は？ｗ ；ｐ） まあ、下記 渕野先生でも嫁めよ 最低百回音読してね　；ｐ） (参考) https://fuchino.ddo.jp/books/intro-to-set-theory-and-constructibility.pdf 渕野昌 以下のテキストは「ゲーデルと20世紀の論理学第４巻」（東京大学出版会，2007）の，渕野 昌の執筆した第I部です．　ただし，2009年の後期以降に神戸大学で大学院の講義でテキストとして用いた際に見つけたtypos などの訂正などの update が書きこまれているので，上記の本とは多少異なるものになっているところもあります． 目次 第I部構成的集合と公理的集合論入門1 P10 （無限公理）略 無限公理で存在の保証された集合xは0,1,2,・・・のすべてを含むものとなっている． そこで，このようなxと分出公理を用いると，自然数の全体からなる集合 N={0,1,2,・・・} の存在が証明できる．3） 3）詳細については，P48を参照． P48 補題2.22 (1)自然数の要素は自然数である． (2)集合Xを∅∈Xですべてのy∈Xに対しy∪{y}となるようなものとすると，Xはすべての自然数を含む． 補題2.22の証明は，以下に述べるＯn上の帰納法の説明の後まで保留する． https://www.utp.or.jp/book/b297559.html 東京大学出版会 ゲーデルと20世紀の論理学【全4巻】 第4巻　集合論とプラトニズム　　［執筆者］田中一之／渕野昌／松原洋／土屋俊／戸田山和久 ゲーデルにとって、集合論の対象とする宇宙は唯一つの絶対存在であり、集合論の各命題は、その宇宙において、真か偽かの確定した値をとる。ゲーデルは、連続体仮説を成り立たせる人工的宇宙を構成してみせる一方で、本物の宇宙では連続体仮説は成り立っていないと予想した。そして、それを示す方法論として、つぎつぎと巨大基数公理を強化して集合論の公理系を拡大していく所謂「ゲーデルのプログラム」を提唱した。この最終巻では、ゲーデルの数理哲学を解説するとともに、それを底流とした現代集合論の研究動向を紹介する。 第4巻　集合論とプラトニズム 　序　ゲーデルの集合論とその背景　　　田中一之（東北大学） 　I　構成的集合と公理的集合論入門　　　渕野昌（中部大学） 　II　集合論の発展――ゲーデルのプログラムの視点から　　　松原洋（名古屋大学） 　III　ゲーデルのプラトニズムと数学的直観　　　戸田山和久（名古屋大学） https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/news15.htm 河東セミナーニュース (2015年) 渕野先生の集中講義が始まりました． 数学基礎論ですが，私がホストになっています． (10/19/2015) https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/kyoumu/fuchino.pdf ・授業科目数学基礎論・担当講師渕野昌神戸大学・講義題目強制法入門 ・場所東京大学駒場キャンパス　 ・参考書，参考文献 （ここに沢山の文献リストとリンク(URL)があるよ） 727 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/21(土) 21:14:07.88 ID:vzkn7e2Y.net] >>677 >>定義されるωが自然数全体の集合であることを証明してごらん >お断りする じゃ自然数を構成したことにならないじゃん また >君のヘボ手にお付き合いする必要がないってことだなｗ　；ｐ） って言い訳するのかい？ｗ >5ｃｈ便所板で、学会ごっこ？ それとも 数学ゼミごっこ？ 学会ｗ　ただの教養だろｗ >便所板は、基本的に数学記号を書くのに不向きだろ？ はい、また言い訳 >なんで、便所板で 証明ごっこしたいのかね？ オチコボレさんは オチコボレは証明を書けない君 >そもそも、君に理解できる能力があるのかね？ その証明は？ｗ ；ｐ） 書いてから言いなよ　書きもせずビッグマウスはやめような　チンピラじゃないんだから >まあ、下記 渕野先生でも嫁めよ 君、ゼミでもそう言うの？　そりゃ落第するわなｗ 728 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/21(土) 21:18:52.25 ID:vzkn7e2Y.net] >>677 なんだよオチコボレさんは無限公理ガー・極限順序数ガーとさんざん能書き垂れて証明ひとつ書けんのかよ　じゃあ能書き垂れるなや 能書き垂れれば頭良いと思われると思った？　哀れだねえ　どこまでも哀れだねえ 729 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/06/21(土) 22:12:47.77 ID:sEkgudR9.net] >>678-679 ふっふ、ほっほ 渕野 昌（フチノ サカエ）先生 早稲田大学, 理工学部, 化学科 出身だよ 君の先輩だ 日本の宝だね まあ、下記など ・カントルの精神の継承 -̶ 無限集合の数学/超数学理論としてのカントルの集合論の その後の発展と，その「数学」へのインパクト 数学文化 ・フォン・ノイマンと公理的集合論 現代思想 ここらを 百回音読してね 勉強になるよ　（＾＾ (参考) https://researchmap.jp/read0078210/education 渕野 昌 フチノ サカエ (Sakaé FUCHINO) 学歴 3 1979年4月 - 1984年3月Freie Universität Berlin, Fachbereich Mathemtatik 　1989年Dr.rer.nat.(ベルリン自由大学)。https://www.nippyo.co.jp/shop/author/540.html 1977年4月 - 1979年3月早稲田大学, 理工学部, 数学科 1973年4月 - 1977年3月早稲田大学, 理工学部, 化学科 https://researchmap.jp/read0078210/misc https://researchmap.jp/read0078210/misc/1190228 730 名前：3 2018年2月 カントルの精神の継承 -̶ 無限集合の数学/超数学理論としてのカントルの集合論の その後の発展と，その「数学」へのインパクト 数学文化 ＰＤＦ： https://researchmap.jp/read0078210/misc/11902283/attachment_file.pdf https://researchmap.jp/read0078210/misc/11902288 2013年8月 フォン・ノイマンと公理的集合論 現代思想 ＰＤＦ： https://researchmap.jp/read0078210/misc/11902288/attachment_file.pdf [] [ここ壊れてます] 731 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/22(日) 00:29:32.83 ID:2CwzH8ni.net] 無限集合を内包表記（性質を満たすものを要素として集めて集合を定義する） するためには、洗濯公理が要りますか？ 732 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/06/22(日) 07:46:55.05 ID:e5q/Q8+J.net] >>681 ご苦労さまです ・内包表記には、下記”分出公理図式（内包公理図式）”あるいは”置換公理図式”を使うようです ・洗濯公理は、選択公理とも書かれるようですが、ＺＦ公理系の中では整列可能定理と同等だとか なので、内包表記には 洗濯公理は不要のようですね (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%A1%E3%83%AD%EF%BC%9D%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B1%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96 ツェルメロ＝フレンケル集合論 公理 3. 分出公理図式（内包公理図式） →詳細は「分出公理」および「en:Axiom schema of specification」を参照 部分集合は通常、集合の内包的記法（英語版）を用いて表される。 ZFの公理の中で、この公理は置換公理と空集合の公理に従うという点で冗長である。 6. 置換公理図式 →詳細は「置換公理」を参照 置換公理は、定義可能な関数において集合の像も集合内にあると主張する。 9. 選択公理 (または同値な命題) →詳細は「選択公理」を参照 任意の集合 X に対して、 X を整列する二項関係 R が存在する。 これは R が、空でない X のどの部分集合も R のもとで最小元を持つような、 X の全順序であることを意味する。 ZFの公理 (すなわち、前述の8つの公理および公理図式) の下で、選択公理は同値な主張をいくつか持つ。Kunenは選択公理に相当するものとして上記の主張を公理に設定した[9]が、これは通常整列可能定理と呼ばれるものである。 Zermelo (1908)で用いられた形でもある次の主張が公理になっている：空でなく、互いに交わらない集合族 略 をもつ。この形の選択公理は、一般的なものと同値だが使い勝手が悪い（選択関数を考える時とは違って集合族が互いに交わっていないことが必要となる）。ただ、公理を書くために必要な定義が少なくてすむという利点がある[10]。 選択公理の主張は通常次のようなものである： 略 選択公理は選択集合の存在を主張するが、選択集合がどのように「構築」されるかについては言及しないため、非構成的であるとされる。ACが存在を主張する特定の集合の定義可能性（または不可能性）を明らかにしようと、数多くの研究がなされた。 733 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/22(日) 08:23:38.44 ID:Y+ibteSC.net] >>682 >・内包表記には、下記”分出公理図式（内包公理図式）”あるいは”置換公理図式”を使うようです じゃあ ∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]} の∩の対象が不明確とか文句付けたのはなんなの？　ただの言いがかり？　君はチンピラかい？ 734 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/22(日) 13:50:52.99 ID:e5q/Q8+J.net] >>683 (引用開始) >・内包表記には、下記”分出公理図式（内包公理図式）”あるいは”置換公理図式”を使うようです じゃあ ∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]} の∩の対象が不明確とか文句付けたのはなんなの？　ただの言いがかり？　君はチンピラかい？ (引用終り) ご苦労さまです 1）説明責任という言葉がある。数学でも同じだが 　ある人がある式を書いた。説明責任は、式を書いた人にある 2）さて集合積∩ は、まずは2項演算として定義されるよね 　二つの集合AとBなら、A∩Bで明確だ 　しかし、2項演算で ”Iterated binary operation”（下記）がある 　日本語では 反復二項演算 と訳される 3）では問う 　∩の反復二項演算として見た”∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}” 　は、そもそも何者なのか？ その説明責任は、この式を書いた者にあるよ 　例えば、有限の反復なのか無限なのか？ あるいは、無限反復として最初の幾つかの項を明示的に書いたらどうなるのか？ 繰り返すが、説明責任は、 数学では、その式を書いた人にある （>>666より再録する） https://en.wikipedia.org/wiki/Iterated_binary_operation Iterated binary operation （google 和訳） 反復二項演算 数学において、反復二項演算とは、集合S上の二項演算を、反復適用によってSの有限個の要素の列上の関数へと拡張したものである。 [ 1 ]一般的な例としては、加算演算を総和演算に拡張することや、乗算演算を積演算に拡張することがあげられる。集合論的な演算である和と積など、他の演算も反復されることが多い Σ、Π、∪、∩ さらに、下記がある（英文に戻す） If S also is equipped with a metric or more generally with topology that is Hausdorff, so that the concept of a limit of a sequence is defined in S, then an infinite iteration on a countable sequence in S is defined exactly when the corresponding sequence of finite iterations converges. Thus, e.g., if a0, a1, a2, a3, … is an infinite sequence of real numbers, then the infinite product ∏i=0〜∞ ai is defined, and equal to lim n→∞ ∏i=0〜n ai, if and only if that limit exists. (引用終り) 735 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/22(日) 14:13:02.71 ID:Y+ibteSC.net] >>684 まだ分かってなくて草 教えられずとも理解するのが正常人 教えられて理解するのが普通のバカ 教えられても理解できないのがオチコボレの君 >”∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”は、そもそも何者なのか？ だからAの部分集合族の共通部分って教えてあげたよね？ 集合族の共通部分については https://en.wikipedia.org/wiki/Intersection_(set_theory) の「Arbitrary intersections」のところ読めって教えてあげたよね？ 部分集合族については https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88%E6%97%8F の「部分集合族」のところ読めって教えてあげたよね？ 集合の内包的表記については https://wiis.info/math/set/set/set/ の「集合と内包的表記」のところ読めって教えてあげたよね？ 何で読まないの？　なんでそんなに勉強嫌いなの？ >その説明責任は、この式を書いた者にあるよ 君が「1+1=2」って書いたら君はこの式がそもそも何者なのか説明するのかい？　書いた者に説明責任があるんでしょ？　同じことだよ >例えば、有限の反復なのか無限なのか？ あるいは、無限反復として最初の幾つかの項を明示的に書いたらどうなるのか？ 愚門。 上記読め。 736 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/22(日) 14:28:31.39 ID:Y+ibteSC.net] >>685 >例えば、有限の反復なのか無限なのか？ 有限族だろうと無限族だろうと共通部分は定義されてるんだからどうでもよい。まあ無限族だがな、当然ｗ >あるいは、無限反復として最初の幾つかの項を明示的に書いたらどうなるのか？ 無意味。内包的表記を理解できないなら数学は無理なので諦めた方が良い。 737 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/22(日) 14:34:07.47 ID:Y+ibteSC.net] オチコボレ君はなんでもかんでも具体物に書き下さないと理解できないみたいだね。だから大学1年前期で落ちこぼれたんだね。 なのに何で今更数学板に来るの？　とてもじゃないが君には無理だよ。 738 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/06/22(日) 16:23:43.48 ID:e5q/Q8+J.net] >>685 ふっふ、ほっほ (引用開始) >”∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”は、そもそも何者なのか？ だからAの部分集合族の共通部分って教えてあげたよね？ (引用終り) ここの ”∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”は 　最初 >>563 より ”N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”、”Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだもの” by https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86 ペアノの公理 で登場した式だよね で、問題は ”N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”が、正しいかどうか？ おれは、こんなところで ∩を使うのは如何かと 行っているのだ いま記号を変えて、M =∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]} と書くよ 人は、無限集合としての自然数の集合Nが、空集合∅を含んで かつyの後者たるy∪{y}を、無限に含むと知っている （カントールやノイマンによる） これを、公理的に導きたいのだが そのときに、積記号∩を使うのが適当かどうか？ ”M＝N”が証明できれば、無問題 （望ましくは ”一意”の証明もね） やってみてｗｗ　；ｐ） （以前にも書いたが、話の順で 順序数の構成までいけば、それは結論としては可能だが 　（実際 渕野氏は >>677で示した通り ”補題2.22 　(1)自然数の要素は自然数である． 　(2)集合Xを∅∈Xですべてのy∈Xに対しy∪{y}となるようなものとすると，Xはすべての自然数を含む． 　補題2.22の証明は，以下に述べるＯn上の帰納法の説明の後まで保留する．” 　などとしている。（ここに”Ｏn”は、順序数） ）） 739 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/06/22(日) 16:27:06.01 ID:e5q/Q8+J.net] >>688 タイポ訂正 おれは、こんなところで ∩を使うのは如何かと 行っているのだ 　↓ おれは、こんなところで ∩を使うのは如何かと 言っているのだ 740 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/22(日) 17:46:20.07 ID:Y+ibteSC.net] >>689 そんな訂正要らないよ　そんな些細なところ直したところで大間違いはどうにもならん 741 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/22(日) 17:50:52.91 ID:Y+ibteSC.net] >>688 >で、問題は ”N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”が、正しいかどうか？ 定義に正しい/間違いがあると思った？ >おれは、こんなところで ∩を使うのは如何かと 行っているのだ 出た！　∩恐怖症ｗ 君が∩を理解できないからといって、他人に∩を使うなと要求する気かい？　世界は君中心に回っているとでも？ >これを、公理的に導きたいのだが 公理的に導くって言い方がいかにもバカっぽい。 尚、ZF公理系に自然数なるものは存在しない。だから構成する。 >そのときに、積記号∩を使うのが適当かどうか？ 出た！　∩恐怖症ｗ 君が∩を理解できないからといって、他人に∩を使うなと要求する気かい？　世界は君中心に回っているとでも？ >”M＝N”が証明できれば、無問題 （望ましくは ”一意”の証明もね） >やってみてｗｗ　；ｐ） いいよ 君がN=ω:={ x ∈ A | Ent(x) }を証明した後に　答え教えるようなもんだからね >（以前にも書いたが、話の順で 順序数の構成までいけば、それは結論としては可能だが はい、大間違い。 自然数を構成するのに順序数は不要。 >　(1)自然数の要素は自然数である． つまりn∈nってことかい？　それ正則性公理違反だよ。バカなの？ >　補題2.22の証明は，以下に述べるＯn上の帰納法の説明の後まで保留する．” >　などとしている。（ここに”Ｏn”は、順序数） ）） ああ、だから君トンチンカンなこと言ってたんだね。自然数を構成するのに順序数は不要。なんとか先生を誤読しちゃったんだね君。哀れだね。 742 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/23(月) 13:52:43.29 ID:PRYVJgQF.net] >>688 （引用開始） これを、公理的に導きたいのだが そのときに、積記号∩を使うのが適当かどうか？ ”M＝N”が証明できれば、無問題 （望ましくは ”一意”の証明もね） やってみてｗｗ　；ｐ） （以前にも書いたが、話の順で 順序数の構成までいけば、それは結論としては可能だが 　（実際 渕野氏は >>677で示した通り ”補題2.22 　(1)自然数の要素は自然数である． 　(2)集合Xを∅∈Xですべてのy∈Xに対しy∪{y}となるようなものとすると，Xはすべての自然数を含む． 　補題2.22の証明は，以下に述べるＯn上の帰納法の説明の後まで保留する．” 　などとしている。（ここに”Ｏn”は、順序数） ）） （引用終了） 順序数を構成しないと∩を使えない？？？　どんな勝手読みしたらそんなアホな考えになるのだろう ∩の定義は下記ページの通り明らかなのに使えないって意味不明すぎやろｗ https://en.wikipedia.org/wiki/Intersection_(set_theory) 743 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/23(月) 23:15:48.28 ID:PRYVJgQF.net] >>688 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96 の通り、選択公理は∩を使ってるので間違いってことでおｋ？ じゃあ世界中の学会に現代数学は間違いってダメ出ししなよ　こんなとこで吠えてないでさあ 744 名前：１３２人目の素数さん [2025/06/24(火) 23:32:50.82 ID:7bnm2JVo.net] 選択公理は神学だ。信じる者は救われる。 そうしてそれを認めなければ、多くの定理 が成立しなくなり、数学の世界が多いに狭 まる。多くの過去の偉大な数学者たちもそ の必要性をまったく認識することなく公理 を密輸して証明を済ませてきたと思われる。 745 名前：死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ [2025/06/25(水) 00:40:19.22 ID:6SkfWNii.net] 確かに存在しない集合と実存しない集合が一戦交えるなら閉鎖的にしたほうが勝つだろうな。しかし好奇心を持った兵力は兵士数が多くバグでも経験値だというのなら生存しないのはどちらだろう。 746 名前：死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ [2025/06/25(水) 00:42:54.40 ID:6SkfWNii.net] 死中に勝つがある如き死神は、生存の欲望で取り巻いている女神を持ってしても逃げはすまい。 747 名前：死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ [2025/06/25(水) 00:44:24.25 ID:6SkfWNii.net] 女神を開放し強制力から解き放つのも閉鎖性でしかありえない。 748 名前：死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ [2025/06/25(水) 00:46:53.41 ID:6SkfWNii.net] 独りであること、は敵が多いこと召喚の果てに利を取らずインフラをたたませるべきだ。 749 名前：死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ [2025/06/25(水) 00:49:58.62 ID:6SkfWNii.net] 東京タワーから眼前に四面を見下すと今なら敵ばかりが見えるだろう。かつては味方だったものを裏切り、孤独に死に続ける。 750 名前：死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ [2025/06/25(水) 00:51:11.21 ID:6SkfWNii.net] その意味でラッセルとヴィトゲンシュタインでは不完全だ。 751 名前：死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ [2025/06/25(水) 00:51:42.20 ID:6SkfWNii.net] 不健全でな。 752 名前：死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ [2025/06/25(水) 00:54:17.46 ID:6SkfWNii.net] ラッセルもヴィトゲンシュタインも東京一国の外人を競り潰すこともない、退屈な人種に過ぎないのだから。

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