ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

1 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/01(水) 09:57:08.60 ID:2b7XvZNh.net] 前スレが1000近く又は1000超えになったので、新スレを立てる https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/ 前スレ ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11 このスレは、ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレです 関連は、だいたい何でもありです（現代ガロア理論＆乗数イデアル関連他文学論・囲碁将棋まであります） 資料としては、まずはこれ https://sites.google.com/site/galois1811to1832/ ガロアの第一論文を読む 渡部 一己 著 （2018.1.28） PDF https://sites.google.com/site/galois1811to1832/galois-1.pdf?attredirects=0 ＜乗数イデアル関連＞ ガロア第一論文及びその関連の資料スレ https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/785 以降ご参照 https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplier_ideal Multiplier ideal https://mathoverflow.net/questions/142937/motivation-for-multiplier-ideal-sheaves motivation for multiplier ideal sheaves asked Sep 23, 2013 Koushik ＜層について＞ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6) 層 (数学) https://en.wikipedia.org/wiki/Sheaf_(mathematics) Sheaf (mathematics) https://fr.wikipedia.org/wiki/Faisceau_(math%C3%A9matiques) Faisceau (mathématiques) あと、テンプレ順次 つづく 151 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/11(土) 21:45:56.29 ID:7/7JENEr.net] 「可算整列（可能）定理」で検索しても そんな定理は、多分雑談しか言明していない。 雑談オリジナル定理ｗ なぜなら、>>137が言うように可算集合の 整列可能性は定義から明らかで、定理でも何でもないから。 152 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/11(土) 21:47:22.25 ID:7/7JENEr.net] >>113 >しかし、可算整列可能定理（＝可算選択公理）を否定すると、有限になるので これが雑談の根本的な誤解。 整列可能定理と選択公理の関係から、両者に「可算」を付けても同じだろうと 連想したのだろうが、証明を読めば事情はまったく異なる。 可算選択公理は可算個の集合族についての言明で、それら集合族の和集合が 可算集合とは限らないから、可算集合の整列可能性（これは自明）から 可算選択公理は従わない。 153 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/11(土) 21:50:09.86 ID:7/7JENEr.net] >>99 >選択公理 vs 整列可能定理 >と同様に >可算選択公理 vs 可算整列可能定理 >となると思うが はい、誤り。連想ゲーム失敗ですな。 154 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/12(日) 06:38:28.85 ID:By1jwgYu.net] >>143 ＞可算集合の整列可能性（これは自明） 　そうだね 　一般に、順序数と同濃度な集合は当然整列可能である 　そして、整列可能定理というのは何をいってるのかといえば 　任意の集合は、必ず同濃度の順序数を持つ、ということである 155 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/12(日) 08:34:01.29 ID:gsEji7DN.net] >>142-144 >整列可能定理と選択公理の関係から、両者に「可算」を付けても同じだろうと >連想したのだろうが、証明を読めば事情はまったく異なる。 やれやれ 証明が読めてない人は、だれでしょか？ ；ｐ） 下記に、整列可能定理→選択公理 の証明を、貼ります！ 英語版が分りにくいので、中国版とイ� 156 名前：^リア版 を追加した 百回音読してね (参考) en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem Well-ordering theorem Proof of axiom of choice The axiom of choice can be proven from the well-ordering theorem as follows. To make a choice function for a collection of non-empty sets, E, take the union of the sets in E and call it X. There exists a well-ordering of X; let R be such an ordering. The function that to each set S of E associates the smallest element of S, as ordered by (the restriction to S of) R, is a choice function for the collection E.■ An essential point of this proof is that it involves only a single arbitrary choice, that of R; applying the well-ordering theorem to each member S of E separately would not work, since the theorem only asserts the existence of a well-ordering, and choosing for each S a well-ordering would require just as many choices as simply choosing an element from each S. つづく [] [ここ壊れてます] 157 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/12(日) 08:34:23.80 ID:gsEji7DN.net] つづき 中国版（上記証明の補足として） zh.wikipedia.org/wiki/%E8%89%AF%E5%BA%8F%E5%AE%9A%E7%90%86 良序定理 （google訳） 整序定理からの選択公理の証明： 空ではない集合族E上の上記の選択関数を構築するには 集合族の和集合を ×=∪A∈E A として ×に整列関係Rがある。 それぞれEの元Sで、S中の関係Rで配置される最小元で 選択関数ができる。 これにより、目的の選択関数が得られます。 証明の重要な点は、任意の選択が 1 つだけ含まれるということです。 イタリア版 （google英訳） it.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_buon_ordinamento Well-ordering theorem Dependence of the axiom of choice We show that if every set is well-orderable, the axiom of choice holds. Given a family F, we would like to find a function f:F→∪X∈F X such that ∀X∈F,f(X)∈X. But on ∪X∈F X we can establish a well order < . Then, by the definition of well order, given a set X∈F, which will be a subset of ∪X∈F X we can find a minimal element. The functionf(X)=min{y∈(X,<)} is a good choice function, since it is defined for each X and f(X)∈X. (引用終り) 158 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/12(日) 08:59:00.29 ID:gsEji7DN.net] >>145 追加 下記は、選択公理→整列可能定理 の証明です 見てのとおり、可算だ非可算だのの制限は、一切なし 証明のポイントは、 ”For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting aα=f(A∖{aξ∣ξ<α}) ” の部分です。aα=f(A∖{aξ∣ξ<α})の部分が、選択公理における選択関数を成す A∖{aξ∣ξ<α}が集合族で、選択関数の定義域ですね フルパワー選択公理は、集合族が非可算あっても良い しかし、可算選択公理は、集合族が可算であるので、出来あがる選択された元たちは可算で 可算の整列可能定理になります なお 可算の整列可能定理→可算選択公理 については、前記の”整列可能定理→選択公理” の証明を参考にすれば、容易でしょう (参考) en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem Well-ordering theorem 整列可能定理 Proof from axiom of choice The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9] Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A. For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting aα=f(A∖{aξ∣ξ<α}) if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is. That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated). Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.■ 159 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/12(日) 09:11:49.82 ID:F+I6x7M1.net] 雑談くんは背理法の勉強からやり直した方が良い 背理法も分からないんじゃ大学数学なんてとてもじゃないが無理だから コピペなんてしてる場合じゃないぞ 160 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/12(日) 09:17:54.11 ID:F+I6x7M1.net] なんで否定すべき背理法の仮定を証明する必要があるんだ しかも否定されるんだから証明不可能なのに 君、滅茶苦茶だよ　自覚した方が良いよ 161 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/12(日) 09:23:26.00 ID:F+I6x7M1.net] コピペはやめた方が良いぞ 勉強しないことの言い訳におまえの中でなってるから 162 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/12(日) 09:29:08.10 ID:By1jwgYu.net] >可算の整列可能定理→可算選択公理については、 >”整列可能定理→選択公理”の証明を参考にすれば、 >容易でしょう ダメでしょｗ 集合族が可算集合だからといって、 集合族に属する各々の集合が可算集合とは限らんのだから なんか根本的に分かってないねえ 大学１年の微積と線型代数の最初の定義のところから落ちこぼれたおサルさんは 163 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/12(日) 09:31:09.17 ID:By1jwgYu.net] >>151 ◆yH25M02vWFhPが 「数式処理システムと生成ＡＩがあれば、誰でも数学者になれる」（ドヤぁ）　といったとき 「ああ、コイツ数学全然分かってない上に数学舐めてんなあ」　と心底思った 164 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/12(日) 09:38:27.93 ID:gsEji7DN.net] >>143 >可算選択公理は可算個の集合族についての言明で、それら集合族の和集合が >可算集合とは限らないから、可算集合の整列可能性（これは自明）から >可算選択公理は従わない。 さて、もどると そもそも、選択公理は、整列可能定理を導くために考えられた 即ち、例えば 非可算の実数Rを 整列可能とするための公理であった その類で、可算選択公理は、可算集合に対し 整列可能定理を導くとして 可算集合に対して 整列可能定理を考えると、可算集合の可算和は可算であるから 可算集合の族に対しては、いえるかも・・、おっと、壱大整域さん 可算和定理 ”「可算個の可算集合の和集合は可算集合」を可算和定理という．可算和定理は選択公理が無ければ証明できない”か そうすると 赤ペン入れると 可算選択公理は可算個の集合族についての言明で、それら集合族の和集合が 可算集合とは限らないから 　↓ 可算選択公理は可算個の集合族についての言明で、それら集合族の和集合が 可算集合であること(可算和定理)の証明には 選択公理が必要 か。なるほど 可算和定理は、選択公理より弱いとして、 ”可算和定理”を認めてしまえば、”可算和定理”の下での 整列可能定理は それなりの意味があるだろう （＾＾ (参考) alg-d.com/math/ac/countable_union.html 可算和定理 壱大整域 命題「可算個の可算集合の和集合は可算集合」を可算和定理という．可算和定理は選択公理が無ければ証明できない． 証明 M を ZFC+GCH の可算推移的モデルとする．以下を満たす関数 p 全体がなす集合を P とする． 以下略 165 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/12(日) 09:49:16.30 ID:gsEji7DN.net] >>143 >可算選択公理は可算個の集合族についての言明で、それら集合族の和集合が >可算集合とは限らないから、可算集合の整列可能性（これは自明）から >可算選択公理は従わない。 さて、”可算集合の整列可能性（これは自明）”について これ、下記 整列集合→ Well-order → Well-ordering principle と辿ると ”the set of natural numbers”の ” Well-ordering principle ”と混同してない？ 確かに、下記に 整列原理の英文証明があるけど、あくまで 自然数N のことでしょ？ ；ｐ） 『可算集合の整列可能性（これは自明）』は、見つからないよ (参考) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88 整列集合 導入 自然数全体の成す集合 N が通常の大小関係 "<" に関して整列集合となるという事実は、一般に整列原理と呼ばれる。 （選択公理に同値な）整列可能定理は、任意の集合が整列順序付け可能であることを主張するものである。整列可能定理はまたツォルンの補題とも同値である en.wikipedia.org/wiki/Well-order Well-order In mathematics, a well-order (or well-ordering or well-order relation) on a set S is a total ordering on S with the property that every non-empty subset of S has a least element in this ordering. The observation that the natural numbers are well ordered by the usual less-than relation is commonly called the well-ordering principle (for natural numbers). en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_principle Well-ordering principle In mathematics, the well-ordering principle states that every non-empty subset of nonnegative integers contains a least element.[1] Properties Depending on the framework in which the natural numbers are introduced, this (second-order) property of the set of natural numbers is either an axiom or a provable theorem. For example: 166 名前：略す [] [ここ壊れてます] 167 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/12(日) 09:54:09.73 ID:gsEji7DN.net] >>154 訂正 証明 M を ZFC+GCH の可算推移的モデルとする．以下を満たす関数 p 全体がなす集合を P とする． 以下略 　↓ 命題 選択公理 ⇒ 可算和定理 証明 { Xn }n=0∞ を可算集合の族とする 略す 定理 「 R=∪n=0∞Xn ， |Xn|=アレフ0 とは書けない」は ZF で証明できない． 証明 M を ZFC+GCH の可算推移的モデルとする．以下を満たす関数 p 全体がなす集合を P とする． 以下略 まあ、壱大整域さんの原文サイトを見て下さい ；ｐ） 168 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/12(日) 09:54:42.98 ID:F+I6x7M1.net] >>152 >ダメでしょｗ >集合族が可算集合だからといって、 >集合族に属する各々の集合が可算集合とは限らんのだから ですね。 集合族Xに属する各々の集合にもし最小元が存在すれば選択関数をφ(x)=min(x)で定義すれば良いが、 可算の整列可能定理を仮定しただけでは最小元の存在は言えないね。∀x∈Xが可算でない限り。 169 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/12(日) 09:55:10.96 ID:f+uyuyBP.net] >>146 可算集合の整列可能性は定義から自明。 可算選択公理は証明に不必要で 関係ない公理であると言える。当然ながら 可算集合の整列可能性⇒可算選択公理 が証明できるわけない。 リンク先の証明でいうと 可算集合族をEとして、Eに属する集合たちの和集合をXとする。 Xの整列から、可算選択公理が導かれるが Xは可算集合とは限らないのだから、あなたの言う 「可算整列可能定理（雑談限定用語）」から 可算選択公理は証明されない。 当たり前の話。自明な命題から 非自明な公理が導出されるわけないだろう。 >証明が読めてない人は、だれでしょか？ ；ｐ） そんなのあなたしかいないでしょ。 マジで脳みそ腐ってるレベル。 170 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/12(日) 10:06:44.39 ID:F+I6x7M1.net] 雑談くん、性懲りも無くまたコピペを繰り返す いくらコピペしても背理法すら理解できないんだから無駄なのに >赤ペン入れると 雑談くんは赤ペンじゃ済まない　根本的に分かってないから 171 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/12(日) 10:14:12.30 ID:gsEji7DN.net] >>154 追加 見つけてしまった ；ｐ） 下記 ”The union of any countable family of countable sets is countable (this requires countable choice but not the full axiom of choice).” だってさｗ そうすると 命題「可算個の可算集合の和集合は可算集合」を可算和定理という．可算和定理は選択公理が無ければ証明できない． 　↓ 命題「可算個の可算集合の和集合は可算集合」を可算和定理という．可算和定理は可算選択公理が無ければ証明できない． かもしれない（en.wikipediaが絶対正しい保証はないから） (参考) https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice Axiom of choice Results requiring AC (or weaker forms) but weaker than it ・Set theory ・The union of any countable family of countable sets is countable (this requires countable choice but not the full axiom of choice). （google訳） AC（またはより弱い形式）を必要とするが、それよりも弱い結果 ・集合論 ・可算集合の任意の可算族の和集合は可算です (これには可算な選択が必要ですが、選択公理の完全版は必要ありません)。 172 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/12(日) 10:21:25.80 ID:f+uyuyBP.net] >命題「可算個の可算集合の和集合は可算集合」を可算和定理という． 頓珍漢。可算選択公理の「可算」とは、集合族の濃度が可算ということで 集合族に属している各集合が「可算」とは限りませんから〜残念。 173 名前：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [2025/01/12(日) 10:22:07.38 ID:gsEji7DN.net] >>160 補足 >”The union of any countable family of countable sets is countable (this requires countable choice but not the full axiom of choice).” ”any”の意味が、任意有限 countable なのか、あるいは 可算無限までを含むのか？ 文全体の趣旨からすると、後者に読めるが（countable choiceにおける ”countable”の意味と解すれば） まあ、en.wikipediaの書き手が、どこまで意図したのかだが？ 出典がないので、なんとも言えない・・ ；ｐ） 174 名前：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [2025/01/12(日) 10:27:46.02 ID:gsEji7DN.net] >>161 (引用開始) >命題「可算個の可算集合の和集合は可算集合」を可算和定理という． 頓珍漢。可算選択公理の「可算」とは、集合族の濃度が可算ということで 集合族に属している各集合が「可算」とは限りませんから〜残念。 (引用終り) いまのコンテキストは >>154 より 『可算集合に対して 整列可能定理を考えると、可算集合の可算和は可算であるから 　可算集合の族に対しては・・』 ってことね （＾＾ 175 名前：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [2025/01/12(日) 10:32:54.06 ID:gsEji7DN.net] >>100 (引用開始) なんらかの 例えば、可算選択公理や、従属選択公理がないと 有理コーシー列は出来ても そこで”詰みます”ってことでいい？ (引用終り) ここに 戻るよ いままでの議論は 『可算選択公理や、従属選択公理がないと 有理コーシー列は出来ても そこで”詰みます”ってことでいい？』 ってことの伏線でありまして ；ｐ） やっぱ、この通りでしょ！！ｗ 176 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/12(日) 11:07:43.59 ID:F+I6x7M1.net] >>164 負け惜しみ乙 「ZFで実数は存在しない」は間違い。言い訳無用。 そもそも >有理コーシー列は出来てもそこで詰む が意味不明過ぎてなんの言明にもなっていない 177 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/12(日) 11:12 ] [ここ壊れてます] 178 名前：:13.20 ID:By1jwgYu.net mailto: まあ詰んでいるのは◆yH25M02vWFhP の実数理解 彼はン十年前、昭和時代の大学１年生の４月の挫折 を乗り越えられないままのようだ [] [ここ壊れてます] 179 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/12(日) 11:51:59.31 ID:gsEji7DN.net] >>145 (引用開始) ＞可算集合の整列可能性（これは自明） 　そうだね 　一般に、順序数と同濃度な集合は当然整列可能である 　そして、整列可能定理というのは何をいってるのかといえば 　任意の集合は、必ず同濃度の順序数を持つ、ということである (引用終り) 　>>155に述べた通りだが ・”＞可算集合の整列可能性（これは自明）” については、 　"Well-ordering principle ”との混同でしょ 　すなわち、整列原理は あくまで自然数N についてのこと ・よって、 任意可算集合の整列可能については、可算選択公理を認めるべし ・可算選択公理を認めると、任意可算集合については 　濃度比較が可能だろう 　すなわち、可算選択公理から、任意可算集合の整列が構成できるゆえ ・”任意の集合は、必ず同濃度の順序数を持つ”は、整列可能定理で 　フルパワー選択公理を含意する 180 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/12(日) 12:14:42.71 ID:F+I6x7M1.net] >>167 >・よって、 任意可算集合の整列可能については、可算選択公理を認めるべし 不要。 xが可算であるとは、Nからxへの全単射fが存在するということ。 x上の二項関係≦を、f(0)≦f(1)≦f(2)≦・・・と定義すれば、≦は整列順序。 証明：Nは通常の大小関係で整列集合だから、xの任意の空でない部分集合yの最小元 f(min(f^(-1)(y))) が存在する。 181 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/12(日) 12:26:59.42 ID:F+I6x7M1.net] >>167 >・可算選択公理を認めると、任意可算集合については >　濃度比較が可能だろう 任意可算集合は定義から自明に同濃度ですが？ 182 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/12(日) 12:34:32.58 ID:F+I6x7M1.net] 雑談くん、相変わらず何も分かってないね 分からないなら黙ってれば？　わざわざ馬鹿自慢しなくていいよ 183 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/12(日) 12:38:52.77 ID:gsEji7DN.net] >>139 >可算整列定理からはいかなる具体的整列順序も出てきません 戻るよ １）可算整列定理は、可算選択公理から 直接導かれるものであって 　もちろん 抽象的なものだが 具体的であることを妨げない！ ２）つまり 抽象 vs 具体 の意味さえ 分かってないのか？ 　下記の goo ”抽象的” 　『１ いくつかの事物に共通なものを抜き出して、それを一般化して考えるさま。「本質を—にとらえる」』 　が適合するだろう ３）そうすると、数学の定理や公理で、抽象的に述べられたことは 　ある一定条件を満たす具体的な 数学の対象について 　”共通なものを抜き出して、それを一般化し”たものと考えると 　当然、具体的な 数学の対象に ついて、あてハマるのです やれやれ、 数学科卒を名乗らない方がいいなｗ ；ｐ） (参考) https://dictionary.goo.ne.jp/word/%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E7%9A%84/ goo辞書 抽象的 の解説 ［形動］ １ いくつかの事物に共通なものを抜き出して、それを一般化して考えるさま。「本質を—にとらえる」 ２ 頭の中だけで考えていて、具体性に欠けるさま。「—で、わかりにくい文章」⇔具象的／具体的。 「ちゅうしょう【抽象】」の全ての意味を見る 出典：デジタル大辞泉（小学館） 184 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/12(日) 12:42:48.89 ID:F+I6x7M1.net] 馬鹿が何か言ってる 185 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/12(日) 12:49:40.50 ID:gsEji7DN.net] >>168 >xが可算であるとは、Nからxへの全単射fが存在するということ。 >x上の二項関係≦を、f(0)≦f(1)≦f(2)≦・・・と定義すれば、≦は整列順序。 だから それと、下記>>138より 問題は、対角要素を作るための列で 　>>133より s1 =　(0,　0,　0,　0,　0,　0,　0,　...) s2 =　(1,　1,　1,　1,　1,　1,　1,　...) s3 =　(0,　1,　0,　1,　0,　1,　0,　...) s4 =　(1,　0,　1,　0,　1,　0,　1,　...) s5 =　(1,　1,　0,　1,　0,　1,　1,　...) s6 =　(0,　0,　1,　1,　0,　1,　1,　...) s7 =　(1,　0,　0,　0,　1,　0,　0,　...) ... 　(引用終り) この 対角要素を構成する具体的な列 が、どうか？ が問題となる そこで、可算選択公理の出番なのよ 可算選択公理を用いて >>133における 『補題：区間[0.1]の実数の集合Tは、非可算である』 の背理法による 『集合Tが、可算である』の仮定について Tの可算整列として、上記の 対角要素を作るための列 が 妥当だと 認められるのです■ 186 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/12(日) 13:00:46.55 ID:F+I6x7M1.net] 空でない任意の集合xのべき集合に選択公理を適用すれば、xの任意の空でない部分集合をその代表元に対応させる写像fが存在する。 x上の二項関係≦を f(x)≦f(x-{f(x)})≦f(x-{f(x),f(x-{f(x)})})≦・・・ で定義すれば≦は整列順序。 ここで写像fは具体的でないので≦も具体的でない。すなわち整列定理からはいかなる具体的整列順序も出てこない。 雑談くんには理解できないだろうなぁ（遠い目） 187 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/12(日) 13:08:47.98 ID:F+I6x7M1.net] >>173 >この 対角要素を構成する具体的な列 が、どうか？ >が問題となる ならない T値列は任意でよいから >そこで、可算選択公理の出番なのよ 不要 Tが可算という仮定だけでT値列の存在が言えるから 雑談くんは自分が正しいという思い込みが強い 188 名前：問題はその思い込みには何の根拠も無いこと [] [ここ壊れてます] 189 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/12(日) 13:37:18.41 ID:gsEji7DN.net] >>174 >x上の二項関係≦を f(x)≦f(x-{f(x)})≦f(x-{f(x),f(x-{f(x)})})≦・・・ で定義すれば≦は整列順序。 >ここで写像fは具体的でないので≦も具体的でない。すなわち整列定理からはいかなる具体的整列順序も出てこない。 >雑談くんには理解できないだろうなぁ（遠い目） いやいやｗｗ ；ｐ） おっさんな 　>>146-147の Well-ordering theorem （整列可能定理）の ”Proof of axiom of choice”などで （中国版より（英語版でも同様）） 『×に整列関係Rがある。 それぞれEの元Sで、S中の関係Rで配置される最小元で 選択関数ができる。 これにより、目的の選択関数が得られます』 つまり、目的の選択関数は 関係Rに依存する（各集合族で 関係R による 最小元を使う） そして、関係Rは 整列可能定理 すなわち 任意集合（非可算でも）から 一つずつ元を、適当に選んで並べて良いという主張で 従って、最初は全集合から選び、二番目は全集合から一つ減ったものから選び 三番目は全集合から二つ減ったものから選び・・・ などと、これを最後まで繰り返して、整列順序が構成されること ここは、理解できていますか？ これが 理解できていれば、選択関数は 整列可能定理の 関係R の構成を通じて 具体化可能だ！と つまりは、選択関数は抽象的な存在であるが （例え その一部分の場合も含めて） 具体的であることを妨げないのです えーと、　>>133より s1 =　(0,　0,　0,　0,　0,　0,　0,　...) s2 =　(1,　1,　1,　1,　1,　1,　1,　...) s3 =　(0,　1,　0,　1,　0,　1,　0,　...) s4 =　(1,　0,　1,　0,　1,　0,　1,　...) s5 =　(1,　1,　0,　1,　0,　1,　1,　...) s6 =　(0,　0,　1,　1,　0,　1,　1,　...) s7 =　(1,　0,　0,　0,　1,　0,　0,　...) ... 　(引用終り) ここで、 s1 =　(0,　0,　0,　0,　0,　0,　0,　...)＝0 s2 =　(1,　1,　1,　1,　1,　1,　1,　...)＝1 ですねｗｗ ；ｐ） 「だれが、こんな勝手なことやっているのか！？」と怒ってもｗ それは、選択公理や整列可能定理の範囲で、 その勝手な行為はｗ 決して禁止されていなのです！！ｗｗ 190 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/12(日) 13:40:42.64 ID:F+I6x7M1.net] >>176 >これが 理解できていれば、選択関数は >整列可能定理の 関係R の構成を通じて 具体化可能だ！と じゃあ実数の整列順序を構成してみて 整列可能定理でできるんでしょ？　よろぴくー 191 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/12(日) 13:51:36.34 ID:gsEji7DN.net] >>176 タイポ訂正 その勝手な行為はｗ 決して禁止されていなのです！！ｗｗ 　↓ その勝手な行為はｗ 決して禁止されていないのです！！ｗｗ さて >>175 (引用開始) >この 対角要素を構成する具体的な列 が、どうか？ >が問題となる ならない T値列は任意でよいから (引用終り) 集合Tが可算ということからは 集合Tと自然数Nとの間の一対一対応が 存在することが保証されただけですよ ”T値列は任意でよい”は、言えない 卑近な例で、有理数Qで、任意列を作るならば 1,1/2,1/3,・・1/n,・・,2,・・（残りのQの元の適当な列） を作ると、この列は 冒頭の”1,1/2,1/3,・・1/n,・・”の 部分だけで、自然数Nを尽くしてしまう しかし、有理数Qをうまく整列させれば、自然数Nとの一対一対応が可能なのです （証明は、思いつくであろう by ガロア ；ｐ） 可算選択公理(それから導かれる 可算整列可能定理）を認めてもよい！ 192 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/12(日) 13:57:27.99 ID:F+I6x7M1.net] >>178 >”T値列は任意でよい”は、言えない じゃあ　Tの元すべてを含む任意のT値列でよい　に訂正。 任意でよいんだから >この 対角要素を構成する具体的な列 が、どうか？ >が問題となる は間違い　理解できる？ 193 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/12(日) 14:43:11.45 ID:By1jwgYu.net] ◆yH25M02vWFhP　が分かってないこと １．具体的な整列が可能なら、整列可能定理は要らん ２．背理法で否定するための前提として整列が存在するというのに、整列可能定理は要らん 工学部ってこんなことも分からんサルでも入学できるんか？　入試、ザルだろ 194 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/12(日) 15:11:56.37 ID:F+I6x7M1.net] さて雑談くんは実数の整列順序を構成できるでしょうか できないにグラハム数ペソ 195 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/12(日) 16:06:31.75 ID:F+I6x7M1.net] 雑談くんは実数の整列順序の構成を考える前に背理法の勉強した方がいいよ 前者はフィールズ賞メダリストでも無理だが後者なら高校生でもできるから 196 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/12(日) 17:44:32.53 ID:DHi6GF9m.net] >>158 >脳みそ腐ってるレベル。 同一人物かどうかは知らないが 同じセリフを書いている人がいる可能性があるな 197 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/12(日) 18:43:55.15 ID:gsEji7DN.net] >>183 レスありがとうございます >>179 >>”T値列は任意でよい”は、言えない >じゃあ　Tの元すべてを含む任意のT値列でよい　に訂正。 だから、その主張のためには 可算選択公理（それを使う可算整列（可能）定理）が必要です つまり、可算整列ができれば、自然数Nとの 全単射（一対応）の存在が言えます 繰り返すが、下記 ”可算集合の 定義： 可算集合とは N と濃度が等しい集合のことである[1]。 すなわち、集合 S が可算であるとは、自然数全体の集合 N との間に全単射が存在することをいう[2][3]。” については、反対はしない しかし、”可算集合 定義”からは、全単射が一つ存在しさえすれば良い だけです なので >>133 背理法で 『区間[0.1]の実数の集合Tは、可算である』としただけでは 自然数Nと 集合T との全単射は、抽象的存在であって、一つ存在しさえすれば良い だけだから そうすると、ある人が 対角線論法のために ある整列（もどき）を構成したときに それが、果たして 自然数Nと 集合T との全単射が できるかどうか の証明が求められるのです その証明をする代わりに、可算選択公理を仮定すれば良いのです そうすると、繰り返すが 可算整列（可能）定理が使えることになり 『集合Tは、可算である』と宣言した瞬間に、 人はかなり自由に Nと集合Tとの全単射 ができます 即ち、集合Tを整列しさえすれば良い 逆に、可算選択公理を仮定しない場合には、 対角線論法のために作った縦の整列が 果たして ”可算集合 定義”の 全単射となっているか？ の証明が 別途必要になるってことです！ｗ ；ｐ） (参考) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%9B%86%E5%90%88 可算集合 定義 可算集合とは N と濃度が等しい集合のことである[1]。すなわち、集合 S が可算であるとは、自然数全体の集合 N との間に全単射が存在することをいう[2][3]。 198 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/12(日) 18:50:49.37 ID:f+uyuyBP.net] >>183 言ったでしょ？おっちゃんと雑談は同じ穴の狢だって。 「脳みそ腐ってる」というのは、両者の知性から受ける感じを 素直に表現したまで。 199 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/12(日) 18:53:04.21 ID:f+uyuyBP.net] >>184 得意の検索で「可算整列可能定理」を検索してみれば？ 日本中でそんなこと言ってるのはあんたしかいないからｗｗ 200 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/12(日) 18:57:45.25 ID:F+I6x7M1.net] >>184 >対角線論法のために ある整列（もどき）を構成したときに 構成不要。Nとの間に全単射があることが対角線論法の仮定だから。 >それが、果たして 自然数Nと 集合T との全単射が できるかどうか の証明が求められるのです 証明不要。Nとの間に全単射があることが対角線論法の仮定だから。 まだ分かってなくて草 201 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/12(日) 18:58:10.51 ID:f+uyuyBP.net] >>158 >自明な命題から非自明な公理が導出されるわけないだろう。 トンデモ系のひとは、数学にこういう「錬金術」がないことが分かっていない。 おっちゃんがおかしいのも、なんで未解決問題の解法が自分のところにだけ 天啓のようにやってきたのか？という点について疑問に思わないこと。 202 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/12(日) 19:07:27.46 ID:DHi6GF9m.net] >>185 君、任意の正の実数εに対して或る正の実数 N(ε) が存在して 0＜1/(N(ε))＜ε ではあるが、n≧N(ε) のとき 0＜1/n＜ε でもあるから、 εに対して M(ε)≧N(ε) なる可算無限個の正の実数 M(ε) が存在して 0＜1/(M(ε))＜ε となる。よって、N(ε) は N(ε)→+∞ なる変数として扱ってよい あとは二重極限が存在することの確認をすればよい それを端折って書いたまで そのことが君には伝わらなかったようだな 203 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/12(日) 19:10:43.15 ID:F+I6x7M1.net] >>184 NからTへの全単射fがあることが対角線論法の仮定。 仮定によりTの元を余すことなく f(0),f(1),・・・ と並べられる。 仮定は証明不要。 背理法の仮定は偽だから証明不可能。 なんか難しいことある？　なんで分からないかが分からない 204 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/12(日) 19:12:19.74 ID:DHi6GF9m.net] >>188 な、解析の議論を実際にマジメにしたらこのように長くなるだろ >なんで未解決問題の解法が自分のところにだけ >天啓のようにやってきたのか？ 何でなどといわれてもそんなの知らんよ 205 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/12(日) 19:16:21.69 ID:f+uyuyBP.net] >>189 結局何が言いたいの？ε=0とできると言いたい？ ε=0にはならないし、箱入り無数目の解法の方に n→∞の対応物が存在しないから、ナンセンスだと言ってるんだが。 206 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/12(日) 19:22:09.87 ID:DHi6GF9m.net] >>192 基本に忠実に従って議論すれば 箱入り無数目の無限バージョンも成り立って その勝つ確率は1であるといえる 207 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/12(日) 19:24:35.56 ID:DHi6GF9m.net] それじゃ、今日はここまで 208 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/12(日) 19:31:47.32 ID:F+I6x7M1.net] >>193 出題列を無限本に分ければ勝率1にできると？ 大間違い。 Dの存在が言えないから戦略不成立。 209 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/12(日) 20:11:59.08 ID:gsEji7DN.net] >>190 >NからTへの全単射fがあることが対角線論法の仮定。 >仮定によりTの元を余すことなく f(0),f(1),・・・ と並べられる。 ふっふ、ほっほ その f(0),f(1),・・・ と 　>>133より s1 =　(0,　0,　0,　0,　0,　0,　0,　...) s2 =　(1,　1,　1,　1,　1,　1,　1,　...) s3 =　(0,　1,　0,　1,　0,　1,　0,　...) s4 =　(1,　0,　1,　0,　1,　0,　1,　...) s5 =　(1,　1,　0,　1,　0,　1,　1,　...) s6 =　(0,　0,　1,　1,　0,　1,　1,　...) s7 =　(1,　0,　0,　0,　1,　0,　0,　...) ... 　(引用終り) この s1,s2,s3 ・・・が f(0),f(1),・・・ に該当するか 否かの保証がないでしょ？ｗ しかし、可算選択公理から導かれる可算整列（可能）定理を使えば s1,s2,s3 ・・・が、整列順序であることが言えて 集合Tが、可算であるとの仮定より s1,s2,s3 ・・・が、可算の整列順序であります そこに、上記の対角線に沿って、ビット反転をして s　=　(1,　0,　1,　1,　1,　0,　1,　...) が できるが s not ∈T であります つまり、可算選択公理から導かれる可算整列（可能）定理により 全ての Si (i=1,2,3・・ ｜ i∈N) が、Tを整列し尽くしていることが、 保証されているからこそ 『s not ∈T 』がいえて 一方、sが 区間[0.1]の無限2進展開の数であるから s ∈ Tであって それゆえ、矛盾であることが言えて 背理法成立となるわけです！！ もし、可算選択公理から導かれる可算整列（可能）定理を用いなければ ”全ての Si (i=1,2,3・・ ｜ i∈N) が、Tを整列し尽くしていること”について つまり 『s not ∈T 』の明言の 数学的厳密性に 疑義の余地ができてしまう のです■ 210 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/12(日) 20:15:33.27 ID:F+I6x7M1.net] >>196 >この s1,s2,s3 ・・・が >f(0),f(1),・・・ に該当するか 否かの保証がないでしょ？ｗ 保証が必要な理由は？ 211 名前：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [2025/01/12(日) 20:20:16.73 ID:gsEji7DN.net] >>186 >得意の検索で「可算整列可能定理」を検索してみれば？ >日本中でそんなこと言ってるのはあんたしかいないからｗｗ 下記 ”可算選択公理 カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている。” を注意しておきます 『無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている』ってことですね 　>>83より再録 ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86 選択公理 可算選択公理 カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている。 212 名前：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [2025/01/12(日) 20:28:45.57 ID:gsEji7DN.net] >>197 >>この s1,s2,s3 ・・・が >>f(0),f(1),・・・ に該当するか 否かの保証がないでしょ？ｗ >保証が必要な理由は？ ふっふ、ほっほ もし、可算選択公理を仮定せず そこから導かれる可算整列（可能）定理を使わないで s1,s2,s3 ・・・が f(0),f(1),・・・ に該当する保証がなければ s1,s2,s3 ・・・が 全てのTを尽くしていることが、厳密に言えない そうすると、対角線論法で s1,s2,s3 ・・・ 以外の s の存在が言えても それが s not ∈T でなく s ∈Tの可能性の余地が、残ってしまうのです ところが、可算選択公理から導かれる可算整列（可能）定理により 全ての Si (i=1,2,3・・ ｜ i∈N) が、Tを整列し尽くしていることが、 保証されているならば、s not ∈T です！■ 213 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/12(日) 20:31:20.57 ID:F+I6x7M1.net] >>199 >s1,s2,s3 ・・・が 全てのTを尽くしていることが、厳密に言えない 言えなくて良い f(0),f(1),・・・が尽くしてるから 214 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/12(日) 20:35:28.58 ID:F+I6x7M1.net] 雑談くんがなんでs1,s2,s3 ・・・に拘るのか謎だが、Tの元の並び方は任意でよいんだよ てか特定の並び方でないとダメだとしたら君詰んでるじゃん　>>177スルーしたよね？　シレっと 215 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/12(日) 20:45:25.69 ID:F+I6x7M1.net] 今日も何重にも間違える雑談くんでしたとさ 216 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/12(日) 22:00:36.46 ID:gsEji7DN.net] >>200-202 >>s1,s2,s3 ・・・が 全てのTを尽くしていることが、厳密に言えない >言えなくて良い >f(0),f(1),・・・が尽くしてるから ふっふ、ほっほ 厳密には、『言えなくて良い』が、どこまで許されるのかは 若干の議論の余地があることは認めるけれども・・ｗｗｗ ；ｐ） 　>>133から再録 (cf en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_diagonal_argument) s1 =　(0,　0,　0,　0,　0,　0,　0,　...) s2 =　(1,　1,　1,　1,　1,　1,　1,　...) s3 =　(0,　1,　0,　1,　0,　1,　0,　...) s4 =　(1,　0,　1,　0,　1,　0,　1,　...) s5 =　(1,　1,　0,　1,　0,　1,　1,　...) s6 =　(0,　0,　1,　1,　0,　1,　1,　...) s7 =　(1,　0,　0,　0,　1,　0,　0,　...) ... ここで、対角線上の 0 or 1 をビット反転させると s　=　(1,　0,　1,　1,　1,　0,　1,　...) ができる。これは、上記のどのSi (i=1,2,3・・)とも異なる ・・ ・・ 背理法により・・成立 (引用終り) すでに述べたように 可算選択公理から 可算整列（可能）定理を使ったことによる 証明の簡明性（>>199ご参照）が 大きく損なわれることになる 要するに、グダグダの議論の末にｗ もし それが証明として成り立っているとしても、その議論は 分りにくいだろうし 特に、ビット反転の s　=　(1,　0,　1,　1,　1,　0,　1,　...) が、真に 『s not ∈T』であることの立証が、十分でないだろう！ （>>198より『カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている』） 217 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/12(日) 22:29:42.24 ID:F+I6x7M1.net] >>203 >厳密には、『言えなくて良い』が、どこまで許されるのかは >若干の議論の余地があることは認めるけれども・・ｗｗｗ ；ｐ） 大間違い 全単射が存在するという仮定なんだからまったく議論の余地無し >もし それが証明として成り立っているとしても、その議論は 分りにくいだろうし 可算整列可能定理という謎定理を持ち出すことこそ分かりにくいし、もっと問題なのは前提が増えてしまうこと、つまり分かりにくいだけじゃなくそもそも間違い。 そもそもTの元をすべて附番することは不可能なのに可算整列可能定理という謎定理を使って何をしたいのかが� 218 名前：芍ﾟぎ。 馬鹿もほどほどにとしか言えん。 [] [ここ壊れてます] 219 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/12(日) 22:29:55.89 ID:F+I6x7M1.net] >カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている 対角線論法で使っているとは書かれてない 君の妄想に過ぎない 220 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/12(日) 22:45:15.04 ID:F+I6x7M1.net] >>203 >Tの元の並び方は任意でよい を認める？ Y/N Nなら具体的並び方を示して Yなら余計な前提（＝謎定理）を持ち込む必要は無いと思わない？　思わないならその必要な理由を示して 221 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/12(日) 23:58:48.85 ID:gsEji7DN.net] >>206 (引用開始) >Tの元の並び方は任意でよい を認める？ Y/N Nなら具体的並び方を示して (引用終り) ・答え N ・具体的並び方について述べる 　可算無限集合の例として 有理数Qが挙げられる。任意だとして 通常の大小並び（不等号 ＜ による）は、ダメですｗ ・例えば 　区間[0,1]の実数の集合Tで、Tには 有理数Qを含むことは妨げないとして 　区間[0,1]を三等分して、[0,1/3)、[1/3,2/3),[2/3,1]で 　まず 中央[1/3,2/3)で全ての有理数を含めて 可算とし 　[0,1/3)と[2/3,1]とからも、実数を可算の範囲で適当に選ぶとする 　よって Tは、可算濃度である 　いま、通常の大小 ＜ の順に並べるとする ・この場合において、中央[1/3,2/3)の有理数の全てを含む部分で 　自然数Nとの一対一対応が 通常の ＜ では うまくいかない（有理数が 直積 N × N になっているゆえ） （少なくとも 全ての有理数の部分は、辞書式順序などを採用するべし（下記ご参照）。任意 絶対ダメ！ｗ） (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0 有理数Q Q は可算無限集合である Q は通常の大小関係を順序として全順序集合であり、特に稠密順序集合となる。すなわち、2つの有理数の間には（それがいくら近い値だとしても）少なくとも1つ（従って無数の）有理数が存在する https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E9%9B%86%E5%90%88 直積集合上の順序 2つの半順序集合（の台集合）の直積集合上の半順序としては次の三種類がある。 辞書式順序： 積順序 直積 N × N 上の辞書式順序 略す 222 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/13(月) 00:01:17.00 ID:xSRlEtRO.net] >>146 補足 (引用開始) (参考) en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem Well-ordering theorem (引用終り) この整列可能定理の系を思いついたので、書いておく 　>>203の集合Tとその元 s1,s2,s3 ・・・∈T の表記を借用する ＜整列可能定理の系（冒頭 有限個は任意）＞： 可算無限以上の濃度とする集合Tに対して、整列可能定理を認めるとする このとき、冒頭有限個の元の整列 s1,s2,s3 ・・・snは、任意で良い 証明 Tの部分集合で、任意n個の集合{s1,s2,s3 ・・・sn}を考え、T'＝T＼{s1,s2,s3 ・・・sn}とする Tの整列で冒頭の列として s1,s2,s3 ・・・sn を取る 残り、T'に対し 整列可能定理により列 s'1,s'2,s'3 ・・・ ∈T' を作る s1,s2,s3 ・・・sn,s'1,s'2,s'3 ・・・ と書ける 付番をやり直して s1,s2,s3 ・・・sn,sn+1,s+2,s+3 ・・・ と書ける これは、集合Tの整列であり、冒頭{s1,s2,s3 ・・・sn}は任意に取れる！■ 223 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/13(月) 00:15:55.06 ID:2LyGh2G/.net] >>207 君も負けず嫌いだね　それともただの馬鹿？ >・答え N 大間違い Tの元を余すことなく並べたことが否定されればよいので、並べ方は任意でよい >・具体的並び方について述べる >　可算無限集合の例として 有理数Qが挙げられる いや並べ方はTのだよｗ　何の話してんだよｗ Qの並べ方は公知だろｗ　可算であることが証明されてんだからｗ　そんなんで誤魔化しちゃダメｗ 224 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/13(月) 00:21:27.80 ID:2LyGh2G/.net] >>208 >可算無限以上の濃度とする集合Tに対して、整列可能定理を認めるとする >このとき、冒頭有限個の元の整列 s1,s2,s3 ・・・snは、任意で良い ワロタｗ　何だよこの主張？ｗ 225 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/13(月) 06:25:46.18 ID:TxxvswZ2.net] >>184 > ある人が 対角線論法のために ある整列を構成したときに > それが、果たして 自然数Nと 集合T との全単射が できるかどうか の証明が求められるのです 日本語になってないよ　ニホンザル 「（実数全体の）ある整列を構成したときに 　 それが、果たして 自然数Nと同型かどうか？」 なら日本語になってるけどね でも「Nと同型なら矛盾」って対角線論法だよね 否定される命題を証明するの？　君、馬鹿？ 226 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/13(月) 06:31:48.85 ID:TxxvswZ2.net] >>196 >ふっふ、ほっほ >その s1,s2,s3 ・・・が >f(0),f(1),・・・ に該当するか >否かの保証がないでしょ？ 　保証？背理法で否定される命題が成立する保証？ 　高校数学の背理法も理解できない？ 　どこに背理法で否定される命題を証明する奴がいるの？ >もし、可算選択公理から導かれる可算整列（可能）定理を用いなければ >”全ての Si (i=1,2,3・・ ｜ i∈N) が、Tを整列し尽くしていること”について >つまり 『s not ∈T 』の明言の 数学的厳密性に >疑義の余地ができてしまう のです できねえわ　馬鹿 227 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/13(月) 06:35:11.28 ID:TxxvswZ2.net] >>199 >もし、可算選択公理を仮定せず そこから導かれる可算整列可能定理を使わないで >s1,s2,s3 ・・・が f(0),f(1),・・・ に該当する保証がなければ >対角線論法で s1,s2,s3 ・・・ 以外の s の存在が言えても >それが s not ∈T でなく s ∈Tの可能性の余地が、残ってしまうのです 残らねえわ　馬鹿 s1,s2,s3 ・・・が 全てのTを尽くしている、という前提から矛盾を導いたのだから s ∈ Tだったら矛盾するだろが！！！ ｷﾞｬﾊﾊﾊﾊﾊﾊ!!! 228 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/13(月) 06:42:20.28 ID:TxxvswZ2.net] 対角線論法を「肯定形」で書くとこうなる 「任意のNからRへの単射fに対して 　どのs(n)とも一致しない実数r∈Rが存在する（つまりfは全射ではない)」 対偶を取った「否定形」は以下 「もしある順序数OからRへの全単射が存在するならば 　そのOはω(=N)ではない」 229 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/13(月) 06:43:59.85 ID:TxxvswZ2.net] >>214 「もしある順序数OからRへの全単射が存在するならばそのOはω(=N)ではない」 もし、選択公理を仮定しないならば そもそもいかなる順序数OからRへの全単射も存在しない場合もあり得る 230 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/13(月) 07:53:15.44 ID:xSRlEtRO.net] ふっふ、ほっほ ご苦労さまです >>209 >>・答え N >大間違い >Tの元を余すことなく並べたことが否定されればよいので、並べ方は任意でよい 並べ方に、自由度があることは認めるが しかし、完全な任意ではない！ そのことを、>>207で示した！！ｗ >いや並べ方はTのだよｗ　何の話してんだよｗ >Qの並べ方は公知だろｗ　可算であることが証明されてんだからｗ　そんなんで誤魔化しちゃダメｗ Tは、区間[0,1]の実数の集合>>207 だから、Tに区間[0,1]の任意の有理数を含めることができる その上で、『>Tの元の並び方は任意でよい を認める？ Y/N Nなら具体的並び方を示して』だった Tに、>>207”中央[1/3,2/3)で全ての有理数を含めて 可算とし” この可算無限の有理数が、通常の ＜ による並びでは、この場合は自然数Nとの対応がつかないという 反例を構成したのです■ >>210 >>可算無限以上の濃度とする集合Tに対して、整列可能定理を認めるとする >>このとき、冒頭有限個の元の整列 s1,s2,s3 ・・・snは、任意で良い >ワロタｗ　何だよこの主張？ｗ この主張は、>>203に例示のように 対角線論法で冒頭 有限個の元の整列 s1,s2,・・ を具体的に書き下すことの 数学的な根拠を与える定理で、トリビアな定理だが 整列可能定理からは、簡単に導かれる しかし、整列可能定理を否定するとどうなるか？ しらんけどｗ ；ｐ） もし、整列可能定理を認めないとき 冒頭有限個の元の整列 s1,s2,・・ を 明示できないならば 対角線論法の簡明さ（もっと言えば シロウト分かりする）が、失われるだろうってことよ ；ｐ） 231 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/13(月) 08:07:05.71 ID:TxxvswZ2.net] > もし、整列可能定理を認めないとき > 冒頭有限個の元の整列 s1,s2,・・ を 明示できないならば > 対角線論法の簡明さ（もっと言えば シロウト分かりする）が、失われるだろう 　シロウトの嘘分かりが失われると何が困るの 　ああ、おサルの君が５ｃｈでマウントできないってこと？ 　 　そんなのしらんがな（バッサリ） 232 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/13(月) 09:49:29.27 ID:xSRlEtRO.net] >>217 おサルさんさ 可算選択公理を認めれば、対角線論法がスッキリと簡明になるって話よ そんなに 必死に 可算選択公理を否定することもないと思うよ ｗ 『カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている』 それだけの話なのだからｗ ；ｐ） (参考) ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86 選択公理 可算選択公理 カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている。 233 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/13(月) 10:02:44.39 ID:TxxvswZ2.net] >>218 > おサルさんさ 　おサルさんは君 > 可算選択公理を認めれば、対角線論法がスッキリと簡明になる 　対角線論法に、可算選択公理は全く必要ないけど > 必死に 可算選択公理を否定することもない 　誰も可算選択公理を否定してない　肯定もしてないが 　無関係だから肯定しようが否定しようが結果は同じ 　わかる？おサルさん 234 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/13(月) 10:04:28.43 ID:TxxvswZ2.net] >>218 >『カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、 >　無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている』 　対角線論法では全く使ってないけどな 　何を勝手に妄想してるのかな？ 　大学数学が全く分からんおサルさん 235 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/13(月) 10:24:10.74 ID:xSRlEtRO.net] >>214 うん 有名な資料で、旧ガロアすれでも取り上げたが 下記の ”自己言及の論理と計算∗長谷川真人” ”自己言及と対角線論法” ”停止性問題” ”対角線論法から不動点へ” ここらが、重要キーワードだな （＾＾ (参考) https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~hassei/index-j.html 長谷川 真人 （はせがわ・まさひと） 講義資料 「 236 名前：自己言及の論理と計算」（2006年5月改訂；2007年8月追記） https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~hassei/selfref2006.pdf 自己言及の論理と計算∗長谷川真人 ∗京都大学数理解析研究所 数学入門公開講座（2002年8月5〜8日）の予稿を改訂（2006年5月）／重要：2007年8月にSoto-Andrade とVarela の 1984 年の論文について追記 目次 I 自己言及と対角線論法 1 ラッセルの逆理 2 カントールの対角線論法 3 自己適用 4 停止性問題 5 対角線論法から不動点へ 6 不動点定理から具体例を見直す [] [ここ壊れてます] 237 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/13(月) 10:44:09.92 ID:xSRlEtRO.net] >>221 >”自己言及と対角線論法” 対角線論法より以前に、カントールの最初の実数の非可算を証明した話が下記にある しかし、繰り返すが >>218『カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている』 ので、下記で 可算選択公理の役割は、定かではない（多分使っていると推測しています） (参考) en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_diagonal_argument Cantor's diagonal argument （google訳） 実数 実数の非可算性はカントールの最初の非可算性の証明によってすでに確立されているが略 en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_first_set_theory_article Cantor's first set theory article （google訳） カントールの最初の集合論の論文には、無限集合とその性質を研究する超限集合論におけるゲオルク・カントールの最初の定理が含まれている。これらの定理の1つは、すべての実数の集合は可算無限ではなく非可算無限であるという「革命的な発見」である。[ 1 ]この定理は、カントールの最初の非可算性の証明を使用して証明されており、これは対角線論法を使用したより一般的な証明とは異なる。論文のタイトル「すべての実代数的数の集合の特性について」("Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen") は、その最初の定理である、実代数的数の集合は可算であることを指し示している。カントールの論文は1874年に発表された。1879年、彼は集合が区間内に 稠密であるという位相的な概念を使用して非可算性の証明を修正した。 記事 カントールの論文は短く、4ページ半未満である。[ A ]論文は実代数的数の議論と彼の第一定理の記述で始まる。実代数的数の集合は正の整数の集合と1対1に対応させることができる。[ 3 ]カントールはこの定理を当時の数学者に馴染みのある言葉で言い換える。「実代数的数の集合は、各数が1回だけ現れる無限列として表すことができる。」[ 4 ] カントールの第二定理は、実数 ≥ aかつ ≤ bの集合である 閉区間[ a , b ] で機能します。定理は次のように述べています。実数列x 1、x 2、x 3、... と任意の区間 [ a、 b ] が与えられた場合、[ a、 b ] には、与えられた列に含まれない数があります。したがって、そのような数は無限にあります。 [ 5 ] カントルは、2つの定理を組み合わせると、すべての区間[ a、 b ]には無限の超越数が含まれるというリウヴィルの定理の新たな証明が得られると指摘している。[ 5 ] カントルは、彼の第二の定理は次のように述べている。 いわゆる連続体を形成する実数の集合（例えば、0以上1以下のすべての実数）が、集合（ν）[すべての正の整数の集合]と一対一に対応できない理由。こうして、いわゆる連続体と実代数的数の総体のような集合との明確な違いを発見した。[ 6 ] この注釈にはカントールの不可算定理が含まれているが、これは区間 [ a , b ] が正の整数の集合と一対一に対応付けられないことのみを述べている。この区間が正の整数の集合よりも大きな濃度の無限集合であるとは述べていない。濃度は1878年に発表されたカントールの次の論文で定義されている。[ 7 ] つづく 238 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/13(月) 10:44:29.49 ID:xSRlEtRO.net] つづき カントールの不可算定理の証明[見せる] カントルは彼の不可算定理を述べるだけで、いかなる証明にもそれを使用していない。[ 3 ] The proofs First theorem 略す Second theorem 略す Cantor's 1879 uncountability proof Everywhere dense 略す Cantor's 1879 proof 略す The development of Cantor's ideas 略す A misconception about Cantor's work （google訳） カントルの作品に関する誤解 集合論を専門とする金森明宏は、「カントールの研究に関する記述は、超越数の存在を推論する順序をほとんど逆にしており、まず実数の不可算性を証明し、次に代数的数の可算性から存在の結論を導き出している。教科書ではこの逆転は避けられないのかもしれないが、これはカントールの議論が非構成的であるという誤解を助長している」と述べている。[ 29 ] (引用終り) 以上 239 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/13(月) 10:51:08.74 ID:xSRlEtRO.net] >>221-222 補足 ”自己言及の論理と計算∗長谷川真人” の受け売りだが ”自己言及と対角線論法”などにあるように 対角線論法は、集合論の 実数の非可算を越えて いろんな分野で、使われるようになった その意味で、対角線論法は 超重要キーワードってことです！（＾＾ 240 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/13(月) 10:58:02.75 ID:xSRlEtRO.net] >>100 (引用開始) なんらかの 例えば、可算選択公理や、従属選択公理がないと 有理コーシー列は出来ても そこで”詰みます”ってことでいい？ (引用終り) 戻るよ ・可算選択公理や、従属選択公理 なしで 　有理コーシー列は出来る ・なにかが出来る 　多分、これ実数だろうｗ ；ｐ） それで、詰みですか？ それ以上、何か言えますか？ｗ ；ｐ） 241 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/13(月) 12:07:51.55 ID:2LyGh2G/.net] >>207 >・この場合において、中央[1/3,2/3)の有理数の全てを含む部分で >　自然数Nとの一対一対応が 通常の ＜ では うまくいかない Q∩TとNとの一対一対応を取る必要がまったく無い。よって反論になってない。 繰り返すが、Tの元を余す事無く並べ切れてないことが言えればよいのだから並べ方は任意でよい。 242 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/13(月) 12:11:26.10 ID:2LyGh2G/.net] >>216 >並べ方に、自由度があることは認めるが >しかし、完全な任意ではない！ 完全に任意 >そのことを、>>207で示した！！ｗ 示せてないことを>>226で示した >この主張は、>>203に例示のように 対角線論法で冒頭 >有限個の元の整列 s1,s2,・・ を具体的に書き下すことの >数学的な根拠を与える定理で、トリビアな定理だが 無意味 243 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/13(月) 12:31:02.78 ID:2LyGh2G/.net] >>218 >可算選択公理を認めれば、対角線論法がスッキリと簡明になるって話よ 複雑になるだけでなく、余計な前提が必要になるから間違い >そんなに 必死に 可算選択公理を否定することもないと思うよ ｗ 道理を理解できない馬鹿が頑なに間違いを認めないだけの話 >>『カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている』 >それだけの話なのだからｗ ；ｐ） 「それだけ」が謎だが、選択公理の必要性が認識される前の時代の話を持ち出したところで君の間違いが正当化されることは無い。 244 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/13(月) 12:47:05.04 ID:2LyGh2G/.net] >>225 「ZFで実数は存在しない」 という君の主張が間違いであることは認めるの？ >それ以上、何か言えますか？ｗ ；ｐ） 愚問 選択公理の必要性は命題ごとの個別論。 245 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/13(月) 12:52:23.33 ID:2LyGh2G/.net] >>224 >その意味で、対角線論法は >超重要キーワードってことです！（＾＾ 君はその超重要な対角線論法をまったく理解できていないけどなｗ 可算選択公理が必要などと抜かす馬鹿は君以外いないだろう 246 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/13(月) 15:40:39.72 ID:TxxvswZ2.net] >>222 Rの非可算性＝RとNとの一対一対応が存在しない　という意味なら 対角線論法で証明でき、その場合、可算選択公理など全く必要ない ただ Rの非可算性＝RはNより大きい順序数と一対一対応する　という意味なら 当然ながらRの整列可能性を主張するわけなので、例えば Ｒの全ての部分集合からその中の要素１つを選ぶ選択関数の存在を認める 選択公理が必要である （上記の関数があれば、Ｒから１つずつ要素を取り除くことによって 　Ｒの整列を作ることが可能である　 　しかしこれだけではＲがいかなる順序数と１対１対応するかは定まらない） 247 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/13(月) 15:47:59.23 ID:TxxvswZ2.net] Ｒが整列不可能、ということは Ｒの全ての部分集合からその中の要素１つを選ぶ選択関数なんて存在しない ということ まあ、一見驚きだが、よく考えてみれば Ｒの全ての要素すらわからんのに、 さらにＲの全ての部分集合なんかわかりようもなく そこから１つの要素を取りだすなんてのも見当がつかないので まあ、なくても矛盾は 248 名前：導けないかもな、とは思う [] [ここ壊れてます] 249 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/13(月) 15:51:11.88 ID:TxxvswZ2.net] コーエンのフォーシングによる結果以降、 集合論からフィールズ賞が出ないのは もっともと思えることもある 連続体仮説のような基本的な問題について決定不能というんじゃ 他のもっと込み入った問題でなんか結果が出たところで全然インパクトがない いかなる学問分野でも、主要な問題で何等かの成果がでると そのあと、いかほど難しい問題が解けても、だから何なの？ といわれてしまうように思う 250 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/13(月) 17:40:11.91 ID:2LyGh2G/.net] ところで雑談くん >>177はお得意のスルー芸ですかな？ 整列定理で実数の整列順序の具体化は可能なんでしょ？　早く具体化してよ 251 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/13(月) 18:14:48.75 ID:xSRlEtRO.net] 戻る 　>>83-84 より再録 fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_du_choix_d%C3%A9nombrable Axiome du choix dénombrable 仏語 可算選択の公理 （google訳） たとえば、集合S ⊆ Rの累積点xがS \{ x }の要素シーケンスの極限であることを証明するには、可算選択公理の (弱い形式) が必要です。任意の計量空間の累積点について定式化すると、このステートメントは AC ω 3と等価になります。 誤解 一般的に誤解されているのは、AC ωには反復性があるため、帰納法によって (ZF または同等のシステム、またはより弱いシステムでさえも) 定理として証明できるということです。しかし、そうではありません。この誤った考えは、可算選択の概念と、サイズ n の有限集合(n は任意に選択) に対する有限選択の概念との混同の結果であり、後者の結果です (組み合わせ分析の初等定理です)。それは帰納法で証明できます。 （google 仏→英 訳） There exist models of ZF that violate the above conditions ([17], [18]). Observe the fine distinction between conditions 2 and 3 of Theorem 1.1. These may lead one to assume that also the following property is equivalent to the above conditions: (*) a function f : R -. R is continuous i. it is sequentially continuous. However, this would be a serious mistake: (*) holds in ZF (without any choiceassumptions) — see [29]. If, however, we consider functions f : X -. R with metric domain we need even more choice than in Theorem 1.1, — see Theorem 2.1. つづく

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