- 1 名前：不等式ヲタ mailto:sage [2010/10/24(日) 23:56:56 ]
- ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
過去スレ
・不等式スレッド （Part1） science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第３章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第４章 kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
過去スレのミラー置き場：cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
まとめWiki wiki.livedoor.jp/loveinequality/
姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000
- 774 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/30(水) 13:27:41.48 ]
- 66-5
www.asahi-net.or.jp/~nj7h-ktr/kadai10-11.pdf
( ﾟ∀ﾟ)ﾑﾑﾑ…
- 775 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/30(水) 23:51:09.00 ]
- >>774
(64_1)
(1) sgn(a), x = |a|･tanθ とおく。
(2) 部分分数に分けて
f(x)f(t-x) = (1/2π)f(t/2){(1/2 + x/t)f(x) + (1/2 + (t-x)/t)f(t-x)}
xf(x) は奇関数だから、積分すれば0.
(t-x)f(t-x) も同様。
∴ (1/2π)f(t/2)∫(-∞,∞) {f(x) + f(t-x)}/2 dx = (1/2π)f(t/2),
66-5
問題1.
(左辺) - (右辺) = (4/5)(x-y)^2 + (4/5)(x+y)(z-x-y) + (z-x-y)^2 ≧0,
z = x+y+Z (Z≧0) を与式に代入する。
問題2.
(与式) > ∫[0,1] (x^2)e^(-x) dx
= [ -(x^2 +2x +2)e^(-x) ](x=0,1)
= 2 - (5/e) = 0.160603
(与式) < ∫[0,1] (x^2)･e^(-x^3) dx
= [ -(1/3)e^(-x^3) ](x=0,1)
= (1/3)(1 - 1/e) = 0.210707
（真値は (1/4)(√π)erf(1) - 1/(2e) = 0.189472345820492...）
67-2
(1) f(x) = (x+1/x)^2 は下に凸だから
(a + 1/a)^2 + (b + 1/b)^2 + (c + 1/c)^2
= f(a) + f(b) + f(c)
≧ 3f((a+b+c)/3) (← 下に凸)
= 3f(1/3) = 3(10/3)^2 = 100/3,
- 776 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/02(金) 01:41:46.25 ]
- >>763・・・
- 777 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/02(金) 01:43:06.65 ]
- 67-3
m は {m(m-1)+2}/2 項目に初めて現れれる。これをnとすると、mは
a_n = [ （1 + √(8n-7)）/2 ]
>>774
66-5
I_n = ∫[0,1] x^2･exp(-x^n) dx
は nについて単調増加で、 1/3 に収束する。
I_n ≒ 1/3 - 1/(1.2553312n + 4.22642) (n>>1)
- 778 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/02(金) 14:24:30.43 ]
- >>775
67-2 (1)
〔補題〕
ある区間で f(x) >0 とする。
(1) f が下に凸, a>1 ⇒ f^a も下に凸。
(2) f が上に凸, 0<a<1 ⇒ f^a も上に凸。
(3) f が上に凸, a<0 ⇒ f^a は下に凸。
(略証)
f が上に凸 ⇔ f " >0,
f が下に凸 ⇔ f " <0,
f(x)^a = g(x) とおくと
g ' = a･f^(a-1)f ',
g " = a(a-1)f^(a-2){f '}^2 + a･f^(a-1)･f ",
- 779 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/02(金) 14:51:44.63 ]
- >>778 の訂正
(略証)
f が下に凸 ⇔ f " >0,
f が上に凸 ⇔ f " <0,
- 780 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/02(金) 21:23:27.67 ]
- >>763 (1) >>776
・三角不等式 |b+c| + |a+b| ≧ |c-a| を使って
(左辺) = {a^2 +b^2 +c^2 -ab-bc-ca} + {a^4 +b^4 +c^4 -(ab)^2 -(bc)^2 -(ca)^2}
= (1/2){(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2} + (1/2){(a^2 -b^2)^2 +(b^2 -c^2)^2 +(c^2 -a^2)^2}
= (1/4){(a-b)^2 +(b^2 -c^2)^2} + (1/4){(b-c)^2 +(a^2 -b^2)^2} + cyclic
≧(1/2){|a-b||b^2 -c^2| + |b-c||a^2 -b^2|} + cyclic (← 相加･相乗平均)
= (1/2)|a-b||b-c|(|b+c|+|a+b|) + cyclic
≧(1/2)|a-b||b-c||c-a| + cyclic (← △不等式)
= (3/2)|⊿|,
・あるいは
⊿ = (a-b)(b-c)(c-a) = (1/3){(c-a)+(c-b)}(a^2 -b^2) + cyclic,
から
(左辺) - (3/2)|⊿| = (1/4)(c-a)^2 + (1/4)(c-b)^2 + (1/2)(a^2 -b^2)^2 ±(1/2){(c-a)+(c-b)}(a^2 -b^2) + cyclic
= (1/4){(c-a)±(a^2 -b^2)}^2 + (1/4){(c-b)±(a^2 -b^2)}^2 + cyclic (複号同順)
= (1/8){(2c-a-b)±2(a^2 -b^2)}^2 + (1/8)(a-b)^2 + cyclic
≧ 0,
- 781 名前：Y [2011/12/07(水) 18:11:04.99 ]
- すげえ
- 782 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/08(木) 23:37:47.56 ]
- >>701は誰も解けないの？
- 783 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/09(金) 00:09:56.40 ]
- ヒントやろうか？
- 784 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/09(金) 00:50:16.48 ]
- いやいらない
- 785 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/09(金) 06:09:30.37 ]
- 以下の真ん中あたり
www.sugakukobo.com/
問題
www.sugakukobo.com/pdf/SuuSemi_1.pdf
解説
www.sugakukobo.com/pdf/SuuSemi_2.pdf
( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
- 786 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/09(金) 06:12:53.86 ]
- >>783
さっさとよこせ！でございます
- 787 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/09(金) 14:19:18.49 ]
- Putnam Competition, 1999 B-4
- 788 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/09(金) 23:36:44.27 ]
- 獲得金メダル！ 国際数学オリンピック第１章「不等式」，小林一章，朝倉書店，2011年
www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-1113...
嫁！ ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
- 789 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/10(土) 05:07:17.81 ]
- x、y、z≧0に対して、
x^4・y + y^4・z + z^4・x ≧ x^2・y^2・z + y^2・z^2・x + z^2・x^2・y
( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
- 790 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/10(土) 17:07:44.95 ]
- >>788
www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11132-3/
A5／192ページ／2011年11月25日
定価2730円
数学オリンピック（JMO・IMO）出場者自身による，類例のない数学オリンピック問題の解説書。
単なる「問題と解答」にとどまらず，知っておきたい知識や実際の試験での考え方，答案の組み立て方などにも踏み込んで高い実践力を養成する。
>>789
相加･相乗平均より
(6x^4･y + 5y^4･z + 2z^4･x)/(6+5+2) ≧ x^2･y^2･z,
循環的にたす。
( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
- 791 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/10(土) 17:31:36.86 ]
- >>788
> 獲得金メダル！ 国際数学オリンピック第１章「不等式」，小林一章，朝倉書店，2011年
> www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11132-3/
■Muirheadの不等式■
x、y、z >0 とする
p_1 ≧ q_1
p_1 + p_2 ≧ q_1 + q_2
p_1 + p_2 + p_3 ＝ q_1 + q_2 + q_3
のとき、(i、j、k) は (1、2、3) の並び替えとして
Σx^(p_i)・y^(p_j)・z^(p_k) ≧ Σx^(q_i)・y^(q_j)・z^(q_k)
（P.10より）
Muirheadの不等式を用いて不等式を照明することを Bunching といいます
（日本選手の間でも2003年頃から普及しはじめ、「バンチ」と呼ぶ人が多いです）
＿＿＿ なんで Bunching なのか小一時間問い詰めたい
.／ ≧ ＼ ああ問い詰めたいね
|:::: ＼ .／ | 別にﾑｯﾊｧ-でもいいじゃんかと！
|::::: (● (● |
ヽ::::... .∀....ノ ／ ﾁﾝ ☆
＿( ⊃ ⊃ ﾁﾝ ☆
|＼￣￣￣￣旦￣＼
| |￣￣￣￣￣￣￣|
＼| 愛媛みかん |
￣￣￣￣￣￣￣
- 792 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/10(土) 19:40:28.18 ]
- >>791
Bunchin さんは63歳になられました....
ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A1%82%E6%96%87%E7%8F%8D
- 793 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/10(土) 22:21:58.20 ]
- >>792
「ねこやなぎ」の由来は？
www.youtube.com/watch?v=PYHozLh3QyA
- 794 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/11(日) 06:20:05.34 ]
- Bunchin師匠の独演会
www.youtube.com/watch?v=aW5DJHMrrcA
- 795 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/11(日) 07:08:35.73 ]
- ( ﾟ∀ﾟ) 荒らすなYO！
- 796 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/11(日) 21:06:29.75 ]
- >>791
p_1 ≧ p_2 ≧ p_3,
q_1 ≧ q_2 ≧ q_3,
とするんでつか？
（ｐ）ゝ（ｑ）
と書き、ｐはｑの優数列である（ｐ majorizes ｑ）という。
参考文献[3] p.125 (1987.10)
- 797 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/12(月) 17:25:05.25 ]
- a, b, c>0 with abc=1.
For f(a, b, c)=a+b^{20}+c^{11},
f(a, b, c)+f(b, c, a)+f(c, a, b)≦1
- 798 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/12(月) 21:23:27.28 ]
- >>782
問題自体に不備がある悪寒
- 799 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/12(月) 21:51:50.20 ]
- 反例を探したほうがいいかもな
- 800 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/12(月) 23:44:50.54 ]
- >>789
両辺を xyz で割ると
x^3 /z + y^3 /x + z^3 /y ≧ xy + yz + zx,
となる。これはコーシー
(x^3 /z + y^3 /x + z^3 /y)(xz+yx+zy) ≧ (x^2 + y^2 + z^2)^2 ≧ (xy+yz+zx)^2,
より明らか。（冬）
casphy - 高校数学 - 不等式 - 735
- 801 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/13(火) 09:19:04.81 ]
- >>789
チェビシェフによる。
Σ(乱順序積) ≧ Σ(逆順序積) から
x^3 /z + y^3 /x + z^3 /y ≧ x^3 /x + y^3 /y + z^3 /z
= x^2 + y^2 + z^2 ≧ xy + yz + zx,
または
xy=Z, yz=X, zx=Y とおいて
Σ(同順序積) ≧ Σ(乱順序積) より
x^3 /z + y^3 /x + z^3 /y = YZZ/XX + ZXX/YY + XYY/ZZ
≧ YZZ/ZZ + ZXX/XX + XYY/YY = Y + Z + X = zx + xy + yz,
- 802 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/15(木) 15:04:08.16 ]
- モローの不等式age！
_ ∩
( ﾟ∀ﾟ)彡 モロー！ モロー！
⊂彡
- 803 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/15(木) 15:12:21.25 ]
- おっぱい！
おっぱい！ おっぱい！
おっぱい おっぱい！ おっぱい！
おっぱい！ ∩ ∩ ﾉ) おっぱい！
おっぱい！ 川 ∩ 川彡'三つ おっぱい！
おっぱい！ ⊂ミ∩､⊂ミ∩彡⊃ おっぱい！
おっぱい！⊂三ミ( ﾟ∀ﾟ)彡三彡三⊃ おっぱい！
おっぱい！ ⊂彡川⊂彡川ミ⊃ おっぱい！
おっぱい！⊂彡川∪⊃ Ｕ川彡⊃ おっぱい！
おっぱい！ (ノ ∪ 川 ∪ミ) おっぱい！
おっぱい！ ∪ おっぱい！
おっぱい！ おっぱい！ おっぱい！
おっぱい！ おっぱい！
おっぱい！
- 804 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/15(木) 21:42:40.44 ]
- a_n = (1 + 1/n)^n
b_n = (1 + 1/n)^(n+1)
e/(2n+2) < e - a_n < e/(2n+1) < b_n - e < e/(2n)
_ ∩
( ﾟ∀ﾟ)彡 モロー！ モロー！
⊂彡
- 805 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/15(木) 23:57:48.12 ]
- 数検スレより
676 返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2011/12/15(木) 22:38:11.63
>>675
要は
a_n=(1 +1/n)^n
b_n=(1 +1/n)^(n+1)
から、
2=a_1<a_2<…<a_n<…<b_n<…<b_2<b_1=4
の相加相乗を使った証明。
数検1級（H23/4)の問題
『(1 +1/n)^(n +1/2) > e を証明せよ』
とテイラー展開を使った模範解答。
別解として、積分（中点公式）を使った解法
さらに、出題として、
台形公式を適用した場合、eに対するどのような関係式となるか
発展課題として、
モローの不等式の証明
『e/(2n+2)＜e - a_n < e/(2n+1) < b_n - e < e/(2n)』
_ ∩
( ﾟ∀ﾟ)彡 モロー！ モロー！
⊂彡
- 806 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/16(金) 09:22:44.68 ]
- 797>>Sorry, the correct versio is here.
a, b, c>0 with abc=1.
For f(a, b, c)=a+b^{20}+c^{11},
1/f(a, b, c)+1/f(b, c, a)+1/f(c, a, b)≦1.
- 807 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/16(金) 14:16:29.16 ]
- >>701 はPutnam Competitionの1999年の問題の条件の一部が抜け落ちたもの
元の問題ではfはC^3級になってる
- 808 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/16(金) 15:47:23.94 ]
- >>807
模範解答はないのですか？
- 809 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/16(金) 18:57:34.40 ]
- 聞く前に探せ！
- 810 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/16(金) 22:38:36.36 ]
- >>805
kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1295154182/66-67
- 811 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/17(土) 01:07:55.84 ]
- >>805
(1 +1/n)^(n +1/2) > e も二項展開でOK
kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1295154182/68-69
- 812 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/17(土) 17:02:28.96 ]
- >>805
うちの田舎町では売っていないんだけど、相加相乗の証明を教えてちょ
- 813 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/17(土) 17:14:52.36 ]
- >>812
a[n-1]/a[n]
=(n^2/(n^2-1))^(n-1)*n/(n+1)
<(((n-1)*(n^2/(n^2-1))+n/(n+1))/n)^n
=1
∴a[n-1]<a[n]
b[n]も同様
- 814 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/17(土) 21:11:12.61 ]
- にゃるほど、さんくす
- 815 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/18(日) 03:57:07.52 ]
- >>813
=(n^2/(n^2-1))^(n-1)*n/(n+1)
<(((n-1)*(n^2/(n^2-1))+n/(n+1))/n)^n
これがよくわかりません
- 816 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/18(日) 10:35:34.65 ]
- >>815
相加相乗
- 817 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/18(日) 10:46:04.97 ]
- そうか！そうじょうか！
- 818 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/18(日) 20:53:38.40 ]
- >>812 >>815
{n/(n-1), n/(n-1), ……, n/(n-1), 1}
(n-1)個 1個
の相乗･相加平均で
{n/(n-1)}^(n-1) < {(n+1)/n}^n,
∴ a[n-1] < a[n],
- 819 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/19(月) 06:39:23.97 ]
- ちょうど1になるのか。相加相乗を使ってくださいといわんばかりだな。
- 820 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/19(月) 11:54:03.82 ]
- >>805
> さらに、出題として、
> 台形公式を適用した場合、eに対するどのような関係式となるか
∫[a,b] f(x)dx < (b-a)(f(a)+f(b))/2 からeに関する何が得られるか謎でござるよ、ﾆﾝﾆﾝ
- 821 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/20(火) 15:36:42.61 ]
- >>2の[4]を本屋で見かけたけどページ数の割に高かったから買うのを躊躇してしまった・・・
こういう感じの基本的な不等式をしっかりと扱った本って他にある？
洋書でもいいんで教えてください
- 822 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/20(火) 20:17:44.59 ]
- >>821
本題をケチるなど言語道断！
- 823 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/20(火) 20:18:35.64 ]
- Problem372にﾊｧﾊｧ…
www.math.ust.hk/excalibur/v16_n2.pdf
( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
- 824 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/20(火) 20:46:00.62 ]
- eに関する不等式が出てきた今なら出せる
( ﾟ∀ﾟ)つ lim[n→∞] { (n+1)^(n+1) / n^n - n^n / (n-1)^(n-1) } =
- 825 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/20(火) 22:34:11.62 ]
- >>823
Problem 2.
Given real numbers x,y,z such that x+y+z=0, show that
x(x+2)/(2x^2 +1) + y(y+1)/(2y^2 +1) + z(z+2)/(2z^2 +1) ≧ 0,
When does equality hold ?
Problem 372.
For all a,b,c>0 and abc=1, prove that
1/{a(a+1)+ab(ab+1)} + 1/{b(b+1)+bc(bc+1)} + 1/{c(c+1)+ca(ca+1)} ≧ 3/4.
- 826 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/20(火) 22:55:55.48 ]
- Problem 5
YOSHIO > TETSUYA
- 827 名前：猫は共著のみ ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/12/20(火) 22:57:00.38 ]
- You need a proof.
--neko--
- 828 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/20(火) 22:58:03.53 ]
- 前科を比べたら哲也の方が上や
- 829 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/21(水) 00:33:42.48 ]
- そうか？
- 830 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/21(水) 03:02:29.47 ]
- >>825
Problem 2.
通分して
(左辺)･(2x^2 +1)(2y^2 +1)(2z^2 +1)
= (2xyz +2xy +x+y)^2 + (2xyz +2yz +y+z)^2 + (2xyz +2zx +z+x)^2 -(x+y+z)(8xyz+x+y+z-2)
= (2xyz +2xy +x+y)^2 + (2xyz +2yz +y+z)^2 + (2xyz +2zx +z+x)^2 (← 題意)
≧ 0,
等号成立は (0,0,0) (-1/2,-1/2,1) etc. のとき。
- 831 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/21(水) 03:58:42.26 ]
- >>824
通分して、(1 + 1/(n-1))^(n-1)を括り出したまではいいが、その後が進マンボー
/^i
/:::::|
＿＿/::::::::|
,. ‐' ´::::::::::::::::::::::::::ヽ:.､
, ‐'´:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::ヽ:＼
. （:::(ｏ):::::::／i:::::::::::::::::::::::::::::::::i::::::i
ヽ ￣ ::::::::::::::::::::::::::::::|::::::l 進マンボー
＼ ::::::::::::::::::ｉ::::::i
`‐ ､ ::::::/::／
｀ ー-- ､.......::／ '´
i:::::::|
i:::::::!
ヽ:_|
- 832 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/21(水) 05:37:53.01 ]
- かわゆす
- 833 名前：猫の育て方 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/12/21(水) 10:04:54.39 ]
- その魚は実は寿司ネタとして喰えるのや。
猫
- 834 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/21(水) 11:50:38.85 ]
- A(4)は
|2q 1|
|1 3q|
じゃないかと想像がつくやろ
ほしたらA(5)=4q A(4)-2q がどうなるかはピンと来てもおかしくないやろ
それにA(n)はちゃあんとn-2次の行列式で表せるわい
- 835 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/21(水) 11:52:23.12 ]
- あかん誤爆したわ
- 836 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/21(水) 15:26:06.45 ]
- >>387
> (3) (a^2 +2)(b^2 +2)(c^2 +2)
> を 3つの対称式の平方和で表わせ。
>>389
> (a^2 + p^2)(b^2 + q^2)(c^2 +r^2) = (abc-aqr-pbr-pqc)^2 + (pbc+aqc+abr-pqr)^2,
> だと２つになるし･････
>>390
> p=q=r=√2 を入れて
> {abc-2(a+b+c)}^2 + (bc+ca+ab-2)^2 + (bc+ca+ab-2)^2,
390が分かりませぬ ('A`)
p=q=r=√2 を入れたら、 {abc-2(a+b+c)}^2 + (bc+ca+ab-2√2)^2 で止まって進マンボー！
- 837 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/21(水) 15:28:32.65 ]
- ごめん、分かった
- 838 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/21(水) 23:19:52.06 ]
- >>804-805
{2n/(2n+1)}e < a_n < {(2n+1)/(2n+2)}e,
{(2n+2)/(2n+1)}e < b_n < {(2n+1)/2n}e,
は同値
左側
>>811 と相加相乗平均より
{2√(n(n+1))／(2n+1)}e < e < g_n,
右側
(1 - 1/k^2)^(k+1) > 1 -(k+1)/k^2 = (k^2 -k-1)/k^2, (下に凸)
a[k]/a[k-1] = (k+1)^k･(k-1)^(k-1)／k^(2k-1) > {2k/(2k-1)}･{(2k+1)/(2k+2)},
k = n+1～∞ について掛けて
e / a[n] > (2n+2)/(2n+1),
a[n] < {(2n+1)/(2n+2)}e,
- 839 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/22(木) 00:35:36.85 ]
- >>804-805
g_n = √(a_n･b_n) とおくと >>838 より
e < g_n < {(2n+1)/2√(n(n+1))}e < {1 + 1/(8n^2)}e,
>>824
(与式) = √(n(n+1))･g_n - √((n-1)n)･g_(n-1)
= {√(n(n+1)) - √((n-1)n)}･e + O(1/n)
= 2n/{√(n(n+1)) + √((n-1)n)}･e + O(1/n)
= e + O(1/n)
→ e, (n→∞)
- 840 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/22(木) 23:16:14.96 ]
- >>838 より
e < g_n < {(2n+1)/2√(n(n+1))}e < {1 + 1/(8n(n+1))}e,
でござるよ。
もっとも、マクローリンを使えば一発だが...
log(g_n) = (n + 1/2)log(1 + 1/n)
= (n + 1/2){1/n - 1/(2n^2) +1/(3n^3) - …}
= 1 + 1/(12n^2) -1/(12n^3) + 3/(40n^4) - …
< 1 + 1/[12n(n+1)] - 1/[288(n^2)(n+1)^2] + …
∴ e < g_n < {1 + 1/[12n(n+1)]}e,
- 841 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/23(金) 12:32:28.53 ]
- >>840
g_n = {1 + δ - (7/10)δ^2 + 1.0237δ^3 - …}e,
ここに、δ=1/[12n(n+1)],
- 842 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/23(金) 13:34:13.89 ]
- >>824
lim[n→∞] { (n+1)^(n+1) / n^n - n^n / (n-1)^(n-1) }
= lim[n→∞] (1 + 1/(n-1))^(n-1) * { (2 + 2/n)*(1 - 1/(n^2))^(n-1) - 1/n Σ[k=1 to n] (1 - 1/(n^2))^(k-1) }
= e(2*1-1)
= e
(1 - 1/(n^2))^(n-1) = 1/{ (1 + 1/(n^2-1))^(n^2-1) }^(1/(n+1)) → 1/e^0 =1
1/n Σ[k=1 to n] (1 - 1/(n^2))^(k-1) → 1 になるのは、はさみうちナリよキテレツ！
／/
／ /＿＿
/ ／ lim ＼ ﾊﾟｶｯ！
/.∩|:::: ＼ .／ |
/ | ||::::(● (●.|_ 呼んだ？
/／| |ヽ::::....ワ....ノ／
"￣￣￣￣￣￣"
- 843 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/23(金) 17:31:57.89 ]
- >>824
F(x)=(x+1)^(x+1)/x^x と置くと (n+1)^(n+1)/n^n-n^n/(n-1)^(n-1)=F(n)-F(n-1)
f(x)=F'(x)={(x+1)^(x+1)/x^x}*log(1+1/x) とすれば F(n)-F(n-1)=∫[n-1,n]f(x)dx
a(x)=(1+1/x)^x ,b(x)=(1+1/x)^(x+1) と置くと f(x)=a(x)*log(b(x))=b(x)*log(a(x))
x>0のときa(x)は単調増加、b(x)は単調減少で、ともにx→∞でeに収束するので
a(x)<e<b(x)より、a(x)*log(e)<f(x)<b(x)*log(e) すなわち a(x)<f(x)<b(x)
1<n-1≦x≦nのとき a(n-1)<f(x)<b(n-1) なので
∫[n-1,n]a(n-1)dx<∫[n-1,n]f(x)dx<∫[n-1,n]b(n-1)dx
{1+1/(n-1)}^(n-1)<(n+1)^(n+1)/n^n-n^n/(n-1)^(n-1)<{1+1/(n-1)}^n
- 844 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/23(金) 19:39:19.09 ]
- (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)(p^2 + q^2 + r^2 + s^2) を四平方の和で表せ
＿＿＿
.／ ≧ ＼ 上のほうで平方和に変形するのがあったような希ガス！
|:::: ＼ .／ | ﾊｧﾊｧ
|::::: (● (● | ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
ヽ::::... .∀....ノ ／ ﾁﾝ ☆
＿( ⊃ ⊃ ﾁﾝ ☆
|＼￣￣￣￣旦￣＼
| |￣￣￣￣￣￣￣|
＼| 愛媛みかん |
￣￣￣￣￣￣￣
- 845 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/23(金) 20:01:06.57 ]
- >>841
g_n = (1 +1/n)^(n +1/2) より
log(g_n) = (n +1/2)･log(1 +1/n)
= 1 + Σ[k=1,∞) 1／{(2k+1)(2n+1)^k}
= 1 + 1/{12(n +1/2)^2} + 1/{80(n +1/2)^4} + 1/{448(n +1/2)^6} + …
= 1 +δ -(6/5)δ^2 +(72/35)δ^3 -(144/35)δ^4 + …
よって
g_n = {1 + δ -(7/10)δ^2 +(43/42)δ^3 -(7961/4200)δ^4 + …}e,
ここに、δ=1/[12n(n+1)],
- 846 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/23(金) 20:25:17.98 ]
- >>844
オイラに聞き給え、オイラに。オイラこそ汝らすべての四なれば…
en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_four-square_identity
mathworld.wolfram.com/EulerFour-SquareIdentity.html
sites.google.com/site/tpiezas/005b/
- 847 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/23(金) 20:47:22.19 ]
- 自演自重汁
- 848 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/23(金) 20:52:43.00 ]
- (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)(p^2 + q^2 + r^2 + s^2) を七平方の和で表せ
>>842
呼ばない...
- 849 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 01:26:35.21 ]
- >>846
(；´д｀) ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ…
- 850 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 01:50:06.06 ]
- >>848
どうやって７つに？
>>844
行列式で証明するのが線形代数の問題集に載っていたような
- 851 名前：( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！ mailto:sage [2011/12/24(土) 02:49:48.95 ]
- A548
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201112&t=mat&l=en
A545、546
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201112&t=mat&l=en
B4376、4378
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201109&t=mat&l=en
A536、B4364、B4370、B4371
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201105&t=mat&l=en
A534、B4355
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201104&t=mat&l=en
B4342
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201103&t=mat&l=en
B4340
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201102&t=mat&l=en
B4321
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201012&t=mat&l=en
B4303、B4306、B4310
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201011&t=mat&l=en
B4296、B4297
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201010&t=mat&l=en
B4291
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201009&t=mat&l=en
- 852 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 03:11:41.99 ]
- >>824 別解(?)
(n+1)^(n+1)／(n^n) - (n^n)／(n-1)^(n-1)
= {1 + 1/(n-1)}^n * {(n+1)(1 - 1/n^2)^n - (n-1)}
= b[n-1] * {(n+1)(1 - 1/n^2)^n -(n-1)},
ここで↓を使う。
〔補題〕
(n-1)/n < (1 - 1/n^2)^n < n/(n+1),
(略証)
(1+x)^n > 1 + nx （下に凸）より
(1 - 1/n^2)^n > 1 - 1/n = (n-1)/n,
{1 + 1/(n^2 -1)}^n > 1 + n/(n^2 -1) > (n+1)/n,
- 853 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 04:10:10.46 ]
- >>850
コーシーの証明に出て来る「ラグランジュの恒等式」
>>1 まとめWiki → まとめページ → よく使う不等式 → コーシーの不等式 → 証明
mathworld.wolfram.com/LagrangesIdentity.html
- 854 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 07:32:59.66 ]
- Problem A.
A.534.
三角形の３辺が a,b and c で、対応する中線（medians）の長さはそれぞれ sa, sb and sc とする。
このとき次を示せ。 sa･sb/(a^2+b^2) + sb･sc/(b^2+c^2) + sc･sa/(c^2+a^2) ≧ 9/8.
A.536.
正の実数 a,b,c,d が a+b+c+d = abc+abd+acd+bcd を満たす。次を証せ。 >>477 >>507
(a+b)(c+d) + (a+d)(b+c) ≧ 4√{(1+ac)(1+bd)}.
A.545.
Prove that whenever a>b>1 are integers such that a+b divides ab+1 and a+b and a-b divides ab-1,
then a < b√3.
A.546.
次を示せ。
1/{sin[π/(4k+2)]}^2 + 1/{sin[3π/(4k+2)]}^2 + …… + 1/{sin[(2k-1)π/(4k+2)]}^2 = 2k(k+1),
（k=3: B.4371.を参照。)
A.548.
Prove that
Π[i=1,n] {1 + 1/(x1+…+xi)} + Π[j=1,n] {1 + 1/(xi+…+xn)} ≦ n+1,
holds for arbitrary real numbers x1,……,xn ≧1.
- 855 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 07:34:53.93 ]
- B.4291.
すべての正数 a,b,c について、a^b･b^c･c^a ≦ a^a･b^b･c^c,
B.4296.
m_a、m_b は 三角形の辺a、辺b から見た高さを表わす。
a>b ならば a^2010 + (m_a)^2010 ≧ b^2010 + (m_b)^2010 を示せ。
B.4297.
すべての実数x,yに対して -1/2 ≦ (x+y)(1-xy)/{(1+x^2)(1+y^2)} ≦ 1/2 を証せ。
B.4303.
長方形（正方形でない）をその対角線に沿って２つに折る。
結果として生じる５角形の周長は、元の長方形の周長より短いことを証せ。
B.4306.
方程式 16^(x^2 +y) + 16^(y^2 +x) = 1 を解け。
B.4310.
a0,a1,…,an は正の数で、a(k+1) - ak ≧ 1 （k=0,1,…,n-1）とする。次を示せ。
1 + (1/a0){1 +1/(a1-a0)}…{1 +1/(an-a0)} ≦ (1+1/a0)(1+1/a1)…(1+1/an),
B.4321.
どんな三角形でも、次の不等式が成り立つことを証せ。
b／sin(γ + α/3) + c／sin(β + α/3) > (2/3)a／sin(α/3),
- 856 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 07:36:05.65 ]
- B.4340.
すべての正数 a1,a2,…,an に対して次の不等式が成り立つことを証せ。
{a1/(a2+…+an)}^2 + {a2/(a3+･･･+a1)}^2 + …… + {an/(a1+…+a(n-1))}^2 ≧ n/(n-1)^2,
B.4343.
a,b は正の数を表わし、a^3 + b^3 =1 とする。a^2 +ab +b^2 -a-b >0 を示せ。
B.4355.
正数 x,y,z の積が1ならば、次式を証せ。
(z^3 +y^3)/(x^2 +xy +y^2) + (x^3 +y^3)/(y^2 +yz +z^2) + (y^3 +z^3)/(z^2 +zx +z^2) ≧ 2,
B.4370.
頂点A,B,C,の対辺の長さを a,b,c とする。BC=a, CA=b, AB=c,
内心をIとおき、AI=u, BI=v, CI=w とおく。このとき次を示せ。
(a+b+c)(1/u+1/v+1/w) ≦ 3(a/u + b/v + c/w), >>477 >>480
B.4371.
1/{sin(π/14)}^2 + 1/{sin(3π/14)}^2 + 1/{sin(5π/14)}^2 = 24,
を示せ。（A.536を参照。） >>492
B.4376.
x,y は負でない数ならば、次式を証せ。
x^4 + y^3 + x^2 + y + 1 > (9/2)xy,
B.4378.
pは正の素数とする。
方程式 x^3･y^3 + x^3･y^2 - x^2･y^3 + x^2･y^2 -x +y = p+2 を解け。
- 857 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 08:31:18.57 ]
- B.4297.
(1+x^2)(1+y^2) = (x+y)^2 + (1-xy)^2 ≧ 2|(x+y)(1-xy)|,
B.4306.
x = y = -1/2,
B.4343.
a^2 +ab +b^2 -a -b = (a^3 + b^3)/(a+b) +2ab -a -b
= {1/(a+b) +(a+b) -2} + 2(1-a)(1-b) > 0,
B.4376.
相加・相乗平均で。
x^4 + x^2 + 1 ≧ 3x^2,
y^3 + y ≧ 2y^2,
(左辺) ≧ 3x^2 + 2y^2 ≧ (2√6)xy > (9/2)xy,
- 858 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 08:57:05.85 ]
- >>853
成程そのまんまでしたね （恥…
|
8 ＜ｻﾝｸｽ
'`
￣
- 859 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 16:06:27.63 ]
- B4303
三角不等式より。
長方形をABCDとし
BCで折るとする。AD,BCの交点をEとする
AB+BC+CD+DA
=AB+CD+AE+CE+(BE+DE)
＞AB+CD+AE+CE+BC
- 860 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 16:52:29.17 ]
- B.4355.
チェビシェフより
(左辺) ≧ (x^3 +y^3)/(x^2 +xy+y^2) + (y^3 +z^3)/(y^2 +yz+z^2) + (z^3 +x^3)/(z^2 +zx+z^2)
≧ (x+y)/3 + (y+z)/3 + (z+x)/3 (← *)
= 2{(x+y+z)/3},
以下、相加･相乗平均で簡単。
*) x^2 +xy +y^2 = 3(x^2 -xy +y^2) -2(x-y)^2 ≦ 3(x^2 -xy +y^2),
- 861 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 22:36:08.92 ]
- B.4310.
nについての帰納法による。
n=0 のときは等号成立。
n≧1 のとき
a_k - a_0 ≧ k, (← 題意)
左辺を A_n とおくと、
A_n = 1 + (1/a0)Π[k=1,n] {1 + 1/(a_k - a_0)}
≦ 1 + (1/a0)Π[k=1,n] (1 + 1/k)
= 1 + (n+1)/a0,
よって
A_{n+1} = 1 + (A_n - 1){1 + 1/(a(n+1) - a0)}
= A_n･(1 + 1/a{n+1}) - a0{a_(n+1)/a0 - A_n}/{a(n+1)･(a(n+1) - a0)}
≦ A_n･(1 + 1/a{n+1}) - a0{1 + (n+1)/a0 - A_n}/{a(n+1)･(a(n+1) - a0)}
≦ A_n･(1 + 1/a{n+1}),
- 862 名前：859 mailto:sage [2011/12/25(日) 11:06:38.95 ]
- BCで折るんじゃなくてBDで折るんだった;;;
- 863 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/26(月) 16:31:30.91 ]
- B.4297
↑a=(1,x),↑b=(1,-y)とし
↑a,↑bのなす角度をθとすると
(x+y)(1-xy)/{(1+x^2)(1+y^2)}=sinθ･cosθ
- 864 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/26(月) 16:45:47.03 ]
- >>863
\vec{a}・\vec{b} / |\vec{a}|・|\vec{b}| = cosθで、あとの奴らは何でござる蟹？
- 865 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/26(月) 21:43:19.42 ]
- Letx, y, z>0 with xyz=1.
Prove that x^3+y^3+z^3+6≧(x+y+z)^2
- 866 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/26(月) 21:56:48.42 ]
- >>864
x = tanξ, y = tanη とおくと、
θ = ξ + η,
tanθ = tan(ξ+η) = (x+y)/(1-xy), (加法公式)
そこで
cosθ = cosξ･cosη - sinξ･sinη
= (1-xy)･cosξ･cosη,
sinθ = sinξ･cosη + cosξ･sinη
= (x+y)･cosξ･cosη,
を辺々掛けて右辺に
(cosξ)^2 = 1/{1 + (tanξ)^2} = 1/(1+x^2),
(cosη)^2 = 1/{1 + (tanη)^2} = 1/(1+y^2),
を使ったでご猿。
- 867 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/26(月) 22:16:26.36 ]
- >>866
なんと！そんなやり方が…
＿＿＿
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ |
|::::: (● (● | ＜ ナルホドナー！
ヽ::::... .ワ.....ノ
( つ旦O ,.-、 ,.-、 ,.-、
と＿)_) (,,■) (,,■) (,,■)
- 868 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/27(火) 00:09:48.53 ]
- >865
僕の考えてたこととは違ってたりして勉強になりますた。
ありがとうございます。m(__)m
863の者ですが、
A(1,x),B(1,-y)とすると
x+y=2△OAB (Oは原点)
となります。
2△OAB=|↑a||↑b|sinθ
ってことを考えてました。
- 869 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/27(火) 04:40:53.32 ]
- 蟹、猿、おにぎり…、なるほどな
- 870 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/28(水) 23:56:03.00 ]
- >>498
0 < a,b ≦ c,d としても一般性を失わない。
題意により ab ≦ 1 ≦ cd,
また、a+b+c+d ≧ 2√(ab) +c+d ≧ 2√(ab) + 2/√(ab) ≡ t とおくと t ≧ 4,
左辺を g(a,b,c,d) とおくと
g(a,b,c,d) - g(√(ab), √(ab),c,d)
= (√a - √b)^2･{1/ab - 9/[(a+b+c+d)(2√ab +c +d)]}
≧ (√a - √b)^2･{1/ab - 9/(t^2)}
≧ (√a - √b)^2･(1 - 9/16) ≧ 0, >>508
∴ a=b の場合を考えれば十分。以下、数セミ（2012/01）と同様。
s ≡ a+b+c+d ≧ 2a + 2√(cd) = 2a + 2/a ≡ t とおくと t≧4,
(左辺) = 2/a + (c+d)/cd + 9/s
= 2/a + (a^2)(s-2a) + 9/s
= 2/a -2a^3 + (a^2･s + 9/s) ≡ f(s),
sの変域は [t,∞) で、極小となるのは s = 3/a のとき。
(i) a ≧ 1/√2 のとき、t≧3/a,
f(s) ≦ f(t) = t + 9/t
= 25/4 + (t-4)(t - 9/4)/t
≧ 25/4,
(ii) a ≦ 1/√2 のとき、t≦3/a,
f(s) ≧ f(3/a) = 2/a +6a -2a^3 (aについて単調減少)
= 9/√2 + (1/√2 - a) + (2/a)(1/√2 - a)^2･{2 -(√2)a -a^2},
≧ 9/√2 > 25/4,
- 871 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/29(木) 18:30:34.49 ]
- > 789 (790, 800, 801,
次の命題の(2)のn=2の場合と, (1)でm=n=1の場合を合わせると得られます.
命題. m, n は非負整数, r は2以上の整数,
x,y,z≧0 とするとき, 以下の不等式が成立する.
(1) x^(m+n) + y^(m+n) + z^(m+n) ≧ x^m y^n + y^m z^n + z^m x^n
(2) x^(n+2) y + y^(n+2) z + z^(n+2) x ≧ xyz(x^n + y^n + z^n)
(3) x^(n+r) y^r + y^(n+r) z^r + z^(n+r) x^r
≧ xyz(x^(n+r-2) y^(r-1) + y^(n+r-2) z^(r-1) + z^(n+r2) x^(r-1))
証明は, 並べ替え不等式や, 重み付きAM-GM不等式を使うだけです.
斉次交代不等式は, 斉次対称不等式と異なり, Muirheadの不等式等が
使えなくて, 時々, 不等式の形が弱くなります.
> 770 に3変数3～5次斉次対称不等式の話を書いたけど,
3変数6～8次斉次対称不等式についても似たような定理(もっとステートメントが
長い)があって, 大体それで解決できてしまいますが,
5次以上の3変数斉次交代不等式のほうは, あまり強力な一般論がありません.
- 872 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/29(木) 19:47:35.43 ]
- ｷｬｽﾌｨ高校数学板
不等式ｽﾚより
743 じゅー [2011/12/29(木) 16:01:06]
出題です��
実数 a,b,c,d,e,f が��
ae + bf + cd + af + bd + ce =0��
ad + be + cf + de + ef + fd = 0��
a^2 + b^2 + c^2 = 1��
d^2 + e^2 + f^2 + 2ab + 2bc + 2ca = 2��
を満たすとき��
|ae + bf + cd - af - bd - ce|��
の最大値を求めて下さい。��
考え方もよければお願いします。��
- 873 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/29(木) 19:51:21.65 ]
- スマホの2ch mateとかゆーので書き込むと
文字化け(？)するのか...
- 874 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/30(金) 04:48:34.62 ]
- >>871 (3)
・並べ替え（チェビシェフ）:
Σ(乱順序積) ≧ Σ(逆順序積) より
x{x^(n+r-1)･y^r} + y{y^(n+r-1)･z^r} + z{z^(n+r-1)･x^r} ≧ {x^(n+r-1)･y^r}z + {y^(n+r-1)･z^r}x + {z^(n+r-1)･x^r}y,
・ x^(n+r)･y^r を{(n^2+nr+r^2) -r-n}個、y^(n+r)･z^r をr個、z^(n+r)･x^r をn個でAM-GM。
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