- 160 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/28(日) 20:46:19 ]
- 問題を投下した者です。ちょっとこのスレ的ではない解ですが…
ω=exp(2πi/3) を用いて問題の関数は
w(x,y,z)=|(yω-z)(zω-x)(xω-y)|^2
と表せる。そこで p=x+yω+zω^2 という変数を考えるとpは複素平面上で
1,ω,ω^2 を頂点とする三角形の内部または周上 (Tとする) を動く。ここで
p-1=(x+yω+zω^2)-(x+y+z)=(1-ω^2)(yω-z)
p-ω=(x+yω+zω^2)-(x+y+z)ω=(ω-1)(zω-x)
p-ω^2=(x+yω+zω^2)-(x+y+z)ω^2=(ω^2-ω)(xω-y)
であるから
w=(1/27)|p^3-1|^2
である。この式の形とTの形状から、pの動く範囲はTのうちの
2π/3≦arg(p)≦4π/3 に制限してもよいことがわかる。このとき
p^3の動く範囲(Dとする)を描いてみればわかるように、max(w)
を与えるpはTの周上のどこかになる。そこで
p = (-1+it√3)/2 (-1≦t≦1)と置いてwを計算してみると
p^3-1 = (3√3/8)(t^2-1)(√3+it)
|p^3-1|^2 = (27/64)(t^2-1)^2(3+t^2)
w = (1/64)(t^2-1)^2(3+t^2)
あとは u=t^2 (0≦u≦1) の3次関数の問題で、u=0で最大となる
ことがわかり、max(w)=3/64 である。最大を与えるpは p=-1/2
のときと p^3の位置が同じp、すなわち p=-1/2,-ω/2,-ω^2/2 である。
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