不等式への招待 第５章

1 名前：不等式ヲタ mailto:sage [2010/10/24(日) 23:56:56 ] ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める… 　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 ----- 　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　 　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　 　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ ＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　 　　　黙っちゃゐられねゑ… 　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　　　 　　 　　　　ﾊｧﾊｧ 　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ 過去スレ ・不等式スレッド （Part1）　 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/ ・不等式への招待 第２章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/ ・不等式への招待 第３章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/ ・不等式への招待 第４章　kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/ 過去スレのミラー置き場：cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/ まとめWiki　wiki.livedoor.jp/loveinequality/ 姉妹サイト（？） Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000 752 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/19(土) 22:17:02.33 ] a+b+c+d≧4(abcd)^(1/4) 1/a+1/b+1/c+1/d≧4(1/abcd)^(1/4) 753 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/19(土) 22:59:59.78 ] >>752 それでは証明できない。 754 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/20(日) 12:57:28.57 ] ２ちゃんの数学板の中でもここだけは本物の鬼修羅羅刹が生息する場所だなって思うわ。 自作の不等式問題投げたときも30分で解かれたし。 755 名前：Y [2011/11/20(日) 18:16:34.40 ] 数学版楽しい。学校よりも楽しい 756 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/20(日) 19:29:31.45 ] >>701が未だに分からん。 ↓こうやって、微分を1つ減らした問題なら解けるんだけどなあ。 f :R → Rは二回微分可能な関数で,全てのxについて次の条件�@,�Aが成り立っている �@f(x)>0,f'(x)>0,f''(x)>0 �Af''(x)≦f(x) このとき全てのxについて2f(x)>f'(x)が成立することを示せ 757 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/20(日) 22:21:04.68 ] >>756 ｋｗｓｋ！ 758 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/21(月) 00:28:55.43 ] >>757 　f(x) は下に有界かつ単調増加だから、lim[x→ -∞] f(x) は収束する。 　f(-∞) = lim[x→ -∞] f(x) = a ≧ 0. 　f '(-∞) = lim[x→ -∞] f '(x) = 0. f '(x) >0 と (2)から 　(d/dx){f(x)^2 - f '(x)^2} = 2f '(x){f(x) - f "(x)} ≧ 0, ∴　f(x)^2 - f '(x)^2 は単調増加。 ∴　f(x)^2 - f '(x)^2 ≧ f(-∞)^2 - f '(-∞)^2 = a^2 - 0^2 ≧ 0, f(x) + f '(x) >0 で割れば 　f(x) - f '(x) ≧ 0, 759 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/22(火) 06:33:29.44 ] >>758 　(d/dx){f(x)exp(-x)} ≦ 0, ∴　f(x) は単調増加だが、f(x)exp(-x) は(広義)単調減少。 760 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/22(火) 07:26:54.80 ] >>730 >>732 　p' = a^2 -b^2 +bc, 　q' = b^2 -c^2 +ca, 　r' = c^2 -a^2 +ab, とおくと、 　(左辺) - (右辺) = (1/2)(p'+q')^2 + (1/2)(q'+r')^2 + (1/2)(r'+p')^2 ≧ 0 　casphy - 高校数学 - 不等式、718 761 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/22(火) 13:57:08.76 ] Nice Solution! Exactly same as mine. 762 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/22(火) 21:17:03.30 ] 日本語でおｋ 763 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/24(木) 22:29:54.05 ] 〔問題〕 a,b,c が実数で ��=(a-b)(b-c)(c-a) のとき、 (1) �納n=1,2] {a^(2n) +b^(2n) +c^(2n) -(ab)^n -(bc)^n -(ca)^n} 　　≧ (3/2)|�處, (2) �納n=1,4] {a^(2n) +b^(2n) +c^(2n) -(ab)^n -(bc)^n -(ca)^n} 　　≧ 3(1 + a+b+c +a^2 +b^2 +c^2)|�處, を、示して下さい。 　casphy - 高校数学 - 不等式、719,722,725 764 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/26(土) 07:13:35.37 ] つ www.math.harvard.edu/graduate/quals/qs10.pdf ３枚目の２番 765 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/26(土) 09:46:58.28 ] >>764 １．Let ａ be an arbitrary real number and ｂ a positive real number. Evaluate the integral 　　∫[0,∞） cos(ax)/cosh(bx) dx. 　　（Recall that cosh(x) = (1/2)(e^x + e^-x) is the hyperbolic cosine.) 　　{Wed., 2010/Jan/20 (Day 2)} ２．Let ｆ be a holomorphic function on a domain containing the closed disc {z : |z|≦3}, and suppose that 　　f(1) = f(i) = f(-1) = f(-i) = 0. Show that 　　|f(0)| ≦ (1/80)･max{|f(z)| : |z|=3}, and find all such functions for which equality holds in this inequality. 　　{Thu., 2010/Jan/21 (Day 3)} 766 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/26(土) 10:33:54.24 ] >>765 (1) 　cos(ax) = (1/2){e^(iax) + e^(-iax)} から、 　∫[0,∞) cos(ax)e^(-cx) dx 　　= (1/2)∫[0,∞) {e^(-(c-ia)x) + e^(-(c+ia)x)} dx 　　= (1/2){1/(c-ia) + 1/(c+ia)} 　　= c/(a^2+c^2),　　(c>0) と 　1/cosh(bx) = 2e^(-bx)/{1+e^(-2bx)} = 2Σ[k=0,∞) e^(-(2k+1)bx), を使っても出せぬぅ..... 答： π/{2b･cosh(πa/2b)}, 〔参考書〕 森口･宇田川･一松:「数学公式I」岩波全書221, ｐ.256 (1956) 767 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/26(土) 11:48:54.54 ] >>765　訂正 　1/cosh(bx) = 2e^(-bx)/{1+e^(-2bx)} = 2Σ[k=0,∞) (-1)^k･e^(-(2k+1)bx), 768 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/26(土) 20:36:13.48 ] 証文の出し遅れのような気がしますが、> 570 の解答については www.emis.de/journals/JIPAM/images/105_09_JIPAM/105_09.pdf に目を通しておいて下さい。ついでに、 www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/ineq.pdf も読んで頂けると幸いです。 769 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/26(土) 20:43:16.45 ] ついでにこういう定理をご存知ですか。 定理1. 4次斉次多項式f(a,b,c)について、 任意の実数a,b,cに対しf(a,b,c)≧0が成り立つための必要十分条件は、 f(1,0,0)≧0かつf(x,1,1)≧0 (∀x∈R)である。 定理2. 3〜5次斉次多項式f(a,b,c)について、 任意のa,b,c≧0に対しf(a,b,c)≧0が成り立つための必要十分条件は、 f(x,1,0)≧0かつf(x,1,1)≧0 (∀x≧0)である。 770 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/26(土) 20:45:04.43 ] すいません。直前の訂正です。 定理1. 4次斉次対称多項式f(a,b,c)について、 任意の実数a,b,cに対しf(a,b,c)≧0が成り立つための必要十分条件は、 f(1,0,0)≧0かつf(x,1,1)≧0 (∀x∈R)である。 定理2. 3〜5次斉次対称多項式f(a,b,c)について、 任意のa,b,c≧0に対しf(a,b,c)≧0が成り立つための必要十分条件は、 f(x,1,0)≧0かつf(x,1,1)≧0 (∀x≧0)である。 771 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/26(土) 21:30:54.77 ] >>765 b> 0 Pi/2b sech(a Pi/2b) 772 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/26(土) 22:13:07.75 ] >>768 >>570 で 　N→w, I→-p, J→-q, K→r, L→(p+q-r-w) とおけば (1.6) になりますね。 もっとも、これらの文献では w=1 としているようですが.... 773 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/27(日) 22:11:38.11 ] >>769-770 基本対称式を x+y+z=s, xy+yz+zx=t, xyz=u とおくと 　f(x,y,z) = f(1,0,0)(s^4 -6sst +8tt +3su) + f(0,1,1)(8tt-sst-15su)/4 + f(1,1,1)(8tt-2sst-5su)/3 + f(2,1,1)(sst-4tt+3su)/4 と書けるが… 774 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/30(水) 13:27:41.48 ] 66-5 www.asahi-net.or.jp/~nj7h-ktr/kadai10-11.pdf ( ﾟ∀ﾟ)ﾑﾑﾑ… 775 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/30(水) 23:51:09.00 ] >>774 (64_1) (1)　sgn(a),　　　x = |a|･tanθ とおく。 (2)　部分分数に分けて 　f(x)f(t-x) = (1/2π)f(t/2){(1/2 + x/t)f(x) + (1/2 + (t-x)/t)f(t-x)} 　xf(x) は奇関数だから、積分すれば0. 　(t-x)f(t-x) も同様。 　∴ (1/2π)f(t/2)∫(-∞,∞) {f(x) + f(t-x)}/2 dx = (1/2π)f(t/2), 66-5 問題1. 　(左辺) - (右辺) = (4/5)(x-y)^2 + (4/5)(x+y)(z-x-y) + (z-x-y)^2 ≧0, 　z = x+y+Z (Z≧0) を与式に代入する。 問題2. 　(与式) > ∫[0,1] (x^2)e^(-x) dx 　　　= [ -(x^2 +2x +2)e^(-x) ](x=0,1) 　　　= 2 - (5/e) = 0.160603 　(与式) < ∫[0,1] (x^2)･e^(-x^3) dx 　　　= [ -(1/3)e^(-x^3) ](x=0,1) 　　　= (1/3)(1 - 1/e) = 0.210707 （真値は　(1/4)(√π)erf(1) - 1/(2e) = 0.189472345820492...） 67-2 (1)　f(x) = (x+1/x)^2 は下に凸だから 　(a + 1/a)^2 + (b + 1/b)^2 + (c + 1/c)^2 　　= f(a) + f(b) + f(c) 　　≧ 3f((a+b+c)/3)　　　(← 下に凸) 　　= 3f(1/3) = 3(10/3)^2 = 100/3, 776 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/02(金) 01:41:46.25 ] >>763・・・ 777 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/02(金) 01:43:06.65 ] 67-3 m は {m(m-1)+2}/2 項目に初めて現れれる。これをnとすると、mは 　a_n =　[ （1 + √(8n-7)）/2 ] >>774 66-5 　I_n = ∫[0,1] x^2･exp(-x^n) dx は nについて単調増加で、 1/3 に収束する。 　I_n ≒ 1/3 - 1/(1.2553312n + 4.22642)　　(n>>1) 778 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/02(金) 14:24:30.43 ] >>775 67-2 (1) 〔補題〕 ある区間で f(x) >0 とする。 (1)　f が下に凸, a>1　　⇒　f^a も下に凸。 (2)　f が上に凸, 0<a<1　⇒　f^a も上に凸。 (3)　f が上に凸, a<0　　⇒　f^a は下に凸。 (略証) 　f が上に凸　⇔　f " >0, 　f が下に凸　⇔　f " <0, 　f(x)^a = g(x) とおくと 　g ' = a･f^(a-1)f ', 　g " = a(a-1)f^(a-2){f '}^2 + a･f^(a-1)･f ", 779 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/02(金) 14:51:44.63 ] >>778 の訂正 (略証) 　f が下に凸　⇔　f " >0, 　f が上に凸　⇔　f " <0, 780 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/02(金) 21:23:27.67 ] >>763 (1)　>>776 ・三角不等式　|b+c| + |a+b| ≧ |c-a| を使って (左辺) = {a^2 +b^2 +c^2 -ab-bc-ca} + {a^4 +b^4 +c^4 -(ab)^2 -(bc)^2 -(ca)^2} 　　= (1/2){(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2} + (1/2){(a^2 -b^2)^2 +(b^2 -c^2)^2 +(c^2 -a^2)^2} 　　= (1/4){(a-b)^2 +(b^2 -c^2)^2} + (1/4){(b-c)^2 +(a^2 -b^2)^2} + cyclic 　　≧(1/2){|a-b||b^2 -c^2| + |b-c||a^2 -b^2|} + cyclic　(← 相加･相乗平均) 　　= (1/2)|a-b||b-c|(|b+c|+|a+b|) + cyclic 　　≧(1/2)|a-b||b-c||c-a| + cyclic　　(← △不等式) 　　= (3/2)|�處, ・あるいは 　�� = (a-b)(b-c)(c-a) = (1/3){(c-a)+(c-b)}(a^2 -b^2) + cyclic, から 　(左辺) - (3/2)|�處 = (1/4)(c-a)^2 + (1/4)(c-b)^2 + (1/2)(a^2 -b^2)^2 ±(1/2){(c-a)+(c-b)}(a^2 -b^2) + cyclic 　　= (1/4){(c-a)±(a^2 -b^2)}^2 + (1/4){(c-b)±(a^2 -b^2)}^2 + cyclic　(複号同順) 　　= (1/8){(2c-a-b)±2(a^2 -b^2)}^2 + (1/8)(a-b)^2 + cyclic 　　≧ 0, 781 名前：Y [2011/12/07(水) 18:11:04.99 ] すげえ 782 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/08(木) 23:37:47.56 ] >>701は誰も解けないの？ 783 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/09(金) 00:09:56.40 ] ヒントやろうか？ 784 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/09(金) 00:50:16.48 ] いやいらない 785 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/09(金) 06:09:30.37 ] 以下の真ん中あたり www.sugakukobo.com/ 問題 www.sugakukobo.com/pdf/SuuSemi_1.pdf 解説 www.sugakukobo.com/pdf/SuuSemi_2.pdf ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！ 786 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/09(金) 06:12:53.86 ] >>783 さっさとよこせ！でございます 787 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/09(金) 14:19:18.49 ] Putnam Competition, 1999 B-4 788 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/09(金) 23:36:44.27 ] 獲得金メダル！ 国際数学オリンピック第１章「不等式」，小林一章，朝倉書店，2011年 　 　www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-1113... 嫁！ ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！ 789 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/10(土) 05:07:17.81 ] x、y、z≧0に対して、 x^4・y + y^4・z + z^4・x ≧ x^2・y^2・z + y^2・z^2・x + z^2・x^2・y ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！ 790 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/10(土) 17:07:44.95 ] >>788 www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11132-3/ A5／192ページ／2011年11月25日 定価2730円 数学オリンピック（JMO・IMO）出場者自身による，類例のない数学オリンピック問題の解説書。 単なる「問題と解答」にとどまらず，知っておきたい知識や実際の試験での考え方，答案の組み立て方などにも踏み込んで高い実践力を養成する。 >>789 相加･相乗平均より 　(6x^4･y + 5y^4･z + 2z^4･x)/(6+5+2) ≧ x^2･y^2･z, 循環的にたす。 ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！ 791 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/10(土) 17:31:36.86 ] >>788 > 獲得金メダル！ 国際数学オリンピック第１章「不等式」，小林一章，朝倉書店，2011年 > 　 　www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11132-3/ ■Muirheadの不等式■ x、y、z >0 とする 　p_1 ≧ q_1 　p_1 + p_2 ≧ q_1 + q_2 　p_1 + p_2 + p_3 ＝ q_1 + q_2 + q_3 のとき、(i、j、k) は (1、2、3) の並び替えとして 　Σx^(p_i)・y^(p_j)・z^(p_k) ≧ Σx^(q_i)・y^(q_j)・z^(q_k) （P.10より） Muirheadの不等式を用いて不等式を照明することを Bunching といいます （日本選手の間でも2003年頃から普及しはじめ、「バンチ」と呼ぶ人が多いです） 　　　 ＿＿＿　　　なんで Bunching なのか小一時間問い詰めたい 　　.／　　≧　＼　　ああ問い詰めたいね 　　|:::: 　＼ .／　|　　　別にﾑｯﾊｧ-でもいいじゃんかと！ 　　|::::: (●　(● | 　　ヽ::::... .∀....ノ ／　　ﾁﾝ　☆ 　＿(　　⊃　　⊃　　ﾁﾝ　☆ 　|＼￣￣￣￣旦￣＼ 　|　|￣￣￣￣￣￣￣| 　＼|　　愛媛みかん　| 　　 ￣￣￣￣￣￣￣ 792 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/10(土) 19:40:28.18 ] >>791 Bunchin さんは63歳になられました.... ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A1%82%E6%96%87%E7%8F%8D 793 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/10(土) 22:21:58.20 ] >>792 「ねこやなぎ」の由来は？ www.youtube.com/watch?v=PYHozLh3QyA 794 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/11(日) 06:20:05.34 ] Bunchin師匠の独演会 www.youtube.com/watch?v=aW5DJHMrrcA 795 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/11(日) 07:08:35.73 ] ( ﾟ∀ﾟ) 荒らすなYO！ 796 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/11(日) 21:06:29.75 ] >>791 　p_1 ≧ p_2 ≧ p_3, 　q_1 ≧ q_2 ≧ q_3, とするんでつか？　 　（ｐ）ゝ（ｑ） と書き、ｐはｑの優数列である（ｐ majorizes ｑ）という。 参考文献[3] p.125 (1987.10) 797 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/12(月) 17:25:05.25 ] a, b, c>0 with abc=1. For f(a, b, c)=a+b^{20}+c^{11}, f(a, b, c)+f(b, c, a)+f(c, a, b)≦1 798 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/12(月) 21:23:27.28 ] >>782 問題自体に不備がある悪寒 799 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/12(月) 21:51:50.20 ] 反例を探したほうがいいかもな 800 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/12(月) 23:44:50.54 ] >>789 両辺を xyz で割ると 　x^3 /z + y^3 /x + z^3 /y ≧ xy + yz + zx, となる。これはコーシー 　(x^3 /z + y^3 /x + z^3 /y)(xz+yx+zy) ≧ (x^2 + y^2 + z^2)^2 ≧ (xy+yz+zx)^2, より明らか。（冬） 　casphy - 高校数学 - 不等式 - 735 801 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/13(火) 09:19:04.81 ] >>789 チェビシェフによる。 　Σ(乱順序積) ≧ Σ(逆順序積) から 　x^3 /z + y^3 /x + z^3 /y ≧ x^3 /x + y^3 /y + z^3 /z 　　　= x^2 + y^2 + z^2 ≧ xy + yz + zx, または 　xy=Z, yz=X, zx=Y とおいて 　Σ(同順序積) ≧ Σ(乱順序積) より 　x^3 /z + y^3 /x + z^3 /y = YZZ/XX + ZXX/YY + XYY/ZZ 　　≧ YZZ/ZZ + ZXX/XX + XYY/YY = Y + Z + X = zx + xy + yz, 802 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/15(木) 15:04:08.16 ] モローの不等式age！ 　 _ 　∩ (　ﾟ∀ﾟ)彡　モロー！ モロー！ 　⊂彡 803 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/15(木) 15:12:21.25 ] 　　　　　　　　　　　おっぱい！ 　　　　　　　おっぱい！　おっぱい！ 　　　　おっぱい　おっぱい！　おっぱい！ 　　おっぱい！　∩　　　∩　ﾉ)　　　おっぱい！ 　おっぱい！　　川　∩ 川彡'三つ　　おっぱい！ おっぱい！　⊂ミ∩､⊂ミ∩彡⊃　　　　おっぱい！ おっぱい！⊂三ミ(　ﾟ∀ﾟ)彡三彡三⊃　おっぱい！ おっぱい！　⊂彡川⊂彡川ミ⊃　　　　おっぱい！ おっぱい！⊂彡川∪⊃ Ｕ川彡⊃　　　おっぱい！ 　おっぱい！　(ノ ∪　　川　∪ミ)　　おっぱい！ 　　おっぱい！　　　　　 ∪ 　　　　おっぱい！ 　　　　おっぱい！　おっぱい！　おっぱい！ 　　　　　　　　おっぱい！　おっぱい！ 　　　　　　　　　　　　おっぱい！ 804 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/15(木) 21:42:40.44 ] a_n = (1 + 1/n)^n b_n = (1 + 1/n)^(n+1) e/(2n+2) < e - a_n < e/(2n+1) < b_n - e < e/(2n) 　 _ 　∩ (　ﾟ∀ﾟ)彡　モロー！ モロー！ 　⊂彡 805 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/15(木) 23:57:48.12 ] 数検スレより 676 返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2011/12/15(木) 22:38:11.63 >>675 要は a_n=(1 +1/n)^n b_n=(1 +1/n)^(n+1) から、 2=a_1<a_2<…<a_n<…<b_n<…<b_2<b_1=4 の相加相乗を使った証明。 数検1級（H23/4)の問題 『(1 +1/n)^(n +1/2) > e　を証明せよ』 とテイラー展開を使った模範解答。 別解として、積分（中点公式）を使った解法 さらに、出題として、 　台形公式を適用した場合、eに対するどのような関係式となるか 発展課題として、 モローの不等式の証明 『e/(2n+2)＜e - a_n < e/(2n+1) < b_n - e < e/(2n)』 　 _ 　∩ (　ﾟ∀ﾟ)彡　モロー！ モロー！ 　⊂彡 806 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/16(金) 09:22:44.68 ] 797>>Sorry, the correct versio is here. a, b, c>0 with abc=1. For f(a, b, c)=a+b^{20}+c^{11}, 1/f(a, b, c)+1/f(b, c, a)+1/f(c, a, b)≦1. 807 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/16(金) 14:16:29.16 ] >>701 はPutnam Competitionの1999年の問題の条件の一部が抜け落ちたもの 元の問題ではfはC^3級になってる 808 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/16(金) 15:47:23.94 ] >>807 模範解答はないのですか？ 809 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/16(金) 18:57:34.40 ] 聞く前に探せ！ 810 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/16(金) 22:38:36.36 ] >>805 kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1295154182/66-67 811 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/17(土) 01:07:55.84 ] >>805 　(1 +1/n)^(n +1/2) > e も二項展開でOK kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1295154182/68-69 812 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/17(土) 17:02:28.96 ] >>805 うちの田舎町では売っていないんだけど、相加相乗の証明を教えてちょ 813 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/17(土) 17:14:52.36 ] >>812 a[n-1]/a[n] =(n^2/(n^2-1))^(n-1)*n/(n+1) <(((n-1)*(n^2/(n^2-1))+n/(n+1))/n)^n =1 ∴a[n-1]<a[n] b[n]も同様 814 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/17(土) 21:11:12.61 ] にゃるほど、さんくす 815 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/18(日) 03:57:07.52 ] >>813 =(n^2/(n^2-1))^(n-1)*n/(n+1) <(((n-1)*(n^2/(n^2-1))+n/(n+1))/n)^n これがよくわかりません 816 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/18(日) 10:35:34.65 ] >>815 相加相乗 817 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/18(日) 10:46:04.97 ] そうか！そうじょうか！ 818 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/18(日) 20:53:38.40 ] >>812　>>815 {n/(n-1), n/(n-1), ……, n/(n-1),　1} 　　　　 (n-1)個　　　　　　　　　1個 の相乗･相加平均で 　{n/(n-1)}^(n-1) < {(n+1)/n}^n, ∴　a[n-1] < a[n], 819 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/19(月) 06:39:23.97 ] ちょうど1になるのか。相加相乗を使ってくださいといわんばかりだな。 820 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/19(月) 11:54:03.82 ] >>805 > さらに、出題として、 > 　台形公式を適用した場合、eに対するどのような関係式となるか ∫[a,b] f(x)dx < (b-a)(f(a)+f(b))/2 からeに関する何が得られるか謎でござるよ、ﾆﾝﾆﾝ 821 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/20(火) 15:36:42.61 ] >>2の[4]を本屋で見かけたけどページ数の割に高かったから買うのを躊躇してしまった・・・ こういう感じの基本的な不等式をしっかりと扱った本って他にある？ 洋書でもいいんで教えてください 822 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/20(火) 20:17:44.59 ] >>821 本題をケチるなど言語道断！ 823 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/20(火) 20:18:35.64 ] Problem372にﾊｧﾊｧ… www.math.ust.hk/excalibur/v16_n2.pdf ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！ 824 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/20(火) 20:46:00.62 ] eに関する不等式が出てきた今なら出せる ( ﾟ∀ﾟ)つ lim[n→∞] { (n+1)^(n+1) / n^n - n^n / (n-1)^(n-1) } = 825 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/20(火) 22:34:11.62 ] >>823 Problem 2. 　Given real numbers x,y,z such that x+y+z=0, show that 　x(x+2)/(2x^2 +1) + y(y+1)/(2y^2 +1) + z(z+2)/(2z^2 +1) ≧ 0, 　When does equality hold ? Problem 372. For all a,b,c>0 and abc=1, prove that 　1/{a(a+1)+ab(ab+1)} + 1/{b(b+1)+bc(bc+1)} + 1/{c(c+1)+ca(ca+1)} ≧ 3/4. 826 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/20(火) 22:55:55.48 ] Problem 5 YOSHIO > TETSUYA 827 名前：猫は共著のみ ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/12/20(火) 22:57:00.38 ] You need a proof. --neko-- 828 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/20(火) 22:58:03.53 ] 前科を比べたら哲也の方が上や 829 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/21(水) 00:33:42.48 ] そうか？ 830 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/21(水) 03:02:29.47 ] >>825 Problem 2. 通分して 　(左辺)･(2x^2 +1)(2y^2 +1)(2z^2 +1) 　　= (2xyz +2xy +x+y)^2 + (2xyz +2yz +y+z)^2 + (2xyz +2zx +z+x)^2 -(x+y+z)(8xyz+x+y+z-2) 　　= (2xyz +2xy +x+y)^2 + (2xyz +2yz +y+z)^2 + (2xyz +2zx +z+x)^2　　(← 題意) 　　≧ 0, 　等号成立は (0,0,0)　(-1/2,-1/2,1) etc. のとき。 831 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/21(水) 03:58:42.26 ] >>824 通分して、(1 + 1/(n-1))^(n-1)を括り出したまではいいが、その後が進マンボー 　　　 　 　 　 　 　 　 　 /^i 　　　　　　　　　　　　　/:::::| 　　　　　　　　　 ＿＿/::::::::| 　 　 　 　 ,. ‐' ´::::::::::::::::::::::::::ヽ:.､ 　　　, ‐'´:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::ヽ:＼ .　　（:::(ｏ):::::::／i:::::::::::::::::::::::::::::::::i::::::i 　　 ヽ　　　　￣　::::::::::::::::::::::::::::::|::::::l 進マンボー 　　　 ＼　　　　　　　　::::::::::::::::::ｉ::::::i 　　　　　`‐ ､　　　　　　　　::::::/::／ 　　　 　 　 　 ｀ ー-- ､.......::／ '´ 　　　　　　　　 　 　 　 i:::::::| 　 　 　 　 　 　 　 　 　 i:::::::! 　　　　　　　　　　　　　 ヽ:_| 832 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/21(水) 05:37:53.01 ] かわゆす 833 名前：猫の育て方 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/12/21(水) 10:04:54.39 ] その魚は実は寿司ネタとして喰えるのや。 猫 834 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/21(水) 11:50:38.85 ] A(4)は |2q 1| |1 3q| じゃないかと想像がつくやろ ほしたらA(5)=4q A(4)-2q がどうなるかはピンと来てもおかしくないやろ それにA(n)はちゃあんとn-2次の行列式で表せるわい 835 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/21(水) 11:52:23.12 ] あかん誤爆したわ 836 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/21(水) 15:26:06.45 ] >>387 > (3)　(a^2 +2)(b^2 +2)(c^2 +2) > 　を 3つの対称式の平方和で表わせ。 >>389 > (a^2 + p^2)(b^2 + q^2)(c^2 +r^2) = (abc-aqr-pbr-pqc)^2 + (pbc+aqc+abr-pqr)^2, > だと２つになるし･････ >>390 > 　p=q=r=√2 を入れて > 　{abc-2(a+b+c)}^2 + (bc+ca+ab-2)^2 + (bc+ca+ab-2)^2, 390が分かりませぬ ('A`) p=q=r=√2 を入れたら、 {abc-2(a+b+c)}^2 + (bc+ca+ab-2√2)^2 で止まって進マンボー！ 837 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/21(水) 15:28:32.65 ] ごめん、分かった 838 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/21(水) 23:19:52.06 ] >>804-805 　{2n/(2n+1)}e < a_n < {(2n+1)/(2n+2)}e, 　{(2n+2)/(2n+1)}e < b_n < {(2n+1)/2n}e, は同値 左側 　>>811 と相加相乗平均より 　{2√(n(n+1))／(2n+1)}e < e < g_n, 右側 　(1 - 1/k^2)^(k+1) > 1 -(k+1)/k^2 = (k^2 -k-1)/k^2,　(下に凸) 　a[k]/a[k-1] = (k+1)^k･(k-1)^(k-1)／k^(2k-1) > {2k/(2k-1)}･{(2k+1)/(2k+2)}, k = n+1〜∞ について掛けて 　e / a[n] > (2n+2)/(2n+1), 　a[n] < {(2n+1)/(2n+2)}e, 839 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/22(木) 00:35:36.85 ] >>804-805 　g_n = √(a_n･b_n) とおくと >>838 より 　e < g_n < {(2n+1)/2√(n(n+1))}e < {1 + 1/(8n^2)}e, >>824 　(与式) = √(n(n+1))･g_n - √((n-1)n)･g_(n-1) 　　　　= {√(n(n+1)) - √((n-1)n)}･e + O(1/n) 　　　　= 2n/{√(n(n+1)) + √((n-1)n)}･e + O(1/n) 　　　　= e + O(1/n) 　　　　→ e,　(n→∞) 840 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/22(木) 23:16:14.96 ] >>838 より 　e < g_n < {(2n+1)/2√(n(n+1))}e < {1 + 1/(8n(n+1))}e, でござるよ。 もっとも、マクローリンを使えば一発だが... 　log(g_n) = (n + 1/2)log(1 + 1/n) 　　　= (n + 1/2){1/n - 1/(2n^2) +1/(3n^3) - …} 　　　= 1 + 1/(12n^2) -1/(12n^3) + 3/(40n^4) - … 　　　< 1 + 1/[12n(n+1)] - 1/[288(n^2)(n+1)^2] + … ∴　e < g_n < {1 + 1/[12n(n+1)]}e, 841 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/23(金) 12:32:28.53 ] >>840 　g_n = {1 + δ - (7/10)δ^2 + 1.0237δ^3 - …}e, ここに、δ=1/[12n(n+1)], 842 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/23(金) 13:34:13.89 ] >>824 lim[n→∞] { (n+1)^(n+1) / n^n - n^n / (n-1)^(n-1) } = lim[n→∞] (1 + 1/(n-1))^(n-1) * { (2 + 2/n)*(1 - 1/(n^2))^(n-1) - 1/n Σ[k=1 to n] (1 - 1/(n^2))^(k-1) } = e(2*1-1) = e (1 - 1/(n^2))^(n-1) = 1/{ (1 + 1/(n^2-1))^(n^2-1) }^(1/(n+1)) → 1/e^0 =1 1/n Σ[k=1 to n] (1 - 1/(n^2))^(k-1) → 1 になるのは、はさみうちナリよキテレツ！ 　　　　　 ／/ 　　　　／　/＿＿ 　　　 / 　／　lim ＼　　 ﾊﾟｶｯ！ 　　　/.∩|::::　＼ .／ | 　　 /　| ||::::(●　(●.|_　　呼んだ？ 　　/／| |ヽ::::....ワ....ノ／ 　　"￣￣￣￣￣￣" 843 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/23(金) 17:31:57.89 ] >>824 F(x)=(x+1)^(x+1)/x^x　と置くと　(n+1)^(n+1)/n^n-n^n/(n-1)^(n-1)=F(n)-F(n-1) f(x)=F'(x)={(x+1)^(x+1)/x^x}*log(1+1/x)　とすれば　F(n)-F(n-1)=∫[n-1,n]f(x)dx a(x)=(1+1/x)^x　,b(x)=(1+1/x)^(x+1)　と置くと　f(x)=a(x)*log(b(x))=b(x)*log(a(x)) x>0のときa(x)は単調増加、b(x)は単調減少で、ともにx→∞でeに収束するので a(x)<e<b(x)より、a(x)*log(e)<f(x)<b(x)*log(e)　すなわち　a(x)<f(x)<b(x) 1<n-1≦x≦nのとき　a(n-1)<f(x)<b(n-1)　なので ∫[n-1,n]a(n-1)dx<∫[n-1,n]f(x)dx<∫[n-1,n]b(n-1)dx {1+1/(n-1)}^(n-1)<(n+1)^(n+1)/n^n-n^n/(n-1)^(n-1)<{1+1/(n-1)}^n 844 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/23(金) 19:39:19.09 ] (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)(p^2 + q^2 + r^2 + s^2) を四平方の和で表せ 　　　 ＿＿＿ 　　.／　 ≧　 ＼　　　上のほうで平方和に変形するのがあったような希ガス！ 　　|:::: 　＼ .／　|　ﾊｧﾊｧ 　　|::::: (●　(● |　　　　　　　　　ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！ 　　ヽ::::... .∀....ノ ／　　ﾁﾝ　☆ 　＿(　　⊃　　⊃　　ﾁﾝ　☆ 　|＼￣￣￣￣旦￣＼ 　|　|￣￣￣￣￣￣￣| 　＼|　　愛媛みかん　| 　　 ￣￣￣￣￣￣￣ 845 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/23(金) 20:01:06.57 ] >>841 　g_n = (1 +1/n)^(n +1/2)　より 　log(g_n) = (n +1/2)･log(1 +1/n) 　　　= 1 + Σ[k=1,∞) 1／{(2k+1)(2n+1)^k} 　　　= 1 + 1/{12(n +1/2)^2} + 1/{80(n +1/2)^4} + 1/{448(n +1/2)^6} + … 　　　= 1 +δ -(6/5)δ^2 +(72/35)δ^3 -(144/35)δ^4 + … よって 　g_n = {1 + δ -(7/10)δ^2 +(43/42)δ^3 -(7961/4200)δ^4 + …}e, ここに、δ=1/[12n(n+1)], 846 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/23(金) 20:25:17.98 ] >>844 オイラに聞き給え、オイラに。オイラこそ汝らすべての四なれば… en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_four-square_identity mathworld.wolfram.com/EulerFour-SquareIdentity.html sites.google.com/site/tpiezas/005b/ 847 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/23(金) 20:47:22.19 ] 自演自重汁 848 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/23(金) 20:52:43.00 ] (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)(p^2 + q^2 + r^2 + s^2) を七平方の和で表せ >>842 呼ばない... 849 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 01:26:35.21 ] >>846 (；´д｀) ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ… 850 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 01:50:06.06 ] >>848 どうやって７つに？ >>844 行列式で証明するのが線形代数の問題集に載っていたような 851 名前：( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！ mailto:sage [2011/12/24(土) 02:49:48.95 ] A548 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201112&t=mat&l=en A545、546 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201112&t=mat&l=en B4376、4378 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201109&t=mat&l=en A536、B4364、B4370、B4371 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201105&t=mat&l=en A534、B4355 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201104&t=mat&l=en B4342 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201103&t=mat&l=en B4340 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201102&t=mat&l=en B4321 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201012&t=mat&l=en B4303、B4306、B4310 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201011&t=mat&l=en B4296、B4297 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201010&t=mat&l=en B4291 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201009&t=mat&l=en 852 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 03:11:41.99 ] >>824　別解(?) 　(n+1)^(n+1)／(n^n) - (n^n)／(n-1)^(n-1) 　= {1 + 1/(n-1)}^n * {(n+1)(1 - 1/n^2)^n - (n-1)} 　= b[n-1] * {(n+1)(1 - 1/n^2)^n -(n-1)}, ここで↓を使う。 〔補題〕 　(n-1)/n < (1 - 1/n^2)^n < n/(n+1), (略証) (1+x)^n > 1 + nx （下に凸）より 　(1 - 1/n^2)^n > 1 - 1/n = (n-1)/n, 　{1 + 1/(n^2 -1)}^n > 1 + n/(n^2 -1) > (n+1)/n,

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