不等式への招待 第５章

1 名前：不等式ヲタ mailto:sage [2010/10/24(日) 23:56:56 ] ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める… 　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 ----- 　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　 　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　 　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ ＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　 　　　黙っちゃゐられねゑ… 　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　　　 　　 　　　　ﾊｧﾊｧ 　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ 過去スレ ・不等式スレッド （Part1）　 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/ ・不等式への招待 第２章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/ ・不等式への招待 第３章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/ ・不等式への招待 第４章　kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/ 過去スレのミラー置き場：cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/ まとめWiki　wiki.livedoor.jp/loveinequality/ 姉妹サイト（？） Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000 679 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/24(土) 00:27:51.12 ] >>669>>670>>678 遅くなりましたがありがとうございます。 これは相加相乗平均の関係の拡張版と見なしていいですよね。 不等式の奥深さを改めて感じました。 n=6の場合についての問題が本に載っていたのですが、 皆目見当が付かず、答えが載っていなかったため数週間迷った挙句本屋に行っても これについて解説している本が見つからなくて途方に暮れていました。 紹介していただいた参考文献[1]を是非読んでみたいと思います。 680 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/24(土) 01:53:55.13 ] >>679 > n=6の場合についての問題が本に載っていたのですが、 その本の紹介きぼんぬ！ですぢゃ 681 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/25(日) 09:38:07.22 ] 使えんやっちゃな 682 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/25(日) 18:40:04.63 ] >>680 シュプリンガーの『数学発想ゼミナール』3巻（第7章の題は「不等式」です）p.357 「x^6-6x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+1=0の解は全て正であるという。 このときa,b,c,dを決定せよ。」 という問題です。 2次、3次方程式の解が全て実数かつ正であるための条件は 増減表などによって調べることが出来ました。 ここで上の命題を予想し、解が全て正である4次以上の方程式についても確かめたところ、正しそうだと分かりました。 相加-相乗平均の関係についての節の問題だったうえ、2項係数が出てきたため、 予想を導くこと自体はそれほど難しくありませんでした。 もし正しければa=15,b=-20,c=15,d=-6と定まり、x=1を6重解として持ちます。 しかし、証明がなかなか思いつかなかったので今回質問させていただきました。 683 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/25(日) 19:55:12.30 ] >>682 根をα,β,γ,δ,ε,ζ とする。根と係数の関係より 　(α+β+γ+δ+ε+ζ)/6 = 1 = (αβγδεζ)^(1/6), 　相加平均 = 相乗平均, また、題意より 根>0 だから 等号条件より 　α = β = γ = δ = ε = ζ = 1, 以下ry) 684 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/26(月) 07:09:34.82 ] 定理に辿りつけたのはご明察だが… 685 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/27(火) 00:12:09.52 ] >>682 根を A,B,C,D,E,F >0 とするとき 　（A+B+C+D+E+F)^6 - (6^6)ABCDEF = Σ' {･･正の式･･･}(A-B)^2, の形になることを示そう。 686 名前：685 mailto:sage [2011/09/27(火) 00:18:25.59 ] (略証) まづ、 　(A+B+C+D+E+F)^6 = (1/60)g + (1/2)h + (5/4)i + 5j1 + (5/6)j2 + 20k + 20L1 + 5L2 + 45m + 30n + 2o, ここに 　g = 60(A^6 + B^6 + … + F^6) = 60[6], 　h = 12Σ (A^5)B = 12[5,1], 　i = 12Σ (A^4)(B^2) = 12[4,2], 　j1 = 6Σ（A^4)BC = 6[4,1,1], 　j2 = 24Σ (AB)^3 = 24[3,3], 　k = 3Σ (A^3)(B^2)C = 3[3,2,1], 　L1 = 6Σ (A^3)BCD = 6[3,1,1,1], 　L2 = 18Σ (ABC)^2 = 18[2,2,2], 　m = 4Σ (AB)^2･CD = 4[2,2,1,1], 　n = 12Σ (A^2)BCDE = 12[2,1,1,1,1,1], 　o = 360･ABCDEF, である。 ここで、Muirhead により 　g - h = 12Σ (A^5 - B^5)(A-B) = 12Σ {A^4 +A^3･B + (AB)^2 +AB^3 +B^4}(A-B)^2, 　h - i = 12Σ AB(A^3 - B^3)(A-B) = 12Σ AB(A^2 +AB +B^2)(A-B)^2, 　i - j1 = 12Σ C^4･(A-B)^2, 　i - j2 = 12Σ (AB)^2･(A-B)^2, 　j1 - k = 3Σ (A^2)BC･(A-B)^2, 　j2 - k = 3Σ (B^3)C･(A-B)^2, 　k - L1 = 3Σ (C^3)D･(A-B)^2, 　k - L2 = 3Σ AB(C^2)･(A-B)^2, 　L1 - m = 2Σ ABCD･(A-B)^2, 　L2 - m = 2Σ (CD)^2･(A-B)^2, 　m - n = 4Σ (C^2)DE･(A-B)^2, 　n - o = 12Σ CDEF･(A-B)^2, を使う。(終) 687 名前：685 mailto:sage [2011/09/27(火) 00:58:03.82 ] 補足 　Σ' はあらゆる文字の入替えに亘る和。（ただし同じものは1回ずつ） 　g = 60Σ' A^6, 688 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/27(火) 01:51:31.96 ] >>687 顔文字に見えた 689 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/28(水) 21:32:43.48 ] >>683 恥ずかしながら、上述の定理を予想していざ計算！ …という段階になってはじめてその解法に気付きました。 もっとも、遠回りの結果美しい不等式に出会えたので良かったのですが。 >>685-687 調べてみたところ、Muirhead's inequalityという名称があるのですね。 かなり複雑に見えますが、じっくり読ませていただきます。 690 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/03(月) 22:24:05.40 ] x＞0 ⇒e*x^(ex)≧1 691 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/07(金) 13:50:28.39 ] xln x≧-1/e (x>0) 692 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/08(土) 02:12:36.05 ] x>0 ⇒ 1/x = e/(ex) ≦ e^(1/(ex)), ⇒ -log(x) ≦ 1/(ex), ⇒ x･log(x) ≧ -1/e, 693 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/08(土) 12:12:24.28 ] f : R→R ∀x、 y∈R に対して f(x+y) ≦ yf(x) + f(f(x)) が成立するとき、 ∀x<0 に対して f(x)=0 を示せ 694 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/08(土) 12:13:03.15 ] いちおう不等式がらみということで… ( ﾟ∀ﾟ) 695 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/10(月) 00:08:46.16 ] >>689 aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwasen/egyptian/egyptian.html messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&start=46 　Yahoo!掲示板 - 科学 - 数学 - 出題(不等式) planetmath.org/encyclopedia/MuirheadsInequality.html (英語) 示野信一:「対称式と不等式」数セミ、48巻、2号、通巻569 (2009/Feb) の p.26-29 G.H.Hardy、J.E.Littlewood & G.Polya: 「不等式」、ｼｭﾌﾟﾘﾝｶﾞｰ･ﾌｪｱﾗｰｸ東京 (2003/9) \5040 の 2.19節 696 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/10(月) 00:22:46.59 ] >>695 訂正 messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&start=46 697 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/11(火) 08:37:52.47 ] >>693 IMO 2011 Problem 3 698 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/19(水) 01:01:58.86 ] a,b,c>0→a^{b+c}+b^{c+a}+c^{a+b}≧1 699 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/19(水) 11:52:19.94 ] x, y, z ＞0 (xyz=1)⇒ x^4+y^4+z^4+33≧12(xy+yz+zx) 700 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/20(木) 11:41:10.61 ] >>699 わからん！ 701 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/21(金) 22:08:38.80 ] 受験板より f :R → Rは三回微分可能な関数で,全てのxについて次の条件�@,�Aが成り立っている �@f(x)>0,f'(x)>0,f''(x)>0,f'''(x)>0 �Af'''(x)≦f(x) このとき全てのxについて2f(x)>f'(x)が成立することを示せ 702 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/22(土) 01:18:30.97 ] d/dx e^{2x}f(x) 703 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/22(土) 08:08:04.99 ] そんなのは誰でも思いつくが、そこから先は？ 704 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/22(土) 08:33:46.75 ] >>703 俺は気づかなんだが、あとは推して知るべしだぞ！ 705 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/22(土) 16:57:35.04 ] d/dx e^{-2x}f(x)　じゃないのけ？ 706 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/24(月) 16:01:25.22 ] >>701 これどうするん？ 和歌んねーよ！ 707 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/24(月) 18:16:31.51 ] >>682 これスツルムの定理で解けない？ 708 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/26(水) 22:05:09.91 ] >>698 (1) a,b,c の中に１以上のものがあるときは明らか。 次に　M = Max{b+c,c+a,a+b} とおく。 (2) a,b,c ≦ 1 かつ M ≦ 1 のとき 　b+c≦1, …, … 　y=x^(b+c) は xについて上に凸だから（x=1での）接線の下側にある。 　x^(b+c) ≦ 1 +(b+c)(x-1) ≦ 1 + (b+c)x, 　(1/x)^(b+c) ≧ 1/{1 + (b+c)x},　　(ベルヌーイの式) x=1/a とおいて 　a^(b+c) ≧ a/(a+b+c), 　循環的にたす。 (3) a,b,c ≦ 1 かつ M ≧ 1 のとき 　0 < a ≦ b,c ≦ 1　としても一般性を失わない。 　a+b, a+c ≦ b+c = M, 　(与式) ≧ b^(c+a) + c^(a+b) 　　　≧ b^M + c^M 　　　≧ 2･(M/2)^M　　　(← 下に凸) 　　　≧ 2(1/2)　　　　(← *) 　　　= 1, *)　{M･log(M/2)} ' = 1 + log(M/2), ∴　(M/2)^M は M>2/e　　で単調増加。 ∴　(M/2)^M ≧ 1/2,　　　(M≧1) 　casphy - 高校数学 - 不等式 - 710〜713 709 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/31(月) 21:43:49.36 ] ３辺の長さがa、b、cの三角形の外接円、内接円の半径をR、rとおくとき、a+b+c < 4(R+r) ( ﾟ∀ﾟ) ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！ 710 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/01(火) 11:57:24.96 ] a, b, c>0, √a+√b+√c=3⇒ a/√(a+b)+b/√(b+c)+c/√(c+a)≧3/√2 711 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 19:18:16.06 ] ウィキペの相加相乗平均の説明しょぼい・・・ 712 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 23:21:22.64 ] >>709 例によって 　(a+b+c)/2 = s, 　(s-a)(s-b)+(s-b)(s-c)+(s-c)(s-a) = t, 　(s-a)(s-b)(s-c) = u, とおく。 △不等式より、s-a>0, s-b>0, s-c>0, ヘロンの公式： Ｓ = √{s(s-a)(s-b)(s-c)} = √(su), 　4R = abc/Ｓ = (st-u)/√(su), 　r = Ｓ/s = u/√(su) よって 　{4R + (5/2)r}^2 = {st + (3/2)u}^2 /su 　　　= (2s)^2 + (s/tu)(t^3 -4stu +9u^2) + (3/t)(t^2 -3st) + (9u/4s) 　　　= (2s)^2 + (su/t)F_{-2}(s-a,s-b,s-c) + (3u/t)F_{-1}(s-a,s-b,s-c) + (9u/4s) 　　　> (2s)^2 　　　= (a+b+c)^2, 〔Schur不等式〕 　F_n(x,y,z) = x^n･(x-y)(x-z) + y^n･(y-z)(y-x) + z^n･(z-x)(z-y) 　　= x^n･(x-y)^2 + (x^n -y^n +z^n)(x-y)(y-z) + z^n･(y-z)^2 ≧ 0. 　ここで y は x と z の中間にあるとした。（終） 713 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/03(木) 20:20:36.93 ] >>712 > 例によって > 　(a+b+c)/2 = s, > 　(s-a)(s-b)+(s-b)(s-c)+(s-c)(s-a) = t, > 　(s-a)(s-b)(s-c) = u, いや、この置き換え、初見なんだけど… (ﾟ∀ﾟ；)ﾌﾞﾙﾌﾞﾙ 714 名前：β [2011/11/03(木) 20:24:14.57 ] 常識やろｗ 715 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/03(木) 23:12:58.69 ] >>713 　(a+b+c)/2 = s とおくと 　(s-a) + (s-b) + (s-c) = s, 　…… なのですが、簡単なので省略しました。 716 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 00:11:08.55 ] nが自然数で、0 < x < π のとき、以下を証明せよ (1)　1 + sin x + (sin 2x)/2 + … + (sin nx)/n > 0 (2)　1 + cos x + (cos 2x)/2 + … + (cos nx)/n > 0 ( ﾟAﾟ) ぐぬぬ… 717 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 04:03:13.97 ] >>716 (1) nについての帰納法による。 与式の左辺を 1 + S_n(x) とおく。 　S_1(x) = sin(x) >0, 　S_2(x) = sin(x){1+cos(x)} > 0, n>2 のとき 　(d/dx)S_n(x) = cos(x) + cos(2x) + …… + cos(n･x) 　　　 = {sin((n+1/2)x) - sin(x/2)}/{2sin(x/2)}　(積和公式) 　　　 = sin(n･x/2)cos((n+1)x/2)/sin(x/2),　　　(和積公式) S_n が極値をとる点 x=x0 に注目する。 　(1) sin(n･x0/2) = 0 のとき 　　　S_(x0) - S_{n-1}(x0) = sin(n･x0) = 0, 　(2) cos((n+1)x0 /2) = 0 のとき 　　　倍角公式より　sin((n+1)x0) = 0,　cos((n+1)x0) = -1, 　　　S_n(x) - S_{n-1}(x) = sin(n･x) 　　　　= sin((n+1)x-x) 　　　　= sin((n+1)x)cos(x) - cos((n+1)x)sin(x), (加法公式) 　　　S_n(x0) - S_{n-1}(x0) = sin(x0) > 0, 　参考文献[3] p.134-135, 例題8 〔類題〕 　S_n(x) = Σ[k=1,n] sin(kx)/k は sin(x) と同符号で、 　　| S_n(x) | < G' = Si(π) = 1.8519370519824…, 　[第２章.50、53、55] 718 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 04:53:07.18 ] >>716 (2) 与式の左辺を Ｃ_n(x) とおく。 　Ｃ_1(x) = 1 + cos(x) > 0, 　Ｃ_2(x) = 1 + cos(x) + cos(2x)/2 　　　= 1/2 + cos(x) + cos(x)^2　　(倍角公式) 　　　= 1/4 + {(1/2) + cos(x)}^2 > 1/4, さて、 　(d/dx)Ｃ_n(x) = -sin(x) - sin(2x) + …… - sin(n･x) 　　　= {cos((n+1/2)x) - cos(x/2)}/{2sin(x/2)}　(積和公式) 　　　= -(1/2)sin(n･x) - {1-cos(n･x)}cos(x/2)/{2sin(x/2)} (加法公式) 　　　< -(1/2)sin(n･x), 　Ｃ_n(π) - Ｃ_n(x) < -(1/2)∫[x,π] sin(n･t)dt 　　　= {(-1)^n - cos(n･x)}/(2n) 　　　< {(-1)^n + 1}/(2n)　　(n:偶数のとき 1/n、n:奇数のとき 0） 　　　< (1-1) + (1/2 - 1/3) + …… + (-1)^n /n 　　　= Ｃ_n(π), 　∴　Ｃ_n(x) > 0,　　(森氏、ζ氏による.) 数セミ、３４巻7号（1995/7）出題、３４巻10号（1995/10）解説 719 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 09:35:22.58 ] ( ﾟ∀ﾟ) ｱﾅﾀ ｶﾞ 神 ｶ？ 720 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 11:24:52.78 ] 任意の z、w∈C に対して、| (1+|z|^2)w - (1+|w|^2)z | ≧ | z \bar{w} - \bar{z} w | ( ﾟ∀ﾟ) ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！ 721 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 15:27:43.34 ] >>720 　(1+|z|^2)w - (1+|w|^2)z = (w-z) - zw(w-z)~, 　zw~ - z~w = (1/2){(w+z)(w-z)~ - (w+z)~･(w-z)}, ∴　|左辺|^2 - |右辺|^2 = {(w-z) -zw(w-z)~}{(w-z)~ -z~w~(w-z)} 　　　- (1/4){(w+z)(w-z)~ - (w+z)~(w-z)}{(w+z)~(w-z) - (w+z)(w-z)~} 　　　= (w-z)(w-z)~(1 + |zw|^2 -zw~ -z~w) 　　　= (w-z)(w-z)~(1-zw~)(1-z~w) 　　　= |w-z|^2 |1-zw~|^2 　　　≧ 0, 722 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 19:58:51.76 ] >>701を誰か．．． 723 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/06(日) 22:11:14.99 ] >>699を誰か... 724 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/06(日) 22:33:32.63 ] >>723 君が解き給へ(・∀・)！ 725 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/06(日) 23:47:08.21 ] 生姜ねぇ... >>699 いつものように 　f(x,y,z) = x^4 + y^4 + z^4 -12(xy+yz+zx) + 33 とくおく。 　f(x,y,z) - f(x, √(yz), √(yz)) = (y^2 -z^2)^2 -12x(√y -√z)^2 　= (√y -√z)^2 {(y+z)^2･(√y +√z)^2 - 12x} 　≧ (√y -√z)^2 {(4yz)(4√yz) - 12x} 　= (√y -√z)^2 {16/(x^1.5) - 12x}　　　(← yz=1/x) ところで f(x,y,z) は対称式だから x≦y,z としてもよい。 ∴　x ≦ 1, ∴　16/(x^1.5) - 12x > 0, ∴　f(x,y,z) ≧ f(x, 1/√x, √x),　　(x≦1) また 　x^2･f(x, 1/√x, 1/√x) = x^6 -24x^2.5 +33x^2 -12x +2 　= (√x - 1)^2 (x^5 +2x^4.5 +3x^4 +4x＾3.5 +5x^3 +6x^2.5 +7x^2 -16x^1.5 -6x +4√x +2) 　= (√x - 1)^2 g(x) 　≧ 0, ∵　g(x) ≧ g(0.4811730855931836) = 0.258670936041927 なお、x = 0.0394556281276082 に極大がある。（2.44552474861856) 726 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/07(月) 00:08:48.59 ] >>725 訂正 真ん中より少し下 ∴　f(x,y,z) ≧ f(x, 1/√x, １／√x),　　(x≦1) 727 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/07(月) 07:42:17.98 ] a, b, c, d≧0, a+b+c+d=4 のとき, a/(a^3+8)+b/(b^3+8)+c/(c^3+8)+d/(d^3+8)≦4/9 728 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/08(火) 00:41:43.07 ] >>727 　(x^3 +8)(2x+1) - 27x = (x-1)^2･(2x^2 +5x+8) ≧ 0, 　x/(x^3 +8) ≦ (2x+1)/27,　　… x=1 での接線 x = a,b,c,d についてたす。 729 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/08(火) 02:04:44.31 ] >>727 相加･相乗平均より 　x^3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ≧ 9 x^(1/3), ∴　(左辺) ≦ (1/9){a^(2/3) + b^(2/3) + c^(2/3) + d^(2/3)} 　　　≦ (4/9){(a+b+c+d)/4}^(2/3)　　　(上に凸) 　　　= 4/9, 730 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/08(火) 16:04:19.53 ] a, b, cが実数のとき, a^4+b^4+c^4+2abc(a+b+c)≧a^3b+b^3c+c^3a 731 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/08(火) 16:57:38.99 ] 微分→Jensen→AM-GMと解法が易しくなってきている。 Step 1 a^3≧3a-2 Step 2 AM-GM-HM Done! 732 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/09(水) 22:36:50.76 ] >>730 　(左辺) - (右辺) = a^4 +b^4 +c^4 + 2abc(a+b+c) -a^3･b -b^3･c -c^3･a 　　　= (1/2)(a^2 -b^2 -ab -ca)^2 + cyclic 　　　≧ 0, 〔類題268〕 　(a^2 + b^2 + c^2)^2 ≧ 3(a^3･b + b^3･c + c^3･a), >>268 >>284-290 733 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/12(土) 12:11:39.84 ] a, b, c>0, a+b+c=1. ab(c+2)/(c+1)+bc(a+2)/(a+1)+ca(b+2)/(b+1)≦7/12 734 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/13(日) 02:00:45.58 ] >>733 　(a+b+c)^2 -3(ab+bc+ca) = (1/2){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} ≧ 0 より 　ab + bc + ca ≦ (1/3)(a+b+c)^2 = 1/3, これを与式から差引くと、つまり次式を示せばよい。 　ab/(c+1) + bc/(a+1) + ca/(b+1) ≦ 1/4, 　(左辺) = ab{1 - c/(c+1)} + bc{1 - a/(a+1)} + ca{1 - b/(b+1)} 　　= (ab+bc+ca) -abc{1/(c+1) + 1/(a+1) + 1/(b+1)} 　　≦ (ab+bc+ca) - 9abc/(a+b+c+3)　(← 相加･調和平均 または y=1/x:下に凸) 　　= (ab+bc+ca) - 9abc/{4(a+b+c)}　(← a+b+c=1) 　　= (1/4)(a+b+c)^2 - F_1(a,b,c)/{4(a+b+c)} 　　≦ 1/4,　　(← a+b+c=1) ここに 　F_1(a,b,c) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) 　　　= (a+b+c)^3 -4(a+b+c)(ab+bc+ca) + 9abc ≧ 0,　(Schur) 735 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/13(日) 04:20:40.33 ] キタコレ（・∀・）！ 最初の３行に気づかなんだ 難しく見せているゴミを消すんだな 736 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/17(木) 09:34:49.23 ] n次以下の整式 f(x) において、-1≦x≦1 における |f(x)| の最大値を M、 |f’(x)| の最大値 M’とおくとき、M’≦ n^2M が成り立つことを示せ ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！ 737 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/17(木) 12:10:36.92 ] 有名じゃね？ 738 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/17(木) 23:24:58.13 ] >>737 ｋｗｓｋ！ 739 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/18(金) 15:34:07.09 ] 電波テロ装置の戦争(始) エンジニアと参加願います公安はサリンオウム信者の子供を40歳まで社会から隔離している オウム信者が地方で現在も潜伏している それは新興宗教を配下としている公安の仕事だ 発案で盗聴器を開発したら霊魂が寄って呼ぶ来た <電波憑依> スピリチャル全否定なら江原三輪氏、高橋佳子大川隆法氏は、幻聴で強制入院矛盾する日本宗教と精神科 <コードレス盗聴> 2004既に国民20%被害250〜700台数中国工作員3〜7000万円2005ソウルコピー2010ソウルイン医者アカギ絡む<盗聴証拠> 今年５月に日本の警視庁防課は被害者SDカード15分を保持した有る国民に出せ!!<創価幹部> キタオカ1962年東北生は二十代で2人の女性をレイプ殺害して入信した創価本尊はこれだけで潰せる<<<韓国工作員鸛<<<創価公明党 <テロ装置>>東芝部品)>>ヤクザ<宗教<同和<<公安<<魂複<<官憲>日本終Googl検索 740 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/18(金) 15:34:50.73 ] 魂は幾何学 誰か(アメリカ)気づいた ソウルコピー機器 741 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/18(金) 15:55:38.02 ] a, b, c, d>0, a^2+b^2+c^2+d^2=4. (a+b+c+d-2)(1/a+1/b+1/c+1/d+1/2)≧9. 742 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/19(土) 00:17:55.69 ] 有名じゃね？ 743 名前：β [2011/11/19(土) 00:20:06.15 ] おいおい、暗算で解けたしｗ 744 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/19(土) 01:03:24.34 ] 藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。 藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。 藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。 藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。 藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。 藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。 藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。 藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。 藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。 藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。 藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。 藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。 藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。 藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。 藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。 藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。 745 名前：猫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/11/19(土) 01:21:19.31 ] 猫 746 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/19(土) 02:01:00.07 ] 猫は学生の頃物理と化学もみっちりやりましたか？ 747 名前：猫は痴漢野郎 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/11/19(土) 02:04:41.16 ] 馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。 馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。 馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。 馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。 馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。 馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。 馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。 馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。 馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。 馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。 馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。 馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。 馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。 馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。 馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。 馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。 馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。 馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。 馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。 猫 748 名前：猫は痴漢野郎 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/11/19(土) 02:08:03.06 ] >>746 私は数学科ではなくて応用物理みたいな学科の学卒なので、従って物理 は仕方無く勉強しました。そんで化学は必修科目として結構含まれてい ましたが、全然好きにはなれませんでした。とにかく実験の演習は苦痛 でしかアリマセンでしたね。 だから物理も化学もみっちりでも何でもありません。最低限ですね。 猫 749 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/19(土) 11:01:43.28 ] 741はむずいぞ、これ。 750 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/19(土) 17:57:36.10 ] 相加相乗平均使うだけだろ？ 751 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/19(土) 20:14:46.04 ] あほと, ちゃうか？ どうやって, 相加相乗使えるねん？！ 752 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/19(土) 22:17:02.33 ] a+b+c+d≧4(abcd)^(1/4) 1/a+1/b+1/c+1/d≧4(1/abcd)^(1/4) 753 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/19(土) 22:59:59.78 ] >>752 それでは証明できない。 754 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/20(日) 12:57:28.57 ] ２ちゃんの数学板の中でもここだけは本物の鬼修羅羅刹が生息する場所だなって思うわ。 自作の不等式問題投げたときも30分で解かれたし。 755 名前：Y [2011/11/20(日) 18:16:34.40 ] 数学版楽しい。学校よりも楽しい 756 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/20(日) 19:29:31.45 ] >>701が未だに分からん。 ↓こうやって、微分を1つ減らした問題なら解けるんだけどなあ。 f :R → Rは二回微分可能な関数で,全てのxについて次の条件�@,�Aが成り立っている �@f(x)>0,f'(x)>0,f''(x)>0 �Af''(x)≦f(x) このとき全てのxについて2f(x)>f'(x)が成立することを示せ 757 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/20(日) 22:21:04.68 ] >>756 ｋｗｓｋ！ 758 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/21(月) 00:28:55.43 ] >>757 　f(x) は下に有界かつ単調増加だから、lim[x→ -∞] f(x) は収束する。 　f(-∞) = lim[x→ -∞] f(x) = a ≧ 0. 　f '(-∞) = lim[x→ -∞] f '(x) = 0. f '(x) >0 と (2)から 　(d/dx){f(x)^2 - f '(x)^2} = 2f '(x){f(x) - f "(x)} ≧ 0, ∴　f(x)^2 - f '(x)^2 は単調増加。 ∴　f(x)^2 - f '(x)^2 ≧ f(-∞)^2 - f '(-∞)^2 = a^2 - 0^2 ≧ 0, f(x) + f '(x) >0 で割れば 　f(x) - f '(x) ≧ 0, 759 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/22(火) 06:33:29.44 ] >>758 　(d/dx){f(x)exp(-x)} ≦ 0, ∴　f(x) は単調増加だが、f(x)exp(-x) は(広義)単調減少。 760 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/22(火) 07:26:54.80 ] >>730 >>732 　p' = a^2 -b^2 +bc, 　q' = b^2 -c^2 +ca, 　r' = c^2 -a^2 +ab, とおくと、 　(左辺) - (右辺) = (1/2)(p'+q')^2 + (1/2)(q'+r')^2 + (1/2)(r'+p')^2 ≧ 0 　casphy - 高校数学 - 不等式、718 761 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/22(火) 13:57:08.76 ] Nice Solution! Exactly same as mine. 762 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/22(火) 21:17:03.30 ] 日本語でおｋ 763 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/24(木) 22:29:54.05 ] 〔問題〕 a,b,c が実数で ��=(a-b)(b-c)(c-a) のとき、 (1) �納n=1,2] {a^(2n) +b^(2n) +c^(2n) -(ab)^n -(bc)^n -(ca)^n} 　　≧ (3/2)|�處, (2) �納n=1,4] {a^(2n) +b^(2n) +c^(2n) -(ab)^n -(bc)^n -(ca)^n} 　　≧ 3(1 + a+b+c +a^2 +b^2 +c^2)|�處, を、示して下さい。 　casphy - 高校数学 - 不等式、719,722,725 764 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/26(土) 07:13:35.37 ] つ www.math.harvard.edu/graduate/quals/qs10.pdf ３枚目の２番 765 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/26(土) 09:46:58.28 ] >>764 １．Let ａ be an arbitrary real number and ｂ a positive real number. Evaluate the integral 　　∫[0,∞） cos(ax)/cosh(bx) dx. 　　（Recall that cosh(x) = (1/2)(e^x + e^-x) is the hyperbolic cosine.) 　　{Wed., 2010/Jan/20 (Day 2)} ２．Let ｆ be a holomorphic function on a domain containing the closed disc {z : |z|≦3}, and suppose that 　　f(1) = f(i) = f(-1) = f(-i) = 0. Show that 　　|f(0)| ≦ (1/80)･max{|f(z)| : |z|=3}, and find all such functions for which equality holds in this inequality. 　　{Thu., 2010/Jan/21 (Day 3)} 766 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/26(土) 10:33:54.24 ] >>765 (1) 　cos(ax) = (1/2){e^(iax) + e^(-iax)} から、 　∫[0,∞) cos(ax)e^(-cx) dx 　　= (1/2)∫[0,∞) {e^(-(c-ia)x) + e^(-(c+ia)x)} dx 　　= (1/2){1/(c-ia) + 1/(c+ia)} 　　= c/(a^2+c^2),　　(c>0) と 　1/cosh(bx) = 2e^(-bx)/{1+e^(-2bx)} = 2Σ[k=0,∞) e^(-(2k+1)bx), を使っても出せぬぅ..... 答： π/{2b･cosh(πa/2b)}, 〔参考書〕 森口･宇田川･一松:「数学公式I」岩波全書221, ｐ.256 (1956) 767 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/26(土) 11:48:54.54 ] >>765　訂正 　1/cosh(bx) = 2e^(-bx)/{1+e^(-2bx)} = 2Σ[k=0,∞) (-1)^k･e^(-(2k+1)bx), 768 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/26(土) 20:36:13.48 ] 証文の出し遅れのような気がしますが、> 570 の解答については www.emis.de/journals/JIPAM/images/105_09_JIPAM/105_09.pdf に目を通しておいて下さい。ついでに、 www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/ineq.pdf も読んで頂けると幸いです。 769 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/26(土) 20:43:16.45 ] ついでにこういう定理をご存知ですか。 定理1. 4次斉次多項式f(a,b,c)について、 任意の実数a,b,cに対しf(a,b,c)≧0が成り立つための必要十分条件は、 f(1,0,0)≧0かつf(x,1,1)≧0 (∀x∈R)である。 定理2. 3〜5次斉次多項式f(a,b,c)について、 任意のa,b,c≧0に対しf(a,b,c)≧0が成り立つための必要十分条件は、 f(x,1,0)≧0かつf(x,1,1)≧0 (∀x≧0)である。 770 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/26(土) 20:45:04.43 ] すいません。直前の訂正です。 定理1. 4次斉次対称多項式f(a,b,c)について、 任意の実数a,b,cに対しf(a,b,c)≧0が成り立つための必要十分条件は、 f(1,0,0)≧0かつf(x,1,1)≧0 (∀x∈R)である。 定理2. 3〜5次斉次対称多項式f(a,b,c)について、 任意のa,b,c≧0に対しf(a,b,c)≧0が成り立つための必要十分条件は、 f(x,1,0)≧0かつf(x,1,1)≧0 (∀x≧0)である。 771 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/26(土) 21:30:54.77 ] >>765 b> 0 Pi/2b sech(a Pi/2b) 772 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/26(土) 22:13:07.75 ] >>768 >>570 で 　N→w, I→-p, J→-q, K→r, L→(p+q-r-w) とおけば (1.6) になりますね。 もっとも、これらの文献では w=1 としているようですが.... 773 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/27(日) 22:11:38.11 ] >>769-770 基本対称式を x+y+z=s, xy+yz+zx=t, xyz=u とおくと 　f(x,y,z) = f(1,0,0)(s^4 -6sst +8tt +3su) + f(0,1,1)(8tt-sst-15su)/4 + f(1,1,1)(8tt-2sst-5su)/3 + f(2,1,1)(sst-4tt+3su)/4 と書けるが… 774 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/30(水) 13:27:41.48 ] 66-5 www.asahi-net.or.jp/~nj7h-ktr/kadai10-11.pdf ( ﾟ∀ﾟ)ﾑﾑﾑ… 775 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/30(水) 23:51:09.00 ] >>774 (64_1) (1)　sgn(a),　　　x = |a|･tanθ とおく。 (2)　部分分数に分けて 　f(x)f(t-x) = (1/2π)f(t/2){(1/2 + x/t)f(x) + (1/2 + (t-x)/t)f(t-x)} 　xf(x) は奇関数だから、積分すれば0. 　(t-x)f(t-x) も同様。 　∴ (1/2π)f(t/2)∫(-∞,∞) {f(x) + f(t-x)}/2 dx = (1/2π)f(t/2), 66-5 問題1. 　(左辺) - (右辺) = (4/5)(x-y)^2 + (4/5)(x+y)(z-x-y) + (z-x-y)^2 ≧0, 　z = x+y+Z (Z≧0) を与式に代入する。 問題2. 　(与式) > ∫[0,1] (x^2)e^(-x) dx 　　　= [ -(x^2 +2x +2)e^(-x) ](x=0,1) 　　　= 2 - (5/e) = 0.160603 　(与式) < ∫[0,1] (x^2)･e^(-x^3) dx 　　　= [ -(1/3)e^(-x^3) ](x=0,1) 　　　= (1/3)(1 - 1/e) = 0.210707 （真値は　(1/4)(√π)erf(1) - 1/(2e) = 0.189472345820492...） 67-2 (1)　f(x) = (x+1/x)^2 は下に凸だから 　(a + 1/a)^2 + (b + 1/b)^2 + (c + 1/c)^2 　　= f(a) + f(b) + f(c) 　　≧ 3f((a+b+c)/3)　　　(← 下に凸) 　　= 3f(1/3) = 3(10/3)^2 = 100/3, 776 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/02(金) 01:41:46.25 ] >>763・・・ 777 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/02(金) 01:43:06.65 ] 67-3 m は {m(m-1)+2}/2 項目に初めて現れれる。これをnとすると、mは 　a_n =　[ （1 + √(8n-7)）/2 ] >>774 66-5 　I_n = ∫[0,1] x^2･exp(-x^n) dx は nについて単調増加で、 1/3 に収束する。 　I_n ≒ 1/3 - 1/(1.2553312n + 4.22642)　　(n>>1) 778 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/02(金) 14:24:30.43 ] >>775 67-2 (1) 〔補題〕 ある区間で f(x) >0 とする。 (1)　f が下に凸, a>1　　⇒　f^a も下に凸。 (2)　f が上に凸, 0<a<1　⇒　f^a も上に凸。 (3)　f が上に凸, a<0　　⇒　f^a は下に凸。 (略証) 　f が上に凸　⇔　f " >0, 　f が下に凸　⇔　f " <0, 　f(x)^a = g(x) とおくと 　g ' = a･f^(a-1)f ', 　g " = a(a-1)f^(a-2){f '}^2 + a･f^(a-1)･f ", 779 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/02(金) 14:51:44.63 ] >>778 の訂正 (略証) 　f が下に凸　⇔　f " >0, 　f が上に凸　⇔　f " <0,

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