- 605 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/06/15(日) 12:01:12.12 ID:lv2xCBEK.net]
- さすがですね
下記で、赤ペン先生の補習をしておきますね
Inter-universal geometry とABC 予想57
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1723187304/988
(引用開始)
>無限公理が存在を主張する集合全体
無限公理が存在を主張する集合全体？
(引用終り)
1）ペアノ公理の自然数の集合論的構成で、ノイマンによるものの説明が下記です
ここで、”N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”、”Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだもの”
とあるので、集合の積∩は 任意A つまり 全てのA と読めます
ノイマンの最初の論文がこうだったという都市伝説がある（私は原論文は未確認）
2）で、wikipediaの記載は こうだとしても・・
任意Aあるいは全てのAの 集合の積∩を考えるというのは 当然突っ込みどころであります
3）下記の 筑波大 Akito Tsuboi 先生は、下記 数理論理学IIでは
ここは、少し技巧的な記述をしています
（ここの式を手で写すのは面倒なので（どうせ原文見る方がいいしｗ）、各人原文をご覧あれ）
以上
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
自然数の集合論的構成
現代数学において標準的な数学の対象はすべて集合として実現されている。集合論における自然数の標準的な構成法としては、
・N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
・0:=∅
・S(x):=x∪{x}
がある。ただしここでAは無限公理により存在する集合を任意に選んだものである。
これらの集合は存在して、ペアノの公理を満たすことが確かめられる。
この構成法はジョン・フォン・ノイマンによる[7]。
https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/
Akito Tsuboi 筑波大
学部（数学類）関連
https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf
数理論理学II
P8
1.1.9 無限公理
無限公理：
略
そのようなが存在することを主張するのが無限公理である．直観的には，自然数全体のような集合が存在することを意味する．無限公理によって保証される集合は
・・・
しかし余分な元を含んでいるかも知れない．
そこでを条件
略
を満たす最小の集合として定義したい：無限公理によって保証される無限集合を一つ選び，
略
とする
このようにすれば、ωは集合であり，φ(x)を満たす最小のものになる（もちろんのX取り方に依存しない）．
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