- 209 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/12(日) 20:11:59.08 ID:gsEji7DN.net]
- >>190
>NからTへの全単射fがあることが対角線論法の仮定。
>仮定によりTの元を余すことなく f(0),f(1),・・・ と並べられる。
ふっふ、ほっほ
その f(0),f(1),・・・ と
>>133より
s1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)
s2 = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)
s3 = (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...)
s4 = (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...)
s5 = (1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, ...)
s6 = (0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, ...)
s7 = (1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, ...)
...
(引用終り)
この s1,s2,s3 ・・・が
f(0),f(1),・・・ に該当するか 否かの保証がないでしょ？ｗ
しかし、可算選択公理から導かれる可算整列（可能）定理を使えば
s1,s2,s3 ・・・が、整列順序であることが言えて
集合Tが、可算であるとの仮定より
s1,s2,s3 ・・・が、可算の整列順序であります
そこに、上記の対角線に沿って、ビット反転をして
s = (1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, ...) が できるが
s not ∈T であります
つまり、可算選択公理から導かれる可算整列（可能）定理により
全ての Si (i=1,2,3・・ ｜ i∈N) が、Tを整列し尽くしていることが、
保証されているからこそ
『s not ∈T 』がいえて
一方、sが 区間[0.1]の無限2進展開の数であるから s ∈ Tであって
それゆえ、矛盾であることが言えて
背理法成立となるわけです！！
もし、可算選択公理から導かれる可算整列（可能）定理を用いなければ
”全ての Si (i=1,2,3・・ ｜ i∈N) が、Tを整列し尽くしていること”について
つまり 『s not ∈T 』の明言の 数学的厳密性に
疑義の余地ができてしまう のです■
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