- 60 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/11/26(日) 10:11:32 ]
- 補題
２次体 Q(√m) の判別式を D とする。
p を奇素数とする。
>>47 の 1) より p が D の約数 のとき pZ[ω] = P^2 となるが
この素イデアル P は自己共役である。つまり P = P' である。
証明
>>47 の 1) より
m ≡ 1 (mod 4) のとき P = [p, (m + √m)/2] である。
P' = [p, (m - √m)/2] -- 共役イデアルの定義(>>59)
= [p, (-m + √m)/2] -- これは (m - √m)/2 に -1 を掛けたもの
= [p, m + (-m + √m)/2] -- m は p の倍数だから >>34 より
= [p, (m + √m)/2]
= P
m ≡ 2 (mod 4) または m ≡ 3 (mod 4) なら P = [p, √m] である。
P' = [p, -√m] -- 共役イデアルの定義(>>59)
= [p, √m] -- これは -√m に -1 を掛けたもの
= P
証明終
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