- 789 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/03(土) 17:08:47 ]
- >>779 で述べた命題を >>786 を使って証明する。
命題 G を位数 N の有限アーベル群とする。 N = (p_1)^(k_1)...(p_r)^(k_r) を N の素因数分解とする。 このとき各 p_i に対して G の位数 (p_i)^(k_i) の部分群 G_i が 唯一つ存在し、G は G_i の直積となる。 証明 >>786 より G_i の存在がわかる。 G_i の元の位数は p_i のベキだから G_1 × ... × G_r は直積 (アーベル群だから直積と直和は同じもの)である。 位数を比較して G = G_1 × ... × G_r となる。 これから各 G_i は G の元で位数が p_i のベキとなるもの全体で あることがわかる。よって G_i は一意に定まる。 証明終
|
|