- 368 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/16(木) 16:40:48.43 ID:6RwEALUm.net]
- つづき
正式な定義
上の説明では type(A, <A) をきちんと定義したことにはならない。なぜなら、全順序集合の "型" とは何かが定義されていないからである。(※) をみたすようにすべての全順序集合 (A, <A) に対して type(A, <A) を定義する方法として、まず次のようなものが考えられる。それは、(A, <A) と同型な順序集合全体の集合を type(A, <A) と定義する方法である。実際、このように定義すれば (※) が成り立つことが示せるので何の問題もないように思えるかもしれない。だが、この方法には一つ大きな欠点がある。それは、A が空集合でない限り (A, <A) と同型な順序集合全体の集合というものは存在しないことが（集合論の公理から）示されるということである。つまり、そのような集まりはあまりに大きすぎるため集合になることができないのである。**)
したがって上のような仕方で type(A, <A) を定義することはできない。そこで、この方法を少し修正して次のように順序型を定義する：
全順序集合 (A, <A) に対して type(A, <A) とは、(A, <A) と同型な順序集合のうちで階数が最小のもの全体の集合である。type(A, <A) を (A, <A) の順序型と呼び、ある全順序集合の順序型であるものを単に順序型と呼ぶ[1]。
全順序集合 (A, <A) と同型な順序集合で階数が最小であるものの階数を α とすれば、type(A, <A) の要素はすべて Vα + 1 [2]に属するので、type(A, <A) はきちんと集合として定義されている。このようにして定義された順序型が (※) の性質をみたしていることは次のようにして示すことができる：
略す
(引用終り)
注）**)
良く知られているが、"順序集合全体の集合といったもの"は、クラスになり、集合ではない。
***)
"選択公理を仮定すれば、整列定理により任意の集合 A に対して A と同数であるような順序数が存在することが言える"
は、面白いｗ
循環論法か・・
多分、少し工夫すれば・・ 選択公理→整列定理 を導くときの 順序数 との対応について
循環論法を避けられる気がするが、すぐには思いつかないが・・ ；ｐ）
以上
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