ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

1 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/01(水) 09:57:08.60 ID:2b7XvZNh.net] 前スレが1000近く又は1000超えになったので、新スレを立てる https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/ 前スレ ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11 このスレは、ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレです 関連は、だいたい何でもありです（現代ガロア理論＆乗数イデアル関連他文学論・囲碁将棋まであります） 資料としては、まずはこれ https://sites.google.com/site/galois1811to1832/ ガロアの第一論文を読む 渡部 一己 著 （2018.1.28） PDF https://sites.google.com/site/galois1811to1832/galois-1.pdf?attredirects=0 ＜乗数イデアル関連＞ ガロア第一論文及びその関連の資料スレ https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/785 以降ご参照 https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplier_ideal Multiplier ideal https://mathoverflow.net/questions/142937/motivation-for-multiplier-ideal-sheaves motivation for multiplier ideal sheaves asked Sep 23, 2013 Koushik ＜層について＞ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6) 層 (数学) https://en.wikipedia.org/wiki/Sheaf_(mathematics) Sheaf (mathematics) https://fr.wikipedia.org/wiki/Faisceau_(math%C3%A9matiques) Faisceau (mathématiques) あと、テンプレ順次 つづく 367 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/16(木) 16:40:28.80 ID:6RwEALUm.net] つづき *2^ 順序数は本来、上で述べた定義とは異なる仕方で定義されていた。 その定義とは、順序集合全体の集まりを「同型である」という “同値関係” によって類別したとき、順序集合 (A, <) の “同値類” を (A, <) の順序型 (order type) と呼び、特に整列集合の順序型を順序数と呼ぶというものである。 ところが現代の標準的な集合論においては、A が空集合でない限り (A, <) と同型な順序集合全体の集合といったものは存在しないことが示される。**) したがって、このような順序数の定義の仕方は正当な方法であるとは認められない。 これを克服するために考えられたのが上で述べた定義であり、現在は上の定義（あるいはそれと同値な定義）が広く用いられている。 だが、順序型というアイデア自体が排除されたわけではない。 順序数を上で述べたような仕方で定義した後、それを用いることによって順序型を正当な方法で定義できるということが知られている。 ただし、整列集合の順序型と順序数は別のものになる。詳細は「順序型」を参照。 ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E5%9E%8B 順序型 非公式な定義 二つの全順序集合 (A, <A), (B, <B) が同型のとき、(A, <A) と (B, <B) は全く同じ "型" をしていると言える。そこで、全順序集合 (A, <A) の "型" を type(A, <A) で表すことにすれば、任意の全順序集合 (A, <A), (B, <B) に対して type(A,<A)=type(B,<B)⟺(A,<A)≅(B,<B)　・・・・・・(※) が成り立つ。type(A, <A) を (A, <A) の順序型と呼ぶ。 つづく 368 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/16(木) 16:40:48.43 ID:6RwEALUm.net] つづき 正式な定義 上の説明では type(A, <A) をきちんと定義したことにはならない。なぜなら、全順序集合の "型" とは何かが定義されていないからである。(※) をみたすようにすべての全順序集合 (A, <A) に対して type(A, <A) を定義する方法として、まず次のようなものが考えられる。それは、(A, <A) と同型な順序集合全体の集合を type(A, <A) と定義する方法である。実際、このように定義すれば (※) が成り立つことが示せるので何の問題もないように思えるかもしれない。だが、この方法には一つ大きな欠点がある。それは、A が空集合でない限り (A, <A) と同型な順序集合全体の集合というものは存在しないことが（集合論の公理から）示されるということである。つまり、そのような集まりはあまりに大きすぎるため集合になることができないのである。**) したがって上のような仕方で type(A, <A) を定義することはできない。そこで、この方法を少し修正して次のように順序型を定義する： 全順序集合 (A, <A) に対して type(A, <A) とは、(A, <A) と同型な順序集合のうちで階数が最小のもの全体の集合である。type(A, <A) を (A, <A) の順序型と呼び、ある全順序集合の順序型であるものを単に順序型と呼ぶ[1]。 全順序集合 (A, <A) と同型な順序集合で階数が最小であるものの階数を α とすれば、type(A, <A) の要素はすべて Vα + 1 [2]に属するので、type(A, <A) はきちんと集合として定義されている。このようにして定義された順序型が (※) の性質をみたしていることは次のようにして示すことができる： 略す (引用終り) 注）**) 良く知られているが、"順序集合全体の集合といったもの"は、クラスになり、集合ではない。 ***) "選択公理を仮定すれば、整列定理により任意の集合 A に対して A と同数であるような順序数が存在することが言える" は、面白いｗ 循環論法か・・ 多分、少し工夫すれば・・ 選択公理→整列定理 を導くときの 順序数 との対応について 循環論法を避けられる気がするが、すぐには思いつかないが・・ ；ｐ） 以上 369 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/16(木) 17:11:18.54 ID:6RwEALUm.net] >>340 >選択公理から整列定理を証明するのに >ツォルンの補題を経由していたが >その証明は全然直観的でなく実にわかりにくかった ご苦労様です 下記の いつもの 尾畑研 東北大 第13章 整列集合 13.3 整列可能定理 ”ここではツォルンの補題を用いて証明しよう” ですな ついでに、第14章順序数も 貼っておきます (参考) www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/ 尾畑研 東北大 www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_13.pdf TAIKEI-BOOK :2019/1/1 第13章 整列集合 13.3 整列可能定理 ツェルメロは選択公理から整列可能定理を導いたがここではツォルンの補題を用いて証明しよう www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_14.pdf TAIKEI-BOOK :2019/1/1 第14章順序数 14.1順序型としての順序数 順序同型な整列集合を代表するものと理解するこのあたりの取� 370 名前：ｵいは集合の濃度と同様であるなお順序数そのものの定義は第14.3節で与える P213 ■ 順序数の比較可能性 任意のつの順序数は比較可能であることを示そう 略す P214 ■整列集合と順序数 第14.1節では順序同型な整列集合の順序型として順序数を導入した一方本節では特別な整列集合として順序数を導入したが次の定理によってそれは順序型としての順序数をすべてカバーすることになる 略す P216 ■ 濃度の定義 略す 10)整列可能定理は選択公理と同値であることを思い出しておこう第13.3節 選択公理を仮定せずに濃度を導入する研究もある ■ ブラリ・フォルティのパラドックス 略す [] [ここ壊れてます] 371 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/16(木) 17:51:01.49 ID:q09NtzhZ.net] >■ 順序数の比較可能性 任意のつの順序数は比較可能であることを示そう >略す >■整列集合と順序数 >略す >■ 濃度の定義 >略す >■ ブラリ・フォルティのパラドックス >略す 君、実は数学大嫌いでしょ ♪略す　略す　略す　　　　略す　略す　略す 　（ウルトラセブンの歌のつもりで） 372 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/16(木) 18:22:02.35 ID:6RwEALUm.net] 渕野昌「実数の集合論の基礎の基礎」 ”2002年7月26日(金)から7月29日(月)にかけて名古屋大学情報文化学部にて行われた「2002年度数学基礎論サマースクール」における講義の内容” とある 「以下の議論は，形式的には，すべてZermelo-Fraenkel の集合論の公理系に選択公理を加えた体系（これをZFC とよぶ）の中で行われている」 とも (参考)に、貼っておきますね fuchino.ddo.jp/notes/set-th-of-reals-kiso-no-kiso.pdf 実数の集合論の基礎の基礎　渕野昌(Saka´ eFuchino) 2002年8月24日軽井沢にて起稿 2002年11月11日新横浜名古屋間の新幹線の車中にて脱稿 2002年11月23日訂正補筆2002年11月29日原稿提出後の補筆 2003年10月30日footnoteの一つの補正． 0 はじめに 以下のテキストは，2002年7月26日(金)から7月29日(月)にかけて名古屋大学情報文化学部にて行われた「2002年度数学基礎論サマースクール」における講義の内容を，このサマースクールの講義録のために整理し直したものである．2002 年度数学基礎論サマースクールのテーマは実数の集合論であったが，筆者は，この理論で用いられる集合論からの予備知識についての講義を行なった．講義は，カントル空間やベール空間における，ベールの一種の（現代の用語ではmeagerな）集合の全体のイデアルと零集合のイデアルに関する基礎的な知識について述べた第一部と，超限帰納法，順序数，基数といった，（実数の集合論を含む）集合論の応用で縦横に用いられることになる手法や概念への入門について述べた第二部からなるものだったが，本稿では第1章と第2章が，これらに対応している．本稿では，さらに第3章で，第1章と第2章で導入した手法や概念の応用として，講義では時間的な制約のために述べることのできなかった，実数の集合論での古典的な—–つまり，主にのポーランド学派1の数学者たちによって，強制法(forcing)の理論以前の時代にすでに得られていたような—–結果のいくつかに触れる． 集合論全般についての標準的な教科書としては[11]や[7]がある．この講義録に目を通した後で，実数の集合論を本格的に勉強したくなった人は，たとえば[11]から[2]と読みすすむのがよいだろう． P3 2以下の議論は，形式的には，すべてZermelo-Fraenkel の集合論の公理系に選択公理を加えた体系（これをZFC とよぶ）の中で行われている，と考えられる．ZFCの公理系については例えば[6]や[11]などを参照されたい． 373 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/16(木) 20:50:27.93 ID:AB73gH0c.net] >>342 補足 >順序数を上で述べたような仕方で定義した後、それを用いることによって順序型を正当な方法で定義できるということが知られている。 >ただし、整列集合の順序型と順序数は別のものになる。詳細は「順序型」を参照。 下記ですね 貼っておきます (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E5%9E%8B 順序型 整列順序型と順序数 整列集合の順序型を特に整列順序型と呼ぶ。 α を順序数とし ∈α を α 上の所属関係とすると、(α, ∈α) は整列集合なので type(α, ∈α) は整列順序型である。 逆に、任意の整列集合は必ずある順序数 α に対する (α, ∈α) と同型なので、整列順序型は必ずある順序数 α に対する type(α, ∈α) の型で表すことができる。 以下では type(α, ∈α) を α で表す。 https://en.wikipedia.org/wiki/Order_type Order type 374 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/16(木) 21:08:11.44 ID:AB73gH0c.net] >>345 >君、実は数学大嫌いでしょ >♪略す　略す　略す　　　　略す　略す　略す >　（ウルトラセブンの歌のつもりで） コピーしたら、ダメといい コピーしないで略すとすると、またダメという 所詮、二枚舌 ダブスタの男ｗ ；ｐ） 375 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/16(木) 23:44:15.76 ID:AB73gH0c.net] >>341 >下記の"選択公理を仮定すれば、整列定理により任意の集合 A に対して A と同数であるような順序数が存在することが言える" >を使うと、循環論法になる なんか、思い出してきたな・・ 下記の ”スコットのトリック”を、使う”スジ”が、あるね ；ｐ） なお、Dana Scott氏は、コンピュータサイエンスや圏論で有名は方です (参考) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B9%E3%82%B3%E3%83%83%E3%83%88%E3%81%AE%E3%83%88%E3%83%AA%E3%83%83%E3%82%AF スコットのトリック(英: Scott's trick)とは真クラス上の同値関係についての同値類の定義を、累積的階層のレベルを参照することによって与える方法である[1]。 この方法は選択公理でなく正則性公理に依存している。選択公理を仮定しないZFにおいて順序数の代表元を定義するのに用いることができる[2]。この方法は Dana Scott (1955) によって導入された。 順序数の代表元を集合として定義する問題を超えて、スコットのトリックは基数の代表元を得たり、もっと一般的な同型類（英語版）にも用いることができる。例えば、全順序集合の順序型はその一例である[1]。また、スコットのトリックはモデル理論において真クラスの超冪を作るときに（選択公理を仮定したとしても）必要であると信じられている[3]。 濃度への応用 スコットのトリックの典型的な使われ方は、濃度に対する使用例に見られる。 ZFCにおいて、濃度の代表元として基数を割り当てる1つの方法としては、同じ濃度を持つ順序数のうち最小のものを基数とするものがある。これらの特別な順序数はいわゆるアレフ数である。しかし選択公理を仮定しないZFの場合、濃度によっては最小の順序数が見つかるとは限らず、それらの集合の濃度は代表元としての基数になる順序数を持てない。 一方、スコットのトリックでは異なる方法で代表元を割り当てる。任意の集合 A に対してそれと等濃度の集合全体を考えた時に累積的階層の最小の階数 Vα が存在することを利用する。この定義は全ての集合が整列可能である（この仮定は選択公理と同値）という状況でないときでも、全ての濃度に代表元を定めることができる。これに選択公理は不要だが、正則性公理は不可欠である。ただし、この定義において用いた最小の階数が同じになったからといってそれらの集合の全てが同じ濃度を持つわけではなく、また選択公理による定義のもとでは可能であった、任意の集合間の濃度の比較ができるわけでもないことには注意しなければならない。 一般的なスコットのトリック 略す つづく 376 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/16(木) 23:44:38.02 ID:AB73gH0c.net] つづき en.wikipedia.org/wiki/Scott%27s_trick Scott's trick In set theory, Scott's trick is a method for giving a definition of equivalence classes for equivalence relations on a proper class (Jech 2003:65) by referring to levels of the cumulative hierarchy. The method relies on the axiom of regularity but not on the axiom of choice. It can be used to define representatives for ordinal numbers in ZF, Zermelo–Fraenkel set theory without the axiom of choice (Forster 2003:182). The method was introduced by Dana Scott (1955). ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A4%E3%83%8A%E3%83%BB%E3%82%B9%E3%82%B3%E3%83%83%E3%83%88 デイナ� 377 名前：Eスチュアート・スコット (英語:Dana Stewart Scott、1932年10月11日 - )はアメリカの計算機科学者、数学者、論理学者。数学的に難しい問題についての素養に基づき、非形式的だが厳格な方法で計算機科学・論理学・哲学にまたがる領域の根本的概念を明確化させてきた。オートマトン理論についての業績により1976年にチューリング賞を受賞。1970年代にはクリストファー・ストレイチーと共同でプログラム意味論への新たなアプローチを基礎付けた。様相論理、位相幾何学、圏論などでも業績を残している。 en.wikipedia.org/wiki/Dana_Scott Dana Stewart Scott (born October 11, 1932) is an American logician who is the emeritus Hillman University Professor of Computer Science, Philosophy, and Mathematical Logic at Carnegie Mellon University;[1] he is now retired and lives in Berkeley, California. (引用終り) 以上 [] [ここ壊れてます] 378 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/16(木) 23:47:27.77 ID:AB73gH0c.net] >>349 タイポ訂正 なお、Dana Scott氏は、コンピュータサイエンスや圏論で有名は方です 　↓ なお、Dana Scott氏は、コンピュータサイエンスや圏論で有名な方です 379 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/17(金) 04:27:37.38 ID:bd1YOdDW.net] >>348 肝心なところをコピペせずに 無駄なところをコピペする その馬鹿な態度がダメ だったら何もしなければいい 所詮、大学１年の４月で挫折した高卒一般人に語れる数学は皆無 諦めろ 380 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/17(金) 04:32:10.23 ID:bd1YOdDW.net] > ・・・を、使う”スジ”が、あるね 　毎度恒例の、自惚れ高卒一般人の連想ゲーム > 一般的な・・・ > 略す 　単語のつながりだけでわかろうとするのは生成AI並みの軽薄な態度 　そんな論理抜きの連想で数学が分かるわけないだろ 　軽く流すのは馬鹿、重く受け止めることで利口になる 　数学したいなら、脳味噌の筋肉を鍛えること 　嫌なら、数学は諦めなさい 381 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/17(金) 04:39:06.36 ID:bd1YOdDW.net] 定石とか手筋とかいうのは思考を嫌う軽薄な態度 金はどこにあるかわからない そこらじゅう探すしかない たまたま見つかったところの状況だけみて 「そういうところにあるに違いない」と思うのは ただの思い込みであって、実際はそうなってない 定石とか手筋とかになりはてたら数学として終わったということ まあ、一般人は数学しないから結果としての方法しか興味ないんだろう だったら大学１年で必ず習う ・実数論で実数（＝有理コーシー列）のコーシー列から極限となる実数（＝有理コーシー列）を求める方法 ・線型代数で数ベクトルの有限集合から、線形独立な元の最大個数を求める方法 くらい理解しなさい　 ”社奴”になるしかない一般人に理解できるのはそのくらいなんだから 382 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/17(金) 04:41:36.80 ID:bd1YOdDW.net] AIの研究を見て思うのは、”銀の弾丸”なんてないんだな、ってこと 結局、最後は力で決まる　無駄を承知でやりまくることでしか結果はでない 最初から効率とかコストとかいうのは愚かな態度 383 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/17(金) 04:47:11.02 ID:bd1YOdDW.net] 数学者は馬鹿でなくてはならない、といった人がいる 要するに、常に効率のいい方法を求める利口になるな、ということ 新しい結果を出す最適の方法なんか存在しない 定石とか手筋とかいう奴は利口という名の愚か者 真に賢い者は無駄を厭わぬ馬鹿になる 384 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/17(金) 04:50:11.63 ID:bd1YOdDW.net] キーワード検索結果コピペ君は、整形女子みたいなもんである 自分が残念なのは顔のせいだと思って、ひたすら整形する しかしながら整形の方向がトンチンカンなので、どんどん醜悪になる 本当に残念なのは、努力もせずに結果だけ欲しがる、虫のいい態度だと知るべし 385 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/17(金) 10:33:41.47 ID:MEr9oV+O.net] >>352-357 >結局、最後は力で決まる　無駄を承知でやりまくることでしか結果はでない >数学者は馬鹿でなくてはならない、といった人がいる >要するに、常に効率のいい方法を求める利口になるな、ということ >新しい結果を出す最適の方法なんか存在しない ふっふ、ほっほ おサルさん>>7-10 １）公開処刑 進行中なｗｗ ；ｐ） ２）おっさんな 　「結局、最後は力で決まる　無駄を承知でやりまくることでしか結果はでない」 　は、一理あるよ 　某数学者が、竹腰氏と共同研究するも、数年間行き詰っていて 　七転八倒、暗中模索の日々 　しかし、運命の女神は、勇者を好む（英語: Fortune favours the bold www.weblio.jp/content/%E5%B9%B8%E9%81%8B%E3%81%AF%E5%8B%87%E8%80%85%E3%82%92%E5%A5%BD%E3%82%80） 　ある喫茶店のコーヒーが美味だったかもしれないが ；ｐ） 　天啓があったという。ポアンカレが、馬車に乗ろうとしたときに、フックス函数が閃いたがごとくだね ３）しかし、それは 最先端、最前線での努力でこそ意味があるよ 　「新しい結果を出す」話だね ４）ふつう 凡人が、レベルの低いところで、[無駄を承知でやりまくる]とか 　数学の天才 オイラーやガウスや、リーマンやポアンカレなどが、いうならば意味あるけど 　おサルさんみたく レベルが低い人の言うことじゃないぞ！ｗ ５）プロ数学者の３０分の思考が、並みの数学科 DR生の１年の思考に匹敵することもざらだろう 　（数学DR生の１年の大半が、文献読みかもね。しかし その文献読みが、DR生の力の養成になる） 碁会所で、万年級位者がいる。級位者同士で毎日へぼ碁をやって、上達しない 囲碁上達の要諦は、強い人に教えてもらうこと（対局してもらう） また、知識の量を増やす（定石、手筋、死活など） あるいは、プロのタイトル戦の最新対局を、並べてみるとか（分からないなりにでもね） これを、数学に直すと ・レベル低いもの同士でなく、できればレベルの高い人に教えてもらう ・”知識の量を増やす”：輪講、自主ゼミとかね ・最新の数学論文を眺めてみる（分からないなりにでもね） で、さらに言えば プロ数学者を目指すためと アマ高段者を目指すためと アマ有段者を目指すのと 万年級位者で単なる楽しみとするのと こういうレベル分けもありじゃね？ ；ｐ） 万年級位者のおサルさんよｗ レベル低いところで、毎日 へぼ碁をやりまくる いいんじゃない そういう人、沢山いるよ ；ｐ） おれは、プロ数学者なんて雲の上だけどさ おっさんみたいな、”無駄を承知でやりまくる”という 数学の趣味はないのよ！ ｗｗｗ ；ｐ） 386 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/17(金) 10:53:51.16 ID:16VOmuik.net] 棋聖戦の第一局は二日目の現在 形勢はまったくの互角 387 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/17(金) 11:39:25.99 ID:MEr9oV+O.net] >>359 これは、御大か 朝の巡回ご苦労様です 棋聖戦の第一局ね 最近の碁は、昔とだいぶ違いますね 布石で、秀策のコスミ復活が目につきました (参考) kisei.yomiuri.co.jp/kisei/49th/top_7ban01.htm 読売 第49期棋聖戦七番勝負 第1局 1/16(木)・17(金) ホテル椿山荘東京 (東京都文京区) www.yomiuri.co.jp/igoshougi/kisei/20250115-SYT8T6216423/ 【棋聖戦第１局詳報】七番勝負開幕、椿山荘対局を制するのは一力遼棋聖か井山裕太王座か 2025/01/17 第49期棋聖戦 七番勝負第１局(解説付き) 388 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/17(金) 16:30:37.12 ID:MEr9oV+O.net] >>341 >下記の"選択公理を仮定すれば、整列定理により任意の集合 A に対して A と同数であるような順序数が存在することが言える" >を使うと、循環論法になる >ツォルンの補題を経由すると、”循環論法！”と言われるのを、一応避けられるね ；ｐ） 補足します １）上記 ”任意の集合 A に対して A と同数であるような順序数が存在する” 　が、選択公理に依存していると、>>310の wikipedia Well-ordering theorem の証明で 　上記 ”順序数”の性質を使ったり あるいは 　そもそも、”Well-ordering theorem”(＝整列可能定理)自身が、 　上記 ”順序数”の性質を使っているとすると 　”Well-ordering theorem”(＝整列可能定理) → 選択公理 の証明が、循環論法です ２）ところが、>>349の ”スコットのトリック”で 　”この方法は選択公理でなく正則性公理に依存している。選択公理を仮定しないZFにおいて順序数の代表元を定義するのに用いることができる[2]” 　とすれば、循環論法にはならない ３）なお、蛇足ながら 　ツォルンの補題 ←→ 整列可能定理 の同値性について 　ツォルンの補題が、陽には ”順序数”の性質（選択公理）と無関係であるならば 　整列可能定理が ”順序数”の性質を使っているとしても 　直ちに循環論法にはならんだろうと、思ったしだいですが 　しかし、”スコットのトリック”が、使えれば すっきりですね （＾＾ 389 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/17(金) 16:41:17.12 ID:MEr9oV+O.net] 余談ですが ”スコットのトリック”は 圏論の本で Dana Scott氏に付随して書かれていて ”スコットのトリック”？ なんだろうと思って調べたことがあって そのときは、「へー」とは思ったが 「それがどうしたの？」みたく、なんの感慨もなかったのです が、いま、結構大事な話だと分かりました！ （＾＾ 390 名前：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [2025/01/17(金) 18:03:13.42 ID:MEr9oV+O.net] >>177 (引用開始) >これが 理解できていれば、選択関数は >整列可能定理の 関係R の構成を通じて 具体化可能だ！と じゃあ実数の整列順序を構成してみて 整列可能定理でできるんでしょ？ (引用終り) ”実数の整列順序”に戻る 下記です ・選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる ・しかし、ZFC や、一般連続体仮説を加えた体系 ZFC+GCH においては、R 上の整列順序を定義する論理式は存在しない[1] ・V=L は ZFC と(相対的に)無矛盾であり、ZFC+V=L ではある特定の論理式が R（実際には任意の集合）を整列順序付けることが従う (参考) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88 整列集合 実数からなる集合 正の実数全体の成す集合 R+ に通常の大小関係 ≤ を考えたものは整列順序ではない 例えば開区間 (0, 1) は最小元を持たない 一方、選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる しかし、ZFC や、一般連続体仮説を加えた体系 ZFC+GCH においては、R 上の整列順序を定義する論理式は存在しない[1] ただし、R 上の定義可能な整列順序の存在は ZFC と(相対的に)無矛盾である 例えば V=L は ZFC と(相対的に)無矛盾であり、ZFC+V=L ではある特定の論理式が R（実際には任意の集合）を整列順序付けることが従う R の非可算部分集合に通常の大小関係を入れたものが整列集合にならないことは、実数直線 R を互いに交わりを持たない区間の和に分割するとき、そのような区間の数が高々可算であることからわかる 可算無限集合ならば、通常の大小関係 ≤ が整列順序となることも、ならないこともありうる en.wikipedia.org/wiki/Well-order Well-order ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0 実数 定義 実数体とは順序体であって空でない上に有界な部分集合が上限を持つようなものをいう[注 1]。実数体の元（＝要素）を実数という また位相的特徴付けである次を定義として採用することも出来よう：非自明な順序体であって順序位相に関して連結なものは唯一つに定まる（アルキメデス的順序群に関するHölderの定理による）。これを実数体と呼ぶ。実数体の元（＝要素）を実数という これで実数（体）の概念は定まったがこれだけではまだ実数（体）というものが存在するかどうかは分からない。しかし#構成節で述べるようにそのようなものは実際に存在する、即ちこのような性質を満たす順序体が構成できることが分かる。またその構成方法は複数ある。また本記事では言及されていないが本来存在するならば、それがある意味で一意的なものであるかを確かめる必要があるが、実数体は実際にある意味で一意的に定まる[注 2] 注釈 [脚注の使い方] 1^ この性質を順序完備性と呼ぶことがある。実数体においては特に「上限性質」という呼称で呼ばれることが多い。なおこの性質には実数の連続性にある通り同値な言い換えが複数ある 2^ これは正確に述べると「実数体の定義を満たす二つの順序体は順序体として同型（＝順序同型かつ体同型であるような写像が存在する）」という意味である 391 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/17(金) 18:20:06.36 ID:MEr9oV+O.net] >>363 Cantor en.wikipedia に、興味深い記述があった（下記） ”彼はユリウス・ケーニヒが第三回国際数学者会議で発表した論文に憤慨し動揺した。その論文は超限集合論の基本原理が誤りであることを証明しようとしたものだった。その論文が娘たちや同僚の前で読まれたため、カントルは公に辱められたと感じた。エルンスト・ツェルメロが1日も経たないうちにケーニッヒの証明が失敗したことを証明したが、カントルは動揺したままで、一瞬神に疑問を抱いた。カントルはその後生涯慢性的な鬱病に苦しみ・・” とある en.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor Georg 略 Cantor ( March 1845 – 6 January 1918) (google訳) Teacher and researcher 1889年、カントルはドイツ数学会の設立に尽力し、1891年にハレで開催された同会の第一回会合で議長を務め、対角線上の議論を初めて発表した。カントルの評判は高く、クロネッカーが反対したにもかかわらず、同会の初代会長に選出された。クロネッカーがカントルに対して示した敵意をよそに、カントルはクロネッカーを会合で講演するよう招いたが、当時、妻がスキー事故で負傷し瀕死の状態だったため、講演はできなかった。ゲオルク・カントルは、1897年にスイスのチューリッヒで開催された第一回国際数学者会議の設立にも尽力した Later years and death 2度目の入院から間もなく、12月16日にカントルの末息子ルドルフが急死し（カントルはベーコン理論とウィリアム・シェイクスピアについての自身の見解を講義中だった）、この悲劇でカントルの数学に対する情熱は大きく失われた 1年後、彼はユリウス・ケーニヒが第三回国際数学者会議で発表した論文に憤慨し動揺した。その論文は超限集合論の基本原理が誤りであることを証明しようとしたものだった。その論文が娘たちや同僚の前で読まれたため、カントルは公に辱められたと感じた。エルンスト・ツェルメロが1日も経たないうちにケーニッヒの証明が失敗したことを証明したが、カントルは動揺したままで、一瞬神に疑問を抱いた。 カントルはその後生涯慢性的な鬱病に苦しみ、そのために何度か教職を免除され、さまざまな療養所に繰り返し入所した。1904年の出来事の後、2、3年の間隔で入院を繰り返した。しかし、彼は数学を完全に放棄したわけではなく、 1903年にドイツ数学者協会の会合で集合論のパラドックス（ブラーリ・フォルティのパラドックス、カントルのパラドックス、ラッセルのパラドックス）について講義し、1904年にはハイデルベルクで開催された国際数学者会議に出席した 1911年、カントルはスコットランドのセント・アンドリュース大学創立500周年記念式典に招待された著名な外国人学者の一人であった。カントルはバートランド・ラッセルに会うことを期待して出席したが、その会談は実現しなかった。ラッセルが最近出版した『プリンキピア・マテマティカ』にはカントルの著作が何度も引用されていた カントルは1913年に引退し、第一次世界大戦中は貧困と栄養失調に苦しんだ。[ 34 ] 70歳の誕生日の公式祝賀会は戦争のため中止された。1917年6月、彼は最後の療養所に入り、妻に帰宅の許可を求める手紙を何度も書いた。ゲオルク・カントルは、人生最後の1年を過ごした療養所で、1918年1月6日に致命的な心臓発作を起こした 392 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/17(金) 20:45:34.53 ID:Nd3VfUsg.net] >>363 (引用開始) >これが 理解できていれば、選択関数は >整列可能定理の 関係R の構成を通じて 具体化可能だ！と じゃあ実数の整列順序を構成してみて 整列可能定理でできるんでしょ？ (引用終り) その議論、下記のIn 1905 Kőnig の議論にある通りです 120年前の議論、ご苦労さまですｗ ；ｐ） (参考) en.wikipedia.org/wiki/Gyula_K%C5%91nig Gyula Kőnig (16 December 1849 – 8 April 1913) was a mathematician from Hungary. His mathematical publications in German appeared under the name Julius König. Kőnig and set theory he published a paper that claimed to prove that not all sets could be well-ordered. Contrary to Cantor, presently the majority of mathematicians considers undefinable numbers not as absurdities. This assumption leads, according to Kőnig, in a strangely simple way to the result that the continuum cannot get well-ordered. If we imagine the elements of the continuum as a well-ordered set, those elements which cannot be finitely defined form a subset of that well-ordered set which certainly contains elements of the continuum. Hence in this well-order there should be a first not finitely definable element, following upon all finitely definable numbers. This is impossible. This number has just been finitely defined by the last sentence. The assumption that the continuum could be well-ordered has led to a contradiction. Kőnig's conclusion is not stringent. His argument does not rule out the possibility that the continuum can be well-ordered; rather, it rules out the conjunction of "the continuum can be well-ordered by a definition in language L" and "the property of being definable in language L is itself definable in language L". The latter is no longer generally held to be true. For an explanation compare Richard's paradox. つづく 393 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/17(金) 20:45:55.67 ID:Nd3VfUsg.net] つづき en.wikipedia.org/wiki/Paradoxes_of_set_theory Paradoxes of set theory Paradoxes by change of language König's paradox In 1905, the Hungarian mathematician Julius König published a paradox based on the fact that there are only countably many finite definitions. If we imagine the real numbers as a well-ordered set, those real numbers which can be finitely defined form a subset. Hence in this well-order there should be a first real number that is not finitely definable. This is paradoxical, because this real number has just been finitely defined by the last sentence. This leads to a contradiction in naive set theory. This paradox is avoided in axiomatic set theory. Although it is possible to represent a proposition about a set as a set, by a system of codes known as Gödel numbers, there is no formula φ(a,x) in the language of set theory which holds exactly when a is a code for a finite proposition about a set, x is a set, and a holds for x. This result is known as Tarski's indefinability theorem; it applies to a wide class of formal systems including all commonly studied axiomatizations of set theory. In 1905 he published a paper that claimed to prove that not all sets could be well-ordered. It is easy to show that the finitely defined elements of the continuum form a subset of the continuum of cardinality ℵ0. The reason is that such a definition must be given completely by a finite number of letters and punctuation marks, only a finite number of which is available. (引用終り) 以上 394 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/17(金) 21:00:15.11 ID:Nd3VfUsg.net] >>365 補足 (引用開始) >これが 理解できていれば、選択関数は >整列可能定理の 関係R の構成を通じて 具体化可能だ！と じゃあ実数の整列順序を構成してみて 整列可能定理でできるんでしょ？ (引用終り) そもそもが、>>176の実数Rについて 背理法で R� 395 名前：ｪ可算だと仮定して 対角線論法を適用する話だった だから、可算だと仮定すると 区間[0,1]から可算個の実数を取り出して それを、可算整列可能定理で縦に並べて それを、可算無限の2進数に展開して 対角線論法の基礎部分ができるってこと つまり、これは アレフ0の話 一方、真の非可算の実数Rを整列させるのは、可算整列可能定理では 足りない フルパワー選択公理と同じ力の フルパワー整列可能定理が必要で これは アレフ1の整列の話です 真の非可算の実数Rは、>>363の通り 「ZFC + V=L ではある特定の論理式が R（実際には任意の集合）を整列順序付けることが従う」が 「ZFC や、一般連続体仮説を加えた体系 ZFC+GCH においては、R 上の整列順序を定義する論理式は存在しない[1]」 が、「選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる」 これ 120年前のケーニヒのparadoxに対する 解決策の通りです [] [ここ壊れてます] 396 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/18(土) 08:14:12.69 ID:yCcyDMub.net] >>352 >肝心なところをコピペせずに >無駄なところをコピペする つまらん 重箱の隅の話ですが ・コピーをしても、うまくこの便所板に乗らない場合がある 　特に、現代数学の高度な 上付き下付の添え字のある数式など 　便所板では、文字を小さくして添え字にする表現が使えない ・分数が3行使うとして、ここ便所板では1行にしないといけない 　視認性が悪くなる 　なので、積分記号も微分記号も 便所板では不便 ・斜め矢印とか、飾りのついた矢印もだめ・・・ などなど、そういう場合 原文見た方が早い 数式表現で、そういうのが多い あと、分量的に多いと 多連投になるが（1レスが約2kBくらいに制限されているため） 連投規制にひっかかったりのです なお 分量的に多いときも 原文を見た方が、見やすいし 397 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/18(土) 08:27:48.87 ID:xY23/2ac.net] >可算整列可能定理 こんなバカ用語を使ってるのは日本中で一人しかいないって言ってるでしょ。 それに証明を読めば分かるが、集合Xを整列させるのに、集合2^Xの選択公理を用いている。 こんな根本的なことを見落としてるから、コピペ脳はダメだって言われてるんだが。 398 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/18(土) 08:52:44.98 ID:xY23/2ac.net] 集合2^Xの選択公理を用いて、Xの濃度の部分的な値のみを用いている。 では、最初からXの濃度で済ますことが出来るかと言えば、おそらく無理。 なお可算集合の場合は、定義より自然数全体の集合への全単射が存在するから この全単射の存在から直に整列可能であることが従う。 （だから、「可算整列可能定理」なんてバカ用語は日本中で一人しか使わないし、おそらく世界中でもそうｗ 得意の検索で調べて、結果報告してくれたまえｗｗ） 399 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/18(土) 09:00:32.52 ID:Jha5BKz+.net] 可算選択公理からの連想であろう 400 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/18(土) 09:21:26.46 ID:6E7jiXBj.net] >>358 > 公開処刑 進行中 　自分の？　変態だね > ポアンカレが、馬車に乗ろうとしたときに、フックス函数が閃いたがごとく 　フックス函数ってなんだか知ってて書いてんの？ 　知らないんだったら「ボクは無知でぇす」って自己処刑じゃん 　あ、いまこれいわれたからって脊髄反射で検索コピペは負け●な > それは 最先端、最前線での努力でこそ意味があるよ > 「新しい結果を出す」話だね 　すでに分かってる結果を知る話なら 　大学１年の微分積分と線型代数の教科書からやりなおせよ 　実数・関数の連続性の定義も線型空間線型写像線型独立の定義も分かってないんだから > ふつう 凡人が、レベルの低いところで、 > [無駄を承知でやりまくる]とか・・・ > レベルが低い人の言うことじゃないぞ！ 　そういうことだから凡人は 　大学１年４月の壁が還暦すぎても破れないんだよ 　謙虚になれよ　ただの凡人なんだから 　東大や京大だって工学部だったらただの凡人なのに 　ましてや阪大なんて　京大も受かんねえ●ンカスじゃん > プロ数学者の３０分の思考が、 > 並みの数学科 DR生の１年の思考に匹敵することもざらだろう 　プロは無駄をやりまくった結果、プロになったんだがな 　無駄をサボる、ただの凡人にはわかんないか 　一生、検索コピペなんて中身ゼロじゃん　 401 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/18(土) 09:24:40.82 ID:6E7jiXBj.net] >>358 > 囲碁上達の要諦は、強い人に教えてもらうこと（対局してもらう） > また、知識の量を増やす（定石、手筋、死活など） > あるいは、プロのタイトル戦の最新対局を、並べてみるとか（分からないなりにでもね） 　で、強くなったんかい？　囲碁 　全然ならなかったんだろ？ 　じゃ、全部嘘じゃんｗ 　なんで強くならなかったか言い当ててやろうか？ 　それは漫然と対戦し、漫然と丸暗記し、漫然と対局眺めてるから 　一度も考えたことないだろ？　 　自分の頭で考えない人が何かに通じることはない 　考えるのが嫌いなら、サルのごとく●ックスしてろ 　他に何も楽しみないんだから 402 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/18(土) 09:32:39.28 ID:6E7jiXBj.net] >>358 > プロ数学者を目指すためと > アマ高段者を目指すためと > アマ有段者を目指すのと > 万年級位者で単なる楽しみとするのと > こういうレベル分けもありじゃね？ で、君のレベルは？ もちろん最底辺だよな 大学１年４月でつまづいたんだから > レベル低いところで、毎日 へぼ碁をやりまくる > いいんじゃない　そういう人、沢山いるよ 自嘲はもういいよ でも、レベル上げたいんだろ？ せめて大学１〜２年の数学くらい理解したいんだろ？ 微分積分、線形代数、多変数解析学、ベクトル解析、複素解析 このくらい知らないと、工学部でも論文読めないよな？ 君、工学部でもちょっと難しい（といっても所詮大学１〜２年程度の）数学出てくると 論文が読めずに技術系でも挫折して営業で口八丁手八丁で誤魔化してきたんだろ？ そういう軽薄な人生を送ってきたって透けて見えるよ で、君、そんな人生に満足だったの？　全然満足してないんだろ？ だったら謙虚になれよ　もう一度大学１年からやりなおせよ このままじゃ、君、死ぬときに絶対後悔するから > おれは、プロ数学者なんて雲の上だけどさ > ”無駄を承知でやりまくる”という数学の趣味はないのよ！ 　自分が理解できてないと知るのが怖い？ 　ただの凡人のくせに？ 　阪大だろ？　●ンカスじゃん！　自惚れんなよ！ 403 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/18(土) 09:33:03.86 ID:Jha5BKz+.net] Katagoや絶芸と対局していれば 誰でも強くなれるのでは？ 404 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/18(土) 09:40:50.47 ID:6E7jiXBj.net] >>361 > ”任意の集合 A に対して A と同数であるような順序数が存在する”が、 > 選択公理に依存していると、整列可能定理の証明で”順序数”の性質を使ったり > あるいは そもそも整列可能定理自身が、上記 ”順序数”の性質を使っているとすると > 整列可能定理→ 選択公理 の証明が、循環論法です 　何わけわかんないこといってんだ？阪大工学部卒の凡人 　そもそも選択公理と整列可能定理は同値だが？ 　どっちかが別の公理から導けるのでないかぎり循環論法なのは当然 　そもそもコーエンが「ZFから選択公理は証明できませんが何か？」といってるだろ 　 　で、順序数は選択公理なんか使わんでも定義できる　阪大工学部卒の凡人が知らんだけ 　スコットのトリックとかほざいてるけど、凡人、それ理解できたのか？ 　理解もせずにただその言葉だけ唱えてるんじゃ、ただのサルだぞ？ 　サルからヒトになりたいんだろ？　だったら中身を略さず理解しろな 　いやなら、数学は諦めろ　サルには無理だから 405 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/18(土) 09:41:37.32 ID:6E7jiXBj.net] >>375 んなこたあない 考えない奴は何をやっても上達しない 406 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/18(土) 09:44:32.07 ID:6E7jiXBj.net] >>363 Rの整列順序なんて選択関数に依ってるんだから具体化不能 選択関数が具体化できるんならそもそも選択公理が要らん 407 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/18(土) 09:51:05.77 ID:6E7jiXBj.net] >>367 >可算個の実数を取り出して >それを、可算整列可能定理で縦に並べて さすが阪大工学部卒の凡人　この書き込みでゲッツー １．そもそも可算と分かってるなら並べるのに選択公理不要 ２．もしＳが”結果的に”可算だとしたら並べるのに可算選択公理じゃ無理 　　なぜならＳの”空でない部分集合の全体”は、可算ではないから Ｓの任意の空でない部分集合のそれぞれから要素を取りだす関数 を用意しないかぎり証明は成功しませんからぁ！残念！！！ ・・・さすが大学１年の４月で落ちこぼれたままの凡人 しっかし東大の理�Tとかいっても９割はこんなんばっかだぞ 毎年１０００人取ったって数学科なんか１００人もいかないんだからな 408 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/18(土) 09:53:26.82 ID:6E7jiXBj.net] >>368 > 分数が3行使うとして、ここ便所板では1行にしないといけない視認性が悪くなる 　式を見たままで見れば全部わかる、と思うのはアサハカ 　見ても分からん奴が９割 　分かる奴はどう書いても分かる 409 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/18(土) 09:57:08.88 ID:6E7jiXBj.net] >>369 > 証明を読めば分かるが、集合Xを整列させるのに、集合2^Xの選択公理を用いている。 > こんな根本的なことを見落としてるから、コピペ脳はダメだって言われてるんだが。 　凡人は長い文章読めない　だから証明すっとばす 　高校の理系クラスにいる奴の多くが、長文苦手 　高校の数学は長文ないから誤魔化せるけど大学行ったら早速つまづく 　でも工学部なんて大半職業訓練だからそんなんでも誤魔化して卒業させちゃう 　社奴は学者じゃないから長文読めなくてもつとまる 410 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/18(土) 10:01:24.54 ID:6E7jiXBj.net] >>369　>可算整列可能定理 こんなバカ用語を使ってるのは日本中で一人しかいない >>371　>可算選択公理からの連想であろう 名誉教授は選択公理使わないから、こんな初歩的ミスも容認する 数学は多様化してるからある分野で頂点？に立っても 他の分野では初歩レベルにも達してないなんてザラ 集合論は他分野の人はあからさまに軽視してるんで特に酷いけど 他の分野で同じことやったら嘲笑されて二度と数学界では人として認めてもらえないけどな 411 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/18(土) 10:06:54.22 ID:6E7jiXBj.net] Ｘが可算集合だとしても、Ｘの可能な順列の全体は可算集合ではない よく、対角線論法で、 「対角線を使ってできる例外の１個さえ追加すればＯＫじゃね？」 という奴がいるがアサハカの極みである 対角線でなくてもＮからＮへの全単射を使えば、例外はそれこそ形の上では非可算無限個できる まあ、本当に非可算無限個になるかどうかは、真面目に検証する必要はあるけどね ここだけの話、選択公理も整列定理もその同値性も別に難しくないが ツォルンの補題は凡人にはそもそも何言ってるのかわからん時点で難しい 412 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/18(土) 10:24:23.84 ID:6E7jiXBj.net] > ツォルンの補題は凡人にはそもそも何言ってるのかわからん時点で難しい 　分かってしまえば大したことないんですがね 　分かってない人は分かってないことがどのくらい難しいことか分からない 413 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/18(土) 10:36:55.76 ID:yCcyDMub.net] >>370-371 ご苦労さまです 公開処刑は、一人でも継続するつもりだった ；ｐ） それは >>15より 前スレ rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/973-983 >つまり(ZFCではなく)ZF上で実数は定義不可能と言いたいのですか？ (引用終り) この”ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？”は、興味があって 公開処刑は、そのついで です >可算選択公理からの連想であろう ID:Jha5BKz+ は、御大か 巡回ご苦労さまです 連想というか、下記に”従属選択公理は可算選択公理を導き、それより真に強い公理である。[4][5] 従属選択公理の一般化としてさらに長い超限列の生成を認めるものを考えることができる。認める長さを際限なくした場合、それは完全な選択公理と同値になる” とあるので、各種選択公理の強さ（パワー）は、形成できる列の長さで測れるということですね なお、下記の”>>102 より”の再掲ご参照 　>>102 より 2）次に、下記 Well-ordering theorem ：the well-ordering theorem is equivalent to the axiom of choice 　要するに 　選択公理(無制限) ←→ 整列可能定理 (列長さ 無制限) 　従属選択公理(可算無限ω以上だが制限あり) ←→ 従属整列可能定理 (列長さ 可算無限以上だが制限あり)*) 　可算選択公理(可算無限ωに制限) ←→ 可算整列可能定理 (列長さ 可算無限ωに制限) *) 　有限選択定理(有限に制限) ←→ 有限整列可能定理 (列長さ 有限に制限) 　追加の注） 　*) 逆 ←は、可算和定理を認めた上で、選択公理の集合族について、各集合を可算に制限することとする 　そうすると、可算和定理より 可算の集合の 可算個の族は可算になる 　なお、可算和定理は選択公理が無ければ導けないが、逆の可算和定理→選択公理は導けないと思われる 　なので、可算和定理は選択公理より弱い仮定になる（可算和定理→可算選択公理が導けないかどうかは知らず） 　なお、限られた条件下を前提として、可算選択公理と 可算整列可能定理の類似が、equivalent 　例えば下記のHorst Herrlich ”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,”と”9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.” 　∵A＼{x} ∪{x} を 一種の可算無限列構成と見て equivalent to "the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R"だと (引用終り) これについては、>>143の ID:7/7JENEr氏から鋭い指摘がありました 即ち『可算選択公理は可算個の集合族についての言明で、それら集合族の和集合が 可算集合とは限らないから、可算集合の整列可能性（これは自明）から 可算選択公理は従わない。』だと ”（これは自明）”の部分以外は、首肯できます （多分 有限集合の場合自明 の意でしょう） 細かい点は、上記の『追加の注）』を 見てたもれ ；ｐ） つづく 414 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/18(土) 10:38:04.36 ID:yCcyDMub.net] つづき >集合2^Xの選択公理を用いて、Xの濃度の部分的な値のみを用いている。 >では、最初からXの濃度で済ますことが出来るかと言えば、おそらく無理。 そこ、おサルさん>>7-10の勘違いでしょうね ；ｐ） 　>>292の 定理　選択公理⇒整列定理 証明 で 『空でない集合Xの任意の空でない部分集合Yをその元∃y∈Yに対応させる写像f(Y)=yの存在が選択公理により保証される』 と書いたでしょ、おかしな事を書いている・・ｗ ；ｐ） 後で、ほじくらせて貰いますよ、乞うご期待 （＾＾ (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86 従属選択公理 他の公理との関連 従属選択公理は可算選択公理を導き、それより真に強い公理である。[4][5] 従属選択公理の一般化としてさらに長い超限列の生成を認めるものを考えることができる。認める長さを際限なくした場合、それは完全な選択公理と同値になる。 >>154より alg-d.com/math/ac/countable_union.html 可算和定理 壱大整域 命題「可算個の可算集合の和集合は可算集合」を可算和定理という．可算和定理は選択公理が無ければ証明できない． 証明 M を ZFC+GCH の可算推移的モデルとする．以下を満たす関数 p 全体がなす集合を P とする．以下略 （いつもお世話になっている尾畑先生） https://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/ 東北大 尾畑研 https://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_11.pdf 「第11章 選択公理」p164 の定理11.7 (可算和定理) (選択公理なしでは証明できない) 　>>84より archive.wikiwix.com/cache/display2.php?url=http%3A%2F%2Fwww.emis.de%2Fjournals%2FCMUC%2Fpdf%2Fcmuc9703%2Fherrli.pdf Comment.Math.Univ.Carolin. 38,3(1997)545–552 545 Choice principles in elementary topology and analysis Horst Herrlich 1. In the realm of the reals We start by observing that several familiar topological properties of the reals are equivalent to each other and to rather natural choice-principles. Theorem 1.1 ([15], [29], [30]). Equivalent are: 1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x, 2. a function f : R → R is continuous at a point x iff it is sequentially continuous at x, 4. each subspace of R is separable, 5. R is a Lindel¨ of space, 6. Q is a Lindel¨ of space, 9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R. There exist models of ZF that violate the above conditions ([17], [18]). (引用終り) 以上 415 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/18(土) 10:57:29.13 ID:6E7jiXBj.net] >>386 >>集合2^Xの選択公理を用いて、Xの濃度の部分的な値のみを用いている。 > 416 名前：>では、最初からXの濃度で済ますことが出来るかと言えば、おそらく無理。 > そこ、おサルさんの勘違いでしょうね 　おサルさん＝君、か？ > 定理　選択公理⇒整列定理 証明 で >『空でない集合Xの任意の空でない部分集合Yを > その元∃y∈Yに対応させる写像f(Y)=yの存在が > 選択公理により保証される』 >と書いたでしょ、おかしな事を書いている・・ 　別におかしくないよ　当然のこと 　ウィキにも書いてあるJechの本の証明にも書いてあるんだがね 　"let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A." > 後で、ほじくらせて貰いますよ、乞うご期待 　もうやめなよ 　訳も分からずイキっても恥かくだけだよ 　所詮阪大工学部卒の●ンカスなんだから 　自分が他人の言葉を丸コピペしただけで 　世界的数学者になったかのごとく思うのは 　ヤバいよ 　 　精神科で診てもらいな [] [ここ壊れてます] 417 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/18(土) 11:02:03.40 ID:6E7jiXBj.net] 阪大工学部卒の●ンカス君は 「自分は理科大応用数学科卒の●っちゃんより賢い」 と思ってるみたいだけど、大して変わんないよ どうして●ンカスのくせに他人にマウントしたがるんだろ？ なんか実生活で不満溜まってんのかな？ でも、それは自分が努力しないからだよ 努力しない人が成果を得ることなんかないよ 418 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/18(土) 11:07:32.45 ID:6E7jiXBj.net] > 選択公理←→ 整列可能定理 > 従属選択公理←→ 従属整列可能定理 > 可算選択公理←→ 可算整列可能定理 > 有限選択定理←→ 有限整列可能定理 生成AIかよ！ なんも考えずに●●って頭につけてるだけじゃん だいたい有限だったら直接やればいいんで 選択公理も整列可能定理も要らねえし そういうとこ、やっぱり考えなしの凡人だな そういう奴が工学部とかいう「社奴生産工場」に行くんだな 419 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/18(土) 12:28:27.68 ID:yCcyDMub.net] 公開処刑 　>>292 より 定理　選択公理⇒整列定理 証明 空でない集合Xの任意の空でない部分集合Yをその元∃y∈Yに対応させる写像f(Y)=yの存在が選択公理により保証される。 X上の二項関係≦を ∀Y⊂X.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) で定義する。 反射律の確認：∀a∈Xについて、≦の定義を{a}に適用しa≦aを得る。 推移律の確認：∀a,b,c∈Xについて、a≦b ∧ b≦c を仮定する。≦の定義を{a,b,c}に適用しa≦cを得る。 反対称律の確認：∀a,b∈Xについて、a≦b ∧ b≦a を仮定する。≦の定義を{a,b}に適用しf({a,b})=a ∧ f({a,b})=bを得る。fは写像だからa=b。 全順序律の確認：∀a,b∈Xについて、fの定義よりf({a,b})=a ∨ f({a,b})=b。≦の定義を{a,b}に適用しa≦b ∨ b≦aを得る。 以上で≦がX上の全順序であることが確認された。 さらに、≦の定義より、Xの任意の空でない部分集合Yに最小元f(Y)が存在するから、≦はX上の整列順序である。 (引用終り) 1）これ、ID:WVUbhM43さんのご指摘 　>>307『f({a,b})=a, f({b,c})=b, f({c,a})=c 　なるfのとき、a,b,cの順序は定まりますかね？』 2）また >>313-315 『たとえば、X(全集合)={a,b,c}で 　f({a,b,c})=a, f({b,c})=b のとき、a<b<c と整列する。 　このとき、f({a,b}),f({c,a})の値は使われない。 　（aがf({a,b,c})=aとしてあらわれているから。） 　というわけで、選択函数fがあっても 　すべての値を使うのではなく、一部の値しか使われない。 　そして、一つずつ元が減っていくという関係で 　（部分集合全体のなす集合）のある部分集合が、Xを 　最初の集合として、一列に並ぶ。 　このとき一つずつ減っていく元がfによって選ばれている 　という仕組み。 　fのすべての値を使ってるわけではないが、fがあれば 　「一つずつ元が減っていくという関係で（部分集合全体のなす集合） 　のある部分集合が一列に並ぶ」、ということも 　すっきり示される形になっている。』 3）この二つのご指摘の意味分ってないでしょ？ 　上記1）は、2項関係の定義になっていません 　上記2）は、”Xの任意の空でない部分集合Y”は、やり過ぎ 　それだと、無駄に複雑にしているだけ 　最小限として、”一列に並ぶ”、”一つずつ減っていく元” 　を実現するには、選択関数を べき集合で 任意の空でない部分集合Y＝2^X 　は、無駄に複雑にしているだけ まあ、この指摘を言われて この二つ 理解できていないかったのかな？ 420 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/18(土) 12:28:42.42 ID:xY23/2ac.net] >集合Xを整列させるのに、集合2^Xの選択公理を用いている。 正確に言うと、濃度|2^X|の集合族の選択公理を用いている。 選択函数の定義域の濃度が|2^X|だということ。 ところが、Xの整列に用いられるのはこの中の濃度|X|の部分族の値のみで 他の値はまったく使われない。（>>313参照） では、最初から部分族の濃度の選択公理でこと足りるかというと そうはいかないだろう、というちょっと不思議な話。 そして、こういう「気づき」が永遠にないのがコピペ脳。 421 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/18(土) 12:32:15.94 ID:xY23/2ac.net] ま、>>313-315を書いたのはわたしですが。 422 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/18(土) 12:37:12.27 ID:xY23/2ac.net] 囲碁・将棋でも定石・定跡の背後には無数の変化が隠れている。 既存の定石が最善というわけでもないし、だからこそ新手の発見もある。 コピペ脳さんはそういうことが分かってない。 423 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/18(土) 12:57:15.67 ID:xY23/2ac.net] >最初から部分族の濃度の選択公理でこと足りるかというとそうはいかないだろう この部分族が、濃度|2^X|の集合族の選択函数によって定まる。 そして、それ以外にこの部分族を取り出す方法があるかといえば 難しい（なさそう）ということ。 424 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/18(土) 13:25:55.36 ID:xY23/2ac.net] >>292さんがなぜおかしな「証明」を書いたかといえば、おそらくこれは 整列可能定理⇒選択公理 の証明の逆を考えたのだろう。 整列可能定理から選択函数が構成できる。こうやって構成した選択函数を 用いれば、>>292の証明は確かに機能する。 しかし、それは特別な選択函数であって一般の選択函数ではないから 失敗したというわけ。 425 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/18(土) 15:59:13.71 ID:aX+WEOUJ.net] >>388 突然関係ない他人を持ち出して比較するのはやめてくれ 426 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/18(土) 16:52:38.62 ID:6E7jiXBj.net] >>396　同類　相蔑む 427 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/18(土) 17:03:09.72 ID:6E7jiXBj.net] >>390 > 選択函数fがあっても、すべての値を使うのではなく、一部の値しか使われない。 >　fのすべての値を使ってるわけではないが、fがあれば（整列できることが）すっきり示される。 > このご指摘の意味分ってないでしょ？ > ”Xの任意の空でない部分集合Y”は、やり過ぎ > それだと、無駄に複雑にしているだけ > 最小限として、”一列に並ぶ”、”一つずつ減っていく元”を実現するには、 > 選択関数を べき集合で 任意の空でない部分集合Y＝2^Xは、無駄に複雑にしているだけ やっぱり阪大工学部卒は大学数学が全く分からん凡人だったか ま、京大でも東工大でも東大でも工学部卒はこんなもんだけどな じゃ、無駄がないようにfの定義域を最小限にできるかい？ どうやってあらかじめ最小限にするんだい？ 絶対にできないだろ？ 無駄じゃないんだよ 君は考えないからそれが永遠に分からない 必要なことを無駄といって避けるから 永遠に数学が分からない 428 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/18(土) 17:07:37.84 ID:6E7jiXBj.net] 可算無限というのは不思議なもので どんな有限集合のべき集合（これ自体有限集合）よりも大きいが べき集合としてこの濃度になる無限集合は存在しない 可算無限集合のべき集合は非可算濃度を持つ だから出来の悪い生成AIのような 論理と無関係の連想ゲームを行っても 全然証明にも何にもならない 連想ゲームは論理でもなんでもない このことを阪大工学部卒の凡人はまず学ぼう でないと大学１年４月の壁は永遠に乗り越えられない 429 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/18(土) 17:34:14.92 ID:aX+WEOUJ.net] >>397 私は見ず知らずの他人に構って あたかも小中高の教師の如く頻繁に他人を比較する 貴様のような教師根性の持ち主が大嫌いなのだ 貴様は世間が数学の得意な人ばかりで 構成されている訳ではないことが分からないから、 >>1におサルっていわれているんだよw このアホ 430 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/18(土) 18:26:32.19 ID:6E7jiXBj.net] >>400 私は「自分は賢い」とマウントとりたがる自己愛性人格障害者を憐れむ 何があったか知らないが別に数学なんかわからなくても死にはしない 数学が分かりたければ努力するしかないが 皆数学を理解せねばならないなんて一言もいってない 数学なんて諦めたって別に構わない アホであることを恐れるのは●違い 431 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/18(土) 18:34:09.78 ID:aX+WEOUJ.net] >>401 >皆数学を理解せねばならないなんて一言もいってない 君は理学部数学科の数学と、理学部他学科または他学部の数学とは 内容やカリキュラムなどが全く違うことを知らないようだ 432 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/18(土) 18:37 ] [ここ壊れてます] 433 名前：:18.03 ID:aX+WEOUJ.net mailto: >>401 いっておくが、>>1に幾ら説教垂れてもムダに終わるぞ [] [ここ壊れてます] 434 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/18(土) 18:45:07.01 ID:yCcyDMub.net] 　>>310より再録と補足 en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem Well-ordering theorem Proof from axiom of choice The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9] Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A. For every ordinal (number) α, define an element aα that is in A by setting aα= f(A∖{aξ∣ξ<α}) if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is. That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated). Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}. Notes 9^ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7. (引用終り) 1）さて 海賊版サイトより （.pdf 正確なリンクは貼らない。著作権問題は 各人の責任でお願いいたします） Set Theory T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics). P48 Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem) 冒頭 ”Proof. Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence｛ aα : α < θ ｝that enumerates A . と始まり 途中は ほぼ上記と同じ（記法が少し異なっている） 最後 ”Clearly, ｛aα : α <θ｝ enumerates A.”となっている （enumerate ＝ 列挙 また、α は 順序数の添え字。α <θ は、ある順序数θ未満のα という意味だろう） 2）ここで、選択関数を書き直すと 　f： A∖{aξ∣ξ<α} → A∖{aξ∣ξ<α} となる 　>>320に記したように、選択公理の A∖{aξ∣ξ<α} が集合族の役割を果たしている 　集合 A∖{aξ∣ξ<α} の濃度は、元の集合A以下だ（∵ Aより ∖{aξ∣ξ<α} の分だけ減少している） 3）繰り返すが 集合族 として Aξ：＝A∖{aξ∣ξ<α} と書き直すと 　∖{aξ∣ξ<α}によって、集合 Aの元 aξ をどんどん減らして 最後空になるまで続けるのだから 　順序数 ξを集めた 集合も その濃度は Aを越えない 4）よって 再度強調するが、いま 上記 選択公理→整列可能定理の証明で扱うとき 　集合族における 各集合 Aξ：＝A∖{aξ∣ξ<α} の濃度は 元の Aを越えない なので、>>390に引用した ”定理　選択公理⇒整列定理”の 『Xの任意の空でない部分集合Y』を考えて べき集合2^X を考える必要は 多分全くｗｗ 無くｗｗｗ 上記 Jech, Thomas の 証明においては、全く不要であって　過剰であると 言える！■ 435 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/18(土) 18:49:54.82 ID:yCcyDMub.net] >>404 タイポ訂正 　f： A∖{aξ∣ξ<α} → A∖{aξ∣ξ<α} となる 　　↓ 　f： A∖{aξ∣ξ<α} → aα となる 436 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/18(土) 18:58:44.02 ID:yCcyDMub.net] >>391-392 >ま、>>313-315を書いたのはわたしですが。 ご苦労さまでした 良い指摘でしたね （＾＾ >では、最初から部分族の濃度の選択公理でこと足りるかというと >そうはいかないだろう、というちょっと不思議な話。 いやいや そこは >>404-405 で指摘したとおりで 選択公理→整列可能定理の証明で扱う 集合族 では 不要ですよ 整列可能定理→選択公理 の場合 選択公理 で 扱う 集合族の和集合が、どうなるかが 未定なので 整列可能定理が、フルパワーなら、無問題（つまり、集合族の和集合の濃度が任意ならば） 制限された 整列可能定理→選択公理 の場合で 集合族の和集合の濃度を、可算和定理以下に抑えたいときは 可算和定理 を仮定する必要があるってことですね>>385 437 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/18(土) 19:49:39.05 ID:yCcyDMub.net] >>400 (引用開始) 私は見ず知らずの他人に構って あたかも小中高の教師の如く頻繁に他人を比較する 貴様のような教師根性の持ち主が大嫌いなのだ 貴様は世間が数学の得意な人ばかりで 構成されている訳ではないことが分からないから、 >>1におサルっていわれているんだよw このアホ (引用終り) おっちゃん、ありがとう！ 全面同意です おサルは、アホです！！>>7-10 ｗ　；ｐ） 438 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/18(土) 21:22:38.11 ID:Jha5BKz+.net] 実際はみんな普通の人 439 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/18(土) 23:39:58.57 ID:yCcyDMub.net] 公開処刑 part2 ；ｐ） 　>>292 より 定理　選択公理⇒整列定理 証明 空でない集合Xの任意の空でない部分集合Yをその元∃y∈Yに対応させる写像f(Y)=yの存在が選択公理により保証される。 X上の二項関係≦を ∀Y⊂X.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) で定義する。 反射律の確認：∀a∈Xについて、≦の定義を{a}に適用しa≦aを得る。 推移律の確認：∀a,b,c∈Xについて、a≦b ∧ b≦c を仮定する。≦の定義を{a,b,c}に適用しa≦cを得る。 反対称律の確認：∀a,b∈Xについて、a≦b ∧ b≦a を仮定する。≦の定義を{a,b}に適用しf({a,b})=a ∧ f({a,b})=bを得る。fは写像だからa=b。 全順序律の確認：∀a,b∈Xについて、fの定義よりf({a,b})=a ∨ f({a,b})=b。≦の定義を{a,b}に適用しa≦b ∨ b≦aを得る。 以上で≦がX上の全順序であることが確認された。 さらに、≦の定義より、Xの任意の空でない部分集合Yに最小元f(Y)が存在するから、≦はX上の整列順序である。 (引用終り) 1）そもそも、これ 整列に関する 2項関係の定義になってないよぉ ；ｐ） 　”全順序律の確認：∀a,b∈Xについて、fの定義よりf({a,b})=a ∨ f({a,b})=b。≦の定義を{a,b}に適用しa≦b ∨ b≦aを得る” 　が全くのデタラメ ；ｐ） 2）全順序律という用語は、下記 「完全律」というそうですよ 　そして、下記 数学の風景 二項関係とは で 　『R が A 上の二項関係 (binary relation) であるとは，直積集合 　A^2 =A×A の部分集合R⊂A×Aのことである。 　(x,y)∈R のことを，xRy ともかく』とある通りです 　（Rは実数ではなく、関係のことです） 　それで、二項関係は、直積A^2に対して、外から 関係Rを決めてやらないと、二項関係にならない 　A^2 =A×A 全体ではなく、部分集合R⊂A×A たる 集合Rを決めないといけないのです！ 3）ところが、『fの定義よりf({a,b})=a ∨ f({a,b})=b』と流して、”a≦b ∨ b≦aを得る”？ 　例えば、整数1と2で、『fの定義よりf({1,2})=1 ∨ f({1,2})=2』と流して、”1≦2 ∨ 2≦1を得る”としたら？ 　1≦2 or 2≦1 のどちらかを決めないと いけないところが、上記定義では ”1≦2 ∨ 2≦1”のままで決まってない 　同義反復というか、循環している・・・ 4）さらに、反例を挙げると、空でない集合Xとして 実数Rを取ります 　実数Rについて、「二項関係≦を ∀Y⊂R.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) で定義する」として下さい 　それで、『実数Rの任意の空でない部分集合Yに最小元f(Y)が存在するから、≦は実数R上の整列順序である』？ 　それ 実数Rの整列の最小元の存在証明どこにあるの？ 自明？ ；ｐ） 5）さらに、空でない集合Xとして 複素数Cを取ります 　複素数Cに対し、「二項関係≦を ∀Y⊂C.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) で定義する」？ 　そんな簡単に、複素数C そもそも 全順序が入るのか？ そして 　『実数Rの任意の空でない部分集合Yに最小元f(Y)が存在するから、≦は実数R上の整列順序である』ってｗ？ お気楽な話ですなｗ ；ｐ） 大学1年で集合論を習いたての書いた証明なら、まだ かわいいが 数学科修士卒を鼻に掛ける男の証明がこれかい？ 証明の体をなしていないねｗ ；ｐ） つづく 440 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/18(土) 23:41:04.22 ID:yCcyDMub.net] つづき (参考) mathlandscape.com/binary-relation/ 数学の風景 二項関係とは 2023.10.26 ある集合 A があったとしましょう。この2つの元 x,y∈A に対し，何らかの「関係」が定まっているとします。このとき， x,y には関係があるといいます。 このように，ある集合の2つの元に定める「関係」を，二項関係といいます。 たとえば，A を人間たちの集合とします。人 x,y∈A が友達であるとき， x,y は「関係がある」と言うことにしましょう。これが「二項関係」です。 この関係に名称をつけるなら「友達関係」ですね。友達でない二人の人には，「友達関係はない」ですね。 他にも，人間同士には，「知り合いの関係」「部下と上司の関係」「同僚の関係」「同国籍の関係」など，さまざまな関係を定めることができそうですね。 あるいは，R を実数の集合としましょう。この上には， x,y に対して，x≤y あるいは y≤x という「二項関係」が定まっています。 これを順序関係（大小関係）と言ったりします。 二項関係の厳密な定義 1つの集合の上には，いろいろな「二項関係」を考えることが可能ですから，一般に数学において「二項関係」を定義するときは，関係があるかないかのみを定義します。 関係があるかないかを数学的に厳密に定義したいとしましょう。果たしてどうすればよいでしょうか。 441 名前：厳密な定義を見てみましょう。 定義（二項関係） R が A 上の二項関係 (binary relation) であるとは，直積集合 A^2 =A×A の部分集合R⊂A×Aのことである。 (x,y)∈R のことを，xRy ともかく。 R という記号を持ちましたが，実際は ∼,≤ をはじめ，さまざまな記号が用いられます。 ちょっと定義に戸惑ったかもしれません。数学的に「2つの関係」の有無を定義しようと思うと，関係があれば属するような集合を考えるというわけです。 (x,y)∈R なら xRy という関係があると考え，(x,y) not∈R なら，そのよう関係がないと考えるわけですね。 たとえば，R 上の順序関係（大小関係） R は，集合でかけばR={(x,y)∈R^2 ∣x≤y} とかけます。 mathlandscape.com/ordered-set-2/ 数学の風景 半順序集合・全順序集合の定義・具体例4つとその周辺 2023.08.16 定義（前順序集合・半順序集合・全順序集合） X 上の4つの二項関係 ≤ について， 1.任意の x∈X に対して，x≤x (反射律) 2.x,y,z∈X に対して，x≤y,y≤z ならば x≤z (推移律) 3.x,y∈X に対して，x≤y,y≤x ならば x=y (反対称律) 4.任意の x,y∈X に対して，x≤y または y≤x (完全律) のうち， 1,2 をみたすものを前順序集合 (preorderd set)， 1,2,3 をみたすものを半順序集合 (順序集合; partially ordered set; poset)， 1,2,3,4をみたすものを全順序集合 (totally ordered set)という つづく [] [ここ壊れてます] 442 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/18(土) 23:41:23.48 ID:yCcyDMub.net] つづき mathlandscape.com/wellordered-set/ 数学の風景 整列集合と整列可能定理 2024.01.21 整列集合とは，「間隔を空けてきれいに順番に並んだ」集合のことで，具体的には，どんな部分集合を持ってきてもちゃんと大小関係として最小値が定まるような順序集合のことを言います。 整列集合の定義 整列集合＝全順序＋(任意)部分集合が常に最小値を持つ 定義1（整列集合） 半順序集合 A に対し，任意の空でない部分集合が最小値を持つとき，整列集合 (well-ordered set) という。 「半順序集合」といいましたが，任意の2元が最小値を持つことから，整列集合は全順序集合です。半順序集合・全順序集合については以下の図が分かりやすいと思います(→半順序集合・全順序集合の定義・具体例4つとその周辺)。 前順序集合：反射律と推移律 半順序集合：反射律、推移律と反対称律 全順序集合：反射律、推移律、反対称律と完全律 5. 整列可能定理 （いつもお世話になっている尾畑先生） www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/ 東北大 尾畑研 www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_12.pdf 第12章 順序集合 www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_13.pdf 第13章 整列集合 13.1 整列集合 順序集合(X,≼)はすべての空でない部分集合が最小元をもつとき整列集合であるといいそのような順序を整列順序という 定義から整列集合は必ず全順序集合であることに注意しよう 実際a,b∈Xに対して集合{a,b}はXの空でない部分集合になるからそれは最小元をもつ最小元はaまたはbであるがそれがaであればa≼bとなるしそれがbであればb≼aとなる これは任意のa,bが比較可能であることを意味し Xは全順序集合であることがわかる 定義から空でない整列集合Xそれ自身は最小元min X をもつ ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88 整列集合（英: well­ordered set）、または整列順序付けられた集合（せいれつじゅんじょづけられたしゅうごう）とは、数学における概念の1つで、整列順序を備えた集合のことをいう。ここで、集合 S 上の整列順序関係 (well­order) とは、S 上の全順序関係 "≤" であって、S の空でない任意の部分集合が必ず ≤ に関する最小元をもつものをいう。 順序数 →詳細は「順序数」を参照 任意の整列集合は、その整列集合の順序型と呼ばれるただ一つの順序数に順序同型である。 実数からなる集合 正の実数全体の成す集合 R+ に通常の大小関係 ≤ を考えたものは整列順序ではない。例えば開区間 (0, 1) は最小元を持たない。一方、選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる。しかし、ZFC や、一般連続体仮説を加えた体系 ZFC+GCH においては、R 上の整列順序を定義する論理式は存在しない[1]。ただし、R 上の定義可能な整列順序の存在は ZFC と(相対的に)無矛盾である。例えば V=L は ZFC と(相対的に)無矛盾であり、ZFC+V=L ではある特定の論理式が R（実際には任意の集合）を整列順序付けることが従う。 (引用終り) 以上 443 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/18(土) 23:47:25.02 ID:yCcyDMub.net] >>409 タイポ訂正 　そんな簡単に、複素数C そもそも 全順序が入るのか？ そして 　　↓ 　そんな簡単に、複素数Cに そもそも 全順序が入るのか？ そして 　『実数Rの任意の空でない部分集合Yに最小元f(Y)が存在するから、≦は実数R上の整列順序である』ってｗ？ 　　↓ 　『複素数Cの任意の空でない部分集合Yに最小元f(Y)が存在するから、≦は複素数C上の整列順序である』ってｗ？ 444 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/19(日) 06:19:26.25 ID:xK12QWtu.net] >>409 > 数学科修士卒を鼻に掛ける男の証明がこれかい？ 　なんでもかんでもあの男のもんだと思う阪大工学部卒の凡人 　これは憎しみか、それとも・・・愛？（キモッ！！！） 445 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/19(日) 06:21:50.60 ID:xK12QWtu.net] >>406 > 制限された 整列可能定理→選択公理 の場合で > 集合族の和集合の濃度を、可算和定理以下に抑えたいときは > 可算和定理 を仮定する必要があるってことですね 　なにいってんだこいつ 446 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/19(日) 08:49:01.75 ID:RlRmaz0L.net] >>408 >実際はみんな普通の人 ID:Jha5BKz+ は、御大か 夜の巡回ご苦労さまです ところで、下記のわんこら氏ととんすけ氏のヨーツベ動画をご紹介します わんこらさんは、京大数学科に入学するも 杉浦解析入門1で はまって、それを最初のページから完璧に理解しようと 家で勉強で ヒキコモリになって 5〜6年たち 単位が足らずに、1年で必死に勉強して 京都大学の数理解析研究所に筆記合格するも 面接で落とされた（なんで学部3年で来るところを6〜7年も・・・で） 落ちて、数学科の教官から ”君は数学の才能何もないけどそれ言われる んですよ 何もないけど人格がいいそこは僕は認めて るっていう その時はすごいショックやった んですけどでも今となっては 思って言ってくれててんなっていうことが 今となってわかります 受かってたってどう なったかわかんないですもんね あそうですね” で、いまは わんこら氏は、数学ユーチューバーで有名です とんすけ氏は、立命館大学数理科学科首席卒とか 人生、それも一局かな・・ なお 「数学の才能何もないけど 　人格悪いやつ」も 世の中いたり・・ｗ とかも、思ったりもしています （＾＾ (参考) (ヨーツベ動画：URL通らないので削除。検索請う) 【新高校生・新大学生必見】数学科の闇を知り尽くした勉強法と最強の1冊 2023/02/17 とんすけ ー概要ー わんこらさん とコラボしました 今回は真面目な動画になりました。 高校数学、大学数学、一般数学を学ぶにあたって、どういう本を学べばいいか？簡単な本か難しい本どちらを使えばいいか？議論してきました。 ーーーとんすけ'sプロフィールーーー 高校：偏差値43の公立で英語欠点連発 大学：立命館大学数理科学科首席卒 大学院：ワシントン大学大学院（確率専門） 　　　　鬱発症・難病発覚からの退学 いま：データサイエンティスト・業務コンサル つづく 447 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/19(日) 08:49:39.48 ID:RlRmaz0L.net] つづき 文字起こし 1:56 筆記だけかって数理科学研究所受かって 1:59 京都大学の数理解析研究所のすぐに買付な んですよねそのコースそのコースはそれが 一応難しいと言われてるけどその 2:08 筆記も合格して 面接でボコボコされて なんで君はこの7年経ってるんやみたい こいつやばいやつ 2:19 筆記試験 うかった人って落ちないらしいんですよ だから大丈夫ですみたいな説明してて僕が 落ちる よっぽど変なやつやったみたい 3:01（教授から） 君は数学の才能何もないけどそれ言われる んですよ 何もないけど人格がいいそこは僕は認めて るっていうその時はすごいショックやった んですけどでも今となっては 思って言ってくれててんなっていうことが 今となってわかります 受かってたのでどう なったかわかんないですもんねあそうですね 3:20 こんななんか仲良くみんなとなれてたの かっていうこうやって知られてその 知り合いで喋れてるっていう一番楽しい 3:27 それ大事ですよね自分が思ってる才能と 周りから見た時の本当の才能って違うもの 3:35 わからないです (引用終り) 以上 448 名前：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [2025/01/19(日) 09:36:25.41 ID:RlRmaz0L.net] >>360 余談ついでに 日本棋院理事長 武宮 陽光 応援を兼ねて 　>>360より www.yomiuri.co.jp/igoshougi/kisei/20250115-SYT8T6216423/ 【棋聖戦第１局詳報】七番勝負開幕、椿山荘対局を制するのは一力遼棋聖か井山裕太王座か 2025/01/17 第49期棋聖戦 七番勝負第１局(解説付き) ここに、解説付きの動く棋譜があります これを見ると 白154と右下隅を打ったのが、井山さん 疑問手 黒155と中央を取りかけに行く、一力さん 　この石が、本当は死んでいるみたい 　これで、一力さん優勢に 黒161と右に引いて緩んだのが、敗着らしい 　ここは、逆の左側に突き出して、目を取りにいけば、白を取れていたか 　実戦は、黒161と緩んだので、中央が劫になってしまった 　ここで、黒は形勢を損ねて、井山さんに押し切られたみたいです 449 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/19(日) 09:55:05.91 ID:xK12QWtu.net] >>417 数学諦めて囲碁でもやってろ 囲碁には論理ないからな　 囲碁はサルでもできる遊戯でよかったな！ 450 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/19(日) 09:56:24.17 ID:xK12QWtu.net] 囲碁には論理がない まったく何も考えずに感覚だけで打っても勝ちさえすればOK しかし数学ではそんなことは不可能 数学は囲碁とは全然違うのだよ 451 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/19(日) 10:13:52.49 ID:RlRmaz0L.net] >>409 補足 (引用開始) 定理　選択公理⇒整列定理 証明 空でない集合Xの任意の空でない部分集合Yをその元∃y∈Yに対応させる写像f(Y)=yの存在が選択公理により保証される。 X上の二項関係≦を ∀Y⊂X.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) で定義する。 (引用終り) 初心者のために 1）これ、二項関係≦ の定義に、まったくなっていない 　つまり、>>409に記したように 　”数学の風景 二項関係とは で 　『R が A 上の二項関係 (binary relation) であるとは，直積集合 　A^2 =A×A の部分集合R⊂A×Aのことである。 　(x,y)∈R のことを，xRy ともかく』とある通りです 　（Rは実数ではなく、関係のことです） 　それで、二項関係は、直積A^2に対して、外から 関係Rを決めてやらないと、二項関係にならない 　A^2 =A×A 全体ではなく、部分集合R⊂A×A たる 集合Rを決めないといけないのです！” 　ということ 2）例えば、集合{0,1,2,3}と4元の集合で 　ここに、整列可能定理を適用して、お好みで 　3≦1≦0≦2 と整列させた。3は長嶋背番号、1は王貞治背番号、0はかっこいい と 3）で、直積A^2の話 　(3,3) (3,1) (3,0) (3,2) 　(1,3) (1,1) (1,0) (1,2) 　(0,3) (0,1) (0,0) (0,2) 　(2,3) (2,1) (2,0) (2,2) 　となって、正方形 直積A^2 ができる 　二項関係 ≦は、いまの場合 　この正方形の対角線より上の部分の集合のことです 4）これを、例えば 実数Rに適用すると 　3≦1≦0≦2≦r4≦r5≦r6・・・｜ r4,r5,r6・・・∈R 　と、非可算の長さの順序列ができる 　これを、縦にも並べて、上記 3)項のペア(順対)を、RxR 作る 　この 非可算列よりなる正方形（一応分かり易くこう表現）の 　対角線より 上の部分の集合が、実数Rの 2項関係 ≦ による整列です 　列 r4,r5,r6・・・の部分は、最後まで具体的に書くことはできないが 　整列可能定理は、数学として その存在を保証するのです （蛇足だが、列 r4,r5,r6・・・の先頭有限部分は、好きな並びにして 残りを 整列可能定理に任せて良い） 5）さて、上記1)〜4）と、冒頭の ∀Y⊂X.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) を対比してみると 　まったく、2項関係の定義として、サマになっていないｗ ；ｐ） 　例えば、∀y∈Y.(f(Y)≦y)ってなに？ そのすぐ上に f(Y)=y に書いてあるから 「y≦y」？ 　それとも、Y＝X として （∵Xの任意の空でない部分集合Y） 　f(X)=x ｜ x≠Φ（空集合） とできる 　すると、f(Y)≦y) → ∀x≦y ？ 　x は、集合Xの任意の元だから、∀x≦y って、全くナンセンス（無限集合だと、最大値が存在しないかも） 　こんなん、2項関係の定義として、全くサマになっていない！■ ”∀Y⊂X.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) ”の記号表記に 自己陶酔している その実、選択公理も 整列可能定理も、そもそも2項関係の根本から分ってない！ こんなやつが、数学科修士卒を鼻に掛けて、いばる 便所板 5ｃｈ 滑稽極まりないなｗ ；ｐ） 452 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/19(日) 10:17:35.82 ID:RlRmaz0L.net] >>420 タイポ訂正 　すると、f(Y)≦y) → ∀x≦y ？ 　　↓ 　すると、f(Y)≦y → ∀x≦y ？ 453 名前：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [2025/01/19(日) 11:09:31.22 ID:RlRmaz0L.net] >>404 戻る (引用開始) en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem Well-ordering theorem Proof from axiom of choice Let the set we are trying to well-order be A, (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}. Notes T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics). P48 Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem) 冒頭 ”Proof. Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence｛ aα : α < θ ｝that enumerates A . と始まり 途中は ほぼ上記と同じ（記法が少し異なっている） 最後 ”Clearly, ｛aα : α <θ｝ enumerates A.”となっている （enumerate ＝ 列挙 また、α は 順序数の添え字。α <θ は、ある順序数θ未満のα という意味だろう） (引用終り) さて、 1）冒頭 ”of order type sup{α∣aα is defined}.”の部分は、平たくいえば 　整列させようとする集合Aについて、集合Aは濃度を持つので、その濃度から 対応する 順序数の列長さが決まる 　それを、”of order type sup{α∣aα is defined}.”と書いたり、 　” it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence｛ aα : α < θ ｝that enumerates A”、最後 ”Clearly, ｛aα : α <θ｝ enumerates A.” 　としているのでしょう 2）なお、トマーシュ・イェフ（Tomáš Jech, 1944年1月29日 - ）さん、基礎論の世界では有名らしい 　で、”大著『集合論』(Set Theory)はその後も改訂を重ね、公理的集合論における代表的な教科書として読み継がれている” 　とあります。en.wikipediaの証明は、そこに依拠している (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%BB%E3%82%A4%E3%82%A7%E3%83%95 トマーシュ・イェフ（Tomáš Jech, 1944年1月29日 - ）はチェコ出身の数学者。専門は公理的集合論、集合論的位相空間論、測度論等。英語圏での活動が長く、著作の署名には英語ふうの“Thomas”（トーマス）を用いることが多い。エルデシュ数は2。 1978年に出版された大著『集合論』(Set Theory)はその後も改訂を重ね、公理的集合論における代表的な教科書として読み継がれている。 Thomas J. Jech, Set Theory, Academic Press, 1978. 2nd ed., Springer, 1997. 3rd ed., Springer, 2002 (ISBN 9783540440857). https://en.wikipedia.org/wiki/Thomas_Jech Thomas J. Jech (Czech: Tomáš Jech, pronounced [ˈtomaːʃ ˈjɛx]; born 29 January 1944 in Prague) is a mathematician specializing in set theory who was at Penn State for more than 25 years. External links https://web.archive.org/web/20120504114504/www.math.cas.cz/~jech/ Home page Archived 2012-05-04 at the Wayback Machine, with a copy at Penn state. 454 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/19(日) 11:24:57.37 ID:Ql1n3AY7.net] 或る π/2＜e'＜π なる超越数 e' が存在して、π−e' が実代数的数であると仮定する a＝π−e' とおく aの定義から、π−a＝π−(π−e')＝e' であって π/2＜e'＜π だから、 複素平面上の単位円周上の弧を実軸で切断した 複素上半平面 C^{+} における単位半円周 c^{+} 上 での点 e^{(π−a)i} の偏角の主値 π−a は確かに超越数 e' である 455 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/19(日) 11:26:45.92 ID:Ql1n3AY7.net] e' の仮定から e' は π/2＜e'＜π なる超越数だから、 aの定義から 0＜a＝π−e'＜π/2 であって、 aの仮定に注意すれば、複素上半平面 C^{+} における半円周上単位半円周 c^{+} 上 での点 e^{ai} の偏角の主値aは実代数的数である 456 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/19(日) 11:28:10.66 ID:Ql1n3AY7.net] よって、複素上半平面 C^{+} 上の 2点 e^{(π−a)i}、e^{ai} の 各偏角の主値 π−a、a を考えれば複素上半平面 C^{+} 上 の 2点 e^{(π−a)i}、e^{ai} は虚軸について対称ではない しかし、複素上半平面 C^{+} 上の 2点 e^{(π−a)i}、e^{ai} は 虚軸について対称だから、矛盾が生じる 457 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/19(日) 11:29:02.50 ID:Ql1n3AY7.net] この矛盾は π/2＜e'＜π なる超越数 e' が存在して π−e' が実代数的数であると仮定したことから生じたから、 背理法により π−e' が実代数的数である π/2＜e'＜π なる超越数 e' は存在しないから、 任意の π/2＜e'＜π なる超越数 e' に対して π−e' は超越数である 超越数eは π/2＜e＜π を 458 名前：満たすから、π−e は超越数である [] [ここ壊れてます] 459 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/19(日) 11:53:10.34 ID:MeW3b4Rf.net] 雑談さんは、>>292の証明は、整列定理から作った特別な選択函数を用いれば成立するということは分かりますかね？ >>426 それでいいと思ってるなら、マジで数学の才能ゼロだから、今すぐやめた方がいい。 もし病気なら、治療を優先すべき。 460 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/19(日) 12:02:14.90 ID:Ql1n3AY7.net] >>427 実代数的数の全体がなす体上で 級数で表された2つの超越数π、eが 一次独立であるかどうかを考えたことはあるか？ 461 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/19(日) 12:06:10.68 ID:Ql1n3AY7.net] あっ、π/2＜π−1＜π という反例があったか 残〜念 462 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/19(日) 12:12:18.92 ID:Ql1n3AY7.net] >>427 受験数学じゃあるまいし、数学の才能というのはないと思った方がいい 463 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/19(日) 12:19:56.35 ID:Ql1n3AY7.net] π−1 じゃないな 周期に属する π/2＜e'＜π なる実数の超越数 e' か 464 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/19(日) 12:33:52.90 ID:Ql1n3AY7.net] ということは、π/2＜e＜π だからeが周期に属すると仮定して、 π−e が実代数的数か実数の超越数かで場合分けして 同様に考えれば、矛盾が得られて、 2つの超越数πとeは有理数体Q上代数的独立である 465 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/19(日) 12:33:58.61 ID:MeW3b4Rf.net] おっちゃんによると 1.π/2＜e'＜π なる超越数 e' 2.π−e' が実代数的数である が両立することはないらしいが aを0<a<π/2なる実代数的数として e'=π-a とおけば、1.2.が両立する。 466 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/19(日) 12:36:51.59 ID:MeW3b4Rf.net] おっちゃん「周期」の意味分かってんのか？ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%91%A8%E6%9C%9F_(%E6%95%B0%E4%BD%93%E7%B3%BB) 自分が理解してない用語は一切使うな。 467 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/19(日) 12:39:26.69 ID:MeW3b4Rf.net] 周期 (数体系) 数学の特に解析数論周辺分野における周期（しゅうき、英: period）は、 ある種の代数的な領域上でとった代数函数の積分として表される複素数を言う。 周期全体の成す集合は、和と積に関して閉じており、環を成す。

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