ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

[表示 : 全て最新50 1-99 101- 201- 301- 401- 501- 601- 701- 801- 901- 1001- 2ch.scのread.cgiへ]
Update time : 05/02 03:21 / Filesize : 739 KB / Number-of Response : 1078
[このスレッドの書き込みを削除する]
[＋板最近立ったスレ＆熱いスレ一覧 : ＋板最近立ったスレ／記者別一覧] [類似スレッド一覧]


↑キャッシュ検索、類似スレ動作を修正しました、ご迷惑をお掛けしました

1 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/01(水) 09:57:08.60 ID:2b7XvZNh.net]: 前スレが1000近く又は1000超えになったので、新スレを立てる

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/
前スレガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11

このスレは、ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレです
関連は、だいたい何でもありです（現代ガロア理論＆乗数イデアル関連他文学論・囲碁将棋まであります）

資料としては、まずはこれ
https://sites.google.com/site/galois1811to1832/
ガロアの第一論文を読む
渡部一己著（2018.1.28）
PDF
https://sites.google.com/site/galois1811to1832/galois-1.pdf?attredirects=0

＜乗数イデアル関連＞
ガロア第一論文及びその関連の資料スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/785 以降ご参照
https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplier_ideal Multiplier ideal
https://mathoverflow.net/questions/142937/motivation-for-multiplier-ideal-sheaves motivation for multiplier ideal sheaves asked Sep 23, 2013 Koushik

＜層について＞
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
層 (数学)
https://en.wikipedia.org/wiki/Sheaf_(mathematics)
Sheaf (mathematics)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Faisceau_(math%C3%A9matiques)
Faisceau (mathématiques)

あと、テンプレ順次

つづく
321 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/15(水) 16:25:36.66 ID:DaNVyEvy.net]: ◆yH25M02vWFhP は自分が数学の理論を全く分かってないことが分かってない
そもそも理論とはどういうものかは分かってない
彼にとって数学は公式と計算方法でしかないから
（彼には論理が理解できない　ただ言葉で連想するだけ　生成ＡＩと同じｗ）
322 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/15(水) 17:10:39.72 ID:l2ptd/jY.net]: >>292
その証明、正しい？
どこにそれ載ってる？
323 名前：現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [2025/01/15(水) 17:44:50.56 ID:ZCTGHyhi.net]: 公開処刑火刑の燃料投下！；ｐ）

下記”The axiom of choice in metric measure spaces and maximal δ-separated sets”
”可算選択公理は、擬距離空間上のボレル測度の存在が、開球の測度が正で有限であることから、その空間の可分性を意味することを証明するのに必要かつ十分であることを示す”
ボレル測度や、ルベーグ測度を作るのに、ZFCが必要か
はたまた ZF＋DC(従属選択)でよいのか？それが問題だ by ハムレット；ｐ）
調査中

(参考)
link.springer.com/article/10.1007/s00153-023-00868-4
Archive for Mathematical Logic
The axiom of choice in metric measure spaces and maximal δ-separated sets
Michał Dybowski & Przemysław Górka Volume 62 (2023)
Abstract
We show that the Axiom of Countable Choice is necessary and sufficient to prove that the existence of a Borel measure on a pseudometric space such that the measure of open balls is positive and finite implies separability of the space. In this way a negative answer to an open problem formulated in Górka (Am Math Mon 128:84–86, 2020) is given. Moreover, we study existence of maximal
δ-separated sets in metric and pseudometric spaces from the point of view the Axiom of Choice and its weaker forms.
(google訳)
可算選択公理は、擬距離空間上のボレル測度の存在が、開球の測度が正で有限であることから、その空間の可分性を意味することを証明するのに必要かつ十分であることを示す
このようにして、Górka (Am Math Mon 128:84–86, 2020) で定式化された未解決問題に対する否定的な答えが与えられる

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9C%E3%83%AC%E3%83%AB%E6%B8%AC%E5%BA%A6
ボレル測度（英: Borel measure）とは、次のように定義される測度のことである：X を局所コンパクトなハウスドルフ空間とし
B(X) を X の開集合を含む最小のσ-代数とする。このような
B(X) はボレル集合のσ-代数と呼ばれる。ボレル測度とは、ボレル集合のσ-代数上で定義される任意の測度 μ のことを言う
実数直線上において
通常の位相を備える実数直線 R は局所コンパクトなハウスドルフ空間であるため、その上でボレル測度を定義することが出来る。そのような場合
B(R) は R の開区間を含む最小のσ-代数となる。そのようなボレル測度 μ は多く存在するが、すべての区間
[a,b] に対して
μ([a,b])=b－a であるようなボレル測度 μ は、しばしば、R 上の代表的なボレル測度（"the" Borel measure）と呼ばれる。実際には、そのような代表的なボレル測度でさえも、ボレル集合のσ-代数上定義される測度の中で最も便利なものであると言う訳ではない。実際、ボレル測度では必要とされない完備性という重要な性質を備えたルベーグ測度
λ が、そのような代表的なボレル測度の拡張として存在している。ここで、ルベーグ測度
λ がボレル測度
μ の拡張であるとは、すべてのボレル可測集合 E がルベーグ可測であり、さらにその集合上ではボレル測度とルベーグ測度が一致する（すなわち
λ(E)=μ(E) がすべてのボレル可測集合に対して成立する）ということを意味する
つづく
324 名前：現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [2025/01/15(水) 17:46:02.37 ID:ZCTGHyhi.net]: つづき(森田の定理:有名な森田紀一先生らしい)

ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E5%88%86%E7%A9%BA%E9%96%93
可分空間（英: separable space）とは、可算な稠密部分集合を持つような位相空間をいう
325 名前：。 つまり、空間の点列 {xn}n=1-∞ で、その空間の空でない任意の開集合が少なくとも一つその点列の項を含むものが存在する。 他の可算公理と同様に、可分性は空間の「大きさの制限」を与えるものである。これは必ずしも濃度に関するものではなく、より微妙な位相的な意味での「大きさ」である。（ただしハウスドルフ空間の場合は濃度に関する制限にもなっている。下記参照。）特に、可分空間上の連続写像でその像がハウスドルフ空間の部分集合であるようなものは全て、その可算稠密部分集合上の値によって決定される。 一般に、可分性は極めて有用で（幾何学や古典的な解析学で研究されるような空間のクラスに対しては）きわめて緩やかなものと一般に考えられる、空間への技術的仮定である。 可分性とそれに関連のある第二可算性の概念の比較は重要である（第二可算のほうが一般には強い条件だが、距離化可能な空間のクラスでは同値になる。 簡単な例 位相空間が、それ自身有限または可算無限集合となるようなものは、全体集合がそれ自体可算稠密集合となるから、全て可分である。非可算な可分空間の重要な例として、実数直線が挙げられる（この場合、有理数全体の成す部分集合が可算稠密部部分集合を与える）。同様に、Rn の全ての成分が有理数であるようなベクトル (r1, …, rn) 全体の成す集合は Rn の可算稠密部分集合となるから、任意の n に対する n-次元ユークリッド空間は可分である。 可分でない空間の単純な例は、非可算濃度を持つ離散空間である。 より複雑な例は後述する。 更なる例 可分空間 任意のコンパクト距離空間（あるいは距離化可能空間）は可分である。 非可分空間 ・ω1はその順序位相に関する位相空間（順序数空間）として可分でない。 ・有界実数列全体の成すバナッハ空間 l∞ は上限ノルムに関して可分でない。同じことはルベーグ空間 L∞ でも成り立つ。 ・有界変動函数全体の成すバナッハ空間は可分でない。にもかかわらず、この空間は数学、物理学、工学において重要な応用を持つことは特筆すべきである。 リンデレフ空間の性質 一般には、リンデレフ性と（パラコンパクト性などの）他のコンパクト性条件との間には（どちら向きにも）包含関係は成立しないが、森田の定理により任意の正則リンデレフ空間はパラコンパクトである。また任意の第二可算空間はリンデレフだが、逆は成り立たない つづく []: [ここ壊れてます]
326 名前：現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [2025/01/15(水) 17:46:45.29 ID:ZCTGHyhi.net]: つづき

ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A3%AE%E7%94%B0%E7%B4%80%E4%B8%80
森田紀一（1915年2月11日 – 1995年8月4日）は日本の数学者。専門は代数学、位相空間論。
静岡県浜松生まれ。1939年、東京文理科大学の助手に就任。1950年、大阪大学で学位を取得。以後、東京教育大学、筑波大学、上智大学で教授を務める。代数学においては、森田双対性や、森田同値の概念を導入。一般位相空間論においては正規空間の研究、次元論、shape理論に関する業績がある。
関連文献
Hoshina, T.; Nagata, J.; Okuyama, A.; Watanabe, T. (1998), “Kiiti Morita 1915–1995”, Topology Appl. 82: 3–14, doi:10.1016/S0166-8641(97)00040-0, MR1602411, Zbl 0887.01024

www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0166864197000400?via%3Dihub
Topology and its Applications
Volume 82, Issues 1–3, 23 January 1998, Pages 3-14
T. Hoshina 、J.
327 名前： Nagata ∗ 、A. Okuyama ,T. Watanabe Kiiti Morita 1915-1995 ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AC%AC%E4%BA%8C%E5%8F%AF%E7%AE%97%E7%9A%84%E7%A9%BA%E9%96%93 第二可算空間（英: second-countable space）とは、第二可算公理を満たす位相空間のことである。空間が第二可算公理を満たすとは「その位相が可算な開基を持つ」ということを言う。つまり、位相空間 T が第二可算的であるとは、T の可算個の開集合からなる族 U={Ui}i=1-∞ が存在して、T の任意の開集合が U の適当な部分族に属する開集合の和に表されることをいう。他の可算公理と同様に、第二可算であるという性質は、その空間が持つことのできる開集合の数を制限するものになっている。 「素性のよい」空間のほとんどは第二可算的である。例えば、普通の位相を入れたユークリッド空間 (Rn) がそうである。全ての開球体を考える通常の開基をとるとこれは可算ではないけれども、半径が有理数で中心が有理点であるような開球体全体のなす集合を考えると、これは可算であり、開基も成す つづく []: [ここ壊れてます]
328 名前：現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [2025/01/15(水) 17:47:05.20 ID:ZCTGHyhi.net]: つづき

ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AC%AC%E4%B8%80%E5%8F%AF%E7%AE%97%E7%9A%84%E7%A9%BA%E9%96%93
第一可算空間（英: first-countable space）とは、"第一可算公理"を満たす位相空間のこと。位相空間 X が第一可算公理を満たすとは「各点 x が高々可算な近傍からなる基本近傍系（局所基）をもつこと」を指す。
すなわちx の可算個の開近傍 U1, U2, …で以下の性質を満たすものが存在するということである：
x の任意の近傍 V に対しある
i∈N が存在し、Vは Uiを部分集合として含む。
例と反例
普通に使われる空間のほとんどは第一可算的である。特に、距離空間はすべて第一可算的である。
というのは、各点 x に対し、それを中心とする半径 1/n (n は正の整数) の開球の系列は x の可算な基本近傍系となっている。
第一可算的でない空間の例として、補有限位相を入れた (実数直線などの) 非可算集合がある。
別の反例としては順序数空間 ω1+1 = [0, ω1] がある。ここで ω1 は最小の非可算順序数である。
点 ω1 は [0, ω1) の極限点であるが、そのどんな可算点列を持ってきても ω1 を極限としては持てない。特に、 ω1+1 = [0, ω1] の点である ω1 は可算な基本近傍系を持てない。部分空間である ω1 = [0, ω1) は第一可算的である。
商位相空間 R/N （実数直線上の自然数全体を一つの点と見なした空間）は第一可算的でない。
しかしながら、この空間には「任意の部分集合 A とその閉包の任意の点 x に対し、A の点列で x に収束するものがある」という性質がある。
このような性質をもつ空間をフレシェ・ウリゾーン空間という。

ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8F%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%83%89%E3%83%AB%E3%83%95%E7%A9%BA%E9%96%93
ハウスドルフ空間（英: Hausdorff space）とは、異なる点がそれらの近傍によって分離できるような位相空間のことである。これは分離空間(separated space)またはT2 空間とも呼ばれる。位相空間についてのさまざまな分離公理の中で、このハウスドルフ空間に関する条件はもっともよく仮定されるものの一つである。ハウスドルフ空間においては点列（あるいはより一般に、フィルターやネット）の極限の一意性が成り立つ
(引用終り)
以上
329 名前：現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [2025/01/15(水) 17:57:29.53 ID:ZCTGHyhi.net]: >>301
>>>292
>その証明、正しい？
>どこにそれ載ってる？

ID:l2ptd/jY さんか
レスありがとうございます。

スレ主です（＾＾

私は、主義として素人がここ５ｃｈ（便所板）に書き散らかした
素人証明は、読まない主義ですが

なるほどね
いま >>292 をチラ見で流し読みしてみると
この証明は、完全にスベっていて、
ドッチラケですねｗ

気が付かなかったです；ｐ）
330 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/15(水) 18:02:03.18 ID:WVUbhM43.net]: >>292
f({a,b})=a, f({b,c})=b, f({c,a})=c
なるfのとき、a,b,cの順序は定まりますかね？
331 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/15(水) 18:04:12.22 ID:WVUbhM43.net]: >いま >>292 をチラ見で流し読みしてみると

この方が「チラ見で流し読み」で証明の成否が分かるほど数学が
できるとはまったく思いませ
332 名前：んが []: [ここ壊れてます]
333 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/15(水) 18:19:10.04 ID:Cmnz2SCH.net]: >>306
>チラ見で流し読みしてみると、この証明は、完全にスベっていて、ドッチラケですね
チラ見ストの君、じゃ、↓の証明はスベってる？　ドッチラケ？

整序しようとする集合を A とし、f を A の非空部分集合族の選択関数とする。
各序数 α に対して、補集合 A∖{aξ∣ξ<α} が空でなければ aα= f(A∖{aξ∣ξ<α}) とし、
空であれば aα は未定義とする。
つまり、aα は A の要素のうち、まだ順序が割り当てられていないものから選ばれる
（A の全体がうまく列挙された場合は未定義）。
α<β（序数の通常の整列順序）である場合に限り、aα<aβ で定義される A の序数 < は、
sup{α∣aαが定義されている} の整列順序となる。
334 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/15(水) 18:43:40.92 ID:ZCTGHyhi.net]: >>309
それ、下記のWell-ordering theorem
”The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9]”
とほぼ同じでしょ？

おれが、すでにどこかにアップしてあるよ

https://en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem

Proof from axiom of choice
The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9]

Let the set we are trying to well-order be
A, and let
f be a choice function for the family of non-empty subsets of
A. For every ordinal
α, define an element
aα that is in
A by setting
aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
if this complement
A∖{aξ∣ξ<α}
is nonempty, or leave
aα undefined if it is. That is,
aα is chosen from the set of elements of
A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of
A has been successfully enumerated). Then the order
< on
A defined by
aα<aβ
if and only if
α<β
(in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of
A as desired, of order type
sup{α∣aα is defined}.
335 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/15(水) 18:52:47.05 ID:zEkLeAcw.net]: >>302-305
コピペは無駄
いくらコピペを重ねても「仮定は証明不要」すら身に付かないことが実証されてしまったから
336 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/15(水) 18:53:58.60 ID:zEkLeAcw.net]: >>306
>いま >>292 をチラ見で流し読みしてみると
>この証明は、完全にスベっていて
具体的にどうぞ
言えない？　ブラフですか？
337 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/15(水) 19:41:58.13 ID:WVUbhM43.net]: たとえば、X(全集合)={a,b,c}で
f({a,b,c})=a, f({b,c})=b のとき、a<b<c と整列する。
このとき、f({a,b}),f({c,a})の値は使われない。
（aがf({a,b,c})=aとしてあらわれているから。）
というわけで、選択函数fがあっても
すべての値を使うのではなく、一部の値しか使われない。
338 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/15(水) 19:42:33.21 ID:WVUbhM43.net]: そして、一つずつ元が減っていくという関係で
（部分集合全体のなす集合）のある部分集合が、Xを
最初の集合として、一列に並ぶ。
このとき一つずつ減っていく元がfによって選ばれている
という仕組み。
339 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/15(水) 19:52:41.42 ID:WVUbhM43.net]: fのすべての値を使ってるわけではないが、fがあれば
「一つずつ元が減っていくという関係で（部分集合全体のなす集合）
のある部分集合が一列に並ぶ」、ということも
すっきり示される形になっている。
340 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/15(水) 20:17:04.16 ID:zEkLeAcw.net]: >>301
オリジナルだよ

>>307
確かにへんだね
なんで上手く示せたと思ったのにダメだったか見直してみるよ、有難うね
341 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/15(水) 20:40:08.24 ID:Cmnz2SCH.net]: >>310
君、これ理解できてないだろ？　それじゃいくらコピペしても無駄だな
俺は即座に理解したよ　お前とちがって大学1年の実数論も線型代数も理解したからな
342 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/15(水) 20:44:25.52 ID:Cmnz2SCH.net]: >>316
> オリジナルだよ
　なるほど・・・
> 確かにへんだね
> なんでダメだったか見直してみるよ
　いい証明ができたら、教えてくれ

　個人的には>>309のJechの証明も、ちと不安だ
　なんで、必ずある順序数が上限として存在るするといえるのか、わからんから
　多分、「なんだ、そういうことか！」っていうくらい、つまらんことだと思うけど
343 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/15(水) 23:39:28.03 ID:HSrNcrvS.net]: >>310
検索すると
　>>148 (>>146-147もご参照)
にあるね
補足
・>>146で『整列可能定理→選択公理の証明を、貼ります！
　英語版が分りにくいので、中国版とイタリア版を追加した』
　と書いたけど
・このときに、選択公理→整列可能定理について、
　中国版とイタリア版も見て、殆ど同じだと見ていたんだ（＾＾

さて、
>>313-315のご指摘にも書かれているが
『一つずつ元が減っていくという関係で
（部分集合全体のなす集合）のある部分集合が、Xを
最初の集合として、一列に並ぶ。
このとき一つずつ減っていく元がfによって選ばれている
という仕組み。』
『fがあれば
「一つずつ元が減っていくという関係で（部分集合全体のなす集合）
のある部分集合が一列に並ぶ」、ということも
すっきり示される形になっている。』

これがキモですよね

で、>>292より再録
定理　選択公理⇒整列定理
証明
空でない集合Xの任意の空でない部分集合Yをその元∃y∈Yに対応させる写像f(Y)=yの存在が選択公理により保証される。
X上の二項関係≦を ∀Y⊂X.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) で定義する。
反射律の確認：∀a∈Xについて、≦の定義を{a}に適用しa≦aを得る。
推移律の確認：∀a,b,c∈Xについて、a≦b ∧ b≦c を仮定する。≦の定義を{a,b,c}に適用しa≦cを得る。
反対称律の確認：∀a,b∈Xについて、a≦b ∧ b≦a を仮定する。≦の定義を{a,b}に適用しf({a,b})=a ∧ f({a,b})=bを得る。fは写像だからa=b。
全順序律の確認：∀a,b∈Xについて、fの定義よりf({a,b})=a ∨ f({a,b})=b。≦の定義を{a,b}に適用しa≦b ∨ b≦aを得る。
以上で≦がX上の全順序であることが確認された。
さらに、≦の定義より、Xの任意の空でない部分集合Yに最小元f(Y)が存在するから、≦はX上の整列順序である
(引用終り)

つづく
344 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/15(水) 23:39:55.82 ID:HSrNcrvS.net]: つづき

これを、院試の問題と考えて、採点すると
1）P：選択公理⇒Q：整列定理で
　選択公理と整列定理とを、証明に使えるステートメントに落とし込まないと行けないところが
　これをすっぽかし、証明の頭出しと、最後がスッキリしない印象の悪い答案になった
（選択公理と整列定理のステートメントを、ビシと正確に書くと、採点者に好印象だろう）
2）いまは、数学的ステートメントは略して日常語で書く
　P：選択公理『空でない集合族から要素を一つ取り出す選択関数が存在する』
　Q：整列定理『任意の集合Aから要素を一つずつ取り出して、整列できる』(Aは、>>310で使われているので合わせた)
　ということね
3）つまり、P：選択公理⇒Q：整列定理の証明で
　任意の集合Aから空でない集合族を作ってそこから一つずつ要素を取り出す
　ここが、一番のポイントです
4）そういう目で、>>310の wikipedia Well-ordering theorem の証明を見ると
　A∖{aξ∣ξ<α} が集合族の役割を果たしているんだね
　”∖{aξ∣ξ<α}”の部分は、{aξ∣ξ<α}を除く意味（＝”∖”）だね
　{aξ∣ξ<α}の部分が、既に取り出して、並べた（順序を与えた）部分だな
　よって、これで集合族が出来て
　aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})の fが選択関数です
5）最後の方で、”α<β 　(in the usual well-order of the ordinals)”などと、軽く流している
　要するに、取り出して、並べた（順序を与えた）部分は、通常の順序数と一対応がつくんだよと
　軽く流している。順序をグダグダ言わないの！！
6）さて、この視点で、上記の証明を再度見ると
　・証明の2行目からが、整列をグダグダ書きすぎ。ここ ”(in the usual well-order of the ordinals)”と、軽く流すべし
　・証明すべきステートメントの数学的表現が無い
　　P：選択公理⇒Q：整列定理が明確でない
　（つまり、証明のスタートとゴールが不明確！）
　・証明の1行目のみが、スタートの選択公理について述べているが
　　その後整列させるべき集合Aからの選択関数fが使える集合族を作る方に意識が行かずに
　　自明の整列の証明に走ってしまった
　・なので、まあ採点は10点満点で 1か0点か？整列の二項関係とかグダグダ書いたからお駄賃の1点あるかないかでしょ
以上
345 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/15(水) 23:47:07.09 ID:HSrNcrvS.net]: >>320 タイポ訂正

　要するに、取り出して、並べた（順序を与えた）部分は、通常の順序数と一対応がつくんだよと
　　↓
　要するに、取り出して、並べた（順序を与えた）部分は、通常の順序数と一対一対応がつくんだよと
346 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/16(木) 04:18:49.87 ID:q09NtzhZ.net]: >>319
>『一つずつ元が減っていくという関係で
>（部分集合全体のなす集合）のある部分集合が、
>Xを最初の集合として、一列に並ぶ。
>このとき一つずつ減っていく元がfによって選ばれている
>という仕組み。』
>『fがあれば
>「一つずつ元が減っていくという関係で（部分集合全体のなす集合）
>のある部分集合が一列に並ぶ」、ということも
>すっきり示される形になっている。』
>これがキモですよね

いや、全然
元が一つに並ぶのはそもそもそうしたいから
「部分集合が一列にならぶ」のは只の結果�
347 名前：_ なんで、選択公理が必要か、実は全然分かってないだろ？ もし、有限集合なら、とにかく１つずつ要素を取るプロセスが有限回で終わるから 選択公理なんて全然必要ない しかし、無限集合の場合、無限回のプロセスを実施するわけにはいかない だから「任意の空でない部分集合からその中の要素の選ぶ関数が存在する」と いわなくてはならない　それを保証するのが選択公理 これこそがキモだよ　全然わかってなかっただろ？ []: [ここ壊れてます]
348 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/16(木) 04:36:39.79 ID:q09NtzhZ.net]: >>320
> 選択公理と整列定理とを、証明に使えるステートメントに落とし込まないと行けない

　「証明につかえる」という言い方がいかにも受験生っぽい馬鹿っぷりに満ちてるね

> P：選択公理『空でない集合族から要素を一つ取り出す選択関数が存在する』
>　Q：整列定理『任意の集合Aから要素を一つずつ取り出して、整列できる』

「要素を一つずつ取り出して」は、整列定理のステートメントではなく、証明ね

P：選択公理『Aの”任意の空でない部分集合からなる”集合族から要素を一つ取り出す選択関数が存在する』
Q：整列定理『任意の集合Aを整列できる』

証明　Aから”順序数にそって”要素を一つずつ取り出していく

> wikipedia Well-ordering theorem の証明を見ると
> A∖{aξ∣ξ<α} が集合族の役割を果たしているんだね
>”∖{aξ∣ξ<α}”の部分は、{aξ∣ξ<α}を除く意味（＝”∖”）だね
>　{aξ∣ξ<α}の部分が、既に取り出して、並べた（順序を与えた）部分だな
>　よって、これで集合族が出来て

「集合族の役割を果たしている」「これで集合族ができて」
　という言い方がこれまた馬鹿
　集合族は。Aの”任意の空でない部分集合からなる”集合族
　A∖{aξ∣ξ<α}はその中にあるが全てではない
　君。それが全てだと誤解してただろ？そういう書きぶりだからな

　A∖{aξ∣ξ<α}は、要素の取り出し方を示している
　”順序数にそって”というのはそういうこと

　aωとかどうする？
　この場合ω<αとなるaαが全部取り出されてるということ
　ωは直前の順序数がないからね
　君、自然数でしか考えてなかったろ？
　0以外の自然数は、どれも極限順序数でなく後続順序数だからね

　君、ここまでで、ツーアウトね
　集合族を誤認したので、ワンアウト
　証明と結論を分けずに書いたので、ツーアウト
349 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/16(木) 04:42:08.99 ID:q09NtzhZ.net]: >>320
> 最後の方で、”α<β 　(in the usual well-order of the ordinals)”などと、軽く流している
> 要するに、取り出して、並べた（順序を与えた）部分は、
> 通常の順序数と一対応がつくんだよと軽く流している。
> 順序をグダグダ言わないの！！

　君が本当に流しちゃって誤魔化した部分を、口頭試問の教授として質問してあげるよ

　「A∖{aξ∣ξ<α} が空となれば完結する、ということだと思うけど
　　そのようなξが存在する、という保証は？」

　これ、答えられる？　答えられないならスリーアウトで、院試不合格ね
　まあ、前のツーアウトがなければどうだったかわからんけどな
350 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/16(木) 05:04:16.52 ID:q09NtzhZ.net]: 口頭試問
教授「集合Aが整列可能であることを選択公理で示してくれる？」
学生「はい、Aから順序数に従って一つずつ要素を取りだして並べればいいですが
　　　当然Aは有限集合とは限りませんので、
　　　どんな場合でも要素が取り出せるというには
　　　Aの空でない部分集合からその要素への関数が必要です
　　　上記の関数の存在が選択公理によって保証されます」
教授「よろしい。順序数に従って、というけど、
　　　空になる順序数が存在する、といえるかい？」
学生「いかなる順序数でも空にならない、とすると
　　　順序数の全体と１対１対応する部分的な集まりが
　　　Aの中に存在することになりますが
　　　順序数の全体は集合ではないので、Aも集合でないことになります
　　　これはAが集合であるという前提に反するので、
　　　必ずＡが空になる順序数が存在します」
教授「よろしい。」
351 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/16(木) 08:16:10.32 ID:LrNj7Iv2.net]: つまらない問答
352 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/16(木) 10:07:33.76 ID:6RwEALUm.net]: >>324-326
>つまらない問答

ID:LrNj7Iv2 は、御大か
朝の巡回ご苦労様です

　>>325の口頭試問が
ほとんどヤクザの因縁に近いって意味ですね（＾＾
しかし、院試の口頭試問でなく、学生同士の自主ゼミの問答ならば
首肯できます

　>>324
>君が本当に流しちゃって誤魔化した部分を、口頭試問の教授として質問してあげるよ
>　「A∖{aξ∣ξ<α} が空となれば完結する、ということだと思うけど
>　　そのようなξが存在する、という保証は？」

　>>310にアップした wikipedia の証明の最後
”a well-order of
A as desired, of order type
sup{α∣aα is defined}.”が、
”そのようなξが存在する、という保証”だね

ここは、君が >>318で言及した
『なんで、必ずある順序数が上限として存在るするといえるのか、わからんから
　多分、「なんだ、そういうことか！」っていうくらい、つまらんことだと思うけど』
と関連しているよ

それから、”as desired”（お望み通りの）にも注目してくれ
要するに”すきに並べて良いぞ”ってことです

さらに言えば、整列可能定理の並びは、抽象的であってもいい
しかし、具体的であることを妨げないってことね（＾＾
353 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/16(木) 10:20:03.52 ID:wwpV5N6L.net]: >>　「A∖{aξ∣ξ<α} が空となれば完結する、ということだと思うけど
>>　　そのようなξが存在する、という保証は？」
> wikipedia の証明の最後
> ”a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.”
> が、”そのようなξが存在する、という保証”だね

それ、肝心の sup{α∣aα is defined} の存在を保証してないけど
英語読めない？　それとも日本語に翻訳してもそもそも文章が読めない？
前者なら、英語勉強して
後者なら、国語勉強して
354 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/16(木) 10:21:41.94 ID:wwpV5N6L.net]: > ここは、君が言及した
>『なんで、必ずある順序数が上限として存在るするといえるのか、わからんから
>　多分、「なんだ、そういうことか！」っていうくらい、つまらんことだと思うけど』
>と関連しているよ

325の学生の返答がその答えになってる
「そういうものが存在しなかったら、そもそもＡが集合じゃないってことになる」
355 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/16(木) 10:22:08.03 ID:wwpV5N6L.net]: >それから、”as desired”（お望み通りの）にも注目してくれ
>要するに”すきに並べて良いぞ”ってことです

全然違くね？
あの方法で、御望みの整列が得られますよってことでしょ

英語分かる？
356 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/16(木) 10:22:24.03 ID:wwpV5N6L.net]: >整列可能定理の並びは、抽象的であってもいい
>しかし、具体的であることを妨げないってことね

具体的に構成できるなら、選択公理要らんよね
直接示せばいいんだから

Ｎが典型的
0,1,2,3…と順番に抜き出せばいいんだから
それやるのに選択公理要る？　要らんよね
357 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/16(木) 10:25:27.06 ID:XqwwUxYJ.net]: 実数（＝有理コーシー列）のコーシー列から　極限となる実数（＝有理コーシー列）の存在を導く場合も
一般のコーシー列の場合は、可算選択公理が必要になるだろうけど、
場合によっては、極限となる実数（＝有理コーシー列）を直接構成できる場合もある

そういう場合、可算選択公理は要らないよ

意味わかる？　オチコボレ君
358 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/16(木) 10:27:29.91 ID:XqwwUxYJ.net]: > 325の口頭試問がほとんどヤクザの因縁に近い
　数学のスの字も知らん、素っ堅気は、数学板に書いちゃだめだよ
　実数の公理もわからん　線形代数もわからん　ってド素人じゃん
359 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/16(木) 10:32:45.94 ID:6RwEALUm.net]: >>327 補足
>それから、”as desired”（お望み通りの）にも注目してくれ
>要するに”すきに並べて良いぞ”ってことです

>>294 ここに戻る
(引用開始)
だから前スレ
rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/970
”{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・”という整列順序を整列可能定理で作ったと解釈してくださいね。整列可能定理でね
それで、議論は終りです
(引用終り)

１）要するに
　集合 Zerm={{},{{}},{{{}}},{{{{}}}},・・・”}
　があって、これを整列可能定理で並べる
　例えば
　{{{}}},{{}},{{{{}}}},{}, ・・・
　などと、ランダムに並べて良い
　普通は、
　{},{{}},{{{}}},{{{{}}}},・・・とするだろう
　これを、∈の関係で見ると
　{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・
　となっている
２）この流れで
　{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・
　と記すことは、妨げられない
　整列可能定理で並べて、こう書けるというだけのことだ
　だから、”{}∈{{{}}}”となっていないから、おかしいというのは
　整列可能定理の”as desired”が分ってないってこと
３）{{{}}},{{}},{{{{}}}},{}, ・・・
　が許さるならば
　{},{{}},{{{}}},{{{{}}}},・・・
　も許されて、隣同士の∈の関係で
　{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・
　と書けるだけのことですｗ；ｐ）

あと、もう一つ付言しておくと
整列可能定理が、”as desired”だとすると
それと equivalent な選択公理もまた ”as desired”です

”as desired”なのに「選択公理が一意だ！」とか
（あなたの”as desired”と、私の”as desired”とは、当然異なりますよｗｗ）
こんなワケワカ主張を、怒鳴って（特に箱入り無数目スレで）
「おまえは選択公理が分ってない」などと、あるプロ数学者を罵倒している人がいますｗｗ
完全に倒錯していますよねｗｗｗ；ｐ）
360 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/16(木) 10:37:12.81 ID:miMM8tht.net]: >”{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・”という整列順序を整列可能定理で作ったと解釈してくださいね。

上記の整列順序に、整列可能定理要らんやんｗ

しかも　∈は不等号の性質満たさへんやん

そんなことも確認でけへんの？　六甲山のサルは
361 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/16(木) 10:38:12.99 ID:miMM8tht.net]: >”{}∈{{{}}}”となっていないから、おかしいというのは　整列可能定理の”as desired”が分ってないってこと

　英語も正しく読めへんの、六甲山のサルのほうやん
362 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/16(木) 10:46:55.64 ID:+V3b7sdb.net]: 言っとくけど、順序数を作るのに整列可能定理は一切不要だよ
363 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/16(木) 10:54:46.00 ID:6RwEALUm.net]: >>292より再録
定理　選択公理⇒整列定理
証明
空でない集合Xの任意の空でない部分集合Yをその元∃y∈Yに対応させる写像f(Y)=yの存在が選択公理により保証される。
X上の二項関係≦を ∀Y⊂X.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) で定義する。
反射律の確認：∀a∈Xについて、≦の定義を{a}に適用しa≦aを得る。
推移律の確認：∀a,b,c∈Xについて、a≦b ∧ b≦c を仮定する。≦の定義を{a,b,c}に適用しa≦cを得る。
反対称律の確認：∀a,b∈Xについて、a≦b ∧ b≦a を仮定する。≦の定義を{a,b}に適用しf({a,b})=a ∧ f({a,b})=bを得る。fは写像だからa=b。
全順序律の確認：∀a,b∈Xについて、fの定義よりf({a,b})=a ∨ f({a,b})=b。≦の定義を{a,b}に適用しa≦b ∨ b≦aを得る。
以上で≦がX上の全順序であることが確認された。
さらに、≦の定義より、Xの任意の空でない部分集合Yに最小元f(Y)が存在するから、≦はX上の整列順序である
(引用終り)

・これ、いま思うと、君は集合X から要素を取り出さずに、集合X の中で
　整列順序を構築しようとしたんだね
・しかし、選択公理⇒整列定理の標準的な ”証明のスジ” は
　整列順序については、順序数との対応を付けることで、軽く流す
・順序数との対応を付けるために、
　”集合X から要素を取り出して並べる”という　
　これは多分定石だろうが
　それを知らなかったんだ

つまり、数学の定石と手スジ（手筋）の勉強不足だった
そういうことですね
ご苦労様です
364 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/16(木) 11:07:14.11 ID:NgF0yie9.net]: > 整列順序については、順序数との対応を付けることで、軽く流す
　馬鹿は考えるのが嫌いだから、とにかく軽く流したがるが　
　そういう逃げ腰な精神が、物事の理解を妨げる
　軽く流したら負け　重く受け止めろ　それが数学に勝つということ

> 順序数との対応を付けるために、”集合X から要素を取り出して並べる”という　これは多分定石だろうが
　定石は考えない馬鹿が最も好む言葉

　違うやり方を考えてもいい　間違えたっていい
　肝心なのは間違いを理解すること
　どこそのサルみたいに、間違ったことを認めない自己愛○違いになったら、人間になれない
365 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/16(木) 14:26:23.26 ID:wwpV5N6L.net]: ところで、昔の和書では
選択公理から整列定理を証明するのに
ツォルンの補題を経由していたが
その証明は全然直観的でなく実にわかりにくかった
366 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/16(木) 16:39:12.32 ID:6RwEALUm.net]: >>337 >>340
>順序数を作るのに整列可能定理は一切不要だよ
>ところで、昔の和書では・・ツォルンの補題を経由していたが

うむ下記ですな
順序は何度も読んだが、厳密を求めると結構複雑です；ｐ）
下記の"選択公理を仮定すれば、整列定理により任意の集合 A に対して A と同数であるような順序数が存在することが言える"
を使うと、循環論法になる
ツォルンの補題を経由すると、”循環論法！”と言われるのを、一応避けられるね；ｐ）

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
順序数（英: ordinal number）とは、整列集合同士の“長さ”を比較するために、自然数[*1]を拡張させた概念である。
定義
整列集合 (A, <) に対して、A を定義域とする写像 GA, < を超限帰納法によって
GA,<(a)={GA,<(x)∣x<a}
と定義したとき、GA, < の値域 ran(GA, <) を (A, <) の順序数といい、これを ord(A, <) で表す。
ある整列集合の順序数であるような集合を順序数と呼ぶ[*2]。

ブラリ＝フォルティの定理**)
ブラリ＝フォルティの定理とは、「すべての順序数からなる集合は存在しない」という定理である。これは次のようにして示すことができる：
略す
かつて、集合論が公理化される以前には、「集合全体の集合」や「順序数全体の集合」といったものも無制限に考えられていたため、上のように順序数全体の集合を考えたときに起こる矛盾はブラリ＝フォルティのパラドックスと呼ばれていた。

集合の濃度と基数
→詳細は「濃度 (数学)」を参照
集合 A から集合 B への全単射が存在するとき、A と B は同数 (equinumerous) であるといい、A ≈ B で表す。
選択公理を仮定すれば、整列定理により任意の集合 A に対して A と同数であるような順序数が存在することが言える。***)
そこで、集合 A と同数であるような順序数の中で最小のものを A の濃度 (cardinality of A) といい、これを |A| あるいは card(A) で表す。ある集合 A に対して α = |A| である順序数 α を基数 (cardinal number) と呼ぶ。集合の濃度に関して次が成り立つ：
|A| = |B| 　⇔　 A ≈ B
A が有限集合のとき、|A| は A の要素の個数に等しい。
基数に対しても、上で定義した順序数の演算とは別に和、積、冪を定義することができる。

脚注
*1^ 本項目では、各自然数が自分自身より小さな自然数全体の集合と等しくなるような仕方で自然数が定義されているものとする。例えば、0 = Φ , 1 = { 0 } , 2 = { 0, 1 } である。

つづく
367 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/16(木) 16:40:28.80 ID:6RwEALUm.net]: つづき

*2^ 順序数は本来、上で述べた定義とは異なる仕方で定義されていた。
その定義とは、順序集合全体の集まりを「同型である」という “同値関係” によって類別したとき、順序集合 (A, <) の “同値類” を (A, <) の順序型 (order type) と呼び、特に整列集合の順序型を順序数と呼ぶというものである。
ところが現代の標準的な集合論においては、A が空集合でない限り (A, <) と同型な順序集合全体の集合といったものは存在しないことが示される。**)
したがって、このような順序数の定義の仕方は正当な方法であるとは認められない。
これを克服するために考えられたのが上で述べた定義であり、現在は上の定義（あるいはそれと同値な定義）が広く用いられている。
だが、順序型というアイデア自体が排除されたわけではない。
順序数を上で述べたような仕方で定義した後、それを用いることによって順序型を正当な方法で定義できるということが知られている。
ただし、整列集合の順序型と順序数は別のものになる。詳細は「順序型」を参照。

ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E5%9E%8B
順序型
非公式な定義
二つの全順序集合 (A, <A), (B, <B) が同型のとき、(A, <A) と (B, <B) は全く同じ "型" をしていると言える。そこで、全順序集合 (A, <A) の "型" を type(A, <A) で表すことにすれば、任意の全順序集合 (A, <A), (B, <B) に対して
type(A,<A)=type(B,<B)⟺(A,<A)≅(B,<B)　・・・・・・(※)
が成り立つ。type(A, <A) を (A, <A) の順序型と呼ぶ。

つづく
368 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/16(木) 16:40:48.43 ID:6RwEALUm.net]: つづき

正式な定義
上の説明では type(A, <A) をきちんと定義したことにはならない。なぜなら、全順序集合の "型" とは何かが定義されていないからである。(※) をみたすようにすべての全順序集合 (A, <A) に対して type(A, <A) を定義する方法として、まず次のようなものが考えられる。それは、(A, <A) と同型な順序集合全体の集合を type(A, <A) と定義する方法である。実際、このように定義すれば (※) が成り立つことが示せるので何の問題もないように思えるかもしれない。だが、この方法には一つ大きな欠点がある。それは、A が空集合でない限り (A, <A) と同型な順序集合全体の集合というものは存在しないことが（集合論の公理から）示されるということである。つまり、そのような集まりはあまりに大きすぎるため集合になることができないのである。**)
したがって上のような仕方で type(A, <A) を定義することはできない。そこで、この方法を少し修正して次のように順序型を定義する：
全順序集合 (A, <A) に対して type(A, <A) とは、(A, <A) と同型な順序集合のうちで階数が最小のもの全体の集合である。type(A, <A) を (A, <A) の順序型と呼び、ある全順序集合の順序型であるものを単に順序型と呼ぶ[1]。
全順序集合 (A, <A) と同型な順序集合で階数が最小であるものの階数を α とすれば、type(A, <A) の要素はすべて Vα + 1 [2]に属するので、type(A, <A) はきちんと集合として定義されている。このようにして定義された順序型が (※) の性質をみたしていることは次のようにして示すことができる：
略す
(引用終り)

注）**)
良く知られているが、"順序集合全体の集合といったもの"は、クラスになり、集合ではない。
***)
"選択公理を仮定すれば、整列定理により任意の集合 A に対して A と同数であるような順序数が存在することが言える"
は、面白いｗ
循環論法か・・
多分、少し工夫すれば・・選択公理→整列定理を導くときの順序数との対応について
循環論法を避けられる気がするが、すぐには思いつかないが・・；ｐ）
以上
369 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/16(木) 17:11:18.54 ID:6RwEALUm.net]: >>340
>選択公理から整列定理を証明するのに
>ツォルンの補題を経由していたが
>その証明は全然直観的でなく実にわかりにくかった

ご苦労様です
下記のいつもの尾畑研東北大
第13章整列集合 13.3 整列可能定理 ”ここではツォルンの補題を用いて証明しよう”
ですな
ついでに、第14章順序数も貼っておきます

(参考)
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
尾畑研東北大

www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_13.pdf
TAIKEI-BOOK :2019/1/1
第13章整列集合

13.3 整列可能定理
ツェルメロは選択公理から整列可能定理を導いたがここではツォルンの補題を用いて証明しよう

www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_14.pdf
TAIKEI-BOOK :2019/1/1
第14章順序数

14.1順序型としての順序数

順序同型な整列集合を代表するものと理解するこのあたりの取�
370 名前：ｵいは集合の濃度と同様であるなお順序数そのものの定義は第14.3節で与える P213 ■ 順序数の比較可能性任意のつの順序数は比較可能であることを示そう 略す P214 ■整列集合と順序数第14.1節では順序同型な整列集合の順序型として順序数を導入した一方本節では特別な整列集合として順序数を導入したが次の定理によってそれは順序型としての順序数をすべてカバーすることになる 略す P216 ■ 濃度の定義 略す 10)整列可能定理は選択公理と同値であることを思い出しておこう第13.3節 選択公理を仮定せずに濃度を導入する研究もある ■ ブラリ・フォルティのパラドックス 略す []: [ここ壊れてます]
371 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/16(木) 17:51:01.49 ID:q09NtzhZ.net]: >■ 順序数の比較可能性任意のつの順序数は比較可能であることを示そう
>略す
>■整列集合と順序数
>略す
>■ 濃度の定義
>略す
>■ ブラリ・フォルティのパラドックス
>略す

君、実は数学大嫌いでしょ

♪略す　略す　略す　　　　略す　略す　略す
　（ウルトラセブンの歌のつもりで）
372 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/16(木) 18:22:02.35 ID:6RwEALUm.net]: 渕野昌「実数の集合論の基礎の基礎」
”2002年7月26日(金)から7月29日(月)にかけて名古屋大学情報文化学部にて行われた「2002年度数学基礎論サマースクール」における講義の内容”
とある
「以下の議論は，形式的には，すべてZermelo-Fraenkel の集合論の公理系に選択公理を加えた体系（これをZFC とよぶ）の中で行われている」
とも

(参考)に、貼っておきますね

fuchino.ddo.jp/notes/set-th-of-reals-kiso-no-kiso.pdf
実数の集合論の基礎の基礎　渕野昌(Saka´ eFuchino)
2002年8月24日軽井沢にて起稿
2002年11月11日新横浜名古屋間の新幹線の車中にて脱稿
2002年11月23日訂正補筆2002年11月29日原稿提出後の補筆
2003年10月30日footnoteの一つの補正．

0 はじめに
以下のテキストは，2002年7月26日(金)から7月29日(月)にかけて名古屋大学情報文化学部にて行われた「2002年度数学基礎論サマースクール」における講義の内容を，このサマースクールの講義録のために整理し直したものである．2002 年度数学基礎論サマースクールのテーマは実数の集合論であったが，筆者は，この理論で用いられる集合論からの予備知識についての講義を行なった．講義は，カントル空間やベール空間における，ベールの一種の（現代の用語ではmeagerな）集合の全体のイデアルと零集合のイデアルに関する基礎的な知識について述べた第一部と，超限帰納法，順序数，基数といった，（実数の集合論を含む）集合論の応用で縦横に用いられることになる手法や概念への入門について述べた第二部からなるものだったが，本稿では第1章と第2章が，これらに対応している．本稿では，さらに第3章で，第1章と第2章で導入した手法や概念の応用として，講義では時間的な制約のために述べることのできなかった，実数の集合論での古典的な—–つまり，主にのポーランド学派1の数学者たちによって，強制法(forcing)の理論以前の時代にすでに得られていたような—–結果のいくつかに触れる．

集合論全般についての標準的な教科書としては[11]や[7]がある．この講義録に目を通した後で，実数の集合論を本格的に勉強したくなった人は，たとえば[11]から[2]と読みすすむのがよいだろう．

P3
2以下の議論は，形式的には，すべてZermelo-Fraenkel の集合論の公理系に選択公理を加えた体系（これをZFC とよぶ）の中で行われている，と考えられる．ZFCの公理系については例えば[6]や[11]などを参照されたい．
373 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/16(木) 20:50:27.93 ID:AB73gH0c.net]: >>342 補足
>順序数を上で述べたような仕方で定義した後、それを用いることによって順序型を正当な方法で定義できるということが知られている。
>ただし、整列集合の順序型と順序数は別のものになる。詳細は「順序型」を参照。

下記ですね
貼っておきます

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E5%9E%8B
順序型
整列順序型と順序数
整列集合の順序型を特に整列順序型と呼ぶ。
α を順序数とし ∈α を α 上の所属関係とすると、(α, ∈α) は整列集合なので type(α, ∈α) は整列順序型である。
逆に、任意の整列集合は必ずある順序数 α に対する (α, ∈α) と同型なので、整列順序型は必ずある順序数 α に対する type(α, ∈α) の型で表すことができる。
以下では type(α, ∈α) を α で表す。

https://en.wikipedia.org/wiki/Order_type
Order type
374 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/16(木) 21:08:11.44 ID:AB73gH0c.net]: >>345
>君、実は数学大嫌いでしょ
>♪略す　略す　略す　　　　略す　略す　略す
>　（ウルトラセブンの歌のつもりで）

コピーしたら、ダメといい
コピーしないで略すとすると、またダメという
所詮、二枚舌
ダブスタの男ｗ；ｐ）
375 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/16(木) 23:44:15.76 ID:AB73gH0c.net]: >>341
>下記の"選択公理を仮定すれば、整列定理により任意の集合 A に対して A と同数であるような順序数が存在することが言える"
>を使うと、循環論法になる

なんか、思い出してきたな・・
下記の ”スコットのトリック”を、使う”スジ”が、あるね；ｐ）
なお、Dana Scott氏は、コンピュータサイエンスや圏論で有名は方です

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B9%E3%82%B3%E3%83%83%E3%83%88%E3%81%AE%E3%83%88%E3%83%AA%E3%83%83%E3%82%AF
スコットのトリック(英: Scott's trick)とは真クラス上の同値関係についての同値類の定義を、累積的階層のレベルを参照することによって与える方法である[1]。
この方法は選択公理でなく正則性公理に依存している。選択公理を仮定しないZFにおいて順序数の代表元を定義するのに用いることができる[2]。この方法は Dana Scott (1955) によって導入された。
順序数の代表元を集合として定義する問題を超えて、スコットのトリックは基数の代表元を得たり、もっと一般的な同型類（英語版）にも用いることができる。例えば、全順序集合の順序型はその一例である[1]。また、スコットのトリックはモデル理論において真クラスの超冪を作るときに（選択公理を仮定したとしても）必要であると信じられている[3]。
濃度への応用
スコットのトリックの典型的な使われ方は、濃度に対する使用例に見られる。
ZFCにおいて、濃度の代表元として基数を割り当てる1つの方法としては、同じ濃度を持つ順序数のうち最小のものを基数とするものがある。これらの特別な順序数はいわゆるアレフ数である。しかし選択公理を仮定しないZFの場合、濃度によっては最小の順序数が見つかるとは限らず、それらの集合の濃度は代表元としての基数になる順序数を持てない。
一方、スコットのトリックでは異なる方法で代表元を割り当てる。任意の集合
A に対してそれと等濃度の集合全体を考えた時に累積的階層の最小の階数
Vα が存在することを利用する。この定義は全ての集合が整列可能である（この仮定は選択公理と同値）という状況でないときでも、全ての濃度に代表元を定めることができる。これに選択公理は不要だが、正則性公理は不可欠である。ただし、この定義において用いた最小の階数が同じになったからといってそれらの集合の全てが同じ濃度を持つわけではなく、また選択公理による定義のもとでは可能であった、任意の集合間の濃度の比較ができるわけでもないことには注意しなければならない。

一般的なスコットのトリック
略す

つづく
376 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/16(木) 23:44:38.02 ID:AB73gH0c.net]: つづき

en.wikipedia.org/wiki/Scott%27s_trick
Scott's trick
In set theory, Scott's trick is a method for giving a definition of equivalence classes for equivalence relations on a proper class (Jech 2003:65) by referring to levels of the cumulative hierarchy.
The method relies on the axiom of regularity but not on the axiom of choice. It can be used to define representatives for ordinal numbers in ZF, Zermelo–Fraenkel set theory without the axiom of choice (Forster 2003:182). The method was introduced by Dana Scott (1955).

ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A4%E3%83%8A%E3%83%BB%E3%82%B9%E3%82%B3%E3%83%83%E3%83%88
デイナ�
377 名前：Eスチュアート・スコット (英語:Dana Stewart Scott、1932年10月11日 - )はアメリカの計算機科学者、数学者、論理学者。数学的に難しい問題についての素養に基づき、非形式的だが厳格な方法で計算機科学・論理学・哲学にまたがる領域の根本的概念を明確化させてきた。オートマトン理論についての業績により1976年にチューリング賞を受賞。1970年代にはクリストファー・ストレイチーと共同でプログラム意味論への新たなアプローチを基礎付けた。様相論理、位相幾何学、圏論などでも業績を残している。 en.wikipedia.org/wiki/Dana_Scott Dana Stewart Scott (born October 11, 1932) is an American logician who is the emeritus Hillman University Professor of Computer Science, Philosophy, and Mathematical Logic at Carnegie Mellon University;[1] he is now retired and lives in Berkeley, California. (引用終り) 以上 []: [ここ壊れてます]
378 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/16(木) 23:47:27.77 ID:AB73gH0c.net]: >>349 タイポ訂正

なお、Dana Scott氏は、コンピュータサイエンスや圏論で有名は方です
　↓
なお、Dana Scott氏は、コンピュータサイエンスや圏論で有名な方です
379 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/17(金) 04:27:37.38 ID:bd1YOdDW.net]: >>348
肝心なところをコピペせずに
無駄なところをコピペする
その馬鹿な態度がダメ

だったら何もしなければいい
所詮、大学１年の４月で挫折した高卒一般人に語れる数学は皆無
諦めろ
380 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/17(金) 04:32:10.23 ID:bd1YOdDW.net]: > ・・・を、使う”スジ”が、あるね
　毎度恒例の、自惚れ高卒一般人の連想ゲーム
> 一般的な・・・
> 略す
　単語のつながりだけでわかろうとするのは生成AI並みの軽薄な態度
　そんな論理抜きの連想で数学が分かるわけないだろ
　軽く流すのは馬鹿、重く受け止めることで利口になる
　数学したいなら、脳味噌の筋肉を鍛えること
　嫌なら、数学は諦めなさい
381 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/17(金) 04:39:06.36 ID:bd1YOdDW.net]: 定石とか手筋とかいうのは思考を嫌う軽薄な態度

金はどこにあるかわからない
そこらじゅう探すしかない
たまたま見つかったところの状況だけみて
「そういうところにあるに違いない」と思うのは
ただの思い込みであって、実際はそうなってない

定石とか手筋とかになりはてたら数学として終わったということ
まあ、一般人は数学しないから結果としての方法しか興味ないんだろう

だったら大学１年で必ず習う
・実数論で実数（＝有理コーシー列）のコーシー列から極限となる実数（＝有理コーシー列）を求める方法
・線型代数で数ベクトルの有限集合から、線形独立な元の最大個数を求める方法
くらい理解しなさい　

”社奴”になるしかない一般人に理解できるのはそのくらいなんだから
382 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/17(金) 04:41:36.80 ID:bd1YOdDW.net]: AIの研究を見て思うのは、”銀の弾丸”なんてないんだな、ってこと
結局、最後は力で決まる　無駄を承知でやりまくることでしか結果はでない
最初から効率とかコストとかいうのは愚かな態度
383 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/17(金) 04:47:11.02 ID:bd1YOdDW.net]: 数学者は馬鹿でなくてはならない、といった人がいる
要するに、常に効率のいい方法を求める利口になるな、ということ
新しい結果を出す最適の方法なんか存在しない
定石とか手筋とかいう奴は利口という名の愚か者
真に賢い者は無駄を厭わぬ馬鹿になる
384 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/17(金) 04:50:11.63 ID:bd1YOdDW.net]: キーワード検索結果コピペ君は、整形女子みたいなもんである
自分が残念なのは顔のせいだと思って、ひたすら整形する
しかしながら整形の方向がトンチンカンなので、どんどん醜悪になる

本当に残念なのは、努力もせずに結果だけ欲しがる、虫のいい態度だと知るべし
385 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/17(金) 10:33:41.47 ID:MEr9oV+O.net]: >>352-357
>結局、最後は力で決まる　無駄を承知でやりまくることでしか結果はでない
>数学者は馬鹿でなくてはならない、といった人がいる
>要するに、常に効率のいい方法を求める利口になるな、ということ
>新しい結果を出す最適の方法なんか存在しない

ふっふ、ほっほ
おサルさん>>7-10

１）公開処刑進行中なｗｗ；ｐ）
２）おっさんな
　「結局、最後は力で決まる　無駄を承知でやりまくることでしか結果はでない」
　は、一理あるよ
　某数学者が、竹腰氏と共同研究するも、数年間行き詰っていて
　七転八倒、暗中模索の日々
　しかし、運命の女神は、勇者を好む（英語: Fortune favours the bold www.weblio.jp/content/%E5%B9%B8%E9%81%8B%E3%81%AF%E5%8B%87%E8%80%85%E3%82%92%E5%A5%BD%E3%82%80）
　ある喫茶店のコーヒーが美味だったかもしれないが；ｐ）
　天啓があったという。ポアンカレが、馬車に乗ろうとしたときに、フックス函数が閃いたがごとくだね
３）しかし、それは最先端、最前線での努力でこそ意味があるよ
　「新しい結果を出す」話だね
４）ふつう凡人が、レベルの低いところで、[無駄を承知でやりまくる]とか
　数学の天才オイラーやガウスや、リーマンやポアンカレなどが、いうならば意味あるけど
　おサルさんみたくレベルが低い人の言うことじゃないぞ！ｗ
５）プロ数学者の３０分の思考が、並みの数学科 DR生の１年の思考に匹敵することもざらだろう
　（数学DR生の１年の大半が、文献読みかもね。しかしその文献読みが、DR生の力の養成になる）

碁会所で、万年級位者がいる。級位者同士で毎日へぼ碁をやって、上達しない
囲碁上達の要諦は、強い人に教えてもらうこと（対局してもらう）
また、知識の量を増やす（定石、手筋、死活など）
あるいは、プロのタイトル戦の最新対局を、並べてみるとか（分からないなりにでもね）

これを、数学に直すと
・レベル低いもの同士でなく、できればレベルの高い人に教えてもらう
・”知識の量を増やす”：輪講、自主ゼミとかね
・最新の数学論文を眺めてみる（分からないなりにでもね）

で、さらに言えば
プロ数学者を目指すためと
アマ高段者を目指すためと
アマ有段者を目指すのと
万年級位者で単なる楽しみとするのと

こういうレベル分けもありじゃね？；ｐ）
万年級位者のおサルさんよｗ

レベル低いところで、毎日へぼ碁をやりまくる
いいんじゃない
そういう人、沢山いるよ；ｐ）

おれは、プロ数学者なんて雲の上だけどさ
おっさんみたいな、”無駄を承知でやりまくる”という
数学の趣味はないのよ！ｗｗｗ；ｐ）
386 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/17(金) 10:53:51.16 ID:16VOmuik.net]: 棋聖戦の第一局は二日目の現在
形勢はまったくの互角
387 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/17(金) 11:39:25.99 ID:MEr9oV+O.net]: >>359
これは、御大か
朝の巡回ご苦労様です

棋聖戦の第一局ね
最近の碁は、昔とだいぶ違いますね
布石で、秀策のコスミ復活が目につきました

(参考)
kisei.yomiuri.co.jp/kisei/49th/top_7ban01.htm
読売
第49期棋聖戦七番勝負
第1局
1/16(木)・17(金)
ホテル椿山荘東京
(東京都文京区)

www.yomiuri.co.jp/igoshougi/kisei/20250115-SYT8T6216423/
【棋聖戦第１局詳報】七番勝負開幕、椿山荘対局を制するのは一力遼棋聖か井山裕太王座か
2025/01/17
第49期棋聖戦七番勝負第１局(解説付き)
388 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/17(金) 16:30:37.12 ID:MEr9oV+O.net]: >>341
>下記の"選択公理を仮定すれば、整列定理により任意の集合 A に対して A と同数であるような順序数が存在することが言える"
>を使うと、循環論法になる
>ツォルンの補題を経由すると、”循環論法！”と言われるのを、一応避けられるね；ｐ）

補足します

１）上記 ”任意の集合 A に対して A と同数であるような順序数が存在する”
　が、選択公理に依存していると、>>310の wikipedia Well-ordering theorem の証明で
　上記 ”順序数”の性質を使ったりあるいは
　そもそも、”Well-ordering theorem”(＝整列可能定理)自身が、
　上記 ”順序数”の性質を使っているとすると
　”Well-ordering theorem”(＝整列可能定理) → 選択公理の証明が、循環論法です
２）ところが、>>349の ”スコットのトリック”で
　”この方法は選択公理でなく正則性公理に依存している。選択公理を仮定しないZFにおいて順序数の代表元を定義するのに用いることができる[2]”
　とすれば、循環論法にはならない
３）なお、蛇足ながら
　ツォルンの補題 ←→ 整列可能定理の同値性について
　ツォルンの補題が、陽には ”順序数”の性質（選択公理）と無関係であるならば
　整列可能定理が ”順序数”の性質を使っているとしても
　直ちに循環論法にはならんだろうと、思ったしだいですが
　しかし、”スコットのトリック”が、使えればすっきりですね（＾＾
389 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/17(金) 16:41:17.12 ID:MEr9oV+O.net]: 余談ですが
”スコットのトリック”は
圏論の本で Dana Scott氏に付随して書かれていて
”スコットのトリック”？
なんだろうと思って調べたことがあって
そのときは、「へー」とは思ったが
「それがどうしたの？」みたく、なんの感慨もなかったのです
が、いま、結構大事な話だと分かりました！（＾＾
390 名前：現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [2025/01/17(金) 18:03:13.42 ID:MEr9oV+O.net]: >>177
(引用開始)
>これが理解できていれば、選択関数は
>整列可能定理の関係R の構成を通じて具体化可能だ！と
じゃあ実数の整列順序を構成してみて
整列可能定理でできるんでしょ？
(引用終り)

”実数の整列順序”に戻る
下記です
・選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる
・しかし、ZFC や、一般連続体仮説を加えた体系 ZFC+GCH においては、R 上の整列順序を定義する論理式は存在しない[1]
・V=L は ZFC と(相対的に)無矛盾であり、ZFC+V=L ではある特定の論理式が R（実際には任意の集合）を整列順序付けることが従う

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
整列集合

実数からなる集合
正の実数全体の成す集合 R+ に通常の大小関係 ≤ を考えたものは整列順序ではない
例えば開区間 (0, 1) は最小元を持たない
一方、選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる
しかし、ZFC や、一般連続体仮説を加えた体系 ZFC+GCH においては、R 上の整列順序を定義する論理式は存在しない[1]
ただし、R 上の定義可能な整列順序の存在は ZFC と(相対的に)無矛盾である
例えば V=L は ZFC と(相対的に)無矛盾であり、ZFC+V=L ではある特定の論理式が R（実際には任意の集合）を整列順序付けることが従う

R の非可算部分集合に通常の大小関係を入れたものが整列集合にならないことは、実数直線 R を互いに交わりを持たない区間の和に分割するとき、そのような区間の数が高々可算であることからわかる
可算無限集合ならば、通常の大小関係 ≤ が整列順序となることも、ならないこともありうる

en.wikipedia.org/wiki/Well-order
Well-order

ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0
実数
定義
実数体とは順序体であって空でない上に有界な部分集合が上限を持つようなものをいう[注 1]。実数体の元（＝要素）を実数という

また位相的特徴付けである次を定義として採用することも出来よう：非自明な順序体であって順序位相に関して連結なものは唯一つに定まる（アルキメデス的順序群に関するHölderの定理による）。これを実数体と呼ぶ。実数体の元（＝要素）を実数という

これで実数（体）の概念は定まったがこれだけではまだ実数（体）というものが存在するかどうかは分からない。しかし#構成節で述べるようにそのようなものは実際に存在する、即ちこのような性質を満たす順序体が構成できることが分かる。またその構成方法は複数ある。また本記事では言及されていないが本来存在するならば、それがある意味で一意的なものであるかを確かめる必要があるが、実数体は実際にある意味で一意的に定まる[注 2]

注釈
[脚注の使い方]
1^ この性質を順序完備性と呼ぶことがある。実数体においては特に「上限性質」という呼称で呼ばれることが多い。なおこの性質には実数の連続性にある通り同値な言い換えが複数ある
2^ これは正確に述べると「実数体の定義を満たす二つの順序体は順序体として同型（＝順序同型かつ体同型であるような写像が存在する）」という意味である
391 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/17(金) 18:20:06.36 ID:MEr9oV+O.net]: >>363
Cantor en.wikipedia に、興味深い記述があった（下記）
”彼はユリウス・ケーニヒが第三回国際数学者会議で発表した論文に憤慨し動揺した。その論文は超限集合論の基本原理が誤りであることを証明しようとしたものだった。その論文が娘たちや同僚の前で読まれたため、カントルは公に辱められたと感じた。エルンスト・ツェルメロが1日も経たないうちにケーニッヒの証明が失敗したことを証明したが、カントルは動揺したままで、一瞬神に疑問を抱いた。カントルはその後生涯慢性的な鬱病に苦しみ・・”
とある

en.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor
Georg 略 Cantor ( March 1845 – 6 January 1918)
(google訳)
Teacher and researcher
1889年、カントルはドイツ数学会の設立に尽力し、1891年にハレで開催された同会の第一回会合で議長を務め、対角線上の議論を初めて発表した。カントルの評判は高く、クロネッカーが反対したにもかかわらず、同会の初代会長に選出された。クロネッカーがカントルに対して示した敵意をよそに、カントルはクロネッカーを会合で講演するよう招いたが、当時、妻がスキー事故で負傷し瀕死の状態だったため、講演はできなかった。ゲオルク・カントルは、1897年にスイスのチューリッヒで開催された第一回国際数学者会議の設立にも尽力した

Later years and death
2度目の入院から間もなく、12月16日にカントルの末息子ルドルフが急死し（カントルはベーコン理論とウィリアム・シェイクスピアについての自身の見解を講義中だった）、この悲劇でカントルの数学に対する情熱は大きく失われた
1年後、彼はユリウス・ケーニヒが第三回国際数学者会議で発表した論文に憤慨し動揺した。その論文は超限集合論の基本原理が誤りであることを証明しようとしたものだった。その論文が娘たちや同僚の前で読まれたため、カントルは公に辱められたと感じた。エルンスト・ツェルメロが1日も経たないうちにケーニッヒの証明が失敗したことを証明したが、カントルは動揺したままで、一瞬神に疑問を抱いた。カントルはその後生涯慢性的な鬱病に苦しみ、そのために何度か教職を免除され、さまざまな療養所に繰り返し入所した。1904年の出来事の後、2、3年の間隔で入院を繰り返した。しかし、彼は数学を完全に放棄したわけではなく、 1903年にドイツ数学者協会の会合で集合論のパラドックス（ブラーリ・フォルティのパラドックス、カントルのパラドックス、ラッセルのパラドックス）について講義し、1904年にはハイデルベルクで開催された国際数学者会議に出席した

1911年、カントルはスコットランドのセント・アンドリュース大学創立500周年記念式典に招待された著名な外国人学者の一人であった。カントルはバートランド・ラッセルに会うことを期待して出席したが、その会談は実現しなかった。ラッセルが最近出版した『プリンキピア・マテマティカ』にはカントルの著作が何度も引用されていた
カントルは1913年に引退し、第一次世界大戦中は貧困と栄養失調に苦しんだ。[ 34 ] 70歳の誕生日の公式祝賀会は戦争のため中止された。1917年6月、彼は最後の療養所に入り、妻に帰宅の許可を求める手紙を何度も書いた。ゲオルク・カントルは、人生最後の1年を過ごした療養所で、1918年1月6日に致命的な心臓発作を起こした
392 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/17(金) 20:45:34.53 ID:Nd3VfUsg.net]: >>363
(引用開始)
>これが理解できていれば、選択関数は
>整列可能定理の関係R の構成を通じて具体化可能だ！と
じゃあ実数の整列順序を構成してみて
整列可能定理でできるんでしょ？
(引用終り)

その議論、下記のIn 1905 Kőnig の議論にある通りです
120年前の議論、ご苦労さまですｗ；ｐ）

(参考)
en.wikipedia.org/wiki/Gyula_K%C5%91nig
Gyula Kőnig (16 December 1849 – 8 April 1913) was a mathematician from Hungary. His mathematical publications in German appeared under the name Julius König.

Kőnig and set theory
he published a paper that claimed to prove that not all sets could be well-ordered.
Contrary to Cantor, presently the majority of mathematicians considers undefinable numbers not as absurdities.
This assumption leads, according to Kőnig,
in a strangely simple way to the result that the continuum cannot get well-ordered. If we imagine the elements of the continuum as a well-ordered set, those elements which cannot be finitely defined form a subset of that well-ordered set which certainly contains elements of the continuum. Hence in this well-order there should be a first not finitely definable element, following upon all finitely definable numbers. This is impossible. This number has just been finitely defined by the last sentence. The assumption that the continuum could be well-ordered has led to a contradiction.

Kőnig's conclusion is not stringent. His argument does not rule out the possibility that the continuum can be well-ordered; rather, it rules out the conjunction of "the continuum can be well-ordered by a definition in language L" and "the property of being definable in language L is itself definable in language L". The latter is no longer generally held to be true. For an explanation compare Richard's paradox.

つづく
393 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/17(金) 20:45:55.67 ID:Nd3VfUsg.net]: つづき

en.wikipedia.org/wiki/Paradoxes_of_set_theory
Paradoxes of set theory
Paradoxes by change of language
König's paradox
In 1905, the Hungarian mathematician Julius König published a paradox based on the fact that there are only countably many finite definitions. If we imagine the real numbers as a well-ordered set, those real numbers which can be finitely defined form a subset. Hence in this well-order there should be a first real number that is not finitely definable. This is paradoxical, because this real number has just been finitely defined by the last sentence. This leads to a contradiction in naive set theory.
This paradox is avoided in axiomatic set theory. Although it is possible to represent a proposition about a set as a set, by a system of codes known as Gödel numbers, there is no formula
φ(a,x) in the language of set theory which holds exactly when
a is a code for a finite proposition about a set,
x is a set, and a holds for x.
This result is known as Tarski's indefinability theorem; it applies to a wide class of formal systems including all commonly studied axiomatizations of set theory.

In 1905 he published a paper that claimed to prove that not all sets could be well-ordered.
It is easy to show that the finitely defined elements of the continuum form a subset of the continuum of cardinality ℵ0.
The reason is that such a definition must be given completely by a finite number of letters and punctuation marks, only a finite number of which is available.
(引用終り)
以上
394 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/17(金) 21:00:15.11 ID:Nd3VfUsg.net]: >>365 補足
(引用開始)
>これが理解できていれば、選択関数は
>整列可能定理の関係R の構成を通じて具体化可能だ！と
じゃあ実数の整列順序を構成してみて
整列可能定理でできるんでしょ？
(引用終り)

そもそもが、>>176の実数Rについて
背理法で R�
395 名前：ｪ可算だと仮定して 対角線論法を適用する話だった だから、可算だと仮定すると 区間[0,1]から可算個の実数を取り出して それを、可算整列可能定理で縦に並べて それを、可算無限の2進数に展開して 対角線論法の基礎部分ができるってこと つまり、これはアレフ0の話 一方、真の非可算の実数Rを整列させるのは、可算整列可能定理では足りない フルパワー選択公理と同じ力のフルパワー整列可能定理が必要で これはアレフ1の整列の話です 真の非可算の実数Rは、>>363の通り 「ZFC + V=L ではある特定の論理式が R（実際には任意の集合）を整列順序付けることが従う」が 「ZFC や、一般連続体仮説を加えた体系 ZFC+GCH においては、R 上の整列順序を定義する論理式は存在しない[1]」 が、「選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる」 これ 120年前のケーニヒのparadoxに対する解決策の通りです []: [ここ壊れてます]
396 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/18(土) 08:14:12.69 ID:yCcyDMub.net]: >>352
>肝心なところをコピペせずに
>無駄なところをコピペする

つまらん重箱の隅の話ですが

・コピーをしても、うまくこの便所板に乗らない場合がある
　特に、現代数学の高度な上付き下付の添え字のある数式など
　便所板では、文字を小さくして添え字にする表現が使えない
・分数が3行使うとして、ここ便所板では1行にしないといけない
　視認性が悪くなる
　なので、積分記号も微分記号も便所板では不便
・斜め矢印とか、飾りのついた矢印もだめ・・・

などなど、そういう場合原文見た方が早い
数式表現で、そういうのが多い

あと、分量的に多いと
多連投になるが（1レスが約2kBくらいに制限されているため）
連投規制にひっかかったりのです

なお
分量的に多いときも
原文を見た方が、見やすいし
397 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/18(土) 08:27:48.87 ID:xY23/2ac.net]: >可算整列可能定理

こんなバカ用語を使ってるのは日本中で一人しかいないって言ってるでしょ。
それに証明を読めば分かるが、集合Xを整列させるのに、集合2^Xの選択公理を用いている。
こんな根本的なことを見落としてるから、コピペ脳はダメだって言われてるんだが。
398 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/18(土) 08:52:44.98 ID:xY23/2ac.net]: 集合2^Xの選択公理を用いて、Xの濃度の部分的な値のみを用いている。
では、最初からXの濃度で済ますことが出来るかと言えば、おそらく無理。
なお可算集合の場合は、定義より自然数全体の集合への全単射が存在するから
この全単射の存在から直に整列可能であることが従う。
（だから、「可算整列可能定理」なんてバカ用語は日本中で一人しか使わないし、おそらく世界中でもそうｗ
得意の検索で調べて、結果報告してくれたまえｗｗ）
399 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/18(土) 09:00:32.52 ID:Jha5BKz+.net]: 可算選択公理からの連想であろう
400 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/18(土) 09:21:26.46 ID:6E7jiXBj.net]: >>358
> 公開処刑進行中
　自分の？　変態だね
> ポアンカレが、馬車に乗ろうとしたときに、フックス函数が閃いたがごとく
　フックス函数ってなんだか知ってて書いてんの？
　知らないんだったら「ボクは無知でぇす」って自己処刑じゃん
　あ、いまこれいわれたからって脊髄反射で検索コピペは負け●な
> それは最先端、最前線での努力でこそ意味があるよ
> 「新しい結果を出す」話だね
　すでに分かってる結果を知る話なら
　大学１年の微分積分と線型代数の教科書からやりなおせよ
　実数・関数の連続性の定義も線型空間線型写像線型独立の定義も分かってないんだから
> ふつう凡人が、レベルの低いところで、
> [無駄を承知でやりまくる]とか・・・
> レベルが低い人の言うことじゃないぞ！
　そういうことだから凡人は
　大学１年４月の壁が還暦すぎても破れないんだよ
　謙虚になれよ　ただの凡人なんだから
　東大や京大だって工学部だったらただの凡人なのに
　ましてや阪大なんて　京大も受かんねえ●ンカスじゃん
> プロ数学者の３０分の思考が、
> 並みの数学科 DR生の１年の思考に匹敵することもざらだろう
　プロは無駄をやりまくった結果、プロになったんだがな
　無駄をサボる、ただの凡人にはわかんないか

　一生、検索コピペなんて中身ゼロじゃん　
401 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/18(土) 09:24:40.82 ID:6E7jiXBj.net]: >>358
> 囲碁上達の要諦は、強い人に教えてもらうこと（対局してもらう）
> また、知識の量を増やす（定石、手筋、死活など）
> あるいは、プロのタイトル戦の最新対局を、並べてみるとか（分からないなりにでもね）

　で、強くなったんかい？　囲碁
　全然ならなかったんだろ？

　じゃ、全部嘘じゃんｗ

　なんで強くならなかったか言い当ててやろうか？
　それは漫然と対戦し、漫然と丸暗記し、漫然と対局眺めてるから
　一度も考えたことないだろ？　

　自分の頭で考えない人が何かに通じることはない
　考えるのが嫌いなら、サルのごとく●ックスしてろ
　他に何も楽しみないんだから
402 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/18(土) 09:32:39.28 ID:6E7jiXBj.net]: >>358
> プロ数学者を目指すためと
> アマ高段者を目指すためと
> アマ有段者を目指すのと
> 万年級位者で単なる楽しみとするのと
> こういうレベル分けもありじゃね？

で、君のレベルは？
もちろん最底辺だよな
大学１年４月でつまづいたんだから

> レベル低いところで、毎日へぼ碁をやりまくる
> いいんじゃない　そういう人、沢山いるよ

自嘲はもういいよ
でも、レベル上げたいんだろ？
せめて大学１～２年の数学くらい理解したいんだろ？
微分積分、線形代数、多変数解析学、ベクトル解析、複素解析
このくらい知らないと、工学部でも論文読めないよな？

君、工学部でもちょっと難しい（といっても所詮大学１～２年程度の）数学出てくると
論文が読めずに技術系でも挫折して営業で口八丁手八丁で誤魔化してきたんだろ？
そういう軽薄な人生を送ってきたって透けて見えるよ

で、君、そんな人生に満足だったの？　全然満足してないんだろ？

だったら謙虚になれよ　もう一度大学１年からやりなおせよ
このままじゃ、君、死ぬときに絶対後悔するから

> おれは、プロ数学者なんて雲の上だけどさ
> ”無駄を承知でやりまくる”という数学の趣味はないのよ！

　自分が理解できてないと知るのが怖い？
　ただの凡人のくせに？
　阪大だろ？　●ンカスじゃん！　自惚れんなよ！
403 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/18(土) 09:33:03.86 ID:Jha5BKz+.net]: Katagoや絶芸と対局していれば
誰でも強くなれるのでは？
404 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/18(土) 09:40:50.47 ID:6E7jiXBj.net]: >>361
> ”任意の集合 A に対して A と同数であるような順序数が存在する”が、
> 選択公理に依存していると、整列可能定理の証明で”順序数”の性質を使ったり
> あるいはそもそも整列可能定理自身が、上記 ”順序数”の性質を使っているとすると
> 整列可能定理→ 選択公理の証明が、循環論法です
　何わけわかんないこといってんだ？阪大工学部卒の凡人
　そもそも選択公理と整列可能定理は同値だが？
　どっちかが別の公理から導けるのでないかぎり循環論法なのは当然
　そもそもコーエンが「ZFから選択公理は証明できませんが何か？」といってるだろ
　
　で、順序数は選択公理なんか使わんでも定義できる　阪大工学部卒の凡人が知らんだけ
　スコットのトリックとかほざいてるけど、凡人、それ理解できたのか？
　理解もせずにただその言葉だけ唱えてるんじゃ、ただのサルだぞ？
　サルからヒトになりたいんだろ？　だったら中身を略さず理解しろな
　いやなら、数学は諦めろ　サルには無理だから
405 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/18(土) 09:41:37.32 ID:6E7jiXBj.net]: >>375
んなこたあない
考えない奴は何をやっても上達しない
406 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/18(土) 09:44:32.07 ID:6E7jiXBj.net]: >>363
Rの整列順序なんて選択関数に依ってるんだから具体化不能
選択関数が具体化できるんならそもそも選択公理が要らん
407 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/18(土) 09:51:05.77 ID:6E7jiXBj.net]: >>367
>可算個の実数を取り出して
>それを、可算整列可能定理で縦に並べて

さすが阪大工学部卒の凡人　この書き込みでゲッツー

１．そもそも可算と分かってるなら並べるのに選択公理不要
２．もしＳが”結果的に”可算だとしたら並べるのに可算選択公理じゃ無理
　　なぜならＳの”空でない部分集合の全体”は、可算ではないから

Ｓの任意の空でない部分集合のそれぞれから要素を取りだす関数
を用意しないかぎり証明は成功しませんからぁ！残念！！！

・・・さすが大学１年の４月で落ちこぼれたままの凡人
しっかし東大の理Ⅰとかいっても９割はこんなんばっかだぞ
毎年１０００人取ったって数学科なんか１００人もいかないんだからな
408 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/18(土) 09:53:26.82 ID:6E7jiXBj.net]: >>368
> 分数が3行使うとして、ここ便所板では1行にしないといけない視認性が悪くなる
　式を見たままで見れば全部わかる、と思うのはアサハカ
　見ても分からん奴が９割
　分かる奴はどう書いても分かる
409 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/18(土) 09:57:08.88 ID:6E7jiXBj.net]: >>369
> 証明を読めば分かるが、集合Xを整列させるのに、集合2^Xの選択公理を用いている。
> こんな根本的なことを見落としてるから、コピペ脳はダメだって言われてるんだが。

　凡人は長い文章読めない　だから証明すっとばす
　高校の理系クラスにいる奴の多くが、長文苦手
　高校の数学は長文ないから誤魔化せるけど大学行ったら早速つまづく
　でも工学部なんて大半職業訓練だからそんなんでも誤魔化して卒業させちゃう
　社奴は学者じゃないから長文読めなくてもつとまる
410 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/18(土) 10:01:24.54 ID:6E7jiXBj.net]: >>369　>可算整列可能定理こんなバカ用語を使ってるのは日本中で一人しかいない
>>371　>可算選択公理からの連想であろう

名誉教授は選択公理使わないから、こんな初歩的ミスも容認する
数学は多様化してるからある分野で頂点？に立っても
他の分野では初歩レベルにも達してないなんてザラ

集合論は他分野の人はあからさまに軽視してるんで特に酷いけど
他の分野で同じことやったら嘲笑されて二度と数学界では人として認めてもらえないけどな
411 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/18(土) 10:06:54.22 ID:6E7jiXBj.net]: Ｘが可算集合だとしても、Ｘの可能な順列の全体は可算集合ではない

よく、対角線論法で、
「対角線を使ってできる例外の１個さえ追加すればＯＫじゃね？」
という奴がいるがアサハカの極みである

対角線でなくてもＮからＮへの全単射を使えば、例外はそれこそ形の上では非可算無限個できる
まあ、本当に非可算無限個になるかどうかは、真面目に検証する必要はあるけどね

ここだけの話、選択公理も整列定理もその同値性も別に難しくないが
ツォルンの補題は凡人にはそもそも何言ってるのかわからん時点で難しい
412 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/18(土) 10:24:23.84 ID:6E7jiXBj.net]: > ツォルンの補題は凡人にはそもそも何言ってるのかわからん時点で難しい
　分かってしまえば大したことないんですがね
　分かってない人は分かってないことがどのくらい難しいことか分からない
413 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/18(土) 10:36:55.76 ID:yCcyDMub.net]: >>370-371
ご苦労さまです
公開処刑は、一人でも継続するつもりだった；ｐ）

それは >>15より前スレ
rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/973-983
>つまり(ZFCではなく)ZF上で実数は定義不可能と言いたいのですか？
(引用終り)

この”ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？”は、興味があって
公開処刑は、そのついでです

>可算選択公理からの連想であろう

ID:Jha5BKz+ は、御大か
巡回ご苦労さまです

連想というか、下記に”従属選択公理は可算選択公理を導き、それより真に強い公理である。[4][5]
従属選択公理の一般化としてさらに長い超限列の生成を認めるものを考えることができる。認める長さを際限なくした場合、それは完全な選択公理と同値になる”
とあるので、各種選択公理の強さ（パワー）は、形成できる列の長さで測れるということですね
なお、下記の”>>102 より”の再掲ご参照

　>>102 より
2）次に、下記 Well-ordering theorem ：the well-ordering theorem is equivalent to the axiom of choice
　要するに
　選択公理(無制限) ←→ 整列可能定理 (列長さ無制限)
　従属選択公理(可算無限ω以上だが制限あり) ←→ 従属整列可能定理 (列長さ可算無限以上だが制限あり)*)
　可算選択公理(可算無限ωに制限) ←→ 可算整列可能定理 (列長さ可算無限ωに制限) *)
　有限選択定理(有限に制限) ←→ 有限整列可能定理 (列長さ有限に制限)
　追加の注）
　*) 逆 ←は、可算和定理を認めた上で、選択公理の集合族について、各集合を可算に制限することとする
　そうすると、可算和定理より可算の集合の可算個の族は可算になる
　なお、可算和定理は選択公理が無ければ導けないが、逆の可算和定理→選択公理は導けないと思われる
　なので、可算和定理は選択公理より弱い仮定になる（可算和定理→可算選択公理が導けないかどうかは知らず）
　なお、限られた条件下を前提として、可算選択公理と可算整列可能定理の類似が、equivalent
　例えば下記のHorst Herrlich ”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,”と”9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.”
　∵A＼{x} ∪{x} を一種の可算無限列構成と見て equivalent to "the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R"だと
(引用終り)

これについては、>>143の ID:7/7JENEr氏から鋭い指摘がありました
即ち『可算選択公理は可算個の集合族についての言明で、それら集合族の和集合が
可算集合とは限らないから、可算集合の整列可能性（これは自明）から
可算選択公理は従わない。』だと

”（これは自明）”の部分以外は、首肯できます
（多分有限集合の場合自明の意でしょう）
細かい点は、上記の『追加の注）』を見てたもれ；ｐ）

つづく
414 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/18(土) 10:38:04.36 ID:yCcyDMub.net]: つづき

>集合2^Xの選択公理を用いて、Xの濃度の部分的な値のみを用いている。
>では、最初からXの濃度で済ますことが出来るかと言えば、おそらく無理。

そこ、おサルさん>>7-10の勘違いでしょうね；ｐ）
　>>292の定理　選択公理⇒整列定理証明で
『空でない集合Xの任意の空でない部分集合Yをその元∃y∈Yに対応させる写像f(Y)=yの存在が選択公理により保証される』
と書いたでしょ、おかしな事を書いている・・ｗ；ｐ）
後で、ほじくらせて貰いますよ、乞うご期待（＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
従属選択公理
他の公理との関連
従属選択公理は可算選択公理を導き、それより真に強い公理である。[4][5]
従属選択公理の一般化としてさらに長い超限列の生成を認めるものを考えることができる。認める長さを際限なくした場合、それは完全な選択公理と同値になる。

>>154より
alg-d.com/math/ac/countable_union.html
可算和定理壱大整域
命題「可算個の可算集合の和集合は可算集合」を可算和定理という．可算和定理は選択公理が無ければ証明できない．
証明 M を ZFC+GCH の可算推移的モデルとする．以下を満たす関数 p 全体がなす集合を P とする．以下略

（いつもお世話になっている尾畑先生）
https://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
東北大尾畑研
https://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_11.pdf
「第11章選択公理」p164 の定理11.7 (可算和定理)
(選択公理なしでは証明できない)

　>>84より
archive.wikiwix.com/cache/display2.php?url=http%3A%2F%2Fwww.emis.de%2Fjournals%2FCMUC%2Fpdf%2Fcmuc9703%2Fherrli.pdf
Comment.Math.Univ.Carolin. 38,3(1997)545–552 545
Choice principles in elementary topology and analysis Horst Herrlich
1. In the realm of the reals
We start by observing that several familiar topological properties of the reals are equivalent to each other and to rather natural choice-principles.
Theorem 1.1 ([15], [29], [30]). Equivalent are:
1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,
2. a function f : R → R is continuous at a point x iff it is sequentially continuous at x,
4. each subspace of R is separable,
5. R is a Lindel¨ of space,
6. Q is a Lindel¨ of space,
9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.
There exist models of ZF that violate the above conditions ([17], [18]).
(引用終り)
以上
415 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/18(土) 10:57:29.13 ID:6E7jiXBj.net]: >>386
>>集合2^Xの選択公理を用いて、Xの濃度の部分的な値のみを用いている。
>
416 名前：>では、最初からXの濃度で済ますことが出来るかと言えば、おそらく無理。 > そこ、おサルさんの勘違いでしょうね おサルさん＝君、か？ > 定理　選択公理⇒整列定理証明で >『空でない集合Xの任意の空でない部分集合Yを > その元∃y∈Yに対応させる写像f(Y)=yの存在が > 選択公理により保証される』 >と書いたでしょ、おかしな事を書いている・・ 別におかしくないよ　当然のこと ウィキにも書いてあるJechの本の証明にも書いてあるんだがね "let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A." > 後で、ほじくらせて貰いますよ、乞うご期待 もうやめなよ 訳も分からずイキっても恥かくだけだよ 所詮阪大工学部卒の●ンカスなんだから 自分が他人の言葉を丸コピペしただけで 世界的数学者になったかのごとく思うのは ヤバいよ 精神科で診てもらいな []: [ここ壊れてます]
417 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/18(土) 11:02:03.40 ID:6E7jiXBj.net]: 阪大工学部卒の●ンカス君は
「自分は理科大応用数学科卒の●っちゃんより賢い」
と思ってるみたいだけど、大して変わんないよ

どうして●ンカスのくせに他人にマウントしたがるんだろ？
なんか実生活で不満溜まってんのかな？
でも、それは自分が努力しないからだよ
努力しない人が成果を得ることなんかないよ
418 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/18(土) 11:07:32.45 ID:6E7jiXBj.net]: > 選択公理←→ 整列可能定理
> 従属選択公理←→ 従属整列可能定理
> 可算選択公理←→ 可算整列可能定理
> 有限選択定理←→ 有限整列可能定理

生成AIかよ！
なんも考えずに●●って頭につけてるだけじゃん

だいたい有限だったら直接やればいいんで
選択公理も整列可能定理も要らねえし

そういうとこ、やっぱり考えなしの凡人だな
そういう奴が工学部とかいう「社奴生産工場」に行くんだな
419 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/18(土) 12:28:27.68 ID:yCcyDMub.net]: 公開処刑
　>>292 より
定理　選択公理⇒整列定理
証明
空でない集合Xの任意の空でない部分集合Yをその元∃y∈Yに対応させる写像f(Y)=yの存在が選択公理により保証される。
X上の二項関係≦を ∀Y⊂X.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) で定義する。
反射律の確認：∀a∈Xについて、≦の定義を{a}に適用しa≦aを得る。
推移律の確認：∀a,b,c∈Xについて、a≦b ∧ b≦c を仮定する。≦の定義を{a,b,c}に適用しa≦cを得る。
反対称律の確認：∀a,b∈Xについて、a≦b ∧ b≦a を仮定する。≦の定義を{a,b}に適用しf({a,b})=a ∧ f({a,b})=bを得る。fは写像だからa=b。
全順序律の確認：∀a,b∈Xについて、fの定義よりf({a,b})=a ∨ f({a,b})=b。≦の定義を{a,b}に適用しa≦b ∨ b≦aを得る。
以上で≦がX上の全順序であることが確認された。
さらに、≦の定義より、Xの任意の空でない部分集合Yに最小元f(Y)が存在するから、≦はX上の整列順序である。
(引用終り)

1）これ、ID:WVUbhM43さんのご指摘
　>>307『f({a,b})=a, f({b,c})=b, f({c,a})=c
　なるfのとき、a,b,cの順序は定まりますかね？』
2）また >>313-315 『たとえば、X(全集合)={a,b,c}で
　f({a,b,c})=a, f({b,c})=b のとき、a<b<c と整列する。
　このとき、f({a,b}),f({c,a})の値は使われない。
　（aがf({a,b,c})=aとしてあらわれているから。）
　というわけで、選択函数fがあっても
　すべての値を使うのではなく、一部の値しか使われない。
　そして、一つずつ元が減っていくという関係で
　（部分集合全体のなす集合）のある部分集合が、Xを
　最初の集合として、一列に並ぶ。
　このとき一つずつ減っていく元がfによって選ばれている
　という仕組み。
　fのすべての値を使ってるわけではないが、fがあれば
　「一つずつ元が減っていくという関係で（部分集合全体のなす集合）
　のある部分集合が一列に並ぶ」、ということも
　すっきり示される形になっている。』
3）この二つのご指摘の意味分ってないでしょ？
　上記1）は、2項関係の定義になっていません
　上記2）は、”Xの任意の空でない部分集合Y”は、やり過ぎ
　それだと、無駄に複雑にしているだけ
　最小限として、”一列に並ぶ”、”一つずつ減っていく元”
　を実現するには、選択関数をべき集合で任意の空でない部分集合Y＝2^X
　は、無駄に複雑にしているだけ

まあ、この指摘を言われて
この二つ理解できていないかったのかな？
420 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/18(土) 12:28:42.42 ID:xY23/2ac.net]: >集合Xを整列させるのに、集合2^Xの選択公理を用いている。

正確に言うと、濃度|2^X|の集合族の選択公理を用いている。
選択函数の定義域の濃度が|2^X|だということ。
ところが、Xの整列に用いられるのはこの中の濃度|X|の部分族の値のみで
他の値はまったく使われない。（>>313参照）
では、最初から部分族の濃度の選択公理でこと足りるかというと
そうはいかないだろう、というちょっと不思議な話。

そして、こういう「気づき」が永遠にないのがコピペ脳。
421 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/18(土) 12:32:15.94 ID:xY23/2ac.net]: ま、>>313-315を書いたのはわたしですが。

[ 続きを読む ] / [ 携帯版 ]

read.cgi ver5.27 [feat.BBS2 +1.6] / e.0.2 (02/09/03) / eucaly.net products.
担当:undef