分からない問題はここに書いてね462

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分からない問題はここに書いてね462

1 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/03(月) 23:25:06.95 ID:FjAIRTFL.net]: さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね461
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1594131967/

(使用済です: 478)
2 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/04(火) 21:37:27.24 ID:6by4nADS.net]: >前スレ999
もう見てないかもしれんが、設定が同じなら、
前スレ1000の通り、その体感は錯覚である可能性が高い
原因は恐らく「見かけ上の幅」が違うからだと思われる
その場合、対応策としては以下のようなことが考えられる

A 環境における見かけ上の幅を測定し、それを a とする。
B 環境における見かけ上の幅を測定し、それを b とする。

(1) b = a となるように、幅の設定を調整するか、
　またはモニターとの物理的な距離を調整する。

(2) a : b = 300 : x となるように速度 x を設定する。
3 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/04(火) 22:24:44.81 ID:IVWcrfTI.net]: 確率分布問題です
　ある国の大統領選に A, B の 2 人が立候補した．選挙予想をするために，有権者から無作為に調査対象を選び出し，A, B どちらの候補者を支持するかアンケート調査をしたところ
無作為に選んだ 300 人中 180 人が，A を支持すると回答した．
そのとき，以下の問いに答えよ
2-1. 標本比率（標本平均） x の値を以下の中から選択せよ
(1) 0.2, (2) 0.3, (3) 0.4, (4) 0.5, (5) 0.6
2-2. A の支持率 p の 97% 近似信頼区間を求めよ
(1) [0.5445628,0.6554372], (2) [0.5386231,0.661
4 名前：3769], (3) [0.5271397,0.6728603], (4) [0.5010192,0.6989808], (5) [0.4916005,0.7083995] １ばんめは0.6と分かります ２ばんめがわかりません []: [ここ壊れてます]
5 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/04(火) 22:26:24.09 ID:6by4nADS.net]: あるいは、「余白」と幅の比が違うことが錯覚の原因かもしれないな
A 環境では高さ 53cm の内、幅は 25cm だから、余白は 28cm
この比が他の環境でも同じになるように幅を調整すれば良いかもしれない
例えば B 環境では高さ 39cm だから、幅を x cm とすると余白は 39-x cm
この比が同じになるようにするためには、
25 : 28 = x : (39-x) を解いて x = 975/53 ≈ 18.396 cm ってとこか
プレイしやすいかどうかはわからんが
6 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/04(火) 22:33:44 ID:yJdlrSYK.net]: 前スレ展開図上に描かれた円が円錐で云々の件

展開図の円弧角: Θ’
円錐角(軸と母線の角): Θ とすると
・( r*cosθ, r*sinθ ) → ( r*sinΘ*cos(2πθ/Θ’), r*sinΘ*sin(2πθ/Θ’), r*cosΘ )
・Θ’ = 2π sinΘ 　{∵ 扇形でのΘ’ が円錐での一周に相当}
よって2次元→3次元対応は
( x, y ) → √(x*x+y*y) * ( sinΘ*cos(atan2(y, x) /sinΘ), r*sinΘ*sin(atan2(y, x) /sinΘ), cosΘ )
となる。あとは円を表すパラメータ曲線関数と合成すればよい。

例. https://imgur.com/a/LPeEo2Z
展開図の外に出た円は糊付けされた同じ展開図に描かれてると見なせば良い。
sinΘ = 1/n のときには n 枚の展開図で全象限を覆うことになる。
原点周りの1ループは円錐では n ループとなる。
7 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/08/04(火) 22:49:10 ID:9Qg267hA.net]: 前スレ952
△PNAは2辺が5,斜辺が3√3の二等辺三角形で、等しい辺の片方は中点がMで、
△NMPにおいて余弦定理より、
NM=√｛(5/2)^2+5^2-2(5/2)5cos72°｝
NX=1+NM
=5.85021392731……
8 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/04(火) 23:40:24.83 ID:of8fhpcj.net]: nを自然数として、以下のスターリングの公式
ln(n!) ≒ {n+(1/2)}*ln(n)-n+(1/2)*ln(2π)
が知られており、右辺は左辺の良い近似となっている。
では上式を正の実数xについて考えたとき、右辺は左辺の良い近似となるか。
すなわち{x+(1/2)}*ln(x)-x+(1/2)*ln(2π)はln{Γ(x)}の良い近似となっているか。
9 名前： mailto:sage [2020/08/05(水) 00:13:13.86 ID:2RdF7WDY.net]: 前>>6前スレで5.44409……とちょっと小さくなったのは、円錐の内側をショートカットしたからだと思う。それで、あ！　展開図の扇形の上で直線引いて最大値出せばいいな、と。
10 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/05(水) 05:38:57.57 ID:csX4wfTB.net]: 正方形Z:ABCDの頂点A上に駒Xが、頂点C上に駒Yが置かれている。
いまS君とT君が以下のようなゲームを行う。

『S君とT君はサイコロを振り、以下の通りに駒を動かす（S君の場合は駒X、T君の場合は駒Y）。
・出た目が3の倍数なら駒を動かさない
・出た目が3で割ると1余る数の場合、Zの反時計回りで見た隣の頂点に駒を動かす
・出た目が3で割ると2余る和の場合、Zの時計回りで見た隣の頂点に駒を動かす

まずS君がサイコロを振り、駒Xを動かす（先攻）。
続けてT君がサイコロを振り、駒Yを動かす（後攻）。
以後S君、T君、…と交互にサイコロを振り、駒を動かしていく。

相手の駒が置かれた頂点に自分の駒が到達した場合、勝利とする。』

(1)このゲームは後攻が必勝であることを証明せよ。

(2)このゲームに以下のようなルールを加える。
『T君が駒をちょうどn回動かした時点でT君が勝利していない場合、S君の勝利とする』
S君が勝利する確率をpとするとき、|p-(1/2)|を最小にするnを求めよ。
11 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/05(水) 06:49:03 ID:jHWx/hAM.net]: >>7
スターリングの公式はΓ(x)の漸近展開でもある
だから当然nだけでなく実数xの大きいところでの近似も与えてる
12 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/05(水) 06:49:36 ID:dvecL4Ib.net]: 領域D1,D2の求め方がよく分からないのですが、どうやっているんでしょうか

iup.2ch-library.com/i/i020818799715874911279.jpeg

iup.2ch-library.com/i/i020818800815874011280.jpeg
13 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/05(水) 07:53:13.89 ID:jAzbXz6A.net]: >>11
その図の
y≠x^2というのは（その積分範囲では）x=√y
x+y≠2というのはx=2-y
14 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/05(水) 13:47:29.29 ID:/u5QVuC+.net]: 記号の意味で質問です。集合 R とその元 x があったとき、R の右上に n ，右下に + が
ある場合、どういう意味になるのでしょうか？
https://dotup.org/uploda/dotup.org2219260.png
15 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/05(水) 14:10:53.70 ID:hDQghdth.net]: >>13
Rの右上にnはRをn個の直積集合。R^n={(x1,x2,x3,…xn)|x1∈R,x2∈R,x3∈R,…,xn∈R}
Rの右下に＋は正の実数全体の集合。R_+={x∈R|x>0}

>>13はこれらを合わせたものだから、つまりR_+をn個の直積集合。{(x1,x2,x3,…xn)∈R^n|x1>0,x2>0,x3>0,…,xn>0}
成分がすべて正の実数であるようなn次元座標の全体と思えばよい。たとえばRの右上に2、右下に＋ならばいわゆる第1象限を表す。
16 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/05(水) 14:18:17 ID:/u5QVuC+.net]: >>14
早速、有り難うございます。
やっぱ画像でも数式を提示すると話が早いですね。
17 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/05(水) 15:12:04 ID:GQ3dwXvQ.net]: 提示した問題は、→　https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10105842365
ですが、　私の方法では解答が違います。

30分後が34.7°なら、34.7 = 21 + Ce^-30k として Cをこの時点では確定できない数値とします。
一時間後にもう一度計測とありますが、それは午後12時30分だと思いますので、到着してから90分後
と思いました。　それなら
90分後が34.1°なら、34.1 = 21 + Ce^-90k　とし、さらにe^-kt = mとすると
13.7 = Cm、13.1 = Cm^3、　となり　m^2 = 13.1 / 13.7 となります。

ここから m = 0.977854794、　これを 0.6 = C(m – m^3) に代入すると、C = 14 となります。
それで34.7 = 21 + 14e^-ktから、t = 0の時死亡時には体温が 35°であり、死亡時間は、
初回検温時、午後11時30分より30分前の、午後11時だと思いますが、誤りがあれば
指摘して下さい。
なおYahoo解答の、死亡した人の平均平熱を36°とするなどは理解できません。
18 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/05(水) 16:05:48.63 ID:CeZQyI2C.net]: >>16
なんでt=0が死亡時なの？
19 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/05(水) 16:15:47.19 ID:tv8bmdNu.net]: >>5
円錐の上に蚊取り線香を乗っけてみた。頂点の角度は３０度×２

https://i.imgur.com/c13YyLZ.png
20 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/05(水) 16:26:44 ID:tsdXVcSl.net]: ある本の「2部グラフの最大マッチングと最小被覆の大きさは等しい。」という定理の証明に冗長な部分があるのではないかと思っているのですが、この定理について知っている人はいますか？
21 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/05(水) 16:40:24 ID:tv8bmdNu.net]: >>18
こういう作図をして円錐展開図(側面の長さが１、頂点の角度が２α）の上の点A(p,q）がどこに移動するかを計算した。

https://i.imgur.com/qOojo9N.png

どうやって検証したものか？
22 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/05(水) 16:46:59 ID:NWs2tdqK.net]: >>16
温度: T=T(t),　室温: u=21.0 {定数}
冷却法則: dT/dt = κ*(u - T)
dT/(T-u) = -κ * dt
∴ T(t)-u = C*exp(-κt) = C*α^{-t},　 α:=exp(κ)

{死亡時刻を基準点: t=0 とする}
T(0)-u = 36.9 -21.0 = 15.9　{成人の平均平熱: 36.89° (←ググった)}
T(x)-u = 34.7 -21.0 = 13.7
T(x+1)-u = 34.1 -21.0 = 13.1
∴
(1)　C = 15.9
(2)　C*α^{-x} = 13.7
(3)　C*α^{-x-1} = 13.1

(2)÷(3) より α = 13.7/13.1
(2)より logC - x*logα = log(13.7)
x = ( logC - log(13.7) ) /logα
　= ( log(15.9) - log(13.7) )/( log(13.7) - log(13.1) )
　= 3.325...
　≒ 3時間20分
よって死亡時刻は
　11時30分 - 3時間20分 = 8時10分と推定できる。
(目が腐るのでYahooの解答は追ってない)
23 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/05(水) 17:02:21 ID:GQ3dwXvQ.net]: >>17, >>21

解答に一般的な平均平熱が出て来るのは、今でも何かスッキリしませんが
ご指摘ありがとうございます。
24 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/05(水) 17:13:46.16 ID:tv8bmdNu.net]: 展開図のどこに円を置くかで変わってくるな。
https://i.imgur.com/An5YvGR.png
https://i.imgur.com/sDW5Rdi.png

https://i.imgur.com/NQgdSZo.png
https://i.imgur.com/WmJCICs.png
25 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/05(水) 17:51:03.00 ID:CeZQyI2C.net]: >>22
死んだときに何度だったのかわからないんだからそこは推測するしかないだろう
26 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/05(水) 20:34:35 ID:6hWOdlsS.net]: >>18
中心をずらして配置すると
https://i.imgur.com/X7RuCbg.png

当然ながらいびつな形状になった。
https://i.imgur.com/V22Ce08.jpg
27 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/05(水) 21:08:52 ID:tsdXVcSl.net]: C_0 - C_0' = C_1 - C_1' かつ C_1' ⊃ C_0'であるような有限集合C_0, C_0', C_1, C_1'の例なんて本当にありますか？
28 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/05(水) 21:16:13 ID:qmY6SzS1.net]: √(1-tan^2(t))の積分の解き方を教えてください。

これの0からπ/4の定積分は(√2-1)πになるらしいのですが、
公式：∫√(a^2-x^2)dx=1/2(x√(a^2-x^2)+a^2・arcsin(x/a))の公式で計算したところ違う結果になって困惑しています。
29 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/05(水) 21:21:10.94 ID:tsdXVcSl.net]: C_0 ⊃ C_0', C_1 ⊃ C_1', C_0 - C_0' = C_1 - C_1'であるような有限集合C_0, C_0', C_1, C_1'の例なんて本当にありますか？
30 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/05(水) 21:21:46.51 ID:Vrjsi8WK.net]: 前スレ．950,958

O (0, 0, 0)
A (3, 0, 0)
B (-3, 0, 0)
M (3/2, 0, 2)
N (-3/2, 3(√3)/2, 0)
P (0, 0, 4)
とおく。

軸と母線のなす角をΘとすると
　sinΘ = 3/5,　cosΘ = 4/5,

展開図Eにおける極座標で (r,φ) の点Xは
円錐面S上ではデカルト座標で
X ((3/5)r･cos((5/3)φ), (3/5)r･sin((5/3)φ), 4-(4/5)r)

円錐面Sの全曲率 K=0 だから
　(dL)_s = (dL)_e,
　1 = L_s = L_e ≧ MX_e = √(25/4 -5r･cosφ + rr)

この条件で NX を最大にする。
31 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/05(水) 21:25:34.19 ID:qmY6SzS1.net]: 連投すみません、
∫(x/(x^2-x+1)^2)dxの解き方を教えて頂けないでしょうか。
0から1までの定積分で1/27(9+2π√3)になるそうです。
32 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/05(水) 21:25:54.70 ID:tsdXVcSl.net]: C_0' ≠ C_1'とします。
33 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/05(水) 21:31:58.79 ID:QFTYnRbb.net]: >>31
なぜ存在しないと思うのか謎すぎる
34 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/05(水) 21:36:13.96 ID:V1KpqGU1.net]: 簡単すぎで引っかけとしか思えんな
35 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/05(水) 21:37:47.11 ID:V1KpqGU1.net]: >>30
x-1/2 = y に変数変換
36 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/05(水) 21:38:11.62 ID:yK6kCQOA.net]: 具体例を考えるって大事なことなのね
37 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/05(水) 21:43:54.29 ID:Vrjsi8WK.net]: >>27
　tan(t) = x,
　t = arctan(x),
とおいたら
　dt = dx/(1+xx),
だよ。

√2 arcsin( (√2)sin(t) ) - arctan( sin(t)/√cos(2t) )

次の式で a=1/√2　とおく。
√{cos(t)^2 - aa} /cos(t) dt
　= arcsin( sin(t)/√(1-aa) ) - a･arctan(a･tan(t)/√(1-aa)),
　|a|<1
森口･宇田川･一松: 「数学公式I」, 岩波全書221 (1956)
　p.204　中ほど
38 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/05(水) 21:55:12.65 ID:yK6kCQOA.net]: >>31
あえて釣られてみる
>>26の例（本当にあります）
C_0 := {1, 2}, C_0' := {2}, C_1 := {1, 2, 3}, C_1' := {2, 3}

>>28の例（本当にあります）
同上
39 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/05(水) 22:06:57.51 ID:yK6kCQOA.net]: 空集合を考えれば明らかなんだけど、忖度して非自明（？）な例をご用意しました
40 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/05(水) 22:20:50.38 ID:NWs2tdqK.net]: >>27
∫[t=0,π/4] dt √(1-tan²(t))
　= ∫d{tan(t)} cos²(t) √(1-tan²(t))
　= ∫[x=0,1]dx √(1-x²) /(1+x²)　　{ x=tan(t) }
　= ∫[t=0,π/2] dt cos²(t) / (1+sin²(t))　　{ x=sin(t) }
　= ∫[t=0,π/2] dt (1-sin²(t)) / (1+sin²(t))
　= -π/2 + ∫[t=0,π/2] dt 2/(1+sin²(t))
　= -π/2 + 1/2 * ∫[t=0,2π] dt 1/(1+sin²(t))
　= -π/2 + 1/2 * π√2　　{※1}
　= π/2 * (√2 - 1)　{ 数値積分でもチェック済 }

※1
∫[t=0,2π] dt 1/(1+sin²(t))
　= -i*∫[t=0,2π] d{e^{it}} e^{-it}/(1+sin²(t))
　= 4i*∫dz　z/((z²-α)(z²-β)) 　　{ z=exp(it) ※2 }
　=-8π* ((+√α)/(2(+√α)(α-β)) + (-√α)/(2(-√α)(α-β)) { 留数定理 }
　= π√2

※2
(1/z)/ ( 1 - (zz -2 + 1/zz )/4 )
　= -4z/(z⁴ - 6z² + 1)
　= -4z/((z²-α)(z²-β))　{ α=(3-√8), β=(3+√8), |α|<1, 1<|β| }
41 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/05(水) 22:22:14.70 ID:qmY6SzS1.net]: >>34
ありがとうございます
x-1/2 = y とした判断基準を教えて頂けますでしょうか
42 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/05(水) 22:32:49.38 ID:yK6kCQOA.net]: ただの計算問題はWolfram大先生に聞けば「ステップごとの解説」でヒントがもらえるよね
43 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/05(水) 22:37:13 ID:qmY6SzS1.net]: >>36
ありがとうございます。助かりました。
公式に入れるためにxの次数と係数を直さないといけなかったんですね。
44 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/05(水) 22:38:59 ID:r9mOIjFe.net]: >>40
x^2-x+1 を平方完成
45 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/05(水) 22:56:31 ID:qmY6SzS1.net]: >>39
解答を確認できました。
詳しく過程を記述していただき、ありがとうございます。
46 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/05(水) 23:12:12.76 ID:NWs2tdqK.net]: >>41 Wolfram はそこまで万能ではない。
"∫[t=0,π/4] dt √(1-tan²(t))" で丸投げすると
定積分 ... = 1/2 (sqrt(2) - 1) π ≈ 0.65065
　→ "このクエリには「ステップ毎の解説」はありません。"
と出る。 (解説あったとしても無課金だと冒頭部分しか見えない)

値を表示してから微妙な間を置いて数式を追加で出してくるので、
数値計算の値と内部テーブルを見比べて 1/2 (sqrt(2) - 1) π を拾ってきてるんじゃないかな。
47 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/05(水) 23:18:13.24 ID:vLnFZyaN.net]: 座標平面上の点で，両座標が整数であるような点を格子点といいます．放物線 y=x2 は無限個の格子点を通ります．これに対して放物線 y=x2+√2

は格子点を通りません．

問題1　k=1,2,3,4
に対して，ちょうど k

個の格子点を通る放物線を見つけてください．(放物線の軸は座標軸に平行とは限りません．)

問題2　ちょうど 5 個の格子点を通る放物線があるでしょうか．
48 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/05(水) 23:21:59.14 ID:yK6kCQOA.net]: >>45
∫[t=0,π/4] dt √(1-tan²(t))
について言えば、不定積分が存在するでしょ
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%AB+%E2%88%9A%281-tan%C2%B2%28t%29%29+dt

無課金だと冒頭部分しか見えないのでヒントと書いたが、
冒頭だけでも続きは推測できる
上の例でいえば、∫ √(1 - u^2)/(u^2 + 1) du までは無課金でも見えるので、この不定積分がわかればよくて、
大先生によればこうなるらしい
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%AB+%E2%88%9A%281+-+u%5E2%29%2F%28u%5E2+%2B+1%29+du
これのステップごとの解説を覗くと（ｒｙ
49 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/06(木) 00:15:21 ID:/L5rc026.net]: >>36
の下の方の式は拙者の写し間違いでござった。
死んでお詫びを････ (AA略)

(訂正)
∫ √{cos(t)^2 -aa} /cos(t) dt
　= arcsin( sin(t)/√(1-aa) ) - a･arcsin( a･tan(t)/√(1-aa) ),
　= arcsin( sin(t)/√(1-aa) ) - a･arctan( a･sin(t)/√{cos(t)^2 -aa} ),
　|a|<1

>>39
※1
　∫1/{1+sin(t)^2} dt = (1/√2) arctan((√2)t),
50 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/06(木) 00:23:32 ID:/L5rc026.net]: ※1
　∫1/{1+sin(t)^2} dt = (1/√2) arctan((√2)tan(t)),
ですた。
51 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/06(木) 00:33:16 ID:jjAtz/Z+.net]: ガウス関数に関して
f(x) =∫【０→ｘ】 (1－t＾2)e＾(－t＾2)dt (x ∈R).
このとき
(1) lim【x→+∞】f(x), lim【x→－∞】f(x) を求めよ.
(2) y = f(x)の極値と変曲点を求めよ
f(x)=∫[0,x] (1-t^2)e^(-t^2) dt
=∫[0,x] e^(-t^2) dt - ∫[0→x] (t^2)e^(-t^2) dt
=∫[0,x] e^(-t^2) dt - ∫[0→x] (-t/2)(-2t)e^(-t^2) dt
=∫[0,x] e^(-t^2) dt + ∫[0→x] (t/2)(-2t)e^(-t^2) dtという
ところまではわかりました次に進めません
∫【０→∞】e＾－x＾2dx =√π/ 2というのをつかうみたいですが
52 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/06(木) 00:35:01 ID:hBHuPM8g.net]: >>49
ありがとうございます
53 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/06(木) 00:49:41 ID:/L5rc026.net]: >>46
問題3
　放物線の軸が座標軸に平行なときは
　k≦2　または　k=∞
に限ることを示せ。
54 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/06(木) 00:59:42 ID:/L5rc026.net]: (略証)
放物線
　　f(x) = axx + bx + c
が相異なる3つの格子点 (x_i, f(x_i)) を通るとする。
ラグランジュの補間公式より、係数 a, b, c は有理数。
n･a と n･b が整数となるような整数nだけずらせば
　f(x｡+n) = f(x｡) + (n･a)(2x｡+n) + (n･b) も整数。
∴　格子点　(x｡+n, f(x｡+n)) をとおる。
∴　k = ∞　　　　　　　　　　　　　　(終)

問題1 と問題2 の応募締切 8月8日8時8分8秒らしい･･･
55 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/06(木) 02:39:14 ID:/L5rc026.net]: >>30
x - 1/2 = y
とおくと、被積分関数は
　(y+1/2)/(yy+3/4)^2 = y/(yy+3/4)^2 + (1/2)/(yy +3/4)^2
　= y/(yy+3/4)^2 - (1/3)(yy-3/4)/(yy+3/4)^2 + (1/3)/(yy+3/4),
積分して
　-(1/2)/(yy+3/4) + (1/3)y/(yy+3/4) + (2/√27)arctan(2y/√3)
　= (y/3 -1/2)/(yy+3/4) + (2/√27)arctan(2y/√3)
　= (1/3)(x-2)/(xx-x+1) + (2/√27)arctan((2x-1)/√3),

0～1 の定積分で (9+2π√3)/27 = 0.7364･･･になる。
56 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/06(木) 02:52:58 ID:ulzRAqcn.net]: >>47
Wolfram大先生のヒントに従って定積分 I := ∫[0,π/4] √(1-tan^2(t)) dt を計算するとこんな感じか
まず u = tan(t) と置換すると
I = ∫[0,1] √(1 - u^2)/(u^2 + 1) du
次に u = sin(s) と置換すると
I = ∫[0,π/2] cos^2(s)/(sin^2(s) + 1) ds
= ∫[0,π/2] (1/cos^2(s))/((tan^2(s)/cos^2(s)) + (1/cos^4(s))) ds
= ∫[0,π/2] (1/cos^2(s))/(1 + 3tan^2(s) + 2tan^4(s)) ds
最後に x = tan(s) と置換すると
I = ∫[0,∞] 1/(1 + 3x^2 + 2x^4) dx
= ∫[0,∞] 1/((1 + 2x^2)(1 + x^2)) dx
= ∫[0,∞] 2/(1 + 2x^2) dx - ∫[0,∞] 1/(1 + x^2) dx
= (√2 - 1) π/2

自然な計算かどうかは知らん
57 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/06(木) 03:37:19 ID:/L5rc026.net]: >>29
r = PX = 3.055475
φ = -0.302010
のとき最大で
X ( 1.605907,　-0.884314,　1.555620)
N (-3/2, (3√3)/2, 0)
NX = 4.918699
かな？
58 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/06(木) 04:42:09 ID:+UEkGzY5.net]: >>53
　情報量＝０だね

ｋ＝無限ならいくらでもある。　ｙ＝ｘ＾２
ｋ＝１　y＝　Sqrt[2]　ｘ＾２　　｛０，０｝のみ
ｋ＝２　かんたん
ｋ＝３　。。。
k＝４　。。。
ｋ＝５　ありやなしや？　。。。

という問題だろ？
59 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/06(木) 04:53:17 ID:/L5rc026.net]: >>6
前スレの >>973 >>974 までは正しいけど、
>>975 以後は怪しいなぁ。
頂角 ∠NPM = ∠NPA = arccos(0.46) = 62.61289°
60 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/06(木) 05:09:25 ID:/L5rc026.net]: >>56
　MX_e = 1
　MX_c = 0.99533947　　　(←曲面だから)

>>57
　応募締切まで待て
61 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/06(木) 05:36:06 ID:/L5rc026.net]: >>50
部分積分により
　f(x) = (x/2) e^(-xx) + (1/2)∫[0→x] e^(-tt) dt,
　f ’(x) = (1-xx) e^(-xx),
　f "(x) = 2x(xx-2) e^(-xx),
というのを使うみたいでつが･･･
62 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/06(木) 05:42:05 ID:81ZHqd6S.net]: pを0<p<1の実数として、表の出る確率がp、裏の出る確率が1-pのコインがある。
このコインをn枚同時に投げ、表が出た枚数を数える。これを合計k回繰り返し、m回目の繰り返しにおいて表が出た枚数をa[m | k,n]と書く。
例えば3枚のコインを2回投げ、各回で表の出た枚数がそれぞれ3枚,0枚であったならば、a[1 | 2,3]=3、a[2 | 2,3]=0である。

（1）S[n,k] = Σ[m=1,k] a[m | k,n]とする。
lim[k→∞] (S[n,k]/nkp)を求めよ。

（2）n=6mとする。2m≦(S[n,k]/nkp)≦4mとなる確率p[m]について、極限lim[m→∞] p[m]を求めよ。
63 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/06(木) 06:30:45 ID:meNNWVIo.net]: >>5
動画みました。素晴らしい！記念に動画を保存しました。
これはGeoGebraで作成ですよね？
64 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/06(木) 07:26:05.17 ID:meNNWVIo.net]: >>61
（１）をプログラム組んで推定させてみた。

> sim <- function(n,p,k=1e5) sum(rbinom(1:k,n,p))/(n*k*p)
> f=Vectorize(sim)
> n=2:20
> p=seq(0,1,0.1)
> z=outer(n,p,f)
> quantile(z,na.rm=T)
0% 25% 50% 75% 100%
0.9949167 0.9996160 1.0000000 1.0005092 1.0129500

どうやら１が答のようだな。
65 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/06(木) 07:30:01.44 ID:/rJXsbPo.net]: >>39 (自己レス)
※1 少しだけシンプルにできた。
∫ [t=0,2π] dt 1/ (1+sin²(t))
= 2 ∫ [t=0,π] dt 2/(2 + 1-cos(2t) ) = 2 ∫ [t=0,492π] dt 1/(3-cos(t))
= -2i ∫ dz 1/( 3z - (z² + 1)/2 ) = 4i ∫ dz 1/(z² -6z +1)
= 4i ∫ dz 1/((z-α)(z-β))　{ α=(3-√8), β=(3+√8) }
= -8π * 1/(α-β)
= -8π * 1/(-2√8) = π√2
もちろん不定積分( >>49 )を知ってるなら即堕ち計算である。

>>62 はいGeoGebraです。
周期運動と違って自由にグリグリ動かす動画は面倒だろと思ってたら、
前スレ >>991 のような画面キャプチャなら簡単だと気付きました。
66 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/06(木) 07:32:54.83 ID:meNNWVIo.net]: >>63
グラフにしてみても１だな。
https://i.imgur.com/HjNdxyu.jpg
67 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/06(木) 08:34:55 ID:D2mM6ygy.net]: >>61
すみません、（2）が間違っていました。

（2）n=6Nとする。2N≦(S[n,k]/kp)≦4Nとなる確率p[n]について、極限lim[n→∞] p[n]を求めよ。
68 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/06(木) 10:02:22.58 ID:hBHuPM8g.net]: >>54
y/(yy+3/4)^2 + (1/2)/(yy +3/4)^2
= y/(yy+3/4)^2 - (1/3)(yy-3/4)/(yy+3/4)^2 + (1/3)/(yy+3/4)

すみません、ここの計算がうまくいきません。
69 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/06(木) 10:12:41.06 ID:g9hM4+Nw.net]: 以下の問題を数学オリンピックに出題したら正解率どれくらいになりますかね？

Vを有限集合とする。LをVの部分集合族とする。Lは演算∪, ∩に関し閉じているとする。
A⊂C⊂B ⇒ A=C or B=Cが成り立つとき、A<Bと書くことにする。
P:={S | S = A-B かつ A, B∈Lかつ B < A}とおく。
このとき以下の命題が成り立つことを証明せよ。

A_0 = ∩ L < A_1 < … < A_{l-1} < ∪ L = A_lとすると、P = {A_l - A_{l-1}, A_{l-1}-A_{l-2}, …, A_{1}-A_{0}}が成り立つ。
70 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/06(木) 10:13:03.91 ID:hBHuPM8g.net]: >>67
すみません、確認できました。
ありがとございます。
71 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/06(木) 10:19:39.37 ID:g9hM4+Nw.net]: >>68
テレンス・タオでも無理かな？
72 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/06(木) 10:38:14.29 ID:UuYgJh/d.net]: コインの問題は
試行の全体が二項分布になることを見抜けば
計算なしで出せそう
73 名前：イナ mailto:sage [2020/08/06(木) 10:38:42.58 ID:meTjD1lA.net]: 前>>8
5.8502……が最大だろう？
74 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/06(木) 10:44:31.13 ID:g9hM4+Nw.net]: >>68
解ける人いないの？www
75 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/06(木) 11:31:57 ID:p+DNjRby.net]: ∫[-1→1] 1/x^2dx
を求める際、次のように議論して得られた値-2は正しくない。この議論のどこが誤っているか答えよ。

議論:f(x)=1/x^2とおくと、F(x)=-1/xはf(x)の原始関数であるから、次の定理を用いて、

(定理)fを区間［b,a］で定義された連続な関数、Fをfの原始関数とするとき、
∫[b→a] f(x)dx F(a)-F(b)
が成り立つ。

よって、
F(1)-F(-1)=-2と導かれた。
76 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/06(木) 11:32:45 ID:p+DNjRby.net]: >>74の問題誰か教えてください！
f(x)が負の値をとらないのにどうしてこんなことが起こるんですか？
77 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/06(木) 11:56:04 ID:RC/XCBWR.net]: fが区間［-1,1］で連続なん違うやん
78 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/06(木) 12:39:37.83 ID:p+DNjRby.net]: >>76
確かに！
ありがとうございました！
79 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/06(木) 13:55:47.15 ID:1/AtprVO.net]: >>68
これエレガントに示すにはどうするんかな？
ｼﾞｮﾙﾀﾞﾝﾍﾙﾀﾞｰの構造定理風に示すと面倒だけど以下のようして出来る

まず上の集合をP、下の集合をP'としておくとP'⊆Pは明らか
P⊆P'を示す
B<Aに対して、これを延長して
A_0=A'_0<A'_1<…<B<A<…<A'_k=A_l
となる鎖を作れる(有限だから)

C<D,C'<D'として
C∩C',C∩D',D∩C',D∩D'を2×2に配置したとき
向かい合う組は同時に=か同時に<の関係にあり
<の場合、その差集合は一致することが示せる
(単なる集合の計算だけど、ここが面倒)

よって(A_i)∩(A'_j)を2次元的に配置することで
差集合A-BがA_iたちのどこかの差集合に一致することがわかりP⊆P'が言える
80 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/06(木) 15:03:41.69 ID:ulzRAqcn.net]: 【反例（？）】
V := {1, 2}
L := {{1}, V}
P = {∅, {2}}
A_0 := ∩ L = {1}
A_1 := ∪ L = V
{A_{1}-A_{0}} = {{2}} ∌ ∅
81 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/06(木) 15:19:04.55 ID:1/AtprVO.net]: 書いてないけどA<Bの定義でA≠Bは仮定されてるはず
82 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/06(木) 15:22:57.66 ID:g9hM4+Nw.net]: >>79-80
間違えました。
Vを有限集合とする。LをVの部分集合族とする。Lは演算∪, ∩に関し閉じているとする。
AはBの真部分集合で、A⊂C⊂B ⇒ A=C or B=Cが成り立つとき、A<Bと書くことにする。
P:={S | S = A-B かつ A, B∈Lかつ B < A}とおく。
このとき以下の命題が成り立つことを証明せよ。

A_0 = ∩ L < A_1 < … < A_{l-1} < ∪ L = A_lとすると、P = {A_l - A_{l-1}, A_{l-1}-A_{l-2}, …, A_{1}-A_{0}}が成り立つ。
83 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/06(木) 15:45:44 ID:ulzRAqcn.net]: 【反例（？）】
V := {1, 2}
L := {∅, {1}, {2}, V}
P = {{1}, {2}, V}
A_0 := ∩ L = ∅
A_1 := {1}
A_2 := ∪ L = V
A_{2}-A_{1} = {2}
A_{1}-A_{0} = {1}
84 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/06(木) 15:48:45 ID:ulzRAqcn.net]: >>82
失礼、 V は P に属さなかった
85 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/06(木) 15:58:02 ID:nQj2SPhA.net]: >>81
VとかLとか記号が物騒だな
86 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/06(木) 16:12:49 ID:ulzRAqcn.net]: 【反例（？）】
V := {1, 2}
L := {∅, V}
P = {V}
A_0 := ∩ L = ∅
A_1 := {1}
A_2 := ∪ L = V
A_{2}-A_{1} = {2}
A_{1}-A_{0} = {1}
87 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/06(木) 16:16:31 ID:ulzRAqcn.net]: >>85
いや、この場合 P = ∅ か？
条件をどこで考えるのかわからんな
88 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/06(木) 16:17:33.16 ID:/L5rc026.net]: >>56
r = PX = 3.055475
φ = -0.302010473
のとき最大で
X ( 1.60590483,　-0.88430965,　1.55562000)
N ( -3/2, (3√3)/2, 0)
NX = 4.9187000017
89 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/06(木) 16:21:11.36 ID:nQj2SPhA.net]: >>81
>AはBの真部分集合で、A⊂C⊂B ⇒ A=C or B=Cが成り立つとき、A<Bと書くことにする。
>P:={S | S = A-B かつ A, B∈Lかつ B < A}とおく。
C∈L？？
90 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/06(木) 16:23:35.32 ID:1/AtprVO.net]: "); //]]>-->
91 名前：_link">>>78
少し簡略化できた

A-Bの各要素はA_i列のどこかで追加される
もし追加されるタイミングの違うx,y∈A-Bがあったとすると
A_iでxとyのどちらかだけを含むものが存在する
するとB⊂B∪(A∩A_i)⊂Aとなり矛盾するので
A-Bの全要素はあるA_iからA_(i+1)の段階で一斉に追加される
このときA-B以外の要素もA_iに追加されたとすると
上の議論をA'_kに適用することで矛盾がわかるので、
A_(i+1)-A_iはA-Bに一致する []: [ここ壊れてます]
92 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/06(木) 16:38:17.33 ID:g9hM4+Nw.net]: >>79-80
書き足りないところがありました。

Vを有限集合とする。LをVの部分集合族とする。Lは演算∪, ∩に関し閉じているとする。
A, BはLの要素とする。AはBの真部分集合で、C∈LかつA⊂C⊂B ⇒ A=C or B=Cが成り立つとき、A<Bと書くことにする。
P:={S | S = A-B かつ A, B∈Lかつ B < A}とおく。
このとき以下の命題が成り立つことを証明せよ。

A_0 = ∩ L < A_1 < … < A_{l-1} < ∪ L = A_lとすると、P = {A_l - A_{l-1}, A_{l-1}-A_{l-2}, …, A_{1}-A_{0}}が成り立つ。
93 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/06(木) 17:43:03.43 ID:VB4rBLfZ.net]: 円錐側面の展開図の扇形上に線分Lをひく。
展開図から円錐を組み立て、展開図上でLであった線をCとする。

(1)Lが扇形の半径の一部でない場合、Cは線分（すなわち直線図形）でないことを示せ。

(2)Lが扇形の半径の一部でない場合、Cが1つの平面上に乗る（すなわち平面図形）ことはあるか。
94 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/06(木) 19:04:26.09 ID:zwwmn5bh.net]: >>91
(1)
Lが展開図の扇形の中心を通るとき
Cは折れ線であるので、線分ではないが直線図形ではある。

Lが扇形の直系の一部ではないとき
背理法で示す。Cが線分であると仮定する。
Lが扇形の半径の一部でないからCは円錐の母線の一部ではない。
したがってCのそれぞれの端点を通るような異なる2本の母線が存在する。
異なる母線は頂点で交わるので、この2本の母線を含む平面αは1つに定まる。
線分Cの端点がともに平面α上にあるから線分C全体が平面α上に含まれる。
またCは円錐側面上の図形でもあるから、Cは円錐側面と平面αの共通部分に含まれる。
しかし円錐側面と平面αの共通部分は2本の母線であるから、これに線分Cが含まれることはCが母線の一部ではないことに矛盾する。

なんか終始言葉遊びしているみたいでしっくりこないけど、自明なことを示せと言われているのだからこんなものか。スマートではない自覚はある。
95 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/06(木) 19:11:12.92 ID:1/AtprVO.net]: >>90
細かく証明を書いておく

P={S | S = A-B かつ A, B∈Lかつ B < A}
P'={A_l - A_(l-1), A_(l-1)-A_(l-2), …, A_1-A_0}
とおいておく
P=P'を示したい
P'⊆Pは明らかなので以下、P⊆P'を示す
A-B∈Pをとる

主張1
x∈A-B(≠φ)に対して∃! i(0≦i≦l-1) s.t. x∈A_(i+1)-A_i
∵ xはB(∈L)の要素ではないのでA_0=∩Lの要素ではない
一方でx∈A⊂A_l=A_0+Σ(A_(i+1)-A_i)(非交和)なので
どこかのiでx∈A_(i+1)-A_iである

主張2
A-Bの各要素に対して上のiは同じ値である
すなわち∃! i s.t. A-B⊂A_(i+1)-A_iとなる
∵ もし異なるx,x'∈A-Bで
x∈A_(j+1)-A_j、x'∈A_(j'+1)-A_j' (j<j')であったとする
このときB∪(A∩A_(j+1))(∈L)はxを含みx'を含まないため
B⊊B∪(A∩A_(j+1))⊊Aとなるがこれは仮定B<Aに反する

主張3
A-B=A_(i+1)-A_iである
∵ B<Aを両側に延長することで増大列
(A_0=)A'_0<A'_1<…<B(=A'_s)<A(=A'_(s+1))<…<A'_k(=A_l)
を得るが上と同じ議論によって
∃! j s.t. A_(i+1)-A_i⊂A'_(j+1)-A'_j
しかしA-B(⊂A_(i+1)-A_i)であったからj=sであり
A_(i+1)-A_i⊂A'_(s+1)-A'_s=A-Bとなる

よってA-B∈P'となりP⊆P'が言えた
96 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/06(木) 19:51:37 ID:zwwmn5bh.net]: >>91
(2)を書いてなかったな。答えは「ある」
展開図の扇形の中心角が180°より大きいとき、Lが扇形の直径の一部となるようにとれば平面図形（頂点で折れる折れ線）になる。
97 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/06(木) 20:14:01 ID:ulzRAqcn.net]: （直径の一部って半径の一部じゃないの？）
98 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/06(木) 20:28:40 ID:zwwmn5bh.net]: >>95
中心を通るような線分をとれば半径の一部ではないが直径の一部ではある。
99 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/06(木) 20:40:16 ID:jQwhW6Xy.net]: r=4sinθ(π/8 ≦θ≦　π/4)で囲まれた図形の面積
100 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/06(木) 21:27:10 ID:6NEqA37J.net]: >>94
ありがとうございます。
（1）は自明なのに論証の仕方が分からず、（2）に至っては「多分あるんだろうけど例が挙げられない」状態でした。
証明と構成例を示していただきありがとうございました。
101 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/06(木) 21:54:41 ID:ulzRAqcn.net]: えっそれでいいんだ
てっきり
「二直線（軸を全て含む平面で切断）を除く円錐曲線（の一部）は円錐の展開図上で直線になるか？」
って問題だと思ってた
多分ないと思うけど
102 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/06(木) 21:57:45 ID:w8yiRRv5.net]: >>98
(2)は線分の延長が中心を通るもの以外の曲線を探しているんじゃないの？
103 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/06(木) 22:04:24 ID:w8yiRRv5.net]: >>99
展開図の中心を通る線分以外で
円錐化したら直線になる曲線はあるか？
という問題かと思った。
104 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/06(木) 2 ]: [ここ壊れてます]
105 名前：2:05:19 ID:w8yiRRv5.net mailto: これから解答の端緒が見いだせるかな？

円錐角（母線と軸のなす角）がαの円錐側面の展開図を頂点を原点にｙ軸に対称に置く。
尚、円錐底面の円の展開は考えない。
円錐側面展開図上の点Aの座標を(p,q)とすると展開図を円錐化したときのAの三次元座標をp,q,θで表わせ。 []: [ここ壊れてます]
106 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/06(木) 22:28:13 ID:meNNWVIo.net]: >>102
円錐上に存在しうる直線（線分）は母線以外にないから探しても無駄な気がしてきた。
107 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/06(木) 22:48:28.54 ID:XP8VEZbb.net]: >>91
(2)
展開図の扇形に相似形の扇の円弧は円錐化したら底面と平行な円になるから同一平面にあるね。
108 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/06(木) 22:58:07.95 ID:meNNWVIo.net]: >>102
誤入力訂正

円錐角（母線と軸のなす角）がαの円錐側面の展開図を頂点を原点にｙ軸に対称に置く。
尚、円錐底面の円の展開は考えない。
円錐側面展開図上の点Aの座標を(p,q)とすると展開図を円錐化したときのAの三次元座標をp,q,αで表わせ。
109 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/06(木) 23:03:33.03 ID:ulzRAqcn.net]: （円弧は線分ではないのでは？）
110 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/06(木) 23:08:10.70 ID:w8yiRRv5.net]: >>106
ご指摘通り。その縛りがあったのね。
111 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/06(木) 23:15:25.96 ID:ulzRAqcn.net]: （なんでこの人が答えるんだろう…？）
112 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/06(木) 23:40:47.05 ID:zwwmn5bh.net]: >>99-101
問題文が「扇形の内部に線分L」ではなく「扇形上に線分L」としているし、わざわざ直径ではなく半径の一部としているから
ミスリードさせる意図のひっかけ問題だと思うんだ。
それにしても(1)の「線分（すなわち直線図形）」の書き方が嫌らしいけどね。
線分でないことは示せるけど直線図形でないことは示せないんだから。
113 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/07(金) 01:41:03.43 ID:n8IYzqJl.net]: >>87
の周辺で点X (x,y,z) を動かしたときの NX のようす

r = PX：　3.055400　　　3.055450　　　3.055475　　　3.055500　　　3.055550
φ：　　-0.302032543　-0.302017830　-0.302010473　-0.302003116　-0.301988400

x：　　1.605832887　1.605880851 　1.605904833　1.605928816　1.605976783
y：　　-0.884347011　-0.884322105　-0.884309650　-0.884297194　-0.884272277
z：　　1.55568　　　1.55564　　　1.55562　　　1.55560　　　1.55556

NX－4.9187：　-3.2E-10　　15.0E-10　　17.3E-10　　15.1E-10　　-2.8E-10
114 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/07(金) 02:33:47.21 ID:n8IYzqJl.net]: >>97
θの範囲を α≦θ≦β　とする。
(r,θ) を極座標とすると、与式は円
　xx + (y-2)^2 = 4
を表わす。
求める面積Sは、
(中心角2βの弓形の面積) = 4β - 2sin(2β) = π - 2,
から
(中心角2αの弓形の面積) = 4α - 2sin(2α) = π/2 - √2,
を引いたものだから
S = π/2 - 2 + √2 = 0.98501

あるいは、積分を使えば
(1/2)∫rr dθ
　= 4∫2(sinθ)^2 dθ
　= 4∫{1 - cos(2θ)} dθ
　= 4θ - 2sin(2θ),
これを α≦θ≦β で積分して
S = 4(β-α) - 2sin(2β) + 2sin(2α)
　= π/2 - 2 + √2
　= 0.98501
115 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/07(金) 03:57:53 ID:yM3Dh7ia.net]: aは正の実定数とする。
xy平面上に点A(0,a)と曲線C:y=sin(x)がある。
Aを通り傾きが-1/4である直線は、Cと何個の共有点を持つか。aの値により場合分けをして求めよ。
116 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/07(金) 04:09:58 ID:yM3Dh7ia.net]: 極方程式r=1+cos(θ)により表されるxy平面上の曲線Cを、x軸の周りに一回転させてできる立体をKとする。
平面x=aでKを2つの部分に分割するとき、分割されたそれぞれの立体の体積が等しくなるような実数aを求めよ。
117 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/07(金) 04:40:09 ID:n8IYzqJl.net]: >>29
r = PX = 2.58456488
φ = 0.394546670
のとき最小で
X ( 1.227371115,　0.947813995,　1.932348096)
N ( -3/2, (3/2)√3, 0)
NX = 3.72771883923586
118 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/07(金) 05:58:48.96 ID:W7LEcOm3.net]: >>109
問題に解答というより展開図上の線分は
円錐
119 名前：に組み立てたらどんな方程式で表せるのだろうかと思った。 []: [ここ壊れてます]
120 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/07(金) 06:09:57 ID:W7LEcOm3.net]: >>113
パスカルの蝸牛だっけ？
121 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/07(金) 07:48:47.33 ID:wDMXmFnH.net]: >>105
計算が込み入っていて、あっているかどうか自信がない。

x=sqrt(p^2+q^2)*sin(α)*sin(atan(p/q)/sin(α))

y=sqrt(p^2+q^2)/(tan(α)*sqrt(1+tan(α)^-2))

z=sqrt(p^2+q^2)*sin(α)*(1-cos(atan(p/q)/sin(α)))
122 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/07(金) 08:41:16 ID:wDMXmFnH.net]: >>113
数値積分で求めたら
> uniroot(function(x) vol(x)-V/2,c(0,2))
$root
[1] 0.7901378
という値になった。

数理解は賢者に任せた。
123 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/07(金) 09:59:54.98 ID:SDpbqd4z.net]: サイクロイドの定積分についての質問

x=a(θ－sinθ), y=a(1－cosθ)であるサイクロイド曲線の長さの計算を
t=0からt=2πではなく，t=kからt=2π+k までのものとした時,
曲線の長さが変わらず 8a となる理由を説明せよ。

サイクロイドの図を見ると何となく長さが変わらないことは理解できるけれど, それを計算式で表す方法がよく分からないので教えて欲しいです。
場合分けすればいいのかな
124 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/07(金) 10:11:48.16 ID:n8IYzqJl.net]: >>112
点A(0,a) を通り傾きが-1/4である直線
　y = a - x/4,　　と
C:　y = sin(x),
の共有点の個数は
　y = f(x) = sin(x) + x/4,
　y = a,
の共有点の個数である。

x≦0 では f(x)≦0<a なので、x>0 で考えれば十分。

x = 4.459708725 + 2nπ　(n≧0) で極小
　b = f(4.459708725) = 0.146681344
　f(4.459708725 + 2nπ) = b + nπ/2,

x = 1.823476582 + 2nπ　(n≧0) で極大
　c = f(1.823476582) = 1.424114982
　f(1.823476582 + 2nπ) = c + nπ/2,

よって
0<a<b または c+nπ/2<a<b+(n+1)π/2 のとき　････　1個
a=b+nπ/2 または a=c+nπ/2 のとき　　････　2個
b+nπ/2 < a < c+nπ/2 のとき　　････　3個。
125 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/07(金) 10:39:00.94 ID:n8IYzqJl.net]: >>119
周期性より
L(0,k) = L(2π,2π+k)
これに L(k,2π) をたせば
L(0,2π) = L(k,2π+k)

ここに、
L(b,c) = ∫(b,c) √{(dx/dθ)^2 + (dy/dθ)^2} dθ
　= 4a∫(b,c) (1/2)sin(θ/2) dθ
　= 4a [ -cos(θ/2) ](b,c)
　= 4a{cos(b/2) - cos(c/2)},
126 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/07(金) 10:53:59.37 ID:Ij1b0Y8c.net]: >>113
全体積 V= lim{ Σ π y² δx }
　= ∫[θ=0,π]dθ π (r*sinθ)² * -d(r*cosθ)/dθ
　= π ∫[θ=0,π]dθ (1+c)² s² (s + 2cs)
　= π ∫[θ=0,π]dθ (1+c)²(1+2c)(1-c²) s
　= π ∫[c=-1,+1]dc (1+2c+c²)(1+2c)(1-c²)
　= π ∫[c=-1,+1]dc (1+5c²)(1-c²)　{∵関数の偶奇}
　= π ∫[c=-1,+1]dc (1+4c²-5c⁴)
　= π (2+8/3-10/5) = 8π/3

[θ=0,α]で体積半分になるとして ξ=cosα と置く
4/3 = ∫[c=ξ,+1]dc (1+2c+c²)(1+2c)(1-c²)
　= ξ⁶/3 +ξ⁵ +ξ⁴/2 -4ξ³/3 -2ξ² -ξ +5/2
ξ⁶/3 +ξ⁵ +ξ⁴/2 -4ξ³/3 -2ξ² -ξ +7/6 = 0 を [0,1] 範囲で解く
数値計算解: ξ = 0.51987146393... 　{ たぶん厳密解(数式解, 数理解? )は出せない }
a = r*cosα = (1+ξ)ξ = 0.79013780294...
127 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/07(金) 11:50:05.77 ID:/NA4x7nw.net]: >>118
カージオイドの体積が8/3πなので
aは
31/12 - (1/2 (x + x^2 - (2 x^3)/3 + 1/6 (1 + 4 x)^(3/2))) = 4/3 　, 0<x<2
の解までは出せたが、これが解けないので
Wolframにお願いして
x≒0.79013780294837779465を得た。
128 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/07(金) 12:40 ]: [ここ壊れてます]
129 名前：:04.46 ID:JvvL1VZ2.net mailto: f(x)=sin(x^100)をx=0を中心にテイラー展開せよ
ただしsinxのテイラー展開を既知として用いてよい

ようするに合成関数のテイラー展開ってどうすればいいんですか？ []: [ここ壊れてます]
130 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/07(金) 12:47:01.10 ID:qo6SolQo.net]: >>124
kanim.hatenablog.jp/entry/20160527/1464361049
ここらへんでしょうか
131 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/07(金) 13:46:01.41 ID:PRPjBTc6.net]: なるほど
F(x+t)=ΣF^(n)(x)t^n/n!
を使って2通りに
h(x+t)=ΣF^(n)(x)t^n/n!
f(g(x+t))=f(Σg^(k)(x)t^k/k!)=f(g(x)+T)=Σf^(i)(g(x))T^i/i!
(T=Σ[k=1～∞]g^(k)(x)t^k/k!とおいた)
(T^i/i!=ΣΠ(g^(k)(x)/k!)^(q_k)/(q_k)!×t^(Σk(q_k))(多項展開))
と計算して両方のt^nの係数を見比べる感じか

当然sin(x^100)を計算するのには必要ないけどね
132 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/07(金) 13:56:32.59 ID:JvvL1VZ2.net]: >>125
はえ～ありがとうございます
133 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/07(金) 13:57:52.65 ID:GV5o3CzV.net]: >>126
そうですね
論理として知っておけば、実際の計算はサイトの最初の記述通りで難しくない
134 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/07(金) 14:00:03.85 ID:wDMXmFnH.net]: >>118
他の人との結果が一致したので結果に自信がもてました。

https://i.imgur.com/6nHgxU3.png
形からaは0.5～1.5の間であろうと思って
モンテカルロで出したグラフ
https://i.imgur.com/zQzcoPJ.png

シミュレーションと一致すると気分がいい。
135 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/07(金) 14:29:11.92 ID:SDpbqd4z.net]: >>121
どうもありがとう！
136 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/07(金) 16:27:25.82 ID:Z7isP6yZ.net]: 実数列{a[n]}はn→∞でa[n]→0である。
このときlim[n→∞] (n^p)*a[n]が0でない定数に収束するような有理数pは、存在しても高々1つであることを証明せよ。
137 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/07(金) 18:27:28 ID:wx1rZrIY.net]: >>131
有理数p,qについて lim[n→∞] (n^p)*a[n]=s≠0 , lim[n→∞] (n^q)*a[n]=t≠0とする。
lim[n→∞] {(n^p)*a[n]}/{(n^q)*a[n]}=s/t であるから lim[n→∞] n^(p-q)=s/t
したがって p=q かつ s=t である。
138 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/07(金) 19:06:06.44 ID:JvvL1VZ2.net]: 1/(2+cosx)の原始関数は？

単純なのにいろいろやってできないからwolfram先生に聞いたらえっぐい答え出してきたんですけど、なんとか簡単に解く方法ないんですかね…
139 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/07(金) 19:24:04.05 ID:0QxXTyqX.net]: 先生ちゃんと簡単に解いてるじゃん
140 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/07(金) 19:24:45.36 ID:7o+llcyK.net]: >>133
dx/(2+cosx)
=2dt/(3+t^2)
=(2/√3)arctan(t/√3)
=(2/√3)arctan((1/√3)tan(x/2))
141 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/07(金) 21:21:23.24 ID:JvvL1VZ2.net]: >>135
やっぱり置換は必須になる感じですかね
142 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/07(金) 21:22:46.47 ID:1aALELO2.net]: 0～9が書かれたカードが一列にランダムに並んでいる
そこから何枚かカードを抜き、残ったカードの間に上手く挿入することで0～9か9～0の順に並べ直すことを考える
例えば2,8,9,6,5,3,4,1,0,7の状態なら2,9,4,7の4枚を抜き、
残った8,6,5,3,1,0の間に入れると9,8,7,6,5,4,3,2,1,0に出来る
どんな並びでも8枚以上抜く必要がないことはすぐわかる
7枚抜く必要がある並びは存在するか？
143 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/07(金) 21:58:01.33 ID:VC9wMpYy.net]: f(x) =∫【０→ｘ】 (1−t＾2)e＾(−t＾2)dt (x ∈R).
このとき
(1) lim【x→+∞】f(x), lim【x→−∞】f(x) を求めよ.
(2) y = f(x)の極値と変曲点を求めよ

E[n] = ∫[0→+∞] (t^n)e^(-t^2) dt と置いて、部分積分
E[n] = [ { t^(n+1)/(n+1) }e^(-t^2) ]_(0→+∞) - ∫[0→+∞] { t^(n+1)/(n+1) }e^(-t^2)・(-2t) dt
= { 0 - 0 } + { 2/(n+1) }∫[0→+∞] t^(n+2) e^(-t^2) dt
= { 2/(n+1) } E[n+2].
よって、
E[2] = (1/2) E[0] = √π/4,
lim[x→+∞] f(x) = E[0] - E[2] = √π/4,
lim[x→-∞] f(x) = ∫[0→-∞] (1 - t^2)e^(-t^2) dt = ∫[0→+∞] (1 - u^2)e^(-u^2) (-du)　； t = -u
= - ∫[0→+∞] (1 - u^2)e^(-u^2) du = √π/4.
このようなやり方でやった場合ｆｘのｘ＝±１、±√２のときはどうやって
求めますか
144 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/07(金) 23:50:45.63 ID:v6QTWTK1.net]: 2^n + 3^m = (n-m)!
を満たす自然数の組(n,m)は存在するか。
ただしn>mとする。
145 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/07(金) 23:55:22.73 ID:VJHVRlxv.net]: 偶奇を考えれば明らかじゃね
146 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/08(土) 00:13:58.13 ID:LgKM1NCt.net]: >>139
>>140 の通り
2^n+3^mは奇数なので(偶数と奇数の加算なので当然)、n-mが2以上のとき明らかに満たさない(階乗に必ず2を含むから)
n-m=1のとき2^n+3^mが1になる(n,m)は存在せず満たさない
よって存在しない
147 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/08(土) 00:28:22.44 ID:dmkt6hbb.net]: >>136
必須？
楽じゃん
148 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/08(土) 02:40:56.18 ID:I99vUVw5.net]: >>137
どこかの4枚の組は必ず整列しているか
か、3枚なら出来るけど...
149 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/08(土) 07:04:02 ID:2ggSSq05.net]: >>123
カージオイドの全体積をモンテカルロでやってみた。

> IO <- function(N=1e7){
+ x=runif(N,-0.25,2)
+ y=runif(N,-1.3,1.3)
+ z=runif(N,-1.3,1.3)
+ v=diff(range(x))*diff(range(y))*diff(range(z))
+ v*mean(
+ (x>=0 & z^2+y^2 < 1/2*( sqrt(4*x + 1) + 2*x + 1 - 2*x^2))
+ |
+ (x<0 & (z^2+y^2 < 1/2*( sqrt(4*x + 1) + 2*x + 1 - 2*x^2)) &
+ (z^2+y^2 > 1/2*(-sqrt(4*x + 1) + 2*x + 1 - 2*x^2)))
+ )
+ }
> IO() ; 8/3*pi
[1] 8.375686
[1] 8.37758

N=1000マンコでやったが、わりと近似している。
150 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/08(土) 12:44:33.00 ID:zKk4ZOKy.net]: b,cは実数の定数とする。
放物線C:y=x^2+bx+cはx軸と相異なる2点P,Qで交わる。
またCとy軸との交点をR、3点P,Q,Rを通る円をKとする。
このとき、Kはb,cによらない定点を通ることを示せ。
151 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/08(土) 12:57:41 ID:P19fJKdc.net]: c = 0 の場合が考慮されていないのは問題としておかしい
152 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/08(土) 13:10:21 ID:dmkt6hbb.net]: >>146
3点ならんやン
153 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/08(土) 13:14:27 ID:dBYhwQRA.net]: てかb,cが定数ならP,Q,Rは定点でKは定円やん
154 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/08(土) 13:15:34 ID:P19fJKdc.net]: >>147
R が P, Q と異なるとは書いていないからな
ナンセンスな自作問題の臭いがする
155 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/08(土) 14:47:55.35 ID:dmkt6hbb.net]: >>148,149
は？
156 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/08(土) 14:55:04.54 ID:ot4vcGB+.net]: ２つの解をα,βとすると
(α,0)(β,0)(0,αβ)の3点を通る円である
この円の方程式を求めると
x(x-(α+β))+y(y-(αβ+1))+αβ=0
である

この円は必ず点(0,1)を通る
157 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/08(土) 14:58:47.61 ID:dmkt6hbb.net]: y=(x-p)(x-q)
(x-p)(x-q)+y^2=ky
pq+(pq)^2=kpq
k=pq+1
(x-p)(x-q)+y^2=(pq+1)y
-(x-q)=qy
-(x-p)=py
(x,y)=(0,1)
158 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/08(土) 15:02:45.84 ID:ot4vcGB+.net]: てか、図形的に分かるか

S=(0,1)とするとOPSとORQが相似になるから
OPQRは向かい合う角が180度であり�
159 名前：ｯ円上にある []: [ここ壊れてます]
160 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/08(土) 15:03:36.04 ID:ot4vcGB+.net]: >>153
誤 OPQR
正 SPQR
161 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/08(土) 15:43:31.27 ID:vy40demC.net]: >>136
必須でもないか･･･

1/(2+cos(x)) = (2-cos(x))/(4-cos(x)^2)
　= 2/(3cos(x)^2 + 4sin(x)^2) - cos(x)/(3+sin(x)^2)
　= 2/{1+(4/3)tan(x)^2}/(3cos(x)^2) - cos(x)/(3+sin(x)^2)
より
∫1/(2+cos(x)) dx = (1/√3)arctan((2/√3)tan(x))
　- (1/√3)arctan((1/√3)sin(x)),
　= (2/√3)arctan((1/√3)tan(x/2),　　　>>135
162 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/08(土) 16:52:00 ID:dBYhwQRA.net]: >>150
だからb,cは定数って書いてあるのに、b、cによらずってのがそもそもおかしい
わからんの？
163 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/08(土) 16:55:07.83 ID:vy40demC.net]: ∫1/(2+cos(x)) dx
　= (1/√3) arctan((2/√3)tan(x)) - (1/√3) arctan((1/√3)sin(x))
　= (1/√3) arctan((√3)sin(x)/(1+2cos(x)))
　= (2/√3) arctan((1/√3)tan(x/2),
164 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/08(土) 17:13:59.61 ID:7uiJgykb.net]: >>156
大学入試の問題文なんていい加減なもんスよ
165 名前：軍人志願受験生 mailto:Yes [2020/08/08(土) 17:56:46.11 ID:A17ov7V7.net]: 百発百中の大砲百門は、一発必中の大砲一門に匹敵する。

これを証明してください。
166 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/08(土) 17:59:52.90 ID:flkerUp6.net]: 面白いと思って書いてるんかこれ?
167 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/08(土) 18:00:24.02 ID:0Ddfyy7o.net]: >>145
題意より y=x²+bx+c = (x-α)(x-β) 　( α,β∈R, α≠β ) としてよい。
{ b,cが自由に動けるのは重複無しの2解がある範囲でという事だろう }

円中心のx座標は自明なので
　円K:　(x - (α+β)/2)² + (y - y₀)² = r²　(未知数: y₀, r )
3点通過条件より
・((α-β)/2)² + y₀² = r²
・((α+β)/2)² + (αβ - y₀)² = r²
これより y₀ = (αβ + 1)/2, r²=(α²+β² +α²β² +1)/4

2変数多項式: f(α,β) := (x - (α+β)/2)² + (y - y₀)² - r² 　{x,yは定数}
　= (x - (α+β)/2)² + (y-αβ + αβ-y₀)² - r²
　= x² -(α+β)x + (y-αβ)² + (y-αβ)(αβ - 1) + 0
　= x²+y²-y -x (α+β) +(1-y) αβ
f(α,β) が恒等的に0となるのは
(x,y) = (0,1) の時のみである。

つまり円K は常に点 (0,1) を通る。そのような点は他にない。
168 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/08(土) 18:29:19.55 ID:1LqyXLdG.net]: >>137
これ分かる人いたら頼む
169 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/08(土) 18:52:17.40 ID:UDl/zNu1.net]: >>159
ベイズ的には誤りだね。
170 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/08(土) 19:39:41.84 ID:qLi8BPv+.net]: 問題じゃないんですけど
複素直交行列　O(n,C)
と
ユニタリ行列　U(n)
って何が違うんですか？
171 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/08(土) 20:05:53.77 ID:OHGV+wvF.net]: (1/√2) * {{1, i}, {i, 1}}はユニタリ行列であるが、複素直交行列ではない。
172 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/08(土) 20:11:03 ID:iSFOCec5.net]: >>165
共役を取るか取らないかって話ですかね
173 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/08(土) 20:40:28 ID:vy40demC.net]: 直交行列Tは
　T T^t = E　　　(t は転置)

ユニタリー行列Uは
　U U† = E　　　　(† は複素共軛&転置)

実直交行列　O(n,R) ⊂ U(n)

[ √2, i ]
[ -i, √2 ]
は直交行列だが、ユニタリーではない。
174 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/08(土) 21:41:51.10 ID:dmkt6hbb.net]: >>156
はぁはぁ
175 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/08(土) 21:50:07 ID:jDA9GDtW.net]: >>137
https://mathtrain.jp/szekeres より
　Erdos-Szekeresの定理：a,b を正の整数とする。各項が相異なる長さ ab+1 の数列があるとき，以下の二つのうち少なくとも一つは必ず存在する。
　1：長さ a+1 の部分列で，単調増加なもの
　2：長さ b+1 の部分列で，単調減少なもの

a=b=3 とすることで
176 名前：、各項が相異なる長さ10の数列には長さ4の単調増加または単調減少な部分列が存在することが分かる よって、7枚抜く必要がある並びは存在しない []: [ここ壊れてます]
177 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/08(土) 22:03:01.79 ID:WvCRl8Eu.net]: >>169
数学科の方ですか？
どうしてそういうサイトに行き当たれるのか教えてください。
178 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/08(土) 22:06:24.39 ID:1LqyXLdG.net]: >>169
ありがとうございます！
確かに検索方法が気になります
179 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/08(土) 22:07:12.45 ID:jDA9GDtW.net]: >>170
「部分減少列」でググった
180 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/08(土) 22:08:42.94 ID:WvCRl8Eu.net]: BC=a,CA=b,AB=cの△ABCの内部に、2つの円CとDを以下のように置く。
CとDの面積を求めよ。

・Cは辺AB,BCに接する
・Dは辺BC,CAに接する
・CとDは外接する
・Cの面積とDの面積の和は、可能なCとDの配置の中で最小となる
181 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/08(土) 23:04:10.68 ID:t8rb6012.net]: >>173
イメージが沸くように作図だけしてみた。

https://i.imgur.com/spjsgnH.png
182 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/09(日) 02:07:38.22 ID:63Gn02mD.net]: ここまではできたけど、

https://i.imgur.com/yZAuaWn.png

a,b,cが数値で与えられていないから、あとはどう処理するかだな。
183 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/09(日) 17:00:29.69 ID:2EtjWdlp.net]: 計算が面倒そう
184 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/09(日) 19:46:13.56 ID:eaPzID7R.net]: 数学は解析・幾何・代数の3分野に分類されると聞きますが、
集合論はどの分野になるのでしょうか？
185 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/09(日) 19:48:03.22 ID:b6WayCp+.net]: >>177
基礎論？
186 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/09(日) 19:49:23.88 ID:8CGmTMdE.net]: https://youtube.com/watch?v=fK_JGVti5y8

上記動画の数学の世界地図で各分野について説明してる
187 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/09(日) 20:08:00.93 ID:eaPzID7R.net]: >>179の説明をみる限り
線形代数→代数
微分積分→解析
は当たり前だから、幾何学の側に集合・位相があるということは
幾何学の分野と考えていいんですかね
188 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/09(日) 20:14:41.85 ID:eaPzID7R.net]: 動画最後までみてたら集合論は基礎論って言ってますね
すみません
189 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/09(日) 20:25:52.61 ID:Gw17lEFq.net]: 分からないので教えていただきたいです！

0では無い実数α、βに対して関数1/((x-α)(x-β))をべき級数に展開せよ。また、得られたべき級数の収束半径も求めよ。

おねがいします！
190 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/09(日) 20:34:27.29 ID:b6WayCp+.net]: >>182
(1/(x-α))(1/(x-β))
191 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/09(日) 20:38:11.23 ID:t9so8GjE.net]: >>183
わからないんですね
192 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/09(日) 20:46:13.92 ID:KA45DuwT.net]: >>184
コーシー積取れということだろう
わからなかったか
193 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/09(日) 20:51:06.63 ID:0e1GBbtN.net]: 「表面に穴がひとつ空いているトーラス」と位相同型な図形ってなんですか？
194 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/09(日) 21:10:36.07 ID:uWnPYTDr.net]: どんな答えを求めてるか透けては見えるがそもそも質問にすらなってないなww
195 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/09(日) 22:27:09.00 ID:IkQYru6L.net]: Xの角度は？（立体ではなくて平面図）
https://i.imgur.com/iv18hkk.png
196 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/09(日) 22:56:56.72 ID:q3g9JQTo.net]: >>182
部分分数分解をして、1/(1-x) = 1 + x + x^2 + ... を使う

>>188
点Aの直線OCに関して対称な点をA'とすると、
△OBA'正三角形、△BAA'≡△BAC、△CAA'正三角形がわかる
197 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/09(日) 23:06:17.29 ID:BYOtC7dU.net]: スレチだったらすまん
In=∫
198 名前：(0→1) x^n/(1+x) dx とおいて In=-In-1 +1/n となることを示せって問題が解けない 色々部分積分してみたけどうまくInで表せないんだけどどうすればいいのでしょう []: [ここ壊れてます]
199 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/09(日) 23:17:16.46 ID:05mVVUVy.net]: x^n/(1+x) = x^(n-1) - x^(n-1)/(1+x)
200 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/09(日) 23:22:24.11 ID:cYInbD7i.net]: >>190
Wolfram大先生によると、多項式の割り算をすると良いらしい
1/(x+1)
x/(x+1) = 1 - 1/(x+1)
x^2/(x+1) = x - 1 + 1/(x+1)
…
201 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/09(日) 23:43:05.40 ID:BYOtC7dU.net]: >>191
In=-In-1 +1/n
202 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/09(日) 23:45:19.12 ID:BYOtC7dU.net]: 途中送信してしまった
In=-In-1 +1/n
のかたちにそこからどうもってたらいいかな
203 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/09(日) 23:47:43.92 ID:BYOtC7dU.net]: >>192
ごめんどういうことかいまいちわからん…
理解力がなくて申し訳ない
204 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/09(日) 23:52:27.53 ID:Gw17lEFq.net]: ∫(0→1)(|log(x)|^(3/2))/√x
この積分の解き方教えてください。広義積分です。
205 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/10(月) 00:10:51.10 ID:kTMaSeJu.net]: log(x)=-2t→Γ
206 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/10(月) 00:24:19 ID:UH3n8RKx.net]: >>194
積分しろ
207 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/10(月) 00:31:34.53 ID:OMgDriQH.net]: >>195
帰納法で一般項を証明すれば良い
208 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/10(月) 00:35:39.14 ID:Ytn6vnAg.net]: >>198
あ、なるほどすまんありがとう〜
209 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/10(月) 02:28:56 ID:RKSK+UXb.net]: >>196

x = e^(-2t)　とおくと

∫(0→1)(|log(x)|^(3/2))/√x dx
= 2∫(0→∞) (2t)^(3/2) e^(-t) dt
= 4(√2)∫(0→∞) t^(3/2) e^(-t) dt
= 4(√2)Γ(5/2)
= 4(√2)(3/2)(1/2)Γ(1/2)
= 3(√2)(√π)
= 3√(2π)
= 7.519884824
210 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/10(月) 03:36:31.34 ID:RKSK+UXb.net]: >>182
　1/(α-x) = (1/α){1 + (x/α) + (x/α)^2 + (x/α)^3 + ････ },
　1/(β-x) = (1/β){1 + (x/β) + (x/β)^2 + (x/β)^3 + ････ },
より
　(1/αβ){1 + (1/α + 1/β)x + (1/α^2 +1/(αβ) +1/β^2)x^2
　　　　+(1/α^3 + 1/(ααβ) + 1/(αββ) + 1/β^3)x^3 + ････}
　= (1/αβ)Σ[k=0,∞] (Σ[i+j=k] 1/(α^i･β^j)) x^k,
211 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/10(月) 03:55:22.71 ID:RKSK+UXb.net]: ・α≠β のとき
　Σ[k=0,∞] (1/α^{k+1} - 1/β^{k+1})/(β-α)・x^k,

・α=βのとき
　(1/α^2)Σ[k=0,∞] (k+1)(x/α)^k,
212 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/10(月) 04:14:06.59 ID:RKSK+UXb.net]: >>182
αとβが極だから、収束半径は近い方までの距離。
　収束半径 = min{|α|, |β|}
213 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/10(月) 05:42:21.25 ID:EGfleHLw.net]: △ABCの外側に△PBCを、△ABC∽△PCBとなるように作る。
BC=1,AB=b,AC=cのとき、比（△ABCの面積:AP^2）を求めよ。
214 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/10(月) 07:35:56 ID:/WA2cUcO.net]: p:=AP、S:=△ABC、s=(a+b+c)/2
S=√s(s-a)(s-b)(s-c)
|p|^2=a^2+b^2+(a^2+b^2-c^2)
215 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/10(月) 08:09:57 ID:jFAR1eOu.net]: >>188 を解析幾何的に解こうとして気づいたんですが、
　 c = cos(20°)
　16*c^4 -8*c^3 -12*c^2 + 4*c + 1 = 0
が成り立つみたいです。この関係式どうやったら証明できますか？
4倍角公式とか全然違うし cos(80°) になったからって何も簡単にならないし...
216 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/10(月) 09:02:57.32 ID:eRcw7MDB.net]: 一辺の長さが2√3である正三角形Tの外心をOとする。
また、Oを中心とする半径rの円周で、Tの周または内部に含まれるものの長さをL(r)とする。
0<r<3の範囲でL(r)が微分可能であるかを調べよ。
217 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/10(月) 09:38:52.04 ID:LcWpszxH.net]: >>188
⊿OBCが二等辺三角形じゃなくて
20°を16°、80°を82°にすると三角関数なしでは解けそうにないな。
218 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/10(月) 09:40:52.50 ID:clQKBfVz.net]: 完全混合を理想とする
１０リットルの容器に　１リットル／時間　入れていき同時に　１リットル／時間　排出されていく
容器の濃度が５０％のとき時間ごとの濃度推移を積分で示しなさいって言う問題がわかりません
219 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/10(月) 10:51:19 ID:UrNYR2vm.net]: >>210
どちらの液体も純水である
よって塩分濃度は常に0であるから
積分を用いて表すと
∫[0,T] (t-t)exp(-t) dt
となる
220 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/10(月) 11:10:41.67 ID:ewwBiy5h.net]: >>209
答えが整数値なら何らかの方法はあるかも知れないけどね
ラングレーの問題とかと似てる
221 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/10(月) 11:30:44.02 ID:1bfslJpn.net]: がちがちの問題ばっかでお門違いならすまんが。

台形abcdにおいて
ad//bc,　ab=4,　ad=5,　bc=11
であり、aを通りabcdの面積を半分にする直線を引きbcとの交点をeとする。このとき、beの長さをもとめよ。
https://f.easyuploader.app/eu-prd/upload/20200810112911_724b614e41774b753258.png
222 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/10(月) 11:44:36.65 ID:ewwBiy5h.net]: >>213
(11+5)/2=8
AB=4は必要の無い条件
223 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/10(月) 11:44:53.56 ID:uCgcjf0N.net]: >>208
0<r<1 で L(r)=2πr , L'(r)=2π
1<r<2 で L(r)={2π-6arccos(1/r)}r , L'(r)=2π-6arccos(1/r)-6r/{r(√r^2-1)}
2<r<3 で L(r)=0 , L'(r)=0

r=1 , r=2 では微分可能でない。
224 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/10(月) 11:47:32.35 ID:uFNKX8B7.net]: >>213
高さをh、BEをxとおくと
(5+11)*h/2 = x*h/2 * 2
(8-x)h = 0
h>0よりx = 8

中学入試問題とかにありそう
225 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/10(月) 11:48:34.69 ID:2vSLIdix.net]: https://imgur.com/Gs95gDh.jpg
上のカットセットの二つの定義が等価であることの証明を教えて下さい。
226 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/10(月) 11:55:42.98 ID:2vSLIdix.net]: e_1, …, e_nをカットセットとする。e_1以外のすべてのカットセットの辺を除去する。カットセットの定義から除去後のグラフも連結である。
e_1 = (v_1, v_2)とする。v_1からe_1を利用することなく到達可能な点の集合をV_1とする。v_2からe_1を利用することなく到達可能な点の集合をV_2とする。
V_1とV_2を結ぶ辺全体の集合は{e_1, …, e_n}に一致する。

みたいな感じで証明すればいいのかと推測します。
227 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/10(月) 12:46:01.16 ID:1bfslJpn.net]: >>216
俺が全然勘違いで見当違いの式作ってたわ
ありがとうスッキリした
228 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/10(月) 15:06:25.01 ID:LcWpszxH.net]: >>214
三角形の高さをｈとして面積の公式にいれたらABの長さは計算に無関係と気づくけど、
AB=4の代わりに∠DCE=120°とか書かれていたら、すっかりそれに気が取られてしまうなぁ。
229 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/10(月) 15:33:31.62 ID:LcWpszxH.net]: >>211
俺もここから先に進めないな

時間tのとき
w(t):溶媒
s(t):溶質
c(t):濃度
とすると
w(0)=5
s(0)=5
c(0)=s(0)/(w(0)+s(0))
c(t)=s(t)/(w(t)+s(t))
w(t+dt)=w(t)+dt
s(t+dt)=s(t)-c(t)*(w(t)+s(t))*dt
230 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/10(月) 15:50:06 ID:2vSLIdix.net]: e_1 = {v_1, v_2}, e_2 = {v_3, v_4}, …, e_i = {v_{2*i-1}, v_{2*i}}, …, e_n = {v_{2*n-1}, v_{2*n}}をグラフG = (V, E)のカットセットとする。
e_1以外のすべてのカットセットの辺をGから除去したグラフをG'とする。カットセットの定義からG'も連結である。
G'上でv_1からe_1を利用することなく到達可能な点の集合をV_1とする。G'上でv_2からe_1を利用することなく到達可能な点の集合をV_2とする。
V_1 ∩ V_2 ≠ 空集合だと仮定する。v ∈ V_1 ∩ V_2となる点vが存在する。v_1からe_1を利用することなくvに到達可能であり、
v_2からe_1を利用することなくvに到達可能である。∴v_1からe_1を利用することなくv_2に到達可能である。このことから、G'から
さらにe_1を除去してもグラフは連結であるが、これはe_1, …, e_nがカットセットであるということと矛盾する。
よって、V_1 ∩ V_2 = 空集合である。

次に、e_1, …, e_nはすべてV_1の点とV_2の点を結ぶ辺であることを確認する。
e_1はもちろんそうである。e_i（2 ≦ i ≦ n）がV_j（j = 1 or j = 2）の2点を結ぶ辺であると仮定する。
G'からe_1を除去し、e_iを付け加えたグラフをG''とする。カットセットの定義からG''は連結である。
点v_1と点v_2を結ぶG''上のパスPが存在する。このパスはe_iを含まなければならない。もしe_iを含まないとすると、
G'上でe_1を含まないv_1からv_2へのパスが存在することになってしまい、V_1 ∩ V_2 = 空集合であるという上で示した結果と矛盾してしまう。
ところが、e_iの端点はV_jの点であるから、どちらの端点もG'上でv_jからe_1を利用せずに到達可能である。よって、e_iの端点を結ぶe_1を利用しないG'上のパスが存在する。
Pに含まれるe_iを削除し代わりにこのパスを利用すると、v_1とv_2を結ぶe_1を利用しないG'上のパスが得られるがこれは、V_1 ∩ V_2 = 空集合という上で示した結果と矛盾する。
よって、e_i（2 ≦ i ≦ n）はV_j（j = 1 or j = 2）の2点を結ぶ辺ではない。これでe_1, …, e_nはすべてV_1の点とV_2の点を結ぶ辺であることが確認できた。
231 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/10(月) 15:50:21 ID:2vSLIdix.net]: V_1とV_2の点を結ぶGの辺がe_1, …, e_n以外にはないことを次に示す。仮に、V_1とV_2の点を結ぶようなe_1, …, e_n以外のGの辺e = {w_1, w_2}（w_1∈V_1, w_2∈V_2）が存在したとする。
G'からe_1を除去したグラフをG'''とする。G'''はカットセットの定義から非連結である。u, vをG'''の任意の2点とする。
u∈V_1, v∈V_1の場合、v_1からuへのG'''上のパスおよびv_1からvへのG'''上のパスが存在するから、uからvへのG'''上のパスが存在する。
u∈V_2, v∈V_2の場合、上の同様にして、uからvへのG'''上のパスが存在する。
u∈V_1, v∈V_2の場合、v_1からuへのG'''上のパスおよびv_2からvへのG'''上のパスが存在する。
w_1∈V_1, w_2∈V_2だからv_1からw_1へのG'''上のパスおよびv_2からw_2へのG'''上のパスが存在する。
ゆえに、uからvへのG'''上のパスが存在する。
ゆえに、G'''は連結であるが、これは矛盾である。

ゆえに、V_1とV_2の点を結ぶ辺の集合は、Gのカットセットとちょうど一致する。
232 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/10(月) 15:58:14 ID:2vSLIdix.net]: (V_1, V_1とV_1を結ぶGの辺の集合)はもちろん連結である。(V_2, V_2とV_2を結ぶGの辺の集合)はもちろん連結である。
233 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/10(月) 16:02:53.54 ID:2vSLIdix.net]: 逆は明らかだから、二つの定義は等価である。
234 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/08/10(月) 16:13:32 ID:MlmVMD1/.net]: 前>>72
>>173
ヘロンの公式よりs=(a+b+c)/2
△ABC=√s(s-a)(s-b)(s-c)
またC,Dがなるべく小さくなるようにC=D=πr^2=Eなる半径rの内接円Eがもう1個描ける。
△ABC=(a-2r)(r/2)+(b-2r)(r/2)+(c-2r)(r/2)+r^2√3+3×2r×r
=(a+b+c)r/2+(3+√3)r^2
ヘロンの公式からsを消して△ABC=(1/2)^2√(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)
=(1/2)^2｛2(a+b+c)r+4(3+√3)r^2｝
二次方程式4(3+√3)r^2+2(a+b+c)r-√(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)=0を解くと、
r=｛-(a+b+c)+√(a+b+c)^2+4(3+√3)√(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)｝/4(3+√3)
最小値C=D=πr^2=π(2-√3)｛(a+b+c)^2+2(3+√3)√(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)-(a+b+c)√(a+b+c)^2+4(3+√3)√(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)｝/48
235 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/10(月) 16:35:36.27 ID:VVT0bL6F.net]: E={(x,y);0≦x, 0≦y, 1≦xy≦2, -2≦y-x^2≦2}とするとき
∫∫_E (1/x)+2(x/y) dxdy の値を求めてください

変数変換かな？と思ったのですがなかなか上手くいかず
実際に積分範囲を求めようにも3次方程式が出てきて値が綺麗に求まらない次第です
分かる方お願いします
236 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/10(月) 17:24:42.72 ID:VsXUUL1S.net]: >>226
正三角形なら、最小値C=Dとなるけど、それ以外だと違うんじゃない？
237 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/10(月) 17:32:06.28 ID:jFAR1eOu.net]: >>207 自己解決。
多項式の因数分解と3倍角公式でいけました。
c = cos20°
1
238 名前：6*c^4 -8*c^3 -12*c^2 + 4*c + 1 = (8*c^3 - 6*c - 1)(2*c - 1) = ( 2*(4*x^3 - 3*x) - 1 )(2*c - 1) = ( 2 cos60° - 1 )(2*c - 1) = ( 2 * 1/2 - 1 )(2*c - 1) = 0 ついでに >>188 の解析幾何的な解法 OC = 2 * OB * cos40° OA = OB 余弦定理より AC^2 = OA^2 + OC^2 - 2 OA*OC * cos20° = OB^2 * ( 1 + 4*(cos40°)^2 -4*cos40°cos20° ) = OB^2 * ( 1 + 4*(2*c^2-1)^2 -4*(2*c^2-1)*c ) = OB^2 * ( 16*c^4 - 8*c^3 - 16*c^2 + 4*c + 5 ) = OB^2 * ( 16*c^4-8*c^3-12*c^2+4*c+1 + 4*(1-c^2) ) = OB^2 * ( 4*(1-c^2) ) = OB^2 * 4 * (sin20°)^2 (c = cos20°) 正弦定理より sin∠OCA / OA = sin20° / AC sin∠OCA = sin20° / 2sin20° = 1/2 ∴ ∠OCA = 30° x = ∠ACB = ∠OCB - ∠OCA = 40° - 30° = 10° []: [ここ壊れてます]
239 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/10(月) 18:10:48.40 ID:VsXUUL1S.net]: こうなるとプログラムで作図して計算した方が速いと思う。

Xの角度は？（立体ではなくて平面図）
https://i.imgur.com/yNDUuDU.png
240 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/10(月) 19:33:56 ID:bY6Mv4xr.net]: Lick my Dick!
https://i.imgur.com/PHXyMkw.gif
241 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/10(月) 19:53:02 ID:K2rl2gMh.net]: 正規分布表のみかたがわかりません
　ある大学の学生の体重 X が正規分布 N (70,2＾2) に従うとき，体重が 75 kg 以下である確率も求め方がわかりません
242 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/10(月) 20:57:10.53 ID:VsXUUL1S.net]: > pnorm(75,m=70,sd=2,lower.tail=TRUE)
[1] 0.9937903
> # 平均0、標準偏差0の正規分布に標準化するなら、(75-平均)/標準偏差 =2.5
> (75-70)/2
[1] 2.5
> pnorm(2.5,m=0,sd=1,lower.tail=TRUE)
[1] 0.9937903
>
243 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/10(月) 20:58:49.94 ID:W2HGOfir.net]: >>188
△OAB内に、△ABDが正三角形になるようにDを設けると、
△DAO≡△DBO≡△ABCであることから、たちまち、x=10°が求まる
244 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/10(月) 21:03:53.22 ID:QCqp3B2J.net]: 4 を法として 3 に合同な素数は
1 に合同なものよりも多いかね？
245 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/10(月) 21:14:07 ID:OMPAgv3K.net]: Φ(z)が標準正規分布の分布関数をあらわすとき
Φ(1.27) 、 Φ(－2.17) の場合は値をどうもとめますか
またΦ(z)=0 .99224 という場合はｚはいくつになりますか
246 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/10(月) 21:17:30 ID:OMPAgv3K.net]: >>233
答えがふたつあるのですか?
見るのは標準正規分布です
247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/10(月) 21:22:24 ID:OMgDriQH.net]: >>235
算術級数の素数定理によれば同じくらい
248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/10(月) 21:22:44 ID:rewudKbC.net]: >>237
答は同じ。
ソフトウェアだと内部で標準化して計算してくれる。
正規分布表でみるなら自分で標準化。
249 名前：イナ mailto:sage [2020/08/10(月) 21:36:48.65 ID:MlmVMD1/.net]: 前>>226
>>228
CもDもおっきなったりちっさなったりすんだから、
C=Dが最少でいいじゃないか。
△ABCがどんな三角形かは数学的に言ってわからない。
250 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/10(月) 21:37:18.02 ID:hWGjKqGk.net]: >>236
> # φは累積分布関数(φ(z)は確率密度関数を-∞からzまで積分した値)=pnorm(z)
> φ <- function(z) integrate(function(x) 1/sqrt(2*pi)*exp(-x^2/2),-Inf,z)$value
> φ(1.27) ; pnorm(1.27)
[1] 0.8979577
[1] 0.8979577
> φ(-2.17) ; pnorm(-2.17)
[1] 0.01500342
[1] 0.01500342
> # φの逆関数がqnorm
> qnorm(0.99224)
[1] 2.420012
251 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/10(月) 21:41:54.02 ID:rewudKbC.net]: >>240
それが最大かもしれん
252 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/10(月) 21:47:58.89 ID:K2rl2gMh.net]: 標準正規分布の上側 1.7% 点はこの中でどれですか
(1) 0.017, (2) 0.102, (3) 0.983, (4) 1.27, (５)2.12
253 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/10(月) 21:55:11.08 ID:K2rl2gMh.net]: 次のデータを得た
7.5, 5.5, 4, 7, 8.5, 5, 9, 9.5
データは正規分布に従うとする．そのとき，以下の問いに答えよ
1. 標本平均 x の値を以下の中から選択せよ
(1) 1.870829, (2) 2, (3) 3.5, (4) 4, (5) 7
2. （不偏）標本分散 s2 の値を以下の中から選択せよ
(1) 1.870829, (2) 2, (3) 3.5, (4) 4, (5) 7
3. （不偏）標本標準偏差 s の値を以下の中から選択せよ
(1) 1.870829, (2) 2, (3) 3.5, (4) 4, (5) 7
4. 自由度 7 のティー分布の両側 0.1 点 t7 (0.1) の値を以下の中から選択せよ
(1) 1.8595, (2) 1.8946, (3) 2.3060, (4) 2.3646, (5) 3.4995
5. 母平均 µ の 90% 信頼区間をを以下の中から選択せよ
(1) [5.685135,8.314865], (2) [5.660315,8.339685], (3) [5.369412,8.630588],
１、２、３は７、４、２になりましたが割り切れなかったので自信ないです
254 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/10(月) 22:11:47.40 ID:Hhr/AMvX.net]: >>235
>>238
チェビシェフの偏りってのがあるらしいぞ
255 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/10(月) 22:22:14.78 ID:HME1TGgZ.net]: ある工場で生産される精密部品を 25 個無作為抽出して長さを測ったら，平均値 x は x = 30 (mm) であった．過去の製造データの蓄積により, 製品の長さは標準偏差が 4 mmの正規分布に従うことが分かっている．
抽出された 25 個の製品に対して，以下の問いに答えよ
1. 母平均 µ の 95% 信頼区間をもとめよ
2. 母平均 µ の 95% 信頼区間の区間の幅をもとめよ

3. 区間の幅を 2.0=2×1.0 以下としたい．少なくとも何個の標本が必要か
256 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/10(月) 22:44:17.39 ID:hWGjKqGk.net]: >>246
> 30+qnorm(.975)*4/sqrt(25)
[1] 31.56797
> 30-qnorm(.975)*4/sqrt(25)
[1] 28.43203
> 2*qnorm(.975)*4/sqrt(25)
[1] 3.135942
> # 2*qnorm(.975)*4/sqrt(n)<2
> # n >
> (qnorm(.975)*4)^2
[1] 61.46334
257 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/10(月) 22:48:44.78 ID:Sdip+kM/.net]: >>243
> qnorm(1-1.7/100)
[1] 2.120072
258 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/10(月) 22:50:35.24 ID:Sdip+kM/.net]: >>234
⊿OBCが二等辺三角形になるように問題が設定されているから可能な技だな。
259 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/10(月) 22:55:29.48 ID:Sdip+kM/.net]: 正規分布って-∞から∞まであるから
それに従うって現実的ではないね。
260 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/10(月) 23:03:07.99 ID:OMgDriQH.net]: >>245
へー知らなかった
平方非剰余なほうに偏るのか
261 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/10(月) 23:13:30 ID:ROuKgaep.net]: >多くの数学者の努力を経て、RubinsteinとSarnakによってπ(x;3,2)>π(x;3,1)が99.9%のxに対して成り立つことが1994年に証明されています。
>100%でないことは真に驚くべきことであって、不等号の向きが逆転するような整数xが無数に存在することまで示されているのです！！！
integersブログ
262 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/10(月) 23:30:47.63 ID:6ZnIzeTq.net]: 2から数えてi番目の素数をp[i]とし、2=p[1]からp[n]までの積p[1]p[2]...p[n]=P[n]と定める。

また自然数kが与えられたとき、
e[k] = |f(k)/P[k] - 1|
と定める。
ここでf(k)はある自然数mを用いてf(k)=m^2と表される自然数であり、かつ、e[k]を最小とするものである。

このとき、以下の命題が真であることを証明せよ。
　
『Nが十分大きいとき、
Σ[k=1,...,N] e[k] < Σ[k=N,...,2N-1] e[k]
が成り立つ。』
263 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/10(月) 23:36:21.68 ID:jFAR1eOu.net]: >>188 , >>230
変数: α = ∠B/2,　 β = ∠CAD での一般解法( 解析幾何的に... )

AB = 1　 (角度はスケール不変なので)
∠A = 90° - α/2 + β
∠C = 180° - ∠A - ∠B = 90° - 3α/2 - β
BC = cos(2α)+sin(2α)cot(
264 名前：∠C) = cos(2α)+sin(2α)tan(3α/2 +β) CD = √{ 1+BC^2 - 2*BC*cos(α) } x = ∠C - arcsin( sin(α)/CD ) プログラム例 (好みの言語に読み替えてください) calcX(a, b) = { my(BC,CD,C,x); a *= Pi/180; b *= Pi/180; C = Pi/2 - 3*a/2 - b; BC = cos(2*a) + sin(2*a)/tan(C); CD = sqrt( 1+BC^2 - 2*BC*cos(a) ); x = C - asin( sin(a)/CD ); return( x*180/Pi ); } calcX(20, 20) ⇒ 9.9999999999999999999999999999999999999 calcX(18, 18) ⇒ 10.268038134266935017594064993971120014 キリのよい組み合わせは、ざっとこんな感じ α,　β,　x 12, 18, 12 20, 20, 10 20, 30, 10 12, 42, 12 どれも初等的に解けるのかもしれない。 http://o.5ch.net/1p2kl.png []: [ここ壊れてます]
265 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/11(火) 00:28:15 ID:dwVOjOlW.net]: >>254
やはり、α＝βとなる組み合わせは２０°のときしかありませんね。
266 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/11(火) 01:00:28 ID:dwVOjOlW.net]: >>254
レスありがとうございます。
複素平面に作図して偏角の差で計算したa=b=18°での値は
> (Arg(D-C)-Arg(A-C))*180/pi
[1] 10.268038134266938
と自分のプログラムの結果とも一致しました。
267 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/11(火) 01:00:58 ID:7+rXuyzb.net]: >>253
逆やろ？
268 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/11(火) 02:55:40 ID:cjeJqvPH.net]: r=4(1+cosθ)　(π/2≦θ≦3/2π)　この曲線の長さを求めよ　どうやって解けばいいんですか...
269 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/11(火) 04:13:19.94 ID:qgAFwP7m.net]: >>258
極座標の弧長の公式使うだけやろ
それが理解できんのなら、極座標から直交座標に直せ
r(1+cosθ)にcosθをかければx座標に、sinθをかければy座標になる
そこで直交座標の弧長の公式使うだけ

公式使うだけなのに何でできない？
日大すら受からんぞw
270 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/11(火) 08:27:27 ID:JqZPCil+.net]: >>259
川崎医大なら受かると思う。
任意の寄付が必要かも。
271 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/11(火) 08:58:56 ID:dwVOjOlW.net]: >>258
モンテカルロ法でやってみたら１になったけどあってる？
> # Monte Carlo
> N=1e7
> x=runif(N,-1,0)
> y=runif(N,-4,4)
> r=sqrt(x^2+y^2)
> theta=atan(y/x)
> s=diff(range(x))*diff(range(y))
> s*mean(r<4*(1+cos(theta)))/diff(range(y))
[1] 1
272 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/11(火) 09:02:29 ID:dwVOjOlW.net]: >>261
積分したら、 16 (2-√2)が答だな。
273 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/11(火) 09:15:20 ID:dlrqXygC.net]: https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+sqrt%28%284%281%2Bcos%28x%29%29%29%5E2%2B%28-4sin%28x%29%29%5E2%29dx+from+pi%2F2+to+3pi%2F2+&lang=ja
274 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/11(火) 09:27:59.56 ID:RcW8WFhM.net]: 頼みます
ある集団の身長の平均は170cm,分散は64で、正規分布に従う。
(a) この集団の中から無作為に1人取り出した時、その人の身長が182cm
以上である確率はいくつか。小数点以下第4位まで答えよ。
(b) この集団には身長が168cm 以上 182cm以下の人は約何%いるか。小数
点第1位まで答えなさい。
(C) 遊園地のある乗り物は身長が一定以上でないと乗れない。この集団の
98%以上が乗れるとき、身長制限は何cmか。小数点以下は切り上げて
答えよ。
275 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/11(火) 09:37:58.41 ID:dlrqXygC.net]: z×√64)+170

(1) z≧(180-170)/√64 の面積を読む
(2) z≧(168-170)/√64 ≦ z ≦ (182-170)/√64 の面積を読む
(3) z≧(x - 170)/√64 の面積が0.02となる x を求める
276 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/11(火) 09:52:31.23 ID:sLooAqcf.net]: >>258
(ds/dθ)^2 = r^2 + (dr/dθ)^2
　= 16{(1+cosθ)^2 +(sinθ)^2}
　= 32(1+cosθ)
　= 64{cos(θ/2)}^2,

|ds/dθ| = √{r^2 + (dr/dθ)^2}
　= 8|cos(θ/2)|,

L = ∫[π/2, 3π/2] |ds/dθ| dθ
　= 8∫[π/2, 3π/2] |cos(θ/2)| dθ
　= 16∫[π/2, π] cos(θ/2) dθ
　= 16 [ 2sin(θ/2) ](π/2, π)
　= 16(2-√2)　　　　>>262
　= 9.372583　　　　>>263
277 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/11(火) 10:18:35.86 ID:JqZPCil+.net]: >>264
Rが使えるなら
(a)pnorm(182,170,8,lower=FALSE)
(b)pnorm(182,170,8)-pnorm(168,170,8)
(c)qnorm(0.98,170,8,lower=FALSE)
278 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/11(火) 10:31:02.56 ID:RcW8WFhM.net]: >>267
使えないです…
279 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/11(火) 10:38:55 ID:dlrqXygC.net]: (a) https://www.wolframalpha.com/input/?i=CDF%5BNormalDistribution%5B170%2C+8%5D%2C+182%5D&lang=ja

(b) https://www.wolframalpha.com/input/?i=CDF%5BNormalDistribution%5B170%2C+8%5D%2C+182%5D-CDF%5BNormalDistribution%5B170%2C+8%5D%2C+168%5D&lang=ja

(c) https://www.wolframalpha.com/input/?i=CDF%5BNormalDistribution%5B170%2C+8%5D%2C+x%5D+%3D+0.98&lang=ja
280 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/11(火) 10:40:25 ID:JqZPCil+.net]: >>268
無料だし、今後も役立つから使えるようになるといいぞ。
>18みたいな遊びにも使えて楽しい。
処理速度に難があるけど。
281 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/11(火) 10:47:37 ID:JqZPCil+.net]: 宿題を丸投げしているような気がしたから、あえて少数表示せずにレスした。
282 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/11(火) 15:47:14 ID:cs2e13nz.net]: 87 71
85 70 55
83 68 54 41
81 66 53 40 29
79 64 51 39 28 19
77 62 49 38 27 18 11
75 60 47 36 26 17 10 5
73 58 45 34 25 16　9 4 1

規則性を見つけてくれ～(^_^)ﾉ
283 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/11(火) 17:31:59 ID:JqZPCil+.net]: >>210
10時間後の濃度って
50*(0.9^10)%でいいのかな？
284 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/11(火) 17:48:36 ID:cs2e13nz.net]: >>272 は

nを1～44まで変化させた2n－1の出力に
4を頂点としてその周りを1小さな数で
取り囲んでいったものをプラスしたもの

0 0
0 1 0
0 1 1 0
0 1 2 1 0
0 1 2 2 1 0
0 1 2 3 2 1 0
0 1 2 3 3 2 1 0
0 1 2 3 4 3 2 1 0

このような数列を表す数式を
知っている人はいますか？
285 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/11(火) 18:12:30 ID:RcW8WFhM.net]: 2. 事象 A と事象 Bが起こる確率はP(A) = 0.6, P(B) = 0.7 である。条件
付確率 Pa(B) = 0.8であるという。Pb(A) を求めよ。
事象 A と事象 Bが起こる確率は P(A) = 0.8, P(B) = 0.7 である。P(A∪B) = 0.94がわかっている。このとき事象 A と事象Bが独立であるか
否かを説明しなさい。
答を教えて頂けたら幸いです
286 名前：イナ mailto:sage [2020/08/11(火) 18:24:13.41 ID:bhFNgAX+.net]: 前>>240
>>213
△abe=台形aecdだから、
ad+ec=beすなわち5+3=8
be+ec=8+3=11
∴be=8
287 名前：イナ mailto:sage [2020/08/11(火) 18:24:13.57 ID:bhFNgAX+.net]: 前>>240
>>213
△abe=台形aecdだから、
ad+ec=beすなわち5+3=8
be+ec=8+3=11
∴be=8
288 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/11(火) 18:52:04 ID:gJ/LiAH4.net]: >>274
k - | k - n |
289 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/11(火) 18:52:11 ID:RoFM6jYQ.net]: ある鉱石に含まれる鉄分含有率 (%) を調べたところ，次のデータを得た
7.5, 5.5, 4, 7, 8.5, 5, 9, 9.5
鉄分含有率は正規分布に従うとする．そのとき，以下の問いに答えよ
1. 標本平均 x の値を以下の中から選択せよ
(1) 1.870829, (2) 2, (3) 3.5, (4) 4, (5) 7
2. （不偏）標本分散 s2 の値を以下の中から選択せよ
(1) 1.870829, (2) 2, (3) 3.5, (4) 4, (5) 7
3. （不偏）標本標準偏差 s の値を以下の中から選択せよ
(1) 1.870829, (2) 2, (3) 3.5, (4) 4, (5) 7
4. 自由度 7 のティー分布の両側 0.1 点 t7 (0.1) の値を以下の中から選択せよ
(1) 1.8595, (2) 1.8946, (3) 2.3060, (4) 2.3646, (5) 3.4995
5. 母平均 µ の 90% 信頼区間をを以下の中から選択せよ
(1) [5.685135,8.314865], (2) [5.660315,8.339685], (3) [5.369412,8.630588],
(4) [5.327975,8.672025], (5) [4.52548,9.47452]

１番は3.5
２番は4
３番は2になりました
４番以降がわからないです
290 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/11(火) 19:30:15 ID:M3m7YlSp.net]: 出来そうでできません。

n番目の素数は2^nより小さいことを証明せよ。
291 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/11(火) 19:37:23 ID:FoWZrPf+.net]: >>280
ベルトラン=チェビシェフの定理を使えば
p_n≦2^nならば
2^n<p≦2^(n+1)なる素数p�
292 名前：ｪ1つは存在するので p_(n+1)≦2^(n+1)もわかり 帰納法で示せたことになる []: [ここ壊れてます]
293 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/11(火) 20:25:09.38 ID:7zYwSct8.net]: >>274
数列:
a(n) = {
i = ceil( (-3 + sqrt(8*n+9))/2 ) ; \\ row
j = n - (i-1)*(i+2)/2; \\ column
return( -1 + min( i- (2<j)*(j-2) , j ) )
}

a(1)～a(65)
0, 0,
0, 1, 0,
0, 1, 1, 0,
0, 1, 2, 1, 0,
0, 1, 2, 2, 1, 0,
0, 1, 2, 3, 2, 1, 0,
0, 1, 2, 3, 3, 2, 1, 0,
0, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 0,
0, 1, 2, 3, 4, 4, 3, 2, 1, 0,
0, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 0,
(i<j の時に改行)
294 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/11(火) 21:13:15 ID:cs2e13nz.net]: プログラムコードじゃなくて
wolfram 入力可能な数式化したい
295 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/11(火) 21:47:48.94 ID:3FSqzbPO.net]: >>281
証明を与えていただきありがとうございます。
証明する事柄が自明にしか見えないので、高校数学程度の知識で示せると直感的に考えたのですが、そうでもないのでしょうか。
296 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/11(火) 21:52:05.06 ID:cs2e13nz.net]: 17 11
15 10 5
13 8 4 1

Table[2n-1+C(0,(21mod n)-1),{n,1,9}]

nが小さい時の式はつくれる
nが大きくなると破綻する
297 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/11(火) 22:06:22 ID:dwVOjOlW.net]: >>279
R使って
x=c(7.5, 5.5, 4, 7, 8.5, 5, 9, 9.5)
mean(x)
var(x)
sd(x)
qt(1-0.1/2,df=7)
t.test(x,conf.level = 0.9)
で終了。
298 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/11(火) 22:34:35.71 ID:dwVOjOlW.net]: >>282
慣れた言語に移植して続きを出力してみました。

0 0
0 1 0
0 1 1 0
0 1 2 1 0
0 1 2 2 1 0
0 1 2 3 2 1 0
0 1 2 3 3 2 1 0
0 1 2 3 4 3 2 1 0
0 1 2 3 4 4 3 2 1 0
0 1 2 3 4 5 4 3 2 1 0
0 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 0
0 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 0
0 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 0
0 1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1 0
0 1 2 3 4 5 6 7 7 6 5 4 3 2 1 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 7 6 5 4 3 2 1 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 8 7 6 5 4 3 2 1 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

あっているかな？
299 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/11(火) 22:36:23.41 ID:FoWZrPf+.net]: >>284
素数に関することは自明そうでも難しいことが多いと思う
これに関しては何か上手い別の方法で示せるかもしれないけどね
300 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/11(火) 23:32:05 ID:cs2e13nz.net]: >>282 は総和が95

>>287 は総和が715 ならあっている
301 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/11(火) 23:33:42.39 ID:cs2e13nz.net]: 総和を出力する関数

(4n^3-6n^2-4n-3(-1)^n+3)/48　
302 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/11(火) 23:55:56.61 ID:JqZPCil+.net]: >>289
>287の総和
> sum(unlist(d))
[1] 715
303 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/12(水) 06:15:40 ID:hrLsE2UP.net]: f(x) = 1+a*sin(x)+b*cos(x)に対し、
g(x) = ∫[0,x] (x-t)f(t) dt
とおく。
このとき任意の実数x,yについて
g(x+y)+g(x-y) ≧ 2g(x)
が成り立つような実数a,bが満たす条件を求めよ。
304 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/12(水) 07:13:59 ID:VuTZnt5m.net]: >>292
要は常に下に凸ってことだから恒等的に g''(x)≧0 となるようにすればいいんじゃね？
305 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/12(水) 07:20:50 ID:KrQ981jo.net]: >>113
これみてこんな問題を思いついた。

カージオイドr=1+cosθ
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/35/Cardioid.PNG/200px-Cardioid.PNG
で囲まれた面をｙ軸の周りに回転させてできる立体の体積をVとする。直線x=aを軸に回転させてできる立体の体積がV/2であるようなaの値はいくらか？
306 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/12(水) 08:05:22 ID:KS7jLU54.net]: くだらねぇ問題はここへ書け
rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1412425325/
307 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/12(水) 10:18:33 ID:mYtbyTE6.net]: 体積問題は単純な計算問題にしかならないんで
丁寧に式変形しても外野から「Wolfram先生に頼ったんだろw」とケチを付けられて終わる。
体積半分条件も大抵は数値計算に帰着するしかないんで数学的な面白みは薄い。
308 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/12(水) 11:04:37 ID:StcyJuzq.net]: 積分問題は積分可能性がかなりアルゴリズム化されてるから、ほとんどのケースで手計算でやる意味はあんまりないと言えばないからな
積分がexplicitにできるかどうか不明であるケースはかなり少なくなってきてる
まぁ素人が適当に作った問題なんか高校生でもできるか、explicitには計算不能のどっちかにしかならない
309 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/08/12(水) 12:13:37 ID:VaAaef6o.net]: 前>>277
>>294左←審判が白の選手を殴って制したのはわかる。
青の選手を蹴ったのは青の選手がなにか暴言を吐いたんだろうか？
310 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/12(水) 13:30:09.82 ID:erjZX/DD.net]: >>286
Rって何ですか？
311 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/12(水) 13:48:26 ID:/JkmxmVW.net]: >>294
Vを計算（数値積分）

> (vb - vg)*2
[1] 24.90338
312 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/12(水) 13:49:03 ID:/JkmxmVW.net]: >>299
【R言語】統計解析フリーソフトＲ第6章【GNU R】 [無断転載禁止](c)2ch.net
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1501755792/
313 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/12(水) 14:25:59.44 ID:v8BOhpZv.net]: nを自然数の定数とする。
xy平面において、極方程式r=1+(2^n)*cosθで表される曲線をCとする。
C上の格子点の個数をnで表せ。
314 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/12(水) 16:19:43 ID:4CGeuIwp.net]: 双曲線→pell方程式
315 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/12(水) 16:52:51.95 ID:erjZX/DD.net]: >>301
Rの使い方がわかりません
316 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/12(水) 19:47:46 ID:UO/+XUZI.net]: あの普通の中学生が質問しても大丈夫ですか？
317 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/12(水) 19:55:00.44 ID:UO/+XUZI.net]: 3axy-2axをカッコで括るとき
ax(3y-2)とa(3y-2)xはどっちが正しいのですか？

あとカッコの外に出した文字はカッコの前後どちらに付けるのか決まりがあるんでしょうか？
318 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/12(水) 20:20:31 ID:cTcYq99x.net]: ついにそこに気がついてしまったか
319 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/12(水) 20:48:52 ID:KrQ981jo.net]: >>302
とりあえず、作図（n=3）のとき。
https://i.imgur.com/l4d7V8x.png
320 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/12(水) 20:50:08 ID:KrQ981jo.net]: >>306
どっちも正しい。好みの問題。
321 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/12(水) 21:26:32.17 ID:2FGhPbsd.net]: abc順なら左だな
322 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/12(水) 21:59:52.63 ID:so8oBh6O.net]: >>282 の演算子を取り除いて
数式に変換してくれ～(^_^)ﾉ
323 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/12(水) 23:02:10.56 ID:mYtbyTE6.net]: >>311
これくらい推測できるだろ...と思ったが一応書いとく。
sqrt(x) = √x
ceil(x) = ⌈ x ⌉　　( ceiling function, 天井関数 )
min(x, y) = if (x ≦ y) then x else y
(x<y) = if (x < y) then 1 else 0
324 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/12(水) 23:06:26.50 ID:mYtbyTE6.net]: 最後のはブール値である False, True と 0, 1 を区別しない言語に特有の記法
そうでない言語も多い。
325 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/12(水) 23:40:33 ID:fvT6HFIC.net]: 幅10cmの正五角形の中心点から頂点までの長さは何cm何mmですか？
326 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/12(水) 23:42:06.54 ID:FTjTXnav.net]: >>302
ｎによらず５個かなぁ？
327 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/12(水) 23:54:57.67 ID:FTjTXnav.net]: >>314
幅って下図の２と６を結ぶ長さのこと？
https://i.imgur.com/ia8g3GS.png
328 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/13(木) 00:10:25.20 ID:J8kLqyHu.net]: a n i = div (n-(abs $ n-2*i)) 2
329 名前： main = do mapM_ print $ take 10 $ [[a n i|i<-[0..n]] | n<-[0..]] [0] [0,0] [0,1,0] [0,1,1,0] [0,1,2,1,0] [0,1,2,2,1,0] [0,1,2,3,2,1,0] [0,1,2,3,3,2,1,0] [0,1,2,3,4,3,2,1,0] [0,1,2,3,4,4,3,2,1,0] []: [ここ壊れてます]
330 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/13(木) 00:11:22.16 ID:sbSWJEQc.net]: >>312
wolfram で出力可能な数式化という意味
331 名前：314 [2020/08/13(木) 00:15:05.17 ID:TlrHhfr6.net]: >>316
それは正七角形ですね

正五角形の
赤線1本の長さです。
https://i.imgur.com/vjXzMrI.jpg
332 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/13(木) 00:17:01.64 ID:QfGUoldM.net]: 知らんがな。
333 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/13(木) 00:17:37.06 ID:QfGUoldM.net]: 今のは >>318 宛て
334 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/13(木) 00:17:37.58 ID:gpqh/Hd2.net]: >>316
正五角形だった。

複素平面に作図して計測
p=ngon(5)
o=mean(p[1:5]);pt(o)
seg(o,p[1]);seg(p[2],p[4])
10*abs(o-p[1])/abs(p[2]-p[4])
[1] 5.257311

約５ｃｍ２６mm
335 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/13(木) 00:29:57.96 ID:sbSWJEQc.net]: sqrtとceilingはwolframで出力できる
columnは無理
336 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/13(木) 00:31:12.37 ID:gpqh/Hd2.net]: >>322
半径１の円に内接する５角形の対角線の長さは２sin（２π/５）
対角線の長さが１０なら、半径は
> 10 / ( 2*sin(2*pi/5))
[1] 5.257311
337 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/13(木) 00:35:08.93 ID:QfGUoldM.net]: >>323 row と column はただのコメント文っす
338 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/13(木) 01:22:21.90 ID:LK1yH0ga.net]: ある三角形の内心I、傍心I‘として
線分II’の中点が線分II‘と三角形の外接円との交点になるのは何故ですか？
339 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/13(木) 02:24:57.15 ID:sbSWJEQc.net]: >>312
◆sqrtとceilはwolfram形式にできた

Table[n-(ceil((-3+sqrt(8*n+9))/2)-1)*(ceil((-3+sqrt(8*n+9))/2)+2)/2,{n,1,40}]

式の判定部分をwolfram入力形式に変形してくれ～(^_^)ﾉ

return(-1+min(i-(2<j)*(j-2),j))
340 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/13(木) 03:02:40 ID:J8kLqyHu.net]: https://www.wolframalpha.com/input/?i=Table%5B+%28n-%28abs+%28+n-2*i+%29%29%29+%2F+2%2C+%7Bn%2C1+%2C10%7D%2C+%7Bi%2C0%2Cn%7D%5D&lang=ja
341 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/13(木) 05:08:13.32 ID:u/9qiVMd.net]: >>327
そのキモいAAを消したら変形したるわw
342 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/13(木) 05:14:24.98 ID:GNxQ5zOj.net]: >>326
内心　傍心　外接円　でgoogle先生にお願いしたら一番上に知恵袋の解答が出てきた。
343 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/13(木) 10:36:05 ID:I56KrEx3.net]: (x-y)e^(-x^2-y^2)の極値って求められますか？
∂xf=∂yf=0の(x,y)がうまくいかなかったのですが
344 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/13(木) 11:14:17 ID:LP9xEpjl.net]: 積分するのが難しい関数はあるのに微分するのが難しい関数がないのはなぜ？
345 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/13(木) 11:24:01 ID:slZE0Odt.net]: どなたか
>>9の答えを教えて下さい
346 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/13(木) 11:36:34 ID:PnmzX1Dd.net]: >>9
1-3-1なら先攻勝ちやろ？
347 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/13(木) 12:39:48 ID:GNxQ5zOj.net]: >>9
素直に読んだら後攻必勝ではないから、(1)が証明できるためには相当ひねくれた無茶苦茶なルール解釈が必要となる。

例えば
＞まずS君がサイコロを振り、駒Xを動かす（先攻）。
＞続けてT君がサイコロを振り、駒Yを動かす（後攻）。
の部分について、サイコロを“何回”振ると書いていないので3の倍数が出てしまったら連続で何回でも振りなおすと解釈すると
先攻は絶対に勝利しない、後攻が勝つことはある、永久に勝利者が現れないこともあるのでこの状態を後攻必勝と表現できなく
348 名前：もない。 この解釈だと(2)はp=(1/2)^nとなるのでn=1のときの|p-(1/2)|=0が最小である。 []: [ここ壊れてます]
349 名前：女子中学生 [2020/08/13(木) 13:45:04 ID:c43mBXX1.net]: >>309
ありがとうございます！
夏休み明けにテストがあったんで不安でしたが
やれる気がして来ました！
350 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/13(木) 13:55:48 ID:LK1yH0ga.net]: >>330
自分の検索能力カスすぎて草
351 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/08/13(木) 14:17:47 ID:bwxcosiq.net]: 前>>277
>>314
求める長さをxcmとし、
正五角形の一辺の長さをycmとおくと、
対角線が10cmで、ほかの対角線によって10:y:10に分割され、この3つのパーツ10+y+10のうち10+yが一辺の長さと等しい。
∵一つの対角線と一つの辺が平行だから。
10(10+y)/(10+y+10)=y
100+10y=20y+y^2
y^2+10y-100=0
y=5√5-5
以下再検討。
y^2-5^2=｛x-√(x^2-5^2)｝^2
125-50√5+25-25=x^2-2x√(x^2-25)+x^2-25
125-50√5=2x^2-2x√(x^2-25)-25
x^2-x√(x^2-25)-75+25√2=0
352 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/13(木) 15:02:01 ID:OcaeKpVf.net]: tを実数とし、f(t)=sin(t)+cos(t)+√2とする。

（1）f(t)≧0 を示せ。

（2）xy平面において、極方程式f(r)=sinθcosθにより定まる曲線をCとする。C上を点A(a,b)が動くとき、g(a)=(a+1)(b+1)を最大にするAの位置を求めよ。

(3)g(a)を最大にするaをpとおくとき、定積分∫[0,p] e^(-x^2) dxは有理数か。
353 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/13(木) 15:15:38.10 ID:Uuox2URt.net]: Table[Floor[Abs[n-(Floor[(Floor[Sqrt[2n+1]]+1)^2/2]-1/2-Floor[(Floor[Sqrt[2n+1]]+1)/2])]],{n,1,100}]

{0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 2,
1, 0, 0, 1, 2, 3, 3, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 4,
3, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 4, 3, 2,
1, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 5, 4}
354 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/13(木) 15:16:05.98 ID:kJ12I9TU.net]: yz=2wx
zx=2wy
xy=2wz
x^2+y^2+z^2=1

w,x,y,zの実数解は？
355 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/13(木) 15:32:26 ID:EuD8qnzl.net]: >>339
a,bは非有界
356 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/08/13(木) 15:51:46 ID:bwxcosiq.net]: 前>>338
>>314
求める長さをxcmとし、
正五角形の一辺の長さをycmとおくと、
対角線が10cmで、ほかの対角線によって10:y:10に分割され、この3つのパーツ10+y+10のうち10+yが一辺の長さと等しい。
∵一つの対角線と一つの辺が平行だから。
10(10+y)/(10+y+10)=y
100+10y=20y+y^2
y^2+10y-100=0
y=5√5-5
次に正五角形の中心と頂点を斜辺xとする直角三角形においてピタゴラスの定理より、
(5√5-5)^2/4=x^2-(10-x)^2
150-50√5=4(20x-100)
75-25√5=40x-200
40x=275-25√5
8x=55-5√5
x=(55-5√5)/8
=5.47745751406……
∴約5cm5mm
357 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/13(木) 15:53:01 ID:EuD8qnzl.net]: >>541
x=0のときy=0 or z=0
(x,y)=(0,0)なら(z,w)=(±1,0)
xyz≠0のときw≠0
x,y,z,wのうち負であるものは偶数個であり
(x,y,z,w), (-x,-y,-z,-w),
(-x,-y,z,w), (-x,y,-z,w), (-x,y,z,-w),
(x,y,-z,-w), (x,-y,z,-w), (x,-y,-z,w),
のいずれかは全て正
よってx,y,z,w>0の場合を考えれば良い
xy/z=zx/y=yz/xよりx^2=y^2=z^2
∴ x=y=z=2w=1/√3
以下ry
358 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/13(木) 16:22:12.12 ID:kJ12I9TU.net]: >>344
解は8通り？
359 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/13(木) 16:29:36.62 ID:sbSWJEQc.net]: >>340
数えはじめの修正が必要

87 71
85 70 55
83 68 54 41
81 66 53 40 29
79 64 51 39 28 19
77 62 49 38 27 18 11
75 60 47 36 26 17 10 5
73 58 45 34 25 16　9 4 1

惜しい(^_^)ﾉ
360 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/13(木) 16:54:10.76 ID:Vk3erFID.net]: xy平面上に、一辺の長さが2√3の△ABCと動点Pがある。
tをt>2√3の実数とする。

（1）動点PがPB+PC=tを満たしながら平面上を動く。Pの描く軌跡と辺ABが交点を持つときの、tの取りうる値の上限を求めよ。

以下
361 名前：、tは（1）の上限を超えないとする。 （2）（1）において、Pの描く軌跡と辺ABの交点をTとする。BTをtで表せ。 （3）（1）において、Pの描く軌跡上でAから最も近い点をSとする。ASをtで表せ。 （4）点Pは以下の条件を満たす。 ・PA+PB+PC=r, r>0 ・Pの描く軌跡は△ABCの内部にある rの取りうる値の範囲を求めよ。 []: [ここ壊れてます]
362 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/13(木) 17:16:23.55 ID:aEgkMNEo.net]: >>343
> 次に正五角形の中心と頂点を斜辺xとする直角三角形においてピタゴラスの定理より、
> (5√5-5)^2/4=x^2-(10-x)^2
10-xって何？
363 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/13(木) 17:24:59.62 ID:KCc316ag.net]: >>314
正五角形の
外接円の半径と1辺の長さの比はかなりややこしい
対角線と1辺の長さの比はいわゆる黄金比
いずれもググると見つかるからそこから外接円の半径と対角線の比を求めて計算したほうが早い
イナはすぐに思い込みで適当やことをやって間違えるから信用しちゃダメだよ
364 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/13(木) 18:35:45 ID:Vk3erFID.net]: nを1以上の整数とする。
(n^2+1)(5n^2+9)は平方数でないことを示せ。
365 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/13(木) 18:49:12 ID:KhggCoPs.net]: >>331
∂f/∂x = {1-2x(x-y)}e^(-xx-yy)
∂f/∂y = {-1-2y(x-y)}e^(-xx-yy)
これらを0とおくと
　x+y = 0,
　(x,y) = (1/2,-1/2)　(-1/2,1/2)

あるいは軸を45°回して
　u = (x+y)/√2,
　v = (x-y)/√2,
とおくと
　f = (√2)e^(-uu)・v･e^(-vv) = g(u)・h(v),
　g '(u) = -2(√2)u e^(-uu),
　h'(v) = (1-2vv)e^(-vv),
　(u,v) = (0,±1/√2)
∴　(x,y) = (1/2,-1/2)　(-1/2,1/2)
366 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/13(木) 19:10:08.66 ID:Uuox2URt.net]: >>346
じゃ、これとの和と言うことで
Table[{n,89-2 Floor[(-1+Sqrt[1+8n])/2]+(n-(Floor[(-1+Sqrt[1+8n])/2]+1)(Floor[(-1+Sqrt[1+8n])/2])/2)^2-17(n-(Floor[(-1+Sqrt[1+8n])/2]+1)(Floor[(-1+Sqrt[1+8n])/2])/2)},{n,1,44}]
367 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/13(木) 19:15:33.71 ID:KhggCoPs.net]: >>345
(w,x,y,z) = (0,±1,0,0)　(0,0,±1,0)　(0,0,0,±1)　…　6
　　　　(±1/(2√3), ±1/√3, ±1/√3, ±1/√3)　…　8　{(2w)xyz = 1/9}
計 14とおり
368 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/13(木) 19:35:33.47 ID:GNxQ5zOj.net]: >>347
(1)2√3<t<4√3
(2)BT=xとする。△BCTで余弦定理
(t-x)^2=(2√3)^2+x^2-4(√3)xcos60°
x=(t^2-12)/(2t-2√3)
(3)AS=3-√{(t^2/4)-3}
369 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/13(木) 19:43:32.85 ID:ErCiafhA.net]: I=[-a,a]としてf,f'がI上連続であるとき
∫_[-a,a]xf(x)dx = (2/3)a^3 f'(b)
となるb∈Iが存在することを示して下さい
370 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/13(木) 21:08:29 ID:xAD4HTpt.net]: >>350
a[n] = (n^2 + 1)
b[n] = (5n^2 + 9)
と置く。 a[n]b[n] が平方数でないことを示せばよい。
a[n] と b[n] の最大公約数 gcd(a[n], b[n]) を考える。
-5a[n] + b[n] = 4
より、 gcd(a[n], b[n]) は 4 の約数である。
a[n] が 4 で割り切れることはないので、 gcd(a[n], b[n]) は 1 か 2 のいずれかである。
したがって a[n] と b[n] の偶奇を調べれば、
n が偶数のとき、 gcd(a[n], b[n]) = 1
n が奇数のとき、 gcd(a[n], b[n]) = 2
となることがわかる。
以下、 a[n]b[n] が平方数でないことを n の偶奇に分けて示す。

【 n が偶数のとき】 gcd(a[n], b[n]) = 1 より、
もし a[n]b[n] が平方数ならば、 a[n] および b[n] も平方数である。
しかし、 n > 0 のとき n^2 < a[n] < (n+1)^2 より a[n] は平方数ではないので矛盾する。

【 n が奇数のとき】 gcd(a[n], b[n]) = 2 より、
もし a[n]b[n] が平方数ならば、 a[n]/2 および b[n]/2 も平方数である。
ここで n = 2k - 1 と置くと、 b[n] = 20k^2 - 20k + 14 より
b[n]/2 = 10k^2 - 10k + 7
となる。
すると b[n]/2 を 5 で割った余りは 2 となるが、平方数を 5 で割った余りは 2 にはならないので矛盾する。
371 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/13(木) 21:18:53.58 ID:lLMkMecQ.net]: ある工場で生産される精密部品を 25 個無作為抽出して長さを測ったら，平均値 x は x = 30 (mm) であった．�
372 名前：ﾟ去の製造データの蓄積により, 製品の長さは標準偏差が 4 mmの正規分布に従うことが分かっている． 区間の幅を 2.0=2×1.0 以下としたい．少なくとも何個の標本が必要か 61.46334 という値が出たとき答えは61ことしませんよね？ 62個としますよね？ []: [ここ壊れてます]
373 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/13(木) 21:28:09.71 ID:xh5b0X6b.net]: n^2+1=Nとおけば
N(5N+4)が平方数でないことを示せば良い
Nは平方数ではなく、非平方因子は5N+4の素因子にもなる必要があるからそれは2のみである
ところがN=2k^2とおいて代入すると5k^2+2が平方数であることになり矛盾
374 名前：イナ mailto:sage [2020/08/13(木) 23:24:00.80 ID:bwxcosiq.net]: 前>>343訂正。
>>314
求める長さをxcmとし、
正五角形の一辺の長さをycmとおくと、
対角線が10cmで、ほかの対角線によって10:y:10に分割され、この3つのパーツ10+y+10のうち10+yが一辺の長さと等しい。
∵一つの対角線と一つの辺が平行だから。
10(10+y)/(10+y+10)=y
100+10y=20y+y^2
y^2+10y-100=0
y=5√5-5
次に正五角形の中心と頂点を斜辺xとする直角三角形においてピタゴラスの定理より、
x+√[x^2-｛(5√5-5)/2｝^2]=√[10^2-｛(5√5-5)/2｝^2]
あとは計算。
5.2ぐらいかな？
375 名前：イナ mailto:sage [2020/08/14(金) 00:05:37.30 ID:KtYwWebs.net]: 前>>359
x+√[x^2-｛(5√5-5)/2｝^2]=√[10^2-｛(5√5-5)/2｝^2]
x^2+2x√[x^2-｛(5√5-5)/2｝^2]+x^2-｛(5√5-5)/2｝^2=[10^2-｛(5√5-5)/2｝^2]
2x^2+2x√[x^2-｛(5√5-5)/2｝^2]-75/2+25√5/2=[10^2-｛(5√5-5)/2｝^2]
376 名前：イナ mailto:sage [2020/08/14(金) 00:05:37.95 ID:KtYwWebs.net]: 前>>359
x+√[x^2-｛(5√5-5)/2｝^2]=√[10^2-｛(5√5-5)/2｝^2]
x^2+2x√[x^2-｛(5√5-5)/2｝^2]+x^2-｛(5√5-5)/2｝^2=[10^2-｛(5√5-5)/2｝^2]
2x^2+2x√[x^2-｛(5√5-5)/2｝^2]-75/2+25√5/2=[10^2-｛(5√5-5)/2｝^2]
377 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/14(金) 00:33:38.07 ID:OvK50PPf.net]: 最後のイコールが意味不明すぎて急にどうした？って感じです
どんな計算？
https://i.imgur.com/uSaMAhz.jpg
378 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/14(金) 00:40:23 ID:CE6P3k1H.net]: とりあえずe^(ix)=cosx+isinxを使ってみようか
379 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/14(金) 00:49:27.96 ID:uDoX/Qiy.net]: >>362
e^(iπ)=-1で計算するだけでは
nが奇数のときはeのとこ全部1になって-2と打ち消す
nが偶数のときはeのとこ全部-1になって-2と合わせて-4が出てくる
380 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/14(金) 01:02:33.93 ID:OvK50PPf.net]: >>364
それを知りませんでした
これもオイラーの公式なんですね…
ありがとうございました
381 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/14(金) 01:16:44.25 ID:vL2Z3oJP.net]: >>365 e^(iπ)+ 1 = 0はオイラーの等式っていう有名な等式なんですよ。
382 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/14(金) 03:29:53.35 ID:Vqud894y.net]: 僕はまた、人類の至宝かと思ってたよ^^
383 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/14(金) 04:09:09.55 ID:N0QFEg7X.net]: iを虚数単位とする。数列{a[n]}は
a[1]=1,a[2]=i
a[n+2]=a[n+1]+a[n]
を満たす。

また数列{b[n]}を
b[n]=a[n+1]/a[n]
で定める。

複素平面上で、b[x]が表す点をP[x]とする。j,k,lを相異なる自然数とし、3点P[j],P[k],P[l]が三角形となる場合を考える。
その面積S[j,k,l]について以下の問に答えよ。

（1）△P[j]P[k]P[l]の辺の長さをa,b,c(a≦b≦c)とするとき、ab/S[j,k,l]を求めよ。

（2）S[j,k,l]の取りうる値の範囲を求めよ。
384 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/14(金) 04:21:39.18 ID:tUmyx/yQ.net]: ∫sin(x^k)dx[0→∞]は収束するか発散するか考察せよ。なおkは実数定数。
385 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/14(金) 04:43:27 ID:Vqud894y.net]: ∫[0,∞] sin(x^k) dx = sign(k) ∫[0,∞] sin(y) (1/k)y^(1/k-1) dy

|k|>1　のとき収束　Γ(1+1/k) sin(π/2|k|),
|k|≦1　のとき発散
386 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/14(金) 04:51:06 ID:Vqud894y.net]: >>355
平均値の定理より
f(x) - f(-x) = 2x f '(ξ)　　(-x<ξ<x)

∫[-a,a] xf(x) dx = ∫[0,a] x{f(x) - f(-x)} dx
　= ∫[0,a] 2xx f '(ξ) dx　　(-x<ξ<x)
　= ∫[0,a] 2xx dx f '(b)
　= (2/3)a^3 f '(b).
387 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/14(金) 05:01:20 ID:tUmyx/yQ.net]: >>370
signとはなんですか？？
388 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/14(金) 05:33:55.50 ID:Vqud894y.net]: >>368
題意より
　a[n] = F[n-2] + F[n-1]ｉ,
　| a[n] |^2 = F[2n-3],
　b[n] = a[n+1]/a[n]
　= (F[n-1] + F[n]ｉ) / (F[n-2] + F[n-1]ｉ)
　= {F[n-1](F[n-2]+F[n]) - (-1)^n･ｉ} / | a[n] |^2,
389 名前： []: [ここ壊れてます]
390 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/14(金) 05:36:20.87 ID:GJ+vKVSe.net]: >>357
61個は必要だけど十分じゃないから62個だな。
391 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/08/14(金) 09:42:06 ID:KtYwWebs.net]: 前>>360-361
｛(5√5-5)/2)^2+(9.51056516295)^2｝/2=50
どういうことや？
392 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/14(金) 10:08:25 ID:cIdouH6q.net]: >>349
プログラムで作図して計測して検証してみました。

> DOPs(5,T) # 五角形の1辺と対角線の長さ(外接円の半径=1)
$side
[1] 1.175570504584946

$diagonal
[1] 1.902113032590307

> DOPs(5)$diagonal/DOPs(5)$side # 対角線/辺長
[1] 1.618033988749895

> (1+sqrt(5))/2 # 黄金比
[1] 1.618033988749895
393 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/14(金) 10:16:33 ID:cIdouH6q.net]: >>376
# 対角線/辺長

> (2*sin(2*pi/5))　/　(2*sin(pi/5))
[1] 1.618033988749895

> (1+sqrt(5))/2 # 黄金比
[1] 1.618033988749895
394 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/14(金) 10:29:48 ID:Y2RmGzuY.net]: >>352
出力が全然合わない
やはり難易度が違う
395 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/14(金) 10:30:46 ID:cIdouH6q.net]: >>345
-1,0,1で81通りを探索させたら、

w x y z
0 0 0 -1
0 0 -1 0
0 -1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

6通りがひっかかった。
396 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/14(金) 10:55:19 ID:Y2RmGzuY.net]: Table[{n,41-2 Floor[(-1+Sqrt[1+8n])/2]+(n-(Floor[(-1+Sqrt[1+8n])/2]+1)(Floor[(-1+Sqrt[1+8n])/2])/2)^2-17(n-(Floor[(-1+Sqrt[1+8n])/2]+1)(Floor[(-1+Sqrt[1+8n])/2])/2)},{n,1,20}]

nを変化させると
まったく対応できない
397 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/14(金) 12:17:51 ID:8Is1Irgf.net]: >>371
ξ の値は当然 x に依存するわけですが、そのあたりはどうやって処理しているんでしょうか？
ξ = ξ(x)
398 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/14(金) 12:26:07 ID:O2eyEomh.net]: >>314
こういうのは丁寧に図を書いて平行線やら対称性を見ていけば解ける。

相似三角形より x/1 = 1/(x-1)
xx -x -1 = 0 ∴ x = ( 1 + √5 )/2 　 {黄金比}

sin(α/2) = (1/2) / x = ... = ( -1 + √5)/ 4
cos(α/2) = √(1- sin(α/2)^2 ) = ... = √(10 + 2√5) /4

x/2 = r * cos(α/2)
∴ r / x = 1/2cos(α/2) = ... = √{(5 - √5)/ 10} = 0.5257..

よって 10cm * r/x ≒ 5cm 3mm

右図は検算?用に GeoGebraで描いた。
399 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/14(金) 12:27:24 ID:O2eyEomh.net]: 図が付いてなかった
sssp://o.5ch.net/1p4c8.png
400 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/14(金) 12:48:55 ID:GJ+vKVSe.net]: 座標上に作図して頂点の座標を計算で出せばどの対角線の長さも計算できる。
最も原始的だが汎用のある方法。
手計算だと大変だが一度、プログラムを組めば何角形になっても使える。
例：外接円の半径が1の正17角形の一辺の長さと対角線の長さを全て求めよ。
401 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/14(金) 13:00:56 ID:O2eyEomh.net]: 正n角形に一般化するとこうなる
半径: r = 1
最大幅: w=|e^{i2π/n *⌊n/2⌋} - 1| 　{複素座標で描いた}
r/w = 1/√( {1-cos(2π⌊n/2⌋/n)}^2 + sin(2π⌊n/2⌋/n)^2 ) = 1/√( 2 -2cos(2π⌊n/2⌋/n) )
　nが偶数 ⇒ r/w　= 1/√( 2 -2cos(π) ) = 1/2
　nが奇数 ⇒ r/w　= 1/√( 2 -2cos(π - π/n) ) = 1/√( 2 +2cos(π/n) ) = 1/2cos(π/2n)
402 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/14(金) 13:13:05.60 ID:SqBzt3dT.net]: >>378

0 0 0 1 2 ...
みたいな数が並んでいるものが、何度も現れているので、それが目的かと思い、それを表現する式を >>340 で書いた
すると、>>346 で修正が必要と指摘され、87 71 85 70 55.... こそが目的で、惜しいと言われた。
そこで、>>352 で「修正」に当たる部分を表現した。

本当は、合わせた式にしたかったが、Wolframが「長すぎる」ことが原因だと思うが、理解してくれなかったから、
補正部分のみを書いた。改めて書く。

Table[Floor[Abs[n-(Floor[(Floor[Sqrt[2n+1]]+1)^2/2]-1/2-Floor[(Floor[Sqrt[2n+1]]+1)/2])]],{n,1,44}]
{0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 3, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 0}
と
Table[89-2 Floor[(-1+Sqrt[1+8n])/2]+(n-(Floor[(-1+Sqrt[1+8n])/2]+1)(Floor[(-1+Sqrt[1+8n])/2])/2)^2-17(n-(Floor[(-1+Sqrt[1+8n])/2]+1)(Floor[(-1+Sqrt[1+8n])/2])/2),{n,1,44}]
{87, 71, 85, 69, 55, 83, 67, 53, 41, 81, 65, 51, 39, 29, 79, 63, 49, 37, 27, 19, 77, 61, 47, 35, 25, 17, 11, 75, 59, 45, 33, 23, 15, 9, 5, 73, 57, 43, 31, 21, 13, 7, 3, 1}
の和
難易度は、そんなに高くない。面倒くさいだけ。
87 71 85 70 ...に当たる数字が、何段目の何列目の数字か、そしてそれが第何項に当たるかを求め、それら組み合わせて、
上のように分離された数を表す式を出すだけ。
例えば、一番左の数字は、1,3,6,10,...と三角数に当たる項数だけが来ているが、このようなものに注目して、逆算すればよい。
403 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/14(金) 15:05:44 ID:TtI/FrBY.net]: iを虚数単位とする。数列{a[n]}は
a[1]=1,a[2]=i
a[n+2]=a[n+1]+a[n]
を満たす。

また数列{b[n]}を
b[n]=a[n+1]/a[n]
で定める。

複素平面上で、複素数b[x]が表す点をP[x]とする。

（1）j,kを相異なる自然数とする。j,kを変化させるとき、線分P[j]P[k]の長さには最大値が存在することを示し、その値を求めよ。

（2）j<kとする。（1）の最大値を与える自然数の組(j,k)を全て決定せよ。
404 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/14(金) 15:07:30 ID:8Is1Irgf.net]: (1) 方程式 y^2 = x + √(x+1) の整数解 (x, y) を全て求めよ。

(2) (1)の一般化として、方程式
y^2 = x + √(x+n)
を考える。
任意の整数 n に対し、少なくとも一つは整数解 (x, y) が存在することを示せ。
また、整数解 (x, y) が無数に存在するような整数 n は存在するか？
405 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/14(金) 16:06:11.69 ID:FzzoPIpn.net]: >>388
(x,y) = (n^2-n,n)
406 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/14(金) 16:10:19.09 ID:uDoX/Qiy.net]: >>389
それn<0のときはダメじゃね

>>388
とりあえず(1)だけ

√(x+1)が整数なのでx=m^2-1(m∈Z)と書ける
y=|m|-k(k∈Z)とおいて代入すると
|m|=(k^2+1)/(2k+1)∈N、2k+1>0を得る
4|m|-2k+1=5/(2k+1)∈Zより
k=0,2の可能性しかない
このとき、それぞれ(x,y)=(0,1),(0,-1)でこれで全て
407 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/14(金) 16:20:48.02 ID:uDoX/Qiy.net]: (2)の後半
√(x+n)が整数なのでx=m^2-n(m∈Z)と書ける
y=|m|-k(k∈Z)とおいて代入すると
|m|=(k^2+n)/(2k+1)∈Zを得る
4|m|-2k+1=(4n+1)/(2k+1)∈Zより
2k+1は4n+1の約数でなければならず
kは有限個の可能性しかない
よって(x,y)も有限個の可能性しかない
408 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/14(金) 16:38:00.88 ID:uDoX/Qiy.net]: (2)の前半
n≧0のとき(x,y)=(n^2-n,±n)
n≦-1のとき(x,y)=(n^2+n+1,±n)
を解として持つ
409 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/14(金) 17:08:26.58 ID:QALWwjXy.net]: >>387
b1=i , b[n+1]=1+1/b[n]
(1)
n≧2のとき常に -π/4≦arg(1/b[n])≦π/4 かつ |1/b[n]|≦1 が成り立つ。
この扇形領域内の2点間の距離は√2が上限であるので、3以上の任意のj,kに対して|1/b[j-1]-1/b[k-1]|≦√2
ここで P[j]P[k]=|b[j]-b[k]|=|1/b[j-1]-1/b[k-1]| であるから P[1]P[2]=√5 が最大である。
(2) (j,k)=(1,2)
410 名前：388 mailto:sage [2020/08/14(金) 17:47:11.36 ID:8Is1Irgf.net]: >>390-392
ありがとうございます
やはり方程式 E[n] : y^2 = x + √(x+n) の整数解は有限個なんですね

整数 n に対し、>>392の整数解

> n≧0のとき(x,y)=(n^2-n,±n)
> n≦-1のとき(x,y)=(n^2+n+1,±n)

を方程式 E[n] の「自明な解」と呼び、
もし他の整数解をもつならば「非自明な解をもつ」と呼ぶことにします
例えば、>>388の(1)より、 E[1] は非自明な解をもたないことがわかります
一方、 E[2] は非自明な解 (x, y) = (-1, 0) をもちます
そこで次の問題を提出します

整数 n に対し、方程式
E[n] : y^2 = x + √(x+n)
が非自明な解 (x, y) をもつような n を全て決定せよ。
また、もし可能ならばそれらの解を全て求めよ。
411 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/14(金) 18:01:52.67 ID:VS4CapnK.net]: >>351
上の議論でx+y=0とそこから2通りの解が出る過程がわからないです…
412 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/14(金) 18:15:19 ID: ]: [ここ壊れてます]
413 名前：uDoX/Qiy.net mailto: >>394
それはyも√(x+n)も整数であることから
一般にn=f(x,y)=(y^2-x)^2-xの形のとき(x,y)が解である
という当たり前の話になるのでは？
自明解と定義した値以外の整数組(x,y)に対してfの像は非自明解を持つnとなる []: [ここ壊れてます]
414 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/14(金) 18:27:05 ID:cVTIbRA2.net]: >>393
ありがとうございます
n=1,2,3...ですべてのP[n]が同一円周上にあることを発見できたので、まず円の直径を求めて、次にP[i]P[j]が直径の長さと等しくなるi,jを探そうとしました
そこで行き詰まったのですが、i=1,j=2だけだということで、読み返してもう一度解き直してみます
415 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/14(金) 18:37:47.62 ID:8Is1Irgf.net]: >>396
確かにそうですね
その言い換えで考えると、問題は
n=f(x,y)=(y^2-x)^2-x
が（ y の符号の違いを除いて） 2 通り以上の (x, y) で表せる n はどのような数か？
ということになります
例えば、
1 = f(0, ±1)
2 = f(2, ±2) = f(-1, 0)
もう少し自明でない例を挙げると、
方程式 E[11] は (x, y) = (-2, ±1), (5, ±3), (110, ±11) を解にもつので、
11 = f(-2, ±1) = f(5, ±3) = f(110, ±11)
という 3 通りの表示をもつことがわかります
このような非自明な表示をもつ n はどのような数か？ということが知りたいです
416 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/14(金) 19:02:53.40 ID:8Is1Irgf.net]: >>398
どうやらこの言い換えは不完全なようです
(x, y) = (5, ±1) は E[11] の解ではありませんが、
11 = f(5, ±1)
と書けるので
何か条件が抜け落ちてしまったようです
417 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/14(金) 19:50:36 ID:uDoX/Qiy.net]: >>399
y^2-x≧0という条件がいる

>>398
元の証明に戻れば
|m|=(k^2+n)/(2k+1)∈Z
4|m|-2k+1=(4n+1)/(2k+1)∈Z
で、自明解とは2k+1=±1のときだから
非自明解を持つのは4n+1が(±素数)の形のとき、と言えそう
418 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/14(金) 19:51:44 ID:uDoX/Qiy.net]: >>400
訂正
非自明解を持つのは4n+1が合成数のとき、か
419 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/14(金) 20:22:13 ID:oMJDqT0U.net]: f(x,y)=(x-1)^2+(y-1)^2が
条件x^3+y^3-3xy=0のもとで最小値が存在することを示してそれを求めよという問題なのですが

未定乗数法を使うのは分かるのですが最小値の存在をどう示したらいいのか分かりません

条件が有界閉集合なら存在するみたいな感じですか？そもそも条件が有界閉集合なのかもわからず…

どなたかお願いします
420 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/14(金) 21:09:34.70 ID:CE6P3k1H.net]: あらかじめ最小値をとることがわかってなくとも、未定乗数法で最小値の候補を出して後から縁付きヘッセ行列を確認すればおk
421 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/14(金) 22:25:20.25 ID:8Is1Irgf.net]: >>400-401
> y^2-x≧0という条件がいる

なるほど
そうすると、整数 n, x, y に対し、
(x, y) が E[n] の解 ⇔ n = f(x, y) かつ y^2 ≧ x
となりますね
非自明な解をもつ場合よりも、非自明な解をもたない場合のほうが面白いかもしれません
上の同値から、特に y ≧ 0 の場合に限れば
E[n] は非自明な解をもたない ⇔ n = f(x, y) かつ y^2 ≧ x となる (x, y) は一組しかない
となります

>非自明解を持つのは4n+1が合成数のとき、か

なるほど！ |4n+1| が合成数ならば、
4n+1 = pq, |p| > 1, |q| > 1 かつ p+q-2 ≧ 0
となるように p, q を選び、 2k+1 = p によって整数 k を定めると、
|m| = (p+q-2)/4 ≧ 0 であり、このとき
y = (q-p)/4 ≠ ±n
であるので、これによって非自明な解が得られますね

逆に、 |4n+1| が素数ならば、 |2k+1| = 1, |4n+1| より k = 0, -1, 2n, -(2n+1)
に限られるので、>>391の式から自明な解に限られることもわかりますね

以上より、整数 n, x, y および y ≧ 0 において、
E[n] は非自明な解をもたない ⇔ n = f(x, y) かつ y^2 ≧ x となる (x, y) は一組しかない
⇔ |4n+1| が素数
が成り立つ。

また、 |4n+1| が合成数のとき、
非自明な解は |4n+1| の素因数分解によって定まることもわかる。
（ n < 0 のときは符号の制限に注意が必要）
422 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/14(金) 23:17:27.92 ID:DH/eJ8n6.net]: 高校範囲での極限の難問とのことですが、初期条件の黒板の枚数・位置に関わらず1に収束するという結論が理解できずにいます。
時刻t=nでの黒板の枚数は計算できず、評価の仕方も分かりません。
よろしくお願いします。

【問題】
平面が合同な正三角形の板で隙間なく敷き詰められている。どの板も白色である。

時刻t=1において、1つの板を黒く塗る。
その後、各時刻t=2,3,...において、その時刻に存在する黒い板と辺を共有する白い板をすべて黒く塗る。時刻t=nにおける黒い板の枚数をa[n]とおく。

さて、時刻t=1において、平面上の任意のk枚(k≧2)の板を黒く塗り、上記と同様の操作で板を塗っていくことを考える。
t=1での板の塗り方（位置）によって、kが同じでも時刻t=nにおける黒い板の枚数は変化する。その最小値をm[n,k]、その最大値をM[n,k]とする。
このとき以下の極限がいずれも1に収束することを証明せよ。

lim[n→∞] m[n,k]/a[n]
lim[n→∞] M[n,k]/a[n]
423 名前：351 mailto:sage [2020/08/14(金) 23:41:48.86 ID:Vqud894y.net]: >>395
e^(-xx-yy) > 0 だから
　1 - 2x(x-y) = 0,　　… (1)
　-1 -2y(x-y) = 0,　　… (2)

(1)*y - (2)*x より
　y + x = 0,　　　… (3)
これを (1) に入れて
　1 -2x･2x = 0,
　x = ±1/2,
(3)を(2)に入れて
　-1 -2y(-2y) = -1 + (2y)^2 = 0,
　y = 干1/2,
このうち (3) を満たす組合せは
f(-1/2,1/2) = -e^(-1/2) = -1/√e = -0.60653　(最小)
f(1/2,-1/2) = e^(-1/2) = 1/√e = 0.60653　　(最大)
の2つだけ。
424 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/14(金) 23:56:00.30 ID:Vqud894y.net]: なお、最大値・最小値だけでよければ
　f(x,y)^2 = e^(-2uu) (2vv)/e^(2vv) ≦ 1/e,

　e^(-2uu) ≦ 1,　　　　(等号は u=0)
　e^(2vv) ≧ e(2vv),　　(等号は 2vv=1)
425 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/15(土) 00:14:18.17 ID:3iIf4ygs.net]: >>405
とりあえず a[n] = 1 + 3n(n-1)/2 かな？
1 ≦ m[n,k]/a[n] ≦ M[n,k]/a[n]
だから、 lim[n→∞] M[n,k]/a[n] = 1 を示せば十分だということはわかる
直観的には、どんな初期条件であっても n が十分大きくなれば
黒い板は全部繋がってしまうから a[n] と M[n, k] は大差なくなる
ってことなんだろうか
426 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/15(土) 00:26:37.14 ID:3iIf4ygs.net]: >>408
あれ、違うかな？

>平面が合同な正三角形の板で隙間なく敷き詰められている。
>黒い板と辺を共有する白い板をすべて黒く塗る。

と書いてあるからアイゼンシュタイン整数みたいに敷き詰められていると想定したけど、
こういうふうに敷き詰められている可能性もあるな
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/ja/thumb/7/7d/Shikitume02.gif/180px-Shikitume02.gif
この場合はどうやって塗っていくんだろ
もしこの場合は横にしか塗ってはいけないルールなら、
縦に k 個置けば明らかに M[n, k] = ka[n] だが
少しでも辺が触れていたら塗っていくルールなのかな
427 名前： mailto:sage [2020/08/15(土) 00:27:33.54 ID:+S/JbsGk.net]: 前>>375
>>314
黄金比を既知としたら解いたことにならない。
対角線が一辺に対して黄金比であることは未知として解かないとなんにもなんないだろうが。
そんな答案不正解だからな。
428 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/15(土) 00:34:01.80 ID:M0oPDaM8.net]: >>405
何かが変だな

初期配置を固定したどんな２つの面積比も極限的には一致するだろうけど、各n時刻で最大値をとってきて比べてしまったら極限は変わってくる
特に最小配置と最大配置の比はkになって一致しない
429 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/15(土) 00:55:55.27 ID:/A9LjrPH.net]: 問題自体がお
430 名前：かしいようですみません。問題の元となった原題を張ります。東大後期1997の第1問です。 この通りに文章で表現できたつもりが、浅はかでした。 正三角形での敷き詰めを文章で表現するのが難しいと思いました。 http://server-test.net/math/php.php?name=tokyo&v1=1&v2=1997&v3=2&v4=1&y=1997&n=7 []: [ここ壊れてます]
431 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/15(土) 01:06:17.30 ID:M0oPDaM8.net]: >>412
おいおい、話が全然違うやんけ

これなら十分大きなNをとれば
どんなk個の初期配置も単一配置のNステップ後の状態に覆われてる
よってa_n<b_n<a_(n+N)

a_n=1+3n(n+1)/2だから
a_n/b_n→1が挟み討ちの定理からわかる
432 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/15(土) 01:20:08.38 ID:3iIf4ygs.net]: >>412
>>405とは全く別の問題でワロタ
433 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/15(土) 08:01:12 ID:XjtIPB57.net]: 等式
n^k+1=2^n
を満たす1以上の整数(n,k)をすべて求めよ。
434 名前：イナ mailto:sage [2020/08/15(土) 09:57:27.69 ID:+S/JbsGk.net]: 前>>410
>>314
求める長さをxcmとし、
正五角形の一辺の長さをycmとおくと、
対角線が10cmで、ほかの対角線によって10:y:10に分割され、この3つのパーツ10+y+10のうち10+yが一辺の長さと等しい。
∵一つの対角線と一つの辺が平行だから。
10(10+y)/(10+y+10)=y
100+10y=20y+y^2
y^2+10y-100=0
y=5√5-5
次に正五角形の中心と頂点を斜辺xとする直角三角形においてピタゴラスの定理より、
x+√[x^2-｛(5√5-5)/2｝^2]=√[10^2-｛(5√5-5)/2｝^2]
x^2+2x√[x^2-｛(5√5-5)/2｝^2]+x^2-｛(5√5-5)/2｝^2=10^2-｛(5√5-5)/2｝^2
2x^2+2x √[x^2-｛(5√5-5)/2｝^2]=100
x^2+x √[x^2-｛(5√5-5)/2｝^2]=50
x^2[x^2-｛(5√5-5)/2｝^2]=(50-x^2)^2
100x^2-｛(5√5-5)/2｝^2]x^2=2500
｛40-(√5-1)^2｝x^2=1000
(34+2√5)x^2=1000
(17+√5)x^2=500
(289-5)x^2=500(17-√5)
71x^2=125(17-√5)
71x^2=5^2(105-5√5)
x=5√｛5(17-√5)/71｝
=5.09831717999……
5.1もないね。妥当な値だ。
435 名前：イナ mailto:sage [2020/08/15(土) 10:01:59.39 ID:+S/JbsGk.net]: 前>>416
>>314
∴約5cm1mm
436 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/15(土) 10:06:49.26 ID:icX1mGke.net]: >>415
n^k が奇数だから n は奇数。
k≧2 のとき {左辺}≡2 (mod 4)
n≧2 のとき {右辺}≡0 (mod 4)
したがって k=1 または n=1
n=1のとき任意のkについて成り立つ。
k=1 かつ n≧2 のとき
2^n=(1+1)^n=Σ[r=0~n]nCr>n+1 であるから成り立たない。
437 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/15(土) 10:20:30.84 ID:icX1mGke.net]: >>418
思いっきり間違えていますね。忘れてください。
438 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/15(土) 10:52:56.25 ID:b0vYiwvB.net]: s_p := n (if p = 0)
s_p := Σ_{k=1}^{n-1} k^p (if p ≧ 1)

s_pがnの多項式になることって自明ですか？自明じゃないですか？

ちなみに次数はp+1次になります。
439 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/15(土) 11:01:46.09 ID:b0vYiwvB.net]: 自明であるようなそうじゃないような気がするので質問しました。
5秒でs_pがnの多項式か否か答えないといけないとするとnの多項式になると答えます。
440 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/15(土) 11:02:51.74 ID:b0vYiwvB.net]: p = 2の場合でいえば、

1^2 + 2^2 + … + (n - 1)^2がnの多項式かどうかということになります。
441 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/15(土) 11:03:53.33 ID:b0vYiwvB.net]: もちろん、これは(1/2)*(n-1)*nなので多項式（2次）です。
442 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/15(土) 11:12:17.41 ID:VHOC4kxf.net]: >>403
未定乗数法を使うには条件が正則でなければいけないみたいですがこれが正則であるかはどう示したら良いのでしょうか
443 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/15(土) 11:42:57.59 ID:3iIf4ygs.net]: >>420
ファウルハーバーの公式
444 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/15(土) 12:19:23 ID:c5SrH6ui.net]: 鋭角三角形△ABCに内接する3つの異なる正方形と、その内部領域D1,D2,D3を考える。
ここで△ABCに正方形Sが内接するとは、Sの一辺が△ABCのいずれか一辺に含まれ、その辺上にない2頂点が残りの二辺上にあることを指す。
D1∩D2∩D3は空でないことを示せ。
445 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/15(土) 13:43:36.24 ID:qXL9heBQ.net]: 垂心
446 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/15(土) 16:24:42 ID:icX1mGke.net]: >>427
例えば座標平面上で A(-1,0),B(100,0),C(0,100)とすると
BCの一部を辺とする正方形は垂心を含まない。
447 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/15(土) 16:26:21 ID:66Dxz5iE.net]: 人間は知り合いの死による精神的動揺で寿命が縮む。
直接の知り合いのことを1次知り合いと呼ぶ。また「知り合いの知り合い」を2次知り合い、「知り合いの知り合いの知り合い」を3次知り合い、…とし、任意の2人は必ず6次以内の知り合いである。
一般にn次知り合いの相手が死んだとき、人間は寿命が[{32/2^(n-1)}-1]時間縮む。
渡哲也が死んだことで日本国民の寿命の総和がどれほど減少するか推定したい。
448 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/15(土) 17:53:07.49 ID:6GTusgWt.net]: >>387
プログラム組んで100までの自然数でやってみた。

a <- function(n){
x=complex(n)
x[1]=1
x[2]=1i
if(n<3) return(x[n])
for(i in 1:(n-2)){
x[i+2]=x[i+1]+x[i]
}
return(x[n])
}
b <- function(n) a(n+1)/a(n)
P <- function(j,k) abs(b(j)-b(k))
P=Vectorize(P)
N=100
j=k=1:N
z=outer(j,k,P)
max(z) ; sqrt(5)

idx=which(z==sqrt(5))
for(i in idx){
print(c(i%%N,i%/%N+1))
}

最大値は√5
> max(z) ; sqrt(5)
[1] 2.2360679774997898
[1] 2.2360679774997898

それを与える値は
> for(i in idx){
+ print(c(i%%N,i%/%N+1))
+ }
[1] 2 1
[1] 1 2
449 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/15(土) 19:20:54.33 ID:icX1mGke.net]: >>426
内心を含むから空でない。

辺AB上の点E、辺BC上の点F,G、辺CA上の点Hを頂点とする内接正方形EFGHが内心を含むことを示す。辺AB,辺ACの一部を一辺とする内接正方形についても同様。
点Hを中心とする半径GHの円をOとする。直線BEは円Oと交わるから∠EBH＜∠GBH。ゆえに∠GBH＞(1/2)∠ABCであるから、∠Bの二等分線は線分GHと交わる。
同様に∠Cの二等分線は線分EFと交わる。したがって内心は正方形EFGHの内部にある。
450 名前：イナ mailto:sage [2020/08/15(土) 19:43:07.05 ID:+S/JbsGk.net]: 前>>417
>>429
うちに渡哲也さんのサイン色紙があります。
渡哲也さんが亡くなったからといって自分のような一兵卒の寿命が縮むなんておそれ多いです。
451 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/15(土) 21:09:36.19 ID:R1A01FWT.net]: >>402
この問題、解析解って求められるんでしょうか？
自分も未定乗数法でやってみようと、しばらく式をコネ回してみたけど
簡単な形式には持っていけそうにありません。

Wolframも数値解しか出しません。
Minimize[ {(x-1)^2+(y-1)^2, x^3+y^3 -3x y == 0}, {x,y} ]
→ ...
452 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/15(土) 23:21:36.40 ID:Jm/ZFtUB.net]: >>433
s=x+y, t=xy で書き直したら、なんかでた
https://ja.wolframalpha.com/input/?i=s%5E2-2*t+-2*s%2B2%E3%82%92s%5E3-3*s*t-3*t%3D0%2Cs%5E2-4*t%3E%3D0%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%84%E3%81%A6%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%8C%96
453 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/15(土) 23:40:27 ID:06RJcXIp.net]: 微分方程式
u'(t)=f(u(t))
の一般解ってどう求めればいいんですか？
454 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/15(土) 23:57:45 ID:ura3P6dp.net]: 変数分離
455 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/16(日) 00:27:18 ID:pRhbC/47.net]: >>434
x^3 - 6x^2 + 15x - 3 = 0 の実数解らしいね
https://www
456 名前：.wolframalpha.com/input/?i=x%5E3+-+6x%5E2+%2B+15x+-+3+%3D+0 グラフ的には正しそうに見える https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x-1%29%5E2+%2B+%28y-1%29%5E2+%3D+%282+-+%282%2F%285Sqrt%285%29+-+11%29%29%5E%281%2F3%29+%2B+%28%285Sqrt%285%29+-+11%29%2F2%29%5E%281%2F3%29%29%2C+x%5E3%2By%5E3+-3xy+%3D+0 []: [ここ壊れてます]
457 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/16(日) 00:49:58.40 ID:N4DeS3nO.net]: ∫sin(x^k)dx[0→∞]は収束するか発散するか。なおkは実数定数。
これについて詳しく教えてもらいたいです
458 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/16(日) 01:13:44 ID:JAwBuHm3.net]: >>438
ｋの値を変えてプログラムで実験してみたけど
> # ∫sin(x^k)dx[0∫sin(x^k)dx[0→∞]

> f <- function(k) integrate(function(x)sin(x^k),0,Inf)
> f(1)
Error in integrate(function(x) sin(x^k), 0, Inf) :
roundoff error is detected in the extrapolation table
> f(runif(1,1,10))
Error in integrate(function(x) sin(x^k), 0, Inf) :
maximum number of subdivisions reached
> f(runif(1,0,1))
Error in integrate(function(x) sin(x^k), 0, Inf) :
roundoff error is detected in the extrapolation table
> f(runif(1,-1,0))
Error in integrate(function(x) sin(x^k), 0, Inf) :
the integral is probably divergent
> f(runif(1,-10,-1))
Error in integrate(function(x) sin(x^k), 0, Inf) :
the integral is probably divergent

収束はしないみたい。
459 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/16(日) 01:16:29 ID:N4DeS3nO.net]: >>439
なんかすごいですね笑これどうやって数学的に証明すればいいんですかね…
460 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/16(日) 01:19:49 ID:JAwBuHm3.net]: >>417
10 / ( 2sin(2π/5) )＝5.257311
461 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/16(日) 01:30:07 ID:pRhbC/47.net]: フレネル積分を知っていれば k の値によって収束したり収束しなかったりすることは明らか
|x| > 1 なら収束する
|x| ≦ 1 なら収束しない
と予想
462 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/16(日) 01:32:33 ID:pRhbC/47.net]: >>442
訂正
|k| > 1 なら収束する
|k| ≦ 1 なら収束しない
463 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/16(日) 01:35:46 ID:N4DeS3nO.net]: >>443
フレネル積分をどう応用したらいいんですかね…交項級数とかに繋がってくる感じですか??
464 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/16(日) 01:39:40 ID:N4DeS3nO.net]: フレネル積分∫sin(x^2)dx[0→∞]の収束性を示すのってどうやるんですか？？
465 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/08/16(日) 01:56:19 ID:FpEi9Mun.net]: 前>>417別解。
>>314
5/sin(2π/5)=5.25731112119……
466 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/08/16(日) 01:58:57 ID:FpEi9Mun.net]: 前>>446
>>314
∴約5cm3mm
467 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/16(日) 02:10:47 ID:f0CPlVcj.net]: >>445
ライプニッツの公式に帰着させればいいんじゃない？
468 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/16(日) 02:12:48 ID:N4DeS3nO.net]: >>448
えええ、、どんな感じでつなげるのですか？？宜しければ詳しく知りたいです
469 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/16(日) 02:24:01 ID:ocOa8mpd.net]: 収束性だけでいいならc^k=tと置換するだけやろ
470 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/16(日) 03:02:14.88 ID:940pKOPL.net]: 鋭角三角形△ABCの内部に点Pがあり、
∠PAB,∠PBC,∠PCAの値はそれぞれ分かっている。
この条件のみで、点Pの位置をただ1箇所に特定できるか。
471 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/16(日) 06:58:42 ID:YLcVkQjG.net]: >>451
特定するには角度は２個わかればいいんじゃないかな？
472 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/16(日) 10:35:06.86 ID:JAwBuHm3.net]: 乱数発生させて任意の形の鋭角三角形を作って
∠PAB＝45°,∠PBC＝30°になるPをプログラムで探索させてみた。
https://i.imgur.com/eNZGjq9.png
473 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/16(日) 14:37:04 ID:T/d8M/lm.net]: 二条を教えてください
474 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/16(日) 15:55:46.52 ID:XfR5KAjl.net]: >>454
京都府京都市の地名。二条城が有名。
475 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/16(日) 16:26:29.05 ID:/uc0uymM.net]: >>443
　正解です!!
　Γ(1+1/k) sin(π/(2|k|))　　　(|k|>1)

>>444-445
　k=2
　Γ(3/2) sin(π/4) = (1/2)Γ(1/2) (1/√2) = √(π/8)
476 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/16(日) 18:27:43.42 ID:/uc0uymM.net]: >>402
デカルトの葉線でござるか。与式から
1 = x^3 + y^3 + 1^3 - 3xy
　= (x+y+1)(xx+yy-xy-x-y+1),

f(x,y) = (x-1)^2 + (y-1)^2
　= {2
477 名前：(xx+yy-xy-x-y+1) + (x+y-2)^2}/3 = {2/(x+y+1) + (x+y-2)^2}/3 = {2/(s+1) + (s-2)^2}/3　　　(s=x+y) = (s^3 -3ss +6)/{3(s+1)}, df/ds = {2(s^3 -3s -3)}/{3(s+1)^2} = 0　より s = φ^(2/3) + φ^(-2/3) = 2.1038034　で最小 {x,y} = {φ^(2/3), φ^(-2/3)},　　t = xy = 1, f(x,y) ≧ 2 - φ^(5/3) + φ^(-5/3) = 0.21838195 φ = (1+√5)/2 = 1.618034 []: [ここ壊れてます]
478 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/16(日) 18:44:51.74 ID:/uc0uymM.net]: 0 = x^3 + y^3 - 3xy
　= (x+y)(xx-xy+yy) - 3xy
　= s(ss-3t) - 3t,
より
　t = (s^3)/{3(s+1)},
479 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/16(日) 19:11:55.84 ID:7pdtccLH.net]: 鋭角三角形△ABCの内部に点Pが与えられており、∠APB=x°,∠BPC=y°,∠CPA=z°である。
△ABCの内部の点Qで、∠AQB,∠BQC,∠CQAのいずれもx°またはy°またはz°に等しいものを考える。
以下の場合に、QをPとは異なる点にとることはできるか。

（1）x>y≧z
（2）x≧y>z
（3）x>y>z
480 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/16(日) 20:28:07 ID:XfR5KAjl.net]: >>459
すべてできる。例えば、A(-1,-1),B(2,0),C(0,2),P(1,0),Q(0,1) など。
481 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/16(日) 20:41:50.93 ID:XfR5KAjl.net]: しかし最近とくに、ここを自作問題投下スレと勘違いしてるんじゃないかと思うことが増えている気がする。
一応、ここで聞いているからには分からない問題なのだろうと解釈して回答をしているけれども。
自作問題を投下したいけど適切なスレが分からないということなら、素直にそう聞けばいいのに。
それともなんらかの意図を持った確信犯なのだろうか。
482 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/16(日) 21:11:30.57 ID:lbhPh1Wz.net]: 自信がないからここで確認してるんじゃないの
もっと酷い場合は答えの用意もなくここで面白い問題になるか確認してることもありそう
483 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/16(日) 21:35:12.52 ID:f0CPlVcj.net]: 問題になるか分からない問題なのだろ
484 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/16(日) 21:57:47.63 ID:XfR5KAjl.net]: >>462
それをするために適切なスレが他にあるのにわざわざここでやるってのがいまいちわからなくてね。
485 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/16(日) 22:19:27.00 ID:meLnB0iY.net]: >>460
一般の鋭角三角形についてはどうですか
486 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/16(日) 23:13:48.65 ID:pRhbC/47.net]: 自作ですが分からないので投下します

自然数 n に対し、一変数多項式 f[n](x) を以下のように再帰的に定める。
f[0](x) = x
f[n](x) = (f[n-1](x))^2 - n

各 n に対し、 f[n](x) の実数根のうち最大のものを a[n] とする。
定義より明らかに a[n] は実数の代数的整数である。

(1) n > 1 のとき、 a[n] は無理数か？
(2) lim[n→∞] a[n] は存在するか？
　存在するならば、それは無理数か？超越数か？
(3) g[n](x) ∊ Z[x] を a[n] の最小多項式とする。
　 g[n](x) = f[n](x) となる n はどのような数か？そうでない n はどのような数か？
　また、そのような n および、そうでない n はそれぞれ無数に存在するか？
487 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/16(日) 23:31:11.41 ID:f0CPlVcj.net]: 低次で何か面白そうな傾向は出たのかね？
それがなきゃ興味ないな
488 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/16(日) 23:37:41.54 ID:pRhbC/47.net]: >>467
以下に予想を書いておきますね

【予想(>>466)】
(1) a[n] は n > 1 で常に無理数
(2) lim[n→∞] a[n] は存在し、恐らく超越数
(3) n > 1 がsquare-freeかつそのときに限り g[n](x) = f[n](x)
　したがってどちらも無数に存在する
489 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/16(日) 23:42:07.82 ID:lbhPh1Wz.net]: 普通にa[n]=√(1+√(2+…√n)…)になるんじゃないのか？

これ収束はするけど収束値の代数的記述は未解決らしい
https://mathworld.wolfram.com/NestedRadicalConstant.html
490 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/16(日) 23:44:17.70 ID:lbhPh1Wz.net]: てかこれから逆算して出題してそう
491 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/16(日) 23:48:12.56 ID:pRhbC/47.net]: >>469
やっぱりそうなるんですかね？
実はその数を根にもつ多項式を構成しようとして考えたのが f[n](x) です
したがってその数は高々 2^n 次の代数的整数であることがわかります
ただ、その数が f[n](x) の根の中で最大になるかどうかがわかりません
492 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 00:12:17.43 ID:20svZZnl.net]: f[n](x)の根の一般式が±√(1±√(2…±√n)…)になるんじゃないかな
493 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 00:12:22.94 ID:SfLQkZLB.net]: >>457
>df/ds = {2(s^3 -3s -3)}/{3(s+1)^2} = 0　より
>　s = φ^(2/3) + φ^(-2/3) ...

ここでサクっと解が求まるのは、裏でヴィエトの解法を使ってますか？
それとも黄金比を使った王道パターンがあるのでしょうか？

ヴィエトの解法 (参考: 前スレ >>432)
s^3 -3s -3 = 0 の実解を求める
a = ... = 2
θ = ... = arccos( 3/2 ) / 3 { θは虚数となる }
... ∴ e^(+3θ*I) = √{ (3+√5)/2 }
s= a*cos(θ) = 2*cos(1/3 * ln((3+√(5))/2) * I )　{他の2解は複素数となる}
　= 2*cosh( 2/3 * ln( √{(6+2√5)/ 4} ) )
　= 2*cosh( 2/3 * ln( (1+√5)/ 2 ) )
　= e^{+2/3 * lnφ} + e^{-2/3 * lnφ}
　= φ^(2/3) + φ^(-2/3)
494 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 00:14:26.64 ID:SfLQkZLB.net]: 訂正
誤 ... ∴ e^(+3θ*I) = √{ (3+√5)/2 }
正 ... ∴ e^(+3θ*I) = (3+√5)/2
495 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 00:19:46.53 ID:IxYiNKnI.net]: >>472
そうだよ
そして全て+を選択する場合が一番大きい
-を選択して途中で複素数になることもあるが絶対値は常に+を選択したものの方が勝ってるから大丈夫そう
496 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 00:24:37.20 ID:IxYiNKnI.net]: てか一度複素数になる符号選択をしたらその先実数には帰って来ないことが示せるか
497 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 00:57:08.12 ID:9U9sXAI2.net]: そうなのかな
符号の選択は f[5](x) ですら非常に複雑そう
https://www.wolframalpha.com/input/?i=0+%3D+%28%28%28%28%28x%5E2+-1%29%5E2+-2%29%5E2+-3%29%5E2+-4%29%5E2+-5%29

ところで、 f[n](x) の展開式（の係数）は明示的に書けるのかな
たとえば定数項 f[n](0) だけでもわからないだろうか
498 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 00:58:17.63 ID:U7f6nYy/.net]: >>473
この場合は実解１つなので
カルダノで解けます。
499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 01:03:08.50 ID:ENNOwnx+.net]: n次多項式f(x)で
f(1)f(2)...f(n)=f(n+1)
であるものを全て求めたいのですが分かりません。
1以上n以下のある整数mに対しf(m)=0、かつf(n+1)=0であれば成立するのは分かりました
500 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 01:16:05.31 ID:9U9sXAI2.net]: >>479
n = 2 の時点で自由度高すぎて無理そう
501 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 01:17:56 ID:IxYiNKnI.net]: >>479
一般にはニュートンの補間公式使って出せるはず
f(1)～f(n)をまず任意に与えて、最後に(n+1,f(1)f(2)…f(n))を通るように設定する
502 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 01:23:54 ID:IxYiNKnI.net]: ニュートンってかラグランジュか

具体的には
f(x)=Π[i=1,n](x-i)f(i)/n!+Σ[j=1,n]Π[i≠j](x-i)f(j)/(j-i)
503 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 01:27:16 ID:U7f6nYy/.net]: 　f(x) = n+1-x + (x-1)(x-2)････(x-n),
のとき
　f(1)=n,　f(2)=n-1,　････,　(n-1)=2,　f(n)=1,　f(n+1) = n!
504 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 01:36:24 ID:U7f6nYy/.net]: 1≦m≦n
　f(x) = (n+1-x)^m + (n!)^(m-1)･(x-1)(x-2)････(x-n),
でもいいか
505 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 01:40:22.41 ID:IxYiNKnI.net]: >>482
例えば
n=2のとき
f(1)=a、f(2)=b、f(3)=abとして
f(x)=(x-1)(x-2)ab/2+(x-2)(x-3)a/2-(x-1)(x-3)b

n=3のとき
f(1)=a、f(2)=b、f(3)=c、f(4)=abcとして
f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)abc/6-(x-2)(x-3)(x-4)a/6+(x-1)(x-3)(x-4)b/2-(x-1)(x-2)(x-4)c/2

このようにして一般の場合が求まる
506 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 01:42:32.35 ID:9U9sXAI2.net]: >>482
それで f(x) = (9/4)x^2 って拾ってこれる？
507 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 01:47:11.18 ID:IxYiNKnI.net]: >>486
上の例のn=2のときのaとbに9/4と9を代入すると出る
(x-1)(x-2)81/8+(x-2)(x-3)9/8-(x-1)(x-3)9=9/4x^2
508 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 01:50:45.98 ID:U7f6nYy/.net]: >>481
　g(x) はn次以下の多項式
　f(x) = g(x) + {g(1)g(2)････g(n) - g(n+1)}(x-1)(x-2)････(x-n)/n!
かな？
509 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 01:52:23.99 ID:9U9sXAI2.net]: >>487
あ、 Π[i≠j] の i は 1 から n+1 までを動くのか
なるほど、すごいな
510 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 01:54:00.64 ID:IxYiNKnI.net]: >>488
なるほど、その記述でも行けるね
511 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 01:55:37.27 ID:SfLQkZLB.net]: >>478
ありがとうございます。
512 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 05:34:50.62 ID:hHpaTy/b.net]: 画像の微分方程式の一般解の求め方を教えていただきたいです
院試が近いのですが高校レベルの数学すらあやふやなため全然分かりません
よろしくお願いします

https://i.imgur.com/zWFat3W.jpg
513 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/17(月) 10:44:30.40 ID:d0IFupQZ.net]: 笠原の微分積分学にf(x) - f(0) ～ g(x) - g(0)ならばf(x)～g(x)と書いてありますが、なぜでしょうか？
φ(x)～ψ(x)は両関数とも無限小でlim_{x->+0}φ(x)/ψ(x)=1を意味する記号です。
514 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/17(月) 10:49:22.70 ID:d0IFupQZ.net]: 笠原の本持っている人はp.85の一番上に書いてあるので参照してください。
515 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 11:11:20.54 ID:A0lhg88c.net]: >>493
f(x)-f(0)～g(x)-g(0)
の時はf()-f(0)もg(x)-g(0)も無限小だからf(0)=g(0)=0になるからかな？
516 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 11:14:18.56 ID:d0IFupQZ.net]: f(x)-f(0)->0だからといってf(0)=0は言えないと思います。
517 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/17(月) 11:28:32.40 ID:d0IFupQZ.net]: 笠原の本ですが、φ(x)=(1/x)*log(x)+1/x^2+o(1/x^2)のときo(φ(x)^2)=o(1/x^2)であると書いてありますが、これはなぜですか？(p.96一番上のあたり）
518 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 11:49:27.61 ID:A0lhg88c.net]: >>496
あ、失礼しました、そうですね
結局言えるのは
f(x)-f(0)～g(x)-g(0) ‥①
かつ
(0)=g(0)=0‥②
ならば
fx)～g(x)‥③
であつて①⇒③はもちろん言えませんね
(反例はf(x)=1+x, g(x)=x など)
ホントに①⇒③と読めるなら筆滑りの類いではないかと
519 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/17(月) 12:47:23.25 ID:d0IFupQZ.net]: 笠原の本ですが、φ(x)=(1/x)*log(x)+1/x^2+o(1/x^2) （x->∞）のときo(φ(x)^2)=o(1/x^2)（x->∞）であると書いてありますが、これはなぜですか？(p.96一番上のあたり）
520 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 13:12:07.37 ID:9U9sXAI2.net]: >>499
成り立たないと思う
f(x) = (φ(x)^2)/(log(x)) とすれば f(x) = o(φ(x)^2) だが、
x^2 f(x) = x^2 φ(x)^2 /(log(x)) = O(log(x)) → ∞
521 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 13:34:48.91 ID:d0IFupQZ.net]: >>498
ありがとうございます。
>>500
ありがとうございます。
ランダウの記号関係の話はあまり他の本にも載っていない内容ですので、丁寧に書いてあったとしたら良かったのですが、非常に雑なんです。
ちなみに、>>499は途中の計算で出てくるんですが、最終的な結果（以下に書きます）は間違っていないでしょうか？(pp.95-96)
(1+x)^(1/x) = 1 + (1/x)*log(x) + (1/(2*x^2))*(log(x))^2 + 1/x^2 + o(1/x^2) (x->∞)
522 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/17(月) 13:41:44.61 ID:d0IFupQZ.net]: 杉浦光夫の解析入門1のp.117問題1(iv)がまさに>>501の問題でした。
答えは、 1 + (1/x)*log(x) + (1/(2*x^2))*(log(x))^2 + o(|log(x)|^2/x^2) でした。
523 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 13:43:04.42 ID:d0IFupQZ.net]: どちらがあっているのか、あるいは両方あっているのか、あるいは両方間違っているのか？どなたかわかる方いらっしゃいますか？
524 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 14:27:26.15 ID:U7f6nYy/.net]: (1+x)^h = x^h・(1+1/x)^h

マクローリンで
　x^h = e^{h log(x)} = Σ[k=0,∞] (1/k!){h log(x)}^k,
一般二項公式で
　(1+1/x)^h = 1 + h/x + h(h-1)/(2x^2) + ････,

ここで h→1/x とおく。

>>499
　φ(x)^2 = O({log(x)/x}^2) = o(1/x^2)　(x→∞)

>>501 は正しい
525 名前：。 >>502 は x^(1/x) と思われる。 []: [ここ壊れてます]
526 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 14:37:27.75 ID:A0lhg88c.net]: (1+x)^(1/x)
=exp( (1/x)log(1+x) )
= 1 + (1/x)log(1+x)
. + (1/2)( (1/x)log(1+x) )^2
. +o( (1/x)log(1+x) )^2
に
(1/x)log(1+x)=(1/x)log(x)+1/x^2+o(1/x^2)
を代入したらできそう
527 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 14:41:03.75 ID:U7f6nYy/.net]: >>499
成立たないと思う

>>501 >>502
両方合っている
528 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 14:59:14.00 ID:SfLQkZLB.net]: >>492
(1) (x^2-y^2) y' = 2xy
∂F/∂x = -2xy q(x,y), ∂F/∂y = (x^2-y^2) q(x,y)
となる関数 F(x,y) を求めてみる。
問の微分方程式は dF = (∂F/∂x) dx + (∂F/∂y) dy = 0 と等価(※)である。(q(x,y)は積分因子)
∂∂F/∂x∂y = ∂∂F/∂y∂x を満たす必要 (連続条件とか積分可能条件とか) があるので、
-2xq -2xy ∂q/∂y = 2xq + (x^2-y^2) ∂q/∂x
(x^2-y^2)∂q/∂x + 2xy ∂q/∂y = -4xq {一見簡単になる気がしないが...}
q = 1/y^2 が条件を満たす。
よって ∂F/∂x= -2x/y,　 ∂F/∂y= x^2/y^2 - 1
∴ F(x,y) = -x^2/y - y = 2R {積分定数}
x^2 + (y - R)^2 = R^2　つまり陰関数解は円である。
陽解は　y = R ± √{R^2 -x^2}　 (-|R| ≦ x ≦ +|R|)
傾きが無限になる点 (x=±|R|) は極限点として許容されるだろう。
積分因子を考慮すると y = 0 (定数解)もまた解である。これは円族の極限でもある。
(※等価が言えるのは方程式が有意味な範囲のみ)
529 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 14:59:54.40 ID:SfLQkZLB.net]: >>492
(2) y' +2y = a*cos(2x)
Aを定数とすると
(Ae^{±i2x})’ + 2*Ae^{±i2x} = (2±2i)Ae^{±i2x}
よって特解は
y = a/2 * ( e^{+i2x}/(2+2i) + e^{-i2x}/(2-2i) )
　= a/2 * Re{ e^{+i2x}/(1+i) }
　= a/4 * Re{ (1-i)e^{+i2x} }
　= a/4 * ( cos(2x) + sin(2x) )
斉次一般解と合わせて
y = C * e^{-2x} + a/4 * ( cos(2x) + sin(2x) )
が一般解である。
530 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 15:06:52.34 ID:SfLQkZLB.net]: >>492
(3) y'+y/x = x^m y^m
これはWolframでカンニング
　DSolve[ y'[x]+y[x]/x == x^m y[x]^m, y[x],x ]
　... {{y[x]→(x^(1 + m)/2 - 1/2 m x^(1 + m) + x^(-1 + m) C[1])^(1/(1 - m))}}
よく分からんが ○^(1/(1 - m)) が肝なのだろう。 (こんなの思いつくわけがない...※)
f(x) = y^{1-m} と置いて
f' = (1-m) f/y * y' = (1-m)　f * (x^m /f - 1/x )
∴ f' -(m-1)f/x -(1-m)x^m = 0
f' -p(x) f - q(x) = 0 タイプの方程式解 ((2)でも使えるパターン) ...
f(x) = e^{+∫dx p} ∫dx( q e^{-∫dx p} )　　{p=(m-1)/x, q=(1-m)x^m}
= x^{m-1} ∫dx ( (1-m)x^m *　x^{1-m} )
= (1-m) x^{m-1} ( 1/2 * (x^2　- C^2) )　　{積分定数は後知恵で整えた}
よって
y = { (m-1)/2 * x^{m-1} ( C^2 - x^2 ) }^{1/(1-m)}　　( -|C| ≦ x ≦ |C| )
(もちろんWolfram解と等価である)

※手持ちの本をよく見たら、これはベルヌイの方程式のパターンだそうだ。
　たぶん見た事あるけど忘れてた。
531 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 15:27:42 ID:9U9sXAI2.net]: >>492
(1)は同次形（両辺を x^2 で割る）
(2)は線形
(3)はベルヌーイ形
532 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 16:59:37 ID:U7f6nYy/.net]: >>492
?　(xx-yy)(dy/dx) = 2xy,

　x = r cosθ,　y = r sinθ,
とおくと、与式は
　(dy/dx) = tan(2θ),
すなわち
　(動径OPと Pでの接線のなす角) = θ = (動径OPと x軸のなす角),
x軸が点Oでの接点だとすると、
2点O, Pにおける交角が相等しいことになる。
円周角の定理の逆により、Pの軌跡は O を通る円周。

同次形なので　u = y/x　とおく。
　x(du/dx) + u = (dy/dx) = 2xy/(xx-yy) = 2u/(1-uu),
より
　(1/x)dx = {(1-uu)/u(1+uu)}du = {1/u - 2u/(1+uu)}du,
　x = 2R u/(1+uu) = 2R xy/(xx-yy),　{2R:積分定数}
　x^2 + (y-R)^2 = R^2,
533 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 17:15:59.75 ID:U7f6nYy/.net]: >>492
③　(dy/dx) + y/x = x^m y^m,　　(mは2以上の定数)

　(1/x)(xy) ' = (xy)^m,
xy=v　とおくと
　(1/x)v ' = v^m,
　v^(-m) v' = x,
積分して
　-{1/(m-1)}v^(1-m) = -(CC-xx)/2,
　y = v/x = (1/x){(m-1)(CC-xx)/2}^{1/(1-m)},
534 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 17:27:47.63 ID:9U9sXAI2.net]: >>511
> x = 2R u/(1+uu) = 2R xy/(xx-yy),　{2R:積分定数}
> x^2 + (y-R)^2 = R^2,

違くね
上は双曲線
下は円
535 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 17:30:26.65 ID:SfLQkZLB.net]: >>509
(3)の解はやや不正確なので少し訂正

m: 偶数 ⇒ y = + { (m-1)/2 * x^{m-1} ( C - x^2 ) }^{1/(1-m)}　　
定義域: C>0 ⇒ { x<-C, 0<x<+C }, 　C≦0 ⇒ { x<0 },

m: 奇数 ⇒ y = ± { (m-1)/2 * x^{m-1} ( C - x^2 ) }^{1/(1-m)}　　
定義域: C＞0 ⇒ { |x|<C },　 C≦0 ⇒ 実解なし

とにかく根号内は正で y^(1-m) が～になれば良い。
536 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 17:43:29.81 ID:SfLQkZLB.net]: >>514 (再訂正)
m: 偶数 ⇒
　y = + { +(m-1)/2 * x^{m-1} ( C - x^2 ) }^{1/(1-m)}　　
　定義域: C >0 ⇒ { x<-C, 0<x<+C }, 　C≦0 ⇒ { x<0 }

　y = - { -(m-1)/2 * x^{m-1} ( C - x^2 ) }^{1/(1-m)}　　
　定義域: C >0 ⇒ { -C<x<0, +C< x}, 　C≦0 ⇒ { x＞0 }

yが負の領域に解は無いんか？と気付くべきだった。
537 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 18:01:17.35 ID:9U9sXAI2.net]: >>500
O(log(x)) だと証明になってないな
x^2 f(x) = log(x) + o(1) → ∞
だった
538 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/17(月) 18:52:36.21 ID:8hGqtSan.net]: >>386
wolfram入力可能に短縮した

Table[2n-1+C(0,n-2)+3C(1,(10mod n)-2)+5C(1,n-11)+3C(0,C(0,C(3,n-16)))+11C(0,n-22)+C(0,C(0,C(6,n-29))),{n,1,44}]
539 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/17(月) 18:56:04.87 ID:8hGqtSan.net]: わからない問題は

わからないままにしておくことによって

人々は幸せになる
540 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 19:04:22.65 ID:U7f6nYy/.net]: >>513
仰るとおり。
　x = 2R u/(1+uu) = 2R xy/(xx＋yy),
ですた。
541 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/17(月) 21:04:44.80 ID:d0IFupQZ.net]: >>499

>>499
笠原のをほぼ書き写しました。誰か解読してください。

f(x) = (1 + x)^(1/x)
log(f(x)) = (1/x)*log(1 + x) = (1/x)*log(x) + (1/x)*log(1 + 1/x) = (1/x)*log(x) + (1/x)*(1/x + o(1/x))
= (1/x)*log(x) + 1/x^2 + o(1/x^2) (x->∞)

f(x) = exp((1/x)*log(x) + 1/x^2 + o(1/x^2))
log(f(x))の各項はx->∞のときすべて無限小だからテイラー公式から
f(x) = 1 + ((1/x)*log(x) + 1/x^2 + o(1/x^2)) + (1/2)*((1/x)*log(x) + 1/x^2 + o(1/x^2))^2 + o(1/x^2) ← これがなぜ成り立つのか分からない。
= 1 + (1/x)*log(x) + (1/(2*x^2))*(log(x))^2 + 1/x^2 + o(1/x^2)) (x->∞)
542 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/17(月) 21:09:21.88 ID:d0IFupQZ.net]: >>520
こういう漸近展開は何がうれしくてこんな風に展開しているんですか？
xが大きい時にf(x)と1 + (1/x)*log(x) + (1/(2*x^2))*(log(x))^2 + 1/x^2の値が近いということが言えて嬉しいということですか？
でもどれくらいxが大きいときに、誤差はどれくらいといった情報は得られませんから意味あるのかな？って思いました。
543 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 21:35:29.73 ID:A0lhg88c.net]: >>521
まぁ言ってる事にそもそも意味が感じられないし面白くもないというなら無理して読まなくてもいいんではない？
ただ
f(x) = 1 + ((1/x)*log(x) + 1/x^2 + o(1/x^2)) + (1/2)*((1/x)*log(x) + 1/x^2 + o(1/x^2))^2 + o(1/x^2)
すなわち

f(x) = 1 + ((1/x)*log(x) + 1/x^2 + p(x)) + (1/2)*((1/x)*log(x) + 1/x^2 + q(x))^2 + r(x)
for some
p(x), q(x), r(x)
such that
lim p(x)x^2 = lim q(x)x^2 = lim r(x)x^2 = 0

くらいは自分で示せないとこの先何勉強してても行き詰まるよ
544 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 21:59:59.60 ID:IxYiNKnI.net]: 確かに言われてみればオーダー計算の正当性を示すことってあんま無いかもね
expくらい行儀のいい関数なら大丈夫だろうとやってしまいがちだけど特に物理と
545 名前：か []: [ここ壊れてます]
546 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 23:06:44.14 ID:9U9sXAI2.net]: 成り立たないんじゃないの？
誤差項付きのテイラー展開
exp(h) = 1 + h + h^2/2 + o(h^2) as (h→0)
において
h = (1/x)*log(x) + 1/x^2 + o(1/x^2) as (x→∞)
と置いたように見えるけど
h^2 には (log(x))^2 / x^2 の項が含まれるから x^2 を掛けたら発散するはず
o(h^2) = o((log(x))^2 / x^2) as (x→∞)
だと思うが
例えば
log(x)/x^2 = o((log(x))^2 / x^2) as (x→∞)
だが、 log(x)/x^2 = o(1/x^2) as (x→∞) ではない
547 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 23:12:02.48 ID:hHpaTy/b.net]: >>507ID:SfLQkZLBさんと>>511ID:U7f6nYy/さん丁寧に解説ありがとうございます
あとでじっくり勉強させていただきます

>>510
ありがとうございます
教科書とノートで解法を確認してみます
548 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 23:23:55.21 ID:IxYiNKnI.net]: >>524
ここでo(h^k)はo(h ^k)/h^k→0(h→0)の意味じゃないの？
oのとこに入ってるのは(logx)^3/x^3
>>520の式でも(logx)^2/x^2の項はoの外にいるから問題なさそうに見える
549 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 23:37:43.30 ID:A0lhg88c.net]: まぁランダウのoとかOは
exp(x)=1+x+x^2/2+O(x^3)
を実際に
exp(x)=1+x+x^2/2+p(x)
for some p(x)
such that
|p(x)/x^3| is bdd.
と書き直してみてみる事を何回かやらないと勘が身につかない
理屈だけわかってもそういう経験に裏打ちされた地力は身につかないからな
数学やるような奴はそこそこ地頭はいいのでそういう修練で身についてくる力を軽視しがち
550 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 23:44:44.45 ID:9U9sXAI2.net]: >>526
>>522と同じように書けば、
g(h) = o(h^2) as (h→0) の定義は lim[h→0] g(h)/h^2 = 0 でしょ？
h^2 = (log(x))^2 / x^2 + o(1) as (x→∞)
だから誤差項に (log(x))^2 / x^2 が残ってしまうと思う

> oのとこに入ってるのは(logx)^3/x^3

3乗はどこから出てきた？
O （ビッグオー）じゃなくて o （スモールオー）の話では？
551 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 23:50:21.29 ID:A0lhg88c.net]: >>628
exp(t)=1+t+t^2/2+O(t^3)
に
t=(1/x)log(x) + 1/x^2 + o(1/x^2)
を“代入”できるならわかる
“代入”できないなら
exp(t)=1+t+t^2/2+p(t)
t= (1/x)log(x) + 1/x^2 + q(x)
とキチンとp(x), q(x)と定数
|p(x)|<M|t^3|
とおいてみてホントに代入してみればわかる
552 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 23:51:10.61 ID:IxYiNKnI.net]: >>528
exp(h)=1+h+h^2/2+o(h^2)と書いてるけど
実際にoの中に入ってるのはh^3以降の項だから
553 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 23:53:41.61 ID:A0lhg88c.net]: おっと
|p(t)|<M|t^3|
ね。
代入すると
|p((1/x)log(x)+1/x^2+q(x))|
<M |((1/x)log(x)+1/x^2+q(x))^3|
となる
コレが何を意味するか
554 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 23:56:51.92 ID:9U9sXAI2.net]: >>529
>exp(t)=1+t+t^2/2+O(t^3)

ああ、そっちを使うのか
それなら確かに高々
O((log(x))^3 / x^3) だから x^2 O((log(x))^3 / x^3) = o(1) as (x→∞)
だね
555 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 23:59:30.03 ID:IxYiNKnI.net]: wolfram先生で確認したけど問題なさそう
https://www.wolframalpha.com/input/?i=+x%5E2%28%281%2Bx%29%5E%281%2Fx%29-%281+%2B+%281%2Fx%29ln%28x%29+%2B+%281%2F%282x%5E2%29%29%28ln%28x%29%29%5E2+%2B+1%2Fx%5E2%29%29++x+to+infinity&lang=ja
556 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/18(火) 00:37:28.47 ID:ymr8iYI5.net]: >>499
意味不明な
　o(φ(x)^2) = o(1/x^2)　　　(x→∞)
が混乱の元か？

>>516
　x^2 f(x) = O(log(x))　は、じゅうぶん大きいxについて
　m < | x^2 f(x)/log(x) | < M　　　(0<m<M<∞)
の意味とすれば、証明になってる。

>>520

log(x+1) = log(x) + log(1 + 1/x)
　= log(x) + 1/x - 1/(2x^2) + 1/(3x^3) - ･･･,　　　　 (マクローリン)

log(f(x)) = (1/x)log(x+1)
　= (1/x){log(x) + 1/x - 1/(2x^2) + 1/(3x^3) - ････ }

f(x) = exp[(1/x){log(x) + 1/x - 1/(2x^2) + 1/(3x^3) - ････ }]
　= 1 + (1/x){log(x) + 1/x - 1/(2x^2) + 1/(3x^3) - ････ }
　　+ {1/(2x^2)}{log(x) + 1/x - 1/(2x^2) + ････ }^2
　　+ {1/(6x^3)}{log(x) + 1/x - ････ }^3
　　+ {1/(24x^4)}{log(x) + ････ }^4
　　+ ････　　　　　　　　　　　　　　　(マクローリン)
となる。
1/x^2 の項まで残し 1/x^3, 1/x^4, ････の掛かった項を無視すれば
557 名前：
　1 + {log(x) + 0}/x + {(log(x))^2 /2 + 0･log(x) + 1}/x^2, []: [ここ壊れてます]
558 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/18(火) 00:41:35.53 ID:DzjNlXfM.net]: 結局、ペアノの剰余項を使うと上手くいかないが、
ラグランジュの剰余項を使えば上手くいくって話かな
559 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/18(火) 01:34:40.92 ID:diu24p4P.net]: 41000
14100
01410
00141
00014

のように、対角成分が4、それに隣り合う成分が1、他は0のn×nの対照行列の逆行列をnを使って表せ、というのがわかりません。
560 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/18(火) 02:07:15 ID:gMmy3zSo.net]: 対角化だ
561 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/18(火) 03:09:54 ID:FAW4nzc6.net]: wolfram大先生にn=6まで教えてもらったら推定できた
中々面白い
562 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/18(火) 07:33:33.22 ID:kwUXr7cM.net]: >>536
4の代わりにxってのが定番
563 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/18(火) 07:41:12.73 ID:3nFsHLKc.net]: >>536
問題の対称行列をAとする
ここで漸化式
f(0)=0, f(1)=1, f(n+2)+4f(n+1)+f(n)=0
を考えると、これは特性根α=-2+√3を使って
f(n)=(α^n-α^(-n))/2√3と解ける

n次行列Bをこのf(x)と階段関数θ(x)を使って
Bij= θ(i-j)f(i-j)-f(i)f(n+1-j)/f(n+1)
と定めるとこれがAの逆行列になっている

実際
恒等式f(n+1)f(i-j)=f(i)f(n+1-j)-f(n+1-i)f(j)からBは
Bij=θ(j-i)f(j-i)-f(j)f(n+1-i)/f(n+1)
とも書ける(対称行列である)が、この２通りの表示を使うことでAの逆行列であることが以下のように確かめられる
f(n)が漸化式を満たすことにより
縦ベクトル{f(i)}_iはAの第n行以外の横ベクトルたちと
縦ベクトル{θ(i-j)f(i-j)}_iはAの第j行と第n行以外の横ベクトルたちと
縦ベクトル{f(n+1-i)}_iはAの第1行以外の横ベクトルたちと
縦ベクトル{θ(j-i)f(j-i)}_iはAの第j行と第1行以外の横ベクトルたちと直交している
よって上の2通りのBの表示から縦ベクトル{Bij}_iはAの第j行以外の横ベクトルたち{Aik}_k(i≠j)と直交している
そして第j列の横ベクトル{Ajk}_kとの内積は1×(-θ(j+1-j)f(j+1-j))=-f(1)=1となる
これはAB=Eを意味している

うーん、もっといい表示と証明があるかも
まあ実際に行列を書いてみれば上の証明でやってることはとても単純な計算
564 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/18(火) 07:49:33.28 ID:3nFsHLKc.net]: >>540
訂正
誤そして第j列の横ベクトル{Ajk}_kとの内積は1×(-θ(j+1-j)f(j+1-j))=-f(1)=1となる

正そして第j行の横ベクトル{Ajk}_kとの内積は1×θ(j+1-j)f(j+1-j)=f(1)=1となる
565 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/18(火) 09:11:25 ID:0OeuZ5oX.net]: なぜ対数関数のテイラー展開はlog(1+x) = x - (1/2)*x^2 + …とlogの引数に1+xを渡した形の関数を展開しているのでしょうか？
log(x) = ∫_{1}^{x} 1/t dtと、積分範囲の下端が1なので確かに、xが1からプラスマイナスどれくらいかで考えるのは自然だとは思いますがなんか不思議です。
log(1+x)と引数を1+xにするとテイラー展開がシンプルになる深い理由はありますか？
566 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/18(火) 09:59:43 ID:nwyPKwDv.net]: 半径の異なる交わらない二つの円A,Bがある。
A,Bに接する円Cの中心の軌跡はどのような曲線か？
567 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/18(火) 10:04:30 ID:T16PAWUV.net]: 双曲線(の片側)
568 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/18(火) 10:22:23.91 ID:0OeuZ5oX.net]: >>520
みなさんありがとうございました。

自分なりの解答を作りました。

f(x) = exp((1/x)*log(x) + 1/x^2 + o(1/x^2))
log(f(x))の各項はx->∞のときすべて無限小だからテイラー公式から

f(x) = 1 + ((1/x)*log(x) + 1/x^2 + o(1/x^2)) + (1/2)*((1/x)*log(x) + 1/x^2 + o(1/x^2))^2 + (1/6)*((1/x)*log(x) + 1/x^2 + o(1/x^2))^3 + o(((1/x)*log(x) + 1/x^2 + o(1/x^2))^3)

o(((1/x)*log(x) + 1/x^2 + o(1/x^2))^3) = o(1/x^2)である。
証明：
p(x) = o(((1/x)*log(x) + 1/x^2 + o(1/x^2))^3)とする。
p(x) / (1/x^2) = [p(x) / ((1/x)*log(x) + 1/x^2 + o(1/x^2))^3]*[((1/x)*log(x) + 1/x^2 + o(1/x^2))^3 / (1/x^2)]
p(x) / ((1/x)*log(x) + 1/x^2 + o(1/x^2))^3 -> 0 (x->∞)は仮定から成り立つ。
((1/x)*log(x) + 1/x^2 + o(1/x^2))^3 / (1/x^2) = (log(x))^3/x + (log(x))^2/x^2 + log(x)/x^3 + 1/x^4 + o(1/x^2)
(log(x))^3/x, (log(x))^2/x^2, log(x)/x^3, 1/x^4はすべて無限小であるから
((1/x)*log(x) + 1/x^2 + o(1/x^2))^3 / (1/x^2) -> 0 (x->∞)が成り立つ。
∴p(x) = o(1/x^2)である。

∴f(x) = 1 + ((1/x)*log(x) + 1/x^2 + o(1/x^2)) + (1/2)*((1/x)*log(x) + 1/x^2 + o(1/x^2))^2 + o(1/x^2)
569 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/18(火) 11:30:41 ID:fCQwYtO8.net]: >>542
それはテイラー展開ではなくマクローリン展開だ。
logはx=0で定義されないんだからx=1でテイラー展開するのは自然な話で、それをマクローリン展開で実現しようとすればlog(1+x)とするのは当然のこと。
570 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/18(火) 11:32:26 ID:0OeuZ5oX.net]: >>546
x=2でテイラー展開しないのはなぜですか？
571 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/18(火) 12:35:58 ID:zQe0mW85.net]: 数ある正の数で選ぶなら1がきれいだとは思わんの？
どれかひとつ固定したら後は平行移動すればいいだけだし、わざわざ汚くなるような値を使う必要がない
572 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/18(火) 12:37:44 ID:0OeuZ5oX.net]: >>548
なぜx=1を選ぶと綺麗になるのでしょうか？その理由が知りたいです。
573 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/18(火) 12:38:04 ID:DzjNlXfM.net]: x = 0 における n 階の微分係数がきれいになるからくらいの理由じゃないの
574 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/18(火) 12:39:35 ID:0OeuZ5oX.net]: >>550
log(x) = ∫_{1}^{x} 1/t dtの積分範囲の下端が1であることと何か関係がありますか？
575 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/18(火) 12:43:06 ID:DzjNlXfM.net]: >>551
あんまり関係ない
強いて言うなら、 log(1) = 0 となるくらい
実際に log(a+x) の n 階微分を計算してみればいいんじゃね
576 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/18(火) 19:49:10 ID:ymr8iYI5.net]: >>540

問題のn次対称行列の行列式を f(n) とおくと
　f(0) = 1,　f(1) = x,　f(2) = xx-1,
(1行目、n行目、1列目、n列目のどれかを)展開すると、漸化式は
　f(n+2) - x f(n+1) + f(n) = 0,

一方、第二種チェビシェフ多項式は
　U_0(x/2) = 1,　U_1(x/2) = x,　U_2(x/2) = xx-1,
また、和積公式
　sin((n+3)θ) - 2cosθ･sin((n+2)θ) + sin((n+1)θ) = 0,
から
　U_{n+2}(x/2) - x U_{n+1}(x) + U_n(x/2) = 0,

これらを見比べれば
　f(n) = U_n(x/2),
となることは明らか。
577 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/18(火) 19:53:08 ID:ymr8iYI5.net]: (訂正)
また、和積公式
　sinｈ((n+3)θ) - 2cosｈθ･sinｈ((n+2)θ) + sinｈ((n+1)θ) = 0,

チェビシェフ多項式そのものは両方に使えるので。。。
578 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/18(火) 20:07:12 ID:ymr8iYI5.net]: (続き)
x=4 だから
f(n) = U_n(x/2)
　= U_n(2)
　= sinh((n+1)α)/(sinh α)
　= {(2+√3)^{n+1} - (2-√3)^{n+1}) / (2√3),
ここに
　cosh α = 2,　sinh α = √3,
579 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/18(火) 20:34:43 ID:3nFsHLKc.net]: 三項間漸化式を解くのになぜそこまでするんだ
それに問題は行列式ではなく逆行列を求めること
580 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/18(火) 20:46:41 ID:ymr8iYI5.net]: >>543
円A,Bの外部から接する円Cの中心は、小さい方の円寄りの枝にあり
円A,Bを内包して接する円Cの中心は、大きい方の円寄りの枝にある。
581 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/18(火) 21:24:39 ID:fCQwYtO8.net]: >>543
ともに外接する円とともに内接する円で一対の双曲線（焦点間の距離が半径の差）
一方に外接し、他方に内接する円でもう一対の双曲線（焦点間の距離が半径の和）
で、計2対4本の双曲線
582 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/18(火) 21:39:35 ID:fCQwYtO8.net]: カッコの中は勘違いや。忘れてくれ。
583 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/19(水) 00:07:45.14 ID:uCfGWuf7.net]: a,bをa>b>0の実数とする。
原点をOとするxy平面上の楕円C:(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1の焦点のうち、x座標が正であるものをFとする。
Cの周上を2点P,Qが∠POQ=θ(0<θ<π)であるように動くとき、∠PFQ=θとなるP,Qの座標をa,b,θで表せ。
584 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/19(水) 00:25:21.64 ID:Fkw4mj3H.net]: モチベーションが全く分からない
585 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/19(水) 01:02:32.55 ID:3QgWIytr.net]: >>543
交わらないってのは一方の円がもう一方の円の内部にある場合ってのもある。
その場合は２円の中心を焦点とする楕円。２円の片方の半径を∞にすると直線になり、もう片方の半径をゼロにすると点になり
その場合は放物線になる。（ゼロにしなくてもいいが）
586 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/19(水) 03:12:55 ID:igft8RME.net]: >>560
離心率: e = √(1-b^2/a^2)
587 名前：と置いて O=(0,0), F=(e*a,0) の2点を通る円 : (x - e*a/2)^2 + (y - √{ r^2 -(e*a/2)^2 })^2 = r^2 と楕円C との交点 P, Q {rの関数} を求める。 正弦定理より 2r sinθ = |PQ|、これより逆算して r = .. {θの関数} よって P=(.. , ..),　 Q=(.. , ..)　{θの関数} を得る。 シンプルな式になる気配が感じられないけど、もしかして自作問題？ sssp://o.5ch.net/1p721.png []: [ここ壊れてます]
588 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/19(水) 16:54:00 ID:sxH2M8gd.net]: >>557 >>558

円Aの中心を A(d/2,0) 半径を r_a
円Bの中心を B(-d/2,0) 半径を r_b
円Cの中心を P(x,y) 半径を R
　r_a + r_b < d = AB
とする。

・CがA,Bの外部から接するとき
　R = AP - r_a = BP - r_b,
　x = (rb-ra)√{1/4 - yy/[dd-(rb-ra)^2]},
・CがA,Bを内包するとき
　R = AP + r_a = BP + r_b,
　x = (ra-rb)√{1/4 - yy/[dd-(ra-rb)^2]},
・CがAの外部から接し、Bを内包するとき
　R = AP - r_a = BP + r_b,
　x = -(ra+rb)√{1/4 - yy/[dd-(ra+rb)^2]},
・CがAを内包し、Bの外部から接するとき
　R = AP + r_a = BP - r_b,
　x = (ra＋rb)√{1/4 - yy/[dd-(ra+rb)^2]}.
589 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/19(水) 17:00:25 ID:sxH2M8gd.net]: 訂正ｽﾏｿ.

　x = (rb-ra)√{1/4 ＋ yy/[dd-(rb-ra)^2]},

　x = (ra-rb)√{1/4 ＋ yy/[dd-(ra-rb)^2]},

　x = -(ra+rb)√{1/4 ＋ yy/[dd-(ra+rb)^2]},

　x = (ra+rb)√{1/4 ＋ yy/[dd-(ra+rb)^2]}.
590 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/19(水) 17:35:33 ID:sxH2M8gd.net]: >>562

円Aの中心を A(d/2,0) 半径を r_a
円Bの中心を B(-d/2,0) 半径を r_b
円Cの中心を P(x,y) 半径を R
　d + r_a < r_b　　（円Aが円Bに内包される)
とする。

・CがAの外部から接し、Bに内接するとき
　R = AP - r_a = r_b - BP,
　x = ±(ra+rb)√{1/4 － yy/[(ra+rb)^2 -dd]},

・CがAを内包し、Bに内接するとき
　R = AP + r_a = r_b - BP,
　x = ±(ra-rb)√{1/4 － yy/[(rb-ra)^2 -dd]}
591 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/19(水) 20:20:55 ID:+QLaSPbD.net]: a^a - (a+b)^(a-b) = a - b
を満たす正の整数a,bを全て求めよ。
592 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/19(水) 22:22:09 ID:Fkw4mj3H.net]: >>567
(a, b) = (1, 1), (2, 1) のみだと思われる
整数の問題というよりも不等式の問題だろうか
a ≦ 2 のときは、必要条件 b ≦ a より総当たりで上の解に限られることがわかる
a > 2 なら、証明はわからないが、不等式
a^a - (a+b)^(a-b) > a - b
が成立するはず
グラフを書けば明らかに思えるが、上手い証明が思いつかない
というかこれも自作問題か？
593 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/19(水) 23:59:41.32 ID:G5+SSCRd.net]: f(x)=x³-x²-x-1, g(x)=x²-x-1 とする

(1) xの方程式 f(x)=0 はただひとつの実数解αをもち、それは 1<α<2 であることを示せ
(2) xの方程式 g(x)=0 の正の解をβとして、αとβの大小を比較せよ
(3)α²とβ³の大小を比較せよ

(3)の一般に想定される解法はβの具体的な値を求めてから、その値を字数を下げた式
β³=β･β²=β(β+1)=β²+β=(β+1)+β=2β+1
に代入し、1<α²<4 と比較するものです

しかし、もっと鮮やかな解法がありそうな気がします。もし思いついた人があれば教えてください。
594 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/20(木) 00:33:32 ID:z5KAMp1q.net]: >>569
比較って大小関係がわかれば良いの？
それなら(2)から 1 < α < β がわかるから、
α^2 < β^2 < β^3
とするだけだと思うけど
逆にその「一般に想定される解法」は何がしたいのかわからない
595 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/20(木) 00:36:41 ID:yQsZ+/Ix.net]: >>570
β<α だと思いますが
596 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/20(木) 00:37:20 ID:z5KAMp1q.net]: >>570
計算ミスしてた
忘れてください
597 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/20(木) 00:49:23 ID:qQP5w1gK.net]: xyz空間の原点Oを頂点、円C:x^2+y^2=r^2(z=H)を底円とする直円錐Vがあり、Vの0≦z≦h(0<h<H)の部分は水で満たされている。
いまC上の1点から、Cの接線方向に質量mの質点を射出すると、質点は円錐の内側面に沿って下降し始
598 名前：めた。 Vと質点の間に摩擦はないものとして、以下の問に答えよ。 （1）質点が円錐の側面上h<z<Hを動いているときの速さ|v|を求めよ。 （2）質点が水中に入った後も、円錐の内側面に張り付いたまま原点まで下降することは可能か。 []: [ここ壊れてます]
599 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/20(木) 01:07:36 ID:z5KAMp1q.net]: >>569
β の具体的な値を使うのが嫌なら、
g(3/2) < 0 より β > 3/2 だから、
β^3 = 2β+1 > 4 > α^2
とかかな
600 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/20(木) 01:29:20 ID:z5KAMp1q.net]: >>569
もう一つ思いついた
g(4) = 11 を利用して、
g(β^3) = 7β+4 > 11 = g(4) より
β^3 > 4 > α^2
601 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/20(木) 01:29:22 ID:IC23kD8y.net]: >>567-568
式の整数性よりa≧b
a-b=0のときa^a=1より(a,b)=(1,1)となる
a-b=1のときa^a=2aより(a,b)=(2,1)となる

以下、a-b≧2(自動的にa≧3)のときを考える
a=3のとき(a,b)=(3,1)は不適なのでa≧4となる
さてf(x)=(1+x)^(1/x-1)は対数微分を計算することで
(0<x<1)で単調減少(f(0)=e,f(1)=1)がわかるので
1<(1+b/a)^(a/b-1)<eとなっている
これを使うと
a^a-(a+b)^(a-b)
=a^(a-b)(a^b-((1+b/a)^(a/b-1))^b)
>a^2(a^b-e^b)
≧4a(4^b-e^b)
>4a>a-b
となり、(左辺)>(右辺)より解がないことがわかる
602 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/20(木) 01:37:32.64 ID:RgKSKKaD.net]: >>573
＞質点は円錐の内側面に沿って下降し始めた。
の理由が不明でどうしようもない。接線方向に射出したら円錐を離れて明後日の方向に飛んでいくはずだろう。
問題文の設定には記述されていない未知の力が働いたり質点の動きになんらかの制約があるとしか思えない。
＞Vと質点の間に摩擦はないものとして
働いてない力の情報なんかいらないから、働いている力はすべて記述してくれ。書かれていない条件は勝手に想定しないよ。物理じゃないんだから。

総じて数学の問題としては不備だらけで答えようもない。
603 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/20(木) 03:29:05.84 ID:hteSSTrX.net]: (1)
　α = {1 + (19-3√33)^(1/3) + (19+3√33)^(1/3)}/3
　= 1.839287 < 2,

(2)
　β = (1+√5)/2 = 1.618034　(黄金比)
　α > β

(3)
　β^3 = β(β+1)
　　= (1/β +1)(β+1)
　　> (1+1)^2　　　(コーシー)
　　> α^2,
604 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/20(木) 03:58:31 ID:hteSSTrX.net]: >>528
"the Big O" opening/intro theme
www.youtube.com/watch?v=Cdae0z2S06c 01:11,
www.youtube.com/watch?v=s7_Od9CmTu0 01:08
www.youtube.com/watch?v=GOzphFKZAFk 01:13
605 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/20(木) 13:34:50.77 ID:z5KAMp1q.net]: >>569
こんなやり方もある
β^2 = β + 1
の両辺を 3 乗すると、
β^6 = β^3 + 3β^2 + 3β + 1
= β^3 + 3β(β+1) + 1
= 4β^3 + 1
となるので、 h(x) = x^2 - 4x - 1 とすると、 β^3 は方程式 h(x) = 0 の解となる。
h(x) = x(x-4) - 1 より明らかに h(0) < 0 かつ h(4) < 0 であるので、
方程式 h(x) = 0 は 2 つの異なる実数解をもち、それらはそれぞれ x < 0, x > 4 の範囲にある。
β > 0 より β^3 > 0 であるから、したがって β^3 > 4
ゆえに β^3 > 4 > α^2
606 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/20(木) 17:12:53 ID:hhi5WZv2.net]: >>569
f(3^(1/2))<0,f(4^(1/2))=f(2)>0 → 3 < α^2 < 4
g(4^(1/3))<0,g(5^(1/3))>0 → 4 < β^3 < 5
607 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/20(木) 19:23:46 ID:hteSSTrX.net]: >>569
(1)
f '(x) = 3xx -2x -1 =(x-1)(3x+1)
　f(-1/3) = -22/27 < 0,　(極大)
　f(1) = -2 < 0,　　(極小)
　f(5/3) = -22/27 < 0,
　f(2) = 1 > 0,
より
　5/3 < α < 2,

(2)
　g(1) = -1 < 0,
　g(5/3) = 1/9 > 0,
より
　1 < β < 5/3
608 名前：, f(x) = x･g(x) - 1, (α-β)(α+β-1) = g(α) - g(β) = {f(α)+1}/α - g(β) = 1/α > 0, ∴　α>β []: [ここ壊れてます]
609 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/21(金) 00:20:03.17 ID:nVrIq2ZG.net]: a,bをa>b>0の実数の定数とする。
xy平面の楕円C:(x/a)^2+(y/b)^2=1の周上にない点で、以下の条件を満たすもの全体からなる集合Sを考える。

『その点を通り、Cと直交する直線がちょうど4本存在する（ただし直線とCが直交するとは、直線とCの交点において、直線とCの接線が直交することを指す）』

Sが表すxy平面上の領域を求めよ。
610 名前：１３２人目の素数さん mailto:563 [2020/08/21(金) 02:51:27 ID:xwxyDQp9.net]: >>560
θ=0 の時の P(=Q) の座標だけは解析解が得られたのでここに記す。

離心率: e=Sqrt[1-(b/a)^2] として
b < a ≦ 2b ⇒
　x = a*(3 - (Sqrt[3]*Sqrt[-1 + 9*e^2 + 4*e^4 - (1 + 4*e^2)^(3/2) + Sqrt[2]*Sqrt[1 + 26*e^4 +176*e^6 + 32*e^8 + (1 + 4*e^2)^(3/2) - 6*e^2*(1 + 4*e^2)^(3/2) - 16*e^4*(1 +4*e^2)^(3/2)]])/e)/(6*e)
　y = b*Sqrt[ 1- (x/a)^2 ]

a ＞ 2b ⇒
　x = a*(3 + (Sqrt[3]*Sqrt[-1 + 9*e^2 + 4*e^4 - (1 + 4*e^2)^(3/2) - Sqrt[2]*Sqrt[1 + 26*e^4 +176*e^6 + 32*e^8 + (1 + 4*e^2)^(3/2) - 6*e^2*(1 + 4*e^2)^(3/2) - 16*e^4*(1 +4*e^2)^(3/2)]])/e)/(6*e)
　y = b*Sqrt[ 1- (x/a)^2 ]

接触円の中心点: H
|h| = a*( Sqrt[1-12e^2 + Sqrt[1+4e^2]^3] )/(Sqrt[8] Sqrt[1-e^2])
　b < a ≦ 2b　⇒　H=(e*a, +|h|)
　a ＞ 2b　⇒　H=(e*a, -|h|)

https://imgur.com/a/RaAJa4r
GeoGebraで描いてみた。もちろん P点の位置決めに Intersect機能は使っていない。
611 名前：563 mailto:sage [2020/08/21(金) 03:03:34 ID:xwxyDQp9.net]: >>584
導出の方針
・楕円: (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
・接触円: (x-e*a/2)^2 + (y-h)^2 = (e*a/2)^2+h^2

(1) 楕円と円の連立式から xについての4次多項式が得られ、その判別式から、h^2 =... を得る。

(2) h^2=...を代入した4次多項式 {LHS}　と　重根ありの4次多項式 (x-α)^2 (x^2 + βx + γ) {RHS}
　その係数関係から x = α を導く。 LHSの3次項が消えるようにズラすと簡単になる。
　表式中の符号選択に迷う箇所が2つあり、そこはグラフを動かして発見的に求めた。解の連続性を考えれば問題はないはず。

場合分けの境界点
・(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
・(x-e*a/2)^2 + y^2 = (e*a/2)^2
　→ (1-(b/a)^2) x^2 - e*a*x + b^2 = 0
判別式より a=2b
hの表式より 1-12e^2 + Sqrt[1+4e^2]^3 = 0 となる。ここから逆算しても求められる。

境界での P座標は
　 (x,y) = a * ( 1/Sqrt[3], 1/Sqrt[6] )
とシンプルになる。
612 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/21(金) 17:35:52.08 ID:1oj4sGG5.net]: D = {z ∈ C | |z - 1| < cosα, |Arg(1 - z)| < α}とする。z ∈ D ⇒ |z| < 1を証明せよ。
613 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/21(金) 18:28:16.63 ID:GUw9f3Wz.net]: f(x)=lim[n→∞] (x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)....(x-a_n)　　（a_iは実数）
が有界であるための数列{a_i}の必要十分条件はどうなるのでしょうか？
614 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/21(金) 18:45:57 ID:18CWivAF.net]: >>587
有限個の i を除いて |x - a_i| ≦ 1 じゃね
615 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/21(金) 18:55:27 ID:18CWivAF.net]: >>588
違った
Π[n=1,∞] (1 + 1/n^2) は収束するらしい
616 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/21(金) 19:22:49.31 ID:eKSCCB4p.net]: >>586
題意により
　z∈D　⇒
　(1-x) = |1-z| cos(Arg(1-z)) > |1-z| cosα > |1-z|^2,　････ (*)
また
　|1-z|^2 = (1-x)^2 + y^2,
だから
　|z|^2 + |1-z|^2 = x^2 + (1-x)^2 + 2y^2
　　= 1 - 2(1-x) + 2|1-z|^2
　　< 1,　　(← *)
617 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/21(金) 19:30:12.93 ]: [ここ壊れてます]
618 名前： ID:eKSCCB4p.net mailto: 違った
Π[n=1,∞] (1 + xx/(nπ)^2) = sinh(x)/x　となるらしい。

(オイラの無限乗積表示) []: [ここ壊れてます]
619 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/21(金) 20:21:42.09 ID:eKSCCB4p.net]: >>590
三角不等式から
　|z|^2 + |1-z|^2 < 1 ≦ |z| + |1-z|,
620 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/21(金) 20:32:08 ID:eKSCCB4p.net]: |z|^2 + |1-z|^2 = 2|1/2 - z|^2 + 1/2,
より
|z|^2 + |1-z|^2 < 1　　⇔　　|1/2 - z| < 1/2,
621 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/21(金) 20:49:44 ID:Ate3H8P0.net]: 周の長さが2の△ABCにおいて、BC=2aとおく。

（1）実数aの値が変化するとき、その取りうる値の範囲を不等式で表せ。

（2）△ABCの内角∠Aの二等分線とBCとの交点をDとし、Aを通りADと直交する直線をlとする。またBを端点とする半直線BAの、Aに関してBと反対側に点Eをとる。このとき直線lが∠EACを2等分することを示せ。
622 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/21(金) 20:50:19 ID:18CWivAF.net]: >>587
簡単な条件に書くのは無理なんじゃないかな
有界数列は有界数列としかいえないのと同じで、強いて言うなら数列
P[n] := Π[k=1,n] (x-a_k)
が有界ということだが、これはただの言い換えでしかない
収束ならコーシーの条件があるけど、有界だけだとどうにも
例えば、 a_{2k} = x + 1/2, a_{2k+1} = x + 2 とすると、
P[n] は有界だが収束しない
一方、 a_k = x - (1 + 1/k) とすると、 a_k → x-1 (k→∞) だが、
lim[n→∞] P[n] = Π[n=1,∞] (1 + 1/n) = ∞
623 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/21(金) 21:06:25 ID:8HBHIz0K.net]: >>586
Dが空ならok
Dが非空なら0<cosαより-π/2<α<π/2
zは1を中心とする半径cosαの円内にあり
かつ中心1からみた偏角θはπ-α<θ<π+α
この領域は0,1,cosβe^(±iβ)を頂点とする菱形
の内部にあり(β=π/2-αとおいた)
よって領域は単位円内に存在する
624 名前：イナ mailto:sage [2020/08/21(金) 21:58:26.20 ID:Ly2a2ymO.net]: 前>>447
>>594
(1)2-2a＞2a
2＞4a
a＜1/2
また2a＞0
よって0＜a＜1/2
(2)角BAC+角EAC=180°
辺々を2で割ると角BAC/2+角EAC/2=90°
角CAD+角EACのC側の半分=90°
すなわち角CADを二分する直線と角EACを二分する直線はたがいに直交する。
∴示された。
625 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/21(金) 22:04:37.43 ID:8HBHIz0K.net]: f(x)が有界になるxの範囲が非空なためのa_iの条件
さらにそのようなxが一点でない場合の条件
とかなら考えても面白いかもね

xの範囲が一点でない場合、f(x)はその範囲のほとんどの点で0になりそうだけど、どうだろう
626 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/21(金) 22:53:02.29 ID:1AD6M5we.net]: xy平面をxy平面上のn本の異なる直線で分割してできる領域の数を考える。なおここで言う領域には、閉領域・開領域のいずれも含まれる。

（1）このようにしてできる領域の数の最大値をnで表せ。

（2）このようにしてできる領域の数は、n+1から（1）で求めた最大値まで複数通りある。それは何通りであるか、nで表せ。
627 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/21(金) 23:17:04 ID:mOF0Fo1E.net]: (1) (n^2+n+2)/2
(2) (n^2-n+2)/2
628 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/21(金) 23:25:45 ID:18CWivAF.net]: >>598
>xの範囲が一点でない場合、f(x)はその範囲のほとんどの点で0になりそう

a_n が x に依存しない数列で、 f(x) が収束するならそうだろうね
無限積が 0 でない値に収束するなら項の数列は 1 に収束しなければならないから、
x-a_n → 1 (n→∞) なら、任意の実数 α に対して、x+α-a_n → α+1 (n→∞)
となるので、 f(x) が収束して ≠ 0 なら α = 0 でなければならない
629 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/21(金) 23:29:45 ID:5qiPpY9M.net]: 異なるω_0, ..., ω_nに対してn + 1正方行列

(ω_i^j)_i,j

の行列式
630 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/21(金) 23:43:25 ID:8HBHIz0K.net]: >>601
もちろん収束するならそう

>>602
Π[i=0,n]ω_i Π[i<j](ω_i-ω_j)
631 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/22(土) 02:14:30 ID:ymtf6p4s ]: [ここ壊れてます]
632 名前：.net mailto: >>586 を改良････
D = {z ∈ C | |z - 1| < cosα, |Arg(1 - z)| < α}とする。
z ∈ D　⇒　|z-1/2| < 1/2 を証明せよ。 []: [ここ壊れてます]
633 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/22(土) 02:25:36 ID:MNXWYBPS.net]: >>604
>>596の菱形は01を直径とする円に内接してるから
領域はその円の内部すなわち|z-1/2|<1/2にある
634 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/22(土) 03:10:26 ID:ymtf6p4s.net]: >>599 (2)
n本の直線を、平行性によって分類する。
各類に含まれる直線の本数を m_i (i=1,…,k) とする。
　m_1 + m_2 + ････ + m_k = n,
このときできる領域の総数は
　1 + n(n+1)/2 - Σ[i=1,k] m_i(m_1 - 1)/2,

ところで、
nをいくつかの自然数の和で表わす方法の数は分割数 p(n)
(2) の答え ≦ p(n)
n≦11 では p(n) ≦ (nn-n+2)/2 なので
　p(n) とおり以下のはず････
635 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/22(土) 11:20:04.76 ID:QJgAg0uf.net]: n+1
Σ 1/i
i=3

よろしくお願いします。解答が間違っていたので。
636 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/22(土) 11:23:32.71 ID:QJgAg0uf.net]: 各項を書き並べて書け。という問題です
637 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/22(土) 12:28:10.46 ID:TylVx0O5.net]: 問題なのかよ
「かきとり」と同レベルじゃん
638 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/22(土) 13:31:03 ID:QJgAg0uf.net]: 1/3+1/4....+

の最後はどう書けばいいでしょうか？

nまでだったら
...+1/(n+2)

だと思うのですが、n+1までなので

1/3+1/4...+1/(n+2)+1(n+3)

となるのでしょうか
639 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/22(土) 13:33:15 ID:/19nG2X7.net]: 何言ってんのw
640 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/22(土) 13:39:08.47 ID:hYx9dCgX.net]: >>610
n+1
Σ 1/i
i=3

この記号は、1/iのiに3からn+1まで代入して合計するという意味です。
なので、1/3 + 1/4 + … + 1/(n+1)
が正解です。
641 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/22(土) 13:49:37.55 ID:I9MUO/8V.net]: 1/iのiにn+1を代入したら1/(n+1)だろ

n+1
Σ
i=3
ってのは、i=3から始まる(n+1)項の和って意味じゃないぞ
i=3から始まってi=n+1までの和って意味だ
642 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/22(土) 13:50:28.72 ID:I9MUO/8V.net]: ありゃ、リロード出来てなかった
643 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/22(土) 13:53:29.67 ID:tMe/q/9E.net]: 0189 １３２人目の素数さん 2020/08/22 12:05:05
n+1
Σ 1/i
i=3

各項を書き並べて書け、という問題。
解答がなかったのでお願いします
ID:QJgAg0uf

0190 １３２人目の素数さん 2020/08/22 12:36:01
マルチ
ID:TylVx0O5
644 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/22(土) 13:53:34.67 ID:5Q5lMGyj.net]: サイコロ6個振って目の合計が26を超える確率をマルコフ不等式とチェビシェフ不等式を使って評価せよ

マルコフ不等式が21/26以下だと思うのですが、チェビシェフ不等式がわかりません
よろしくお願いします
645 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/22(土) 13:56:04.99 ID:QJgAg0uf.net]: なるほど、基本が欠如していました。ありがとうございます
646 名前：イナ mailto:sage [2020/08/22(土) 15:59:59.40 ID:uH5uOOQL.net]: 前>>597
>>616
1+1+6+6+6+6=24超えない。
出目の数の合計が36
6回とも6が出る確率は1/6^6=1/46656
出目の数の合計が35
1回だけ5が出てあとは6の確率は5が何回目に出るか6通りあるから(1/6^6)×6=1/7776
出目の数の合計が34
5が2回出てあとは6の確率は5が何回目と何回目に出るか15通りあるから(1/6^6)×15=15/46656=5/15552
1回だけ4が出てあとは6の確率は4が何回目に出るか6通りあるから(1/6^6)×6=1/7776
あわせて5/15552+1/7776=7/15552
出目の数の合計が33
つづく……
647 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/22(土) 17:29:54.92 ID:U0iCzex9.net]: a^b+b^c=c^a
を満たす自然数は無数に存在するか？

という問題が解決できません。フェルマー予想を見て思いつきました。
解の１つとして(a,b,c)=(1,1,2)は分かりました。
x<yでは殆どの場合y^x<x^yなので、それを利用して、ごく一部の例外を除きmin(a,b,c)=cであることを示す→cの値を絞り込むという流れを考えたのですが、私の力では絞り込みがうまくできませんでした。
ご教授
648 名前：いただけますと幸いです。よろしくお願いします。 []: [ここ壊れてます]
649 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/22(土) 18:36:16.88 ID:SGuwN39p.net]: >>616
１０００万回シミュレーションした結果

> # サイコロ6個振って目の合計が26を超える確率
> sim <- function() sum(sample(6,6,replace = TRUE)) > 26
> mean(replicate(1e7,sim()))
[1] 0.0963488
650 名前：イナ mailto:sage [2020/08/22(土) 19:29:22.63 ID:uH5uOOQL.net]: 前>>618つづき。
>>616
出目の数の合計が33
3回5であとは6の確率は5の出方によって20通りあるから(1/6^6)×20=5/11664
4と5が1回ずつであとは6の確率は(1/6^6)×30=5/7776
1回だけ3であとは6の確率は(1/6^6)×6=1/7776
あわせると5/11664+5/7776+1/7776=1/11664+1/1296
=(1+9)/11664
=10/11664
=5/5832
出目の数の合計が32
4回5であとは6の確率は5が2回であとは6の確率と同じで(1/6^6)×15=5/15552
1回だけ4で5が2回であとは6の確率は、
1回目に4が出て5が何回目と何回目に出るか10通りあって4が何回目に出るか6通りあるから10×6=60通りあって(1/6^6)×60=10/6^5=10/7776=5/3888
4が2回であとは6の確率は5が2回であとは6の確率と同じで(1/6^6)×15=5/15552
3と5が1回ずつであとは6の確率は4と5が1回ずつであとは6の確率と同じで(1/6^6)×30=5/7776
1回だけ2であとは6の確率は(1/6^6)×6=1/7776
あわせると5/15552+5/3888+5/15552+5/7776+1/7776=(5+20+5+10+2)/15552
=42/15552
=21/7776
=7/2592
出目の数の合計が31
5回5で1回だけ6の確率は6/6^6=1/6^5=1/7776
1回だけ4で3回5であとは6の確率は1回だけ4で5が2回であとは6の確率と同じで5/3888
2回4で1回だけ5であとは6の確率も同じで5/3888
3と4が1回ずつであとは6の確率は何回も出てきてるのと同じで5/7776
2と5が1回ずつであとは6の確率も5/7776
1回だけ1であとは6の確率は1/7776
あわせると1/7776+5/3888+5/3888+5/7776+5/7776+1/7776=12/7776+10/3888
=(3+5)/1944
=1/243
出目の数の合計が30
出目の数の合計が29
出目の数の合計が28
出目の数の合計が27
すべて足すと出目の数の合計が26を超える確率は、
651 名前：イナ mailto:sage [2020/08/22(土) 21:56:37.44 ID:uH5uOOQL.net]: 前>>621つづき。
>>616
出目の数の合計が30
1+5+6+6+6+6=30確率5/7776
2+4+6+6+6+6=30確率5/7776
3+3+6+6+6+6=30確率5/15552
2+5+5+6+6+6=30確率5/3888
3+4+5+6+6+6=30確率(1/6^6)×6×5×4=5/1944
4+4+4+6+6+6=30確率5/11664
3+5+5+5+6+6=30確率5/3888
4+4+5+5+6+6=30確率(1/6^6)×
4+5+5+5+5+6=30確率5/15552
5+5+5+5+5+5=30確率1/46656
出目の数の合計が29
出目の数の合計が28
出目の数の合計が27
652 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/22(土) 23:47:46 ID:kkVGJmRy.net]: >>620
どうせPCに頼るなら 6^6 (= 46656) 通りの総チェックしたらええがな。
> １０００万回シミュレーション
そんだけやっておいて 0.096までしか合ってないってマヌケにもほどがある。
653 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/23(日) 00:23:42.78 ID:Gb0PIA1m.net]: >>622
イナってどこの劇団員だっけ？
654 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/23(日) 07:43:14.97 ID:qhSoFq1l.net]: >>606
例)　nが小さいとき

n,　(nn-n+2)/2,　p(n),　q(n)=#M,　M
------------------------------------------------
1,　1,　1,　1,　{2}
2,　2,　2,　2,　{3,4}
3,　4,　3,　3,　{4,6,7}
4,　7,　5,　5,　{5,8,9,10,11}
5,　11,　7,　7,　{6,10,12,13,14,15,16}
6,　16,　11,　9,　{7,12,15,１６,18,１９,20,21,22}
7,　22,　15,　13,　{8,14,18,19,20,22,２３,24,25,２６,27,28,29}
8,　29,　22,　18,　{9,16,21,22,24,25,26,27,28,29,３０,３１,32,３３,３４,35,36,37}
9,　37,　30,　21,　{10,18,24,25,28,３０,31,33,３４,35,３６,３７,38,３９,４０,41,４２,４３,44,45,46}
10,　46,　42,　27,　{11,20,27,28, ････, 56}
---------------------------------------------
{q(n)} = {1,2,3,5,7,9,13,18,21,27,････}
oeis.org/A069999

Mの最小元は n+1, 最大元は (nn+n+2)/2 だが隙間や重複がある。
　とくに類数kが小さいところでは隙間が多い。
　(n)　→　n+1
　(n-1,1)　→　2n,
　(n-2,2)　→　3n-3,
　(n-2,1,1)　→　3n-2,
　
　(2,1,･･･,1)　→　(nn+n)/2,
　(1,1,････,1)　→　(nn+n+2)/2,
655 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/23(日) 08:05:04.26 ID:jONCOSgj.net]: >>623
起こる頻度が少ないのをシミュレーションするからそんなものだろ。
656 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/23(日) 08:40:25 ID:qhSoFq1l.net]: >>616
出目の合計,　確率
------------------------------
36,　1/6^6,　　>618
35,　6/6^6,　　>618
34,　21/6^6,　　>618
33,　56/6^6,　　>621
32,　126/6^6,　　>621
31,　252/6^6,　　>621(*)
30,　456/6^6,　　>622(**)
29,　756/6^6,
28,　1161^6^6,
27,　1666/6^6,
--------------------------------
計,　(1666+1161+756+456+252+126+56+21+6+1)/6^6
　= 4501/6^6 = 0.09647205

(*)　(355666)　が抜けてます。
(**)　(455556)　の確率が半分です。
657 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/23(日) 09:37:08.49 ID:prx/bVbe.net]: ある製品の寿命について、その累積分布関数は以下の通り与えられている。
F(x)=λexp(-λx) (0≦x)

(1)確率密度関数f(x)を求めよ。

(2)期待値、中央値、第一四分位数をそれぞれ求めよ。
658 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/23(日) 09:44:31.28 ID:nKOizBja.net]: >>623
111111～666666を０から６＾６－１を６進数で表示して
各桁の和が２６－６より大きくなるようにプログラムして総当たりしてみた。

dec2n <- function(num, N, digit = 6){
r=num%%N
q=num%/%N
while(q > 0 | digit > 1){
r=append(q%%N,r)
q=q%/%N
digit=digit-1
}
return(r)
}
pm=sapply(0:(6^6-1),function(x) dec2n(x,6))
f<-function(x) sum(x) > 26-6
s=sum(apply(pm,2,f))
S=ncol(pm)
cat(s,'/',S,'\n')
s/S

> cat(s,'/',S,'\n')
4501 / 46656
> s/S
[1] 0.09647205
659 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/23(日) 09:50:24.56 ID:nKOizBja.net]: >>628
(1) pdf = -λ^2exp(-λx)
660 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/23(日) 09:56:14.98 ID:nKOizBja.net]: >>630
こっちだな、
-e^x (1 + x) λ^2
661 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/23(日) 09:58:27.42 ID:nKOizBja.net]: ソフトに微分してもらったら、>630でいいみたいだな。

> D(expression(λ*exp(-λ*x)),'x')
-(λ * (exp(-λ * x) * λ))
662 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/23(日) 10:21:17 ID:psmbwW3A.net]: >>628
その分布関数単調増大じゃないやろ
663 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/23(日) 10:25:10 ID:jONCOSgj.net]: >>633
それで期待値が-1なったのか
664 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/23(日) 10:26:05 ID:jONCOSgj.net]: >>627
数を数えるのもプログラムにさせてみた。

table(x)
x
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
1 6 21 56 126 252 456 756 1161 1666 2247 2856 3431 3906 4221 4332
22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
4221 3906 3431 2856 2247 1666 1161 756 456 252 126 56 21 6 1
665 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/23(日) 10:29:34.17 ID:psmbwW3A.net]: >>634
E(1)がまさかの0 wwww
666 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/23(日) 11:40:47.87 ID:nKOizBja.net]: >>635
この分布って何分布になるんだ？
正規分布で近似できるのはわかるけど。
667 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/23(日) 11:42:51.51 ID:nKOizBja.net]: >>633
単調減少関数だったｗ
668 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/23(日) 11:49:15.43 ID:8TxqIBCf.net]: >>628
すいません間違えました
F(x)=1-exp(-λx)
となります。宜しくお願いします。
669 名前：イナ mailto:sage [2020/08/23(日) 12:03:47.05 ID:Q5A4PXq6.net]: 前>>622
>>626
出目の合計31は漏れがあるかな、とは思った。
30は、4,4,5,5,6,6がわからなくなった。
26超えは1割弱、そんなもんだろう。
670 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/23(日) 14:04:07.26 ID:Rpa/qv/i.net]: 集合Xがただ一つの要素だけからなるというのを正確に言うと、「x∈Xとなるようなxが存在する。x≠y⇒y∈Xでない」ということですか？

|X| = 1の定義は、Xから{x∈Z_{+} | x < 1 + 1}への全単射が存在するということだと思います。
1∈{x∈Z_{+} | x < 1 + 1}で
671 名前：あり、x∈Z_{+}かつ1 < x < 1 + 1となるxは存在しないため、x≠1⇒「x∈{x∈Z_{+} | x < 1 + 1}でない」が成り立ちます。 {x∈Z_{+} | x < 1 + 1}からXへの全単射が存在するため、1→x∈Xとなるxが存在します。x≠yかつy∈Xとなるようなyが存在すると仮定すると、 n→yとなるようなn∈{x∈Z_{+} | x < 1 + 1}が存在することになります。n = 1でなければなりません。これは→が写像であることに反します。 よって、「x≠y⇒y∈Xでない」が成り立ちます。 []: [ここ壊れてます]
672 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/23(日) 15:10:25.40 ID:nKOizBja.net]: >>639
定義に従って計算するだけ

微分して、確率密度関数　 exp(-λ * x) * λ

確率密度関数*xを定義域で積分して期待値 1/λ

累積密度関数の逆関数を作って

中央値：log2/λ

第一四分位数:log(4/3)/λ
673 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/23(日) 21:05:51.88 ID:nKOizBja.net]: 10個のサイコロを振って目の合計を当てる賭けをするときいくつにかけるのが最も有利か。その確率はいくらか。

目の合計の期待値は35というのはわかるけど、それが最頻値だというのはどうやれば確認できるだろう？
674 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/23(日) 22:06:38.36 ID:nKOizBja.net]: >>643
分布が左右対称なら期待値（平均値）と最頻値は一致するといえるか？という問題になるのかなぁ？
675 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/23(日) 22:10:18.01 ID:nKOizBja.net]: >>643
１０個にサイコロを投げて目の合計が35になる確率のシミュレーション解
> sim <- function(n=35) sum(sample(6,10,rep=T))==n
> mean(replicate(1e7,sim()))
[1] 0.0726302

厳密解はイナ大先生が怒涛の計算力で数えてくれると思う。
676 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/23(日) 22:38:49.94 ID:ytKOLVrQ.net]: >>644
分布が二峰性なら対称でも平均値＝最頻値とは限らないな。
677 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/23(日) 23:46:07.66 ID:qhSoFq1l.net]: p(35) = 4395456/(6^10) = 0.0726928

p(n) ≒ p(μ)･e^{-(n-μ)^2 /(2σ^2)},

μ=35,　σ^2 =31.09
678 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/24(月) 00:08:08.58 ID:CGsqsz2y.net]: 数値が一致したな。
data.frame(sum=10:60,pips=pips[10:60])
sum pips
1 10 1
2 11 10
3 12 55
4 13 220
5 14 715
6 15 2002
7 16 4995
8 17 11340
9 18 23760
10 19 46420
11 20 85228
12 21 147940
13 22 243925
14 23 383470
15 24 576565
16 25 831204
17 26 1151370
18 27 1535040
19 28 1972630
20 29 2446300
21 30 2930455
22 31 3393610
23 32 3801535
24 33 4121260
25 34 4325310
26 35 4395456
679 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/24(月) 00:20:41.38 ID:CGsqsz2y.net]: >>647
σ^2 =31.09はどういう計算ででてくるのでしょうか？
μの方は10*(1+2+3+4+5+6)/6=35とわかりますが。
680 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/24(月) 00:25:59.76 ID:mTnDMiIJ.net]: 投げる回数の帰納法使えば密度関数の一峰性示せるけどな
それと平均での対称性で示せる
一発証明ないものか
681 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/24(月) 00:39:21.97 ID:QJZmg6Qx.net]: Coefficient[(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^10,x^35]
=4395456
682 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/24(月) 00:58:46.24 ID:x7ua1b+N.net]: >>650
サイをn回振って合計がmになる確率を p(n,m) とすると、
p(1,m) = if m ∈ {1,2,3,4,5,6} then 1/6 else 0 として、
p(n+1,m) = (1/6) Σ[k=1..6] p(n,m-k) なんだから、
p(n+1,m+1) = p(n+1,m) + (1/6)(p(n,m) - p(n,m-6))
つまり p(n,m) と p(n,m-6) との大小関係がそのまま p(n+1,m+1) と p(n+1,m) との大小関係になる
このことを利用したら、数学的帰納法で n が偶数のとき m = 7n/2 で p(n,m) が最大になることが言えるのでは
683 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/24(月) 01:02:26.00 ID:x7ua1b+N.net]: 対称性を使うことも必要かな
p(n,m)=p(n,7n-m)
684 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/24(月) 01:14 ]: [ここ壊れてます]
685 名前：:29.07 ID:NyPwg4Wp.net mailto: a^b+b^c=c^a
を満たす1以上の整数a,b,cの組(a,b,c)を全て求めよ。 []: [ここ壊れてます]
686 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/24(月) 02:07:39.12 ID:r3SqnUKm.net]: ∫(sinx/x)^2dx (0→∞)

∫(lnx/x^2+1)^2dx (0→∞)
687 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/24(月) 02:13:28.02 ID:HWPbccmb.net]: >>637
一様分布
　p(n) = 1/6　　　(1≦n≦6)
　　　= 0　　　　(n<1, n>6)
6個をたたみ込んだもの。

　P(n) = C(n-1,5) = (n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)/5!,　　　(6≦n≦11)

　P(n) = 2771 - (18929/12)n + (2847/8)n^2 - (949/24)n^3 + (17/8)n^4 - (1/24)n^5,
　　　(11≦n≦16)

　P(n) = -90049 + (177851/6)n - (46017/12)n^2 + (2893/12)n^3 - (29/4)n^4 + (1/12)n^5
　　　(16≦n≦21)

　P(n) = 582931 - (787943/6)n + (46191/4)n^2 - (5917/12)n^3 + (41/4)n^4 - (1/12)n^5
　　　(21≦n≦26)

　P(n) = -1198394 + (2393525/12)n - (104043/8)n^2 + (10021/24)n^3 - (53/8)n^4 + (1/24)n^5,
　　　(26≦n≦31)

　P(n) = C(41-n,5) = (41-n)(40-n)(39-n)(38-n)(37-n)/5!,　　　(31≦n≦36)

　P(n) = 0,　　　(n<6, n>36)
688 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/24(月) 02:54:12 ID:HWPbccmb.net]: >>655
(上) は部分積分して
∫(sin(x)/x)^2 dx = -(sin(x)^2)/x + ∫sin(2x)/x dx
　　　　　　= -(sin(x)^2)/x + Si(2x),
これより
∫[0,∞] (sin(x)/x)^2 dx = Si(∞) - Si(0) = π/2,

あるいは
　∫[0,∞] {cos(ax) - cos(bx)}/x^2 = (π/2)(b-a),
を使う。
高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961)
　第5章練習問題 (4),　p.264

(下) は発散しそう････
689 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/24(月) 05:33:08.87 ID:CGsqsz2y.net]: >>656
ありがとうございました。
場合分けから随分と複雑な式になることだけは理解できました。
690 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/24(月) 05:35:12.92 ID:CGsqsz2y.net]: >>651
wolframではなくてMathematicaのコマンドでしょうか？
691 名前：イナ mailto:sage [2020/08/24(月) 10:06:11.51 ID:67dg6YFo.net]: 前>>640
>>643
出目の合計が10になる確率と60になる確率は、
1/6^10
出目の合計が11になる確率は2が10通りで、
59になる確率は5が10通りで10/6^10=5/3×6^9
出目の合計が12に……
出目の合計が35になる確率は1割にも満たないんじゃないか？
692 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/24(月) 11:42:42.43 ID:QJZmg6Qx.net]: >>659
元々は、mathematicaの関数だと思いますが、短ければ、wolframalpha　でも正しく解釈してくれます。
下も、正しく返してくれました。

Table[{k,Coefficient[(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^10,x^k]},{k,10,60}]

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Table%5B%7Bk%2CCoefficient%5B%28x%2Bx%5E2%2Bx%5E3%2Bx%5E4%2Bx%5E5%2Bx%5E6%29%5E10%2Cx%5Ek%5D%7D%2C%7Bk%2C10%2C60%7D%5D&lang=ja
693 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/24(月) 16:57:34.94 ID:p3oV4QfX.net]: 初投稿失
これはコピー用紙の規格で、長い方の辺を半分にすると、もとの長方形と、たてと横の比が同じ長方形が得られるという性質があるっていう問題だ。
辺BCと折り目BEが重なることから、AB：BCを求める。
また、このコピー用紙を長い方のへんで半分にしたとき、もとの長方形と縦と横の比が同じになることを、式を立てて確かめる。
コピー用紙の画像https://dotup.org/uploda/dotup.org2237290.png.
694 名前：html 問題のわかりやすい画像https://dotup.org/uploda/dotup.org2237293.png.html わかりにくいと思うがよろしくおねがいします あと、問題の解き方もよろしく []: [ここ壊れてます]
695 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/24(月) 17:08:03 ID:+Fh3sbhA.net]: ちょっと何言ってるかわからない
696 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/24(月) 17:13:14 ID:p3oV4QfX.net]: ごめんよ…
この問題だ
https://dotup.org/uploda/dotup.org2237320.png.html
これの解き方教えて下さい！
697 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/24(月) 17:25:50 ID:+Fh3sbhA.net]: 計算するだけだろ
698 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/24(月) 17:28:57 ID:p3oV4QfX.net]: 俺数学全くといっていいほどできないんだ
しつもんしてごめんな
699 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/24(月) 17:37:55 ID:+Fh3sbhA.net]: うむ
勉強する前に問題を解こうとするのは未解決問題に挑むってことだからな
常人には無茶な行い
700 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/24(月) 17:40:03 ID:p3oV4QfX.net]: ありがとう
ちょっと教科書見直してきて考えてみるわ
701 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/24(月) 17:53:56.11 ID:DFOG7CvL.net]: >>661
ありがとうございます。
実行してみましたが計算の速さにびっくりしました。
702 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/24(月) 18:48:22 ID:1BmfuzMI.net]: >>664
x:1=1:x/2 (x>0)を解くだけじゃないの？
703 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/24(月) 19:31:29.13 ID:F6f8Pdh5.net]: ワークの問題なのですがいまいち解き方がピンときません…
よろしくお願いいたします。

次の関数に最大値、最小値があればそれを求めよ。
y=(x^2-2x)^2+4(x^2-2x)+５
704 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/24(月) 20:19:22.31 ID:HWPbccmb.net]: 　u = (x^2 -2x) +1,
とおくと
　u = (x-1)^2 ≧ 0,
y = (u-1)^2 + 4(u-1) +5
　= uu + 2u +2　　(u≧0 で単調増加)
　≧ 2,　････最小値 (@ u=0, x=1)

x→±∞　のとき　y→∞
　最大値なし。
705 名前：イナ mailto:sage [2020/08/24(月) 20:47:49.01 ID:67dg6YFo.net]: 前>>622
>>671
y=(x^2-2x)^2+4(x^2-2x)+5
y'=2(x^2-2x)(2x-2)+4(2x-2)
=4(x-1)(x^2-2x+2)
x^2-2x+2=(x-1)^2+1＞0だから、
y'=0となるのはx=1のみ。
x→±∞のときy→+∞
x=1のときx^2-2x=1-2=-1
最小値y=(-1)^2+4(-1)+5=1-4+5=2
こうかなぁ？
706 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/24(月) 21:04:54.65 ID:F6f8Pdh5.net]: >>672
ありがとうございます

u = (x^2 -2x) +1とおくとの
+1の部分ってどこからでた数字でしょうか
707 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/24(月) 21:38:36 ID:F6f8Pdh5.net]: >>673
ありがとうございます
１行目にあった５が消えて２行目のｙ'=の後の２がでてきたのは
与式を展開して(２x-2)で整理したということでしょうか
アホ過ぎてすみません…
708 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/24(月) 21:42:32 ID:2Nnha+ZH.net]: ある本に、関数f : N -> Nを
f(0) = 1
f(1) = 1
f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n ≧ 2)
と定義するというのはおかしいと書いてあります。その理由は、これから定義しようという関数f : N -> Nを使ってfの値を定義しようとしているというものです。
そのかわり、関数f : N -> Nで
f(0) = 1
f(1) = 1
f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n ≧ 2)
を満たすものが存在することを証明しています。

なんだか分かったような分からないような気がするのですが、上に書いたことは正しいのでしょうか？
709 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/24(月) 22:01:54.25 ID:7o179h52.net]: 1以上22以下の自然数の集合をSとする
Sの部分集合Tで、次の条件を満たすものを考える

[条件] Tに属する任意の2つの要素の差は4でも7でもない

Tの要素数の最大値はいくらか

1 5 9 13 17 21
2 6 10 14 18 22
3 7 11 15 19
4 8 12 16 20
710 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/24(月) 22:02:58.76 ID:ulqLR7TI.net]: >>676
この程度ならどっちでも
もっと複雑だと後者のがよいことあるかもな
711 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/24(月) 22:07:57.98 ID:z0JBrlOX.net]: 前者は「そもそもこのようなfが存在するかどうかわからないから、存在することを示す必要がある」なら納得できるし実際後者がこの立場なんだけど、この文言ではちょっと混乱しそう
f(n)の値を定義するのに使ってるのはfそのもの(全てのnについて値f(n)の定まった対象)ではなく、そのnまでの値f(n-1),f(n-2)しか使っておらず、循環定義には該当しない
712 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/24(月) 22:09:12.82 ID:3IiFO/88.net]: >>676
そのような場合の「…と定義する」は「…を満たすものが一意的に存在するから、それを…と定義する」という意味だよ
一意的に存在するのが明らかな場合によく(無意識に？)使う
713 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/24(月) 22:40:51.35 ID:QaYdhkfZ.net]: >>671
まず、 y は x^4 の係数が正の 4 次関数だから、最大値が存在しないことはすぐにわかる
同様に最小値が存在することもわかる

次に、 y のグラフの形を調べるために y の導関数 dy/dx を計算する
u(x) = x^2 - 2x
と置くと、 y = f(u) と書けるから、合成関数の微分を使うと dy/dx の計算が楽になる
実際に計算すると、x についての 2 次方程式 dy/du = 0 は x について実数解をもたないので、
全ての実数 x に対して dy/du > 0 となることがわかる
したがって du/dx の符号によってグラフの形が決まり、 y の最小値は極小値でもあることがわかる
714 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/24(月) 22:54:59.66 ID:QaYdhkfZ.net]: >>676
再帰的定義の話かな
確かに厳密に言えばそのような関数 f が存在することは明らかではないから、
証明が必要だろうね
この場合は数学的帰納法で f(n) の値が一意に定まることを示せば十分だと思うけど
715 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/24(月) 23:09:03 ID:wnScEK33.net]: 0 1 4 9 20 40 78 147 ○

○は？
716 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/24(月) 23:23:19.73 ID:QaYdhkfZ.net]: >>683
n = 1, 2, 3, … に対し、
a[n] = b[n] + A(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)(n-8)
（ A は任意の複素数）
b[n] = 0, 1, 4, 9, 20, 40, 78, 147, B, B, …
（ B は任意の複素数）
としたときの a[9]
717 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/24(月) 23:23:50.01 ID:BoHm51M2.net]: oeis.org/A023607
718 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/24(月) 23:33:50.68 ID:wnScEK33.net]: そうなるんですね。自分は解けませんでした。
例えば、回答するのは小学生として、この数列の○を答えにする文章題は作れますでしょうか？
スレ違いなら申し訳ありません。
719 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/24(月) 23:45:06.83 ID:fp6+WmDy.net]: >>685
によると
a[n+4]=2a[n+3]+a[n+2]-2a[n+1]-a[n]
720 名前： mailto:sage [2020/08/25(火) 00:10:17.94 ID:A/VRpGsl.net]: 前>>673
>>675
y=(x^2-2x)^2+4(x^2-2x)+5
y'=2(x^2-2x)(2x-2)+4(2x-2)
なぜ5が消えたのか→微分したら定数項は消えるだろう。5じゃなくて3でも7でも-1/2でも消えるはず。なんでか。xと掛けあってへんで変化の割合に影響がないでやない？　知らんけど。
x^2-2xそのものを微分した2x-2を掛けておくんやったと思う。なんでか？　なんでかは知らんことないけど。
なぜ2が出てきたか→2乗を微分したでやない？
2xを微分したら2やん。
721 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/25(火) 00:25:00.42 ID:BYmXedij.net]: >>671
もしかして微分を知らないまたは使えないのか
それなら u = x^2 - 2x と置いて y を u について平方完成して、
さらに u を x について平方完成すれば良いんじゃね
722 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/25(火) 00:40:12.56 ID:7va++JjE.net]: >>682
>この場合は数学的帰納法で f(n) の値が一意に定まることを示せば十分だと思うけど
この場合は帰納的定義だから証明するまでも無いよ
723 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/25(火) 00:44:46.86 ID:BYmXedij.net]: >>686
例えばこんなのはどうだろう

0 番目の数 = 0
1 番目の数 = 1
2 番目の数 = 4
として、
3 番目の数 = 3×((1 番目の数)÷1 + (2 番目の数)÷2)
4 番目の数 = 4×((2 番目の数)÷2 + (3 番目の数)÷3)
5 番目の数 = 5×((3 番目の数)÷3 + (4 番目の数)÷4)
…
とするとき、 8 番目の数を求めよ。
724 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/25(火) 00:50:07.73 ID:BYmXedij.net]: >>690
それだと>>676が言ってい�
725 名前：髢{のスタンスに合わないでしょ 「帰納的定義より明らか」が使えるなら>>676みたいなことは書かないはず []: [ここ壊れてます]
726 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/25(火) 01:13:07.74 ID:7va++JjE.net]: >>692
どうせその本でやってることって大したことじゃ無く
帰納的定期だから帰納的に決められる
程度だろうよ
もっと本質的に必要な場面はあろうが
フィボナッチ数列の定義程度では萎えさせるだけ
727 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/25(火) 02:08:50.48 ID:BYmXedij.net]: >>693
さすがにそんなトートロジーを書く数学の本はないと思うが
フィボナッチ数列の定義は導入か何かで、その後に一般に帰納的定義がwell-definedであることを示すとか、
逆にwell-definedでない定義の例を示すとか、そういう流れじゃないの？
>>676の本が何の本で、どんな流れで書いてあったのかわからないとわからないが
728 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/25(火) 02:19:26.21 ID:qIfbhl+s.net]: x''+2x=tcostの解を求めてく段階で
(1/(D^2+1))te^(it)の計算がわからないです
729 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/25(火) 02:31:36.99 ID:BYmXedij.net]: >>695
ヘヴィサイドの演算子法？
(1/(D+a))f(x) = e^(-ax) ∫ f(x)e^(ax) dx
と
D^2 + 1 = (D+i)(D-i)
を使うだけじゃないの？
730 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/25(火) 02:32:15.46 ID:N/HR40kY.net]: >>689
今高１なのでまだ微分は習ってないんです
すみません…
平方完成の方法でやってみます！
ありがとうございます
731 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/25(火) 02:38:52.84 ID:qIfbhl+s.net]: >>696
すみません。D^2+1じゃなくてD^2+2でした
√2が出てきてよくわかんなくなってしまいました
732 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/25(火) 02:41:56.48 ID:BYmXedij.net]: >>698
ほとんど同じだろ
D^2 + 2 = (D+i√2)(D-i√2)
733 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/25(火) 03:29:11.78 ID:qIfbhl+s.net]: >>699
できました。ありがとうございました
734 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/25(火) 05:19:08.15 ID:RvbSTotP.net]: D = d/dt,

{1/(D+i√2)} t e^(it) = (√2 -1)(-it + √2 -1)e^(it),
{1/(D-i√2)} t e^(it) = (√2 +1)(it + √2 +1)e^(it),
{1/(D+i√2)} t e^(-it) = (√2 +1)(-it + √2 +1)e^(-it),
{1/(D-i√2)} t e^(-it) = (√2 -1)(it + √2 -1)e^(-it),

{1/(DD+2)} t e^(it) = (t-2i) e^(it),
{1/(DD+2)} t e^(-it) = (t+2i) e^(-it),

{1/(DD+2)} t cos(t) = t cos(t) + 2 sin(t),
これが強制振動部分。
これと自由振動（固有振動）を足して
　y(t) = t cos(t) + 2 sin(t) + c1 cos(t√2) + c2 sin(t√2),
735 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/25(火) 05:30:06.20 ID:7jaUCBry.net]: >>691
わかりやすいです。
ただイメージとしてはもっと文章的にしたいので、参考に工夫してみます。
ありがとうございました。
736 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/25(火) 06:27:03 ID:VuCPdy9T.net]: >>674
平方完成すると考えやすくなるからだろうね。
737 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/25(火) 08:08:50.58 ID:w0u6XexC.net]: 方程式
(x^5+x^4+x^3)+(x^4+x^3)+x^3+6(1+x+x^2)+(x+x^2)+x^2=0
を解け。
738 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/25(火) 08:19:44.74 ID:WzhAMzCC.net]: >>677
10個が最大だな

具体的に1,3,6,9,11,12,14,17,20,22の10個がとれる
以下、11個はとれないことを証明する
もし11個とれたとすると、1～11か12～22のどちらかに6個以上が含まれる
11個の連続した数字をZ/11Zで考えると条件はnが入っているときにn±4が入っていないこととなる
しかしZ/11Zを0,4,8,…,32,36,40と言う形で書いたとき
この中から6個以上選ぼうとすると必ず隣あった数字を選ぶ必要があり、矛盾する
739 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/25(火) 08:20:55.28 ID:WzhAMzCC.net]: >>705
誤 11個とれないことを証明する
正 11個以上とれないことを証明する
740 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/25(火) 08:27:50.39 ID:WzhAMzCC.net]: >>705
補足
11と4は互いに素なのでZ/11Zにおいて0,4,8,…,36,40は全ての元をちょうど1度ずつ代表する
円形に並べて、40と0(=44)も隣あうと考える
741 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/25(火) 09:52:0 ]: [ここ壊れてます]
742 名前：1 ID:A/VRpGsl.net mailto: 前>>688
>>704
(x^5+x^4+x^3)+(x^4+x^3)+x^3+6(1+x+x^2)+(x+x^2)+x^2=x^3(x^2+x+1)+x^2(x^2+x+1)+x(x^2+x+1)+(x^2+x+1)=(x^2+x+1)(x^3+x^2+x+1)=0
x^2+x+1=(x+1/2)^2+3/4＞0
x^3+x^2+x+1=0
(x+1)(x^2-x+1)=0
x^2-x+1=(x-1/2)^2+3/4＞0
∴x=-1 []: [ここ壊れてます]
743 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/25(火) 10:21:17.46 ID:unEmX2um.net]: >>704
x=-2,(1±i√11)/2,(-1±i√3)/2
744 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/25(火) 10:25:10.27 ID:RvbSTotP.net]: 0 = x^5 +2x^4 +3x^3 +8x^2 +7x +6
　= (x+2)(xx-x+3)(xx+x+1),

xx+x+1 = (x+1/2)^2 + 3/4 ≧ 3/4,
まで合ってる。
あと
xx-x+3 = (x-1/2)^2 + 11/4 ≧ 11/4,
から
x=-2
745 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/25(火) 10:40:10.72 ID:RvbSTotP.net]: >>643
n個のサイコロを振ったときの目の合計で、出る確率が最大のものは
　p(7n/2) ≒ √{6/(35*π*n)}

oeis.org/A018901
oeis.org/A063419　　　(n：偶数)
746 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/25(火) 12:42:20.58 ID:RvbSTotP.net]: >>649
10個のサイコロを投げるとして
　μ = (7/2)n = 35,
　p(μ) = 4395456/(6^n) = 0.0726928
　p(m) = p(μ){1 - 0.0160823･(m-μ)^2 + 1.2415E-4･(m-μ)^4
　　　- 6.1676E-7･(m-μ)^6 + 2.05E-9･(m-μ)^8 - ････}

　σ^2 = 1/(2･0.0160823) = 31.09

(大意)
サイコロ1個の場合の分散は 35/12,
サイコロn個の場合の分布は、これをn個たたみ込んだものだから
　分散は (35/12)n,
しかし正規分布から外れているので
ピーク曲率から決めた σ^2 とは一致しない。いまの場合は
　σ^2 ≒ (35/12)n + 1.923
747 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/25(火) 14:48:39.67 ID:BYmXedij.net]: >>704
この方程式が整数解をもつことは明らかではないと思うけど、どうやって見つけるんだろう
適当に代入していったら x = -2 で 0 になる？これはちょっと無理がある気がする
(x^5+x^4+x^3)+(x^4+x^3)+x^3+6(1+x+x^2)+(x+x^2)+x^2
= x^3(1+x+x^2) + x^2(1+x+x^2) + x(1+x+x^2) + 6(1+x+x^2)
= (x^3 + x^2 + x + 6)(1+x+x^2)
までなら気が付けるだろうか
問題は g(x) = x^3 + x^2 + x + 6 の因数分解だが、これをどうやるか
g(x) = 0 は整数係数の 3 次方程式で x^3 の係数が 1 だから整数解が存在すると仮定して、
定数項 6 の約数から絞り込めばまあ見つかるけど
偶然簡単に解けるってだけなのかな
例えばもしこの定数項が 6 じゃなくて 8 とかだったら簡単に解ける気がしない
どうせ因数定理を使えば簡単に解ける問題なんだろって感じ？
748 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/25(火) 14:51:58.67 ID:StLkbsjA.net]: >>712
iidの和の分布だから中心極限定理で正規分布で近似できるわけじゃないのか？
749 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/25(火) 16:24:39.69 ID:lVGkDyY0.net]: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%5E5%2Bx%5E4%2Bx%5E3%29%2B%28x%5E4%2Bx%5E3%29%2Bx%5E3%2B6%281%2Bx%2Bx%5E2%29%2B%28x%2Bx%5E2%29%2Bx%5E2%3D0&lang=ja
750 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/25(火) 18:37:06.33 ID:LqiSh/C2.net]: Aを可換なネーター環で(1)(2)をみたすとします

(1) Aの冪零根基は(0)
(2) 任意の極大イデアルmに対して、局所化A_mは有限環

このときAは有限である

自然な準同型A→A_mで単射になるものがあると言おうとしたけど、A = Z/6Zとかで既にだめだったわ
751 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/25(火) 19:06:57.46 ID:XiNDC1KH.net]: 累積分布関数
F(x)=4x(1-x) (0≦x≦1)
とする。

（1）確率密度関数f(x)を求めよ。

（2）メディアン、モード、ミーンを小さい順に並べよ。

（3）キュムラントを求めよ。
752 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/25(火) 19:09:53.73 ID:XiNDC1KH.net]: 1+1/2+...=-1/12
を証明せよ。
753 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/25(火) 19:39:09.96 ID:6ie+KnUV.net]: >>718
わからないんですね
754 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/25(火) 21:00:55.02 ID:WzhAMzCC.net]: >>717
累積分布関数って単調増加なはずでは？
755 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/25(火) 21:08:34.18 ID:lpRHuZYO.net]: >>705
11個の式は作れないよう�
756 名前：ｾ Table[2n-b-a+{(n+a)mod4}+4C(0,n-8+a),{a,0,1},{b,0,2},{n,1,10}] []: [ここ壊れてます]
757 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/25(火) 21:11:40.60 ID:tONkyOre.net]: >>720
コルモゴロフの虚数空間確率で考えてください
758 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/25(火) 22:34:37.45 ID:Cxs29Z8K.net]: >>716
radA = p1‥pnとしてA→ΠA_piのkernelがradAになる気がする
A/radAが有限環ならradA^i/radA^(i+1)が全部有限加群になるからそれでいける希ガス
759 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/25(火) 22:37:10.14 ID:Cxs29Z8K.net]: >>722
ヨコやけど何それ？
ググっても出てこんけど
760 名前：イナ mailto:sage [2020/08/25(火) 22:53:24.15 ID:ML59GMTP.net]: 前>>708
>>717(2)坂崎＜桜井＜高見沢
761 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/26(水) 01:24:23.05 ID:xATZmZn/.net]: 累積分布関数が
F(x)=√(x^2+1) (0<x≦a)
で与えられている。

（1）実数aの値を求め、また確率密度関数f(x)を求めよ。

（2）E(a) = ∫[0→a] xf(x) dxを求めよ。

（3）V(a) = ∫[0→a] f(x){E(a)-x}^2 dxを求めよ。

（4）∫[0→a] √{E(x)V(x)} dxと標準偏差との関係について論ぜよ。
762 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/26(水) 02:58:39.66 ID:GH+n/Xbi.net]: 累積分布関数は 1 以下って知らんのか？
763 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/26(水) 03:48:26 ID:E7gw9mcx.net]: >>712
n=8個のサイコロを投げるとして
　μ = (7/2)n = 28,
　p(μ) = 135954/(6^n) = 0.0809435
　p(m) = p(μ){1 - 0.0197967･(m-μ)^2 + 1.8862E-4･(m-μ)^4
　　　- 12.736E-7･(m-μ)^6 + 7.43E-9･(m-μ)^8 - ････}

　σ^2 = 1/(2･0.0197967) = 25.2567

n=12個のサイコロを投げるとして
　μ = (7/2)n = 42,
　p(μ) = 144840476/(6^n) = 0.0665388
　p(m) = p(μ){1 - 0.0135455･(m-μ)^2 + 0.8858E-4･(m-μ)^4
　　　- 3.7175E-7･(m-μ)^6 + 1.025E-9･(m-μ)^8 - ････}

　σ^2 = 1/(2･0.0135455) = 36.9127
764 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/26(水) 05:28:18 ID:E7gw9mcx.net]: >>705
{1,2,････,22} を下図にように並べる。

01 - 05 - 09 - 13 - 17 - 21
　　｜｜｜｜
04 - 08 - 12 - 16 - 20
｜｜｜
03 - 07 - 11 - 15 - 19
｜｜｜｜
02 - 06 - 10 - 14 - 18 - 22
｜｜｜｜
01 - 05 - 09 - 13 - 17 - 21

これは周期 (7,4）をもつ。同じ数が11つ隣にある。
隣り合うものが（白,黒）となるように彩色することはできない
そのように11個ずつに分けることはできない。

なお、上記のような分け方ができる炭化水素を
「交互炭化水素」というらしい。
765 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/26(水) 05:31:47 ID:E7gw9mcx.net]: 　　　　　　　　　　　　　　　　　01 - 05 - 09 - 13 - 17 - 21
　　　　　　　　　　　　　　　　　｜　｜　｜　｜
　　　　　　　　　　　　　　　04 - 08 - 12 - 16 - 20
　　　　　　　　　　　　　　　｜　｜　｜
　　　　　　　　　　03 - 07 - 11 - 15 - 19
　　　　　　　　　　｜　｜　｜　｜
　　　　　02 - 06 - 10 - 14 - 18 - 22
　　　　　｜　｜　｜　｜
01 - 05 - 09 - 13 - 17 - 21
766 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/26(水) 05:46:27.71 ID:E7gw9mcx.net]: １つ右に行くと＋４
１つ下に行くと＋７
a_{i,j} = 7i + 4j = a_{i-4,j+7} = a_{i+4,j-7}
767 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/26(水) 06:39:50.16 ID:+5D/ly7R.net]: >>728

n=8個のサイコロを投げるとして
　μ = (7/2)n = 28,
　p(μ) = 135954/(6^n) = 0.0809435
　p(m) = p(μ){1 - 0.0197967･(m-μ)^2 + 1.8862E-4･(m-μ)^4...
の
0.0197967や1.8862E-4はどこから出た数字なのでしょうか？
768 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/26(水) 10:10:01 ID:8ae+cQFx.net]: 有限体上の特殊線形群の位数って、決定できますか？
769 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/26(水) 10:52:52.23 ID:5q255Vnm.net]: gl(n,q)の位数(q^n-1)(q^n-q)‥(q^n-q^(n-1))をq-1で割ればいい
770 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/26(水) 11:13:14.95 ID:fEj1xUS4.net]: >>734
これって1次独立なベクトルを数えてるのか
頭良いな
771 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/26(水) 14:27:14.39 ID:Juzzfk9N.net]: 累積分布関数が
F(x)={√(x^2+x)}/2 (0≦x≦a)
で与えられている。

（1）F(x)=1となる正の実数aの値を求め、また確率密度関数f(x)を求めよ。

（2）E(a) = ∫[0→a] xf(x) dxを求めよ。

（3）V(a) = ∫[0→a] f(x){E(a)-x}^2 dxを求めよ。

（4）∫[0→a] √{E(x)V(x)} dxと標準偏差との関係について論ぜよ。
772 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/26(水) 14:36:21.84 ID:VSkeehob.net]: 01 02
03 04 05
06 07 08 09
10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31 32 33 34 35
36 37 38
773 名前：39 40 41 42 43 44 44 36 43 35 28 42 34 27 21 41 33 26 20 15 40 32 25 19 14 10 39 31 24 18 13 09 06 38 30 23 17 12 08 05 03 37 29 22 16 11 07 04 02 01 上の数列を下の数列に変換する アルゴリズムを見つけてくれ(^_^)ﾉ []: [ここ壊れてます]
774 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/26(水) 17:28:08.84 ID:5q255Vnm.net]: https://ja.wolframalpha.com/input/?i=%E4%BA%8C%E9%A0%85%E4%BF%A1%E9%A0%BC%E5%8C%BA%E9%96%93+n%3D300%2C+p%5E%3D0.6&assumption=%22FSelect%22+-%3E+%7B%7B%22BinomialInterval%22%7D%7D&assumption=%7B%22F%22%2C+%22BinomialInterval%22%2C+%22c%22%7D+-%3E%220.97%22
775 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/26(水) 17:34:24.13 ID:XvaNrpWd.net]: n≧3とする。縦2*nマス、横2*nマスのチェス盤から白、黒のマス目を１つずつ抜き取った欠損チェス盤で、
ドミノ牌で敷き詰められないものが存在するか。また、白、黒2個ずつ抜き取ったらどうか。

この問題ですが、2部グラフの完全マッチングの問題と考えていいでしょうか？
776 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/27(木) 03:58:44.01 ID:dl/YlIUZ.net]: >>737
Mathematicaでは、
In[21]:= Table[{k,p=Floor[(1/2)(Sqrt[8k+1]-1)],q=k+1-p(p+1)/2,(9-q)(10-q)/2+9-p},{k,1,44}]
で、下のような出力を得られます。上の三角形で、pは何行目か、qは何列目かを表し、それに対応する値に変換する式が、(9-q)(10-q)/2+9-pです。
Out[21]= {{1, 1, 1, 44}, {2, 1, 2, 36}, {3, 2, 1, 43}, {4, 2, 2, 35}, {5, 2, 3, 28}, {6, 3, 1, 42}, {7, 3, 2, 34}, {8, 3, 3, 27}, {9, 3, 4, 21},
> {10, 4, 1, 41}, {11, 4, 2, 33}, {12, 4, 3, 26}, {13, 4, 4, 20}, {14, 4, 5, 15}, {15, 5, 1, 40}, {16, 5, 2, 32}, {17, 5, 3, 25}, {18, 5, 4, 19},
> {19, 5, 5, 14}, {20, 5, 6, 10}, {21, 6, 1, 39}, {22, 6, 2, 31}, {23, 6, 3, 24}, {24, 6, 4, 18}, {25, 6, 5, 13}, {26, 6, 6, 9}, {27, 6, 7, 6},
> {28, 7, 1, 38}, {29, 7, 2, 30}, {30, 7, 3, 23}, {31, 7, 4, 17}, {32, 7, 5, 12}, {33, 7, 6, 8}, {34, 7, 7, 5}, {35, 7, 8, 3}, {36, 8, 1, 37},
> {37, 8, 2, 29}, {38, 8, 3, 22}, {39, 8, 4, 16}, {40, 8, 5, 11}, {41, 8, 6, 7}, {42, 8, 7, 4}, {43, 8, 8, 2}, {44, 8, 9, 1}}
777 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/27(木) 11:20:19.71 ID:17pR8ej1.net]: >>739
下のように○と●のところを抜き取ると明らかにドミノ牌で敷き詰められません。
解答を見ると、「白、黒１つずつのときは存在しないが、2個ずつのときは存在する。しかし、その例は省略。」となっていました。
簡単な例があるのに省略しているのがなぜなのか分かりません。
このような自明な例以外に、白、黒2個ずつ抜き取った場合に、ドミノ牌が敷き詰められない例はありますか？
与えられた2部グラフが完全マッチングを持つかどうかを計算するプログラムを作って、調べてみましたが、
n = 3, 4, 5のときには自明な抜き取り方以外の抜き取り方をした場合、すべて敷き詰め可能でした。
多分、nが大きくなっても、白、黒2個ずつ抜き取るだけなので、直感的に考えて状況は変わらないと思いますが、どうでしょうか？

□■□■○■
■□■□■○
□■□■□■
■□■□■□
□■□■□●
■□■□●□
778 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/27(木) 11:33:02 ID:T9ufyB0a.net]: >>741
解答があるなら貼るもんでしょ？
779 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/27(木) 11:43:17 ID:17pR8ej1.net]: >>742
解答は、上に書いたように、「白、黒１つずつのときは存在しないが、2個ずつのときは存在する。しかし、その例は省略。」です。
ラスロウ・ロバース他著（秋山仁＋ピーター・フランクル翻案）『入門組合せ論』という本に載
780 名前：っている問題です。 []: [ここ壊れてます]
781 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/27(木) 11:51:03.33 ID:+ZYod5S8.net]: >>742
自明に無理でこんなの自分で見つけられないようなら本書を読む資格ない
位のノリなのかも
まぁ一個見つけられたんだからいいんじゃないの？
782 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/27(木) 11:59:28.08 ID:17pR8ej1.net]: >>744
ありがとうございます。なんか気持ちが悪いですが、気にせず先に進もうと思います。
783 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/27(木) 12:19:49.50 ID:Py839ABD.net]: >>737
プロットしてみた。

https://i.imgur.com/LFXWskF.png
784 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/27(木) 13:45:18.43 ID:17pR8ej1.net]: 平面にn個の円を描くと、平面はいくつかの領域に分割される。“境界弧を共有して隣り合う”領域が同じ色にならないように、平面全体を2色
で色分けできる。

証明：
n = 1のとき、縁の外側を白、内側を黒で塗る。
“円の個数がnのとき正しい色分けが可能である”と仮定する。円の個数がn+1のときを考える。いま、n個の円で領域が分割されている場合を
想定しよう。帰納法の仮定より、これは正しく色分けできる。次に、n+1番目の円を加えて、その円の外側の領域の色はそのままにして、内側の
領域をいままで塗ってあった色と反対の色にする。この色分けの仕方は正しい色分けを与えること以下で確認しよう。
上述の色分けの仕方は、n+1番目の円以外のn個の円の弧だけを境界とする領域については仮定により正しい。なぜならば、弧の両側の領域の
色は、その領域がn+1番目の円の内側にあれば両方とも変わり、またその領域が外側にあれば両方とも変わらないからである。また、n+1番目の
円の弧が領域の境界になるときは、その前に1つだった領域が弧を描いた後に2つに分割され、このうちの内側は色を変え、外側は不変だからである。
これで証明は完了した。

以下の部分の日本語が分かりません。一体何が言いたいのでしょうか？

「上述の色分けの仕方は、n+1番目の円以外のn個の円の弧だけを境界とする領域については仮定により正しい。なぜならば、弧の両側の領域の
色は、その領域がn+1番目の円の内側にあれば両方とも変わり、またその領域が外側にあれば両方とも変わらないからである。また、n+1番目の
円の弧が領域の境界になるときは、その前に1つだった領域が弧を描いた後に2つに分割され、このうちの内側は色を変え、外側は不変だからである。」
785 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/27(木) 14:23:28.53 ID:uwydrJ8F.net]: 「n個」が余計だな
786 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/27(木) 14:24:30.16 ID:17pR8ej1.net]: >>747
分かりました。以下のように自分で言葉を補いました。
「上述の色分けの仕方は、n+1番目の円以外のn個の円の弧だけを境界とする領域については仮定により正しい。なぜならば、弧の両側の領域の
色は、その両側の領域がn+1番目の円の内側にあれば両方とも変わり、またその両側の領域が外側にあれば両方とも変わらないからである。また、n+1番目の
円の弧が領域の境界になるときは、その前に1つだった領域が弧を描いた後に2つに分割され、このうちの内側は色を変え、外側は不変だからである。」
787 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/27(木) 14:41:10.91 ID:npSkWuIN.net]: 何が聞きたいのかよくわからん質問だな。「何が言いたいのか？」と聞かれても、書いてある通りのことが言いたいのだろうとしか。
788 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/27(木) 14:49:11.10 ID:17pR8ej1.net]: 組合せ論の天才ロバース（数学オリンピック3回金メダル）の本だけあって面白い問題がありました。

□□□□□□□□
□□□□□□□□
□□□□□□□□
□□□□□□□□
□□□□□□□□
□■□□□□□□
□□□□□□□□
□□□□□□□□

2^n × 2^nのチェス盤から1つのマス目だけ取り除いた欠損チェス盤は以下のL字牌で敷き詰められることを証明せよ。

□
□□
789 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/27(木) 14:50:29.27 ID:s3GY++rV.net]: ジューコフスキー変換の逆変換をやってみようと思って、
ド・モアブルの定理で計算できないかなと試みたのですが、
ジューコフスキー変換で算出した座標に適用しても元の座標に戻りませんでした。
ジューコフスキー変換の逆変換について詳しく説明してるウェブなど、
何らかのアドバイスがあったらレスください。
790 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/27(木) 14:59:19.07 ID:17pR8ej1.net]: special prizeというのは何ですか？
https://www.imo-official.org/participant_r.aspx?id=9852
791 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/27(木) 15:03:16.70 ID:npSkWuIN.net]: >>751
面白い問題についての話をしたいのならスレ違いです。

面白い問題おしえて～な 32問目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1586230333/l50
792 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/27(木) 16:58:10.63 ID:iR9F5nK1.net]: 集合Sは相異なる(2^n+1)個の自然数a[1],...,a[2^n]を要素と
793 名前：し、同様に集合Tも相異なる(2^n+1)個の自然数b[1],...,b[2^n]を要素とする。 またa[1]=b[1]=2である。 いずれの集合についても、すべての要素の和は2の累乗の形で表せる。 集合S,Tからそれぞれ任意に1つの要素を選び交換しても、交換後のS及びTのすべての要素の和は2の累乗の形である。 集合S,Tとして考えられるものをすべて決定せよ。 []: [ここ壊れてます]
794 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/27(木) 17:41:13.77 ID:MGNmMRXt.net]: >>755
出題ミスしてますよ
795 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/27(木) 21:25:59.58 ID:uwydrJ8F.net]: 2^n個に直したとしても
S = T = {2} しかないことが簡単に証明できるな
796 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/27(木) 21:50:49 ID:pzbetnOc.net]: マセマティカを使ってクラドニ図形の３Dの振動の図形のシミュレーションをしようとしていて、それについて論文を書くために、高校レベルに簡略化された式でシミュレーションができないかやっています。先生にはSin[mπx]Sin[nπy]Cos[t]という式を使えと言われたのですが、どこを調べてもどうしてこの式が導かれたのかがわかりません・・。そもそもの問題をどれくらい私が理解できているかもわからないところですが、だれかなんとか助けていただけないでしょうか・・・。
797 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/28(金) 07:02:13.47 ID:mKzga76c.net]: AB=a,AC=4a,∠BAC=60°の△ABCにおいて、∠BACの二等分線とBCとの交点をD、ACの中点をM、Cから直線ABに下ろした垂線の足をHとする。
面積比△DMH:△ABCをaで表せ。
798 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/28(金) 07:16:37.35 ID:mKzga76c.net]: Σ[k=0,n] 3^k　が2の累乗となるような1以上の整数nを全て求めよ。
ただし1以上の整数aに対しa^0=1とする。
799 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/28(金) 07:41:20.65 ID:sIUBKqp2.net]: >>760
2(1+3+…+3^n)=3^(n+1)-1=2^mの形になるが
こんな感じで
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1065912980

n=1のときのみ
800 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/28(金) 12:26:53.37 ID:vOxVc6EM.net]: >>761
ヤフー知恵袋でも聞かれているので有名問題かと思ったら一橋大学に似たような入試問題があったようです。
それにしてもよく見つけてこられましたね
801 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/28(金) 12:28:12.42 ID:2EjgpYll.net]: n^2 + 1個の相異なる整数からなる数列には、長さn+1の増加部分列があるか、あるいは長さn+1の減少部分列があることを証明せよ。

証明：
s : a_1, a_2, …, a_{n^2+1}を相異なる整数からなる列とする。sは長さn+1の増加部分列を含まないとしよう。ここで、各a_k(k = 1, …, n^2+1)に
ラベルl_kを次の規則によってつける：各l_kはa_kから始まるsの最長増加部分列の長さとする。このとき、あるラベルl_jが存在して、sのn+1項以上が
このラベルl_jをもつことが鳩の巣原理よりわかる。ラベルl_jをもつsのn+1項以上は、減少部分列を与える。

「このとき、あるラベルl_jが存在して、sのn+1項以上がこのラベルl_jをもつことが鳩の巣原理よりわかる。」がなぜそう言えるのか分かりません。
802 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/28(金) 12:33:03.33 ID:2EjgpYll.net]: >>763
ラスロウ・ロバース他著（秋山仁＋ピーター・フランクル翻案）『入門組合せ論』という本に載っている問題です。
803 名前：イナ mailto:sage [2020/08/28(金) 15:00:14.80 ID:GS8HrOsp.net]: 前>>725
>>759
△DMH:△ABCp=1:10
804 名前：イナ mailto:sage [2020/08/28(金) 15:00:15.12 ID:GS8HrOsp.net]: 前>>725
>>759
△DMH:△ABCp=1:10
805 名前：イナ mailto:sage [2020/08/28(金) 15:19:28.28 ID:GS8HrOsp.net]: 前>>725
>>759
メネラウスの定理、チェバの定理、ピタゴラスの定理より△AHC内の辺の比を確定し、DからHMに引いた垂線DNをxとおくと、
Aを起点にメネラウスの定理より、
(AB/BH)｛2a√3/(2a√3-2a/√3)｝(a/√3+x)/(a√3-x)=1
x=a√3/5
△ABC=a^2
806 名前：√3 △DMH=ax/2=a^2√3/10 ∴△DMH:△ABC=1:10 []: [ここ壊れてます]
807 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/28(金) 16:54:47.12 ID:sIUBKqp2.net]: >>763
長さn+1の増大列はないと仮定したんだから全てのl_kはn以下のはず
(l_kは{a_1,a_2,…,a_(n^2+1)}から{1,2,…,n}への写像となる)
つまりn^2+1個のものにn以下の数を割り当てていくんだから、
鳩の巣原理によってどこかでn+1個が被った数bを割り当てられてしまう
808 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/28(金) 17:18:27.10 ID:2EjgpYll.net]: >>768
ありがとうございました。
809 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/28(金) 17:36:28.76 ID:Ji3HI3EV.net]: >>759
作図してプログラムに計算させてみた。

https://i.imgur.com/yFv7F0m.png

sim <- function(a=1){
plot(NULL,xlim=c(0,5*a),ylim=c(0,2*a),asp=1,ann=F,axes=F)
A=0i ; pt(A,'A')
C=4*a+0i ; pt(C,'C')
B=a*cos(pi/3)+1i*a*sin(pi/3) ; pt(B,'B')
seg(A,B) ; seg(B,C) ; seg(C,A)
d=cos(pi/6)+1i*sin(pi/6)
D=intsect(B,C,A,d)
pt(D,'D')
seg(A,D,lty=3)
M=1/2*(A+C) ; pt(M,'M')
# y-0=tan(pi/3+pi/2)*(x-4*a)
y0=-4*a*tan(pi/3+pi/2)
H=intsect(A,B,C,y0*1i)
pt(H,'H')
seg(B,H,lty=3)
seg(C,H,lty=3)
# △DMH:△ABC
seg(D,M,col=2)
seg(M,H,col=2)
seg(D,H,col=2)

Tri <- function(a,b,c){
s=(a+b+c)/2
S=sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))
return(S)
}
DMH=Tri(abs(D-H),abs(H-M),abs(M-D))
ABC=Tri(abs(A-B),abs(B-C),abs(C-A))
DMH/ABC
}

実行結果
> sim(runif(1))
[1] 0.2
810 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/28(金) 17:39:24.20 ID:W4G73UvR.net]: 先週毎日新聞に載っていた確率の問題がどうしても納得できないんだけど解説してくれる人お願い！
【問題】
川へ洗濯に行ったおばあさんは、流れてきた桃を10個拾って家に持ち帰りました。そのうち、後で自分たちが食べる分を1つだけ残し、9個をお客に出しました。お客に出した桃は1個だけ残りました。
その後おばあさんは、隣人に、残った桃をおすそ分けすることを約束しました。
しかしそのすぐ後で、おじいさんから『川から流れてきた桃の1つに桃太郎が入っていたらしい』という話を聞きました。
お客に出した桃には、桃太郎は入っていませんでした。是非とも桃太郎が入った桃が欲しい2人ですが、どちらか1つはお隣におすそ分けしなければなりません。
さて、どちらの桃を残せばいいでしょう？また、残した桃に桃太郎が入っている確率は何%でしょう？

【新聞記載の答え】
10個の桃を1個と9個に分けた時、それぞれのグループに桃太郎が入っている確率は10%と90%となります。お客に出した9個のうち8個には桃太郎は入っていなかったので、残りの1個に入っている確率は90％。よって、お客に出して残った桃を残すべきです。

客が桃太郎の有無で桃を選んだわけじゃないんだし俺は50％じゃないんかな？と思うんだけどどう？
811 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/28(金) 18:13:04.58 ID:oBaL3ybI.net]: >>771
君が正しい
812 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/28(金) 18:16:13.78 ID:mDb6M5mP.net]: モンティホールの亜種を狙ったっぽいな。
お客がレントゲンか何かで中身をチェックできたと考えれば新聞の答えでいいと思う。
813 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/28(金) 18:17:20.51 ID:9f8DzqUa.net]: >>771
これ1/2じゃないの？
814 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/28(金) 18:42:50.26 ID:CiJT+a8W.net]: 8個は既に切り分けたのに桃太郎が入ってなかったということでしょう
なので90%
815 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/28(金) 18:55:05.14 ID:sIUBKqp2.net]: 客が桃太郎の入ってない桃を選んだわけではないから1/2だよ
816 名前：9人の客に9個の桃を渡して、8番目の客までが食べ、9番目の客がまだ食べてない状況と考えて、自分が10番目の客だと思えばいい 9番目と10番目に違いはない モンティホール的にするには客に透視能力があって桃太郎の入ってる桃は選ばない、というような設定が必要 []: [ここ壊れてます]
817 名前：イナ mailto:sage [2020/08/28(金) 19:58:00.95 ID:GS8HrOsp.net]: 前>>767
>>771
桃10個のうち1個に桃太郎が入っているからその桃に桃太郎が入っている確率は(1/10)×100%=10%
お客に出して残った桃もお客に出さなかった桃もその桃に桃太郎が入っている確率は10%
∴どちらを残してもいい。
その桃に桃太郎が入っている確率は10%
俺は惑わされない。
818 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/28(金) 20:31:44 ID:oBaL3ybI.net]: この手のやつはどのようにしてハズレだと判明したのかが問題なのにそこを理解していないやつが記事書いたってことかな
819 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/28(金) 20:45:37.57 ID:5u8NPnD9.net]: >>777
2つに一つだから50%じゃないのか？
820 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/08/28(金) 21:39:05 ID:GS8HrOsp.net]: 前>>777
>>779
流れてきた桃をお婆さんがぜんぶ拾ったら10%になると思う👵🍑
川に流してしまったら10%未満。
お爺さんが聞いてきた話が100%ほんとなら10%の確率でどの桃も桃太郎が入っている可能性がある。
お爺さんが聞いた話の信憑性によっては10%未満。
お客に出して残ったら桃が桃太郎になるなら、お爺さんもお婆さんも交替制でお客に桃を振る舞うと思う。
821 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/28(金) 21:42:32 ID:5u8NPnD9.net]: >>771
客は無作為に桃を選んだと仮定してシミュレーションしてみた。

m=c(rep(0,9),1) # 桃10個 1が桃太郎入りのもも
sim <- function(){
i=sample(10,1)
a=m[i]　# a:自分達用に残した桃
j=sample(9,1)
b=m[-i][j] # b:客が残した桃
c=m[-i][-j] # c:客が食べた桃8個
c(a,b,c)
}
momo=t(replicate(1e6,sim()))
fa <- function(x){ # 客が食べた桃cに桃太郎がいなくて
sum(x[3:10]==0) & x[1]==1 # かつ、自分達用に残した桃aに桃太郎がいればTRUEを返す
}

fb <- function(x){ # 客が食べた桃cに桃太郎がいなくて
sum(x[3:10]==0) & x[2]==1 # かつ、客が残した桃bに桃太郎がいればTRUEを返す
}

mean(apply(momo,1,fa)) # 自分達用の桃に桃太郎
mean(apply(momo,1,fb)) # 客の残した桃に桃太郎

> mean(apply(momo,1,fa))
[1] 0.100156
> mean(apply(momo,1,fb))
[1] 0.099983

当然ながら、どちらの確率も同等というシミュレーション結果になった。
822 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/28(金) 21:47:05 ID:/8vUoX3h.net]: 1/n! * ∫[t=2n, ∞] dt t^n e^(-t) → 0 ( n→ ∞ )
を示してください。
簡単そうに思えたのですがどうしたらいいか分からなくなりました。

https://imgur.com/a/Kyf8LdB
鞍点法によるスターリング公式の導出過程で現れたので、
できればスターリング公式を使わないルートでお願いします。
sssp://o.5ch.net/1pcds.png
823 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/28(金) 21:56:50 ID:5u8NPnD9.net]: 当然ながら、厳密解は

> u
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
[1,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
[2,] 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
[3,] 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
[4,] 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
[5,] 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
[6,] 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
[7,] 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
[8,] 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
[9,] 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
[10,] 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
> mean(apply(u,1,fa))
[1] 0.1
> mean(apply(u,1,fb))
[1] 0.1

でどちらの桃を選んでも同じ。
824 名前：771 [2020/08/29(土) 00:00:16.61 ID:ZmqVm7kK.net]: 桃太郎の問題、みんなありがとう！
変わらないって意見が多くて安心しました。スッキリです！

ちなみに問題は会員じゃないから確認できないけど多分この記事の中にあるはず
https://mainichi.jp/articles/20200816/ddv/010/070/019000c
825 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/29(土) 01:26:18 ID:gICDV3If.net]: >>782
多分、 n > 0 のとき、不等式
Σ[k=0,n] (2n)^k/k! < (1/n)*Σ[k=0,2n] (2n)^k/k! < e^(2n)/n
が成立すると思うんだけど、証明がわからない
826 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/29(土) 07:54:19 ID:nEvr3uHf.net]: >>782
(1/n!)∫[t=2n,∞] (t^n) e^(-t)dt
　= e^(-2n) Σ[k=0,n] (2n)^k / k!
　～ √(2/πn) (2/e)^n,
スターリングを使わずに示すのは
簡単とは思えないが････
827 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/29(土) 07:59:00 ID:nEvr3uHf.net]: >>782
参考までに、別の本から概略を引用すると、

log(n) に ∫[n-1/2,n+1/2] log(x)dx を代用すれば、
　log((n-1)!) = (n-1/2)log(n) -n +1 -δ,
従って
　Γ(n) = (n-1)!
　　　= n^(n-1/2) e^(-n+1-δ)
　　　= a n^(n-1/2) e^{-n+μ(n)},　　　(1)
　lim(n→∞) μ(n) = 0.　　　　　　　　(2)
定数aはWallisの公式(253頁,(9))
　√π = lim(n→∞) (n!)^2･2^(2n) / ((2n)!･√n),
から簡単に求められる。
すなわち (1) から代入して, (2) を用いれば、
　√π = lim(n→∞) ････ = a/√2.
故に
　a = √(2π).
よって (1) から, nを掛けて
　n! ～ √(2π) n^(n+1/2) e^(-n).
これが Stirling の公式である。
　Stirlingの公式は簡単に得られたが、････

高木貞治：「解析概論」改訂第三版, 岩波書店 (1961)
　第５章　解析函数　§69． p.258-259
828 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/29(土) 08:50:52.62 ID:nEvr3uHf.net]: >>785
　Σ[k=1,2n] (2n)^k / k!
　= Σ[k=1,n] {(2n)^k / k! + (2n)^{k+n} / (k+n)!}
　= Σ[k=1,n] {(2n)^k / k!} {1 + (2n)^n / [(k+1)(k+2)････(k+n)]}
　≧ Σ[k=1,n] {(2n)^k / k!} {1 + (n-1)}　　　　(←*)
　= n Σ[k=1,n] (2n)^k / k!,
かな？

(*)
　(2n)^n /(k+1)(k+2)････(k+n) ≧ (2n)^n / [(n+1)(n+2)････(2n)]
　= (2n)^{n-1} / [(n+1)(n+2)････(2n-1)]
　> (2n)^{n-1} / (3n/2)^{n-1}　　　　　(GM-AM)
　= (4/3)^{n-1}
　> n-1,　　　　(n≧8)
829 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/29(土) 09:01:06.05 ID:nEvr3uHf.net]: >>771
　近所のスーパーかコンヴィニで１つ買って
それをお隣にあげればいいんぢゃね？
830 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/29(土) 09:06:38.47 ID:c31TQaq/.net]: 実数a,b,cは1≦a≦2,1≦b≦2,1≦c≦2を動く。
p,q,rをp=bc/(a+b),q=ca/(b+c),r=ab/(c+a)と定め、xyz空間の点(p,q,r)が動いてできる立体Kを考える。

（1）rの取りうる値の範囲を求めよ。

（2）実数tを（1）の範囲内の値とする。Kを平面z=tで切った切り口の概形を図示せよ。

（3）Kの体積を求めよ。
831 名前：782 mailto:sage [2020/08/29(土) 10:31:35.00 ID:MuxeN7Uy.net]: >>785, >>788 これ分かり易いですね！ありがとうございます。

スターリング使わないで...とは言ったものの
>>786
e^(-2n) Σ[k=0,n] (2n)^k / k! ～ √(2/πn) (2/e)^n
どうやったらこの式が導出できるのか教えてほしいです。
832 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/29(土) 11:46:39.49 ID:pjypKnM7.net]: ラスロウ・ロバース他著（秋山仁＋ピーター・フランクル翻案）『入門組合せ論』という本に以下の定理が書いてあります。
なぜ、「n以外のnの約数」と書いているのでしょうか？
n = 7のとき7以外の7の約数で素数であるものは存在しませんが
φ(7) = 6 = 7 * (1 - 1/7)
と定理を適用できます。

φ(n)をn以下の自然数でnと素であるものの個数とする。
n以外のnの約数で素数であるものをp_1, …, p_kとする。このとき
φ(n) = n * (1 - 1/p_1) * … * (1 - 1/p_k)
が成り立つ。
833 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/29(土) 11:54:18.56 ID:nEvr3uHf.net]: t≒2n では
　e^{t/2n} ≒ (e/2n)t,
　
834 名前：t^n ≒ (2n/e)^n・e^{t/2}, t >>2t では小さいから ∫[t=2n,∞] (t^n) e^{-t} dt ≒ (2n/e)^n ∫[t=2n,∞] e^{-t/2} dt = (2n/e)^n [ 2e^{-t/2} ](t=2n,∞) = (2n/e)^n・2e^{-n} = 2(n/e)^n・(2/e)^n ～ 2{n!/√(2πn)} (2/e)^n,　(スターリング) []: [ここ壊れてます]
835 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/29(土) 12:02:30.60 ID:a4jrTFKD.net]: >>792
たしかに意味がないように思える
nが素数でないときは「n以外のnの約数で素数であるもの」と「nの約数で素数であるもの」は同じことになるし、
nが素数のときは、「nの約数で素数であるもの」はnだけなのでその計算式はn(1-1/n)=n-1となり、「n以下の自然数でnと素であるものの個数」と一致する
836 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/29(土) 12:17:16 ID:nEvr3uHf.net]: ↑
e^x ≧ e･x　(等号成立はx=1)　を使った。
t> >2n では小さいから誤差を無視して…
837 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/29(土) 12:29:43 ID:pjypKnM7.net]: >>794
ありがとうございました。訳者及び翻案者の秋山仁さんのミスかと推測します。
838 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/29(土) 12:46:22.59 ID:MuxeN7Uy.net]: >>793
初見では少し？な近似でしたが、
∫[2n,2n+M] dt t^n e^{-t}
= ∫[0,M]dt (t+2n)^n e^{-t-2n}
= e^{-2n} (2n)^n ∫[0,M]dt (1+t/2n)^n e^{-t}
≒ e^{-2n} (2n)^n ∫[0,M]dt e^{+t/2} e^{-t} (t≦ M << n)
= e^{-2n} (2n)^n ∫[0,M]dt e^{-t/2}
= ... (M→∞)
なるほど納得しました。ありがとうございます。
839 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/29(土) 13:14:08.64 ID:c31TQaq/.net]: >>790
（1）
a,b,cは独立に動くことに留意する。
ab/(c+a)=b[1-{c/(c+a)}]
=f(b|a,c)
cを固定してc/(c+a)=g(a|c)とaの関数と見る。ここでg(x|y)はxが変数、yを定数とみなした表記である。
c>0よりg(a|c)は単調減少。よってcの値に関わらず、
Max{g(a|c)}=g(1|c),min{g(a|c)}=f(2|c)
次にcの固定を外し、g(a|c)をcの関数g(c|a)とみる。aを固定した上でg(c|a)の増減を調べる。
g(c|a)=c/(c+a)=(c+a-a)/(c+a)=1-a/(c+a)
a>0より、g(c|a)は単調増加。
よってg(a|c)はcに関して単調増加かつaに関して単調減少で、
Max{g(a|c)}=g(1|2),min{g(a|c)}=g(2|1)
したがって1/3≦g(a|c)≦2/3であるから、
b/3≦f(b|a,c)≦2b/3
min{f(b|a,c)}=f(1|1,2)=1/3
Max{f(b|a,c)}=f(2|2,1)=4/3
以上より、1/3≦ab/(c+a)≦4/3
840 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/29(土) 13:39:47.67 ID:c31TQaq/.net]: >>790
（2）
1/3≦t≦4/3なるtを1つ固定する。
t=ab/(c+a)より、b=t(c+a)/a
よって
p=bc/(a+b)=tc(c+a)/[t(c+a)+a^2]
q=ca/(b+c)=(c*a^2)/[t(c+a)+ca]

ここから先で2変数a,cをどう扱えば良いか分かりません。固定されたtの値によってa,cの範囲も変わってくるので場合分けが必要だと思いますが、どうしたら良いでしょうか。
841 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/29(土) 16:17:07.46 ID:pjypKnM7.net]: >>787
解析概論を読み込んでいるんですか？
842 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/29(土) 16:55:20.16 ID:pjypKnM7.net]: >>787
lim(n→∞) ････ = a/√2.

これはなぜですか？
843 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/29(土) 16:59:08.21 ID:pjypKnM7.net]: >>801
うまい具合に消えてくれるんですね。
844 名前：イナ mailto:sage [2020/08/29(土) 17:54:54.71 ID:fW6yRWVP.net]: 前>>780
>>790(1)
a=b=1,c=2のときr=ab/(c+b)=1/(2+1)=1/3
a=√2,b=2,c=1のときr=ab/(c+a)=2√2/(1+√2)=2√2(√2-1)=4-2√2
∴1/3≦r≦4-2√2
1/3≦r≦4-2√2
845 名前：イナ mailto:sage [2020/08/29(土) 18:00:14.85 ID:fW6yRWVP.net]: >>790(1)訂正。
a=b=1,c=2のときr=ab/(c+b)=1/(2+1)=1/3
a=b=2,c=1のときr=ab/(c+a)=4/(1+2)=4/3
∴1/3≦r≦4/3
846 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/29(土) 18:33:58 ID:pjypKnM7.net]: >>787
解析概論のδ_nが収束することの証明がわかりやすかったです。
847 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/08/29(土) 19:02:11 ID:fW6yRWVP.net]: 前>>804
>>790(2)
z座標がab/(c+a)=tのとき、
x座標はbc/(a+b)=ab(b-t)/(a+b)t
y座標はca/(b+c)=(b-t)a^2/(ab-at+bt)
1/3≦t≦4/3だから、
ab(3b-1)/(a+b)≦x≦ab(3b-4)/4(a+b)
(3b-1)a^2/(3ab-a+b)≦y≦(3b-4)a^2/(3ab-4a+4b)
848 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/29(土) 19:30:50.30 ID:nEvr3uHf.net]: >>797
蛇足だけど
849 名前： マクローリン展開 log(1+x) = ∫[0,x] 1/(1+y) dy = x - (1/2)x^2 + (1/3)x^3 - ････, で　x = e^{t'/2n} -1　とおいて t'/2n = [e^{t'/2n} -1] - (1/2)[e^{t'/2n} -1]^2 + ････, 2n+t' = 2n (e^{t'/2n} - (1/2)[e^{t'/2n} -1]^2 + ････), (2n+t')^n ≒ (2n)^n (e^{t'/2} - (n/2)[e^{(n+1)t'/2n} - 2e^{t'/2} + e^{(n-1)t'/2n}] ), (2n+t')^n e^{-t'} ≒ (2n)^n (e^{-t'/2} - (n/2)[e^{-(n-1)t'/2n} - 2e^{-t'/2} + e^{-(n+1)t'/2n}] ), ∫[2n,∞] (t^n) e^{-t} dt = e^{-2n}∫[0,∞] (2n+t')^n e^{-t'} dt' ≒ e^{-2n} (2n)^n {2 - n[n/(n-1) -2 +n/(n+1)]} = (2/e)^n (n/e)^n {2 - 2n/(nn-1)} ≒ (2/e)^n n! √(2/πn) {1 - n/(nn-1)}, []: [ここ壊れてます]
850 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/29(土) 19:50:06 ID:nEvr3uHf.net]: >>800
　はい。

>>801
　ぐぢゃぐぢゃな式なので略しますた。
851 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/29(土) 20:21:40.53 ID:MSAwsPl+.net]: >>799
どなたかこれをお願いします。
定義域が複雑に変わる２変数の処理が難しくて思いつきません。対称性を上手く使えないかとも思いましたが、思いつきません…
852 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/30(日) 04:27:47.99 ID:2u9lqC6Z.net]: （数列の）無限小について質問です。

o(a_n)と書いた時、o(*)は関数の記号をイメージさせるように思います。
小平邦彦著『解析入門』には、o(a_n)という記号のイメージはo×a_nであると書いてあります。
どっちをイメージするのが普通でしょうか？
853 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/30(日) 04:31:14.64 ID:2u9lqC6Z.net]: o(a_n)が関数の記号をイメージさせるというのを説明しますと、数列a_nにa_nよりも高次の無限小である数列の集合を対応させる関数o(a_n)という
イメージです。
一方、掛け算のイメージを説明しますと、b_n = o(a_n)というのをb_n = o × a_n（oは無限小である、ある数列）と考えるというイメージです。
854 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/30(日) 06:33:27.00 ID:8qkie79e.net]: >>782
これ面白いな
何が起こってるのか自分なりに整理してみたら
ポアソン分布の中心極限定理=スターリングの公式
ってことが分かった
コンビネーションあるいは指数関数の性質のおかげで
ポアソン分布e^(-λ)λ^k/k!は再生性を持っている(合成系が再び同分布になる)から
中心極限定理によってN合成系のポアソン分布
e^(-N)N^k/k! (平均N、偏差√N)
はNが大きくなっていくと同平均同偏差の正規分布
1/√(2πN)e^(-(k-N)^2/2N) (平均N、偏差√N)
に近づいていく
k=Nを代入すると
スターリングの公式N!～√(2πN)N^N/e^N
が得られる
また偏差が√NであることからNが大きくなったとき
中心(=平均)Nから±N/2(←√Nに比べて非常に大きい)の範囲にほとんどの確率が入ってくる
逆に言えばk=1～N/2という裾野に入る確率はゼロになっていく
これはまさにe^(-N)Σ[k=1,N/2] N^k/k!→0(N→∞)を意味している
855 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/30(日) 08:40:20.57 ID:wS+E/Mk9.net]: 数値例
I_n = (1/n!)∫[2n,∞] (t^n)e^{-t} dt,
J_n = (1/n!)(2n/ee)^n *2(1-n/(nn-1)),　>>807
K_n = (1/n!)(2n/ee)^n *2,　　　　　　>>793

n, I_n, J_n, K_n
-------------------------------------------------
4, 0.0996324005, 0.0839700231, 0.114504577
8, 0.02198725355, 0.02093050770, 0.02397494519,
16, 0.001391667287, 0.001371653306, 0.001463479469,
32, 7.4429824464E-6, 7.4125663716E-6, 7.6519227025E-6,
64, 2.90400556165E-10, 2.9007904985E-10, 2.9468462147E-10,
128, 6.1223407676E-19, 6.12056673216E-19, 6.1687631358E-19,
856 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/30(日) 09:34:02.53 ID:8qkie79e.net]: >>782
ガンマ分布とポアソン分布の双対性
∫[t=0,t'] t^s'e^(-t)/s'! + Σ[s=0,s'] t'^se^(-t')/s! =1
とも思えるな

この式、すごく不思議だ
857 名前：782 mailto:sage [2020/08/30(日) 09:53:42.39 ID:NMQHWWIV.net]: せっかくなので >>782 の式の証明を整理してみました。
https://imgur.com/a/Hi8iXiB

https://imgur.com/a/Kyf8LdB
と合わせて、スターリング公式の証明が完成しました。

偉い人が見たらこんなの証明とは言えん！
と怒られそうですが、鞍点法は手軽さが売りみたいなものですからね。
858 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/30(日) 09:57:15.16 ID:8qkie79e.net]: >>814
これ、ベイズ理論における共役分布というのが関係してる説あるな
859 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/30(日) 11:27:29.18 ID:wS+E/Mk9.net]: >>788
　e^{2n} > Σ[k=1,2n] (2n)^k / k!
　= ････
　> Σ[k=1,n] {(2n)^k / k!} (1 + (4/3)^{n-1})
　> (4/3)^{n-1} Σ[k=0,n] (2n)^k / k!,
だから
　e^{-2n} Σ[k=0,n] (2n)^k / k! < (3/4)^{n-1} = 0.75^n (4/3),
これは
　(左辺) ≒ (2/e)^n √(2/πn) = 0.73576^n √(2/πn)
より少し大きい。
860 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/30(日) 12:07:17.74 ID:5BeLtRJT.net]: >>811
どっちも同じことじゃないの？
迷ったら定義に戻ればいい
b_n = o(a_n) の定義は b_n/a_n → 0 でしょ？
だから ε_n := b_n/a_n とすれば ε_n → 0 かつ b_n = (ε_n)*(a_n)
861 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/30(日) 12:26:19.90 ID:5BeLtRJT.net]: >>811
強いて言うなら

>a_nよりも高次の無限小

という表現はイマイチかな
b_n = o(a_n) でも b_n → 0 とは限らないからね
例えば、 a_n := n^2 のとき、
b_n := n とすれば b_n = o(a_n) as (n→∞) だが b_n → ∞ (n→∞)
862 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/30(日) 14:00:06.34 ID:UYEbc3ly.net]: >>790
これの（2）をどなたかお願いします
何時間か考えましたが解けませんでした
（1）は1/3≦r≦4/3です
863 名前：イナ mailto:sage [2020/08/30(日) 15:31:40.52 ID:upD++ZyF.net]: 前>>806
>>790(2)
ab(4b-3)/4(a+b)≦x≦ab(3b-1)/(a+b)
a^2(3b-4)/(3ab-4a+4b)≦y≦a^2(3b-1)/(3ab-a+b)
(a+b)+x=ab(b-t)
y(ab-at+bt)=a^2(b-t)
a(a+b)+ax=by(ab-at+bt)
a(a+b)+ax-ab^2y=-by(a-b)t
t=｛ab^2y-ax-a(a+b)｝/by(a-b)
ここまではできた。
領域の形がわからない。
864 名前：イナ mailto:sage [2020/08/30(日) 16:00:10.08 ID:upD++ZyF.net]: 前>>821
>>790(3)K=3ab^3(8ab-1)/4(3ab-a+b)(3ab-4a+4b)(a+b)
865 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/30(日) 17:44:45.74 ID:wS+E/Mk9.net]: >>814
マクローリン展開
　e^{t'} = Σ[s=0,∞] (t'^s) /(s!),
から
　e^{-t'} Σ[s=0,∞] (t'^s) /(s!) = 1,　　　(ポワソン分布)

　e^{-t'} Σ[s=0,s'] (t'^s) /(s!) = 1 - e^{-t'} Σ[s=s'+1,∞] (t'^s) /(s!)
　= 1 - ∫[t=0,t'] (t^s') e^{-t} dt / (s'!),
866 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/30(日) 18:30:40.16 ID:wS+E/Mk9.net]: >>797
をﾁｮﾄ改良。
e = lim(N→∞) (1+1/N)^{N +1/2},
∴　(1+t'/2n)^{2n/t' +1/2} ≒ e,

(1+t'/2n)^n ≒ (1+t'/2n)^{-t'/4} e^{-t'/2}
　≒ (1 - t't'/8n) e^{-t'/2},

∫[0,∞] (1 +t'/2n)^n e^{-t'} dt'
　≒ ∫[0,∞] (1 - t't'/8n) e^{-t'/2} dt'
　= [ -{2 - (8+4t'+t't')/4n} e^{-t'/2} ](0→∞)
　= 2(1 - 1/n),　　　　　(>>807 を参照)
867 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/30(日) 19:00:24.05 ID:2u9lqC6Z.net]: 以下の問題の解答がわかりません。スペルナーの補題を利用しているのですが、分からないところがあります。
スペルナーの補題および以下の問題の解答をアップロードすれば一緒に考えていただけますか？

ラスロウ・ロバース他『入門組合せ論』共立出版 (1985)
（秋山仁＋ピーター・フランクル翻案)　136p．2090円
www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320013407

多分、難しい問題だと思います。aとcを結ぶ線分およびbとdを結ぶ線分は長方形の対角線になります：

長方形の板があり、その4頂点a, b, c, dに釘が打ってある。aとcは+の釘、bとdは-の釘である。そして、どの3本の釘も一直線上に並ばない
868 名前：ようにかってに +と-の釘を何本でも打ち込み、釘以外で意図が交差することがないように釘の間を糸で結び、もうこれ以上は交差せずには結べないところまで結ぶ（この とき、長方形の内部の領域はすべて三角形であることに注意せよ）。このとき、+どうしを結ぶ糸だけを通ってaからcまで到達できるか、または-どうしを結ぶ 糸だけを通ってbからdまで到達できる。 []: [ここ壊れてます]
869 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/30(日) 19:24:56.49 ID:wS+E/Mk9.net]: >>824 (訂正)

(1+t'/2n)^n ≒ (1+t'/2n)^{-t'/4} e^{t'/2}
　≒ (1 - t't'/8n) e^{t'/2},
これに e^{-t'} を掛ける。
870 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/30(日) 21:27:53 ID:HbO/9OyJ.net]: >>825
以下二本の+釘を結ぶ辺を+辺、二本の－釘を結ぶ辺を－辺と呼ぶ
+釘と+辺で囲われた領域の内部は全て+釘と+辺としてよい
－についても同様に仮定する
+釘と+辺からなるグラフを+グラフと呼ぶ
－についても同様に－グラフと呼ぶ
ε>0を十分小さくとる
プラスグラフのε近傍を除いて長方形が分断される時は+辺を辿ってaとcが結ばれるから+グラフのε近傍を除いても残った領域は連結である
そこでbからdに至るパスを+グラフのε近傍をb,d以外は釘を通らないものにとる
このパスが通過する三角形の頂点は－釘は高々一つである
そこで各三角形に入る部分と出る部分を止めたままパスをずらして、全てグラフ上で－グラフのε近傍を通らないようにできる
この時得られたグラフは－辺を通らないパスなのでさらに変形してプラス辺しか通らないようにできる
871 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/30(日) 21:29:48 ID:HbO/9OyJ.net]: >>827

後半修正
+と－逆になった

> このパスが通過する三角形の頂点は+釘は高々一つである
> そこで各三角形に入る部分と出る部分を止めたままパスをずらして、全てグラフ上で+グラフのε近傍を通らないようにできる
> この時得られたグラフは+辺を通らないパスなのでさらに変形して－辺しか通らないようにできる
872 名前：イナ mailto:sage [2020/08/30(日) 22:18:27.24 ID:upD++ZyF.net]: 前>>822
>>825
acとbdの交点をeとすると、
△cdeの内部に+の釘を打つことでaからcに2本の糸で行ける。
-の釘を打てばbからdに2本の糸で行ける。
かならずしも+も-も打つ必要はなく、
直接aとcを結べば1本の糸で行けるし、
bとdを結べば-どうし1本の糸で結ぶこともできる。
∴示された。
873 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/30(日) 22:28:36.45 ID:HbO/9OyJ.net]: >>829
イナってコレ↓？

https://profile.ameba.jp/ameba/inajimax
874 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/30(日) 22:56:31.20 ID:UYEbc3ly.net]: どなたか>>790の（2）をお願いします
875 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/30(日) 23:10:46.49 ID:wS+E/Mk9.net]: >>807
更に蛇足だが････

(1+t'/2n)^n = {1 - (1/8n)t'^2 + (1/24n^2)t'^3 + {(n-2)/(128n^3)}t'^4 - {(5n-6)/(960n^4)}t'^5 - ････} e^{t'/2},
を使えば
∫[0,∞] (1+t'/2n)^n e^{-t'} dt'
　= ∫[0,∞] {1 - (1/8n)t'^2 + (1/24n^2)t'^3 + ････｝ e^{-t'/2} dt'
　= 2(1 - 1/n + 5/n^2 - 41/n^3 + ････),
876 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/31(月) 00:41:32.75 ID:SpqiBffY.net]: >>831
r=4/3のとき断面は1点
1≦r<4/3のとき断面は3角形
2/3<r<1のとき断面は5角形
r=2/3のとき断面は4角形
1/2<r<2/3のとき断面は5角形
1/3<r≦1/2のとき断面は3角形
r=1/3のとき断面は1点
877 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/31(月) 00:53:34.63 ID:/Gn5tqYJ.net]: （端を除いて）切り口は相似にならない？
878 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/31(月) 10:14:42.63 ID:5D4+y8sX.net]: >>807
指数関数列に展開するなら（ラプラス展開？）
　x = e^{t'/2n} -1　とおいて
1 + t'/2n
　= {1 - (1/2)x^2 + (1/2+1/3)x^3 -(1/2+1/3+1/4)x^4 + ････} e^{-t'/2n},

(1 ⊹ t'/2n)^n
　= {1 - (1/2!)nx^2 + (5/3!)nx^3 + (1/4!)n(3n-29)x^4 - (2/5!)n(25n-102)x^5 - (5/6!)n(n-1)(3n-134)x^6 + (7/7!)n(n-1)(75n-1262)x^7 + ････} e^{-t'/2},

∫[0,∞] x^k e^{-t'/2} dt'
　= ∫[0,∞] (e^{t'/2n} -1)^k e^{-t'/2} dt'
　= 2/C(n-1,k)
　= 2(k!)/{(n-1)････(n-k)},

∫[0,∞] (1 + t'/2n)^n e^{-t'} dt'
　= 2(1 - n/{(n-1)(n-2)} + 5n/{(n-1)(n-2)(n-3)} + n(3n-29)/{(n-1)････(n-4)} - 2n(25n-102)/{(n-1)…(n-5)} - 5n(3n-134)/{(n-2)…(n-6)} + 7n(75n-1262)/{(n-2)････(n-
879 名前：7)} + ････) = 2(1 -1/n +5/n^2 -41/n^3 +364/n^4 - ････) []: [ここ壊れてます]
880 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/31(月) 17:34:49 ID:5D4+y8sX.net]: (訂正)
1 + t'/2n
　= {1 - (1/2)x^2 + (5/6)x^3 -(13/12)x^4 +(77/60)x^5 -(29/20)x^6 -(223/140)x^7 +(481/280)x^8 - ････} e^{-t'/2n},

(1 ⊹ t'/2n)^n
　= {1 - (1/2!)nx^2 + (1/3!)5nx^3 + (1/4!)n(3n-29)x^4 - (1/5!)n(50n-204)x^5 - (1/6!)n(15nn-685n+1714)x^6 + (1/7!)n(525nn-9359n+16862)x^7 + ････} e^{-t'/2},

2(1 -1/n +5/n^2 -41/n^3 +469/n^4 - ････),
881 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/31(月) 17:41:59 ID:5D4+y8sX.net]: >>832
マクローリン展開の方は
(1+t'/2n)^n
　= {1 - (1/8n)t'^2 + {1/(24n^2)}t'^3 + {(n-2)/(128n^3)}t'^4
- {(5n-6)/(960n^4)}t'^5 - (3nn-26n+24)/(9216n^5)}t'^6
+ {(35nn-154n+120)/(107520n^6)}t'^7 + ････} e^{t'/2},

∫[0,∞] (1+t'/2n)^n e^{-t'} dt'
= 2(1 -1/n +5/n^2 -41/n^3 +469/n^4 - ････),
882 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/01(火) 15:23:30 ID:fpY624Bn.net]: f(x + y) = f(x) * f(y)
f(1) = 10
を満たす関数はg(x) = 10^x以外に、無数に存在することを示せ。
883 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/01(火) 18:35:21.38 ID:wPQGNFIu.net]: >>638
RのQベクトル空間としての基底(vi)_i∈card(R)をv0=1のようにとる
自然数nに対しQ線形写像gn:R→Rをgn(v0)=v0,gn(vi)=n(i>0)ととる
fn(x)=10^gn(x)
は全て条件を満たす
884 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/01(火) 19:12:28 ID:2qjbTlF5.net]: 1230
学コン・宿題ボイコット実行委員会@gakkon_boycott 9月1日
#拡散希望
#みんなで学コン・宿題をボイコットしよう
雑誌「大学への数学」の誌上で毎月開催されている学力コンテスト(学コン)と宿題は、添削が雑で採点ミスが多く、訂正をお願いしても応じてもらえない悪質なコンテストです。(私も7月号の宿題でその被害に遭いました。)このようなコンテストに参加するのは時間と努力の無駄であり、参加する価値はありません。そこで私は、これ以上の被害者を出さないようにするため、また、出版社に反省と改善を促すために、学コン・宿題のボイコットを呼び掛けることにしました。少しでも多くの方がこの活動にご賛同頂き、このツイートを拡散して頂ければ幸いです。
https://twitter.com/gakkon_boycott/status/1300459618326388737
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885 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/01(火) 19:50:01.76 ID:YyZ51xqq.net]: 誰か教えてください(´；ω；`)

単一換字暗号で暗号化されている文字列XXYがある。このとき、最頻出文字の推定が失敗する確率を求めなさい。
ただし、平文は英語のアルファベット3文字x, y, zだけで書かれている。尚、各アルファベットの出現する確率は、大きい方から順に0.5, 0.3, 0.2である。
886 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/01(火) 21:15:25.68 ID:avnwFqkU.net]: >>841
x0.5y0.3z0.2で
xxyの確率は75/1000
x0.5y0.2z0.3で50/1000
同様に他のは45/1000, 18/1000, 20/1000, 12/1000
これらの内x0.5なのは(75+50)/(75+50+45+18+20+12)=125/230=25/46
887 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/01(火) 21:16:30.91 ID:avnwFqkU.net]: 失敗だから21/46か
888 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/01(火) 22:47:29.11 ID:YyZ51xqq.net]: >>843
ありがとう(´；ω；`)
889 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/02(水) 00:09:32.35 ID:8HGOiuSr.net]: >>844
説明は適当だから適当に適切にしてな
890 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/02(水) 01:46:36 ID:oLFPYAp6.net]: 前>>829
>>833場合分けか。
分子に来るか、分母に来るか、両方に来るか。
分子、分母が1より大きいか、小さいか。
r=ab/(c+a)=1/3となるのは(a,b,c)=(1,1,2)のとき。
1/3＜r＜1/2
r=ab/(c+a)=1/2となるのは(a,b,c)=(2,1,2)のとき。
1/2＜r＜5/9=0.555……
r=ab/(c+a)=5/9となるのは(a,b,c)=(5/3,1,4/3)
5/9＜r＜1/√3
1/√3=0.5773502……
r=ab/(c+a)=1/√3となるのは(a,b,c)=(√3,2√3/3,√3)のとき。
1/√3＜r＜3/5=0.6

2/3=0.666……
r=ab/(c+a)=2/3となるのは(a,b,c)=(1,2,2)のとき。
(a,b,c)=(7/5,10/7,8/5)のときもr=2/3
2/3＜r＜1/√2
r=ab/(c+a)=1/√2となるのは(a,b,c)=(√2,√2,√2)
いくらでも刻めるじゃないか。
場合分けなんか意味あんのか？
891 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/02(水) 05:02:59.82 ID:jqJOY8zO.net]: xyz空間の点(x,y,z)は以下を満たしながら動く。
x=ca/(a+b)
y=a+b
z=ab/(b+c)

ただしa,b,cは以下を満たす実数である。
・a,b,cは独立であり、1≦a≦2、1≦b≦2、1≦c≦2の範囲を変化する。

点(x,y,z)が動いて出来る立体の体積を求めよ。
892 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/02(水) 11:20:27.69 ID:aS8SLhhP.net]: 平面上では存在しない不適切問題とされた問題

AB = 8, BC = 12, ∠B = 60°, ∠C = 40° のとき、
三角形ABCに外接している円の半径を求めよ。

suseum.jp/gq/question/3187

こう改題したらどうだろう？

球面上で
AB = 8, BC = 12, ∠B = 60°, ∠C = 40° という三角形ABCが存在するならその球の半径と∠A及びCAの長さを求めよ

という問題なら答があるだろうか？
893 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/02(水) 11:33:27.15 ID:ftauqud+.net]: >>848
atan((√3)/2)= 40.893394649131°
で球面上なら角度でかなるから無理やろ
894 名前：イナ103 mailto:sage [2020/09/02(水) 15:17:18.75 ID:oLFPYAp6.net]: 前>>846
>>847
y軸を縦にとるせいか見やすいですね。
895 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/02(水) 15:41:10.87 ID:zrYT2aew.net]: 小さい方から数えてn番目の素数をP[n]と書く。

（1）素数pで、P[p]+pが素数となるものをすべて求めよ。

（2）素数qで、P[q]+q!が素数となるものは無数に存在することを示せ。
896 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/02(水) 16:05:47.03 ID:i2k4QLcN.net]: https://i.imgur.com/CXXqApj.png

上の組合せ論の公式の証明が意味不明です。証明の最初の2文が特によく分かりません。
897 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/02(水) 16:21:31.88 ID:i2k4QLcN.net]: 最初の2文ですが、以下のようであれば分かるのですが。。。

{1, …, u+v+1}からu+v-m+1個の整数を取り出して、昇順に一列に並べる。
このとき、左からu+1番目の整数はu+k+1(0≦k≦m)と書ける。
898 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/02(水) 16:25:15.26 ID:i2k4QLcN.net]: >>852
ラスロウ・ロバース他著（秋山仁＋ピーター・フランクル翻案）『入門組合せ論』という本に載っている公式です。
おそらく秋山仁さんが大幅に原著を翻案してほぼ一人で書いていると推測します。
899 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/02(水) 16:26:28.40 ID:i2k4QLcN.net]: >>853
公式自体が成り立つことは、以下から簡単に分かります。

{1, …, u+v+1}からu+v-m+1個の整数を取り出して、昇順に一列に並べる。
このとき、左からu+1番目の整数はu+k+1(0≦k≦m)と書ける。
900 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/02(水) 16:29:22.56 ID:i2k4QLcN.net]: arcsin(x/sin(x))^log(sin(e^x))を微分せよ。
901 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/02(水) 16:33:35.81 ID:pYwI/orc.net]: >>855
じゃあええやん
902 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/02(水) 17:50:35.49 ID:1pAmelOb.net]: xが実数だとすると
　|x/sin(x)| > 1,　　(x≠nπ)
arcsin(x/sin(x)) は虚数。
903 名前：イナ mailto:sage [2020/09/02(水) 19:11:15.57 ID:oLFPYAp6.net]: 前>>850
>>848
∠A=180°-60°-40°=80°
AからBCに垂線AHを下ろすとその長さは4√3
BH=4,HC=8
ピタゴラスの定理よりAC=√｛(4√3)^2+8^2｝
=√(48+64)
=√112
=4√7
904 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/02(水) 20:20:13.04 ID:i1KE1wMl.net]: 確かに
三辺が8:12:4√7のとき外接円半径は(4/3)√21
これ数字の並びが綺麗だけどね

ただこの場合、角度がきれいじゃないんだなあ
905 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/02(水) 20:30:42.82 ID:aS8SLhhP.net]: >>859
球面三角形の内角の和って180を超えるよ。
906 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/02(水) 20:44:37.11 ID:55IWteQv.net]: 　iを虚数単位とする。
　互いに素な自然数の組(m,k)が与えられている。
　自然数nに対し、複素数α[n]をα[n]={(m+ki)/|m+ki|}^nにより定義する。

（1）
　任意の素数pに対し、α[p]は実数でないことを証明せよ。

　以下、自然数s,t,uに対してα[s],α[t],α[u]が複素数平面上の三角形の3頂点をなすとき、その面積をS(s,t,u)と表す。

（2）
　相異なる3つの素数の組(p_1,p_2,p_3)を選び、複素数平面上の3点α[p_1],α[p_2],α[p_3]を頂点とする三角形を作る。
　このとき、組(p_1,p_2,p_3)をどのように選んでも、それとは異なる、相異なる3つの素数の組(p_4,p_5,p_6)で、
　　S(p_4,p_5,p_6) > S(p_1,p_2,p_3)
となるものが存在することを示せ。
　ただし組(A,B,C)と組(D,E,F)が異なるとは、{A,B,C}≠{D,E,F}であることを指す。

（3）
　S(x,y,z)には上限が存在することを示せ。またその上限を求めよ。
907 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/09/02(水) 21:02:17 ID:oLFPYAp6.net]: 前>>859
>>848
8/4√7=0.75592894601……
cos40°=0.76604444311……
わずかだが4√7はACとして長いので弛ませる必要がある。
すなわち△ABCが球体の表面にあればよい。
弧⌒AC=4√7に対する中心角を2θ,
球体の半径をrとすると、
sinθ=4/rcos40°=4θ/(2√7×cos40°)
2θ/sinθ=(cos 40°)√7
r=2√7/θ
一意に決まりそうなんだが。
908 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/02(水) 21:48:37.75 ID:gOJqVuG1.net]: ((1+i)/√2)^4=-1
909 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/02(水) 22:03:50.67 ID:ppeMypQd.net]: >>864
4は素数ではないですね
素数乗の時だけを考える問題です
910 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/02(水) 22:15:24.39 ID:gOJqVuG1.net]: >>865
コレは適当に作ったやつ？
答えあんの？
911 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/03(木) 08:42:40.93 ID:0MiY3pek.net]: >>848
r≒3.27225
CA≒3.17659
∠A≒210.168°
imgur.com/5JtUk3J.gif
912 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/03(木) 12:28:07.30 ID:WJg5dk4Y.net]: f_n(x)=x^2-nx+1とする。

（1）方程式f_4(x)=0の2解をα,β(α>β)とおく。α^2020の一の位の数字を求めよ。

（2）方程式f_3(x)=0の2解をγ,δ(γ>δ)とおく。γ^2020の一の位の数字を求めよ。
913 名前：イナ mailto:sage [2020/09/03(木) 13:19:17.84 ID:X3Tfr0H/.net]: 前>>863
>>867Aへっこんでるやん。
それはあかんわ。
914 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/03(木) 13:36:28 ID:7p7EW6Y9.net]: >>868
a(t)=α^t+β^tとおいて
a(t)=na(t-1)-a(t-2), a(0)=2, a(1)=n
a(n) の法10での類は多くとも周期10でループ
α^nの1の位≡a(t)-1(mod10)
915 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/03(木) 17:23:02.66 ID:0ZMkI57p.net]: >>869
確かに凹の四角形にみえる
916 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/03(木) 20:25:08.98 ID:3X4tVAZF.net]: >>867
力作ありがとうございます。
やっとイメージがわきました。
917 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/03(木) 20:54:11.59 ID:PGJ1gE8Y.net]: >>868
　f_n(x) = xx -nx +1 = (x-n/2)^2 - (nn-4)/4,
　2解　
918 名前：{n±√(nn-4)}/2 f_n(0) = 1, f_n(1) = 2-n < 0, f_n(n) = 1, ∴　0 < β(δ) < 1 < α(γ) []: [ここ壊れてます]
919 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/03(木) 21:48:28.44 ID:19dRHONM.net]: 組み合わせの問題で教えて下さい。

①～⑩の名前のついた箱があります。
一つの箱には最低１以上～９１以下の数字が入ります。

このとき、１０個の合計が必ず１００になる条件とした場の組み合わせを
求める方法はあるでしょうか。

例
　　　　パターン名
　　　　　↓
箱の名前　A　　　Ｂ　　　　Ｃ　　　　Ｘ
　①　　９１　　９０　　　２０　　　 …
　②　　　１　　　２　　　１０　　　 …
　③　　　１　　　１　　　　２　　　 …
　④　　　１　　　１　　　　５　　　 …
　⑤　　　１　　　１　　　１３　　　 …
　⑥　　　１　　　１　　　２２　　　 …
　⑦　　　１　　　１　　　　７　　　 …
　⑧　　　１　　　１　　　　８　　　 …
　⑨　　　１　　　１　　　１４　　　 …
　⑩　　　１　　　１　　　　４　　　 …
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
合計　１００　１００　　１００　　１００　　合計は必ず１００
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　最低は必ず１
同種の質問がありましたら、ここを見ろでもOKです。

最終的な何パターンあるが計算で求められれば良いですが、
実際にはプログラムで全パターンを回してみたいので、その方法も
わかれば嬉しいです。

何卒、よろしくおねがいします。
920 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/03(木) 22:02:21.36 ID:QHxsSkOO.net]: >>874

Binomial(89, 9)
921 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/03(木) 22:04:43.39 ID:ldj0A8d3.net]: >>874
重複組み合わせ
H[10,90]=C[99,90]=1731030945644
922 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/03(木) 22:06:20.20 ID:QHxsSkOO.net]: >>874

Binomial(100-1, 10-1) = 1731030945644
923 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/03(木) 22:20:31.89 ID:QHxsSkOO.net]: >>876
なぜBinomial(n + k - 1, k - 1)のことを重複組合せというんですか？
924 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/03(木) 22:24:22.77 ID:QHxsSkOO.net]: 普通の組合せとは何の関係もないですよね？重複組合せと書くと何か普通の組合せの類似物のように錯覚しますが。
925 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/03(木) 22:52:40.33 ID:FNYVyrwP.net]: >>879
1個ずつ玉の入った名前付きの箱を10個用意して、その箱にあと90個の玉を入れるのと同じことだから、
10個の箱から重複を許して90回選ぶ選び方と同じ
なので重複組合せ
926 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/03(木) 22:55:59.11 ID:QHxsSkOO.net]: >>880
なるほど、分かりました。ありがとうございます。
927 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/04(金) 06:57:46 ID:a8/P402N.net]: >874をWolframに数えてもらおうと
　Coefficient[Sum[x^k, {k, 1, 90}]^10, x^100]
と入れたけどエラーが返ってきた。

箱が9個の時は計算してくれたんだが、
Coefficient[Sum[x^k, {k, 1, 90}]^9, x^100]
171200862675
928 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/04(金) 07:23:57 ID:E8UXnqsz.net]: >>867
こういうのはどうなんだろう
ABとBC交わっちゃってるしかなりキビシイ
どっちが内角なんだろうって疑問もある
imgur.com/0lUpfxL.gif
929 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/04(金) 08:31:49.03 ID:gPAmKfac.net]: >>874
列挙プログラムを書いてみた。

f <- function(Box,Sum){ # Box:箱の数,Sum：入った数字の合計の値
# 重複を許してｎ個からｒ個を選ぶ組み合わせを列挙する
H <- function(n, r, v=1:n) {
if (r == 0)
NULL
else if (r == 1)
matrix(v, n, 1)
else if (n == 1)
matrix(v, 1, r)
else rbind(cbind(v[1], H(n, r - 1, v)), H(n - 1, r, v[-1]))
}
h=H(Box,Sum-Box) # Box個の中から重複を許してSum-Box個を選ぶ
nh=nrow(h) # その組み合わせ数
re=matrix(rep(NA,Box*nh),nrow=nh,ncol=Box) # メモリ確保
a=numeric(Box)
for(i in 1:nh){　# 各々の選び方iに対して
for(j in 1:Box) a[j]=sum(j==h[i,]) # どの箱が何個選択されたかを
re[i,] =a # reのi行に入れる
}
return(re+1) # 1から始まる分を補正
}
箱３個合計９の場合
> f(Box=3,Sum=9)
[,1] [,2] [,3]
[1,] 7 1 1
[2,] 6 2 1
[3,] 6 1 2
[4,] 5 3 1
[5,] 5 2 2
[6,] 5 1 3
[7,] 4 4 1
[8,] 4 3 2
[9,] 4 2 3
[10,] 4 1 4
[11,] 3 5 1
[12,] 3 4 2
[13,] 3 3 3
[14,] 3 2 4
[15,] 3 1 5
[16,] 2 6 1
[17,] 2 5 2
[18,] 2 4 3
[19,] 2 3 4
[20,] 2 2 5
[21,] 2 1 6
[22,] 1 7 1
[23,] 1 6 2
[24,] 1 5 3
[25,] 1 4 4
[26,] 1 3 5
[27,] 1 2 6
[28,] 1 1 7
930 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/04(金) 08:59:28 ID:+q5Obciq.net]: >>883
そういうの含めて和はπ以下にはならん
931 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/04(金) 17:51:15 ID:4rR4gXNg.net]: >>848
　O (0, 0, 0)
　A (r cos(8/r), r sin(8/r)cos(B), r sin(8/r)sin(B))
　B (r, 0, 0)
　C (r cos(12/r), r sin(12/r), 0)
　∠B = 60°
とおく。
∠C は平面OACと平面OBCの二面角。
平面OACの法線ヴェクトル ↑OA×↑OC の
　xy-平面成分は rr sin(8/r) sin(B),
　z成分は　rr [sin(12/r)cos(8/r) - cos(12/r)･sin(8/r)cos(B)],
一方、平面OBCはxy-平面で、法線ヴェクトルは (0,0,1)
これらが∠Cをなすことから、↑OA×↑OC の成分比
　sin(8/r) sin(B)：[sin(12/r)cos(8/r) - cos(12/r)･sin(8/r)cos(B)]
　= sin(C)：cos(C),
　= ±sin(40°)：cos(40°),
　CA = r arccos[cos(12/r)cos(8/r) + sin(12/r)･sin(8/r)cos(B)],

C = +40° から
　r = 3.27225023635408
　CA = 3.４176589202447

C = -40° から
　r = 2.08421016388903
　CA = 4.0289210164475
932 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/04(金) 17:58:47 ID:43QR7q9z.net]: （グラフ理論の）グラフが同型でないことを示す一般的な方法ってありますか？
933 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/04(金) 18:04:18 ID:CIoeKwyr.net]: >>887
しらみつぶしぐらいジャね？
934 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/04(金) 18:39:47.74 ID:hSfz/m5F.net]: 複素平面上の点P(z)とPを通る定円Cがあるとき、PをC上の別の点に移すある変換fを考えます。
変換fを施すことを→で表します。
P→P_1→P_2→...と、PとPが移った点にfを施し続けるとき、任意のP_iがC上にあって、どのP_iも全て異なるようなfは一般にどのような形をしているかご教授ください。
935 名前：イナ mailto:sage [2020/09/04(金) 21:08:38.08 ID:SjJnJuPh.net]: 前>>869
>>886
AC=4.0と3.4の2つ出たの、すごいね。
楕円球にするしかないと思とった。
936 名前：８７４ [2020/09/04(金) 21:17:22.72 ID:JgMbxafq.net]: ８７４です。

みなさん、コメント・解答ありがとうございました。
なるほど、重複組み合わせというのですね。

Webでも調べてみて理解を深めることができました。
ありがとうございます。

>> 884 様
プログラムありがとうございます。
さらっとこんなプログラムを書ける、羨ましいです。
使われてる関数などで調べましたが、R言語なんでょうか。
https://cran.ism.ac.jp/　からWいwindows版をダウンロードして
インストしてみましたが、未だ動作に至らず....

もしよろしければ、動作方法など教えていただければ幸いです。

皆様、改めましてありがとうございました。ｍ(_ _)m
937 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/04(金) 21:32:45.62 ID:HUputvkD.net]: >>889
Cの任意可算無限集合の任意順序付けをP_iとし
P_iはP_(i+1)に移し、それ以外の点�
938 名前：ﾍ任意の変換 []: [ここ壊れてます]
939 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/04(金) 21:59:36.05 ID:huVAl7qX.net]: >>889
正則関数だと例えば
z₀ : 円Cの中心点、α : 任意の無理数として
　f(z) = z₀ + e^{i2πα} (z - z₀)
他のタイプの解があるのかは分からん。
非正則を含めた一般解となると >>892 みたいになる。
940 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/05(土) 00:44:18 ID:r6wBA3+u.net]: >>891
言語はRです。
ここで実行できます。
https://www.tutorialspoint.com/execute_r_online.php
日本語のコメントのままでも実行できました。
箱3個、合計数9でしかやってませんが。

箱10個、合計数100はメモリ不足で実行できないと思います。
重複組み合わせの列挙に再帰関数を使っているのでネストが深すぎてエラーになると思います。
941 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/05(土) 06:35:50.35 ID:HlUk1qZS.net]: 実数θが0≦θ≦π/4を動くとき、極座標系においてθ|sin(8πθ)|≦r≦θで表される領域の面積を求めよ。
942 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/05(土) 06:44:40.90 ID:dkJd7U2T.net]: 以下の条件を満たす自然数mを全て決定せよ。

【条件】
0≦n≦mを満たす全ての整数nについて、二項係数(m,n)は奇数となる。
943 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/05(土) 08:45:27 ID:Hr3noDgt.net]: 2^k-1
944 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/05(土) 09:47:46.51 ID:xcauWUrR.net]: 一般化して
パスカルの三角形で横一列の全てがpの倍数でない段はm=ap^k-1(1≦a≦p-1)段目だな
このようなmはp進表示で最高桁以外でp-1の並ぶ数で、和がmになるどのような2つの数n,(m-n)に分けてもその足し算で繰り上がりが発生しない数にとして特徴付けられる
こういう性質と二項係数の関係は前スレでも出た
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1594131967/460
945 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/05(土) 09:49:20.25 ID:xcauWUrR.net]: >>898
書き忘れた、pは素数
946 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/05(土) 12:52:12.18 ID:sjSgt5Lc.net]: >>895
S = (1/2)∫θ^2 dθ - (1/2)∫{θ sin(8πθ)}^2 dθ
　= (1/2)∫θ^2 cos(8πθ)^2 dθ
　= (1/4)∫θ^2 {1+cos(16πθ)} dθ
　= (1/4)∫θ^2 dθ + (1/4)∫θ^2･cos(16πθ) dθ
　= [ (1/12)θ^3 + θ^2･sin(16πθ)/(64π) ] - ∫θ･sin(16πθ)/(32π) dθ
　= [ (1/12)θ^3 + θ^2･sin(16πθ)/(64π) + θ･cos(16πθ)/(512π^2) ]
　　- ∫cos(16πθ)/(512π^2) dθ
　= [ (1/12)θ^3 + θ^2･sin(16πθ)/(64π) + θ･cos(16πθ)/(512π^2)
　　- sin(16πθ)/(8192π^3) ](θ=0,π/4)
　= (π^3)/768 + π･sin(4π^2)/1024 + cos(4π^2)/(2048π) - sin(4π^2)/(8192π^3)
　= 0.04333824242
947 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/05(土) 15:16:16.70 ID:vQ+eQauY.net]: 　iを虚数単位とする。
　互いに素な自然数の組(m,k)が与えられている。
　自然数nに対し、複素数α[n]をα[n]={(m+ki)/|m+ki|}^nにより定義する。

（1）
　任意の素数pに対し、α[p]は実数でないことを証明せよ。

　以下、素数p_i,p_j,p_kに対してα[p_i],α[p_j],α[p_k]が複素数平面上の三角形の3頂点をなすとき、その面積をS(p_i,p_j,p_k)と表す。

（2）
　相異なる3つの素数の組(p_1,p_2,p_3)を選び、複素数平面上の3点α[p_1],α[p_2],α[p_3]を頂点とする三角形を作る。
　このとき、組(p_1,p_2,p_3)をどのように選んでも、それとは異なる、相異なる3つの素数の組(p_4,p_5,p_6)で、
　　S(p_4,p_5,p_6) > S(p_1,p_2,p_3)
となるものが存在することを示せ。
　ただし組(A,B,C)と組(D,E,F)が異なるとは、{A,B,C}≠{D,E,F}であることを指す。

（3）
　S(p_i,p_j,p_k)には上限が存在し、その上限値が(3√3)/4であることを示せ。
948 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/05(土) 15:53:54.67 ID:8Trxkoe5.net]: 8.33%の確率のものを17回当てたくて1回当たり30000コイン必要な場合、コイン何枚必要か式と答えを教えてくださいm(_ _)m
949 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/05(土) 16:23:32.93 ID:Air1TPt6.net]: >>902
必ず17回当たるということなら無限に必要
当たり回数の期待値が17回を超えるのは17÷0.0833=204.08……なので205回以上だから615万コイン必要
ただし、205回抽選した場合18回以上当選する場合がある代わりに16回以下しか当選しない場合もある
950 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/05(土) 16:38:49.29 ID:liKukSbn.net]: >>902

>>903の訂正

必ず17回当たるということなら無限に必要
当たり回数の期待値が17回を超えるのは17÷0.0833÷2=102.04……なので103回以上だから309万コイン必要
951 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/05(土) 16:41:24.92 ID:r6wBA3+u.net]: >>902
(17/0.083)*30000=6144578
952 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/05(土) 16:45:03.05 ID: ]: [ここ壊れてます]
953 名前：r6wBA3+u.net mailto: >>902
負の二項分布
ここでは成功確率が0.083である事象が17回成功するまでの失敗の数の分布

p=0.083
s=17 # 成功数
s*(1-p)/p # 成功数ｓになるまでの失敗数の期待値　負の二項分布の期待値の公式

s*(1-p)/p + s = s/p # 成功数と失敗数の合計

s/p*30000 = 6144578 []: [ここ壊れてます]
954 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/05(土) 17:10:36 ID:r6wBA3+u.net]: >>905
0.0833だったので、17回成功するまでに必要なコインの期待値は

p=0.0833
s=17 # 成功数
s*(1-p)/p # 成功数ｓになるまでの失敗数の期待値
s*(1-p)/p + s # = s/p 成功数と失敗数の合計
s/p
s/p*30000 # 6122449
955 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/05(土) 17:21:16.20 ID:r6wBA3+u.net]: １０万回シミュレーションして平均値（期待値の近似値）を出してみた

sim <- function(p=0.0833,s=17){
Su=0 # 成功数
i=0 # 試行数
while(Su<17){
Su=Su+rbinom(1,1,p)
i=i+1
}
return(i)
}
mean(replicate(1e5,sim()))*30000

> mean(replicate(1e5,sim()))*30000
[1] 6117982
956 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/05(土) 17:57:06.61 ID:8Trxkoe5.net]: すげー！皆さんありがとうございました！
957 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/05(土) 19:13:46.27 ID:sjSgt5Lc.net]: 17回成功に到達するのがn回目の抽選である確率は
　q_n = C(n-1,17-1)･p^17･(1-p)^(n-17)　(n≧17)
　　　= 0　　　(n<17)
Σ[n=17,∞] q_n = 1,
E[n] = Σ[n=17,∞] n･q_n = 17/p = 204.08163265

Σ[n=17,199] q_n = 0.4935182680
Σ[n=17,200] q_n = 0.5020417085
Σ[n=17,204] q_n = 0.5357946506
Σ[n=17,205] q_n = 0.5441305558

median ～ 199.76
200回抽選するとして　600万コイン必要
958 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/05(土) 19:18:57.28 ID:BtVdvkls.net]: 定理4.4.2の証明中の「つまり、どの辺も1度だけ使われる。」の言っていることが分かりません。
解説をお願いします。

定理4.4.1
木のどの2点もちょうど1本の道で連結している。

定理4.4.2
どんな位数nの木もn-1本の辺をもつ。
証明：
電話のネットワークを例にとって証明しよう。ある町で事件が起こり、他の町にメッセージを電話で送ろうとしたとする。
まず、その町の人は直接回線がつながっている町で電話する。電話を受けた町は直接つながっている町へ電話する。
電話を受けた町は、直接つながっている町でまだ電話を受けていない町へ電話する。…、グラフは連結なのでメッセージは
どの町へも伝わる。定理4.4.1より、どの町も事件のあった町とは1通りの道で結ばれている。つまり、どの辺も1度だけ
使われる。したがって、電話の回数は辺の本数と1対1に対応する。電話をかけないときに事件を知っている町はその町1つ
だけで、1回電話するたびに事件を知る町が１つずつ増える。したがって、点（町）の個数は辺（交信）の本数よりもちょう
ど１つ多い。
959 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/05(土) 19:46:45.28 ID:+r0gmxeD.net]: ワイ数学科、数学が分からな
https://swallow.5ch.net/test/read.cgi/livejupiter/1599300107/
960 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/05(土) 20:07:20.57 ID:lbP0o9nI.net]: >>901
それホントに答え持ってんの？
答えない自作問題かどうかわからないと考える気にならん
961 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/05(土) 20:41:15.76 ID:BtVdvkls.net]: >>911
ちなみに、英語で出版されている同著者らによる本の該当箇所には以下のように書かれています：

Theorem 8.2.3 Every tree on n nodes has n - 1 edges.

8.2.2 Let G be a tree, which we consider as the network of roads in a medieval
country, with castles as nodes. The king lives at node r. On a c
962 名前：ertain day, the lord of each castle sets out to visit the king. Argue carefully that soon after they have left their castles, there will be exactly one lord on each edge. Give a proof of Theorem 8.2.3 based on this. 8.2.2. Any edge has only one lord, since if there were two, they would have to start from different ends, and they would have then two ways to get to the king: either continuing as they started, or waiting for the other and walking together. Similarly, an edge with no lord would have to lead to two different ways of walking. []: [ここ壊れてます]
963 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/05(土) 20:42:15.03 ID:BtVdvkls.net]: >>911
は秋山仁・ピーター・フランクルによるハンガリー語からの翻訳です。
964 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/05(土) 20:49:22.46 ID:BtVdvkls.net]: >>911
ルートノードRから各ノード（例えばAとする）への一意的な道R→…→B→AとB→Aが一対一に対応するということを言おうとしているようにもかすかながら思えますが、
何を言っているのか正確には分かりません。
965 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/05(土) 20:53:02.21 ID:sjSgt5Lc.net]: >>910
スターリングの公式で
log(q_n) = log(C(n-1,16)) + 17･log(p) + (n-17)･log(1-p)
　= log(1-p)･n + 16･log(n) + 17･log(p/(1-p)) - log(16!) - 136/n - 748/nn - ････
　= log(1-p)･n + 16･log(n) - 71.4435 - 136/n - 748/nn - 18496/(3n^3) - ････
nで微分すると
　(d/dn){log(q_n)} = log(1-p) + 16/n + 136/nn +1496/n^3 + 18496/n^4 + ････

　n = 192.576　で最大(ピーク)となる。　q_n = 0.00863234
966 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/05(土) 21:47:12.18 ID:Wa2CzuyX.net]: >>913
当然、どの小問も結論は正しいです。
（2）が難しくて分かりません
（3）は正三角形に限りなく近い例を構成すれば良いので（2）が解決すれば難しくはないと思います
（1）は素数乗なので何とかなりそうです
967 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/05(土) 22:01:13 ID:BtVdvkls.net]: Rを木Tの任意のノードとする。

RからRを除くn-1個の各ノードへは一意的な道が存在する。

AをRとは異なる任意のノードとする。

R→…→A''→A'→Aという一意的な道が存在する。Aに辺A'-Aを対応させる写像φ : V(T) - {R} → E(T)を考える。
φは単射である。なぜなら、仮に、φ(A) = φ(B)となるような異なる2点A, Bが存在したとすると、
B = A'でなければならないが、道R→…→A''→A'→AのR→…→A''→A'がRからA' = Bへの一意的な道で
あるからφ(B) = φ(A') = A''-A' ≠ A'-A = φ(B)となって矛盾が発生するからである。
φは全射である。仮に、φ(A) = A'-AとなるようなノードA∈V(T) - {R}が存在しないような辺A'-Aが存在したとする。
RからA'、RからAへの一意的な道がそれぞれ存在する。これらの道には辺A'-Aは含まれていないことは明らかである。
RからA'への道、辺A'-A、AからRへの道を考えれば明らかなように、Tに閉路が存在することになってしまうが、これは
矛盾である。∴φは全射である。以上より、n-1 = #(V(T) - {R}) = #E(T)である。
968 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/05(土) 22:01:30 ID:lbP0o9nI.net]: >>918
いや、だから何をもって結論は正しいと言ってるの？
969 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/05(土) 22:07:00 ID:BtVdvkls.net]: >>911は多分>>919のようなことを言いたいのだろうと推測しましたが、どなたか>>911の文章を解読できる方いますか？
970 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/06(日) 00:10:11.22 ID:nVWP7zTC.net]: >>916
どのnodeにも領主の城があり（一つだけ領主ではなく王の城がある）
ある時一斉に、しかも同時に領主達が王の城を目指して旅を始める瞬間を考え�
971 名前：諱B 動き始めた瞬間、領主達が進む王の城に向かう道の上にいる領主の人数はキッチリ一人であり また領主がいない道は存在しない。 だから道の数と王以外の領主の数は一致する。 一度だけ使われる、というのはそういう意味。 []: [ここ壊れてます]
972 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/06(日) 05:55:19.05 ID:Tact+p1h.net]: >>902
応用問題

成功確率8.33%のベルヌーイ試行を17回成功させるのに必要な試行回数の９５％信頼区間は何回から何回か？
973 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/06(日) 09:27:29 ID:tN16f4S+.net]: > # 分位数でのＣＩ
> qnbinom(0.025,17,0.0833)+17 ; qnbinom(0.975,17,0.0833)+17
[1] 123
[1] 307
> # Highest Probability Density IntervalでのＣＩ
> HDInterval::hdi(qnbinom,size=17,prob=0.0833)+17
lower upper
115 297
attr(,"credMass")
[1] 0.95
974 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/06(日) 09:31:01 ID:tN16f4S+.net]: >>924
１０万回のシミュレーション結果と照合

> sim <- function(p=0.0833,s=17){
+ Su=0 # 成功数
+ i=0 # 試行数
+ while(Su<17){
+ Su=Su+rbinom(1,1,p)
+ i=i+1
+ }
+ return(i)
+ }
> re=replicate(1e5,sim())
> quantile(re,c(0.025,0.975))
2.5% 97.5%
122 308
> HDInterval::hdi(re)
lower upper
115 297
attr(,"credMass")
[1] 0.95
975 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/06(日) 11:52:02 ID:QyIpy/LY.net]: >>901
誰も解けませんか？
教授とに出された問題ですが
976 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/06(日) 14:53:42.83 ID:HYDaJwjZ.net]: >>901
(1)
p=2のとき
　α[2] = {(m+ki)/|m+ki|}^2 = {(mm-kk)+(2mk)i}/|m+ki|^2,
　題意より (m,k)は自然数だから mk≧1,
　α[2] は実数でない。
pが奇数のとき
　Re{ (m+ki)^p } = mΣ[j=0,(p-1)/2] C(p,2j) m^(p-1-2j) (-kk)^j
は mの倍数。
一方題意より (m,k) は互いに素だから
　|m+ki|^{2p} = (mm+kk)^p ≡ k^{2p} ≠ 0　(mod m)
∴　|m+ki|^p はmの倍数ではない。
したがって
　α[p] = {(m+ki)/|m+ki|}^p ≠ ±1.
977 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/06(日) 19:26:53.94 ID:HYDaJwjZ.net]: >>923
n = 122.025 までに17回達成する確率が 2.5%
n = 306.839 まで17回未達の確率が 2.5%
∴　求める区間は
　122.025 < n < 306.839

(参考)
　　18/p = 216.086
相加平均　214.432
E[n] = 17/p = 204.816　　(p=0.0833)
メジアン　199.76
相乗平均　193.499
　　16/p = 192.077

Σ[n=17,121] q_n = 0.02322393181
Σ[n=17,122] q_n = 0.02495533764
Σ[n=17,123] q_n = 0.02678209166

Σ[n=17,306] q_n = 0.97420660647
Σ[n=17,307] q_n = 0.97514963127
Σ[n=17,308] q_n = 0.97606163314
978 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/06(日) 20:05:45 ID:isWRzmyD.net]: >>926
できた
979 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/07(月) 01:58:33 ID:X63VHU9J.net]: >>930
あ、ダメだ
間違ってる
予想としてはワイルの一様分布定理の素数版

αを無理数、0<a<b<1とするとき
lim #{ p ≦ x | p/α - [p/α] ∈ (a,b)}/(x/log(x)) = b-a

が成立しそうな気はするんだけど
それには

Σ[p≦x] exp(2πi/α p)/p = o(x/log(x))

が示せれば十分
自分が示せたと思ったのは

Σ[p≦x] exp(2πi/α log(p))/p = o(x/log(x))

だった
980 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/07(月) 02:03:56 ID:X63VHU9J.net]: 訂正

Σ[p≦x] exp(2πi/α p) = o(x/log(x))

が示せれば十分
自分が示せたと思ったのは

Σ[p≦x] exp(2πi/α log(p)) = o(x/log(x))

まぁ要するに対数ζのs=1+2πi/αのところだけどlog(p)といういらん因子がある
981 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/07(月) 02:10:14.10 ID:I+kGemqZ.net]: あ、イヤ、いいのかな？
いわば「log(p)の“modα”の類」が一様に分布するからどのみち無限にあるからいいのか
982 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/07(月) 07:15:28.29 ID:x5YdqZiz.net]: 行列Aを以下で定める。
[a b]
[c d]
a^2+c^2=1,b^2+d^2=1
この行列Aと列ベクトルv=(x,y)^Tによる連立方程式Av=0が|x|≦1かつ|y|≦1の実数解を持つとき、自然数nに対してA^nをnで表せ。

（※記号『^T』で行ベクトル(a,b)の転置を表す）
983 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/07(月) 07:24:10.99 ID:5r3avP6+.net]: vの条件が謎だな
常に(x,y)=(0,0)を解に持つし、それを除いて考えても解の定数倍も解だから常に絶対値を1以下に出来るのでは
984 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/07(月) 08:32:01 ID:mXO8E5CX.net]: メネラウスの定理とチェバの定理は同値な双対定理とみなせないのですか？
985 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/07(月) 09:17:34.74 ID:a7ODoCed.net]: 射影幾何学
986 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/07(月) 10:38:45 ID:c1fkzuff.net]: 高卒で数学?までなら大体の入試問題を解けます
今から1年でどれくらいの数学を身につけることが可能ですか
土日に8時間、平日3時間を予定しています
初等微積分、線形代数、微分方程式、複素関数論、確率統計、を考えています
987 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/07(月) 12:38:30 ID:ejy1pQjv.net]: 入試用勉強の悪影響からどれだけ抜けられるかで決まる
小学生の素直さがあれば楽勝なんだけどな
988 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/07(月) 13:25:50.73 ID:bE/6WhUJ.net]: >>937
そんな無駄な質問する前に勉強したら？
いやならやめれば？
989 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/07(月) 14:57:12.89 ID:Lx7mxSXy.net]: グラフGには2つの異なる閉路が存在していて、そのどちらの閉路も辺aを含むとする。
また一方の閉路は辺bを含むが他方の閉路は辺bを含まないとする。
このとき、グラフGから辺bを除去したグラフG'には閉路が存在することを証明せよ。
990 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/07(月) 15:03:54.05 ID:Lx7mxSXy.net]: >>940
間違えました。訂正します。

グラフGには2つの異なる閉路が存在していて、そのどちらの閉路も辺aを含むとする。
また一方の閉路は辺bを含むが他方の閉路は辺bを含まないとする。
このとき、グラフGから辺aを除去したグラフG'には閉路が存在することを証明せよ。
991 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/07(月) 15:41:00.01 ID:/YNSU6EH.net]: >>941
Gからbの内部を抜いたグラフをG"としてMayer-Vietoris列

0→H1(pt∪pt)→H1(G")+H1(b)→H1G)
. →H0(pt∪pt)→H0(G")+H0(b)→H0(G)

からβ1(G)=β1((G")+1でG"は少なくともひとつの閉路を持つからβ1(G")≧1
∴ β1(G)≧2
同様にしてβ1(G)=β1(G')+1であるからβ1(G')≧1
992 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/07(月) 15:41:03.65 ID:c1fkzuff.net]: >>939
えっ
何かお気に障りましたか？
そのレスは時間の無駄ですよね（笑）
勉強法の質問はダメでしたか
993 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/07(月) 19:24:53.45 ID:aYAtIge6.net]: >>937
大学の講義は、1単位あたり45時間の学習が目安である。建前かもしれないが。なので大体1.5週間で1単位の勉強量。
大学のカリキュラムを参考に、単位数を、初等微積分4、線形代数4、微分方程式2、複素関数論2、確率統計2とすると、14単位なので21週間。
演習も考えるともっと時間かかるし、サクサク勉強できれば短縮出来る。
994 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/07(月) 19:28:02.41 ID:0mPqgBlS.net]: >>933
Cayley-Hamilton の定理より
　AA - (a+d)A + |A|E = O,　
ここに　|A| = ad - bc,
∴　n≧1 のとき
　A^n = t_n A - t_{n-1}|A|E,
ここに
　t_0 = 0
　t_1 = 1,
　t_2 = a+d,
　････
漸化式
　t_{n+1} = (a+d)t_n - |A|t_{n-1},
995 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/08(火) 02:59:47.54 ID:P6Fyzolp.net]: >>939
勉強の悪影響がある以上
その答は良くない
996 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/08(火) 09:57:50.36 ID:uFw/N5vZ.net]: 位数5の完全グラフK_5が平面的なグラフではないことの証明ですが、以下のように考えました。
模範解答と違うのですが、どこかおかしいところはありますか？

K_5が平面に辺が交差することなく描けたと仮定する。
n = 5, e = 10であるから、オイラーの公式より領域の数f = e - 5 + 2 = 7である。
一方、一番外側の領域を除く他の領域は三角形のはずであるから、Binomial(5, 3) = 10個の3角形領域のうち、少なくとも9個は
一番外側の領域ではない。f = 7 < 9だからこれは矛盾である。
997 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/08(火) 10:07:31.90 ID:kbnSLIZb.net]: >>945
　特性根をα≠βとおくと
　t_n = (α^n - β^n)/(α-β),

　これは αとβの対称多項式だから、
　基本対称式 α+β=a+d,　αβ=|A| の多項式。
998 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/08(火) 10:45:22.40 ID:uFw/N5vZ.net]: 「位数vの平面グラフは最大何本の辺をもつことができるか？」という問題の答えに以下のような記述があります。
「Gを平面性を保つ範囲では、これ以上辺を加えることができないグラフとする。このとき、Gのどの領域も３辺だけで囲まれている」
Gの一番外側の領域も３辺で囲まれていることはどうやって分かるのでしょうか？
999 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/08(火) 11:18:25.92 ID:kbnSLIZb.net]: >>917
ピーク付近では
　μ = 192.57637716855732
　σ = 45.975784
　q_max = 0.008632336568

log(q_n) = log(q_max) - (n-μ)^2 /(2σ^2) + 8.583E-7･(n-μ)^3 - 4E-9･(n-μ)^4 + …

>>928
　122.025 = μ - 1.75204σ
　306.839 = μ + 2.48528σ
かなり非対称である。対数正規分布に近いのかも。
1000 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/08(火) 11:50:06.71 ID:dWTcoXOj.net]: >>950
普通に負の二項分布
1001 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/08(火) 12:59:09 ID:kbnSLIZb.net]: ピーク位置　　n=192.576　>>917　　と
95%CIの下限・上限の相乗平均　n=193.499　>>928
が近いことから、対数正規分布に近いと推測される。

　μ_g = log(μ) = 5.2604928395496
　σ_g = 0.2387405
　q_max = 0.008632336568

log(q_n) = log(q_max) - {log(n/μ)}^2 /{2(σ_g)^2}
　 - 2.64254{log(n/μ)}^3 - 0.697889{log(n/μ)}^4
　 - 0.139578{log(n/μ)}^5 - …
95%CIの下限・上限は
　log(122.025) = μ_g - 1.91114σ_g,
　log(306.839) = μ_g + 1.95120σ_g,
これは正規分布の場合 (μ±1.960σ) に近い。

対数正規分布を仮定したときの 95% CI は
　μ_g - 1.960σ_g = log(120.611)
　μ_g + 1.960σ_g = log(307.481)
1002 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/08(火) 14:08:39.26 ID:xIu482fc.net]: >>947
グラフの周長が3のサイクルが三角形の領域を作るとは限らない
ex K5から一辺除いたグラフは球面グラフであるが、周長3のサイクルは7個あるが、平面グラフの三角形領域は6個しかできない
1003 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/08(火) 17:50:18.73 ID:UIkXrCax.net]: n次元空間に原点Oを置き、n個のベクトル
↑OA_1=(1,0,0,...,0,0)
↑OA_2=(0,1,0,...,0,0)
...
↑OA_n=(0,0,0,...,0,1)
によって張られる直交座標系(x_1,x_2,...,x_n)を考えます。（数学的に正しくない表現ですいません）
このとき原点からのユークリッド距離がちょうどr(r>0)である点の集合は
(x_1)^2+(x_2)^2+...+(x_n)^2=r^2…(ア)
で表される全体だと思うのですが、

①(ア)で正しいでしょうか
②(ア)はなんと表現すればいいでしょうか。超曲面、超立体、言い方が分かりません
③(ア)をrとn-1個の角で極座標表示することは可能でしょうか

よろしくお願いします
1004 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/08(火) 18:07:07.44 ID:LG0EoGAt.net]: >>954
超球面じゃないの？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E7%90%83%E9%9D%A2
1005 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/08(火) 20:38:11 ID:P6Fyzolp.net]: 極座標は
x_1 = r cosθ_1, x_2 = r sinθ_1 cosθ_2, x_3 = r sinθ_1 sinθ_2 cosθ_3, …
x_(n-1) = r sinθ_1 sinθ_2 … sinθ_(n-2) cosθ_(n-1)
x_n = r sinθ_1 sinθ_2 … sinθ_(n-2) sinθ_(n-1)
とすりゃいいのさ
1006 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/08(火) 20:54:12 ID:P6Fyzolp.net]: 極座標の解説：
まず x_1 座標と残りの n-1 次元超平面を考えて x_1 座標とベクトルの角をθ_1とすれば
x_1 成分は r cosθ_1 で n-1 次元成分は r sinθ_1
同様に x_2 座標と残りの n-2 次元を考えて…　と言う感じに角θを定義して行く
1007 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/09(水) 01:02:25 ID:yGOW4YIU.net]: 最近どつかのスレでπ(x;4,1)とπ(x;4,3) (4で割って1余るx以下の素数の数と3のそれ)で増大速度に差があるって話がでてた記憶あるんですけどどこでしたっけ？
1008 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/09(水) 01:28:58.83 ID:YDbS9Hgz.net]: あんまり超は使わないなあ
n次元多様体とか
n次元球面とか
n次元立方体とか
1009 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/09(水) 06:03:09.03 ID:hDTCHuTp.net]: 実数xについての関数f_[k](x)を、
f_[1](x) = x^2+x
f_[n+1](x)=log{f_[n](e^x)}
と帰納的に定義する。
このとき極限 lim[n→+∞] f_[n](0) および lim[n→+∞] f_[n](1) を求めよ。
1010 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/09(水) 07:21:45.83 ID:YiV+7X+C.net]: >>958
これのことか？
>>245
1011 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/09(水) 07:50:38.92 ID:Ek7L/Az6.net]: >>961
それです
ありが㌧
1012 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/09(水) 16:03:10.42 ID:9PTvu2Ea.net]: f_1(x) = x^3 - 3x
f_(n+1)(x) = {f_n(x)}^3 - 3{f_n(x)}
とする。
nを3以上の整数とするとき、xの方程式f_n(x)=0の実数解の個数をnで表せ。
1013 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/09(水) 18:13:32.20 ID:ayHPVyw3.net]: >>963
実解の個数を a[n] とする。
y=x^3 - 3x と y=x のグラフを描くと
有限回の繰り返し写像で0になりうる点は -2 < x < +2 かつ x≠±1 の範囲に存在していて、
この範囲にある1点の逆像は重複無しの3点となる事が分かる。
よって 0点の逆像を n 回繰り返し求めれば...
a[n] = 1 * 3 * ... * 3 = 3^n となる。
1014 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/09(水) 18:22:09.85 ID:ayHPVyw3.net]: こんなのグラフを描けば分かるっしょ？
これを教科書的な厳密さで示すのは面倒かもしれない。
1015 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/09(水) 18:42:34.71 ID:QiJM7dSD.net]: >>965
東大の入試問題でやや難しいとされた問題です
誘導の（1）（2）を消して、この（3）部分だけにしたら、どういう解答を作ればいいか分かりませんでした
ありがとうございました
論述を頑張ってみます
1016 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/09(水) 18:49:34.11 ID:6JSXIidK.net]: x=2cosθとおいて3倍角かな
1017 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/09(水) 19:18:01 ID:ayHPVyw3.net]: >>966
誘導の（1）（2）はどうなってるのか教えてくれ。
1018 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/09(水) 20:40:14.85 ID:2WpbIfaQ.net]: >>963
f_(n+1)(x) = f_1(f_n(x))
だから、 f_n(x) の性質は f_1(x) の性質によって決まる
x > 2 なら f_1(x) > 2 であり、 x < -2 なら f_1(x) < -2
また、 x が -2 → 2 と動くとき、 f_1(x) の値は -2 → 2 → -2 → 2 と動くから、
帰納的に
f_n(x) の値が単調に -2 → 2 となる x の範囲において、 f_(n+1)(x) の値は -2 → 2 → -2 → 2 と動く
ことがわかる
2 → -2 のときも同様
よって、 f_n(x) の値が単調に変動する x の範囲において、 f_(n+1)(x) は 3 回 0 になる
そのような範囲は f_n(x) に対して、帰納的に、
1019 名前：3^n 個あることがわかる []: [ここ壊れてます]
1020 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/09(水) 20:42:45.51 ID:ftv13/pr.net]: >>968
この第4問（1）（2）です
単なる実験の問題で、（3）を帰納法で解けという誘導だと思います
ただしあることに気がつかないと帰納法が機能しない意地悪な問題で、それでやや難だと大数で見たことがあります
www.riruraru.com/cfv21/math/tum04f.htm
1021 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/09(水) 21:34:23.30 ID:ayHPVyw3.net]: >>970
なるほどありがとう。てか問の文で 3^n まで提示してるとか甘やかしすぎなんじゃ....
しかも解答例は面倒臭く考えすぎだと思う。そりゃ「やや難しい」になるわけだ。
出題側は >>964 をもっと丁寧に書けくらいの気持ちだと思う。
あんまり詳しくないけど東大数学の "難問" て、こんなもんじゃないでしょ。
1022 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/09(水) 21:37:35.86 ID:ayHPVyw3.net]: すまん、解答例よく見ると簡潔でそんな変な解答でもなかった。
1023 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/09(水) 22:20:18 ID:Ncax73dV.net]: あるサイトが参加者にポイントを配るとします。
ポイントはランダムな量がランダムなタイミングで掲載され、取得は早いもの勝ちです。
参加者はページをリフレッシュして掲載されているポイントをクリックして獲得します。
サイト管理者はトラフィック量を増加させたくないので、参加者それぞれに
キャッシュを設け、60秒毎に情報を更新します。
キャッシュの更新が60秒毎なのは全参加者に共通ですが、バラバラのタイミングで
更新されます。（つまりある参加者のキャッシュでは掲載されているポイントが
別の参加者のキャッシュでは未掲載ということがある）
参加者は60秒間に2回だけリフレッシュすることが許可されています。
ポイントの配布は永久に続くものとします。
この時参加者にとってもっとも期待値が高くなる戦略を教えてください。
1024 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/09(水) 22:23:25 ID:Ncax73dV.net]: 追記
参加者はポイント掲載のタイミングも、自分のキャッシュが更新されるタイミングも分からないものとします。
1025 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/10(木) 16:21:04.46 ID:Gfqgi8U+.net]: >>673
要はキャッシュクリアのタイミングをどれだけ効率よく推定するか？でいい？
最初のフェーズでは1/2分間隔でリフレッシュする。
例えばn,n+1/2分のタイミング
すると最初のページ更新のときに自分のキャッシュクリアのタイミングが[n,n+1/2]なのか[n+1/2,n+1]なのかがわかる
前者の場合
今度はnとn+1/4でキャッシュクリアする
するとn,n+1/4]なのか[n+1/4,n+1/2]なのかがわかる
一般にk回目のページ更新のときに[n+a,n+a+1/2^k]に絞られるから次のフェーズではn+a,n+a+1/2^(k+1)でリフレッシュする
細かいチューニングでさらに良くできるかもしれないけど大筋コレがベストな伊予柑
1026 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/10(木) 22:53:17.09 ID:wl4xf8iO.net]: 誰か教えてください。
積分の問題で、
0から∞まで積分で
e^（-st）tdt
なのですが、回答が
1／s^2

です。どなたか教えていただけませんか、、、。
1027 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/10(木) 23:28:33 ID:YO1J0dXF.net]: >>976
∫fg' = fg - ∫f'g を用いる
この場合 fにあたるのがt, gにあたるのがe^(-st)
1028 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/11(金) 00:43:45.47 ID:V//8CgLy.net]: 0 < m < n であるような
定数 m,n があるとする

関数の集合 A があるとして、n 個の任意の
異なる入力 x1,x2,...,xn について、
少なくとも m 個の等式 A(xk) = yk が真となるように、n 組の数字 y1,y2,...,yn を計算できるだろうか？　
1029 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/11(金) 07:23:45.69 ID:FXcn8PzE.net]: xyz空間に�
1030 名前：ｼ径1の円が2020個配置されており、どの2つの円もちょうど2点で交わっている。 これら2020個の円の位置関係を述べよ。 []: [ここ壊れてます]
1031 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/11(金) 07:58:16.82 ID:+0o5IpbM.net]: それだけで位置関係決まらんだろ
一つの円を少しだけずらしながらコピーするように配置すれば条件を満たすんだから、一点を固定してその充分近い近傍に残り2019個の点を取りさえすれば位置関係は自由じゃ？
それとも中心位置の距離の上限を調べろという糞問題かな
1032 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/11(金) 08:05:33.28 ID:yotGmVhM.net]: 中心位置の距離って最大値無しじゃないか？
1033 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/11(金) 08:29:21.92 ID:hs1QHGjt.net]: >>980で終わってるな
問いでは3次元空間に2次元図形の円を配置していることに注意して
すべての円は同一平面または
（半径が円と同じかより大きい）同一球面上にある
とすればよい
1034 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/11(金) 08:42:58.37 ID:hs1QHGjt.net]: 円の中心の分布の条件は
任意の2点の距離＜元の円の直径
なので、分布は1点を中心とする円とは限らず
ルーローの三角形のような定幅図形でもよい

等号は含まないので、最大値はなし
1035 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/11(金) 08:59:33.10 ID:aUr/mGiS.net]: 距離2未満の2点とってその2点通るようにクルクル回すのもあるね
1036 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/11(金) 09:07:54.34 ID:hs1QHGjt.net]: >>973
キャッシュは普通、ユーザが使うブラウザやアプリに持たせるもの
サーバが全ユーザ分のキャッシュを保持するのは非現実的だが…
問題の通りの条件で、かつ1分ごとのページの更新が判別できるなら
戦略はおおむね>>975でOK

アクセス1分に2回の条件が毎分0秒にリセットと決まっているなら
分割探索で前半が確定すれば、最後の結果と次回の1回目の結果も60秒未満で
比較可能となるので、次回は前半を3分割、後半を2分割とできる
分割数は2の累乗より大きくでき、1、2、5、13、…と
フィボナッチ数を1つ飛ばしにした値になる
分割のタイミングは、黄金比 φ＝1.618… を用いて
2分割は φ：1、3分割は φ：φ：1 とすれば最適化できる
1037 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/11(金) 09:18:53.15 ID:hs1QHGjt.net]: >>985の続き
>>974で更新時刻は判別不可とあるが、現実的には
「配布中」⇔「配布されていません」
の画面の違いが長期的にみると出現するので利用できる
この場合は、断続的に2分探索を行うので>>975がそのまま使える

これを無視して、画面の更新を戦略に使わないとすれば
1分2回のアクセスをランダムに割り振るのが最善
キャッシュがランダムではなく、最初のアクセスから60秒であれば
ユーザも60秒ごとにアクセスするのが最善

早いもの勝ちのポイントサイトというと
ガッチャモールのローソン無料商品券配布祭りとかがあったな
1038 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/11(金) 09:20:41.28 ID:hs1QHGjt.net]: >>984
異なる2点とは書いてないので、確かにそれもありですねー
1039 名前：イナ mailto:sage [2020/09/11(金) 12:14:17.73 ID:AaAozqQu.net]: 前>>890
>>979
蜘蛛は蜘蛛の巣に捕まったコガネムシを任意の2点を固定してクルクルクルクル高速で回してコガネムシを身動きとれないストレスにより弱らせる。
1040 名前：イナ mailto:sage [2020/09/11(金) 12:16:58.95 ID:AaAozqQu.net]: 前>>988訂正。
>>979
蜘蛛は蜘蛛の巣に捕まったコガネムシを任意の2点を固定してクルクルクルクル高速で回して身動きとれないストレスによりあるいは毒を注入して弱らせる。
1041 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/11(金) 12:35:07.25 ID:x ]: [ここ壊れてます]
1042 名前：cUymbow.net mailto: 「グラフGが2-因子分解可能であるための必要十分条件は、あるn≧1に対して、Gが2*n-正則であることである。」とロバースらの本に書いてあるのですが、
Gが連結でないと成り立たないと思いますがいかがでしょうか？ []: [ここ壊れてます]
1043 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/11(金) 12:48:40.71 ID:bm+WDsM1.net]: >>2因子分解可能とは？
ググっても出てこないけど？
グラフ理論みたいなマイナーな話ふりたいならグクっても出てこないような単語は載せんとダメだよ
1044 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/11(金) 14:53:03.63 ID:E85RL8Qh.net]: (1)　同一平面上にあり、
　　どの2つの円の中心の距離dも 0<d<2,　　　>>980

(2)　同一球面上にあり、(半径R≧1)
　　どの2つの円の中心を球の中心から見た角θも　　　>>982
　　　0 < R sin(θ/2) < 1,

(3)　z軸上の2点 (0,0,c)　(0,0,-c) を通るように回す。0<c≦1.
　　　{x cosφ + y sinφ ± √(1-cc)}^2 + zz = 1,　　>>984
　　　y/x = tanφ,
1045 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/11(金) 15:04:40.34 ID:E85RL8Qh.net]: >>979
いまのところ
(1)　同一平面上にあり、
　　どの2つの円の中心間距離dも 0<d<2,　　　>>980

(2)　同一球面上にあり (半径R≧1)
　　どの2つの円の中心を球の中心から見た角θも　　>>982
　　　0 < R sin(θ/2) < 1,

(3)　z軸上の2点 (0,0,c)　(0,0,-c) を通り、0<c≦1.
　　　{x cosφ + y sinφ ± √(1-cc))}^2 + zz = 1,　　>>984
　　　- x sinφ + y cosφ = 0,　0≦φ<2π
1046 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/11(金) 16:57:55.55 ID:E85RL8Qh.net]: 連投ｽﾏｿ

次スレ
rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1599810760/
1047 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/11(金) 19:54:26.90 ID:QjMckGWj.net]: 面積1の閉領域Dの周上または内部の点P(x,y)に対して点Q(x+y,xy)を考えます。
Pが動くとき、Qの存在領域の面積はDの何倍から何倍の間にあるでしょうか。
よろしくお願いします。
1048 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/11(金) 22:03:59.50 ID:SzpHTH85.net]: >>995
x+y=u
x-y=v
とおいて
x+y=u
xy=(u^2-v^2/4
uv平面上の面積2の図形が変換
w=(u^2-v)^2/4
によってuw平面上の領域として移される場合の面積の値域と考えればよい
∴ 0～∞
1049 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/12(土) 08:32:45.01 ID:zrYwMlIY.net]: >>996
x+yとxyが有限の値になるので、てっきり有限の定数a,bでa倍～b倍と表せると思っていました。
xy平面の単位円をこのように変換して面積を求める入試問題から、一般化を考えました。
しかし例えば「この変換で面積k倍になる元の領域全体はどのような集合か」でも、要素のパターンが無数にあって決定しきれない感じてしょうか
ありがとうございました
1050 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/12(土) 15:47:07.57 ID:n7twx+Wx.net]: k≧1 の例ですが
正方形 (面積１)
　(x,y) = (k,0)　(k+1,0)　(k,1)　(k+1,1)
は四角形 (面積ｋ)
　(x+y, xy) = (k,0)　(k+1,0)　(k+1,k)　(k+2,k+1)
に移るので、上限は無いようです。
下限は有るかも？
1051 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/12(土) 16:39:36.66 ID:n7twx+Wx.net]: k=1/6 の例ですが
a≧0 として
正方形 (面積１)
　(x,y) = (a,a)　(a+1,a)　(a,a+1)　(a+1,a+1)
は放物線とその接線の隙間 (面積 1/6)
　a(u-a) ≦ v ≦ (u/2)^2,　　(2a≦u≦2a+1)
　(a+1)(u-a-1) ≦ v ≦ (u/2)^2,　　(2a+1≦u≦2a+2)
に移る。
　(u, v) = (x+y, xy)　とした。
1052 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/13(日) 12:45:55.03 ID:aLRApFcX.net]: k>0 の例ですが
b>a≧2k として
斜め長方形 (面積１)
　(a-2k, a+2k)　(a+2k, a-2k)　(b-2k, b+2k)　(b+2k, b-2k)
　ただし　k = 1/{8(b-a)},
は2本の放物線の間 (面積ｋ)
　v = (u/2)^2,
　v = (u/2)^2 - (2k)^2,
　2a≦u≦2b,
に移る。
b-a → ∞ のとき k → 0
∴下限も無い。

>>996 が正解。
1053 名前：1001 [Over 1000 Thread.net]: このスレッドは１０００を超えました。
1054 名前：新しいスレッドを立ててください。 life time: 40日 13時間 20分 49秒 []: [ここ壊れてます]
1055 名前：過去ログ ★ [[過去ログ]]: ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています

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