- 812 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/04(日) 00:27:39 ]
- p を奇素数として n ≧ 1 を有理整数とする。
g ∈ Z を mod p^(n+1) の原始根(>>811)とする。
g mod p^n の (Z/(p^n)Z)^* における位数を r とする。
g^r ≡ 1 (mod p^n) である。
g^r = 1 + h(p^n) となる h ∈ Z がある。
二項定理より
g^(rp) = (1 + h(p^n))^p
= 1 + h(p^(n+1)) + (p(p - 1)/2)(h^2)(p^(2n)) + ...
= 1 + h(p^(n+1)) + ((p - 1)/2)(h^2)(p^(2n + 1)) + ...
p は奇数だから (p - 1)/2 は有理整数である。
よって
g^(rp) ≡ 1 + h(p^(n+1)) (mod p^(n + 2))
よって
g^(rp) ≡ 1 (mod p^(n + 1))
rp は φ(p^(n+1)) = (p^n)(p - 1) で割れる。
よって r は φ(p^n) = (p^(n-1))(p - 1) で割れる。
よって r = (p^(n-1))(p - 1) である。
よって g は mod p^n の原始根である。
g^r = 1 + h(p^n) において h は p で割れない。
何故なら h ≡ 0 (mod p) なら
g^r ≡ 1 (mod p^(n+1)) となって g が mod p^(n+1) の原始根という
仮定に反するからである。
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