- 368 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/24(日) 18:23:17 ]
- 命題(Gauss の 数論考究の art. 154)
ax^2 + bxy + cy^2 を判別式 D の２次形式とする。
k を有理整数で
k = ax^2 + bxy + cy^2 が原始解(>>367)をもつなら
D は mod 4k で平方剰余である。
証明
(p, q) を原始解とする。
k = ap^2 + bpr + cr^2 である。
p と q は互いに素だから ps - qr = 1 となる有理整数 s, r がある。
f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2
に一次変換
x = pu + qv
y = ru + sv
を施して
f(pu + qv, ru + sv) = ku^2 + luv + mv^2 とする。
>>280 より
k = ap^2 + bpr + cr^2
l = 2apq + b(ps + qr) + 2crs
m = aq^2 + bqs + cs^2
である。
>>281 より D = l^2 - 4km だから
l^2 ≡ D (mod 4k) となり
D は mod 4k で平方剰余である。
証明終
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