- 1 名前：不等式ヲタ mailto:sage [2010/10/24(日) 23:56:56 ]
- ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
過去スレ
・不等式スレッド （Part1） science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第３章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第４章 kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
過去スレのミラー置き場：cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
まとめWiki wiki.livedoor.jp/loveinequality/
姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000
- 388 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/25(水) 01:33:08.93 ]
- >>387
(p^2 + q^2)(r^2 + s^2) = (pr + qs)^2 + (ps - qr)^2 … Lagrangeの恒等式
を繰り返し用いると、
(a^2 +2)(b^2 +2)(c^2 +2)
= { (ab + 2)^2 + (a√2 - b√2)^2 }*(c^2 +2)
= { (ab + 2)c + (a√2 - b√2)√2 }^2 + { (ab + 2)√2 + (a√2 - b√2)c }^2
= { (ab + 2)c + 4(a-b) }^2 + 2{ (ab + 2) + (a - b)c }^2
= (abc + 2c + 4a -4b)^2 + 2(ab + 2 + ac - bc)^2
失敗でござるよ、 ドンマイ ( ﾟ∀ﾟ)ノ
- 389 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/25(水) 02:20:45.94 ]
- >>388
(a^2 + p^2)(b^2 + q^2)(c^2 +r^2) = (abc-aqr-pbr-pqc)^2 + (pbc+aqc+abr-pqr)^2,
だと２つになるし･････
- 390 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/28(土) 10:38:16.63 ]
- >>389
p=q=r=√2 を入れて
{abc-2(a+b+c)}^2 + (bc+ca+ab-2)^2 + (bc+ca+ab-2)^2,
- 391 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/10(金) 17:58:19.78 ]
- 2(x-1)/(x^2-2x+2) の最小値と最大値は？ (-1≦x≦3)
- 392 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/10(金) 20:45:14.10 ]
- -1と1
- 393 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/10(金) 20:49:20.27 ]
- >>391
分子を２にして、場合分けしてAM-GM
AM-GMを使うときは、正でないと使えないぞ！
∴-1 ≦ 2(x-1)/(x^2-2x+2) ≦ 1
宿題は質問スレに逝け！
- 394 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/11(土) 02:05:20.80 ]
- >>391
x-1 = X とおくと、
y = 2X/(1+X^2),
1±y = 1 ± 2X/(1+X^2) = (1±X)^2 /(1+X^2) ≧ 0,
でもいい？
- 395 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/11(土) 04:24:49.92 ]
- ｲｲﾖｲｲﾖｰ！
- 396 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/11(土) 05:50:22.01 ]
- a、b、c、d、e、f ＞ 0 に対して、
ab/(a+b) + cd/(c+d) + ef/(e+f) ≦ abcdef/(a+b+c+d+e+f)
( ﾟ∀ﾟ)わけがわからないよ
- 397 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/12(日) 19:09:15.01 ]
- >>396
なんか変じゃない ( ﾟ∀ﾟ)？
www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=51&t=410926
- 398 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/12(日) 19:50:00.19 ]
- a=b=c=d=e=f.
- 399 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/15(水) 02:11:04.50 ]
- >>397
〔補題〕
a1 + a2 = A,
b1 + b2 = B,
とおくと
a1･b1/(a1+b1) + a2･b2/(a2+b2) ≦ A･B/(A+B),
(略証)
(右辺) - (左辺) = (a1･b2-a2･b1)^2／{(a1+b1)(a2+b2)(A+B)} ≧ 0,
- 400 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/19(日) 05:51:38.00 ]
- 〔補題〕
a_ij>0, (i=1,2,･････,n)(j=1,2,････,m)
Σ[j=1,m] a_ij = A_i, とおくとき
Σ[j=1,m] 1／{Σ[i=1,n] 1/a_ij} ≦ 1／(1/A1 + 1/A2 + ･････ + 1/An),
(by kuing, Nov.20, 2009, 5:47 am) m=2
(by Mavropnevma, Jun.10, 2011, 2:25 pm) m=2
- 401 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/19(日) 05:54:25.60 ]
- >>400
(略証)
右辺を S とおく。1/S = 1/A1 + 1/A2 + ････ + 1/An,
コーシーより
{Σ[i=1,n] a_ij/(Ai)^2}･{Σ[i=1,n] 1/a_ij} ≧ (1/A1 + ････ + 1/An)^2 = 1/S^2,
よって
1／{Σ[i=1,n] 1/a_ij} ≦ {Σ[i=1,n] a_ij/(Ai)^2}･S^2,
j=1,2,･････,m についてたす。
(左辺) ≦ (1/A1 + 1/A2 + ･････ + 1/An)･S^2 = S,
(proof by Vn2009, Nov.20, 2009, 8:21 am) m=2
(proof by tang zy, Nov.21, 2009, 2:50 am) m=2
(proof by hendrata01, Nov.23, 2009, 4:23 pm) m=2
(note by spanferkel, Nov.21, 2009, 3:30 am) m=3, etc.
www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=313265
- 402 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/19(日) 06:11:46.69 ]
- >>400 と同じだが････
〔補題〕
x_ij > 0 のとき
A_i = (Σ[j=1,m] x_ij)／m, (i=1,2,････,n)
H_j = n／(Σ[i=1,n] 1/x_ij), (j=1,2,････,m)
とおくと、
(H1 + H2 + ････ + Hm)／m ≦ n／(1/A1 + 1/A2 + ･････ + 1/An),
- 403 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/19(日) 07:48:50.29 ]
- >>402 念のため...
(略証)
右辺を S とおく。n/S = 1/A1 + 1/A2 + ････ + 1/An,
コーシーより
{Σ[i=1,n] x_ij/(Ai)^2}･(Σ[i=1,n] 1/x_ij) ≧ (1/A1 + ････ + 1/An)^2 = (n/S)^2,
よって
H_j ≦ n･{Σ[i=1,n] x_ij/(Ai)^2}･(S/n)^2,
j=1,2,･････,m について相加平均する。
(左辺) ≦ n(1/A1 + 1/A2 + ･････ + 1/An)･(S/n)^2 = S,
- 404 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/29(水) 17:33:48.88 ]
- 問A-2
www.math.kindai.ac.jp/~mathcon/mathcon13/mathcon13thmondai.pdf
- 405 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/01(金) 12:35:17.26 ]
- >>350
abc = u とおく。
(上式)^3 = (a+b)/2･(b+c)/2･(c+a)/2
= {ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a) +2u}/8
≧ (1/27){2ab(a+b) +2bc(b+c) +2ca(c+a) +15u} ← ※
= (1/27){ab(a+b)/2 +bc(b+c)/2 +ca(c+a)/2
+3(aab+u)/2 +3(abb+u)/2 +3(bbc+u)/2 +3(bcc+u)/2 +3(cca+u)/2 +3(caa+u)/2 +6u}
≧ (1/27){ab√(ab) +bc√(bc) +ca√(ca)
+3ab√(ca) +3ab√(bc) +3bc√(ab) +3bc√(ac) +3ca√(bc) + 3ca√(ab) +6u}
= (1/27){√(ab) +√(bc) +√(ca)}^3
= (右辺)^3
※のところが、どうやって見つけたのか分かりませぬ…
ところで、√a、√b、√c の基本対称式 s、t、u を使って、
力任せに (左辺)^3-(右辺)^3 を計算しても出来ますか？
差をとって分母払った式は 27s^2t^2 - 54s^3u -62t^3 +108stu -27u^2 で、
これが0以上になるかが示せない…
- 406 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/01(金) 22:16:20.04 ]
- >>404
[問題A-2]
n個の実数値函数 u_1(x),u_2(x) ～ u_n(x) (a≦x≦b) を考える。このとき、次の不等式を示せ。
√{Σ[i=1,n] （∫[a,b] u_i(x)dx）^2 } ≦ ∫[a,b] √([i=1,n] u_i(x)^2) dx,
(略証)
√{Σ[i=1,n] u_i(x)^2} = U(x) ≧ 0 とおく。
コーシーより
Σ[i=1,n] u_i(x)･u_i(y) ≦ U(x)･U(y),
よって
(左辺)^2 = ∫[a,b] ∫[a,b] Σ[i=1,n] u_i(x)･u_i(y) dxdy
≦ ∫[a,b] U(x)dx・∫[a,b] U(y)dy
= (右辺)^2,
- 407 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/01(金) 23:13:10.37 ]
- >>405
s^2 → (s^2 -3t) + 3t,
t^2 → (t^2 -3su) + 3su,
のように分解すると
27(s^2 -3t)(t^2 -2su) + 19t(t^2 -3su) + 3(st-9u)u ≧ 0,
- 408 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/04(月) 20:26:12.66 ]
- >>402-403 の続き
〔補題〕
x_ij > 0 のとき
A_i = (Σ[j=1,n] x_ij)／n, (i=1,2,････,m)
G_j = (Π[i=1,m] x_ij)^(1/m), (j=1,2,････,n)
H_i = n／(Σ[j=1,n] 1/x_ij), (i=1,2,････,m)
とおくと、
(1) (A1･A2････Am)^(1/m) ≧ (G1 + G2 + ････ + Gn)／n,
(2) (H1･H2････Hm)^(1/m) ≦ n／(1/G1 + 1/G2 + ･････ + 1/Gn),
- 409 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/04(月) 20:33:17.08 ]
- >>408
ヘルダーの不等式。
たとえば、まとめWiki を参照 >>1
(1) p_i → m, |a_ij|^m → x_ij, b_i = n･A_i, とおく。
(2) p_i → m, |a_ij|^m → 1/xij, b_i = n/H_i, とおいて、逆数をとる。
- 410 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/14(木) 04:04:48.39 ]
- 外出だったらｽﾏｿ.
〔問題〕
abc=1, a,b,c>0 のとき
(a^2 +b^2)/(c^2 +a +b) + (b^2 +c^2)/(a^2 +b +c) + (c^2 +a^2)/(b^2 +c +a) ≧ 2,
- 411 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/14(木) 11:52:16.90 ]
- >>410
分母の次数を２次の項だけに変えたいけど、うまくいかん…
- 412 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/15(金) 21:09:37.12 ]
- これ前にもやったっけ？
〔問題〕
正の数 a、b、c、d に対して、
{(ab+ac+ad+bc+bd+cd)/6}^(1/2) ≧ {(abc+abd+acd+bcd)/4}^(1/3)
- 413 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/16(土) 03:40:25.36 ]
- >>412
[初代スレ.455-456]
(略解)
f(x) = (x-a)(x-b)(x-c)(x-d), とおく。
f(x)=0 は重根を含めて4個の正の根をもつ。
f '(x)=0 も重根を含めて3個の正の根 α,β,γ をもつ。
f '(x) = 4(x-α)(x-β)(x-γ),
xの係数より 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) = 4(αβ + βγ + γα),
定数項より -(abc+abd+acd+bcd) = -4αβγ,
これを用いて 示すべき不等式を α,β,γ で表わすと
√{(αβ+βγ+γα)/3} ≧ (αβγ)^(1/3),
となる。これは相加･相乗平均の関係だから不等式は示された。
等号成立条件は α=β=γ で、このとき a=b=c=d.
- 414 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/16(土) 03:42:23.82 ]
- >>298
[初代スレ.465]
- 415 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/16(土) 06:55:35.88 ]
- >>2
まとめサイトの参考文献[9]の後に
[10] 三角法の精選103問（シリーズ：数学オリンピックへの道 2），T.アンドレースク・Z.フェン著，朝倉書店，2010年
www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-1180...
を追加し、[10]～[13]を[11]～[14]にずらしました ( ﾟ∀ﾟ)
証明する際に、三角関数に置き換えるものも含めて、
三角関数がらみの不等式の問題がたくさん載っています
- 416 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/16(土) 07:00:21.68 ]
- ●刊行予定●
不等式（数学のかんどころシリーズ）、大関清太、共立出版、未定
www.kyoritsu-pub.co.jp/series/kandokoro.html
「不等式への招待」が絶版となったので、超期待！ (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
- 417 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/16(土) 07:10:48.41 ]
- 〔問題〕
実数 a、b、c に対して、
(a^2 + 1)(b^2 + 1)(c^2 + 1) ≧ (ab +bc +ca -1)^2
左辺は良く見かけるけど、これは初めてのような希ガス…
- 418 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/16(土) 15:00:01.26 ]
- （１＋ａｉ）（１＋ｂｉ）（１＋ｃｉ）＝（１－ａｂ－ａｃ－ｂｃ）＋（ａ＋ｂ＋ｃ－ａｂｃ）ｉ。
- 419 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/16(土) 15:03:45.05 ]
- >>418
なん…だと！
- 420 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/16(土) 15:22:13.62 ]
- >>417
a=tanα, b=tanβ, c=tanγとおく。明らかにcosαcosβcosγ≠0
1≧｜cos(α＋β＋γ)｜=｜cosαcosβcosγ-sinαsinβcosγ-cosαsinβsinγ-sinαcosβsinγ｜
｜1/(cosαcosβcosγ)｜≧｜1-tanαtanβ-tanβtanγ-tantγtanα｜
(cosα)^(-2)*(cosβ)^(-2)*(cosγ)^(-2)≧(1-tanαtanβ-tanβtanγ-tantγtanα)^2
{(tanα)^2+1}{(tanβ)^2+1}{(tanγ)^2+1}≧(tanαtanβ+tanβtanγ+tantγtanα-1)^2
より示される
等号成立は
Arctan(a)+Arctan(b)+Arctan(c)=0, ±π
(a,b,c)=(1,-1/2,-1/3)とか(2+√3,√3,1)とか
- 421 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/17(日) 02:08:41.04 ]
- >>420
cos(α+β+γ) = ････
sin(α+β+γ) = cosα･cosβ･sinγ + cosα･sinβ･cosγ + sinα･cosβ･cosγ - sinα･sinβ･sinγ,
を使えば
(左辺) = 1/(cosα･cosβ･cosγ)^2
= (1-tanα･tanβ-tanβ･tanγ-tanγ･tanα)^2 + (tanα + tanβ + tanγ - tanα･tanβ･tanγ)^2
= (1-ab-bc-ca)^2 + (a+b+c-abc)^2,
- 422 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/17(日) 08:05:05.56 ]
- a,b,cは正の実数とするとき,
a^3/(a+b)^2+b^3/(b+c)^2+c^3/(c+a)^2≧(a+b+c)/4
- 423 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/17(日) 09:15:12.50 ]
- >>422
4a^3-(a+b)^2*(2a-b)=(a-b)^2*(2a+b)≧0より
4a^3≧(a+b)^2(2a-b)
a^3/(a+b)^2≧(2a-b)/4
同様に繰り返して辺々足して与不等式
- 424 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/17(日) 15:20:11.27 ]
- 4a^3-(a+b)^2*(2a-b)=(a-b)^2*(2a+b)のideaはどこから？
- 425 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/17(日) 17:50:11.85 ]
- 定石ですよ、定石！
- 426 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/17(日) 18:07:58.81 ]
- ならば、不等式の証明に使える定石とやらを列挙してもらおうか？
- 427 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/17(日) 21:16:34.07 ]
- >>412 (別法)
P1 = (a+b+c+d)/4,
P2 = (ab+ac+ad+bc+bd+cd)/6,
P3 = (abc+abd+acd+bcd)/4,
P4 = abcd,
とおくと
P1^4 ≧ P2^2 ≧ P1･P3 ≧ P4,
(略証)
P1^2 - P2 = (1/48){(a-b)^2 +(a-c)^2 +(a-d)^2 +(b-c)^2 +(b-d)^2 +(c-d)^2} ≧ 0,
P2^2 - P1･P3 = (1/288){(ab-ac)^2 + (ab-ad)^2 + (ab-bc)^2 + (ab-bd)^2 + ････
+ 4(ab-cd)^2 + 4(ac-bd)^2 + 4(ad-bc)^2} ≧ 0,
P1･P3 - P4 ≧ 0, (相加･相乗平均)
〔系〕 P1 ≧ √P2 ≧ (P3)^(1/3),
- 428 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/17(日) 22:06:41.54 ]
- >>427
n変数のときも同様に、
P1 = (a1 + a2 + ･････ + an)/n,
P2 = {a1･a2 + ･････ + a(n-1)･an}/C[n,2],
P3 = {a1･a2･a3 + ･････ + a(n-2)･a(n-1)･an}/C[n,3],
とおくと
P1^4 ≧ P2^2 ≧ P1･P3,
(略証)
P1^2 - P2 = {1/[n^2 (n-1)]}{(a-b)^2 +(a-c)^2 +(a-d)^2 +(a-e)^2 + ･････} ≧ 0,
P2^2 - P1･P3 = {1/[n^2 (n-1)^2 (n-2)]}{(5-n)(ab-ac)^2 + (5-n)(ab-ad)^2 + (5-n)(ab-ae)^2 +････
+ 4(ab-cd)^2 + 4(ab-de)^2 + ･････} ≧ 0,
〔系〕 P1 ≧ √P2 ≧ (P3)^(1/3),
- 429 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/18(月) 00:06:54.77 ]
- >>425
その変形は,自然に気づかないでしょう？
だれか, もう少し詳しく教えていただきませんか？
- 430 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/18(月) 01:21:39.49 ]
- >>424 >>429
生姜ねぇ....
a^3 /(a+b)^2 ≧ γ/4,
とおく。
a^3 ≧ {(a+b)/2}{(a+b)/2}γ,
右辺は (a+b)/2, (a+b)/2, γの相乗平均の3乗。
これらの相加平均が a なら、相加･相乗平均で成立。
(a+b)/2 + (a+b)/2 + γ = 3a,
γ = 2a-b,
- 431 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/18(月) 01:26:59.25 ]
- うーん、ぬぬぬ…
- 432 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/18(月) 02:19:45.59 ]
- >>430 やっぱ、AM-GMかあ。これが自然だよな。
あとは, CS, Jensen
これって,今月号の大数にのってたやつじゃねえ？
(1) に4a^3-(a+b)^2*(2a-b)=(a-b)^2*(2a+b)があったような。
- 433 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/18(月) 04:27:35.04 ]
- >>431
う～ん、ぬぬぬるぽ
と言いたかったのだな。
等号成立条件 (a+b)/2 = γ ⇔ a=b にも注意。
- 434 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/18(月) 11:59:43.81 ]
- 1. Holder Σa^3/(a+b)^2≧(a+b+c)^3/(Σ(a+b))^2
2.AM-GM Σ(4a^3/(a+b)^2+(a+b)/2+(a+b)/2)≧3Σa
3. C.S. (a+b+c)(Σa^3/(a+b)^2)≧(Σa^2/(a+b))^2≧((a+b+c)/2)^2
4. Jensen
- 435 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/18(月) 14:17:03.31 ]
- ちぇびちぇび、へるだあ、みんこ、しゅうあ、まじょらい、ぐろんを、並べ替え不等式、…
彼らのことも、たまには思い出してやってください
- 436 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/18(月) 15:11:08.55 ]
- AM-GMは中学の時に出会うほど基本的なのに最強だな
- 437 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/18(月) 15:17:17.77 ]
- Soient a,b,c,d dans R^{＋} tels que a+b++d=6, a^2+b^2+c^2+d^2=12.
Prouver que :
36≦4(a^3+b^3+c^3+d^3)-(a^4+b^4+c^4+d^4)≦48.
- 438 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/18(月) 15:18:42.48 ]
- Soient a,b,c,d dans R^{＋} tels que a+b+c+d=6, a^2+b^2+c^2+d^2=12.
Prouver que :
36≦4(a^3+b^3+c^3+d^3)-(a^4+b^4+c^4+d^4)≦48.
- 439 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/18(月) 19:05:38.49 ]
- >>410
1/(1-x) ≧ 1+x より
1/(c^2 +a +b) = 1/{a^2 +b^2 +c^2 -(a^2 +b^2 -a-b)}
= 1/{S - (a^2 +b^2 -a-b)]}
≧ 1/S + (a^2 +b^2 -a-b)]/S^2
≧ 1/S + [a^2 +b^2 -(a+b)(a+b+c)/3]/S^2 (←題意)
= 1/S + [2(a-b)^2 +2ab-bc-ca]/(3S^2)
≧ 1/S + (2ab-bc-ca)/(3S^2)，
ここに S = a^2 +b^2 +c^2 とおいた。
(左辺) ≧ 2 + {(a^2 +b^2)(2ab-bc-ca) + cyclic}/(3S^2)
= 2 + {a(b-c)(b^2 -c^2) + cyclic}/(3S^2)
≧ 2,
- 440 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/18(月) 22:26:06.82 ]
- 〔問題〕
正の数 a、b、c が abc=1 をみたすとき、
(a^2+b^2)/(c^2+a+b) + (b^2+c^2)/(a^2+b+c) + (c^2+a^2)/(b^2+c+a) ≧ 2
- 441 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/19(火) 00:21:55.69 ]
- ∩＿＿＿∩三 ー＿ ∩＿＿＿∩
|ノ 三-二 ー二三 ノ ヽ
/ (ﾟ) (ﾟ)三二- ￣ - 三 (ﾟ) (ﾟ) |
| ( _●_) ミ三二 - ー二三 ( _●_) ミ テンション上がってきた！！
彡､ |∪| ､｀￣￣三- 三 彡､ |∪| ミ テンション上がってきた！！
/ ＿＿ ヽノ Y￣) 三 三 (/' ヽノ＿ |
(＿＿＿） ∩＿＿＿∩_ノ ヽ/ (＿＿＿）
- 442 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/19(火) 06:33:56.04 ]
- >>438
まづ 0≦a,b,c,d≦3 を示す。 コーシーより
3(12-a^2) = (1+1+1)(b^2 + c^2 + d^2) ≧ (b+c+d)^2 = (6-a)^2,
0 ≧ 3(a^2 -12) + (6-a)^2 = 4a(a-3),
0≦a≦3,
b,c,d についても同様。
次に 0≦x≦3 で 2x^2 +4x -3 ≦ 4x^3 -x^4 ≦ 4x^2, を示す。
(4x^3 -x^4) - (2x^2 +4x-3) = (x+1)(3-x)(x-1)^2 ≧ 0,
4x^2 - (4x^3 -x^4) = x^2･(2-x)^2 ≧ 0,
x=a,b,c,d について和をとると
2*12 +4*6 -3*4 ≦ 与式 ≦ 4*12,
36 ≦ 与式 ≦ 48,
左等号成立は {3,1,1,1}
右等号成立は {2,2,2,0}
くそ～、テンション上がっちまった...
- 443 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/19(火) 09:27:04.02 ]
- Nice Solution!
- 444 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/19(火) 12:25:03.59 ]
- >>442
> 次に 0≦x≦3 で 2x^2 +4x -3 ≦ 4x^3 -x^4 ≦ 4x^2, を示す。
神！ この不等式をどうやって思いつくのか謎！
- 445 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/19(火) 13:20:00.38 ]
- (0<=x<=3)=>(f(x)=x^4-4x^3+ax^2+bx+c<=0).
f(1)=0.
f(3)=0.
f(x)=(x-1)^2(x-3)(x-d)=x^4-4x^3+ax^2+bx+c.
d=-1.
f(x)=x^4-4x^3+2x^2+4x-3.
- 446 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/20(水) 10:14:37.63 ]
- このスレ恐ろしすぎる
- 447 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/20(水) 17:21:02.92 ]
- 不等式ヲタ ≒ 数ヲタ ⇒ ロリコン だからですか？
- 448 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/20(水) 18:25:13.74 ]
- 〔問題〕
正の数 x、y が x+y=1 をみたすとき、(x^x)(y^y) + (x^y)(y^x) ≦ 1
- 449 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/20(水) 21:26:23.94 ]
- >>447
正解！
- 450 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/20(水) 23:35:36.28 ]
- >>448
x^x-y^xとx^y-y^yは正負が一致するかともに0かなので
(x^x-y^x)(x^y-y^y)≧0
x^(x+y)+y^(x+y)≧(x^x)(y^y)+(x^y)(y^x)
左辺=x+y=1より
1≧(x^x)(y^y)+(x^y)(y^x)
- 451 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/21(木) 00:29:09.54 ]
- >>450
神すぎる…
- 452 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/21(木) 09:53:30.81 ]
- Soient a,b tels que 0<a≦1, 0<b≦1.
Prouver que : a^{b-a}+b^{a-b}≦2.
- 453 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/21(木) 10:21:14.26 ]
- >>448
By the Weighted AM-GM, x^xy^y≦x^2+y^2, x^yy^x≦2xy
∴x^xy^y+x^yy^x≦(x+y)^2=1 Done!
- 454 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/21(木) 10:23:42.09 ]
- >>452
難しい (；´д｀) ﾊｧﾊｧ…
ところで a^{b-a}+b^{a-b} の下限はいくらになるのですか？ ０にいくらでも近づく？
- 455 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/21(木) 10:27:42.91 ]
- >>454
下限というか最小値は１かな？
- 456 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/21(木) 10:43:07.23 ]
- >>453
Sorry, my proof was wrong. I thought that x, y are positive integers.
- 457 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/21(木) 10:59:00.10 ]
- No, your proof is CORRECT!
- 458 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/21(木) 20:29:14.21 ]
- >>453 の weighted AM-GM というのは
p,q,x,y>0, p+q=1 ⇒ x^p･y^q ≦ px + qy,
- 459 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/22(金) 04:35:26.03 ]
- 重み付き相加相乗って懐かしいな
すっかり忘れていた…
- 460 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/22(金) 04:35:52.11 ]
- >>453, >>458
凸不等式から出る。別名 ベルヌーイの式。
数セミ、2010/08月号 NOTE (大塚氏) も参照。
- 461 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/30(土) 15:16:53.93 ]
- x≧0, y≧0, x+y=1 のとき, 自然数m,nに対して
( 1-x^m )^n + ( 1-y^n )^m ≧1
- 462 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/30(土) 17:25:09.46 ]
- >>859
いつから名前がバカオツなんだかwww
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
頑張れよクソキチガイ
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
頑張れ！クソキチガイ！
顔真っ赤にしてクソキチガイ反応
さっきから必死に頑張ってます！
ｂｙ>>859
- 463 名前：コピペキチガイ必死w ◆osMsTqWzXY mailto:sage [2011/07/30(土) 17:25:21.59 ]
- >>462
いつから名前がバカオツなんだかwww
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
頑張れよクソキチガイ
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
頑張れ！クソキチガイ！
顔真っ赤にしてクソキチガイ反応
さっきから必死に頑張ってます！
ｂｙ>>462
- 464 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/30(土) 18:00:36.44 ]
- >>461
むむむ…、分からん
- 465 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/30(土) 21:48:35.22 ]
- どうみても二項定理だろアホｗ
- 466 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/30(土) 22:10:33.54 ]
- >>465
証明してみろ！
- 467 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/30(土) 22:49:10.99 ]
- >>461
(略証)
g(x) = 1 - (1-x)^n とおくと (左辺) = 1 -g(x^m) + {g(x)}^m.
g(x) の逆函数を f(z) と書くと、 f(0)=0, f(1)=1 かつ
f(z) = 1 - (1-z)^(1/n) = (1/n)z + (1/2n)(1-1/n)z^2 + (1/3n)(1-1/n)(1-1/2n)z^3 + ……
a_k = {(k-1)/k}･{1 -1/(k-1)n}･a_{k-1} > 0.
∴ f(z) は下記の【命題268】の条件をみたす。
∴ f(z^m) ≧ {f(z)}^m,
∴ z^m ≧ g({f(z)}^m),
∴ {g(x)}^m ≧ g(x^m),
[初代スレ.563(7), 973]
[第２章.21, 346-347, 353]
- 468 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/30(土) 22:51:17.31 ]
- >>467 の続き
【命題268】
f(x) は |x|≦1 で正則な解析函数で、f(0)=0, f(1)=1 かつ
マクローリン展開の係数がすべて非負実数とする。
このとき, 0≦x≦1 において
r>1 ⇒ f(x^r) ≧ {f(x)}^r.
0<r<1 ⇒ f(x^r) ≦ {f(x)}^r.
(math_board_watcherによる)
(略証)
題意より、f(x) = Σ[k=1,∞) a_k･(x^k), a_k ≧ 0.
Σ[k=1,∞) a_k = f(1) = 1.
Jensenの定理より（収束について適当な条件のもとで）
r>1 ⇒ x^r は下に凸 ⇒
f(x^r) = Σ[k=1,∞) a_k･(x^r)^k = Σ[k=1,∞) a_k･(x^k)^r > {Σ[k=1,∞) a_k･x^k}^r = {f(x)}^r.
0<r<1 ⇒ x^r は上に凸 ⇒
f(x^r) = Σ[k=1,∞) a_k･(x^r)^k = Σ[k=1,∞) a_k･(x^k)^r < {Σ[k=1,∞) a_k･x^k}^r = {f(x)}^r.
Yahoo! - 科学板 - 数学カテ - 出題(不等式)トピ - 268,272
- 469 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/31(日) 05:50:42.62 ]
-
きたか…！！
( ﾟдﾟ ) ｶﾞﾀｯ
.r ヾ
＿_|_| /￣￣￣/＿
＼/ /
- 470 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/31(日) 12:49:57.13 ]
- [前スレ.608] の小改良....
以上の評価から
(1/2){(1+t)^(1-t) +(1-t)^(1+t)} ≦ 1 -t^2 +(3/4)t^4,
(1/2){(1+t)^(1-t) -(1-t)^(1+t)} ≦ t -(1/2)t^3,
log(2) = a とおくと
cosh(a/2) = 3/(2√2) = 1.06066017,
sinh(a/2) = 1/(2√2) = 0.35355339,
McLaurin展開係数がすべて正だから、t^2 について下に凸
cosh(at) ≦ 1 +(3√2 -4)t^2, (0<t<1/2)
sinh(at) ≦ at +(2√2 -4a)t^3, (0<t<1/2)
以上から
x^(2y) + y^(2x)
= {(1-t)/2}^(1+t) + {(1+t)/2}^(1-t)
≦ {1 -t^2 +(3/4)t^4}･{1 +(3√2 -4)t^2}
+ {t -(1/2)t^3}･{at +(2√2 -4a)t^3}
= 1 -(5-a-3√2)t^2 +{19/4 -(9/2)a -√2)t^4 +{-3 +2a +(5/4)√2}t^6
≦ 1 -(5-a-3√2)t^2 +{4-4a-(11/16)√2}t^4
≦ 1 -{4-(181/64)√2}t^2
= 1 -0.000427268･t^2, (0<t<1/2)
- 471 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/31(日) 13:28:12.30 ]
- >>461
mn個の放射性核種を、m行n列の長方形状に並べる。どの核種も1分以内に確率xで崩壊するとする。
二つの事象を考える：
[a] 1分後、第1列～第n列のうち、m個すべてが崩壊している列が少なくとも1列ある。
[b] 1分後、第1行～第m行のすべての行で、少なくとも1個が崩壊している。
[a]の確率は 1 - (1-x^m)^n ・・・(1)
[b]の確率は (1-y^n)^m ・・・(2)
事象の包含関係から (2)≧(1) 。
- 472 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/01(月) 23:36:30.55 ]
- >>470
4 > (181/64)√2 の証明
128√2 > 181
2(128^2) - 181^2 = 7 > 0,
2X^2 - Y^2 = 7,
(X_0, Y_0) = (2, -1)
漸化式
X_{n+1} = 3X_n + 2Y_n,
Y_{n+1} = 4X_n + 3Y_n,
より
X_n = {1 - 1/(2√2)}(1+√2)^(2n) + {1 + 1/(2√2)}(1-√2)^(2n),
Y_n = {√2 -(1/2)}(1+√2)^(2n) + {-√2 -(1/2)}(1-√2)^(2n),
- 473 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/03(水) 10:28:00.18 ]
- x+y+z=1を満たす実数x,y,zに対して、次の不等式が成立することを示せ
(x^2+y^2+z^2)^2*(1/x+1/y+1/z)≧1
- 474 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/03(水) 12:00:02.32 ]
- ｘ＝３。
ｙ＝－１。
ｚ＝－１。
- 475 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/03(水) 14:18:15.05 ]
- >>473
胡散臭い不等式やと思うたら案の定か！
- 476 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/05(金) 01:50:12.86 ]
- >>461 の類題
(1-x^m)^n + n･(1-x^m)^(n-1)･x^m + {1-y^n -nx･y^(n-1)}^m ≧ 1,
(1-x^m)^n + n･x^m･(1-x^m)^(n-1) + {n(n-1)/2!}x^(2m)･(1-x^m)^(n-2)
+ {1 -y^n -nx･y^(n-1) -[n(n-1)/2!]x^2･y^(n-2)}^m ≧ 1,
つまらねぇ....
- 477 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/05(金) 02:03:18.01 ]
- しょうがないなあ
A536, B4364, B4370
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201105&t=mat&l=en
- 478 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/05(金) 10:10:52.07 ]
- a+b+c+d≧4(abcd)^(1/4)=p
abc+abd+acd+bcd≧4(abcd)^(3/4)=q
a+b+c+d=abc+abd+acd+bcdよりp=q
∴abcd=1
(左辺)
=2(ac+bd)+ab+bc+cd+da
≧2(ac+bd)+4(acbd)^(1/2)
=2{(1+ac)+(1+bd)}
≧2*2{(1+ac)(1+bd)}^(1/2)
=(右辺)
- 479 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/05(金) 10:12:41.91 ]
- ↑
>>477
A536
- 480 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/06(土) 00:04:44.11 ]
- >>477
[B4370.]
頂点A,B,C,の対辺の長さを a,b,c とする。BC=a, CA=b, AB=c,
内心をIとおき、AI=u, BI=v, CI=w とおく。このとき次を示せ。
(a+b+c)(1/u+1/v+1/w) ≦ 3(a/u + b/v + c/w),
（略解)
a>b ⇔ BC > CA ⇔ ∠BAC > ∠ABC ⇔ ∠BAI > ∠ABI ⇔ BI > AI ⇔ v > u,
∴ {a,b,c} と {1/u,1/v,1/w} とは同順
あとはチェビシェフに任した…
- 481 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/06(土) 00:36:05.93 ]
- 質問スレに張られてた奴
a,b,c>0, abc=1のとき
1/(a^3(b+c))+1/(b^3(c+a))+1/(c^3(a+b))≧3/2
を示せ
- 482 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/06(土) 02:51:33.91 ]
- >>481
コーシーより、
(左辺) ≧ (1/a + 1/b + 1/c)^2 / {a(b+c) + b(c+a) + c(a+b)}
= (1/a + 1/b + 1/c)^2 / {2abc(1/a + 1/b + 1/c)}
= (1/a + 1/b + 1/c) / (2abc)
≧ 3/{2(abc)^(4/3)} (相加･相乗平均)
= 3/2,
※ a=1/x, b=1/y, c=1/z, xyz=1 とおく方法もある。
- 483 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/06(土) 07:12:31.74 ]
- >>482
成程な～
- 484 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/06(土) 11:26:48.95 ]
- >>482
＿＿＿
|┃三 .／ ≧ ＼ ちょ～っと待ったあ！！
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式ヲタ参上！
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
>>483の証明で、CS と AM-GM を用いて
1/(a^3(b+c))+1/(b^3(c+a))+1/(c^3(a+b)) ≧ 3/{2(abc)^(4/3)} …①
が示された。等号成立条件は a=b=c=1/3。 ここまでは見事ですが
だが、ここで abc=1より、①≧3/2 としていいのか？
①が成り立つのは a=b=c=1/3 のときであって、このとき abc = 1/27 なのだから、
①の右辺に abc=1 を代入してはダメじゃないの？
- 485 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/06(土) 12:53:39.49 ]
- >>484
出直してこい
- 486 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/06(土) 13:39:40.36 ]
- >>477
B4364
a+b≧2c
(a^2-b^2)/c≧2(a-b)…(1)
2a≧b+c
2(b-c)≧(b^2-c^2)/a
(c^2-b^2)/a≧2(c-b)…(2)
a+c＞b
(a^2-c^2)/b≧a-c…(3)
(1)(2)(3)を足して
(a^2-b^2)/c+(c^2-b^2)/a+(a^2-c^2)/b≧3a-4b+c
- 487 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/06(土) 13:42:38.09 ]
- ダメじゃないの。
- 488 名前：482 mailto:sage [2011/08/06(土) 14:17:02.81 ]
- >>484
等号成立条件は a=b=c=1。
が抜けてたな.....
ぬるぽ
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