- 305 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/20(水) 17:33:53 ]
- 命題
>>303 の写像 Φ+ は全射である。
証明
I = [a, b + cω] を２次体 Q(√m) のイデアルの標準基底による
表示とする(>>16)。
>>301 より I = c[e, r + ω] となり、
(b + cω)/a = (r + ω)/e である。
θ = (r + ω)/e とおく。
>>292 よりθ は２次無理数であり、
その判別式は D である。
よって aθ^2 + bθ + c = 0 となる。
ここで a, b, c は有理整数で gcd(a, b, c) = 1、a ＞ 0、
b^2 - 4ac = D である。
θ は複素上半平面にあるから θ = (-b + √D)/2a である。
よって >>287 より [a, (-b + √D)/2] は Q(√m) の原始イデアル
である。
>>195 より [a, (-b + √D)/2] と [e, r + ω] は
Q(√m) の同じイデアル類に属す。
よって、写像 Φ+ により f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 の
属す F+ の類が I の属すイデアル類に対応する。
証明終
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