- 528 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/17(月) 14:59:14.00 ID:SfLQkZLB.net]
- >>492
(1) (x^2-y^2) y' = 2xy
∂F/∂x = -2xy q(x,y), ∂F/∂y = (x^2-y^2) q(x,y)
となる関数 F(x,y) を求めてみる。
問の微分方程式は dF = (∂F/∂x) dx + (∂F/∂y) dy = 0 と等価(※)である。(q(x,y)は積分因子)
∂∂F/∂x∂y = ∂∂F/∂y∂x を満たす必要 (連続条件とか積分可能条件とか) があるので、
-2xq -2xy ∂q/∂y = 2xq + (x^2-y^2) ∂q/∂x
(x^2-y^2)∂q/∂x + 2xy ∂q/∂y = -4xq {一見簡単になる気がしないが...}
q = 1/y^2 が条件を満たす。
よって ∂F/∂x= -2x/y, ∂F/∂y= x^2/y^2 - 1
∴ F(x,y) = -x^2/y - y = 2R {積分定数}
x^2 + (y - R)^2 = R^2 つまり陰関数解は円である。
陽解は y = R ± √{R^2 -x^2} (-|R| ≦ x ≦ +|R|)
傾きが無限になる点 (x=±|R|) は極限点として許容されるだろう。
積分因子を考慮すると y = 0 (定数解)もまた解である。これは円族の極限でもある。
(※等価が言えるのは方程式が有意味な範囲のみ)
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