(参考) alg-d.com/math/ac/countable_union.html 可算和定理 壱大整域 命題「可算個の可算集合の和集合は可算集合」を可算和定理という．可算和定理は選択公理が無ければ証明できない． 証明 M を ZFC+GCH の可算推移的モデルとする．以下を満たす関数 p 全体がなす集合を P とする． 以下略
(参考) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88 整列集合 導入 自然数全体の成す集合 N が通常の大小関係 "<" に関して整列集合となるという事実は、一般に整列原理と呼ばれる。 （選択公理に同値な）整列可能定理は、任意の集合が整列順序付け可能であることを主張するものである。整列可能定理はまたツォルンの補題とも同値である
en.wikipedia.org/wiki/Well-order Well-order In mathematics, a well-order (or well-ordering or well-order relation) on a set S is a total ordering on S with the property that every non-empty subset of S has a least element in this ordering. The observation that the natural numbers are well ordered by the usual less-than relation is commonly called the well-ordering principle (for natural numbers).
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_principle Well-ordering principle In mathematics, the well-ordering principle states that every non-empty subset of nonnegative integers contains a least element.[1] Properties Depending on the framework in which the natural numbers are introduced, this (second-order) property of the set of natural numbers is either an axiom or a provable theorem. For example:
(参考) https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice Axiom of choice Results requiring AC (or weaker forms) but weaker than it ・Set theory ・The union of any countable family of countable sets is countable (this requires countable choice but not the full axiom of choice). （google訳） AC（またはより弱い形式）を必要とするが、それよりも弱い結果 ・集合論 ・可算集合の任意の可算族の和集合は可算です (これには可算な選択が必要ですが、選択公理の完全版は必要ありません)。
(参考) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%9B%86%E5%90%88 可算集合 定義 可算集合とは N と濃度が等しい集合のことである[1]。すなわち、集合 S が可算であるとは、自然数全体の集合 N との間に全単射が存在することをいう[2][3]。
en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_first_set_theory_article Cantor's first set theory article （google訳） カントールの最初の集合論の論文には、無限集合とその性質を研究する超限集合論におけるゲオルク・カントールの最初の定理が含まれている。これらの定理の1つは、すべての実数の集合は可算無限ではなく非可算無限であるという「革命的な発見」である。[ 1 ]この定理は、カントールの最初の非可算性の証明を使用して証明されており、これは対角線論法を使用したより一般的な証明とは異なる。論文のタイトル「すべての実代数的数の集合の特性について」("Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen") は、その最初の定理である、実代数的数の集合は可算であることを指し示している。カントールの論文は1874年に発表された。1879年、彼は集合が区間内に 稠密であるという位相的な概念を使用して非可算性の証明を修正した。
記事 カントールの論文は短く、4ページ半未満である。[ A ]論文は実代数的数の議論と彼の第一定理の記述で始まる。実代数的数の集合は正の整数の集合と1対1に対応させることができる。[ 3 ]カントールはこの定理を当時の数学者に馴染みのある言葉で言い換える。「実代数的数の集合は、各数が1回だけ現れる無限列として表すことができる。」[ 4 ]
カントールの第二定理は、実数 ≥ aかつ ≤ bの集合である 閉区間[ a , b ] で機能します。定理は次のように述べています。実数列x 1、x 2、x 3、... と任意の区間 [ a、 b ] が与えられた場合、[ a、 b ] には、与えられた列に含まれない数があります。したがって、そのような数は無限にあります。 [ 5 ]
カントルは、2つの定理を組み合わせると、すべての区間[ a、 b ]には無限の超越数が含まれるというリウヴィルの定理の新たな証明が得られると指摘している。[ 5 ]
Cantor's 1879 uncountability proof Everywhere dense 略す Cantor's 1879 proof 略す The development of Cantor's ideas 略す A misconception about Cantor's work （google訳） カントルの作品に関する誤解 集合論を専門とする金森明宏は、「カントールの研究に関する記述は、超越数の存在を推論する順序をほとんど逆にしており、まず実数の不可算性を証明し、次に代数的数の可算性から存在の結論を導き出している。教科書ではこの逆転は避けられないのかもしれないが、これはカントールの議論が非構成的であるという誤解を助長している」と述べている。[ 29 ] (引用終り) 以上
>>83-84 より再録 fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_du_choix_d%C3%A9nombrable Axiome du choix dénombrable 仏語 可算選択の公理 （google訳） たとえば、集合S ⊆ Rの累積点xがS \{ x }の要素シーケンスの極限であることを証明するには、可算選択公理の (弱い形式) が必要です。任意の計量空間の累積点について定式化すると、このステートメントは AC ω 3と等価になります。 誤解 一般的に誤解されているのは、AC ωには反復性があるため、帰納法によって (ZF または同等のシステム、またはより弱いシステムでさえも) 定理として証明できるということです。しかし、そうではありません。この誤った考えは、可算選択の概念と、サイズ n の有限集合(n は任意に選択) に対する有限選択の概念との混同の結果であり、後者の結果です (組み合わせ分析の初等定理です)。それは帰納法で証明できます。 （google 仏→英 訳） There exist models of ZF that violate the above conditions ([17], [18]). Observe the fine distinction between conditions 2 and 3 of Theorem 1.1. These may lead one to assume that also the following property is equivalent to the above conditions: (*) a function f : R -. R is continuous i. it is sequentially continuous. However, this would be a serious mistake: (*) holds in ZF (without any choiceassumptions) — see [29]. If, however, we consider functions f : X -. R with metric domain we need even more choice than in Theorem 1.1, — see Theorem 2.1.
Notes et références 3．Pour d'autres énoncés équivalents à ACω, voir (en) Horst Herrlich, « Choice principles in elementary topology and analysis », Comment. Math. Univ. Carolinae, vol. 38, no 3,‎ 1997, p. 545-552 (lire en ligne [archive]) et (en) Paul Howard et Jean E. Rubin, Consequences of the Axiom of Choice, Providence, R.I., AMS, 1998.
archive.wikiwix.com/cache/display2.php?url=http%3A%2F%2Fwww.emis.de%2Fjournals%2FCMUC%2Fpdf%2Fcmuc9703%2Fherrli.pdf Comment.Math.Univ.Carolin. 38,3(1997)545–552 545 Choice principles in elementary topology and analysis Horst Herrlich 1. In the realm of the reals We start by observing that several familiar topological properties of the reals are equivalent to each other and to rather natural choice-principles. Theorem 1.1 ([15], [29], [30]). Equivalent are: 1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x, 2. a function f : R → R is continuous at a point x iff it is sequentially continuous at x, 3. a real-valued function f : A → R from a subspace A of R is continuous iff it is sequentially continuous, 4. each subspace of R is separable, 5. R is a Lindel¨ of space, 6. Q is a Lindel¨ of space, 7. N is a Lindel¨ of space, 8. each unbounded subset of R contains an unbounded sequence, 9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R. There exist models of ZF that violate the above conditions ([17], [18]). Observe the fine distinction between conditions 2 and 3 of Theorem 1.1. These may lead one to assume that also the following property is equivalent to the above conditions: (*) a function f : R －→ R is continuous iff it is sequentially continuous. However, this would be a serious mistake: (*) holds in ZF (without any choiceassumptions) — see [29]. If, however, we consider functions f : X －→ R with metric domain we need even more choice than in Theorem 1.1, — see Theorem 2.1. Proposition 1.2 ([15]). Equivalent are: 1. in R, every bounded infinite set contains a convergent injective sequence, 2. every infinite subset of R is Dedekind-infinite. There exist models of ZF that violate the above conditions ([18]). Obviously, the conditions of Theorem 1.1 imply the conditions of Proposition 1.2. Is the converse true? Observe that the following slight modifications of condition 1 in Proposition 1.2 hold in ZF: (a) in R, every bounded countable set contains a convergent injective sequence, (b) in R, for every bounded infinite set there exists an accumulation point. (引用終り) 以上
1）可算選択の公理なしで、コーシー列の収束が言えることと 上記 fr.wikipedia 可算選択公理における下記の記述とは、矛盾しない と思う ”Theorem 1.1 ([15], [29], [30]). Equivalent are: 1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x, 2. a function f : R → R is continuous at a point x iff it is sequentially continuous at x, 3. a real-valued function f : A → R from a subspace A of R is continuous iff it is sequentially continuous, 4. each subspace of R is separable, 5. R is a Lindel¨ of space, 6. Q is a Lindel¨ of space, 7. N is a Lindel¨ of space, 8. each unbounded subset of R contains an unbounded sequence, 9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R. There exist models of ZF that violate the above conditions ([17], [18]). Observe the fine distinction between conditions 2 and 3 of Theorem 1.1.”
2）つまり、可算選択の公理なしで、コーシー列の収束が言えるとして その上で、可算選択公理を認めると ”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,” ”4. each subspace of R is separable,” ”5. R is a Lindel¨ of space,” 成立！
3）というか、”9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.” と、Equivalent である！
(参考) en.wikipedia.org/wiki/Separable_space Separable space In mathematics, a topological space is called separable if it contains a countable, dense subset; that is, there exists a sequence {xn}n=1～∞ of elements of the space such that every nonempty open subset of the space contains at least one element of the sequence. Like the other axioms of countability, separability is a "limitation on size", not necessarily in terms of cardinality (thou
257 名前：gh, in the presence of the Hausdorff axiom, this does turn out to be the case; see below) but in a more subtle topological sense. In particular, every continuous function on a separable space whose image is a subset of a Hausdorff space is determined by its values on the countable dense subset.
>>239 (引用開始) 5. R is a Lindel¨ of space, 6. Q is a Lindel¨ of space, 7. N is a Lindel¨ of space, (引用終り)
1）リンデレフ空間 までしか言えてない ；ｐ） 2）Rだと、Compact space なのだが・・、下記 Compact space Metric spaces の項 で、”For any metric space (X, d), the following are equivalent (assuming countable choice)” とあって、 ”3.(X, d) is sequentially compact; that is, every sequence in X has a convergent subsequence whose limit is in X (this is also equivalent to compactness for first-countable uniform spaces). 4.(X, d) is limit point compact (also called weakly countably compact); that is, every infinite subset of X has at least one limit point in X.” か・・ 3）とすると、(assuming countable choice) ならば、>>239より ”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,” だから、不足しているのは Rが ”Metric” であることだが。”Rが Metric”をいうには、countable choice だけでは 不足なのかな？
(参考) https://en.wikipedia.org/wiki/Lindel%C3%B6f_space Lindelöf space https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%83%87%E3%83%AC%E3%83%95%E7%A9%BA%E9%96%93 リンデレフ空間（英: Lindelöf space; リンデレーフ空間）は、任意の開被覆が可算部分被覆を持つような位相空間である。リンデレフ性は、有限部分被覆の存在を要求するコンパクト性の概念を弱めたものである。
