- 800 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/03(土) 19:56:51 ]
- 命題
G を位数 N の有限アーベル群とする。
N の任意の約数 n ≧ 1 に対して x^n = 1 となる G の元 x の個数は
n 以下だとする。
このとき G は巡回群である。
証明
>>789 より N が素数 p のベキ p^m の場合に証明すればよい。
G の元 g ≠ 1 の位数を p^s とする。
g で生成される G の部分群を H とする。
|H| = p^s である。
H の任意の元 h に対して h^(p^s) = 1 となるから
仮定より x^(p^s) = 1 の解は H の元のみである。
G = H なら G は巡回群である。
G ≠ H なら H に含まれない G の元 y がある。
y^(p^s) ≠ 1 だから y の位数は p^s より大きい。
G が y で生成されなければ、同様にして y の位数より大きい位数
の元がある。
このような手続きを繰り返せば G の生成元が必ず見つかる。
証明終
