- 363 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/16(木) 10:54:46.00 ID:6RwEALUm.net]
- >>292より 再録
定理 選択公理⇒整列定理
証明
空でない集合Xの任意の空でない部分集合Yをその元∃y∈Yに対応させる写像f(Y)=yの存在が選択公理により保証される。
X上の二項関係≦を ∀Y⊂X.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) で定義する。
反射律の確認：∀a∈Xについて、≦の定義を{a}に適用しa≦aを得る。
推移律の確認：∀a,b,c∈Xについて、a≦b ∧ b≦c を仮定する。≦の定義を{a,b,c}に適用しa≦cを得る。
反対称律の確認：∀a,b∈Xについて、a≦b ∧ b≦a を仮定する。≦の定義を{a,b}に適用しf({a,b})=a ∧ f({a,b})=bを得る。fは写像だからa=b。
全順序律の確認：∀a,b∈Xについて、fの定義よりf({a,b})=a ∨ f({a,b})=b。≦の定義を{a,b}に適用しa≦b ∨ b≦aを得る。
以上で≦がX上の全順序であることが確認された。
さらに、≦の定義より、Xの任意の空でない部分集合Yに最小元f(Y)が存在するから、≦はX上の整列順序である
(引用終り)
・これ、いま思うと、君は 集合X から 要素を取り出さずに、集合X の中で
整列順序を構築しようとしたんだね
・しかし、選択公理⇒整列定理 の 標準的な ”証明のスジ” は
整列順序については、順序数との対応を付けることで、軽く流す
・順序数との対応を付けるために、
”集合X から 要素を取り出して 並べる”という
これは 多分定石だろうが
それを知らなかったんだ
つまり、数学の 定石と手スジ（手筋）の勉強不足だった
そういうことですね
ご苦労様です
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