不等式への招待 第４章

1 名前：１３２人目の素数さん [2009/06/15(月) 19:00:00 ] ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める… 　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 ----- 　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　 　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　 　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ ＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　 　　　黙っちゃゐられねゑ… 　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　　　 　　 　　　　ﾊｧﾊｧ 　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ 過去スレ ・不等式スレッド （Part1）　 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/ ・不等式への招待 第２章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/ ・不等式への招待 第３章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/ 過去スレのミラー置き場：cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/ まとめWiki　wiki.livedoor.jp/loveinequality/ 姉妹サイト（？） Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000 82 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/01(水) 19:30:26 ] >>79 簡単な計算により 　F[2n] = 2 F[n+1] F[n] - F[n]^2 よって 　F[2n] ≧ 2 F[n]^2 - F[n]^2 = F[n]^2 　F[2n] ≦ F[n+1]^2 - (F[n-1] - F[n])^2 ≦ F[n+1]^2 83 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/01(水) 19:31:11 ] >>82 最後の行のF[n-1]はF[n+1]の間違い 84 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/01(水) 20:54:48 ] >>81 F[n+1] F[n] F[n] F[n-1] という行列M[n]を作ると、(F[0]=0) 11 10 のｎ乗になるから M[2n]=M[n]^2 より簡単な関係式が出てくるちゅーこと。 かなり荒い評価であることも分かります。 85 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/01(水) 22:08:45 ] >>79 加法公式　F[m+n+1] = F[m+1]F[n+1] + F[m]F[n] により 　F[2n] = F[n]F[n+1] + F[n-1]F[n], よって 　F[2n] ≧ F[n]F[n] + F[n-1]F[n] = {F[n]+F[n-1]}F[n] = F[n+1]F[n], 　F[2n] ≦ F[n]F[n+1] + F[n-1]F[n+1] = {F[n]+F[n-1]}F[n+1] = F[n+1]^2, science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1073918716/011 ,038 フィボナッチ数列の定理スレ 86 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/01(水) 23:24:35 ] >>67 　2^(n-1) ･ 3^(n-2) … (n-1)^2 ･ n^1 = 2!･3!････(n-1)!n! = m_n, 　2^2 ･ 3^3 ･ ･… (n-1)^(n-1) ･n^n = M_n, とおくと、 　m_n・M_n = (n!)^(n+1),　　　　　　　　　　　　　　････････(1) 一方、補題↓ より 　M_n / e^(n(n-1)/2) < m_n < M_n / e^(n(n-1)/2),　　･･･････(2) (1)､(2)より 　(n!)^((n+1)/2) / e^(n(n-1)/4) < m_n < (n!)^((n+2)/2) / e^(n(n-1)/4), 　(n!)^(n/2)・e^(n(n-1)/4) < M_n < (n!)^((n+1)/2)・e^(n(n-1)/4), 〔補題30〕k≧2 のとき 　k^k /e^(k-1) < k! < k^(k+1) /e^(k-1), k=2〜n とおいて辺々掛けると 　M_n / e^(n(n-1)/2) < m_n < M_n / e^(n(n-1)/2), science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1242389481/030-031 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1242389481/039-042 東大入試作問者スレ１７ 87 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/02(木) 00:19:45 ] >>84 なるほど。thx 88 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/02(木) 03:14:20 ] |x･y^2･z^3|/(1+x^2+y^2+z^2)^4≦K 89 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/02(木) 20:04:24 ] >>88 w=1 とおく。 w^2 = W, 2x^2 = X, y^2 =Y, (2/3)z^2 = Z とおく。 {W,W,X,Y,Y,Z,Z,Z} の8個で相乗･相加平均すると、 　(W^2･X･Y^2･Z^3)^(1/8) ≦ (W+W+X+Y+Y+Z+Z+Z)/8, 　(16/27)^(1/8)(w^2･x･y^2･z^3)^(1/4) ≦ (w^2 + x^2 + y^2 + z^2)/4, 両辺を4乗して 　{4/(3√3)}|w^2･x･y^2･z^3| ≦ (w^2 + x^2 + y^2 + z^2)^4 /256, よって 　|w^2･x･y^2･z^3| / (w^2 + x^2 + y^2 + z^2)^4 ≦ (3√3)/1024 = K, 等号成立は W=X=Y=Z, すなわち x={1/(√2)}w, y=w, z={√(3/2)}w のとき。 90 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/02(木) 20:09:25 ] 問題仕入れてきた 91 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/02(木) 22:23:43 ] 問1 1辺が1の正方形の各辺上に4点をとる この4点を頂点とする四角形の周の長さは2√2以上であることを示せ 問2 ∠A=20ﾟ，AB=ACの二等辺三角形がある 2AB<AC<3ABを示せ 問3 三角形ABCにおいてBCの中点をMとするとき 2AM>AB+AC-BCを示せ 問4 AB>ACの△ABCにおいてBCの中点をMとする ∠BAM<∠CAMを示せ 問5 0<x≦y≦z，1/10≦y，xyz=1のとき (1+logx)(1+logy)(1+logz)≦1を示せ ただしlogの底は10とする 問6 0<xで定義された連続関数f(x)が 0<x,yにおいて，f(xy)=f(x)+f(y) 任意の自然数nにおいて，f(n)<f(n+1) を満たすとき f((x+y)/2)≧(f(x)+f(y))/2を示せ 92 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/03(金) 00:45:51 ] (；´д｀) ﾊｧﾊｧ… 93 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/03(金) 06:30:53 ] 問2 ∠A=20ﾟ，AB=ACの二等辺三角形がある 2BC<AC<3BCを示せ ~~~~~~~~~~~~~~ ABじゃなくBC 94 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/03(金) 18:51:12 ] 四面体のある1辺をとり、その辺をBCとし、BC=1とする。四面体A-BCDにおいて、AからBCに下ろした垂線の長さとDからBCに下ろした垂線の長さはともに1/2以上となる。 このような1辺がとれることを示せ。 お願いします。 95 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/03(金) 20:28:15 ] 問題文書き直します。 任意の四面体について、ある1辺をとり、その辺をBCとする。このとき、四面体をA-BCDとすると、AからBCに下ろした垂線の長さとDからBCに下ろした垂線の長さはともに(1/2)*BC以上となる。 このようなある1辺(=BC)がとれることを示せ。 96 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/03(金) 22:52:38 ] >>91 問1 　(a+b)^2 > a^2 + b^2 = (1/2)(a+b)^2 + (1/2)(a-b)^2 ≧ (1/2)(a+b)^2, 直角3角形の辺の長さを a,b,c とすると 　a+b > c = √(a^2 + b^2) ≧ (a+b)/√2, 4辺について たす。 　(□の周長) > (◇の周長) ≧ (□の周長)/√2, □が正方形ぢゃなくて長方形の場合も同様。 　 問2 　Aを中心として、△ABCと合同な三角形を18個並べる。→　この正18角形は、半径AB の円に内接する。 ∴ 2π*AB > 周長 = 18*BC, ∴ AB /BC > 18/(2π) = 2.864789 　 問3 Mは線分BC上の点だから、三角不等式より 　AM > AB - MB, 　AM > AC - MC, 辺々たす。 97 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/03(金) 22:54:54 ] >>91 　 問4 題意より 　BM = CM, 　∠AMB + ∠AMC = 180ﾟ ゆえ sin(∠AMB) = sin(∠AMC), よって正弦定理から 　AB･sin(∠BAM) = BM･sin(∠AMB) = CM･sin(∠AMC) = AC･sin(∠CAM), 　 問5 題意より　1+log(z) ≧ 1+log(y) ≧0, ・1+log(x) ≦0 のとき、　(左辺) ≦0 < 1, ・1+log(x) >0 のとき、相乗･相加平均より 　　(左辺) ≦ {[3+log(x)+log(y)+log(z)]/3}^3 = {[3+log(xyz)]/3}^3 = {[3+log(1)]/3}^3 = 1, 　 問6 　f(exp(u)) = g(u) とおくと、 　g(u+v) = f(exp(u+v)) = f(exp(u)exp(v)) = f(exp(u)) + f(exp(v)) = g(u) + g(v),　････ 加成性 ∴　g(u) = au, ∴　f(x) = g(log(x)) = a･log(x), 題意より a>0, なので y=f(x) は上に凸. ぬるぽ 98 名前：96-97 mailto:sage [2009/07/03(金) 23:19:42 ] >>91 問2 　この正18角形は、半径 √{AB^2 -(BC/2)^2} の円に外接するから、 　周長 = 18*BC > 2π√{AB^2 - (BC/2)^2}, 　AB/BC < √{(18/2π)^2 + (1/4)} = 2.908095 99 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/03(金) 23:20:29 ] ＞問6 ＞　f(exp(u)) = g(u) とおくと、 ＞　g(u+v) = f(exp(u+v)) = f(exp(u)exp(v)) = f(exp(u)) + f(exp(v)) = g(u) + g(v),　････ 加成性 ＞∴　g(u) = au, ＞∴　f(x) = g(log(x)) = a･log(x), ＞題意より a>0, なので y=f(x) は上に凸. ＞∴　g(u) = au, これはアリなのか？ ガッ 100 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/03(金) 23:26:50 ] >>94 >>95 それって締切前の問題じゃないか？ 自分の頭で考えろよ 101 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/03(金) 23:40:14 ] >>100 なんか勘違いしてません？ 102 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/04(土) 00:08:13 ] いびつなサイコロがあり、1から6までのそれぞれの目が出る確率が1/6とは限らないとする。 このさいころを2回ふったとき同じ目が出る確率をPとし、 1回目に奇数、2回目に偶数の目が出る確率をQとする。 (1)　P≧1/6であることを示せ。また、等号が成立するための必要十分条件を求めよ。 (2)　1/4≧Q≧(1/2)-(3/2)Pであることを示せ。 A=1/(21･1009)，B=[{1+(1/2009)}^(1/21)]-1，C=1-[{1-(1/2009)}^(1/21)]とする。 これらの中で最大のものと、最小のものを答えよ。 103 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/04(土) 02:03:19 ] ここを見ると格の違いを感じるorz 104 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/04(土) 13:28:02 ] >>91 問2 合同な三角形を3つ並べる. (頂点Aを重ねる.) 　△ABC ≡ △ACD ≡ △ADE, 　∠BAE = 3∠A = 60ﾟ, 　AB = AE, ∴　△ABE は正三角形. 　AB = BE < BC + CD + DE = 3BC, BEとACの交点をC',BEとADの交点をD'とおく. 　∠CBC' = ∠B - ∠ABE = 20ﾟ = ∠A, ∴　∠BC'C = 180ﾟ - ∠A - ∠C = ∠C, ∴　△BCC' は二等辺三角形. 　BC'= BC, 同様に D'E = DE, ∴　AB = BE > BC' + D'E = BC + DE = 2BC, >>98 は牛刀････ 105 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/04(土) 15:34:28 ] ｶｳｶﾞｰﾙが通ります 　　 ﾊ,,ﾊ　　　　ﾓｫ 　　||ﾟωﾟ||ﾚ　　　_)_, ―‐ 、 　　/(Ｙ (ヽ＿ /・ ヽ　　　 ￣ヽ 　　∠＿ゝ　 ｀ ^ヽ　ﾉ.::::::__( ノヽ 　　　_/ヽ　 　　 　/ヽ￣￣/ヽ 106 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/04(土) 15:41:57 ] >>102 (下) 　n = 21, h = 1/2009, とおく。 　A = h/n,　B = (1+h)^(1/n) -1, C = 1 -(1-h)^(1/n), 　(1+A)^n - (1+B)^n = (1 + h/n)^n - (1+h) = �納k=2,n] Ｃ[n,k] (h/n)^k >0, 　(1-A)^n - (1-C)^n = (1 - h/n)^n - (1-h) = �納k=2,n] Ｃ[n,k] (-h/n)^k 　　　≧ �納j=1,[(n-1)/2]] {Ｃ[n,2j] - Ｃ[n,2j+1](h/n)} (h/n)^(2j) 　　　≧ �納j=1,[(n-1)/2]] Ｃ[n,2j] (1-h) (h/n)^(2j) >0,　　　　　　　(*) よって C > A > B, ※　Ｃ[n,2j+1](1/n) = ((n-2j)/n)(1/(2j+1))Ｃ[n,2j] ≦ Ｃ[n,2j] 107 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/04(土) 21:18:31 ] >102 (下) 　n = 21, h = 1/2009, とおく。 　A = h/n,　B = (1+h)^(1/n) -1, C = 1 -(1-h)^(1/n), 　x^n - {1 + n(x-1)} = (x-1){Σ[k=1,n-1] x^k - n} = (x-1)^2･{Σ[k=0,n-2] (n-1-k)x^k } ≧ 0. に x = 1±(h/n) を代入。 108 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/04(土) 22:14:28 ] >>101 勘違い？ してないと思うが。 件の問題の一過程だろ？ 109 名前：101 mailto:sage [2009/07/04(土) 22:16:13 ] もっと言うと、この前別のところに 「三角形の内部の点に対して3頂点からの積が云々」 という質問も見かけたが君ではないのかな？ 110 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/04(土) 23:20:37 ] 奉納 実数x［i］，a［i］，b［i］，c［i］（i＝1，2，3）は，以下の条件（い）〜（に）を満たすものとする。 （い） x［1］≦x［2］≦x［3］ （ろ） i＝1，2，3に対してa［i］≧0，b［i］≧0，c［i］≧0 （は） i＝1，2，3に対してa［i］＋b［i］＋c［i］＝1 （に） a［1］＋a［2］＋a［3］＝b［1］＋b［2］＋b［3］＝c［1］＋c［2］＋c［3］ 実数y［i］（i＝1，2，3）を y［1］＝a［1］x［1］＋a［2］x［2］＋a［3］x［3］ y［2］＝b［1］x［1］＋b［2］x［2］＋b［3］x［3］ y［3］＝c［1］x［1］＋c［2］x［2］＋c［3］x［3］ により定義する。 y［1］＋y［2］≧x［1］＋x［2］を示せ。 111 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/05(日) 00:16:06 ] 実数c（0＜c＜1）と，実数x，y，a，bの間に ｜x−a｜＜c，｜y−b｜＜c という関係があるとき， ｜xy−ab｜＜（c＋｜a｜＋｜b｜）c が成り立つことを証明せよ。 112 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/05(日) 01:38:20 ] 『x^2+y^2+z^2=1のとき、2x+2y+2zの最大値を求めよ』 A君はこの問題を次のように解いた 「x,y,z≧0のとき考えれば十分である 4 =(x^2+1)+(y^2+1)+(z^2+1) ≧2x+2y+2z 等号成立条件よりx=y=z=1のとき最大値4」 さてこれはなぜ間違ってるのだろうか？ 113 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/05(日) 02:21:16 ] >>112 x=y=z=1 は x^2+y^2+z^2=1 に矛盾 114 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/05(日) 02:48:37 ] >>112 最大値の求め方について、ろくに考えずに 図形的解法、シュワちゃん殺法くらいしか思いつかんけど、 他にもありますか ( ﾟ∀ﾟ)？ 115 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/05(日) 03:16:31 ] x,y,z≧0のとき考えれば十分である 6 =(3x^2+1)+(3y^2+1)+(3z^2+1) ≧√3(2x+2y+2z) 等号成立条件よりx=y=z=1/√3のとき最大値2√3 これだと矛盾が生じないんだよな・・・ 116 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/05(日) 03:39:00 ] >>112 3 = 3(x^2 + y^2 + z^2) 　= (x+y+z)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 + (x-y)^2 　≧ (x+y+z)^2 　= (1/4)(2x+2y+2z)^2, これでも矛盾しないでつ･･･ 117 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/05(日) 03:44:07 ] むかしむかし、きびだんごが一つありました イヌとサルが食べなければ、キジがだんごを食べられます サルとキジが食べなければ、イヌがだんごを食べられます キジとイヌが食べなければ、サルがだんごを食べられます みんなきびだんごを食べることができました。めでたしめでたし さてこれはなぜ間違ってるのだろうか？ 118 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/05(日) 04:01:13 ] 何か混乱してきたぜ 求めることは示すことより難しい 119 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/05(日) 04:53:13 ] >>117 もしかして、「が」と「は」の違い、という日本語論でしょうか？ 120 名前：猫⊂社会の屑 ◆ghclfYsc82 mailto:sage [2009/07/05(日) 09:38:47 ] ちょっと腹が減ったんだけどサ、吉備団子っちゅう気はせんわな そやけど、また蕎麦屋に行ってもジジ臭いしなァ 121 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/05(日) 19:27:22 ] Q1 nを6以上の自然数とする (n+1)*C(n,[n/2])＞2^(n+1) となることを示せ Q2 nを7以上の自然数とする lcm(1,2,…,n)＞2^n となることを示せ 122 名前：86 mailto:sage [2009/07/05(日) 21:35:17 ] >>67 　>>86 の訂正、ｽﾏｿ. 　M_n / e^(n(n-1)/2) < m_n < n!･M_n / e^(n(n-1)/2),　　　･･････ (2) 123 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/05(日) 21:56:48 ] >>67 　 m_n, M_n を >>86 のようにおくと、 　m_n･M_n = (n!)^(n+1),　　　　　　　　　･･････････ (1) 一方、補題↓より 　c^(n-1) √(n!) M_n / e^((n+2)(n-1)/2) < m_n < √(n!) M_n / e^(n(n-1)/2),　　　　･･･････(3) (1),(3) より 　c^((n-1)/2)(n!)^((n+1.5)/2) / e^((n+2)(n-1)/4) < m_n < (n!)^((n+1.5)/2) / e^(n(n-1)/4), 　(n!)^((n+0.5)/2)・e^(n(n-1)/4) < M_n < (n!)^((n+0.5)/2)・e^((n+2)(n-1)/4) / c^((n-1)/2), 〔補題50〕 　c･k^(k +1/2) / e^k < k! < k^(k +1/2) / e^(k-1),　　　c=√(2π), k=2〜n とおいて辺々掛けると 　c^(n-1) √(n!) M_n / e^((n+2)(n-1)/2) < m_n < √(n!) M_n / e^(n(n-1)/2), 　 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1242389481/050 , 133 東大入試作問者スレ１７ 124 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/06(月) 03:25:21 ] >>121 とりあえずQ1だけ･･･ 題意より [n/2] = m ≧ 3, 　(左辺)/(右辺) = (n+1)Ｃ[n,m]/2^(n+1) = {(n+1)!/m!(n-m)!}/2^(n+1) = {(2m+1)!/(m!)^2}/2^(2m+1) = {(2m+1)!!/(2m)!!}/2 ≧ (7!!/6!!)/2 = (105/48)/2 >1, 125 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/06(月) 20:06:54 ] >>123 ＞〔補題50〕 なんの50なんだ？ 126 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/07(火) 18:19:45 ] [問題] a_0, a_1,,,a_N ≧0 のとき次の不等式を示せ： Σ_[n,m=0]^{N} {a_n a_m}/{n+m+1} ≦ π Σ_[n=0]^{N} (a_n)^2　 127 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/08(水) 01:10:05 ] 実数x,yがx≧y≧1を満たすとき,次の不等式が成立することを示せ (x+y-1){log[2](x+y)}≧(x-1)(log[2]x)+(y-1)(log[2]y)+y a,b,cを正の数とするとき,不等式 2[{(a+b)/2}-(ab)^(1/2)]≦3[{(a+b+c)/3}-(abc)^(1/3)] を証明せよ.また等号が成立するのはどんな場合か (1)0≦α＜β≦π/2であるとき,次の不等式を示せ ∫[α,β]sinxdx+∫[(π-β),(π-α)]sinxdx＞(β-α){sinα+sin(π-β)} (2)Σ[k=1,7]sin(kπ/8)＜16/π n個(n≧3)の実数a[1],a[2],…,a[n]があり,各a[i]は他のn-1個の相加平均より大きくはないという このようなa[1],a[2],…,a[n]の組をすべて求めよ。 すべては0でないn個の実数a[1],a[2],…,a[n]があり a[1]≦a[2]≦…≦a[n]かつa[1]+a[2]+…+a[n]=0を満たすとき a[1]+2a[2]+… +na[n]＞0 が成り立つことを証明せよ nを2以上の整数とする.実数a[1],a[2],…,a[n]に対し,S=a[1]+a[2]+…+a[n]とおく k=1,2,…,nについて,不等式-1<S-a[k]<1が成り立っているとする a[1]≦a[2]≦…≦a[n]のとき,すべてのkについて|a[k]|<2が成り立つことを示せ 実数a,b(0≦a<π/4,0≦b<π/4)に対し,次の不等式の成り立つことを示せ √{(tana)(tanb)}≦tan{(a+b)/2}≦(tana+tanb)/2 f(x)=1-sinxに対し g(x)=∫[0,x]{(x-t)f(t)}dtとおく このとき,任意の実数x,yについて g(x-y)+g(x+y)≧2g(x) が成り立つことを示せ 128 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/08(水) 01:13:35 ] 入試ばっかやな つまらん 129 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/08(水) 04:04:21 ] >>111 |xy-ab| ＝|(x-a)y+a(y-b)| ≦|(x-a)y|+|a(y-b)| ＜c|y|+|a|c ＝c|(y-b)+b|+|a|c ≦c(|(y-b)|+|b|)+|a|c ＜(c+|a|+|b|)c 130 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/08(水) 17:54:33 ] f（x）が下に凸のとき Σ［k＝0→n］f（2k）／（n＋1）＞Σ［k＝1→n］f（2k−1）／n ってどう解いたらいい？？ 131 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/08(水) 21:27:47 ] >>130 nについての帰納法による。まづ 　F_n = nΣ[k=0,n] f(2k) - (n+1)Σ[k=1,n] f(2k-1), 　g(n) = f(n-1) -2f(n) + f(n+1), と置く。 ・n=1 のとき 　F_1 = f(0) -2f(1) +f(2) = g(1) >0, ・n>1 のとき、 　F_n = F~_(n-1) + nΣ[k=1,n] g(2k-1) 帰納法の仮定により 　F_(n-1)　= (n-1)Σ[k=0,n-1] f(2k)　- nΣ[k=1,n-1] f(2k-1) >0, 　F~_(n-1) = (n-1)Σ[k=0,n-1] f(2k+1) - nΣ[k=1,n-1] f(2k)　>0, また、題意により 　g(n) = f(n-1) -2f(n) + f(n+1) >0, 132 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/08(水) 22:08:24 ] �農[n=1->∞] 1/n^3 が無理数であることを示せ。 133 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/08(水) 23:23:14 ] >>127 (2) 　√(ab) = d とおくと 　(左辺) - (右辺) = {a+b+c -3(abc)^(1/3)} - {a+b -2√(ab)} 　　　= c + 2d - 3(cdd)^(1/3) 　　　≧ 0,　　　　　　　　　　　　　　(相加･相乗平均) 等号成立は c=√(ab) のとき >>127 (4) 　a[1] + a[2] + ･･･････ + a[n] = S とおく。 　a[i] ≦ (S-a[i])/(n-1), 　a[i] - S/n ≦ 0, i=1,2,････,n の総和をとると 　Σ[i=1,n] {a[i] - S/n} = S - S = 0, ∴ a[i] - S/n = 0, >>127 (5) 　題意により、a[k-1] < 0 ≦ a[k]、または a[k] ≦ 0 < a[k+1] を満たすkが存在する。 (与式) = (1-k)a[1] + (2-k)a[2] + ････ + (-1)a[k-1] + 0 + a[k+1] + ････ + (n-k)a[n] >0, >>127 (7) 右側: 　{tan(a) + tan(b)}/2 = sin(a+b)/{2cos(a)cos(b)} = sin(a+b)/{cos(a-b)+cos(a+b)}, 　tan{(a+b)/2} = sin(a+b)/{1+cos(a+b)}, 左側: 　tan(a)･tan(b) = 1 - {tan(a)+tan(b)}/tan(a+b), 　tan{(a+b)/2}^2 = 1 -2tan{(a+b)/2}/tan(a+b), と右側から >>132 mathworld.wolfram.com/AperysConstant.html 134 名前：131 mailto:sage [2009/07/09(木) 02:40:24 ] >>130 (補足) F_n - F_(n-1) = ��(j=1,2n-1) [1+(j-1)/2] g(j), F_n ≡ n��(k=0,n) f(2k) - (n+1)��(k=1,n) f(2k-1) 　　= ��(j=1,2n-1) [1+(j-1)/2] [n-(j-1)/2] g(j), ・参考 　[初代スレ.128, 132-135] 　Ingleby不等式, f(x)=a^x, 135 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/09(木) 02:50:44 ] 過去スレのミラー見れないの俺だけ？ 136 名前：131 mailto:sage [2009/07/09(木) 03:16:56 ] >>135 初代スレ.128 128 ：１３２人目の素数さん ：04/05/15 09:31 「数学しりとりスレ 232-233」 より 【Inglebyの不等式 】 a>0 のとき、{1+a^2+a^4+…+a^(2n)}/{a+a^3+…+a^(2n-1)} ≧ (n+1)/n, 137 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/09(木) 03:26:39 ] >>136 おお、ありがとう☆ 138 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/09(木) 21:46:55 ] >>127-3 (1) f(π-x) = f(x), 上に凸ゆえ 台形と比べて 　(左辺) = 2∫[α,β] f(x)dx > (β-α){f(α)+f(β)} = (右辺), (2) sin(kπ/n) = {cos(kπ/n - π/2n) - cos(kπ/n + π/2n)}/{2sin(π/2n)} より 　(与式) = {1/2sin(π/2n)}{cos(π/2n) - cos(π - π/2n)} 　　　= cos(π/2n)/sin(π/2n) 　　　= 1/tan(π/2n) 　　　< 2n/π, >>127-7 左側 　tan(a)tan(b) = {2sin(a)sin(b)} / {2cos(a)cos(b)} 　　= {cos(a-b)-cos(a+b)} / {cos(a-b)+cos(a+b)} 　　≦ {1-cos(a+b)} / {1+cos(a+b)} 　　= {tan((a+b)/2)}^2, >>127-8 　g '(x) = x -1 +cos(x), 　g "(x) = 1 - sin(x) ≧ 0, ∴　y=g(x) は下に凸。 139 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/10(金) 01:29:59 ] 拾い a,b,c≧0、ab+bc+ca+abc=4のとき a+b+c≧ab+bc+caを示せ 140 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/10(金) 07:31:27 ] >>139 対称性の利用だね。 無理なら一文字ずつ攻めるか。 141 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/10(金) 08:01:06 ] >>139 1文字固定して2変数不等式にしてやれば出来そうな予感。 無理なら一文字ずつアホみたいにやるしかないね。 対称性の利用は頭で考えた限り無理だった。 それか思い付きもしないような因数分解で綺麗にやっちまうか。 142 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/10(金) 13:26:23 ] え・・・ 143 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/11(土) 17:55:42 ] >>139 　a,b,c < 1 と仮定すると、ab+bc+ca + abc < 4, 　a,b,c > 1 と仮定すると、ab+bc+ca + abc > 4, いずれも題意と矛盾する。a≦b≦c とすれば、 　0 < a ≦ 1 ≦ c, 題意により、 　b = (4-ac)/(a+c+ac), これを代入して、 　(a+b+c) - (ab-bc-ca) = {(a+c-2)^2 + ac(1-a)(c-1)}/(a+c+ac) ≧0, 144 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/11(土) 18:00:42 ] 汚い解法だなぁ 145 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/11(土) 20:07:40 ] x ≧ 0 のとき cosx + sinx ≧ 1 + x - ( 2 x ^ 2 / π ) 146 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/11(土) 23:35:35 ] >>143 よく、そんな解答を思いつくな。天才か? 対称だから大小つけたのは分かるが。 最初の部分の発想が恐ろしい。 147 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/11(土) 23:37:07 ] >>144 汚いというより自然じゃない。 何か「同じ問題を解いた事がある」か天才かの解答にみえる。 148 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/12(日) 03:25:19 ] >>145 　f(x) = cos(x) + sin(x) -1 -x + (2/π)x^2 　　= cos(x) + sin(x) -1 - (2/π)x(π/2 -x), とおくと 　f(x) = f(π/2 -x),　　　　　　(∴ x≦0 でも成立) 　f(0) = f(π/2) =0, 　f '(x) = -sin(x) + cos(x) -1 + (4/π)x 　= -sin(x) + cos(x) -1 + (4/π)x, 　f '(0) = f '(π/4) = f '(π/2) = 0, また、 (*) より 　x < 0 または π/4 < x <π/2 で f '(x) < 0, 　0 < x < π/4 または π/2 < x で f '(x) > 0, よって 　x≠0,π/2 では f(x)>0, *)　f "(x) = -cos(x) -sin(x) + (4/π), 149 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/12(日) 04:52:10 ] >>139 >>140-141 に従って a+b+c=s, ab+bc+ca=t とおく。 ・s≧4 のとき 　s ≧ 4 = t + abc ≧ t, ・s≦4 のとき 　4 = t + abc ≦ t + (t/3)^(3/2), ∴　t ≧ 3, ∴　s ≧ √(3t) ≧ 3, ところで、 　F_1 = s^3 -4st +9abc = s^3 -4st +9(4-t) = (s^3 +36) -(4s+9)t ≧ 0, から、 　t ≦ (s^3 +36)/(4s+9), ∴　s - t ≧ s - (s^3 +36)/(4s+9) = (4-s)(s^2 -9)/(4s+9) = (4-s)(s-3)(s+3)/(4s+9) ≧ 0, ぬるぽ 150 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/12(日) 05:39:54 ] >>139 ボクならこう解く. a = 2x/(y+z), b = 2y/(z+x), c = 2z/(x+y) とおくと, a+b+c≧ab+bc+ca ⇔ (x(x - y)(x - z) + y(y - z)(y - x) + z(z - x)(z - y)) / ((x+y)(y+z)(z+x)) ≧ 0 Schur ineq より明らか. 151 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/12(日) 07:13:32 ] >>149 良いね〜。 152 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/12(日) 07:16:17 ] >>150 こんなのよく思い付くな。 見た目は綺麗だけど、証明にはイマイチだな〜。 153 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/12(日) 07:24:23 ] abc>=1 っていえる？ いえるなら、 ↓みたくいっきにとけたんだけど。 (a + b + c) - (ab + bc + ca) 　=　(a + b + c) - (4 - abc) (∵与条件) 　>= 3√(abc) - (4 -abc) (∵相加相乗平均) 　= n^2 +3n -4 ( n = √(abc) とおいた) 　= (n + 3/2)^2 - 25/4 ゆえに、 (n + 3/2)^2 - 25/4 >= 0 ・・・（１）　を示せばいい （１）⇔ (n + 3/2) >= 5/2 ⇔ n >= 1 ⇔ abc>=1 で、 abc >=1 なので成立 ■ で、肝心の abc >= 1 がしめせん。 154 名前：153 mailto:sage [2009/07/12(日) 07:35:24 ] あと、 a +b = p, ab = q と置くと、相加相乗平均より、p>=2√q・・・（１） 与件 ⇔ a.b.c>=0 （・・・（２））∧ c(p + q) + q = 4 ⇔a,b,c>=0∧c = (4-q)/(p+q) （p + q ≠ 0 ∵ 仮に p + q = 0 ならa = b = 0 となり 与条件に矛盾） すると、(a + b + c) - (ab + bc + ca) = c(1-p) +(p-q) = {(4-q)(p+q)}/(1-p) + (p-q) よって、{(4-q)(p+q)}/(1-p) + (p-q) >=0 を示せばよい。 で、（１）と（２）を使ってしめせるんじゃまいかな？・・・と思ったけど、 多分どっかで計算ミスしてて、示せない。。。 155 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/12(日) 07:42:44 ] >>153 云えません。 相加･相乗平均により 　t = ab+bc+ca ≧ 3(abc)^(2/3), よって 　abc > 1　⇒　t + abc ≧ 3(abc)^(2/3) + abc > 4, これは題意に矛盾。 156 名前：153 mailto:sage [2009/07/12(日) 07:55:57 ] >>155 あら・・・・失礼 157 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/12(日) 08:00:17 ] >>152 そうかなぁ〜。 オリンピックレベルの問題とかではこういう解き方の方がむしろ常套手段だと思うんだけどな…。 158 名前：153 mailto:sage [2009/07/12(日) 08:07:22 ] >>155 でも、妙に数値がそろってる気が。。。 少し直せば正しくなるのかな？ あるいはどっかでおっきな勘違い？ 159 名前：150 mailto:sage [2009/07/12(日) 16:10:30 ] >>152 題意から 　a/(a+2) + b/(b+2) + c/(c+2) = 1, そこで ボクは 　x = k * a/(a+2), 　y = k * b/(b+2), 　z = k * c/(c+2), とおいた。 　x+y+z = k > 0, 　a = 2x/(k-x) = 2x/(y+z), 　b = 2y/(k-y) = 2y/(z+x), 　c = 2z/(k-z) = 2z/(x+y), 160 名前：159 mailto:sage [2009/07/12(日) 16:18:16 ] >>152 (補足)　↑では 恒等式 　　a/(a+2) + b/(b+2) + c/(c+2) = 1 + 2(ab+bc+ca+abc-4)/{(a+2)(b+2)(c+2)}, を使いますた。 　 161 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/12(日) 17:20:54 ] >>158 >>153の相加相乗平均の部分が違う．3数だから立方根だ． 3*(abc)^3となり，同様にnを置くと n^3 +3n -4 = (n - 1)(n^2 + n +4) ずばり>>153は勘違いしているな． A > B において B > 0 と A > 0 は関係がない．A > 0 > B などを考えれば明らか． B > 0 ならば A > 0 が言えるが， B <= 0 でも A > 0 の場合はある． これが今の場合ね． n < 1 の時，B(=n^3 +3n -4) < 0 だが 既に3例ぐらい証明されているように A[=(a + b + c) - (ab + bc + ca)] > 0． 162 名前：161 mailto:sage [2009/07/12(日) 17:27:16 ] ちょっと変な書き方だった 最初の段落は「ケアレスミスの指摘」ね，結果的に． あと後段の > A > B において B > 0 と A > 0 は関係がない は言い過ぎた． B > 0 の場合は大いに関係があるわｗｗｗ 「不等号の向き」が違う場合は注意せよ，という話か 163 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/12(日) 18:04:00 ] どうも 150 です. >>159-160 さん補足有り難うございます. この置き方は, 例えば, USAMO の問題で, a^2+b^2+c^2+abc=4 という関係式に対して, a = 2√( (yz) / ((x+y)(x+z)) ) b = 2√( (zx) / ((y+z)(y+x)) ) c = 2√( (xy) / ((z+x)(z+y)) ) という置換をして解く解法があります. これを知っていたので, 今回の解答はこれを変形して, bc/a = (2x/(y+z)) という関係と, a^2+b^2+c^2+abc = (ca/b)(ab/c) + (ab/c)(bc/a) + (bc/a)(ca/b) + (ab/c)(bc/a)(ca/b) という関係から導きました. 後で調べてみたら, ab+bc+ca+abc=4 に対して, a = 2x/(y+z), b = 2y/(z+x), c = 2z/(x+y) とおく方法は知られているものでした. しかし, 形はどうであれ, (a, b, c) →(f(x), f(y), f(z)) (a, b, c) →(S[x](x, y, z), S[y](x, y, z), S[z](x, y, z)) という置き方は良く行われます. 164 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/12(日) 18:09:16 ] >>160 その恒等式はどこから出てきたんだ？？ 一応 a(b+2)(c+2) + (a+2)b(c+2) + (a+2)(b+2)c = 3abc + 4(ab + bc + ca) + 4(a+b+c) と出てきて，(a+α)(b+β)(c+γ) が関係あると考え，abc の係数を1にするために 与関係式(ab+bc+ca+abc=4 ⇔abc=4-ab-bc-ca)を使うと abc + 2(ab + bc + ca) + 4(a+b+c) + 8 = (a+2)(b+2)(c+2) だから a(b+2)(c+2) + (a+2)b(c+2) + (a+2)(b+2)c = (a+2)(b+2)(c+2) が得られ，両辺(a+2)(b+2)(c+2)で割って =1 の式が出てくるけど． 165 名前：164 mailto:sage [2009/07/12(日) 18:11:35 ] リロードしてなかったのでとんちんかんなレスしてしまったorz 166 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/13(月) 03:50:36 ] >>147 照れるぜ！ 167 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/14(火) 01:49:03 ] アタシ･･･ネイルアーティスト検定に合格したの！！ 218.219.144.2/%7Eimg/vip/s/vip20ch78224.jpg キャバ嬢が好きなエグザイル image.blog.livedoor.jp/dqnplus/imgs/0/5/056ad755.jpg 168 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/14(火) 13:59:47 ] 【問題】 閉区間[0,1]上の連続関数 f(x)にたいして、 a_n = ∫_{0→1} x^n f(x) dx, n=0,1,2,,,, で数列 {a_n} を定める． このとき，不等式 Σ_[n=0 →∞] (a_n)^2 ≦ π ∫_{0→1} f^2(x) dx が成立することを示せ。 また、これが最良であることも示せ。 169 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/14(火) 14:10:00 ] 最良の定義は？ 170 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/14(火) 14:25:00 ] >>147 条件に等号があるからそれを使って変数を減らす。 差を変形して変数が１以下と１以上であればいい事を見つける。 条件から１以下の変数と１以上の変数があることを示す。 どの部分が自然じゃない？ 171 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/14(火) 17:05:47 ] x,y,zは実数とする √ ( x ^ 2 + y ^ 2 ) + 2 √ ( y ^ 2 + z ^ 2 ) + 3 √ ( z ^ 2 + x ^ 2 ) ≦ M √ ( x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 ) を満たす正の定数Mの最小値を求めよ 172 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/14(火) 18:07:51 ] >>171 a=√(x^2+y^2),b=√(y^2+z^2),c=√(z^2+z^2)とおくと 0≦a+2b+3c≦M√((a^2+b~2+c^2)/2) すなわち (a+2b+3c)^2≦(M^2/4)(a^2+b^2+c^2) ここでコーシーシュワルツより (a+2b+3c)^2≦(1^2+2^2+3^2)(a^2+b^2+c^2) 等号はa:b:c=1:2:3で成り立つ よってM^2/4=14 173 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/14(火) 18:11:14 ] まちがい ×　(a+2b+3c)^2≦(M^2/4)(a^2+b^2+c^2) ○　(a+2b+3c)^2≦(M^2/2)(a^2+b^2+c^2) ×　M^2/4=14 ○　M^2/2=14 174 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/14(火) 18:13:30 ] >>169 定数 π未満だと不等式が成立しないということ。 つまり、0<C<πとなる任意の C>0 に対して、不等式 Σ_[n=0 →∞] (a_n)^2 ≦ π ∫_{0→1} f^2(x) dx が成立しない関数ｆ(x)が存在する、ということを示せばよい。 175 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/14(火) 18:25:30 ] Σ_[n=0 →∞] (a_n)^2 ≦ π ∫_{0→1} f^2(x) dx の等号成立条件を示せばいいってこと？ 176 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/14(火) 18:28:33 ] >>175 違う。 πより小さい定数では、不等式が成立しないことを示すこと。 （つまり、ベスト・コンスタントの問題） 177 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/14(火) 19:09:06 ] 176にかってに横から追加すると 等号が自明でないfで成り立つならば >>175 のように等号条件を示しても良いが ヒルベルトの不等式を用いるならば 等号は自明な場合(f=0)しか成り立たないので 等号条件を示すのは「違う」となる 178 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/14(火) 20:36:27 ] >>126 ゴリ押しの証明だが一応できた。 ttp://www.csync.net/service/file/view.cgi?id=1247571189 179 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/14(火) 20:45:49 ] ゴメン。ちょっと修正。 ttp://www.csync.net/service/file/view.cgi?id=1247571893 180 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/14(火) 21:55:34 ] >>168,177 【問題】 (訂正版) 閉区間[0,1]上の連続関数 f(x)（ただし，恒等的に0でない）にたいして、 　　a_n = ∫_{0→1} x^n f(x) dx, n=0,1,2,,,, で数列 {a_n} を定める． このとき，不等式 　　Σ_[n=0 →∞] (a_n)^2 ≦ π ∫_{0→1} f^2(x) dx が成立することを示せ。 また、定数 πが不等式が成立するための最良の定数であることも示せ。 181 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/15(水) 03:40:51 ] >>171 √ は上に凸だから、 　√(x^2 +y^2) + √(z^2 +x^2) ≦ √(x^2 +y^2 +z^2) + x,　　････ (1) 　2√(y^2 +z^2) + 2√(z^2 +x^2) ≦ 2√(x^2 +y^2 +z^2) + 2z,　　････ (2) 5(x^2 + z^2) = (x+2z)^2 + (2x-z)^2 ≧ (x+2z)^2　より 　x + 2z ≦ (√5)√(x^2 +y^2 +z^2),　　　　　　　　　　　　　･････　(3) (1) 〜 (3) を辺々たす。 　M = 3+√5, 等号成立は x:y:z = 1:0:2 のとき >>172 　(a,b,c) は鋭角三角形条件を満たすんぢゃね? 182 名前：172 mailto:sage [2009/07/15(水) 03:53:21 ] >>181 　とは言え、(1) (2) は逆向きの希ガス。

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