- 437 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/13(土) 15:33:51 ]
- 命題
２次体 Q(√m) の整環 R = [1, fω] に対して
(R : Z[ω]) = fZ[ω] である。
証明
α ∈ (R : Z[ω]) とすると、定義(>>434)から α ∈ R で
αZ[ω] ⊂ R である。
α = a + bfω とする。ここで、a, b は有理整数である。
αω = aω + bfω^2 ∈ R である。
m ≡ 1 (mod 4) なら ω = (1 + √m)/2 であり、
ω^2 = ω - (1 - m)/4 である。
αω = aω + bfω^2 = (a + bf)ω - bf(1 - m)/4
よって a + bf ≡ 0 (mod f)
a ≡ 0 (mod f)
よって α ∈ fZ[ω]
m ≡ 2 (mod 4) または m ≡ 3 (mod 4) なら、
ω = √m であり、 ω^2 = m である。
αω = aω + bfω^2 = aω + bfm
よって a ≡ 0 (mod f)
よってα ∈ fZ[ω]
以上から (R : Z[ω]) ⊂ fZ[ω] である。
fZ[ω] ⊂ (R : Z[ω]) は明らかである。
証明終
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