- 874 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/10(土) 20:08:33 ]
- [Gauss: Disquisitiones, art.102]
今度は p を奇素数として a が p で割れるときに
x^2 ≡ a (mod p^n) を考える。
a = (p^k)b, gcd(b, p) = 1 とする。
1) k ≧ n のとき
a ≡ 0 (mod p^n) であるから
x^2 ≡ a (mod p^n) は解 x = 0 を持つ。
2) １≦ k ＜ n で k が奇数のとき
x^2 ≡ a (mod p^n) は解を持たない。
証明
x^2 ≡ a (mod p^n) が解 x = c を持つとする。
ｃ^2 ≡ (p^k)b (mod p^n) より c^2 は p^k で割れる。
c = (p^s)d, gcd(d, p) = 1 とする。
k = 2t + 1 とすると、2s ≧ 2t + 1 だから s ≧ t + 1
よって c^2 は 2t + 2 で割れる。
ｃ^2 ≡ (p^k)b (mod p^n) で 2t + 2 ≦ n だから
(p^(2t + 1))b ≡ 0 (mod p^(2t + 2))
よって b ≡ 0 (mod p) となり矛盾である。
3) １≦ k ＜ n で k が偶数のとき
x^2 ≡ a (mod p^n) が解を持つためには、(b/p) = 1 が
必要十分である。
証明
k = 2s とする。
x^2 ≡ (p^(2s))b (mod p^n)
x = (p^s)y とおくと
y^2 ≡ b (mod p^(n - k))
これと >>866 より上記の主張が出る。
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