- 878 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/10(土) 21:17:02 ]
- [Gauss: Disquisitiones, art.104]
>>874 の 1) と 3) における(互いに合同でない)解の個数を求める。
条件を再度述べる。
p を奇素数として a が p で割れるときに
x^2 ≡ a (mod p^n) を考える。
a = (p^k)b, gcd(b, p) = 1 とする。
1) k ≧ n のとき
n が偶数のとき n = 2m
n が奇数のとき n = 2m - 1 とおく。
x^2 ≡ a (mod p^n) より
x^2 ≡ 0 (mod p^n) となる。
よって x ≡ 0 (mod p^m) となる。
0, p^m, 2p^m, ..., (p^(n - m) - 1)p^m
の p^(n - m) 個が解である。
3) １≦ k ＜ n で k が偶数で、(b/p) = 1 のとき。
k = 2s とする。
x^2 ≡ (p^(2s))b (mod p^n)
x = (p^s)y とおくと
y^2 ≡ b (mod p^(n - 2s))
この解の一つを v とする。
v(p^s),
(v + p^(n - 2s))(p^s) = v(p^s) + p^(n - s),
... ,
(v + (p^s - 1)p^(n - 2s))(p^s) = v(p^s) + (p^s - 1)p^(n - s)
の p^s 個が v から得られる解である。
y^2 ≡ b (mod p^(n - 2s)) のもう一つの解 v' も同様であるから、
合計 2(p^s) 個 の解が得られる。
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