- 375 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/16(木) 23:44:15.76 ID:AB73gH0c.net]
- >>341
>下記の"選択公理を仮定すれば、整列定理により任意の集合 A に対して A と同数であるような順序数が存在することが言える"
>を使うと、循環論法になる
なんか、思い出してきたな・・
下記の ”スコットのトリック”を、使う”スジ”が、あるね ；ｐ）
なお、Dana Scott氏は、コンピュータサイエンスや圏論で有名は方です
(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B9%E3%82%B3%E3%83%83%E3%83%88%E3%81%AE%E3%83%88%E3%83%AA%E3%83%83%E3%82%AF
スコットのトリック(英: Scott's trick)とは真クラス上の同値関係についての同値類の定義を、累積的階層のレベルを参照することによって与える方法である[1]。
この方法は選択公理でなく正則性公理に依存している。選択公理を仮定しないZFにおいて順序数の代表元を定義するのに用いることができる[2]。この方法は Dana Scott (1955) によって導入された。
順序数の代表元を集合として定義する問題を超えて、スコットのトリックは基数の代表元を得たり、もっと一般的な同型類（英語版）にも用いることができる。例えば、全順序集合の順序型はその一例である[1]。また、スコットのトリックはモデル理論において真クラスの超冪を作るときに（選択公理を仮定したとしても）必要であると信じられている[3]。
濃度への応用
スコットのトリックの典型的な使われ方は、濃度に対する使用例に見られる。
ZFCにおいて、濃度の代表元として基数を割り当てる1つの方法としては、同じ濃度を持つ順序数のうち最小のものを基数とするものがある。これらの特別な順序数はいわゆるアレフ数である。しかし選択公理を仮定しないZFの場合、濃度によっては最小の順序数が見つかるとは限らず、それらの集合の濃度は代表元としての基数になる順序数を持てない。
一方、スコットのトリックでは異なる方法で代表元を割り当てる。任意の集合
A に対してそれと等濃度の集合全体を考えた時に累積的階層の最小の階数
Vα が存在することを利用する。この定義は全ての集合が整列可能である（この仮定は選択公理と同値）という状況でないときでも、全ての濃度に代表元を定めることができる。これに選択公理は不要だが、正則性公理は不可欠である。ただし、この定義において用いた最小の階数が同じになったからといってそれらの集合の全てが同じ濃度を持つわけではなく、また選択公理による定義のもとでは可能であった、任意の集合間の濃度の比較ができるわけでもないことには注意しなければならない。
一般的なスコットのトリック
略す
つづく
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