- 1 名前：不等式ヲタ mailto:sage [2010/10/24(日) 23:56:56 ]
- ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
過去スレ
・不等式スレッド （Part1） science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第３章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第４章 kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
過去スレのミラー置き場：cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
まとめWiki wiki.livedoor.jp/loveinequality/
姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000
- 152 名前：147-148 mailto:sage [2011/02/04(金) 00:53:49 ]
- >>113
････つまり、本題は次の補題に帰着した。
〔補題〕
2次の正方行列 A,B について
det(A) + det(B) - tr(AB) + tr(A)･tr(B) = det(A+B),
(略証) 成分を使って計算するだけ。
- 153 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/04(金) 01:19:06 ]
- √2+√3＞πを示せ
ｴﾚｶﾞﾝﾄに頼むよ
- 154 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/04(金) 13:18:51 ]
- √2+√3=3.14626...>π
- 155 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/04(金) 13:21:32 ]
- ｴﾚｶﾞﾝﾄを 求めるのは厨房
- 156 名前：Fランク受験生 [2011/02/04(金) 13:43:44 ]
- >>152
〔補題〕
2次の正方行列 A,B について
det(A) + det(B) - tr(AB) + tr(A)･tr(B) = det(A+B),
計算しても等号がせいりつしません。
数値計算しても等号が成立しません。
どこがまちがっているのでしょうか
det(A) + det(B) - tr(AB) + tr(A)･tr(B) ー det(A+B)＝
a22 b11 + a23 a32 b11 + a33 b11 - a22 a33 b11 - a21 b12 - a23 a31 b12 +
a21 a33 b12 - a31 b13 + a22 a31 b13 - a21 a32 b13 - a12 b21 - a13 a32 b21 +
a12 a33 b21 + a33 b12 b21 - a32 b13 b21 + a11 b22 + a13 a31 b22 + a33 b22 -
a11 a33 b22 - a33 b11 b22 + a31 b13 b22 - a12 a31 b23 - a32 b23 +
a11 a32 b23 + a32 b11 b23 - a31 b12 b23 - a13 b31 + a13 a22 b31 -
a12 a23 b31 - a23 b12 b31 + a22 b13 b31 + a13 b22 b31 - a12 b23 b31 -
a13 a21 b32 - a23 b32 + a11 a23 b32 + a23 b11 b32 - a21 b13 b32 -
a13 b21 b32 + a11 b23 b32 + a11 b33 + a12 a21 b33 + a22 b33 - a11 a22 b33 -
a22 b11 b33 + a21 b12 b33 + a12 b21 b33 - a11 b22 b33
- 157 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/04(金) 13:51:59 ]
- >>156
お前、受験板に帰れよ！
カーッ(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)､ペッ
- 158 名前：１３２人目の素数さん mailto:しらんぞ [2011/02/04(金) 13:54:04 ]
- 147-148 は似非かはったりか？
- 159 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/04(金) 14:51:36 ]
- 新着レスがあると思ってみたら、便所の落書き未満だったり…
- 160 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/04(金) 18:28:28 ]
- >>158
ということになります。
- 161 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/04(金) 18:44:13 ]
- (π-x)^3=31 実数ｘをもとむ
ｴﾚｶﾞﾝﾄに頼むよ
- 162 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/04(金) 19:14:14 ]
- 156は何を計算してるのやら
2次の正方行列つってんだろが
- 163 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/04(金) 20:39:09 ]
- [問題]
正定値対称行列 A,B に対して tA + (1-t)B (0≦t≦1) に対して、
t の関数 f(t) = det (tA + (1-t)B)^{-1} は下に凸であることを示せ。
t det (A) + (1-t) det(B) ≦ det (tA + (1-t)B)．
- 164 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/04(金) 21:11:26 ]
- ばかばかし>>162
- 165 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/04(金) 21:13:14 ]
- えらそうにしている割に程度低すぎ>>162
- 166 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/04(金) 21:42:20 ]
- >>163
det (tA + (1-t)B)． はｎ次の多項式
t det (A) + (1-t) det(B) はｎの一次多項式
主張にムリガあるような気がするのだが？
たとえば ｔ＝～０
(1-t) det(B) ＞＝det ((1-t)B)．ｋｊなぜなら（１－ｔ）＞（１－ｔ）＾ｎ
- 167 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/04(金) 22:04:27 ]
- >>166
> たとえば ｔ＝～０
すまんが、ｔ＝～０ の意味を教えてもらえまいか？
- 168 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/04(金) 22:12:53 ]
-
～０
- 169 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/04(金) 22:18:54 ]
- 精子かＹＯ！
- 170 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/05(土) 00:51:07 ]
- >>163
det (tA + (1-t)B)． はｔのｎ次の多項式
t det (A) + (1-t) det(B) はｔの一次多項式
主張にムリガあるような気がするのだが？
- 171 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/05(土) 01:42:23 ]
- >>170
多項式の次数が違うことが、不等式が成立しないという根拠にはならんだろ。
例：実数 0< t <1 と自然数 n に対して、不等式 0< t^n < t は常に成立します。
- 172 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/05(土) 01:45:16 ]
- というか凸函数におけるイェンセンの不等式を知らんのか？
- 173 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/05(土) 02:48:24 ]
- >>170
多項式の次数が違うからといって、不等式が成立しないとは言ぇんぜん。
だな。
- 174 名前：163 [2011/02/05(土) 03:46:34 ]
- >>170
確かに主張は間違っていました。
（多項式の次数が違うからというのは理由にはなりません）
[>>163の訂正]
関数 f(t) = det (tA + (1-t)B )^{-1} は逆行列を取っているので、
凸性を表す不等式は（この f が凸であることを示すのが問い）
t f(1) + (1 -t) f(0) ≧ f(t)
これを書き換えると、
t det (A^{-1}) + (1-t) det(B^{-1}) ≧ det (tA + (1-t)B)^{-1}
と逆数を取った式でした。
あるいは、最初から A, B を逆行列 A^{-1}, B^{-1} （これらも正定値対称行列）にして
t det (A) + (1-t) det(B) ≦ det (t^{-1} A + (1-t)^{-1} B)
という不等式を得ます。
- 175 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/05(土) 04:02:00 ]
- >>166 >>170
t=0,1 のとき 左辺は０ゆえ、因数定理から
t･det(A) + (1-t)･det(B) - det{t･A + (1-t)･B} = t(1-t)f(t;A,B),
(例) n=2 の場合、
t･det(A) + (1-t)･det(B) - det{t･A + (1-t)･B} = t(1-t)det(A-B),
- 176 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/05(土) 06:13:39 ]
- >>166 >>170
t=0,1 のとき 左辺は０ゆえ、因数定理から
t^n･det{A} + (1-t)^n･det{B} - det{t･A + (1-t)･B} = t(1-t)g(t;A,B),
(例) n=2 の場合、
t^2･det{A} + (1-t)^2･det{B} - det{t･A + (1-t)･B} = t(1-t)(tr{AB}-tr{A}tr{B}),
- 177 名前：Fランク受験生 [2011/02/05(土) 21:00:57 ]
- ＞実数 0< t <1 と自然数 n に対して、不等式 0< t^n < t は常に成立します。
（１）n>=3のばあいは
（２）実数 0< t <1 と自然数 n に対して、不等式 0< an t^n+an-1t^(n-1)+,,, < t は常に成立しますか？
- 178 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/08(火) 14:47:14 ]
- 掃除していたら、昔のメモが出てきた、懐かしす…
問１．レベル（目糞）---------------------
a、b、c、d≧0 のとき、次式を証明せよ
1/a + 1/b + 4/c + 16/d ≧ 64/(a+b+c+d)
問２．レベル（鼻糞）---------------------
x、y、z≧0、x+y+z=1 のとき、次式を証明せよ
0 ≦ xy + yz + zx -2xyz ≦ 7/27
- 179 名前：回答ー目糞 mailto:どｇ [2011/02/08(火) 23:58:19 ]
- （１）P=1/a + 1/b + 4/c + 16/d - 64/(a + b + c + d)
q=abcd(a+b+c+d)P の極点をもとめると( 11個）
{(a,b,c,d)=(0,0,c,0),(0,0,0,d),(-d,0,0,d),(a,0,0,0),(a,0,-a,0),....(d/4,d/4.d/2.d)}
どの極点の値もｑ＝０になる。
ｑの形態から 是が最小値になる。
ｑ＞＝０
- 180 名前：回答ー鼻糞 mailto:ばかじゃなかろか [2011/02/09(水) 00:33:05 ]
- q=xy + yz + zx -2xyz-Lamda(x+y-1)
の局地をもとめて
(L,x,y,z)={(4/9,1/3,1/3,1/3),(1/2,0,1/2,1/2),...}
qの値は｛7/27,1/4,1/4,1/4}になる。
境界の(x､y､z)=(1,0,0) でｑ＝０
０≦ xy + yz + zx -2xyz ≦ 7/27
- 181 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/09(水) 02:29:03 ]
- >>178
問１（目糞）
{a, b, c/2, c/2, d/4, d/4, d/4, d/4} の8個で相加･調和平均あるいはコーシー
だな。
問２（鼻糞）
右側
-1/2 ≦ 1/2 -x, 1/2 -y, 1/2 -z ≦ 1/2, より
-(1/2)^3 ≦ (1/2 -x)(1/2 -y)(1/2 -z) < (1/2)^3,
上限は 3つの因子が同符号(正)のときで、相乗･相加平均より
(1/2 -x)(1/2 -y)(1/2 -z) ≦ {(3/2 -x -y -z)/3}^3 = (1/6)^3,
これを展開する。左側は (ry
- 182 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/09(水) 07:48:14 ]
- 問３．レベル（耳糞）-------------------------------
実数 x、y、z が、x+y+z=0 をみたすとき、次式を証明せよ
(|a|+|b|+|c|)^2 ≧ 2(a^2 + b^2 + c^2)
-----------------------------------------------
※ 差を取るのはミジンコでもできるので、エレガントに証明してください
ミジンコといえば…
www.yomiuri.co.jp/science/news/20110204-OYT1T00057.htm
※ さらに n乗の場合に拡張できるなら、お願いします
- 183 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/09(水) 07:49:18 ]
- >>182
ごめん、a、b、cをx、y、zで読み替えてください
- 184 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/11(金) 00:21:14 ]
- >>182-183
問３（耳糞）
ミジンコだが、差を取ってみた。
a+b+c = 0 より 三角不等式が成り立つ。
よって
(左辺) - (右辺) = 2|ab| + 2|bc| + 2|ca| - a^2 - b^2 - c^2
= |a|(|b|+|c|-|a|) + |b|(|c|+|a|-|b|) + |c|(|a|+|b|-|c|) ≧ 0,
- 185 名前：184 mailto:sage [2011/02/13(日) 02:46:47 ]
- >>183
ごめん、ａ、ｂ、ｃはｎ次元ベクトルだよね････
- 186 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/13(日) 05:53:59 ]
- >>153
あまりエレガントぢゃねぇが････
6 > 6 - 2/(9^2) = (22/9)^2,
∴ √6 > 22/9,
(√2 + √3)^2 = 5 + 2√6 > 89/9 = (22/7)^2 + 5/(21^2) > (22/7)^2,
∴ √2 + √3 > 22/7,
ところで、
(1/6)π^2 = ζ(2) < 5/3 - 1/48 < 5/3 - 1/49 = (1/6)(22/7)^2,
∴ 22/7 > π,
kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1287119136/187 , 199
東大入試作問者スレ１９
- 187 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/13(日) 06:02:07 ]
- 〔問題〕
(14/3)√(5/11) > √2 + √3 を示してくださいです。
- 188 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/13(日) 06:24:28 ]
- >>187
485 > (√484)(√486) = 22(9√6) = 99(2√6),
∴ 485/99 > 2√6,
∴ (14/3)^2･(5/11) = 980/99 > 5 + 2√6 = (√2 + √3)^2,
- 189 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/13(日) 11:06:40 ]
- >>136
Xは正定値なので、小行列式 det(A) >0である。
とくに A は正則行列なので、行列 X は以下のように分解できる。
[A B] ＝ [ I O][A B]
[C D] [CA^{-1} I][O D-CA^{-1}B]．
両辺の行列式を取れば、
det(X) = det(A)・det(D-CA^{-1}B)
ここで X は対称行列なので C=B^t で A^{-1} も正定値行列なので、
det(D-CA^{-1}B) = det (D - B^t A^{-1}B) ≦ det(D)．
よって、
det(X) ≦ det(A)・det(D)
が示された。
- 190 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/13(日) 17:13:26 ]
- >>189
上手いなあ・・・
- 191 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/13(日) 21:58:06 ]
- >>153
ちっともエレガントぢゃねぇが････
6 > 6 - 2/(9^2) = (22/9)^2,
∴ √6 > 22/9,
∴ (√2 + √3)^2 = 5 + 2√6 > 89/9,
ところで、
(1/6)π^2 = ζ(2) < 5/3 - 1/48 < 5/3 - 1/54 = (1/6)(89/9) < (1/6)(√2 + √3)^2,
∴ √2 + √3 > π,
kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1287119136/187 , 199
東大入試作問者スレ１９
- 192 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/14(月) 00:58:05 ]
- 〔補題〕
3 + 1/8 < 31^(1/3) < π < 355/113 < 22/7 < √2 + √3 < √10,
kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1287119136/220-222
東大入試作問者スレ１９
・3 + 1/8 < 31^(1/3) は
(3 + 1/8)^3 = 27 +27/8 +9/64 +(1/8)^3 = 31 -(5 -9/8 -1/64)/8 < 31,
・355/113 = 3 + 16/113 < 3 + 16/112 = 3 + 1/7 = 22/7,
・22/7 < √2 + √3 は >>186
・√2 + √3 < √10 は
y = √x は上に凸: √a + √b < 2√{(a+b)/2} = √{2(a+b)},
あるいは √a + √b = √{2(a+b) - (√a -√b)^2} ≦ √{2(a+b)},
- 193 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/14(月) 14:02:05 ]
- π^6 = 945ζ(6) = 945*(1+1/2^6+1/3^6+...)
> 945*(1+1/2^6+1/3^6) = 945 + 945/64 + 35/27 = 945 + (14*64+48+1)/64 + {1+ (27+5)/(27*4)} = 961 + 1/64 + 5/108
> 961 = 31^2 = ([3]√31)^6
- 194 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/15(火) 02:48:13 ]
- >>193
お見事でござる。それでは次を出さねば････
〔補題〕
31^(1/3) < 306^(1/5) < π
左側は
31^3 = 29791 < 29800,
31^5 < 29800*31*31 = 298*310*310 < 306^3, (相乗･相加平均)
ハｧハｧ
- 195 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/16(水) 21:56:14 ]
- このレベルの不等式を示すのに、(1/6)π^2 = ζ(2) を使うのはナンセンス。
証明すべきことより、(1/6)π^2 = ζ(2) の証明の方が遥かに難しく、証明になっとらんわｗ
ていうか、ここいつから大学入試問題スレになったんだよｗ
糞みたいな問題ばっかりで、詰まらない。
受験生は受験板でやれや
どうせ sin の無限積展開とか知らん奴は (1/6)π^2 = ζ(2) の事実を使うな！
- 196 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/16(水) 21:57:24 ]
- >>191-194
巣に戻れやボケ！
- 197 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/16(水) 22:23:34 ]
- 君こそ消えたまえ！
- 198 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/16(水) 23:09:57 ]
- sin(23^23)>1/2
- 199 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/17(木) 06:26:46 ]
- >>197
あんたこそスレ違い
ここは受験問題のスレじゃない！
しかも、他スレのコピペだし
- 200 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/17(木) 12:29:35 ]
- 157 ：１３２人目の素数さん：2011/02/04(金) 13:51:59
>>156
お前、受験板に帰れよ！
カーッ(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)､ペッ
- 201 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/17(木) 14:14:52 ]
- どうして荒れるのかなぁ…
初代スレからの住人としては悲しい限り
- 202 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/17(木) 14:33:46 ]
- このスレは今まで荒れることがなかったから耐性ないねｗ
スレの数が減ったために目につきやすくなったからある程度は仕方ないね。
スルーしとけばいいと思うよ。
- 203 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/18(金) 13:53:48 ]
- >>201
入試問題ばかりになっちまったからだろ
スレ住人が塾講師の連中ばかりになっちまったというよ。
- 204 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/18(金) 22:38:59 ]
- >>198 お願いします
- 205 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/19(土) 21:50:20.35 ]
- >>198 >>204
www.wolframalpha.com/input/?i=Sin%5B23%5E23%5D
と言う他はない。
- 206 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/20(日) 00:42:17.01 ]
- >>194
このレベルの不等式を示すのに (1/93555)π^10 = ζ(10) を使うのはナンセンス。
証明すべきことより、(1/93555)π^10 = ζ(10) の事実の方が遥かに難しいから、証明になっとらんわｗ
とは思いつつ････
π^10 = 93555ζ(10)
= 93555･{1 + (1/2)^10 + ････}
> 93555･(1 + 1/1024)
> 93555･(1 + 1/1155)
= 93555 + 91
= 93646
= 306^2,
- 207 名前：206 mailto:sage [2011/02/20(日) 03:54:59.36 ]
- >>194 (訂正)
π^10 = ････
= ･････
> 93555･(1 + 1/1155)
= 93555 + ８1
= 936３6
= 306^2,
∴ 306^(1/5) < π
- 208 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/20(日) 04:19:51.61 ]
- >>192
y=1/x^6 は下に凸だから
1/k^6 < ∫[k-0.5, k+0.5] 1/x^6 dx = (1/5){1/(k-0.5)^5 - 1/(k+0.5)^5},
これを使って
(1/945)π^6 = ζ(6)
= 1 + 1/2^6 + 1/3^6 + ････
< Σ[k=1,n] 1/k^6 + ∫[n+1/2,∞) 1/x^6 dx
= 1 + 1/2^6 + 1/3^6 + 1/4^6 + 1/5^6 + 1/6^6 + 1/(5*6.5^5) (n=6 とおく)
= 1 + (3^6 + 2^6 + 1)/(6^6) + 1/4^6 + 1/5^6 + 32/(5*13^5)
= 1 + 794/(6^6) + 1/4^6 + 1/5^6 + 32/(5*13^5)
< 1 + (35431020482 + 508289003 + 133244913 + 35886729)/(113^6)
= 1 + 36108441127/(113^6)
= 1 + 34122476865015/(945･113^6)
< 1 + 34122530050120/(945･113^6)
= (1/945)(355/113)^6,
∴ π < 355/133 ･･････ 密率（「隋書」）
祖沖之（429-500）
- 209 名前：208 mailto:sage [2011/02/20(日) 04:33:00.68 ]
- >>192
またまた訂正････
π < 355/1１3 ･･････ 密率
π < 22/7 ･･････ 約率
- 210 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/20(日) 07:58:37.53 ]
- 222/77 < π < 22/7
- 211 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/20(日) 08:02:12.86 ]
- 3555/1133 < π < 355/1１3
- 212 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/20(日) 11:38:15.55 ]
- 〔問題649〕
a,b,c>0 のとき a+b+c=s とおくと
a/√(s-b) + b/√(s-c) + c/√(s-a) < (5/4)√s,
casphy - 高校数学 - 不等式スレ 330, 375-376
→ 前スレ.649
- 213 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/20(日) 23:44:56.31 ]
- >>195
正n角形とその内接円・外接円を使うのは、面倒な割に、精度がいまいち････
ζ函数の方が効率がいいし･･･
他にいい方法がないかと思う今日この頃･･･
- 214 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/26(土) 05:15:12.79 ]
- 今年の京大
1/2＜a[i]＜1のとき
Π(1-a[i])＞1-2Σ(a[i]/2^i)
(i=2,3,…n)
- 215 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/27(日) 07:19:26.19 ]
- >>214
左辺を P[n] とおくと、
P[n] = P[n-1]･(1-a[n])
= P[n-1] - a[n]･P[n-1]
= ･････
= 1 - Σ[i=1,n] a[i]･P[i-1]
と
P[0] = 1,
P[i] < 1/(2^i) (i≧1)
から。
nyushi.yomiuri.co.jp/11/sokuho/kyoto/zenki/sugaku_ri/images/mon4_1.gif
kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1287119136/253
東大入試作問者スレ１９
- 216 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/27(日) 10:20:07.83 ]
- 〔問題〕
0 < x < π のとき 次を示せ。
(1) 1/sin(x) - 1/x > x/6,
(2) {1/sin(x)}^2 - 1/x^2 > 1/3,
- 217 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/28(月) 03:57:23.98 ]
- 今年の阪大で不等式の問題が出たが、難問だったらしい
- 218 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/28(月) 06:32:54.58 ]
- >>217
+ +
∧＿∧ +
（0ﾟ・∀・） ﾜｸﾜｸ、ﾃｶﾃｶ…
（0ﾟ∪ ∪ +
と＿_）__） +
- 219 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/28(月) 10:19:21.16 ]
- 阪大のってこれか
nyushi.nikkei.co.jp/honshi/11/ha1-21p.pdf
- 220 名前：Fランク受験生 mailto:age [2011/03/03(木) 00:49:07.67 ]
- 内容は簡単だと思うけど計算間違いをしているかも。。。
(1)
S(a)=(1/2)(a^2+1)^(n-1)
(2)
a=4 のときｘ＝１．７６になる
- 221 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/03(木) 23:48:54.04 ]
- >>217
全然難問じゃないじゃん。
大数で言うと C*** クラス。
- 222 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/04(金) 02:52:40.02 ]
- ↑ 解いてから言え
- 223 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/04(金) 08:37:16.00 ]
- 新参はまず過去レスを読んでこのスレの空気を知ってほしいね。
- 224 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/04(金) 08:47:21.33 ]
- 数人の自演ｽﾚだからなぁ
- 225 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/04(金) 09:37:23.59 ]
-
／￣￣＼
／ _ノ ＼
| （ ●）（●） ＜おっとそこまでだ
. | （__人__）＿＿＿_
| ｀ ⌒／ ─' 'ー＼
. | ／（ ○） （○）＼
. ヽ ／ ⌒（n_人__）⌒ ＼
ヽ |、 （ ヨ |
/ `ー─－ 厂 ／ ←>>224
| ､ ＿ __,,／ ＼
- 226 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/04(金) 10:49:02.96 ]
- その後224の行方を知る者は誰もいなかった。
- 227 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/05(土) 12:42:07.49 ]
- >>226
kotonoha.cc/no/54040
- 228 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/07(月) 21:32:08.20 ]
- もう工房の入試問題スレになっちまったな・・・orz
- 229 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/07(月) 21:46:33.46 ]
- ageんな
- 230 名前：猫は廃人 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/03/08(火) 13:50:17.70 ]
- 猫
- 231 名前：猫はボケ老人 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/03/08(火) 19:29:40.79 ]
- 猫
- 232 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/08(火) 19:36:06.98 ]
- 猫は小便垂れ流し
- 233 名前：猫はボケ老人 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/03/08(火) 19:40:50.01 ]
- 目的を達成スル為であれば小便でも何でも垂れ流しますワ。
猫
- 234 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/14(月) 01:35:56.47 ]
- 「不等式」大関清太
www.kyoritsu-pub.co.jp/series/kandokoro.html#zokkan
∧＿∧
( ;´∀｀) ＜ こ、こりゃたまらんっ！
人 Y /
( ヽ し
（＿）＿）
- 235 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/17(木) 15:37:44.25 ]
- a,b,c,dをabcd=1を満たす正の実数とするとき,
(a-1)(3a-7)+(b-1)(3b-7)+(c-1)(3c-7)+(d-1)(3d-7)≧0
を証明せよ。
- 236 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/19(土) 01:36:36.10 ]
- >>235
(左辺) = f(log(a)) + f(log(b)) + f(log(c)) + f(log(d)),
ここで
f(x) = (e^x - 1)(3e^x - 7) = 3(e^x - 5/3)^2 - 4/3 ≧ -4/3,
とおいた。
f "(x) = 12{e^x - (5/6)}e^x > 0, (x≧0)
ゆえ、
x≧0 では f は下に凸。
f '(0) = -4,
k = -0.64298265 = log(0.5257220384) < x < 0 では f(x) > -4x,
そこで
F(x) = f(x), x < k, 0 < x
= -4x, k ≦ x ≦ 0
とおく。(函数凸包、function convex hull)
F(x) は x ≧ k で下に凸（広義）である。
(1) a,b,c,d ≧ e^k のとき、凸不等式より
(左辺) ≧ F(log(a)) + F(log(b)) + F(log(c)) + F(log(d))
≧ 4F(log(abcd)/4) = 4F(0) = 4f(0) = 0,
(2) a,b,c,d の中に e^k より小さいものが1つだけある(a)とき、凸不等式より
f(log(b)) + f(log(c)) + f(log(d)) ≧ F(log(b)) + F(log(c)) + F(log(d))
≧ 3F(log(bcd)/3) = 3F(-log(a)/3) = 3f(-log(a)/3)
(左辺) ≧ f(log(a)) + 3f(-log(a)/3) ≧ f(k) + 3f(-k/3) = 0.21780074,
(3) a,b,c,d の中に e^k より小さいものが2つ以上ある(a,b)とき
f(log(a)) ≧ f(log(b)) ≧ 2.5719306, f(log(c))≧-4/3, f(log(d))≧-4/3,
により成立。
- 237 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/22(火) 06:15:56.83 ]
- 今月は不等式が一杯載っている
Problem 365.
www.math.ust.hk/excalibur/v15_n4.pdf
- 238 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/22(火) 06:18:57.91 ]
- C950、M1862、C944など
www.mat.uniroma2.it/~tauraso/GRA20/main.html
- 239 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/25(金) 23:48:58.94 ]
- >>237
Problem 365.
負でない実数 a,b,c が ab+bc+ca = 1 を満たすとき、
1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a) - 1/(a+b+c) ≧ 2,
を示せ。
- 240 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/26(土) 01:40:10.75 ]
- >>239
俺もこれが面白いと思った
まだ解けぬ～
- 241 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/27(日) 23:30:24.83 ]
- >>239-240
附帯条件から考えて、a→cotα, b→cotβ, c→cotγ と置いてみる･･･
α+β+γ = π より,
(左辺) = 1/(cotα+cotβ) + 1/(cotβ+cotγ) + 1/(cotγ+cotα) - 1/(cotα+cotβ+cotγ)
= (sinα･sinβ)/sin(α+β) + (sinβ･sinγ)/sin(β+γ) + (sinγ･sinα)/sin(γ+α) - (sinα･sinβ･sinγ)/(1-cosα･cosβ･cosγ)
= (sinα･sinβ)/sinγ + (sinβ･sinγ)/sinα + (sinγ･sinα)/sinβ -2(sinα･sinβ･sinγ)/[(sinα)^2 + (sinβ)^2 + (cosγ)^2]
= (sinα･sinβ･sinγ){(1/sinα)^2 + (1/sinβ)^2 + (1/sinγ)^2 - 2/[(sinα)^2 + (sinβ)^2 + (cosγ)^2]}
= 2⊿･{(1/a')^2 + (1/b')^2 + (1/c')^2 -2/[(a')^2 + (b')^2 + (c')^2]}
= ････
ここに、 a'=2R･sinα, b'=2R･sinβ, c'=2R･sinγ, ⊿ = 2R^2･sinα･sinβ･sinγ,
まだ解けぬるぽ～
- 242 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/28(月) 07:26:05.27 ]
- 1/x+y+1/y+z+1/z+x-1/x+y+z
=1/x+y+z*(z/x+y+x/y+z+y/z+x)+2/x+y+z
>=1/x+y+z*(x+y+z)^2/2(xy+yz+zx)+2/x+y+z
=x+y+z/2+2/x+y+z>=2 Q.E.D.
- 243 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/28(月) 08:37:32.00 ]
- >>242
エスパー検定３級の俺には、どれが分母なのか読み取れねぇ・・・
- 244 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/28(月) 09:52:08.74 ]
- >242
2行目から3行目に何を使ったのか分からない
1/(x+y) + 1/(y+z) + 1/(z+x) - 1/(x+y+z)
= 1/(x+y) + 1/(y+z) + 1/(z+x) - 3/(x+y+z) + 2/(x+y+z)
1/(x+y+z)で括る
= {1/(x+y+z)}*{(x+y+z)/(x+y) + (x+y+z)/(y+z) + (x+y+z)/(z+x) - 3} + 2/(x+y+z)
= {1/(x+y+z)}*{1 + z/(x+y) + 1 + x/(y+z) + 1 + y/(z+x) - 3} + 2/(x+y+z)
= {1/(x+y+z)}*{z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)} + 2/(x+y+z)
後は頼んだ>243
- 245 名前：243 mailto:sage [2011/03/28(月) 10:52:27.44 ]
- では、引き継いで頑張ってみます
3(x^2 + y^2 + z^2) - (x+y+z)^2 = (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 ≧ 0
∴(x^2 + y^2 + z^2) ≧ (1/3)*(x+y+z)^2
z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)
＝ z^2/(zx+yz) + x^2/(xy+zx) + y^2/(yz+xy)
≧ z^2/(xy+yz+zx) + x^2/(xy+yz+zx) + y^2/(xy+yz+zx)
＝ (x^2 + y^2 + z^2)
≧ (1/3)*(x+y+z)^2
>>242の４行目から
＝ {1/(x+y+z)}*{z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)} + 2/(x+y+z)
≧ (x+y+z)/3 + 2/(x+y+z)
≧ 2√(2/3)
うむ、失敗したようじゃ…
- 246 名前：243 mailto:sage [2011/03/28(月) 10:56:30.96 ]
- >>245
>>242の４行目から → >>244の下から２行目から
だけど、もはやどうでもいい…
- 247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/29(火) 02:54:50.22 ]
- >>241
鋭角△に限定しなければならぬ～
(a')^2 + (b')^2 ≧ (c')^2, etc.
- 248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/03(日) 15:07:21.35 ]
- >>238
M1852.
f∈ C^1([0,1]) で f(0) = f(1) = -1/6. のとき次を示せ。
∫[0,1] {f '(x)}^2 dx ≧ 2∫[0,1] f(x) dx + 1/4,
- 249 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/03(日) 15:38:26.07 ]
- >>248
部分積分により
(右辺) = 2[ (x - 1/2)f(x) ](x=0,1) -2∫[0,1] (x - 1/2)f '(x)dx + 1/4
= f(0) + f(1) + 1/4 -2∫[0,1] (x - 1/2)f '(x) dx
= -1/12 -2∫[0,1] (x - 1/2)f '(x) dx,
∫[0,1] (x - 1/2)^2 dx = [ (1/3)(x - 1/2)^3 ](x=0,1) = 1/12,
よって
(左辺) - (右辺) = ∫[0,1] {f '(x) + (x - 1/2)}^2 dx ≧ 0,
- 250 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/03(日) 15:43:12.09 ]
- >>249
x - 1/2 という発想はどこから？
- 251 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/03(日) 18:18:19.82 ]
- >>238
C925.
f ∈ Ｃ^2([0,1]) で
∫[0,1] f(x)dx = 2∫[1/4,3/4] f(x)dx,
のとき、f "(x0) =0 を満たす点 x0 ∈ (0,1) が存在することを示せ。
C932.
f : [0,1] → Ｒ は連続関数
∫[0,1] {f(x)}^3 dx = 0,
のとき、次を示せ。
∫[0,1] {f(x)}^4 dx ≧ (27/4){∫[0,1] f(x)dx}^4,
C944.
f ∈ Ｃ^1([0,1])
∫[0,1] f(x) dx = 0,
A ≦ f '(x) ≦ B x∈[0,1]
のとき、次を示せ。
A ≦ 12∫[0,1] x･f(x)dx ≦ B,
- 252 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/03(日) 18:49:37.86 ]
- >>251
C925.
(左辺) - (右辺)
= ∫[0,1/4] f(x)dx - ∫[1/4,1/2] f(x)dx - ∫[1/2,3/4] f(x)dx + ∫[3/4,1] f(x)dx
= ∫[0,1/4] {f(x) -f(x+1/4) -f(x+1/2) +f(x+3/4)} dx
= ∫[0,1/4] g(x) dx
平均値の定理より
= (1/4)g(a) (0<a<1/4)
= (1/4){f(a) -f(a+1/4) -f(a+1/2) +f(a+3/4)}
= (1/16){f '(b) - f '(c)} (a<b<a+1/4, a+1/2<c<a+3/4)
= (1/16)(b-c)f "(x0), (b<x0<c)
|
 |
