- 605 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/08(木) 16:22:54 ]
- 補題
虚２次体 Q(√m) の任意の整数 α ≠ 0 に対して N(α) ＞ 0 である。
証明
α = a + bω とする
α の２次体 Q(√m) の元としての共役 α' = a + bω' は
α の複素数としての共役でもあるから
N(α) = αα' = |α|^2 ＞ 0 である。
このことは以下のようにしても分かる。
>>604 より
m ≡ 1 (mod 4) のとき
N(α) = a^2 + ab + (b^2)(1 - m)/4
4N(α) = 4a^2 + 4ab + (b^2)(1 - m) = (2a + b)^2 - (b^2)m
m ＜ 0 だから N(α) ＞ 0 である。
m ≡ 2 (mod 4) または m ≡ 3 (mod 4) のとき
N(α) = a^2 - (b^2)m ＞ 0 である。
証明終
