- 86 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/01(水) 23:24:35 ]
- >>67
2^(n-1) ･ 3^(n-2) … (n-1)^2 ･ n^1 = 2!･3!････(n-1)!n! = m_n,
2^2 ･ 3^3 ･ ･… (n-1)^(n-1) ･n^n = M_n,
とおくと、
m_n・M_n = (n!)^(n+1), ････････(1)
一方、補題↓ より
M_n / e^(n(n-1)/2) < m_n < M_n / e^(n(n-1)/2), ･･･････(2)
(1)､(2)より
(n!)^((n+1)/2) / e^(n(n-1)/4) < m_n < (n!)^((n+2)/2) / e^(n(n-1)/4),
(n!)^(n/2)・e^(n(n-1)/4) < M_n < (n!)^((n+1)/2)・e^(n(n-1)/4),
〔補題30〕k≧2 のとき
k^k /e^(k-1) < k! < k^(k+1) /e^(k-1),
k=2〜n とおいて辺々掛けると
M_n / e^(n(n-1)/2) < m_n < M_n / e^(n(n-1)/2),
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1242389481/030-031
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1242389481/039-042
東大入試作問者スレ１７
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