- 814 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/04(日) 01:58:30 ]
- >>812 の逆を考える。
p を素数として n ≧ 1 を有理整数とする。
g を mod p^n の原始根(>>811)とする。
r = (p^(n-1))(p - 1) とおく。
g^r ≡ 1 (mod p^n) である。
g^r = 1 + h(p^n) となる h ∈ Z がある。
h が p で割れないとする。
g mod p^(n + 1) の (Z/(p^(n+1))Z)^* における位数を d とする。
g^d ≡ 1 (mod p^(n + 1))
よって
g^d ≡ 1 (mod p^n)
よって
d は (p^(n-1))(p - 1) の倍数である。
一方、d は (p^n)(p - 1) の約数である。
よって d は r = (p^(n-1))(p - 1) または rp = (p^n)(p - 1) である。
d = r とすると
g^r ≡ 1 (mod p^(n + 1)) となって h が p で割れることになり
仮定に反する。
よって d = (p^n)(p - 1) となり g は mod p^(n + 1) の原始根である。
|
 |
