現代数学の系譜11 ガロア理論を読む2

1 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2012/03/16(金) 22:04:35.83 ] uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/　前スレ 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む >>1より ベストアンサー：”が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。”ですか？ detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1371534513 数学の歴史に興味ある方にお尋ねします。「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、...noranekokuma2004さん 質問日時： 2011/9/18 「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」にチャレンジしております。 アーベル、ガロアとも、方程式の根の有理式を説明しています。 両者の説明とも、帰着するところは、根の有理式はいわゆるラグランジュの分解式のかたちをとるというところにあると、私は考えています。 ラグランジュは、３次方程式の根、α、β、γと1の3乗根によって u=α+βω+γω＾2 v=α+βω＾2+γω という式をつくることによって、3次方程式が解けることを示しました。 彼は、それを一般化し、素数次数の方程式の根と1の累乗根と組み合わせた、いわゆる、ラグランジュの分解式を提起しました。 皆さまの見解を伺いたいと思います。 ベストアンサーに選ばれた回答siolaglebaさん 回答日時：2011/9/21 ガロアの論文が、どんなものか知りたくて、私もこの本を読もうとしました。 高名な数学者さえ理解出来なかった論文とは、一体何がどのように書かれているのか興味があったからです。すでにガロア理論を知っていたので、軽く考えていました。 が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。 自分には、読みたい数学は一杯あるし、ガロア理論も知っている。他の数学書に取りかかった方が良いと。諦めるのが早かったかもしれません。 ラグランジュの分解式は、方程式の可解性を議論するなかで、べき根拡大を考えるとき、使ったように記憶しています。 ラグランジュは、３次・４次方程式の解明に成功しましたが、５次方程式は失敗しました。が、ラグランジュの研究は無駄ではなかったことの証が、ラグランジュ分解式と思います。 237 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/25(日) 21:04:20.45 ] >>235 Kummerさん、乙 >>ひとつには、彼らの抽象化はそれだけではあまり有用なものとならなかったせいであり >こんなことは英語版に書いてないな。 >個人的かつ主観的な意見だな。 そうなん 考えて見るに、抽象化は大事だ。ただ、ブルバキの独占ではなく、ブルバキなくとも抽象化は必然の部分はある ブルバキによる抽象化がどれだけ寄与したか不明だが 少なくとも、ヨーロッパでの影響は大きいかったろう、日本よりもはるかに（当然だが） >日本版のwikipediaは数学に関しては英語版に比べてお粗末。 同感す 238 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/25(日) 23:45:57.72 ] 10.11.6_01/15　リチャード・コシミズ｢日本らしい日本を取り戻そう！..｣ 239 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/27(火) 06:14:39.72 ] >>236 >“No. An art.” An art.：一種の芸術だ という意味だろうね 240 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/03/27(火) 07:35:43.34 ] >>237 まあコレは『私の個人見解』なので、従って誰かに押し付ける考えはな いけれど： ★★★『私が考える数学とは「厳密、抽象、普遍」をきちんと踏襲する議論』★★★ ですね。そしてその目的は『人間の恣意性を徹底的に排除する事』です よね。だから私にとってはブルバキの手法こそが『数学そのもの』であ り、なので： ★★★『全ての数学というモノはブルバキの形式に整理されて 　　　　　　　初めて完成形となる。なのでブルバキこそが到達の目標』★★★ という認識ですね。 とにかく人間の恣意性は微塵も残してはいけない。ソレが数学ですね。 猫 241 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/27(火) 09:14:06.94 ] >>240 >まあコレは『私の個人見解』なので、従って誰かに押し付ける考えはな 猫＝熊だったのか？ｗ 242 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/27(火) 16:58:39.69 ] テレビで 女性に人気の とか言っているのを見て真に受けて買い求めに走る女とか見てると　テレビっ言う宗教の信者なのかと思ってしまう やらせA 就活中 (p)livedoor.blogimg.jp/jin115/imgs/3/1/31a6f8e6.jpg やらせB 就職後 (p)livedoor.blogimg.jp/jin115/imgs/2/b/2b790359.jpg 世論調査もこんな感じで捏造してます いい加減、目覚めなさい 日本という国は、そういう特権階級の人たちが、楽しく、幸せに暮らせるように、 あなたたち凡人が、安い給料で働き、高い税金を払うことで、成り立っているんです。 そういう特権階級の人たちが、あなたたちに何を望んでいるか知ってる？ 今のままずーっと愚かでいてくれればいいの。　 世の中のしくみや、不公平なんかに気づかず、 テレビや漫画でもぼーっと見て何も考えず、会社に入ったら、上司の言うことを大人しく聞いて、 戦争が始まったら、真っ先に危険な所に行って戦ってくれればいいの。 243 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/27(火) 17:05:32.58 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 244 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/27(火) 21:35:01.04 ] >>239 An art.の中に必然人の技という意味が入る 自然のものや神のものはいくら美しくても”art”そのものではない dictionary.goo.ne.jp/leaf/ej3/4499/m0u/ artの意味 - 英和辞書 - goo辞書 1 [U][C]芸術, 美術；((集合的))芸術作品, 美術品 2 [U][C]技術, こつ, 要領；（…の）術((of ...)) 4 [U]人為, 技巧（⇔nature）；（ふるまいなどの）不自然さ, 作為 nature and art 自然と人為 245 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/27(火) 21:37:46.36 ] >>240 猫さん、乙です 数学に個性があるように思うんだけど それと、ブルバキは神の書物を目指したかも知れないが、結局人間だった ブルバキに収まりきらないものが沢山でてきた・・ 246 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/27(火) 21:44:03.55 ] >>241 >猫＝熊だったのか？ｗ ではないだろう 話した感触が違う それに、両者の書き込みの時間をきちんとトレースすれば、アリバイ証明は可能じゃないかな 247 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/03/27(火) 23:23:25.90 ] >>245 『数学とは何ぞや？』という問いに関する答え方はその人それぞれでし ょうね。ですが： ★★★『数学とは人間には一切無関係な存在で、しかも絶対真理に一番近い存在』★★★ という部分が私が数学を信頼する理由ですね。人間は常に感情に塗れ、 その結果として恣意性と誤謬からは自由たりえません。だからこその価 値が数学にはあるというのが私の考え方ですね。他の人がどう考えるの かは私は知りませんが。 だから私にとっては数学は神そのものですね。 猫 248 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/03/27(火) 23:26:50.02 ] >>245 つまり： ★★★『ブルバキに収めようとする行為そのものも数学という認識をする。』★★★ という考え方も出来るでしょう。数学はあくまでも厳密、抽象、普遍と いう条件を全てクリアしていなければなりませんから。 猫 249 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/28(水) 05:30:00.73 ] >>246-247 猫さん、乙です >だから私にとっては数学は神そのものですね。 気持ちは分かりますが ２点指摘しておきたい １．Bourbaki について、Kummer>>235ご推奨の英語版下記。”20th-century mathematicians”だと en.wikipedia.org/wiki/Nicolas_Bourbaki Nicolas Bourbaki is the collective pseudonym under which a group of (mainly French) 20th-century mathematicians wrote a series of books presenting an exposition of modern advanced mathematics, beginning in 1935. With the goal of founding all of mathematics on set theory, the group strove for rigour and generality. ２．現実の数学は 予想（仮説）→新しい数学→予想の部分的解決→新しい数学→予想の全面解決　という流れで新しい数学が作られてきたということだけは押さえておかなければならない あるいは、新しい（泥臭い）現実（それは物理からであったり）や数値解析（実験）から（例えばソリトン）であったりするが、それを取り扱えるように新しい数学が創造される） Bourbakiなどの教科書は、２０世紀の新しい数学を後から整理したもので、現実の数学の進歩の道とは異なると なので、Bourbaki を勉強することは有用ではあるだろうが、そこでとどまっては２１世紀の数学としては不十分だし もし数学を専門とするなら、予想（仮説）を考えたり、新しい（泥臭い）現実（それは物理からであったり）や数値解析（実験）に手を動かす人間的行為に躊躇する必要はないだろうと・・ 250 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/28(水) 05:31:09.72 ] >>269 訂正 >>246-247 　↓ >>247-248 251 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/28(水) 05:34:29.23 ] >>249 訂正 あるいは、新しい（泥臭い）現実（それは物理からであったり）や数値解析（実験）から（例えばソリトン）であったりするが、それを取り扱えるように新しい数学が創造される） 　↓ あるいは、新しい（泥臭い）現実（それは物理からであったり）や数値解析（実験）から（例えばソリトン）であったりするが、それを取り扱えるように新しい数学が創造される （最後の括弧が不要） 252 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/30(金) 23:12:30.05 ] >>249 数学の美しさも分かるが それより楽しさを重視したいね 253 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/31(土) 06:08:34.78 ] こんなのがあった 「コホモロジーについて」というのが、絵が多くて分かりやすいので一度覗いてみては如何 「PolSARpro」は、初耳です www7b.biglobe.ne.jp/~kiyo1729/ axiom of キヨ www7b.biglobe.ne.jp/~kiyo1729/math/cohomology.pdf コホモロジーについて www7b.biglobe.ne.jp/~kiyo1729/math/projectivespace.html 2次元射影空間の作り方 www7b.biglobe.ne.jp/~kiyo1729/math/self-transverse_immersion.pdf 自己横断的はめ込みについて 自己横断的はめ込みについて（アブストラクト和訳） www7b.biglobe.ne.jp/~kiyo1729/SAR/On_PolSARpro.pdf PolSARproについて www.opengis.co.jp/htm/gamma/htm/polsarpro.htm ◆POLSARPRO 講習会に参加して(02 Oct 2008) 標題の「POLSARPRO(ポル・サー・プロ)」とは、ソフトウエアの名前で (Polarimetric Sar Processor の略称)、レーダの偏波を利用してリモ ートセンシングを行なう、欧州宇宙機関(ESA)のプロジェクトが開発して いるフリー・ソフトウエアです。 earth.esa.int/polsarpro/default.html earth.eo.esa.int/polsarpro/ 30-Mar-2012 version 4.2 (January 2011) 254 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/03/31(土) 06:15:53.68 ] >>249 まあ『何を数学と認識するのか』は当然に人に拠って違いますからね。 加えて何を動機とするのかもまた当然に人に拠って異なる訳です。だか らそういう記述（例えば物理や数値解析を動機とする）に当てはまる人 であるとか、或いはそういう種類の命題も当然にあるのも、また当たり 前ですよ。但し私の場合は（もしそういう事を仮に自分がしたとしても） その最終的な結果そのものは『定義→命題→証明』の繰り返しであって、 しかもその全てが論理命題として厳密でなければならないという考え方 を個人的にしているだけです。 何れにしても、この『私の認識』は個人的なものでしかないので、従っ て他人に強いるものではありません。自分だけの考え方ですね。私にと っては『数学としての完成形はブルバキでなければならない』というだ けであり、他の人がどうするのかはその人の勝手ですから。 猫 255 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/03/31(土) 06:23:32.27 ] >>249 まあ私は『恣意的なモノが大嫌い』という事なんですよね。だから他の 学問ではなくて『数学が一番気に入ってる』という事なんですよ。その 理由というのは『各種の学問の中で人間から一番遠いもの』という認識 で選びましたから。だから理論物理でさえ気に入りませんでしたからね。 とにかく人間の恣意性が微塵も感じられないものを探しましたので。 猫 256 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/31(土) 06:38:24.46 ] >>253　補足 「コホモロジーについて」の中に、”相対”と出てくるか”双対”かな 一言ご注意を 257 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/31(土) 06:52:52.55 ] >>254-255 猫さん、乙です ふむふむ、猫さんらしいね >理由というのは『各種の学問の中で人間から一番遠いもの』という認識 >で選びましたから。だから理論物理でさえ気に入りませんでしたからね。 これ、物理の観測問題を連想した 検索するとちょっと用語が違うが”観察者効果”がヒットしたので、これを引用します 物理では”観察者”（人）が登場する ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A6%B3%E5%AF%9F%E8%80%85%E5%8A%B9%E6%9E%9C 科学における観察者効果とは、観察するという行為が観察される現象に与える変化を指す。 例えば、電子を見ようとすると、まず光子がそれと相互作用しなければならず、その相互作用によって電子の軌道が変化する。 原理的には他の直接的でない観測手段でも電子に影響を与える。実際の観察をしなくても、電子が観測可能な位置に単に入っただけでも、理論上はその位置が変化してしまう。 量子力学で事象の結果が直接観測できないとき、それは重ね合わせ状態になっており、いわば全ての可能な状態に同時に存在している。 シュレーディンガーの猫という有名な思考実験では、猫は観測されるまで死んでいるとも生きているともいえない。 （引用おわり） >とにかく人間の恣意性が微塵も感じられないものを探しましたので。 これ、コギトエルゴスム（デカルト）を思った。「我思う、ゆえに我あり」 ja.wikipedia.org/wiki/%E6%88%91%E6%80%9D%E3%81%86%E3%80%81%E3%82%86%E3%81%88%E3%81%AB%E6%88%91%E3%81%82%E3%82%8A ラテン語訳のCogito, ergo sum（コーギトー・エルゴー・スム、cogito = 私は思う、ergo = それゆえに、sum = 私はある）との標題が有名だが、これは第三者の訳による『真理の探求』で用いられたもので、デカルト自身がこのような表現をしたことはない。 『方法序説』の幾何学部分以外は、神学者のエティエンヌ・ド・クルセル（Etienne de Courcelles）がラテン語に訳し、デカルト自身が校閲し[1]、Ego cogito, ergo sum, sive existo との表現がされている。 （つづく） 258 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/31(土) 06:59:52.14 ] >>257　つづき ”一切を疑うべし”！ 人間の恣意を入れてはならぬ・・ そこからデカルトは哲学を展開した・・ ja.wikipedia.org/wiki/%E6%88%91%E6%80%9D%E3%81%86%E3%80%81%E3%82%86%E3%81%88%E3%81%AB%E6%88%91%E3%81%82%E3%82%8A 解説 一切を疑うべし（De omnibus dubitandum）という方法的懐疑により、自分を含めた世界の全てが虚偽だとしても、まさにそのように疑っている意識作用が確実であるならば、そのように意識しているところの我だけはその存在を疑い得ない。 「自分は本当は存在しないのではないか？」と疑っている自分自身の存在は否定できない。―“自分はなぜここにあるのか”と考える事自体が自分が存在する証明である（我思う、ゆえに我あり）、とする命題である。 コギト命題、「精神肉体二元論」（いわゆる実体二元論）といわれることもある。 哲学史を教える場合の一般的な説明によれば、デカルトはこれを哲学の第一原理に据え、方法的懐疑に付していた諸々の事柄を解消していった、とされる。 259 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/31(土) 07:45:59.68 ] >>254 猫さんの話は面白ね あまりにも発想が違いすぎるので、思わぬ刺激があって、思考の歯車が回りはじめる ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%AB%E3%83%90%E3%82%AD ブルバキの主な業績は、七千頁以上に及ぶ「数学原論」(Elements de mathematique) の執筆である。 （引用おわり） 「原論」といえば、これは落とせない ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E5%8E%9F%E8%AB%96 （抜粋） 『原論』（げんろん、古希: Στοιχε?α、英: Elements）は、紀元前3世紀ごろにエジプトのアレクサンドリアで活躍した数学者エウクレイデス（英語式には Euclid（ユークリッド））によって編纂された数学書である。 論証的学問としての数学の地位を確立したギリシア数学を代表する名著。 英語の数学「Mathematics」の語源といわれているギリシア語の「マテマータ」は「考えること」という意味であり、このマテマータを集大成したものが「原論」。 定義・公理・公準 5.直線が2直線と交わるとき、同じ側の内角の和が180度未満である場合、その2直線が限りなく延長されたとき、内角の和が180度より小さい側で交わる。 これらのうち5番目の公準については古代より、他の公理、公準に比して突出して複雑、自明とするには疑問とされていたが、この疑問により、近代に至ってこの公準が成立しないとする幾何学である非ユークリッド幾何学の発端となる。 さらに公準の後にユークリッドは次のような公理が示される。 これはあらゆる学問に共通の真理として受け入れられるものであり、研究において常に参照すべきものとされている。 1.同じものと等しいものは互いに等しい 2.同じものに同じものを加えた場合、その合計は等しい 3.同じものから同じものを引いた場合、残りは等しい 4.互いに一致するものは、互いに等しい 5.全体は、部分より大きい （引用おわり） 260 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/31(土) 08:32:36.21 ] >>259 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E5%8E%9F%E8%AB%96 からのリンクをたどると、日本語のページもあるが www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/fsakai/he.html ユークリッドの原論　酒井文雄 英語版があるね www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/byrne.html An unusual and attractive edition of Euclid was published in 1847 in England, edited by an otherwise unknown mathematician named Oliver Byrne. （下記は直接関係ないがご参考） sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/ Digital Mathematics Archive 261 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/31(土) 08:47:46.02 ] >>260 これがよくまとまっているね www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd/bourbakib.pdf ブルバキと「数学原論」　斎藤毅 （抜粋）. これから数学の勉強をはじめてみようかと思っている人が, ブルバキにであう機会 なんてものは今あるのでしょうか? ブルバキが証明した有名な定理があるわけではな いし, 本屋さんにいってもブルバキが書いた本がならんでいるわけでもありません. ブルバキ誕生のいきさつは「A. ヴェイユ自伝」(稲葉延子訳, シュプリンガー・フェ アラーク東京) などによると, 次のようです. 1930 年代, ストラスブール大で微積分を 教えていたヴェイユとカルタンは, その教え方について議論を重ねていました. 何度と なく繰り返される議論にケリをつけるため, 彼らは, 微積分をきちんと基礎付けた教科 書を, 仲間を集めて書くことにしました. そのころの数学書には, 厳密さがそれ以前よ りずっときびしく求められるようになってきていたのですが, 当時のフランスの微積分 の教科書には, この要請をみたしているものがなかったのです. 彼らの計画は, 微積分の基礎付けという最初の目的から, 数学全体の基礎付けへと すぐに大きくふくらんでいきました. 彼らの本の題は, ユークリッドの「原論」にちな んで, 「数学原論」に決まりました. ユークリッドの「原論」は, 内容はギリシャ数学全 般にわたり, 記述は正確で厳密なことで知られます. 彼らは, 現代の数学の「原論」を 書くことにしたのです. ユークリッドの「原論」のように長く読みつがれる本を書く ぞ, という意気込みもあったことでしょう. （つづく） 262 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/31(土) 08:51:18.95 ] >>261 つづき www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd/bourbakib.pdf ブルバキと「数学原論」　斎藤毅 （抜粋）. （つづき） ではなぜ彼らはこういう文体, 構成をとったのでしょうか. それは, 彼らが目標とし た, 正確さ, 厳密さを確保するための方法によるものなのです. それがどういうもので あるかは, 各分冊の最初のページにある, 「この本の使い方」に書かれています. いく つか抜粋します. 「この原論は数学をその第一歩から取扱い, 完全な証明をつける」 「叙述の仕方は公理的, 抽象的であり, 原則として, 一般から特殊へと進む」 「内容は原則として厳密に定められた論理的順序に従って配列される」 「すでに広い知識を持合わせている読者にしかその効用がわからないような事柄も 含まれている」 完全な証明をつけるのですから, 図などを使って読者の直観に訴えるのは反則なのです. 定義の動機づけや, 定理や命題のもつ意味の説明がないのも, それを厳密に述べようと すれば, 結局は理論を展開するほかないからでしょうか. とはいっても, こんなふうに 突き放されてしまうと, 初心者にはつらいものがありますね. 彼らが「数学原論」の記述に採用したのは, 公理的方法とよばれるものです. 例え ば, 数直線, リー群, 代数多様体, 関数空間, p 進体など, さまざまな数学的対象がある共 通の位相的性質をもつことを証明したいとしましょう. そのときこの方法では, 1 つ1 つの対象に対して同じような証明をくりかえすなどということはしません. そうでは なく, まずこれらの対象が共通にもつ性質を抽出し, それを少数の命題からなる位相空 間の公理としてまとめます. そして, この公理から問題となっている性質を導きだすこ とによって, いっぺんに証明をすましてしまうのです. 公理的方法は抽象的なものです が, 数学のさまざまな分野を結びつける力をもった強力なものです. 「数学原論」では, この方法が極端なまでに組織的に, そして厳格に貫かれています. （つづく） 263 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/31(土) 08:54:55.69 ] >>263 www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd/bourbakib.pdf ブルバキと「数学原論」　斎藤毅 （抜粋）. （つづき） 4. ブルバキと現在. このように, 輝かしい成功をおさめた「数学原論」ですが, 90 年代になって出版さ れたのは「可換代数第10 章」1 冊があるだけです. これから書かれる巻はもしあると しても, ごくわずかでしょう. 21世紀に生きる私たちにとって, 「数学原論」はもはや 過去のものなのでしょうか? 今の数学における「数学原論」の影響を推し測ることは, 思ったより難しいことか もしれません. というのは, それは空気や水のようにいたるところに行きわたり, 今の 数学の土台をなしているからなのです. 別の影響は, 数学の記述に見られます. 定義, 定理, 証明の羅列というブルバキの文 体, そして, 抽象的, 公理的な構成. これらは今の数学の本, 教科書, 論文で, ふつうに見 られるものです. 「数学原論」の続きが書かれなくなったのは, 他の数学者もブルバキ のように書くようになったからということも一因のようです. メンバーの1 人だったボ レルは, 「(他の著者による) 新しい本の中にも, ブルバキのスタイルで書かれたものが あった... (ブルバキが同じ主題について書いたとしたら, それは) 無駄な二度手間とな るだけだったろう」(ブルバキとの25 年, アメリカ数学会Notices 45 (1998 年)) と振り 返っています. それはともかく, 今もブルバキは数学に大きな影響を, 意識にのぼらな いところで, およぼし続けているのです. （つづく） 264 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/31(土) 08:57:26.26 ] >>263 www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd/bourbakib.pdf ブルバキと「数学原論」　斎藤毅 （抜粋）. （つづき） グロタンディックは, やはりブルバキのメンバーだったデュドネと協力して, 彼が建 設した抽象代数幾何の基礎理論であるスキームの理論を, 「代数幾何原論(EGA)」に まとめました. この本は, 文体といい, 内容といい, まさに「数学原論」の続きのような 本です. 逆に「数学原論」の「可換代数」の巻は, 「代数幾何原論」の基礎とするため に書かれたのではないかと思われるふしもあります. 1994 年A. ワイルスによって証明 されたフェルマー予想も, 数論幾何の定理の1 つです. ワイルス自身は, 特にブルバキ 的な数学者ではありません. しかし, その証明を注意深くみると, いろいろなところに ブルバキ的な数学の影響を読み取ることができます. ブルバキが「数学原論」の新しい巻を次々と書き, 数学の新しい流れを作るという ことはもうないでしょう. しかし, 彼らが作り出したものは, 今の数学の中にしっかり と根をおろし, 新しい発展を支えてくれているのです. （おわり） 265 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/31(土) 09:20:07.69 ] >>261 >斎藤毅 www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/ Takeshi Saito's Home Page: 和文のページ （余談：和文の方が情緒が出ているね） >完全な証明をつけるのですから, 図などを使って読者の直観に訴えるのは反則なのです. これと反対のことを言おう ナスカの地上絵、遠目の富士 ナスカの地上絵 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8A%E3%82%B9%E3%82%AB%E3%81%AE%E5%9C%B0%E4%B8%8A%E7%B5%B5 あまりにも巨大な絵が多く、空からでないとほとんどの地上絵の全体像の把握が難しい。 遠目の富士 www.marino.ne.jp/~rendaico/kakuei/phirosophy_zinbutuhyo.htm 「遠目の富士だ。遠くに見る富士は颯爽として美しい。近くに行けば瓦礫の山さ。石ころばかりだ 」。 （引用おわり） 遠目の富士は引用文と趣旨がだいぶ違うが、ナスカの地上絵も言いたいことは、近くでは単なる石ころだが離れて見ないと意味わからん場合もあるよと 266 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/31(土) 09:37:20.87 ] >>265 >遠目の富士は引用文と趣旨がだいぶ違うが、ナスカの地上絵も言いたいことは、近くでは単なる石ころだが離れて見ないと意味わからん場合もあるよと （引用） ”はじめは微積分の教科書を書こうとしていた はずなのに, 実数が登場するのは, 「位相」の第4 章, 「集合論」から数えて12 冊目の 後半です. 微分の定義は「実一変数関数」ですから, なんと16 冊目です. ではなぜ彼らはこういう文体, 構成をとったのでしょうか. それは, 彼らが目標とし た, 正確さ, 厳密さを確保するための方法によるものなのです.” www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd/bourbakib.pdf ブルバキと「数学原論」　斎藤毅 （引用おわり） ブルバキ、これで微積分を学ぼうとすると、微分の定義は「実一変数関数」は16 冊目だと だが、ブルバキで微積分が分かったとはならないだろう ”定義の動機づけや, 定理や命題のもつ意味の説明がないのも, それを厳密に述べようと すれば, 結局は理論を展開するほかないからでしょうか. とはいっても, こんなふうに 突き放されてしまうと, 初心者にはつらいものがありますね.”>>262 厳密性、公理的方法と遠目の富士的に少し離れて見る見方と 両輪ではないだろうか？ 267 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/03/31(土) 09:37:44.90 ] >>257 >>258 まあね。私はあんな無茶苦茶な家庭で暮らす事を余儀無くされましたか らね、だから人間臭いモノとか感情論とかが大嫌いなんですよね。だか ら応用系の学問なんていう人間オリエンティッドなモノには微塵の興味 も持てませんしね。まあだから数学の実体に関してもパリの親方の言う 考え方（まあ一般にはプラトン主義という解釈みたいですが）と全く同 じですね。つまり人間どころか大宇宙とかでさえ全く無関係という認識 を私もしてますね。 どうです、私らしいでしょ。 猫 268 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/31(土) 09:49:15.17 ] >>266 >厳密性、公理的方法と遠目の富士的に少し離れて見る見方と >両輪ではないだろうか？ 一旦厳密性公理的方法から離れて、遠目で全体像を見る 全体像が頭に入ったところで、近くに行って細部を見る まず、全体像をつかめ その後に細部に 決して逆は良くない 人生の哲学でもある 269 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/31(土) 09:55:08.98 ] >>267 猫さん、乙です！ プラトン主義ですか・・・、検索すると「新プラトン主義」が上位に出ますね ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D%E3%82%AA%E3%83%97%E3%83%A9%E3%83%88%E3%83%8B%E3%82%BA%E3%83%A0 ネオプラトニズム (Neoplatonism) は、プラトンのイデア論を継承し、万物は一者から流出したもの（流出説）と捉える思想で、紀元3世紀頃にプロティノスによって展開され、ルネサンス期にイタリアで再び盛んになった。 「新プラトン主義」と訳されることも多い。 ところで質問 .よく猫は人間的と言われますが、同意しますか？ 270 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/31(土) 10:03:19.88 ] >>269 プラトン主義でこんなのがヒット contest2007.thinkquest.jp/tqj2007/90375/platon.html （抜粋） プラトンの哲学思想 　プラトンは、ソクラテス（プラトンの師）が考え出した哲学を基本として、本当の知識とは何かを研究し、イデア論と呼ばれるものを考え出しました。 　プラトンの哲学は、今でも大きな影響を与えていて、２０世紀のイギリス人哲学者は「プラトンより後の哲学は、プラトン哲学の脚注（すなわち解説書）に過ぎない」と言っています。 　一般的にプラトン主義とは「永遠の真理」「永遠の善」「永遠の美」の３つを指しています。 　プラトンの哲学の動機は、ソクラテス（プラトンの師）を死に追い込んだアテネ（ギリシア）社会でした。アテネ社会のソフィスト（法律家）たちがソクラテスをおとしいれたのです。 　 ソフィスト（法律家）たちの考えで、悪い事の基準は、状況や場所によって変わる（何が正しいか正しくないかは、時と場所・人によってちがう）ということなのです。 　プラトンはソフィスト（法律家）たちのこのような考えに反対して、悪い事の判断をする確かな基準、人によっても場所によっても変わらない永遠で絶対の判断基準を見つけ、それをイデア論という形にしたのです。 　 もう少し具体的に言えば、プラトンは、良い事そのもの（善のイデア）、正義そのもの（正義のイデア）という何かしら永遠で絶対に変わらないものがどこかにあって、人間はこのイデアによって、良い事悪い事を正しく判断することができると考えたのです。 まとめると下のようになります。 ソフィスト： 判断の基準･･･主観的、可変的、流動的、相対的（感覚の重視）：ドクサ（憶見） プラトン ： 判断の基準･･･客観的、普遍的、永遠的、絶対的（理性の重視）：エピステーメー（知識） プラトンの理想 　上で説明するだけでは、プラトンのイデア論は、どうもおとぎ話のようで、信じられないものがあります。 　しかし、プラトンは、国の政治についてすごい事を考えていたのです。 　プラトンの考える国は、一部の欲の強い人たちにまかせる民主主義ではなく、本当に存在するイデアを認識した何人かの哲学者によって支配されるべきだという考えでした。 （つづく） 271 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/31(土) 10:08:22.61 ] >>270 contest2007.thinkquest.jp/tqj2007/90375/platon.html （つづき） イデア論について―永遠の美・永遠の善 　プラトンが考えていた「見る」ということは、この肉眼つまり実際の目で物事を見るということではありませんでした。 　目や耳などの感覚は、人によって違うのです。例えば、味覚が一番わかりやすいでしょう。同じ食べ物でもその味は人によって違ってくるはずです。 　また実際の目で見たものは、時間によって変化し続け、簡単に姿を変えてしまいます。プラトンは、このような体の感覚をあまり信用しなかったのです。 　プラトンは、このことをギリシア語でドクサ（思いなし）と呼んでいます。ドクサとは、英語で言えばseem「〜のように見える」「〜のようだ」という意味です。 　しかしこのような話を聞いていても、イデアというものは本当に存在するのかと皆さんは思うでしょう。すでにプラトンが生きていた時代にも、このイデア論を疑う人がたくさんいました。 　そしてプラトン自身も『パルメニデス』という本で、自分で創ったイデア論に疑問に思い、イデア論に間違えがあることを認めていました。 　何人かの学者たちによると、プラトンは自分で創ったイデア論を全てなかったことにしたのではないかとさえ言われています。 　プラトンは「つくる・つくられる」という考えから、全てのものは、イデアのコピーであると考えました。しかし、こうした「つくる・つくられる」という考えは、物を言わない作り物にしか当てはまらないのです。 　プラトンは、机のイデアや馬のイデアなどを語っていますが、イデアは永遠に存在するものです。つまり、イデアのコピーである地上の机や馬も永遠に存在しなければなりません。 　ところが現実の机は、やがて壊れたり腐ったりしてなくなってしまいます。 　プラトンのイデア論では、この地上の生き物の成長や変化、さらには運動などを説明することができないのです。 哲学の未来へ 　このようにプラトンのイデア論は、作り物には当てはまっても、生き物には当てはまらないものだったのです。 　しかし、自然界の運動や変化をうまく説明できず、自然界を寂しい作り物のかたまりにしてしまったのです。プラトンにとって、この地球上の物は、生命のない単なる材料だったのです。 272 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/31(土) 10:10:17.99 ] >>271 補足 数学では、かなりイデア論が当てはまると思う だが、数学でも運動や変化する部分があると思うのだが というか、数学は完成形になっていないから・・ 273 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/31(土) 10:13:13.61 ] >>267 >どうです、私らしいでしょ。 うんうん 猫さんらしいと思いますよ 274 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/03/31(土) 12:41:00.27 ] >>269 同意しませんね。最近でも周囲の人から『理屈っぽくて機会みたい』と 良く言われますね。外国人の友人には凄く褒められますけどね。 猫 275 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/03/31(土) 12:42:31.79 ] >>273 そうですよね。早くフランスに帰りたいですね。実際にはもう無理だけどね。 猫 276 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/31(土) 19:00:39.03 ] >>274 >同意しませんね。最近でも周囲の人から『理屈っぽくて機械みたい』と なるほど・・ 猫は気まぐれですからね 機械とは対極かな？ >良く言われますね。外国人の友人には凄く褒められますけどね。 なるほど・・ 一般の日本人は、外国人からは『理屈がしっかりしない猫みたい』と思われているのかも・・ 277 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/03/31(土) 19:17:16.94 ] 訂正： 機会　→　機械 訂正をどうも有り難う御座います。 猫拝 278 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/31(土) 19:20:33.60 ] >>275 >そうですよね。早くフランスに帰りたいですね。実際にはもう無理だけどね。 猫さん、乙です そうなんか、フランスに居たんだ・・、それでブルバキに強い思い入れが・・ 無理かどうか自分にはよくわからないが それはともかく、2012年版Grothendieck's Galois theoryを書いてみたら？　英語で arxiv.org/abs/math/0009145v1　（PDFがある） On the Galois Theory of Grothendieck E.J. Dubuc, C. Sanchez de la Vega (Submitted on 14 Sep 2000) en.wikipedia.org/wiki/Grothendieck%27s_Galois_theory Grothendieck's Galois theory 279 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/03/31(土) 19:25:56.22 ] >>278 いやいや、フランス文化圏が私には楽なんですよ。とにかく合理的であり、 尚且つ論理的ですからん。でもまあポストなんかもう取れませんからね。 加えて私はもうジジイだしね。せめて乞食として受け入れてくれないかと。 猫 280 名前：あのこうちやんは始皇帝だった mailto:shikoutei@chine [2012/03/31(土) 19:30:22.89 ] 　お前たちは、定職に就くのが先決だろがああああああ！！！！！！！！ 　ニート・無職の、ゴミ・クズ・カスのクソガキどもがああああ！！！！！！！！ 281 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/31(土) 20:13:35.42 ] >>279 理屈が通じない国だもんな、日本は。 きわめて精神が病んでるし。 282 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/03/31(土) 20:31:37.24 ] >>281 政治は腐ってる。外交は皆無。財政は破綻。学問は壊滅って話ですわナ。 猫 283 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/31(土) 21:13:04.11 ] >>279 >いやいや、フランス文化圏が私には楽なんですよ。とにかく合理的であり、 >尚且つ論理的ですからん。 この話を思い出した ameblo.jp/ozawajimusho/entry-11057315370.html なぜ肉料理が食べたいのか？｜税理士・社労士の○○な話。　2011-10-24 （抜粋） この本の著者・吉越さんの奥様はフランスの方だそうですが、「夕食に何が食べたいか」と奥様に聞かれたときに、「肉料理」と答えた。 日本の多くの家庭なら、「ハイハイ、お肉ね」となるんでしょうが、吉越家では、「なぜ肉料理が食べたいのか」を説明しないと却下されるそう。 「昨日は魚料理だったし、最近手に入れた、お肉にあうあのワインを飲んでみたいから、肉料理がいい」という明白な理屈が必要。 我が家のように「なんとなく中華」とか、「お腹がラーメンな気分」とか、「なんでもいい」とか、曖昧な返答では許してもらえないのですね(笑) この曖昧さ・感情論も日本人ならではで、よい文化だとは思いますが、これだけでは、問題解決できないことも。 トラブルが起こった時に、日本文化だと「申し訳ございませんでした！」と、謝ることで一件落着となることもあるけど、そのトラブルが起こった原因がうやむやになることも多々。 かといって、理屈だけで突き詰められるのも日本人には馴染まない。 論理的ロジックで骨組みを固め、隙間部分を「義理・人情・浪花節」で埋める。 日本人には一番適しているのでは、と著者は書いています。 私も仕事の中では、「なぜ」に重点を置いて、考え、聞くように心がけています。 （引用おわり） 284 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/31(土) 21:17:55.37 ] >>279　つづき >でもまあポストなんかもう取れませんからね。 >加えて私はもうジジイだしね。せめて乞食として受け入れてくれないかと。 ”せめて乞食”は、逆に無いんでしょうね。ポストは無理でも、むしろなにかのスペシャリストで日本語ができるとか あるいは、フランスでなにか会社を作るとかできれば そうそう、フランス人に日本のノンロジカル思考の謎解きをしてやるビジネスとかどう？ あ、猫さんには無理だね。失礼しました 285 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/03/31(土) 21:20:40.77 ] 猫 286 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/31(土) 21:29:38.60 ] >>281-282 >理屈が通じない国だもんな、日本は。 >政治は腐ってる。外交は皆無。財政は破綻。学問は壊滅って話ですわナ。 「なんとなく肉料理が食べたい」が通じる島国ムラ社会の日本ですからね 夏目漱石 「草枕」ですね blog.livedoor.jp/heartwords/archives/50096191.html 2005年07月30日 智（ち）に働けば角が立つ　情に棹（さお）せば流される　意地を通せば窮屈だ　（夏目漱石） 「 “正当“に生きることの難しさとその葛藤」というのをテーマにしているというのが夏目漱石に対する私の解釈です。 “正当性”は行き場を失い、ひどく自分を生きづらくしてしまうこともあるようです。 どんな“正しい”生き方をしたとしても100％ではない、必ず半分は自分と敵対する関係となります。 （引用おわり） ああ、こんなのが・・ blog.livedoor.jp/kengobooks/archives/51414120.html 2010年03月09日14:19 知に働けば蔵が建つ 内田樹の本にはいつも驚かされるが、今回もまた同様だった。この本では現代社会のさまざまなテーマを、現代思想、哲学、社会学、文化人類学、精神分析などを駆使して読み解いている。 （引用おわり） これもちょっと面白いね takedanet.com/2012/02/post_19ff.html 知の侮辱（９）・・・知に働けば角が立つ？ （平成24年2月12日(日)） 「知に働けば角がたつ。情に棹させば流される」とは夏目漱石の小説に有名なものですが、確かに理屈を言うと角がたち、そうかといって情に訴えると流されると言われるとさすが漱石！という感じです。 でも、私のこれまでの人生のいろいろな場面を振り返ってみると、知に働いたから角がたつのではなく、知に働いているのに情が絡むと角がたつという感じです。 287 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/31(土) 22:21:50.05 ] >>222 en.wikipedia.org/wiki/Mikio_Sato www.ams.org/notices/200702/comm-schapira.pdf Mikio Sato, a Visionary of Mathematics Pierre Schapira NOTICES OF THE AMS FEBRUARY 2007 France was a strategic place to receive Sato’s ideas since they are based on those of both Jean Leray and Alexandre Grothendieck. Like Leray, Sato understood that singularities have to be sought in the complex domain, even for the understanding of real phenomena. Sato’s algebraic analysis is based on sheaf theory, a theory invented by Leray in 1944 when he was a prisoner of war, clarified by Cartan, and made extraordinarily efficient by Grothendieck and his formalism of derived categories and the six operations. Sato, motivated by physics as usual, then tackled the analysis of the S-matrix in light of microlocal analysis. With his two new students, M. Jimbo and T. Miwa, he explicitly constructed the solution of the n-points function of the Ising model in dimension 2 using Schlesinger’s classical theory of isomonodromic deformations of ordinary differential equations. This naturally led him to the study of KdV-type nonlinear equations. In 1981, with his wife Yasuko Sato, he interpreted the solutions of the KP-hierarchies as points of an infinite Grasmannian manifold and introduced his famous τ-function. These results would be applied to other classes of equations and would have a great impact in mathematical physics in the study of integrable systems and field theory in dimension 2. In parallel with his work in analysis and in mathematical physics, Sato obtained remarkable results in group theory and in number theory. （つづく） 288 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/31(土) 22:25:04.15 ] >>287 www.ams.org/notices/200702/comm-schapira.pdf Mikio Sato, a Visionary of Mathematics Pierre Schapira NOTICES OF THE AMS FEBRUARY 2007 （つづき） Looking back, forty years later, we realize that Sato’s approach to mathematics is not so different from that of Grothendieck, that Sato did have the incredible temerity to treat analysis as algebraic geometry, and that he was also able to build the algebraic and geometric tools adapted to his problems. His influence on mathematics is, and will remain, considerable. (引用おわり) 289 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/31(土) 22:29:27.88 ] >>288 Pierre Schapiraさんは、Mikio Satoを ”Looking back, forty years later, we realize that Sato’s approach to mathematics is not so different from that of Grothendieck,”と評価しているんだ・・ 290 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/31(土) 22:58:17.97 ] >>266 斎藤毅さんの、これも面白いね www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd/gr.pdf グロタンディーク　[さいとう たけし] グロタンディークほど、多くの伝説が語られた20 世紀の数学者はいないだろう。しかしここで書きたいのは、私にとってのグロタンディークである。 それは、今では遠い学生のころ、来る日も来る日も読みふけった、Tohoku、EGA、SGA の著者である。 全13 章の計画が、第4 章までで中断されたままである、というのも有名な話だが、そこまででも計1,800 ページという膨大なものである。IHES（パリ郊外の高等科学研究所）の青表紙の雑誌で1960年から1967 年まで毎年1 冊ずつ出版されたものだが、 1 章だけは、大幅に改訂されたものがシュプリンガーから本となってでている。 そのはじめのところをみると、数学の対象とは構造のついた集合であるという、ブルバキの数学観が、時代遅れになっていることがわかる。 グロタンディークにとっては、数学の対象とは、表現可能な関手を表現する圏の対象である。 たとえば、ブルバキ流にいえば、実数体とは、実数全体の集合に、加法と乗法という代数的な演算を与え、さらに位相をいれたものである。 EGA では、スキームX とY のS 上のファイバー積とは、S上のスキームの圏の対象で、X が表現する関手とYが表現する関手の積関手を表現するもの、というのが定義である。 数学の対象は、それが何からなりたっているかではなく、どういう役割を果たしているかが重要だ、という視点の転換がそこにある。 アファイン・スキームも、局所環つき空間として構成されるのだが、その存在理由は、大域切断という関手の随伴関手であるところにある。対象それ自体よりも、対象から対象への射のほうが重要だ、といいかえてもよい。 この視点にたつグロタンディークにとって、スキームの点とは、位相空間としての点ではない。 それは、ほかのスキームからの射である。これは、シュヴァルツの超関数が、試験関数の空間の双対として定義されることを思い起こさせる。 （つづく） 291 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/31(土) 23:06:53.43 ] >>290 www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd/gr.pdf グロタンディーク　[さいとう たけし] （つづき） グロタンディークの数学 グロタンディークの業績を振り返ってきたが、それが、その後の代数幾何、数論幾何にもたらしたものは、あまりに巨大である。 簡単に紹介した、ドリーニュ、マンフォード、クィレン、ファルティングス、ラフォルグの業績は、どれもフィールズ賞の栄誉をうけた。 こうしてみると、リーマン・ロッホの定理や、エタール・コホモロジーのレフシェッツ跡公式といった大定理が、輝きを放っている。 しかし、それよりも強く感じられることは、これらの定理の証明を追い求めたというよりは、理論を構築するうちに、こうした定理が自然に得られるような枠組みを作り上げたという印象である。 これは、ドリーニュによるヴェイユ予想の証明や、ワイルズによるフェルマー予想の解決からうける印象とは、異質である。 これが、グロタンディークの強烈な個性だけによるものか、それとも、分野の性格にもよるものなのかは、よくわからない。 最近、数学を専門として勉強し始めた学生向けの授業をうけもつ機会が多い。今の数学のカリキュラムでは、まず抽象的な数学の思考法に慣れることが重要になる。 そこで、抽象数学では、記号はただの記号であることがだいじだが、ただの記号と思ってはいけないなどという話をする。 矛盾しているようだが、いいたいのはこんなことである。 ただの記号であるとは、どんなものでもあてはめてよいということである。 そう思ってはいけないというのは、記号にあてはめられるものには、実に多様なものがあり、それらについての実体感抜きでは、本当の理解にはならないというつもりである。 しかし、グロタンディークは、スキームX といえば、ただX だと思っていたのではないかという気もしてくる。 とすると、そんな話をしても、未来のグロタンディークにとっては、余計なお世話かもしれない。 でもグロタンディークだからこそ、それでよかったのだとも、一数学者としては思うのである。 （おわり） 292 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/01(日) 03:02:54.34 ] >>289 佐藤はグロタンディークより遥かに優れている、とは評価されてないのか。 それはおかしいなあ 293 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/04/01(日) 07:27:57.77 ] >>291 うん、そうそう。私もソレは全く同じ印象ですね。だからグロタンがや った事は『数学が正しく行われる場所を与えた』という事で、正に新約 聖書の役割を果たしていると思いますね。（まあそのアトにフィールズ 賞が何人出たのかは「単なる目安でしかない」と思いますけどね。） まあユークリッドの全１３巻という旧約聖書から始まった数学が一応の 完成をみたのがグロタンの（予定された）１３巻ですからね。だからき っとガウス辺りは中約聖書みたいな感じなんですかね、或いはオイラー がその役割か。 神々からのメッセージですよね、特にグロタンは。 猫 294 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 08:22:08.99 ] >>292 >佐藤はグロタンディークより遥かに優れている、とは評価されてないのか。 >それはおかしいなあ なるほど 見方によってはそうかも・・ >>293 >うん、そうそう。私もソレは全く同じ印象ですね。だからグロタンがや >った事は『数学が正しく行われる場所を与えた』という事で、正に新約 >聖書の役割を果たしていると思いますね。 猫さん、乙です グロタンディークの頭の中には、ランドスケープがすでにあって、それを文字にしていった そういう風に考えます そうでなければ、あの仕事量は理解できない 佐藤幹夫も同様で、ランドスケープが先にあった 佐藤の場合は、自分で書かずに弟子が書いたんだけれど 佐藤幹夫は偉大です グロタンディークと同様に、彼の前と後とでは世界が変わった 295 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/04/01(日) 08:30:43.63 ] >>294 そのランドスケープの話は『収穫と蒔いた種』に書いてありますよね。きっと まあ『数学の実在』という、人間には一切無関係な神の領域に、まああぜ道み たいな「ガイドが通る場所」を準備したんじゃないですかね。だから数学とい う価値観を創造したユークリッドの偉大さに次ぐでしょうね。 グロタンの偉大さは決して「仕事量」じゃないです。『正しい場所を準備した こと』です。神にしか正しい正しくないを判断する事は出来ません。 猫 296 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 08:58:43.21 ] >>291 クィレンは、カタカナでは分かりにくいかもしれないので下記ご参照 en.wikipedia.org/wiki/Daniel_Quillen Quillen was born in Orange, New Jersey, and attended Newark Academy. He entered Harvard University, where he earned both his BA (1961) and his PhD (1964), the latter of which was completed under the supervision of Raoul Bott with a thesis in partial differential equations. He visited France twice: first as a Sloan Fellow in Paris, during the academic year 1968?69, where he was greatly influenced by Grothendieck, and then, during 1973-74, as a Guggenheim Fellow. In 1969-70, he was a visiting member of the Institute for Advanced Study in Princeton, where he came under the influence of Michael Atiyah. In 1978, Quillen received a Fields Medal Mathematical contributions Quillen's most celebrated contribution (mentioned specifically in his Fields medal citation) was his formulation of higher algebraic K-theory in 1972. This new tool, formulated in terms of homotopy theory, proved to be successful in formulating and solving major problems in algebra, particularly in ring theory and module theory. More generally, Quillen developed tools (especially his theory of model categories) which allowed algebro-topological tools to be applied in other contexts. Before his ground-breaking work in defining higher algebraic K-theory, Quillen worked on the Adams conjecture, formulated by Frank Adams in homotopy theory. His proof of the conjecture used techniques from the modular representation theory of groups, which he later applied to work on cohomology of groups and algebraic K-theory. He also worked on complex cobordism, showing that its formal group law is essentially the universal one. In related work, he also supplied a proof of Serre's conjecture about the triviality of algebraic vector bundles on affine space. He was also an architect (along with Dennis Sullivan) of rational homotopy theory. 297 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 09:18:18.34 ] >>295 猫さん、乙です >そのランドスケープの話は『収穫と蒔いた種』に書いてありますよね。きっと >まあ『数学の実在』という、人間には一切無関係な神の領域に、まああぜ道み >たいな「ガイドが通る場所」を準備したんじゃないですかね。だから数学とい >う価値観を創造したユークリッドの偉大さに次ぐでしょうね。 はあ、なるほどなるほど >グロタンの偉大さは決して「仕事量」じゃないです。『正しい場所を準備した なるほど 面白い見方ですね 298 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 09:35:34.51 ] Grothendieck 東北大学 論文で検索すると下記ヒット （なぜ東北大学？を知りたかったんだが） slashdot.jp/journal/539517/ 虚空―あたかも虚空から呼出されたかのように: アレクサンドル・グロタンディークの人生 前篇その1 | スラッシュドット・ジャパン 日記 by taro-nishino2011年09月24日 5時24分 親族の数学に多少の興味を持っている高校生からグロタンディーク氏 (本来なら博士とお呼びすべきなのでしょうが、皆さんもご存知の通り氏は世間と没交渉ですし、博士と呼ばれるのは最も氏の忌嫌うことだと容易に想像されますので、氏のままにします)のまとまった伝記本が無いのかと聞かれ、ちょっと困ったなあと思いました。 本がある無しで弱ったのではなく、グロタンディーク氏の人生を知ってショックを受けるかも知れぬと危惧したからです。 勿論私くらいの年齢の大人になれば、天才は天才であって、凡才は凡才に過ぎぬと居直って平気なのですが、高校生くらいの年齢ではまだ自己が何たるか分かっていないので無限大の力を持っているかのように錯覚しがちです。 今の日本で家が裕福でないと言っても、グロタンディーク氏ほど劣悪な環境で少年期を過ごすことは先ずないと思います。ですから、大人はどうでもいいですが、青少年はもっと勉強出来るはずなんです。 グロタンディーク氏の少年期を考えれば、凡才なりに勉強しないと人として恥だと思ってほしいです。 さて、グロタンディーク氏のまとまった伝記本は私の知る限り皆無です。但し、一つだけ例外があり、後でまた触れます。 本ではありませんが、まとまった伝記的記事で定評があるのがAllyn Jackson女史の"Comme Appele du Neant?As If Summoned from the Void: The Life of Alexandre Grothendieck"(PDF) www.ams.org/notices/200409/fea-grothendieck-part1.pdf だと思います。 この記事は2004年に発表されましたが、書かれた当時はまだグロタンディーク氏が御存命である可能性が高かったのですが、今は83歳ですから生きておられるかどうかわかりませんし、誰も知るすべを持っていません。 なお、Allyn Jackson女史は現在"AMS Notices"の主任編集者です。編集者は裏方さんなので、プライベートなことを言いたくないのですが、数学科で勉強され、私の記憶に間違いが無ければ学位も持っているはずです。 299 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 09:39:24.21 ] >>298 slashdot.jp/journal/539517/ 虚空―あたかも虚空から呼出されたかのように: アレクサンドル・グロタンディークの人生 前篇その1 | スラッシュドット・ジャパン 日記 by taro-nishino2011年09月24日 5時24分 （抜粋つづき） ここで伝記本の件に戻ります。先に例外があると言いました。Jackson女史の記事の中でも言及されていますが、現在ミュンスター大学名誉教授のWinfried Scharlau博士が伝記本(独語)を書いていました。 但し、その本は限定出版と言うのか注文出版と言うのかよく分かりませんが、限定されています。つまり、商業ベースに乗せていないのです。その理由は博士が明言されていないので分かりません。 ただ、何となく分かるような気がします。伝記の主人公が世間と縁を切って姿をくらましているのに、赤の他人が土足で家に上がるようなもんです。しかも、グロタンディーク氏の心の傷になっているはずの少年期にも触れなければならないのです。 だから商業ベースに乗せることに躊躇いがあったと思います。もう一つ理由があると思います。 Scharlau博士はグロタンディーク氏と会ったことがありません。ですから、Michael Atiyah卿が言っている、グロタンディーク氏を個人的に知る数学者が学問的に等身大の伝記を書くことが望ましいという意見に反するのです。 しかしながら、Atiyah卿やジャン＝ピエール・セール博士がグロタンディーク氏の伝記を書くなんて私は想像出来ませんし、お二人ともご高齢ですから先ずあり得ないでしょう。結論を言えば、この先伝記本が書かれることはないと思います。 従って、伝記本は皆無です。但し、無責任素人が書く可能性はあります。 ともかくも、Jackson女史の記事の私訳を以下に載せておきます。なお、この記事は前篇で続きがあります。後編の第2部は私が気の向いた時にでも(いつになるかわかりません)紹介するかも知れません。 前篇だけでも長いので、その1とその2と2つに分けました。 （抜粋つづく） 300 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 09:45:36.19 ] slashdot.jp/journal/539517/ 虚空―あたかも虚空から呼出されたかのように: アレクサンドル・グロタンディークの人生 前篇その1 | スラッシュドット・ジャパン 日記 by taro-nishino2011年09月24日 5時24分 （抜粋つづき） 収穫と種子の中で、グロタンディークは1954年を"困難な年"("l’annee penible")(ページ163)と呼んだ。 その年を通じて、彼は位相ベクトル空間における近似問題の前進に成功しなかった。その問題はおよそ20年後にグロタンディークが試みたものと異なる手法で解決されたばかりだった。 これは"私の人生で数学をすることが重荷になった唯一の時だった!"と彼は書いた。この苛立ちは彼に教訓を与えた。すなわち、一つの問題が厄介と分かれば、取組むべきものが他にあるように数学的"火中の鉄"をいつも複数持て。 サンパウロ大学教授Chaim Honigは、グロタンディークがサンパウロにいた時に助手で、彼等はいい友達となった。グロタンディークはいくぶん質実剛健で孤独な生活をし、ミルクとバナナだけを食べて完全に数学に没頭したとChaim Honigは言った。 Chaim Honigは一度グロタンディークに数学に行った理由を訊いた。数学とピアノに熱中したが、そのような生活を得やすいと思ったから数学を選んだとグロタンディークは答えた。 彼の数学的才能は余りにも明らかなので、Honigは言った。"彼が数学と音楽の間で迷った瞬間があるなんて、私は吃驚した"。 （抜粋つづく） 301 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 09:47:43.76 ] slashdot.jp/journal/539517/ 虚空―あたかも虚空から呼出されたかのように: アレクサンドル・グロタンディークの人生 前篇その1 | スラッシュドット・ジャパン 日記 by taro-nishino2011年09月24日 5時24分 （抜粋つづき） ブラジルを去った後、グロタンディークは1955年の1年をカンザス大学(おそらくN. Aronszajnの招待だろう。[Corr])で過ごした。 そこで、グロタンディークはホモロジー代数に没頭し始めた。彼が"Sur quelques points d’algebre homologique"[訳注:"ホモロジー代数のいくつかのポイントについて"]を書いたのはカンザス大学滞在中だった。 この論文は、それが掲載されたTohoku Mathematical Journal [To]の名前を冠して専門家の間で非公式に"東北論文"として知られるようになったが、ホモロジー代数の古典となり、モジュールに関するカルタンとアイレンバーグの研究を拡張した。 またカンザスにいる間、グロタンディークは"A general theory of fiber spaces with structure sheaf"[訳注:"構造的層を持つファイバー空間の一般論"]を書き、アメリカ国立科学財団のレポートとして出現した。 このレポートは非アーベルコホモロジーに関する彼の第1着想を展開した。非アーベルコホモロジーには後に代数幾何学の状況で舞い戻った。 この時前後、グロタンディークはコレージュ・ド・フランスのジャン＝ピエール・セール(グロタンディークは彼にパリで会ったし、後にはナンシーでも出会った)と文通を始めた。 彼等の手紙のセレクションが元々の仏語で2001年、仏語-英語の二重バージョンが2003年に刊行された。[Corr] これは長く実りのある交流の始まりだった。 手紙は、非常に異なる二人の数学者の間の深く活気に満ちた数学的絆を示す。 （抜粋つづく） 302 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 09:52:08.46 ] >>301 "東北論文"についての記述があったが、経緯は不明 slashdot.jp/journal/539517/ 虚空―あたかも虚空から呼出されたかのように: アレクサンドル・グロタンディークの人生 前篇その1 | スラッシュドット・ジャパン 日記 by taro-nishino2011年09月24日 5時24分 （抜粋つづき） グロタンディークは非常に飛んだイマジネーションを見せるが、セールの鋭い理解力と広い知識によってしばしば地上に戻されている。 時々手紙の中でグロタンディークは驚くべきレベルの無知を示す。例えば、ある時点で、彼はセールにリーマンゼータ関数が無限個の零点を持つのか聞いている。 ([Corr]、ページ204) "彼の古典的代数幾何学の知識は実際にはゼロだった。私自身の古典的代数幾何学の知識は少しましだったが、大したことはなかった。 しかし、それを用いて彼を助けようとした。だが...問題にならない質問が多過ぎた"とセールは回想した。グロタンディークは最新の文献についていく人ではなく、かなりな程度まで、何が行われているかを語るセールに依存した。 収穫と種子の中で、独学したことを除いて、幾何学で勉強したことの大部分はセールから学んだと書いた。(ページ555-556) だが、セールはグロタンディークに只単に教えたのではなかった。 つまり、彼はアイデアを要約し、グロタンディークが反駁出来ないと分かる方法で要約を議論出来た。グロタンディークはセールを、アイデアの爆発のためヒューズに燃やさせるスパークを与える"起爆薬"と呼んだ。 実際、グロタンディークは彼の研究の中心テーマの多くを追跡してセールに行き着いた。例えば、1955年前後に、コホモロジー的状況でヴェイユ予想をグロタンディークに述べたのはセールだった。 その状況は、ヴェイユ予想のオリジナルな説明では明確にされておらず、グロタンディークを罠にはめる可能性があった。(R&S、ページ840) ヴェイユ予想の"ケーラー的"類似のアイデアを通して、いわゆる"標準予想"というグロタンディークの概念もセールが呼び起こした。"標準予想"はより一般的で、系としてヴェイユ予想を暗に意味した。(R&S、ページ210) （引用おわり） セールがいて、グロタンディークがいた セールが居なければ・・・ 303 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/04/01(日) 10:10:21.36 ] >>295 但し誤解が無い様に追加しておくと、その種を蒔いたり収穫をするのは （馬鹿な人間ではなくて）『神々だけ』なんですよ。まあ佐藤先生はそ ういう神々のお一人ですよね。人間でそんな人は殆ど居ませんけどね。 そして我々下々は「唯見てるだけ」ですよ、唯見てるだけね。でも見て るだけでも充分に幸せですけどね。 例えばグロタンが凄いのは『Backward deduction』ですよね。つまり： ★★★『要らない事は証明しない。また必要が無い事は使わない。』★★★ という事です。コレは『数学を行う際の基本』です。数学とはこうでな ければなりません。 また例えば(FLT)の場合を考えてみましょう。コレは： ★★★『問題が解けた事そのものよりも、「ソコへと至る道筋が 　　　　　　　人類に対して示された」という事実（谷山・志村ヴェイユ） 　　　　　　　　　　の方が遥かに大切ですよね。そしてその道筋が存在し得る 　　　　　　　　　　　　　場所を与えたのがグロタンですよね。コレは神にしか不可能。』★★★ という事です。だから我々下々は「唯見るだけ」です。 我々下々は『神々の宴会』を唯見るだけです。そして我々凡俗は「唯見 るだけ」で充分なんです。 貴方がどの範疇なのかは私は知りませんが。 猫 304 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/04/01(日) 10:30:20.68 ] 追加です。 グロタンは『天国から地上へと梯子を下ろした』という印象ですよね。そして その梯子を昇る事が出来た有能な人達が勝利を勝ち取った訳です。 そして佐藤先生は『地上から天国へと梯子を掛けた』という印象ですよね。そ して『計算でも論理でも、そのどちらでも無い数学』（つまりその両方を縦横 無尽に使い切る数学）を行われた神ですよね。 そういう意味では『計算でも論理でも、そのどちらでも無い数学』、しかもそ のご意志を計算と論理で表現なさられた岡潔先生と似てる様で似てない神です。 神とはそういう存在であり、我々下々が解釈する事は許されません。唯ソレを 見て、そして有難く鑑賞するだけです。 猫 305 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/01(日) 10:33:36.04 ] >>304 お前は地獄行きだから関係ないよ まず地上にあがる心配をしような 306 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/04/01(日) 10:46:50.73 ] >>305 だからその『地獄の炎』で数学板を焼き払うんだよ。判るわナ。 猫 307 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/04/01(日) 10:54:31.40 ] >>305 もうひとつ言っておこう。『私には地上は必要がない。』この場で馬鹿 を思いっきり焼き払うのが『その使命』だからナ。だから地上なんかに は興味は無いんだよ。 そろそろその事実を判れや。オマエ等にとってはかなり深刻やゾ。 猫 308 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/04/01(日) 11:41:39.63 ] >>305 今後も徹底的に板全体を焼くゾ。判ってるナ。 猫 309 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/01(日) 11:42:58.65 ] フランス入国拒否… 310 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/04/01(日) 11:46:02.95 ] >>309 日本に居てへんと焼却活動がしにくいがな。そやからコレでエエのや。 猫 311 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 13:38:56.81 ] >>303 猫さんの話はいつも面白ね >貴方がどの範疇なのかは私は知りませんが。 私は、まったくの観客です 数学はエンタの一部です。ただ、数学は使う立場です。数学が分かると便利です。趣味と実益を兼ねています >例えばグロタンが凄いのは『Backward deduction』ですよね。つまり： >★★★『要らない事は証明しない。また必要が無い事は使わない。』★★★ >という事です。コレは『数学を行う際の基本』です。 お言葉なれど、経緯を時間の逆順に書けば・・ グロタンディークは、ヴェイユ予想を解決しようとした（1955年前後に、コホモロジー的状況でヴェイユ予想をグロタンディークに述べたのはセールだった）>>302 　↓ ヴェイユ予想：リーマン予想の類似で非特異代数多様体上の合同ゼータ関数における予想。(下の(3)がリーマン予想の類似)アレクサンドル・グロタンディークを経てピエール・ルネ・ドリーニュにより1974年に解決された。 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%82%A4%E3%83%A6%E4%BA%88%E6%83%B3 　↓ リーマンがゼータ関数についての予想を出した ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E4%BA%88%E6%83%B3 　↓ ゼータ関数と素数との最初の関連はオイラーによって示された ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%82%BC%E3%83%BC%E3%82%BF%E9%96%A2%E6%95%B0 ということは、オイラーの肩の上にリーマンが乗り、その肩でヴェイユが類似予想を出し、セールがコホモロジーが使えるぞとグロタンディークに教え、グロタンディークが部分解決し、その肩の上でドリーニュが最終解決したけれど ドリーニュは、グロタンディークが示した方針とは別の方針で解決しましたと（ゼータの非自明なゼロ点がすべて実部1/2の直線上にあるの類似） で、グロタンディークはどうもドリーニュの証明に納得しなかったらしいと（美しさに欠けると思ったのかな？） これが私の理解ですけど グロタンディークは凄いと思うし、まさに神ですが、ヴェイユ予想の最後の部分は別の神ドリーニュを必要としたということだけは押さえておきたい 312 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/04/01(日) 13:51:09.96 ] >>311 私はそういう事を言ってるのではありません。論文の書き方というか議 論の運び方です。即ち： １．Aを示すにはBを言えば充分。 ２．Bを示すにはCを言えば充分。 ・・・ ２５．Yを示すにはZを言えば充分。 でも「Zは自明」。従って『Aが成立』。 という議論の運び方をしますよね。コレが私の言う『Backward deduction』 ですよ。普通の数学の議論の仕方とは全く逆ですよね。 まあ歴史は貴方の言う通りですよ。だから彼の師はヴェイユとセールで すかね。ドリーニュが弟子というのはちょっと違うでしょうけどね。 猫 313 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/04/01(日) 13:58:52.97 ] >>311 追加です。ドリーニュに対してグロタンが納得しなかったのは： ★★★『ヴェイユ予想の証明に関して「グロタン自身が本来通るべき 　　　　　　　としたルートをドリーニュが意図して通過しなかった」からですね。』★★★ まあこの話は然るべき文献には記述がある（と思います）。まあ予定されてて 未完となってるEGAの各章のタイトルを見たら、その事は概ねは判りますけど。 猫 314 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 14:09:12.70 ] >>303 >また例えば(FLT)の場合を考えてみましょう。コレは： >★★★『問題が解けた事そのものよりも、「ソコへと至る道筋が >　　　　　　　人類に対して示された」という事実（谷山・志村ヴェイユ） >　　　　　　　　　　の方が遥かに大切ですよね。そしてその道筋が存在し得る >　　　　　　　　　　　　　場所を与えたのがグロタンですよね。コレは神にしか不可能。』★★★ これについても、私の理解を書けば（今度は時間順） フェルマーが予想を出した ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%9C%80%E7%B5%82%E5%AE%9A%E7%90%86 （このサイトがよく纏まっているの典拠はこれで） 　↓ クンマーの理想数 　↓ デデキントのイデアル理論 　↓ 抽象代数学の発展（ブルバキの世界。高木の類対論などもこの流れ） もう一つのモジュラーの流れ ポアンカレがモジュラー形式を案出（典拠には無いがガウスが楕円関数の研究で得ていたという） 　↓ 谷山・志村予想 　↓ フライ曲線、セールのイプシロン予想とケン・リベットの証明 　↓ アンドリュー・ワイルズが数学者になる一つの動機がフェルマー予想だったと。ワイルズは、「じゃ、谷山・志村予想すれば良いのね」と そして、屋根裏部屋にこもって証明を進めた。途中、いろいろ人にこっそり聞いたとか。あと、最後はリチャード・テイラーを呼んで共同で仕上げた このワイルズの証明の中で、グロタンディークの影響は極めて大きいとは思うが そもそもが、FLTが出てクンマー→デデキントを通じて抽象代数学の発展につながってきたという流れの中でのグロタンディークのコホモロジー論が出たと まあ、フェルマーさんが変なこと（「この定理に関して、私は真に驚くべき証明を見つけたが、この余白はそれを書くには狭すぎる。[4]」）を書かなければ、クンマーも変なことを考えずデデキントのイデアル論ももっと遅れたかも・・・ ということだけは押さえておきたい 315 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/04/01(日) 14:13:19.27 ] >>311 ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%8E%9F%E8%AB%96 全体のプランはココにきちんと書いてありましたね。失礼しました。 猫 316 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 14:17:06.14 ] >>312 猫さん、乙です なるほどね 論文の書き方ですか グロタンディークは、全部明白に全貌が見えていたんでしょう だから、必要なことだけを書いた。というか、グロタンディークが必要と思うことを書けばそうなったのかも・・・ ドリーニュはこれですね。彼は、神の怒りをかった・・（「自らのプログラムが放棄(埋葬)されたことに激怒したグロタンディークはドリーニュを激しく非難した。」） ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%89%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%8B%E3%83%A5 14歳でニコラ・ブルバキの数学原論を読みこなしていたドリーニュは、ブリュッセル自由大学 ──大学に入るころは既に大学の数学をすべて終えていたとのこと。── と高等師範学校で数学を学び、23歳でIHESの客員教授、26歳でIHES教授、34歳のときフィールズ賞を受賞。1984年からはプリンストン高等研究所教授。 そのドリーニュが師事したのが、アレクサンドル・グロタンディークである。 彼はグロタンディークが数学をしていた間はグロタンディークに忠実であったが、グロタンディークが数学をやめた後は、グロタンディークのプログラムよりヴェイユ予想の早期の解決に向かい、1974年ヴェイユ予想を解決した。 自らのプログラムが放棄(埋葬)されたことに激怒したグロタンディークはドリーニュを激しく非難した。現在ドリーニュは1988年にグロタンディーク還暦記念論文集を刊行するなど和解に向けて努力している。 ドリーニュ61歳記念カンファレンスには、複数のフィールズ賞受賞者を含むメンバーが揃った[1]。 317 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/04/01(日) 14:20:22.79 ] >>314 歴史は確かにそうですが、でも谷山・志村の出所は楕円曲線のモジュラリティ の問題だから、従ってそんなにストレートな話ではないと思います。実際に、 その問題となる志村先生の（極めて重要な）定式化である『有理数体上で』と いう論点に到達するまでは『FLTとは無関係である』と考える方が妥当だと私 は理解しています。 歴史というのは、所詮は『全て後付けでしかない』ので。その方向で完成する までは一切何も言えないからです。 猫 318 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/04/01(日) 14:23:06.64 ] >>316 まあ悪いけど、貴方が言うてるのは『良く知られてる事ばっかし』ですよ。 猫 319 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 14:27:35.64 ] >>315 なるほど ”『代数幾何原論』（だいすうきかげんろん、Elements de geometrie algebrique, EGA）は、アレクサンドル・グロタンディークによる代数幾何学を根底から書き換えた数学書。ユークリドの『原論』と同様に13巻刊行される予定であったが、5巻以降は未完成。 それでも、1巻から4巻まで1800ページもあり、残りの原稿となる『代数幾何学セミナー』 "Seminaire de Geometrie Algebrique"（SGA と略称）が弟子たちによってかかれた（約6500ページ）。” ですか なかなか凄いですね。キリストとその弟子ですね 外部リンクには、EGAとSGAが入手できるように書かれていますが いまやってみるとうまくいかなかったな・・ 320 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/04/01(日) 14:29:33.99 ] >>319 ソレは今は閉じてますね。グロタン師ご本人のご意向みたいですね。 猫 321 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 14:43:08.52 ] >>317 うんうん、宮岡洋一氏の話がありましたね。当時新聞記事にもなった 下記は、ちょっと正確ではないようですが 谷山・志村予想の方が難しいと思われていた・・、フェルマーの直接証明よりということのようですが members2.jcom.home.ne.jp/tasuzuki2/kiroku/memorial/sonota/ferumer/ferumer.html （1988年）東京で数学者の宮岡が「フェルマーの最終定理」が解けたとワシントンポスト等に発表した。宮岡は微分積分学で 　　アプローチをしており、ワイルズの「楕円方程式」と「モジュラー形式」により証明を行っていた。但し宮岡の論文に矛盾点が見つかり 　　証明は失敗だったという結論になって終わった。 >>318 >まあ悪いけど、貴方が言うてるのは『良く知られてる事ばっかし』ですよ。 まあ、私はただの観客ですから、私からは猫さん以上のものは出てきませんので悪しからず 322 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 14:45:17.23 ] >>320 >ソレは今は閉じてますね。グロタン師ご本人のご意向みたいですね。 なるほど 教祖さまは、いまお篭もりですか しかし、数学の進歩は止まらないと思いますね 323 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/04/01(日) 15:46:13.47 ] >>314 だから実際に「もしフライ・リベットが無かったらどうにもならなかった」 とは言えるでしょうね。でも（何故か）： ★★★『谷山・志村が「有理数体上の問題」として定式化されてしまってた』★★★ という事実が『地獄の釜の蓋を開けてしまった』んですよね。コレが実 質上の数論幾何学への扉だったという風に私は理解しています。 加えてソコにはFaltingsによるMordel-Weilの解決が抜けています、もし FLTを語るのであればですが。フィールズ賞も彼に対して出ていますしね。 猫 324 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/04/01(日) 15:51:09.95 ] >>322 いや、IHESを辞されてからズッとお篭りされてたのは周知の事実なんで すがね、どうやらグロタン師のご意向に加えてIHESの版権の問題とも言 われてますね。 大変に厳しい方だとセール先生からもお伺いした記憶ですね。 猫 325 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/04/01(日) 16:07:27.57 ] >>321 宮岡先生のは『ヤウ・宮岡の不等式のアリスメティックバージョン』を 考えて、ソレを用いるという考え方ですよね。だからまあ「微分幾何学 からのアイデア」という解釈ですかね。 あの時は『新聞が騒いだ』という意味で、宮岡先生は犠牲者ですよね。 学者の仕事や研究に対して新聞如きが騒ぐなんて愚の骨頂ですよ。日本 人はどうかしてるね。ゴシップばっかし追いかけてさ。低脳はそういう 事にしか興味を持たないから。 猫 326 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 17:53:30.89 ] >>323 猫さん、乙です。ちょっと外出していまして、失礼しました。 >★★★『谷山・志村が「有理数体上の問題」として定式化されてしまってた』★★★ >という事実が『地獄の釜の蓋を開けてしまった』んですよね。コレが実 >質上の数論幾何学への扉だったという風に私は理解しています。 なるほど そういう見方もできますね >加えてソコにはFaltingsによるMordel-Weilの解決が抜けています、もし >FLTを語るのであればですが。フィールズ賞も彼に対して出ていますしね。 FaltingsによるMordel予想解決は、確かに大きいですよね つーか、新聞記事になったような記憶が、フェルマー関係で（フェルマー予想の部分解決（フェルマーの解があっても有限だと）） 本当は、フェルマーよりMordel予想の方が数論的には重要なのですが 世間的には、フェルマーの方が受ける（TVに例えれば視聴率が取れる） ファルティングスはこれ ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%AB%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%B3%E3%82%B0%E3%82%B9 1983年にモーデル予想を証明。1986年にモーデル予想を証明した業績によりフィールズ賞を受賞。その後プリンストン大学教授を経て、2004年現在はマックス・プランク数学研究所で研究している。 ファルティングスはまずテイト予想とシャファレヴィッチ予想を証明してから、モーデル予想を証明した。 モーデル予想を証明した論文をIHESのアラン・コンヌに送り、その論文に多少のギャップはあったものの、大方あっていたため、その事実をファルティングスに報告。そのギャップを埋めて完全に証明した。 327 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 18:04:32.55 ] >>324 猫さん、どうも 貴重な情報ありがとうございます。 >大変に厳しい方だとセール先生からもお伺いした記憶ですね。 なるほどなるほど >宮岡先生のは『ヤウ・宮岡の不等式のアリスメティックバージョン』を >考えて、ソレを用いるという考え方ですよね。だからまあ「微分幾何学 >からのアイデア」という解釈ですかね。 ヤウ先生ね 『見えざる宇宙のかたち』　シン＝トゥン・ヤウ　Shing-Tung Yau を買ってきました。なかなか面白そうです https://www.iwanami.co.jp/moreinfo/0060430/top.html もとはといえば，ただひたすら幾何学に魅せられて数学者への道を進んだフィールズ賞受賞者，シン＝トゥン・ヤウ． しかし，「カラビ予想」の証明をきっかけとして，かたちの研究は＜宇宙のかたち＞へとつながり，ヤウは幾何学と宇宙論の境界領域に足を踏み入れることに……． ヤウの名は，まさにその＜かたち＞である「カラビ＝ヤウ多様体」で記憶している方もおられるのではないでしょうか． 　川で体を洗う日々，貧しさのあまり家禽業者になりかける……など驚くような生い立ちをはじめ，人生における節目節目のエピソードも随所に差し挟まれますが，基本的にはヤウ自身の足跡に沿って，幾何学，そしてひも理論の魅力がみっちりと語られる本です． 抽象的かつ難解な概念が続々と出てきますが，気鋭のサイエンスライターである共著者の助力も大きいのでしょう，あらゆるトピックが非常に丁寧に，平易な言葉を使って解きほぐされていきます． ドーナツ，バスケットボールや石鹸膜など，豊富な喩え話によりつつ，あれこれと図を描きながら想像をたくましくして読み進めていけば，大づかみながらも，ヤウの壮大な知的冒険をともに楽しむことができるでしょう． 328 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 18:10:09.32 ] >>327 >シン＝トゥン・ヤウ　Shing-Tung Yau 写真がありますね。”ポアンカレ予想を巡って”というのは、米国ではかなり騒がれたようですね ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%83%B3%EF%BC%9D%E3%83%88%E3%82%A5%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%A4%E3%82%A6 丘 成桐（きゅう せいとう、シン・トゥン・ヤウまたはシン＝トゥン・ヤオ、邱成桐, 1949年4月4日 - ）は中国系アメリカ人の数学者。ハーバード大学教授。 数学者ではあるが幼い頃から数学が得意だったわけではなく5歳の頃に受けた公立学校の入学試験にはそれが原因で落ちている。 高校の頃に幾何学を学び、それがきっかけで代数学などの数学のさまざまな分野に興味を持ち始めるようになった。 この頃、父親が亡くなり経済的に非常に厳しくなったためこれらは書店で本を立ち読みして勉強したという。 1969年に香港中文大学を卒業。カリフォルニア大学バークレー校で陳省身に学び、1971年に博士号を取得。同年プリンストン高等研究所でポスドクとなる。 ポアンカレ予想を巡って 当時、未解決問題だった幾何化予想を研究していたリチャード・ハミルトンと交流があり、後に問題解決にとても大きな役割を担うことになるリッチフローを応用するよう彼に薦めたのも丘である。 この予想はウィリアム・サーストンにより予想されたものでクレイ数学研究所のミレニアム懸賞問題にもなっていた3次元ポアンカレ予想を含む壮大なものであり、 実際、3次元ポアンカレ予想はグリゴリー・ペレルマンが2002年にこの予想を証明することによってその長い歴史に終止符を打つことになる （査読・検証を経て証明が確定されたのは2006年末）。 よって丘がポアンカレ予想解決を大きく推し進めたのは事実なのだが、ペレルマンの証明の検証の際に、 あたかも自分たちが最終的解決をしたかのような論文を提出した曹懐東と朱熹平（2人ともハーバード大で丘の指導を受けた数学者）を弁護したため、数学界のみならずニューヨーカー誌などの報道機関からも批判を受けた。 マーシャ・ガッセンはその著書『完全なる証明』（文芸春秋刊）で、丘のこの行為こそがペレルマンを人間不信に陥らせ、フィールズ賞含む数々の賞の入賞を辞退させることにつながったと書いている。 329 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 18:24:42.12 ] >>302 つづき slashdot.jp/journal/548439/ taro-nishinoの日記： 書評 グロタンディークとセールの文通書簡 20120325 抜粋 一流の人から直接学ぶことが大事なのは当り前ですが、直接学ぶ機会が無くても一流の人が書いた著作を読むことが次善の策だと思います。 それに関連して思い出したことがあります。皆さんは、グロタンディーク氏とジャン=ピエール・セール博士の文通書簡集"Correspondance Grothendieck-Serre"という本を御存知でしょうか。 2001年にSMF(フランス数学協会)から出版され、2003年にはAMS(米国数学協会)から仏英2か国語版が出版されました。 この本は出版後、何年前か忘れましたが、グロタンディーク氏が自身の著作権を有するものは出版を今後一切認めないという宣言によって、現在は仏国内でも絶版です。 今後再刊されることはありませんので、持っている人にとって貴重な現代数学史の資料となるでしょう。 この本は和訳されませんでしたので、日本のいわゆる数学愛好家には殆ど知られていません。 本にはグロタンディーク氏が位相ベクトル空間から代数幾何学へと分野替えの真っ最中の1955年に始まり、主として1969年までのセール博士との文通が収められています。 セール博士は当時(今でもそうですが)世界一の数学者であり、代数トポロジーの若き権威でした。 対してグロタンディーク氏は位相ベクトル空間に素晴らしい業績を残したけれども、代数トポロジーは勿論のこと、代数幾何学はおろか、函数論の初歩も知らなかったのではないかと思わせる有様でした。 昨今の阿呆学生でもしないような質問、例えば、リーマンのゼータ函数の零点は無限個あるのかとセール博士に聞いているのですね。 天才が天才であるのは知識が無くても、一流の数学者から手紙を通じて学び、あっという間に数学最前線に立てるのです。そこが凡才とは違うところです。 もし相手がセール博士のような一流でなければ、グロタンディーク氏の分野替えはもっと遅れただろうと思います。 書評 グロタンディークとセールの文通書簡 2004年3月 John Tate この本は、1955年から1969年までのグロタンディークとセールとの間で行われたコラボレーションの詳しい状況を私達に見せる。その当時、彼等は代数幾何学における革命的発展に重要な役割を果たした。 （略） 330 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 18:35:28.56 ] >>299 >ともかくも、Jackson女史の記事の私訳を以下に載せておきます。なお、この記事は前篇で続きがあります。後編の第2部は私が気の向いた時にでも(いつになるかわかりません)紹介するかも知れません。 後編（part2）下記。200410ですね www.ams.org/notices/200410/fea-grothendieck-part2.pdf 331 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 18:44:33.26 ] >>330　つづき　ついでにヒットしたもの これは、80才の記念記事 www.ams.org/notices/200808/tx080800962p.pdf Grothendieck at 80, IHES at 50 GrothendieckのBiographical Materialみたいでリンクがいろいろ・・ www.math.jussieu.fr/~leila/grothendieckcircle/biographic.php Biographical Material Modified page Texts by A. Grothendieck no longer available as per his demand, with the exception of issues of the newsletter Survivre et Vivre (see below) 332 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 19:14:39.54 ] >>324 >どうやらグロタン師のご意向に加えてIHESの版権の問題とも言 >われてますね。 >大変に厳しい方だとセール先生からもお伺いした記憶ですね。 うん、>>329「この本は出版後、何年前か忘れましたが、グロタンディーク氏が自身の著作権を有するものは出版を今後一切認めないという宣言によって、現在は仏国内でも絶版です。」の関連ですね IHESを辞して、本もだめだと・・ 333 名前：あのこうちやんは始皇帝だった mailto:shikoutei@chine [2012/04/01(日) 19:19:44.22 ] 　ニートのゴミ・クズ・カスのクソガキ！　消えろ！！！！！！！！！！！！！！！！ 334 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 19:29:10.14 ] >>302 >セールがいて、グロタンディークがいた >セールが居なければ・・・ 友達が大事ってことかな 小川益川を思い出した。下記は小川さんの立場からの見方。益川先生は本を書いていたね。二人で力を合わせた・・ www.soken.ac.jp/journal/special/doc/05-09.pdf 335 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 20:49:19.27 ] >>279 >加えて私はもうジジイだしね。 話の感じでは、40代みたいなんだけど？ 数学者では、カール・ワイエルシュトラスが、けっこう晩成だったと思ったが・・ ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%B9 1815年10月31日 - 1897年2月19日 ここからドイツのページに飛ぶと これはどうも超楕円関数（アーベル関数）の論文をようやく1854に出したと、39才かな。2012年なら40代中頃から後半の年代でしょうね In volliger Isolation von der mathematischen Welt arbeitete er intensiv an seiner Theorie der Abelschen Funktionen (den unmittelbaren Verallgemeinerungen der elliptischen Funktionen) und publizierte in der Zeitschrift seiner Schule. Aufmerksamkeit erregte aber erst ein Aufsatz in Crelles Journal 1854 Zur Theorie der Abelschen Funktionen, dem 1856 eine ausfuhrlichere Arbeit folgte. 336 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/01(日) 20:50:20.85 ] ガロア理論を勉強中です。質問ですが、ガロア分解方程式f(x)=0に 補助方程式の根を１つだけでなく、すべて添加すると、p個に群が 別れて、p個の群はすべて同一の置換をもつよいうことですが、 この同一になる部分の証明が読んでも分かりません。なんか誤魔化 されているみたいで。 みなさんから理解に役立つヒントはもらえないでしょうか。 置換が同一になれば、そのガロア群が元のガロア群の正規部分群 になるのは理解しているのですが。 ご教示をお願いします。 337 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/01(日) 22:47:07.62 ] グロタンといえば良しも悪しきも山純 １は相当のど素人だな、語るな今後

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