- 61 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/11/26(日) 10:28:39 ]
- 補題
２次体 Q(√m) の判別式を D とする。
p を奇素数とする。
>>47 の 2) より D が p と素で mod p の平方剰余のとき pZ[ω] = PP'
となるが、この P' は P の共役イデアルである。
証明
>>47 の 2) より
m ≡ 1 (mod 4) のとき
P = [p, b + ω]
P' = [p, -b - 1 + ω]
ここで (2b + 1)^2 ≡ m (mod p)
P = [p, b + ω] の共役は
[p, b + ω']
= [p, b + 1 - ω] -- ω + ω' = 1 を使った
= [p, -b - 1 + ω] -- b + 1 - ω に -1 を掛けたもの
m ≡ 2 (mod 4) または m ≡ 3 (mod 4) のとき
P = [p, b + ω]
P' = [p, -b + ω]
ここで b^2 ≡ m (mod p)
P = [p, b + ω] の共役は
[p, b + ω']
= [p, b - ω] -- ω = √m
= [p, -b + ω] -- b - ω に -1 を掛けたもの
証明終
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