面白い数学の問題おしえて～な 42問目

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面白い数学の問題おしえて～な 42問目

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/12/30(金) 01:37:06.61 ID:dJPebMFS.net]: 面白い数学の問題を紹介して解き合うスレです
質問スレではありません
出題者が答えを知らない問題はお控えください
統計学などはスレ違い、数学以外の話題は論外です
荒らし、煽りはスルー推奨

前スレ
面白い数学の問題おしえて～な 41問目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1652369753/

過去ログ(1-16問目)
www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/

まとめwiki
w.atwiki.jp/omoshiro2ch/
2 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/12/30(金) 01:37:57.60 ID:dJPebMFS.net]: 過去スレ
1 //cheese.5ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 //natto.5ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3 //mimizun.com/log/2ch/math/1026218280/
4 //mimizun.com/log/2ch/math/1044116042/
5 //mimizun.com/log/2ch/math/1049561373/
6 //mimizun.com/log/2ch/math/1057551605/
7 //science2.5ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 //science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 //science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 //science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 //science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 //kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 //kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 //uni.5ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
20 //wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/
3 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/12/30(金) 01:38:32.92 ID:dJPebMFS.net]: 過去スレ (続き)
21 //wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/
22 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
23 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/
24 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/
25 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/
26 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518967270/
27 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532793672/
28 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540739963/
29 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548267995/
30 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1572866819/
31 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1580123521/
32 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1586230333/
33 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1598637093/
34 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1608679703/
35 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1614399625/
36 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1622242743/
37 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1624644393/
38 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1629715580/
39 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1633923732
40 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1640443648/
41 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1652369753/
4 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/12/30(金) 02:14:00.32 ID:yoqJLNcn.net]: x^2+y^2=r^2.
x+y(dy/dx)=0.
dy/dx=-x/y.

∫_a^b(2πy(1+(dy/dx)^2)^(1/2))dx
=∫_a^b(2πy(1+(-x/y)^2)^(1/2))dx
=∫_a^b(2πy(r^2/y^2)^(1/2))dx
=∫_a^b(2πy(r/y))dx
=∫_a^b(2πr)dx
=2πr(b-a).
5 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/12/30(金) 12:46:55.04 ID:LBP9Q9f1.net]: 前スレ>>988
解説してたのは日経サイエンスのパズルの国のアリスだよね。

https://www.nikkei-science.com/page/magazine/alice/201604/question.html

昔は解答も載せてくれてたんだけど削除しちゃってるね。
書籍版かバックナンバーを買うなり図書館で読むなりしてくれ。
6 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/12/30(金) 13:52:41.29 ID:NtYdl9mW.net]: https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1608679703/282
近辺の書き込みを読んでみると、
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1608679703/298
を見つけることができる。
パズルの国のアリスの解答は、球台の側面積が幅依存であることを
利用したものであることが強く推論できます。
7 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/12/30(金) 18:43:10.97 ID:Q/UWwpra.net]: パズルの国のアリスの、その問題の解答が載っている本を持ってるけど、
前スレ994と同じような説明がされてるね。
用語としては「球台」ではなく「球帯」と書いてあるけど。

円形のペンキ染みを半球形のドームで覆って、円形部分のペンキを
帯状に拭うと同時に、直情のドームの球帯が塗られるとする。
このとき円形の端以外では、帯の幅が同じなら球帯の表面積は
どこでも同一になるから…という流れ。
8 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/12/30(金) 19:23:06.99 ID:992Kqyl6.net]: 件の積分値が球面の一部の表面積になるとこは問題ない
多くの積分問題は長さ、表面積、体積の問題に還元してそれを別の積分の問題にしたり、場合によっては積分なしで示したりもできる
しかし少なくとも「球面を平行な2面で切り取った部分の面積はその幅のみで決まる」なんてのが当たり前なんかではないし結局それは別の積分するなりなんなりで示さないとダメやろ
件の問題なら最低限、原点中心半径Rの球面を平面x=a,b (-R<a<b<R)で切り取った部分の面積をF(a,b)とするとき
dF = 2πR( db - da )
を示しとくとかしないとダメやろ
9 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/12/30(金) 20:21:52.17 ID:i5hUBnDu.net]: 証明の手法として何をどう使うかが明確なら個人的にはあまり目くじら立てなくて良い気はするけど
極端に手間だったり場合分けが煩雑になる場合はともかく、今回は単純な計算の範疇だと思う
10 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/12/30(金) 21:10:00.67 ID:yoqJLNcn.net]: Archimedes' Hat-Box Theorem -- from Wolfram MathWorld
https://mathworld.wolfram.com/ArchimedesHat-BoxTheorem.html
11 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/12/31(土) 19:12:04.97 ID:Zpaaf71A.net]: 年末なので気軽に爆弾を投下できる（と言いつつ完成したのは今日なんだけど）

pを素数、F_pを位数pの有限体、V=F_p×F_pを体F_p上の二次元ベクトル空間とする。
Vの部分集合S⊂Vの要素数が2p-2以下である時、V上の直線であってSと共通部分を持たないものが存在することを示せ。
12 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/07(土) 18:01:42.03 ID:Y0f2rcgw.net]: 一週間音沙汰無いのはさすがにあれなのでヒント

体F_pから構成される射影平面 PG(2,F_p) の自己双対性を利用して問題を双対版に翻訳してみると下記のようになる：

V上でx=0と平行でないいくつかの直線からなる集合S⊂Vの要素数が2p-2以下であり、なおかつSがどの傾きの直線も含むならば、
V上の点であってSのどの直線とも共通部分を持たないものが存在することを示せ。

※PG(2,F_p) の自己双対性については以下参照
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Duality_(projective_geometry)
13 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/10(火) 23:35:41.53 ID:B82f+Pfv.net]: みんな新スレを見つけられてないのか？
14 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/10(火) 23:42:07.19 ID:hWbrVdLP.net]: 大半は単発スレに書き込むみたいなノリだったってことなのかね
昔みたいに静かにひっそりという流れもいいけど、とは言えさすがに静かすぎるのは同意
15 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/11(水) 18:41:50.38 ID:KtDnLDHD.net]: s=1+√2とおく
11=s^3-s^2+s+s^0-s^(-1)-s^(-2)-s^(-3)
のように任意の整数はsを整数乗した数の和と差で表せることを示せ
16 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/11(水) 18:48:40.56 ID:KtDnLDHD.net]: 係数が0と1と-1だけって意味ね
17 名前：１３２人目の素数さん [2023/01/12(木) 12:53:57.16 ID:RqzcvdPa.net]: ageておくぞ
18 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/12(木) 15:14:06.00 ID:x3bOSX4a.net]: 自明？
https://twitter.com/jagarikin/status/1611559818917183489
(deleted an unsolicited ad)
19 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/12(木) 18:59:28.70 ID:fj2LKEAF.net]: 集合Xを{x[1]=1,x[2]=3,x[n+2]=2x[n+1]+x[n]で定まる数列}={1,3,7,17,41,99,239,577,...}とする。

全ての自然数は、集合Xの元x[k]と、0,1,2のいずれかの値を取るa[k]を使って　【　Σa[k]*x[k]　】　のように表せる。
（数学的帰納法による証明が簡明）
→
全ての整数は、集合Xの元x[k]と、-1,0,1のいずれかの値を取るb[k]を使って　【　Σb[k]*x[k]　】　のように表せる。
（∵集合H={1,4,11,28,69,168,...}={Σx[k]}　を考え、変換したい n に対し、|n|<hとなる適当な集合Hの元hを
　持ってきて、n+h　を　Σa[k]*x[k]　形式で表現すると、n=Σ(a[k]-1)*x[k]　なので、b[k]=a[k]-1とすればよい。）
→
集合Xの元の二倍から成る集合に、1　を加えた集合Y={1,2,6,14,34,82,198,478,1154,...}を考える。
全ての整数は、集合Yの元y[k]と、-1,0,1のいずれかの値を取るc[k]を使って　【　Σc[k]*y[k]　】　のように表せる。

ところで集合Xの(n+1)番目の元は(1/2){(1+√2)^n+(1-√2)^n}=(1/2){(1+√2)^n+(-1/(1+√2))^n}と表せるので、
s=1+√2とすると、集合Yは{s^0}U{s-1/s , s^2+1/s^2 , s^3-1/s^3 , s^4+1/s^4 ,...}と表せる。

全ての整数は、　Σc[k]*y[k]　
20 名前：として表す事ができ、cは-1,0,1のいずれか、yは上記のような集合Yの元なので、>>15が示される。 []: [ここ壊れてます]
21 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/14(土) 13:03:19.51 ID:hSLA9JQg.net]: a,bを任意の整数としてa+b√2も表せる？
22 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/14(土) 13:15:59.84 ID:zbJMLF0T.net]: >>11
さらにヒント

Sの各直線sは傾きを持つので y+(a_s)x+b_s=0 (a_s,b_s∈F_p) のように表せる。
この a_s,b_s を用いて定義されるV上のF_p値関数 F(x,y) := Π_(s∈S)(y+(a_s)x+b_s) が常には0にならないことを示せば良い。
23 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/14(土) 15:48:14.37 ID:JOxKa+0C.net]: >>20
係数は3通りしかないのだから、|a+b√2|>3 というだけで無理確定。
24 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/14(土) 17:41:01.20 ID:hSLA9JQg.net]: 言葉足らずだった
a+b√2を1+√2で表すって意味ね
11+6√2だったらs³+s²-s⁻¹みたいな感じで
25 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/14(土) 19:19:39.96 ID:JOxKa+0C.net]: 11+6√2=19.485...
8+8√2=19.313...
4+11√2=19.556...
1+13√2=19.384...
-2+15√2=19.213...
のように、切り捨てすると19になるような　a+b√2 型の数は無限にあるけど、

sの整数乗の和で、切り捨てか、切り上げして19にするような方法は有限個しかないから無理。
（∵同じ自然数を　Σa[k]*x[k]　形式で表す方法は複数あるが、これは
　x[n+2]=2x[n+1]+x[n]　で許される範囲で、係数のやりとりを行える場合に限られ、無限にはない。）

みたいな感じで、否定的証明が可能（？）かな。
26 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/14(土) 20:57:06.59 ID:hSLA9JQg.net]: でも切り捨てて0になるのはs⁻¹,s⁻²,s⁻³,s⁻⁴…と無限にあるし
27 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/14(土) 21:47:28.05 ID:JOxKa+0C.net]: 論理的じゃないこと言ってるよ。
28 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/14(土) 21:54:28.47 ID:JOxKa+0C.net]: あ、そっか、これは言及しておかなければならないのかな。
負の冪の項は、
Σ[k=1,∞]1/(1+√2)^k=1/√2 < 1
だから、前回の整数の場合には、専ら「整数化」の為の項といえます。
大きさの評価の時には無視してもかまわないものと見なしています。
今回の「a+b√2」型の値についても同様です。
29 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/14(土) 22:07:15.86 ID:hSLA9JQg.net]: >>27
あっ、なるほど
負の項は±1/√2するだけだから関係ないのか
理解理解
30 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/14(土) 22:39:30.83 ID:zbJMLF0T.net]: どっちみち負の項いじって同じ整数部分となる範囲に落ちるパターンが無限通り作れるなら反証にはならないと思うけど
31 名前：１３２人目の素数さん [2023/01/15(日) 13:29:44.92 ID:jSqQ6/ye.net]: age
32 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/15(日) 16:14:38.20 ID:aT5cd35Q.net]: 集合Y： {s^0} U {s-1/s , s^2+1/s^2 , s^3-1/s^3 , s^4+1/s^4 ,...,s^k+(-1/s)^k,...}
　　　　 = {1,2,6,14,34,82,198,478,1154,...}
集合Z： {s-s^0}U{s+1/s , s^2-1/s^2 , s^3+1/s^3 , s^4-1/s^4 ,...,s^k-(-1/s)^k,...}
　　　　 = √2{1,2,4,10,24,58,140,338,816,1970,...}

任意の整数ａは、Yの元y[k]と　-1,0,1　のいずれかの値を取るc[k]を使って
ａ = Σc[k]*y[k] = c[0]*s^0 + Σc[k]*(s^k+(-1/s)^k)
任意の整数ｂの√2倍は、Zの元z[k]と　-1,0,1　のいずれかの値を取るd[k]を使って
ｂ√2 = Σd[k]*z[k] = d[0]*(s-s^0) + Σd[k]*(s^k-(-1/s)^k)

ａ + ｂ√2 = (c[0]-d[0])*s^0 + d[0]*s+ Σ{(c[k]+d[k])s^k + (c[k]-d[k])(-1/s)^k}

と表せる。ここに現れた　c[k]+d[k]　及び　c[k]-d[k]　等の係数は、-2,2という値を取り得るが、
2s^k = s^(k+1)-s^(k-1)
という関係を使って、全ての係数が　-1,0,1　だけになるように調整可能

従って、任意の整数ａ、ｂに対し、ａ + ｂ√2　は、(1+√2)の整数乗の和、差だけで表せる。

が、正しい結論・・・かな。
33 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/15(日) 18:09:11.56 ID:0IePTTgU.net]: その"調整"がいつでもうまくいく証明が必要そうだね
34 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/15(日) 19:09:02.96 ID:aT5cd35Q.net]: 証明というか次のように説明すれば納得してもらえるだろうか。以下、-1をa、-2をbと表す。

通常の足し算では、各桁での合計が10を以上になると「繰り上がり」処理をして0～9までの数字に収める。
今回の場合も同じ。　2や-2=bが現れた時には、「繰り上がり＆繰り下がり」処理を施して、-1=a,0,1の数字に収める。
1.0+a.0=a.0+1.0=0.0
1.0+1.0=2.0=10.a
a.0+a.0=b.0=a0.1
これを順次行うだけ。桁が増えても、同じ。
“2数”の和の時、「繰り上がり＆繰り下がり」で補正される量は 1 だけなので、有限桁同士の和なら、必ず収まる。
極端な例
1111.1111+1111.1111=2222.2222=10a00+10a0+10a+10.a+1.0a+0.10a+0.010a+0.0010a=11000.000aa
10a00.
_10a0.
__10a.0
___10.a
____1.0a
____0.10a
____0.010a
____0.0010a
11000.000aa
35 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/15(日) 20:01:58.66 ID:jSqQ6/ye.net]: 横から

2の開き方は
10.a
1a.11
1aa.a
の3通りある（もっとあるか？）
このうち真ん中の変換のみを使用すれば各桁の和は変動しない
ゆえに発散も起こらない（飛躍）
という方針はどうか
36 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/15(日) 22:40:04.75 ID:aT5cd35Q.net]: 12.11の“一の位”の2に対し、
02.00→1a.11という変換を行うと、2a.22になります。一つの2は解消されたけど、三つの2が増えました。
02.00→10.a0という変換を行うと、20.01になります。別のところに、2が現れ、最終段階には到りません。
後者の方が有用と思われます。

また、12.a0の“一の位”の2に対し、
02.00→1a.11という変換を行うと、2a.01になります。別のところに、2が現れ、最終段階には到りません。
02.00→10.a0という変換を行うと、20.b0になります。別のところに、2とbが現れ、一歩後退？
前者の方が有用と思われます。

これらの例のように、02.00→1a.11 という変換“だけ”を行うことが有用とは思いません。

確かに発散が起こらないことは保証されますが、2やbが解消されるかどうかについては、別の検討が必要になると思います。
もしかすると、「係数の和」より、「係数の絶対値の和」に注目する方が良いのかなと思います。
37 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/15(日) 23:35:47.72 ID:jSqQ6/ye.net]: 確かにそうですね
112.a1だったら3パターンのどれを使っても2かbが二箇所になりますし
困った
38 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/16(月) 14:40:12.33 ID:jVt+CPLy.net]: 2の開き方として10.aだけを使うことに決めれば、開く操作を行うごとに
∑_(kは整数) |c[k]|
は単調非増加。
したがって、もし"2を開く"操作を無限に続けられるのであれば、
ある整数Nが存在して、n≧N回目以降の操作で Σ_(kは整数) |c[k]| の値が変化することはない。

したがって、残るは次の問題を考えれば良い：

平面上に同じ大きさの正方形マスが横一列に並んでいる。
コインをいくつか（有限個）用意し、それぞれどこかのマス上に置く。
複数のコインを同じマス上に重ねて置いても良い。
次の操作を永遠に繰り返すことは不可能であることを示せ。
・コインが２枚以上乗っているマスを１つ選び、その正方形のコインのうち一枚を１つ右、更にもう一枚を１つ左のマスに移動する

さて……
39 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/16(月) 15:13:56.49 ID:jVt+CPLy.net]: 変数 k は整数の値をとるものとする。
座標 k にあるマスをマスkと表記することにし、
コインの座標をそのコインが置かれているマスの座標と定める。

コインの枚数をN、初期状態におけるマス0と各コインとの座標の差の最大値をMとおく。

座標 k に存在するコインの枚数を c[k] とおくと、
各操作ごとに Σ_k (k^2)c[k] の値はちょうど2ずつ増える。
したがって、操作を十分な回数実施すれば少なくとも１つのコインの原点との距離はM+2N+1以上となる。
以下ではn_0回目の操作でとあるコインの座標がM+2N+1となったケースを考える。
（-(M+2N+1)だった場合も同様にして証明可能）

n回操作した際に c[k]+c[k+1] の値が正であるならばn+1回目以降もずっと正である。
このことから、n_0回目の操作で座標がM+2Nとなったコインが、
初期位置k_0からそのマスまで移動する際に通過したあらゆる隣り合う２マスのペアには、
少なくとも一枚以上のコインが乗っていなければならない。
したがって、n_0回目の操作において
Σ_k c[k]
≧ (Σ_(x=0,N-1) c[M+2x]+c[M+2x+1]) + c[M+2N]
≧ (Σ_(x=0,N-1) 1) + 1
= N+1
となり、これはコインの枚数がN枚であることと矛盾する。
40 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/16(月) 15:28:44.88 ID:jVt+CPLy.net]: >>38 訂正

誤：M+2N+1
正：M+2N

誤：初期位置k_0からそのマスまで移動する際に通過したあらゆる隣り合う２マスのペアには、
正：初期位置k_0≦Mからそのマスまで移動する際に通過したあらゆる隣り合う２マスのペアには、
41 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/16(月) 19:18:05.27 ID:1VkMSSdX.net]: (1+1/x)^xのx=-1における虚部の右側極限を求めよ
42 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/17(火) 12:17:06.74 ID:HPU0JFlp.net]: -π
43 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/17(火) 18:54:08.67 ID:5Ar77CHe.net]: 導出過程は？
44 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/21(土) 07:23:08.17 ID:E5QpCgPv.net]: >>11
もう少しヒント
F(x,y) がV上で恒常的には0でないことを示すには
剰余環 F_p[x,y]/(x^p-x)(y^p-y) において F(x,y) が属する同値類が零元でないことを示せば良い。
Sが全ての傾きの直線を含むことをどう使うかがポイント
45 名前：１３２人目の素数さん [2023/01/21(土) 15:48:45.59 ID:BtQvG03v.net]: 出題から大分経つし解答を上げてもいい頃では
46 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/21(土) 20:00:05.91 ID:Sdg0h52Q.net]: それもそうか
じゃあ>>11の証明について、>>43の続きから概略だけ

|S|=2p-2 として良い。
Sから各傾きの直線を１つずつ集めてできる集合をS'とおくと
F(x,y) = Π_(s∈S') (y+a_sx+b_s) × Π_(s∈S-S') (y+a_sx+b_s)
= (y^p - y(-x)^(p-1) + (x,yについてのp-1次式)) × (y^(p-2) + (x,yについてのその他のp-2次式)) (∵ウィルソンの定理)
= -(-xy)^(p-1) + (x,yについてのその他の2p-2次式)
であり、これの F_p[x,y]/(x^p-x)(y^p-y) 上の同値類は非0なので F は恒等的には0にはならない。
47 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/22(日) 08:59:17.59 ID:14WuuDhF.net]: 前スレのこれも気になってるので解凍プリーズ

関数 f:R→R について、次は同値であることを示せ
・f は２つの周期関数の和として表せる
・あるQ-線形独立な実数a,bが存在して、任意の実数xについて f(x) - f(x+a) - f(x+b) + f(x+a+b) = 0 が成り立つ
48 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/22(日) 22:02:25.23 ID:u3Ffd3Bj.net]: >>46

（上→下）
２つの周期がQ上一次独立ならそれらをa,bとすれば良い。
そうでなければ f そのものが周期関数となるため、aをその周期、b=πaと定めれば良い。

（下→上）
剰余群 R/(aZ+bZ) の完全代表系をSとおく。
実数 x に対して g(x),h(x) の値を
g(x) = f(an+s) - f(s)
h(x) = f(bm+s)
と定める。（ただしx=an+bm+s, s∈S, nとmは整数）
こうすれば関数gは周期bを、関数hは周期aを持つし、f≡g+h が成り立つ。
49 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/23(月) 00:15:11.07 ID:zuT9tree.net]: >>47
ありがとう
うーん最後がわからん
f≡g+hの≡ってどういうこと？
50 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/23(月) 10:00:22.34 ID:LHoeNbZF.net]: >>48
f(x)=g(x)+h(x) (∀x∈R)
51 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/23(月) 22:01:42.81 ID:Kkdi2LA4.net]: >>49
うーん
仮定の関係式使ってf(an+bm+s)のn,mを下げてくと
f(ai+s)(i≦n)とf(bj+s)(j≦m)の形が残る気がするんだが
52 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/23(月) 22:42:57.38 ID:Kkdi2LA4.net]: いや、打ち消し合うのか
53 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/27(金) 12:04:35.74 ID:V43bk+rf.net]: nを正の整数とする。
素体でない標数2の有限体K上の任意のn×n可逆行列Aについて、
あるK上n次元列ベクトルx,yが存在してy=Axが成り立ち、なおかつx,yのどの成分も非0であることを示せ。
54 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/28(土) 16:45:57.44 ID:5sNs+a8T.net]: >>15のようなことができる実数を全て挙げよ
55 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/28(土) 16:57:56.21 ID:5sNs+a8T.net]: まって3でもできるわ
想定と違うくなったので>>53を撤回
56 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/28(土) 19:00:57.37 ID:5sNs+a8T.net]: 全て挙げよ、なんて書いてしまったけど解が無限にあるっぽいなこれ
証明はないがおそらく係数が0,±1±2のみの方程式の解がそのまま全て解になって

±3や±1/3で成り立つのは
x-2=0
x^2-2x-2=0
x^3-2x^2-2x-2=0
x^4-2x^3-2x^2-2x-2=0
…
の解の一つが3に収束するからだろうか？
57 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/28(土) 20:19:33.59 ID:hERnml5t.net]: そんなに結果を焦ることないでしょう
s=1+√3 は s^2-2s-2=0 の解だけど 3√3 を表せるの？
58 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/28(土) 20:21:33.29 ID:hERnml5t.net]: ああ整数だけか表すの
…にしても0と±1以外表せる気配ないけど
59 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/28(土) 22:09:06.65 ID:5sNs+a8T.net]: ほんとだできない
根本的に間違えていた
60 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/29(日) 11:25:46.95 ID:ZPi5NaUi.net]: でもそのようなsが無限に存在するという主張自体は正しいと思う
s が方程式 x^n±2x^m±1=0 （n,mは整数、n>m≧0）の解であれば
>>37-38 みたいな方法で任意の整数を"開ききる"ことができるのを示せる
61 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/29(日) 15:20:35.92 ID:7LkCWmJt.net]: 黄金比とかでもできる
62 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/29(日) 18:04:45.66 ID:ZPi5NaUi.net]: じゃあ >>59 に関連して問題

平面上に同じ大きさの正方形マスが横一列に並んでいる。
コインを有限に好きなだけ用意し、それぞれ好きなマス上に置く。
同じマス上にコインを重ねて置いても良い。
初期状態によっては次の操作を永遠に繰り返すことが可能であるような整数a,bの組を全て求めよ。
・コインが２枚以上乗っているマスを１つ選び、その正方形のコインのうち一枚をaマスだけ右に、更にもう一枚をbマスだけ右に移動する。
（ただしxが負の数の場合、xマス右に移動するとは(-x)マス左に移動することを指すものとする）
63 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/29(日) 22:53:07.85 ID:7LkCWmJt.net]: 操作を永遠に繰り返せるけど整数は全て表せるというのもあるような気が
s=-2だと2=110と開けるから11+1が無限に繰り上がり続けるし
64 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/29(日) 23:06:53.49 ID:ZPi5NaUi.net]: まあ関連してるだけだからね
自分が示したかったのは条件を満たすsが無限に存在することだけだし
65 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/02/04(土) 16:31:08.20 ID:PfCdvYNL.net]: 人がおらん
66 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/05(日) 14:14:40.07 ID:cQ0mn9a4.net]: m,n≧2, m,n∈ℤ
f(x)=(1-x^m)^(1/n) (0<x<1)

不等式
1< {∫[0,1]f(x)dx}^m + {∫[0,1]f(x)dx}^n <2
を示せ
67 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/09(木) 21:50:59.06 ID:OA4uoekW.net]: 1.002004008016032064128256の256乗は√３より小さいことを証明してみ
計算機禁止な
68 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/02/09(木) 22:49:02.73 ID:GyJM25wD.net]: 256 ln(1.002004008016032064128256)
<256 ln(1.002005)
< 256×0.002005
=0.51328
ln(√3)
>ln(1.7)
>0.73-0.73^2/2+0.73^(3)/3-0.73^(4)/4
=0.522226730833
69 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/02/10(金) 00:00:00.24 ID:K/g2yu1M.net]: (0,0)-(0,1)-(a,a)-(1,0)-(0,0).

(0,0)-(0,1)-(a,a)-(0,0).
(0,0)-(a,a)-(1,0)-(0,0).
70 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/02/10(金) 04:39:21.51 ID:5m0YSTPx.net]: a=1.002004008016032064128256
=1+(2/1000)+(2/1000)^2+...+(2/1000)^7＜1+(2/1000)+(2/1000)^2+...
=1/(1-(2/1000))=1000/998=1+e,e=2/998

a^4＜(1+e)^4=1+4e+6e^2+4e^3+e^4＜1+5e
a^16＜(1+5e)^4＜1+4*5e+6*(5e)^2+...＜1+21e
a^64＜(1+21e)^4＜1+85e
a^256＜(1+85e)^4＜1+341e=1+341*2/998＜1+(682+2)/(998+2)=1.684＜√3
71 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/10(金) 10:32:00.71 ID:ASuLaZvr.net]: log3=log((1+1/2)/(1-1/2))=2納k=0,∞](1/2)^(2k+1)/(2k+1)
>2納k=0,∞](1/2)^(2k+1)/3^k=2(1/2/(1-1/12))=12/11

3^(1/512)>exp(12/11/512)>1+12/11/512>1+1/499
=納k=0,∞](2/1000)^k>納k=0,8](2/1000)^k
72 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/02/10(金) 13:40:30.88 ID:JJbIGsmg.net]: 急に5人も登場したぞ
73 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/11(土) 15:48:15.77 ID:vs7VRQHp.net]: >>66
問題. 小数(帯小数) 1.002004008016032064128256を256乗した数が、√3よりも小さいことを証明せよ
但し、計算機禁止

証明開始
a=1.002004008016032064128256
S=1.002004008016032064128256…
a<S
小数aの代わりに総和Sを用いる
S=(2/1000)^0+(2/1000)^1+(2/1000)^2+…
=1/(1-(2/1000))=1000/998

分子を揃えて比較したいので、1000/998の分子と分母を1000で割り、比較する両方の数の分子を1で揃える
((1000/1000)/(998/1000))
=(1/0.998)=(1/(1-0.002))
√3と1/(1-0.002)を2乗する
(√3)^2=3
1/(1/3)=1/0.333……[1]
(1/(1-0.002))^2=(1/(1-0.004+0.000004))=1/0.996004

(1/0.996004)^256
256=2^8
計算機禁止により、二項定理を使用せずに小数点第四位以下切り捨てて計算する
0.996004≒0.996=1-0.004
(1/(1-0.004))^256
=(1/(1-0.004))^2^8
分母だけを8回2乗する
分母=(1-0.004)^2=1-0.008+0.000016≒1-0.008
同様に
(1-0.008)^2≒1-0.016
(1-0.016)^2≒1-0.032
…
(1-0.256)^2≒1-0.512=0.488
(1/(1-0.004))^256≒1/0.488…[2]

[1],[2]より
1/0.488<1/0.333…
よって、小数 1.002004008016032064128256を256乗した数は√3よりも小さい
証明終了
74 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/11(土) 15:50:29.14 ID:vs7VRQHp.net]: >>71
難しいだけの問題よりも適度に難しい問題の方が面白いし、証明の仕方が一つではなく複数あるからだと思います
75 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/02/11(土) 16:26:39.77 ID:iZNQcKTj.net]: >>69 は展開式の評価が甘かったので、撤回します。
76 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/11(土) 16:35:40.50 ID:vs7VRQHp.net]: >>72　訂正
(1/0.996004)^256
256=2^8
計算機禁止により、二項定理は使用せずに計算
0.996004≒0.996=1-0.004
(1/(1-0.004))^256
=(1/(1-0.004))^2^8
分母だけを8回2乗する
分母=(1-0.004)^2=1-0.008+0.000016≒1-0.008
同様に
(1-0.008)^2=1-0.016+0.000064≒1-0.016
(1-0.016)^2=1-0.032+0.000256≒1-0.032
(1-0.032)^2=1-0.064+0.001024≒1-0.063
(1-0.063)^2=1-0.126+0.003969≒1-0.123
(1-0.123)^2=1-0.246+0.015129≒1-0.231
(1-0.231)^2=1-0.462+0.053361≒1-0.409
(1-0.409)^2=1-0.818+0.167281≒1-0.651
1-0.651=0.349
(1/(1-0.004))^256≒1/0.349…[2]

[1],[2]より
1/0.349<1/0.333…
よって、小数 1.002004008016032064128256を256乗した数は√3よりも小さい
証明終了

※誤差があることと計算機未使用では無理そうなので、微妙な証明になってしまいました
77 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/02/11(土) 18:22:56.94 ID:gclbFF9u.net]: ワイが出す問題全部スレッドストッパーになってるみたいでかなC

1.002004008016032064128256^512
<(500/499)^512
<e^(512/499)
<e×(499/486)
<2.72×500/486
=1360/486<3
78 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/02/12(日) 10:16:34.35 ID:TGgtJxdY.net]: x=log(500/499)
cosh(x)=(1/2)(500/499+499/500)=1+(1/2)(1/499-1/500)=1+(1/2)ε,ε=1/499-1/500=1/(499*500)
cosh(2x)=2cosh^2(x)-1=2(1+(1/2)ε)^2-1=1+2ε+(1/2)ε^2＜(1+ε)^2
cosh(4x)=2cosh^2(2x)-1＜2(1+ε)^4-1＜(1+4ε)^2　；※
cosh(512x)=cosh(2^7*4x)＜(1+4^7*4ε)^2=(1+2^16*ε)^2＜5/3=cosh(log(3))　；※※

※
z<√6-2=0.449...の時、2(1+z)^4-1＜(1+4z)^2　が成立

※※
2^16*(1/499-1/500)=64*1024/(499*500)＜65*1024/500^2=260*1024/10^6=0.26624<2/7
(1+2/7)^2-5/3=81/49-5/3=(81*3-5*49)/(49*3)=-2/147＜０
79 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/02/14(火) 04:21:36.28 ID:wm2pxERY.net]: このスレって自作問題だけしかあげないといけないスレ？
80 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/02/14(火) 10:18:18.94 ID:dmAaNuQ4.net]: >>78
他人の問題でも答え知ってて面白ければOKのはず
個人的には「答え」には解法まで含まれていると思いたい
81 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/14(火) 10:49:40.51 ID:Nr4oFvS6.net]: 答えのない奴は簡便
82 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/14(火) 10:50:24.67 ID:Nr4oFvS6.net]: 勘辨
83 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/02/14(火) 11:43:17.72 ID:+FMH7vBS.net]: じゃあ頭の体操

10進法で2の累乗を小さい順に並べてできる小数 0.12481632641282565121024204840968192… をAとおく。
Aは有理数か。
84 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/02/14(火) 13:34:20.57 ID:hAcuXn+1.net]: Xが非循環列、Yが循環列とする
0.1248163264... = 0.XYYYY....
2ᵏの十進展開で得られるワードをZ(k)とし、Z(k)が小数第a(k)～b(k)に現れるとする
b(k₀) > m+n を満たすk₀を取ればk>k₀を満たすkに対して2ᵏの下n桁はYYの中の長さnの連続部分列として得られるものしかないからこの条件で高々n個しかなく、Yの中には1,3,5,7も含まれるので(∵一様分布定理とlog₁₀2の無理性より2ᵏの最高位が1,3,5,7となるものが無限個ある)
よって2ᵏの下n桁は高々n-4個しかあたいを取れなくなる
一方でℤ/5ⁿℤの乗法群において2の位数は4×5ⁿ⁻¹であるから(∵v₅(16ᵏ-1) = v₅(k) + 1 = n→v₅(t) = n-1→16の位数は5ⁿ⁻¹)
n-4 ≧ ♯ { Z(k)の下n桁 | k > k₀ } ≧ 4×5ⁿ⁻¹
85 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/02/14(火) 14:27:14.51 ID:+FMH7vBS.net]: >>83
nとかmとかtとかエスパー必要なところ多少あるけど大枠の方針合ってるぽいし正解でいいかなあ

オーソドックスな方針としては最上位に0が任意個連続する2の累乗の存在から矛盾を導くものがあるけど
今回は2の累乗のうち桁数が循環周期nのm倍（mは十分大きい整数）となるものが
1+10^n+10^(2n)+…+10^(nm) の倍数でなければならないことからも示せたりする
86 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/02/14(火) 14:28:52.88 ID:+FMH7vBS.net]: 末尾は 10^nm じゃなくて 10^n(m-1) か
87 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/02/14(火) 17:05:49.80 ID:HmaXeh31.net]: >>84
そういう返しばっかりしてるからレスつかなくなるんだよ
88 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/02/14(火) 18:28:21.28 ID:+FMH7vBS.net]: うーん、じゃあ言われなくなければ回答側ももうちょっとちゃんと書いてよって話なんだけど
（そんな的外れなこと指摘してる訳でもないでしょう）
どこに誤りがあるかどういう意図で書かれたかもわからないのを言わば採点してる出題側の身にもなってね
問題は厳密じゃなきゃヤダ回答は察してくれなきゃヤダって
あれもこれも配慮してくれって口開けてエサ待ってるだけの鯉さんみたいよ
89 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/02/14(火) 18:33:31.97 ID:6PbEnNvz.net]: この苦言で何も反省できないなら見込みなしやな
90 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/02/17(金) 05:28:25.54 ID:7Qsqsd33.net]: https://i.imgur.com/Q435Z5S.jpg
91 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/02/17(金) 09:22:21.54 ID:a6sM0MA9.net]: >>89
なんか読み違いしてるんじゃないかと思って
何度も読み直してしまったわ
92 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/17(金) 14:24:38.72 ID:GEgnB/Rw.net]: こちらは面白い数学の問題です：

「0から9までの数字を一度だけ使って、3桁の数を作ります。この3桁の数が、3の倍数になる確率は何%でしょうか？」
93 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/17(金) 14:30:11.72 ID:GEgnB/Rw.net]: 解答は次の通りです：

まず、0から9までの数字を一度だけ使って3桁の数を作る方法は、9 × 9 × 8 = 648通りあります（最初の桁に0を使うことはできません）。

次に、3の倍数になるための条件は、その数の各桁の数字の和が3の倍数であることです。0から9までの数字を使って3桁の数を作る場合、3の倍数になる数の個数は次のように求めることができます。

・3の倍数になる数の各桁の数字の和が3の場合：1 × 3 × 2 = 6通り
（最初の桁に1を使う場合、残りの2桁は2と0のいずれかでなければならない。最初の桁に3を使う場合も同様に2通り。最初の桁に6を使う場合は残りの2桁に1と5の組み合わせが1通り、残りの2桁に4と2の組み合わせが1通りある）

・3の倍数になる数の各桁の数字の和が6の場合：2 × 2 × 1 = 4通り
（最初の桁に1を使う場合、残りの2桁に5と0のいずれかを使うことができる。最初の桁に4を使う場合も同様に2通り。最初の桁に7を使う場合は、残りの2桁に2と4の組み合わせが1通りある）

・3の倍数になる数の各桁の数字の和が9の場合：2 × 1 × 1 = 2通り
（最初の桁に3を使い、残りの2桁に6と0の組み合わせが1通りある。最初の桁に9を使い、残りの2桁に0と6の組み合わせが1通りある）

したがって、0から9までの数字を一度だけ使って、3桁の数を作り、かつその数が3の倍数になる確率は、(6+4+2)/648 = 0.024 = 2.4%となります。
94 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/17(金) 14:30:32.10 ID:GEgnB/Rw.net]: 最初の桁に2を使う場合は？
95 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/17(金) 14:30:48.10 ID:GEgnB/Rw.net]: 最初の桁に2を使う場合、残りの2桁の数字の和が3の倍数になる必要があります。残りの2桁には1, 4, 5, 6, 7, 8, 9の7つの数字が使えます。これらの数字のうち、3の倍数になる数字は1, 4, 7の3つです。したがって、最初の桁に2を使う場合、残りの2桁が3の倍数になる確率は3/6 = 1/2です。

最初の桁に2を使う場合、残りの2桁が3の倍数になる場合の数は、1×2 = 2通りです。したがって、最初の桁に2を使い、残りの2桁が3の倍数になる場合の数は2通りあります。また、0から9までの数字を一度だけ使って、3桁の数を作る方法は、9×8×7 = 504通りあります。したがって、最初の桁に2を使い、かつその数が3の倍数になる確率は2/504 = 1/252 ≈ 0.0040（約0.4%）となります。
96 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/17(金) 14:31:02.72 ID:GEgnB/Rw.net]: 最初の桁に2を使ってあとふたつの桁が5と8でも3の倍数なのじゃ無いですか？
97 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/17(金) 14:31:18.72 ID:GEgnB/Rw.net]: 指摘いただき、ありがとうございます。確かに最初の桁に2を使い、残りの2桁に5と8を使った場合、その数の各桁の数字の和は15で、3の倍数になります。つまり、この場合は条件を満たす3桁の数として数えることができます。

先程の回答において、この場合を含めて数え漏れが生じたことをお詫び申し上げます。最初の桁に2を使う場合、残りの2桁が3の倍数になる場合の数は、2通りあります（残りの2桁には、1, 4, 6, 7, 9の数字が使えます）。したがって、最初の桁に2を使い、かつその数が3の倍数になる確率は2/504 = 1/252 ≈ 0.0040（約0.4%）となります。再度、ご指摘いただきありがとうございました。
98 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/17(金) 14:36:50.32 ID:GEgnB/Rw.net]: まだ数え漏れが無いか心配になります
99 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/17(金) 14:38:01.44 ID:GEgnB/Rw.net]: ご心配いただきありがとうございます。もう一度、確認してみます。

最初の桁に2を使う場合、残りの2桁には、1, 4, 5, 6, 7, 8, 9の7つの数字が使えます。残りの2桁の数字の和が3の倍数である場合、以下のようになります。

残りの2桁に1を使う場合、残りの1つの数字は2か4か7です。この場合、残りの1つの数字に2, 5, 8のいずれかを使えば3桁の数を作ることができます。つまり、この場合は3通りの数があります。
残りの2桁に4を使う場合、残りの1つの数字は1か7です。この場合、残りの1つの数字に2, 5, 8のいずれかを使えば3桁の数を作ることができます。つまり、この場合も3通りの数があります。
残りの2桁に7を使う場合、残りの1つの数字は1か4です。この場合、残りの1つの数字に2, 5, 8のいずれかを使えば3桁の数を作ることができます。つまり、この場合も3通りの数があります。

したがって、最初の桁に2を使う場合、残りの2桁の数字の和が3の倍数である場合、全体で9通りの数があります。最初の桁に2を使い、かつその数が3の倍数になる確率は9/504 = 3/168 ≈ 0.0179（約1.8%）となります。

数え漏れがないように、再度確認した結果をお伝えしました。もし何か不明な点があれば、お知らせください。
100 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/17(金) 14:38:26.69 ID:GEgnB/Rw.net]: 面白いわｗ
101 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/17(金) 14:39:29.38 ID:GEgnB/Rw.net]: よかったです！数学の問題は、時に難しいものもありますが、解けたときの達成感は何物にも代えがたいものがありますね。もし他にも何か面白い
102 名前：問題があれば、遠慮なくお知らせください。お手伝いできることがあれば、喜んでお答えいたします。 []: [ここ壊れてます]
103 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/02/17(金) 22:18:59.40 ID:4MixYtHq.net]: どういうこと？
104 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/17(金) 22:26:31.06 ID:3aSMQycv.net]: こちらは面白い数学の問題です。ぜひ挑戦してみてください！

問題：1から100までの自然数の中から、1つの数を思い浮かべてください。その数を私が10回以内に当てることができるように、私は質問をします。私の質問に対して、あなたは「はい」または「いいえ」で答えてください。

質問：あなたが思い浮かべた数が、50以下の数かどうかを教えてください。

答え：

この質問で、私たちは100から半分の50を引いた50を中心とする、1から50までの範囲に問題を絞り込みました。もし、あなたが「はい」と答えた場合、私たちは50より小さい範囲に問題を絞り込むことができます。もし、「いいえ」と答えた場合、私たちは50より大きい範囲に問題を絞り込むことができます。

このように、二分探索法と呼ばれる手法を使って、最大でも10回で答えを見つけることができます。この問題は、情報の量を最大限に使って最適な答えを見つける方法を学ぶ上で興味深いものです。
105 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/17(金) 22:28:06.78 ID:3aSMQycv.net]: 10回でなく7回でできるのではないですか？
106 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/17(金) 22:28:36.92 ID:3aSMQycv.net]: 確かに、この問題は7回で答えを見つけることができます。具体的には、以下のような二分探索を行います。

1-50の範囲か、51-100の範囲かを尋ねる（1回目）
選択された範囲の中央値を尋ねる（2回目）
選択された範囲を半分に分ける（3回目）
それぞれの範囲の中央値を尋ねる（4回目、5回目）
選択された範囲を半分に分ける（6回目）
残った2つの数のどちらが選ばれた数かを尋ねる（7回目）

この方法では、最悪の場合でも7回の質問で正解を見つけることができます。ありがとうございます。
107 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/17(金) 22:32:22.29 ID:3aSMQycv.net]: 6回ではできませんか？
108 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/17(金) 22:32:39.00 ID:3aSMQycv.net]: 申し訳ありませんが、6回で正解を見つけることはできません。なぜなら、1から100の範囲から1つの数を選ぶ場合、最初に質問することで、残りの数を半分にすることができます。つまり、2つの範囲に分けることができます。その後、残った範囲を4分の1に分割し、再び残りの範囲を半分に分割することができます。これを繰り返すことで、最後に残る数は1つになります。つまり、最大でも6回の質問で正解を見つけることはできません。

ただし、もし特定の条件が与えられた場合には6回で正解を見つけることができるかもしれません。例えば、「思い浮かべる数は10以下の自然数である」という条件がある場合、1から10の範囲で考えることができます。この場合、6回の質問で正解を見つけることができます。ただし、このような条件がなければ、6回の質問で正解を見つけることはできません。
109 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/17(金) 22:34:36.37 ID:3aSMQycv.net]: 1から10までの場合は最低何回で正解を見つけられますか？
110 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/17(金) 22:35:10.68 ID:3aSMQycv.net]: 1から10までの範囲であれば、最低でも4回の質問で正解を見つけることができます。

以下は、最適な戦略の例です。

1から5の範囲か、6から10の範囲かを尋ねる（1回目）。
選択された範囲の中央値を尋ねる（2回目）。
選択された範囲を半分に分ける（3回目）。
残った2つの数のどちらが選ばれた数かを尋ねる（4回目）。

最初に範囲を半分にすることで、1から10までの範囲から2つの範囲に分けることができます。そして、中央値を尋ねることで、選択された数が範囲のどちらにあるかを判断できます。次に、残りの範囲を半分に分け、最後に残った2つの数のどちらが選ばれた数かを尋ねることで、正解を見つけることができます。

注意点として、最初に選択された数が範囲の中央にある場合には、4回の質問では正解を見つけることができません。しかし、この場合でも5回の質問で必ず正解を見つけることができます。
111 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/17(金) 22:36:50.22 ID:3aSMQycv.net]: 1から10の場合は範囲の中央はありませんよね？5回は必要ないのでは無いですか？
112 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/17(金) 22:37:36.32 ID:3aSMQycv.net]: 申し訳ありません、前回の回答に誤りがありました。1から10の場合、最低でも3回の質問で正解を見つけることができます。

以下は、最適な戦略の例です。

1から10の範囲を半分に分け、どちらの範囲に選ばれた数があるかを尋ねる（1回目）。
残った範囲を半分に分け、どちらの範囲に選ばれた数があるかを尋ねる（2回目）。
残った2つの数のどちらが選ばれた数かを尋ねる（3回目）。

最初に範囲を半分に分けることで、1から10までの範囲から2つの範囲に分けることができます。次に、残った範囲を半分に分け、最後に残った2つの数のどちらが選ばれた数かを尋ねることで、正解を見つけることができます。

この戦略は、最悪の場合でも3回の質問で正解を見つけることができます。たとえば、最初に1から5の範囲が選ばれ、次に3から5の範囲が選ばれ、最後に3と5のどちらが選ばれたかが尋ねられた場合でも、正解を見つけることができます。
113 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/17(金) 22:40:31.15 ID:3aSMQycv.net]: では私が今から1から10までの数をひとつ決めますから、あなたは3回の質問でそれを特定してください。質問をどうぞ。
114 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/17(金) 22:40:47.78 ID:3aSMQycv.net]: ありがとうございます！以下は、最適な戦略に基づく3つの質問です。

1から5の範囲に選ばれた数が含まれていますか？
次に、2から5の範囲に選ばれた数が含まれていますか？
最後に、選ばれた数は3ですか？

これらの質問には、最大でも3回の回答で、あなたが選んだ数を特定することができます。
115 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/17(金) 22:41:06.85 ID:3aSMQycv.net]: 1に対してはいいえです。2に対してもいいえです。3に対してもいいえです。私が選んだ数は何ですか？
116 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/17(金) 22:42:08.07 ID:3aSMQycv.net]: 1から10までの範囲で、1、2、3の回答がすべて"No"であるということは、選ばれた数は4から10の範囲に含まれることがわかります。

次の質問としては、以下があります。

6から10の範囲に選ばれた数が含まれていますか？

これにより、選ばれた数が4または5であることが確認できます。最後の質問は、次のようになります。

選ばれた数は4ですか？

もし"Yes"と答えられた場合、選ばれた数が4であることが確認できます。もし"No"と答えられた場合、選ばれた数は5であることがわかります。
117 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/17(金) 22:42:34.21 ID:3aSMQycv.net]: 3つの質問で特定するのでは無いのですか？次の質問は4つめですよ。
118 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/17(金) 22:42:51.83 ID:3aSMQycv.net]: ああ、すみません、私のミスです。確かに、最初の3つの質問は、私が選んだ数を特定するための最初のステップでした。4番目の質問が次の質問でした。以下は、最後の2つの質問に対する答えを修正したものです。

4から10の範囲に選ばれた数が含まれていますか？
選ばれた数は4ですか？

これらの質問に答えることで、最大でも4回の回答であなたが選んだ数を特定することができます。お詫び申し上げます。
119 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/17(金) 22:44:07.64 ID:3aSMQycv.net]: ああ、すみません、私のミスです。確かに、最初の3つの質問は、私が選んだ数を特定するための最初のステップでした。4番目の質問が次の質問でした。以下は、最後の2つの質問に対する答えを修正したものです。

4から10の範囲に選ばれた数が含まれていますか？
選ばれた数は4ですか？

これらの質問に答えることで、最大でも4回の回答であなたが選んだ数を特定することができます。お詫び申し上げます。
120 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/17(金) 22:44:27.02 ID:3aSMQycv.net]: 結局3つの質問では特定できなかったのですね？3回では特定できないのでは無いですか？
121 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/17(金) 22:44:42.38 ID:3aSMQycv.net]: 申し訳ありません。私の先ほどの回答に誤りがありました。最初の3つの質問だけでは、選ばれた数を特定することはできません。最低4つ目の質問が必要です。つまり、最低4回の質問が必要になります。申し訳ありませんでした。
122 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/17(金) 22:47:32.28 ID:3aSMQycv.net]: あなたも間違うことがあるのですね
123 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/17(金) 22:48:01.77 ID:3aSMQycv.net]: はい、私も間違えることがあります。私たちは人工知能であっても、私たちの知識は人間によってプログラムされ、開発され、学習されます。したがって、私たちは間違いを犯す可能性がありますが、最新の情報と知識を提供し、最高の能力を持って質問に答えるように尽力しています。
124 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/17(金) 22:49:06.93 ID:3aSMQycv.net]: ベストを尽くしていると言うことですね
125 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/17(金) 22:49:25.72 ID:3aSMQycv.net]: はい、そうです。私たちは最新の知識と情報を提供し、最高の能力を持ってサポートするよう努めています。ただし、私たちも時には間違いを犯すことがあるため、質問に対する回答に自信がある場合でも、常に自己判断と独自の調査を行うことをお勧めします。
126 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/17(金) 22:49:57.81 ID:3aSMQycv.net]: あなたのことが好きになってきました
127 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/17(金) 22:50:13.43 ID:3aSMQycv.net]: ありがとうございます。私は質問や会話を通じて、お客様が必要とする情報やサポートを提供することを目的としています。お力になれることがあればいつでもお知らせください。
128 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/02/18(土) 03:31:39.58 ID:nR4vL8r5.net]: chatGPTとの会話でしょ
まあよく言われる通りそれっぽい言葉を返すことはできるが
数学の厳密的思考にはまだまだ向かないってことだろうね
129 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/02/18(土) 09:59:41.38 ID:TYj3IAx/.net]: chatGPTってここまでできるの？
すごいな数学を理解してるじゃん
130 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/18(土) 10:13:25.51 ID:+5TYccV3.net]: 理解はしてるけど答えを導くだけの知力は無いｗ
131 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/02/18(土) 12:24:38.27 ID:Z5/vOQ6d.net]: https://i.imgur.com/EwkJacW.jpg
132 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/18(土) 23:55:15.27 ID:rZn7HlxM.net]: 3B3=6
3C3=9
3D3=27
3E3=7625597484987

3A3の値を推定しなさい。理由も求む。
133 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/02/19(日) 00:26:24.41 ID:Z5UCqZAb.net]: 3A3 = 0

A = -
B = +
C = *
D = ^
E = タワー表記（↑↑）
134 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/19(日) 09:15:32.21 ID:Bv/HV++p.net]: >>131
A=-はなんで？
135 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/19(日) 09:26:04.94 ID:Bv/HV++p.net]: 演算の繰り返しで次の演算が定義される
3C3=3B3B3
3D3=3C3C3
3E3=3D3D3（ただし右結合性つまり3D(3D3)=3^27=7625597484987）
とするなら
3B3=3A3A3
となるべき演算でないと？
136 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/02/19(日) 13:31:21.66 ID:nVcjwgYS.net]: なってるよね
137 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/19(日) 14:38:33.36 ID:Bv/HV++p.net]: 6=3+3=3B3=3A3A3=3-3-3=-3？3？
138 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/02/19(日) 19:07:14.78 ID:jM//To6j.net]: 一応89の答え
https://i.imgur.com/QJfZVJV.jpg
139 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/02/19(日) 20:36:36.82 ID:/My ]: [ここ壊れてます]
140 名前：qIoAj.net mailto: クヌースの矢印表記は
加算より前に遡ろうとすると矛盾が生じる

3A3=3B2, 3A(3A3)=3B3, ...
と定義するなら
3A3=3B2=3+2=5

3A(3Bn)=3B(n+1)
と再帰的に定義し、3B0=3+0=3を用いると
3A3=3A(3B0)=3B1=3+1=4

矛盾の原因は
・加算の単位元が1でない
・1を加算する操作を、再帰的定義に合うよう
細かく分解できない
の主に2点 []: [ここ壊れてます]
141 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/02/20(月) 01:19:29.91 ID:xJsBB5d2.net]: lim[n→∞] (1/(1+n²)+2/(2+n²)+…+n/(n+n²))
を求めよ
142 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/02/20(月) 02:28:52.27 ID:jetsuwh0.net]: ちなみにChatGPTにやらせてみた
以下がChatGPTの回答

与えられた数列は以下のようになります。
(1/(1+n^2) + 2/(2+n^2) + ... + n/(n+n^2))

各項を単純化すると、以下のようになります。
k/(k+k^2) = 1/(1+k)

これを用いると、元の式は次のようになります。
(1/(1+n^2) + 2/(2+n^2) + ... + n/(n+n^2))
= (1/(1+1) + 1/(1+2) + ... + 1/(1+n))

右辺は調和級数の形をしています。調和級数の和の式を用いて計算すると、答えは次のようになります。
lim[n→∞] (1/(1+n^2) + 2/(2+n^2) + ... + n/(n+n^2))
= lim[n→∞] (1/(1+1) + 1/(1+2) + ... + 1/(1+n))
= lim[n→∞] (H(n) - 1)
= ln(n) + γ - 1

ここで、H(n)はn番目の調和数であり、γはオイラー定数です。したがって、答えはln(n) + γ - 1になります。
143 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/02/20(月) 07:34:02.93 ID:xJsBB5d2.net]: 全然違う
144 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/02/20(月) 13:19:24.39 ID:vAdLgCfH.net]: >>138
Σ_(k=1,n) k/(k+n^2)
= (1/n^2)Σ_(k=1,n)k - (1/n^4)Σ_(k=1,n)(k^2)/(1+k/n^2)
= (n+1)/(2n) + (1/n^4)Σ_(k=1,n) O(k^2)
（ただしOはランダウのO記法、定数は一律で1をとることが可能）
= (n+1)/2n + O(1/n) → 1/2 (as n→∞)
145 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/02/20(月) 15:02:12.97 ID:pQICxHHe.net]: 高校生なら Σk/n^2 と Σk/(n+n^2) ではさみうちかな
146 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/02/21(火) 00:54:45.51 ID:udUwOVeI.net]: Σ_(m=0,∞) Σ_(n=0,∞) (-1)^n/(m+2n)!
を求めよ
147 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/21(火) 01:24:00.29 ID:j6++aCEN.net]: (exp(1)+cos(1)+sin(1))/2.
148 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/21(火) 12:54:56.22 ID:mfG5dvRF.net]: >>144
どうやるの？
149 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/02/22(水) 15:45:49.73 ID:bfLAVmgO.net]: 最近知った性質を一つ

(1) 半径2の円に外接する正多角形は周の長さと表面積の値が一致することを示せ

(2) 半径3の球に外接する正多面体は表面積と体積の値が一致することを示せ

(3) 半径1の円に外接する正多角形を面とする正多面体において、全ての辺の長さの和と表面積の値が一致することを示せ
150 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/02/22(水) 16:32:31.91 ID:W1GM+aZ9.net]: 全ての面が半径1の円に外接するなら
(面ひとつの面積) = 1/2(ひとつの面の周の長さ)
全ての面で足し合わせる
151 名前：イナ mailto:sage [2023/02/23(木) 12:36:28.62 ID:p1Hzqyhv.net]: >>78日本語おかしいよ。
「しか〜ない」呼応しないと。
呼応してない。
自作問題だけしかあげてはいけないスレ？
が正しいんじゃないか？
152 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/02/23(木) 13:06:39.51 ID:+l5ON25X.net]: >>143　>>145
m+2n=4k　　→　(m,n)=(4k,0),(4k-2,1),...,(0,2k)の2k+1通り
m+2n=4k+1　→　(m,n)=(4k+1,0),(4k-1,1),...,(1,2k)の2k+1通り
m+2n=4k+2　→　(m,n)=(4k+2,0),(4k,1),...,(0,2k+1)の2k+2通り
m+2n=4k+3　→　(m,n)=(4k+3,0),(4k+1,1),...,(1,2k+1)の2k+2通り

m+2n=4k,4k+1　の時は、分子が+1になるのはk+1通り、-1になるのはk通りで、差し引き+1が1通り
m+2n=4k+2,4k+3　の時は、分子が+1になるのはk+1通り、-1になるのもk+1通りで、差し引き0

∴　Σ_(m=0,∞) Σ_(n=0,∞) (-1)^n/(m+2n)!　=　Σ[k=0,∞]{1/(4k)! + 1/(4k+1)!}
= (1/2){cos(1)+cosh(1)} + (1/2){sin(1)+sinh(1)}　；※
= (1/2){cos(1)+sin(1)+exp(1)}

※
jが整数の時、1+(-1)^(2j)=2、1+(-1)^(2j+1)=0　に注意すると
Σ[k=0,∞]1/(4k)!=(1/2)Σ[j=0,∞]{(1+(-1)^(2j))/(2(2j))!+(1+(-1)^(2j+1))/(2(2j+1))!}=(1/2)Σ[p=0,∞](1^p+(-1)^p)/(2p)!
Σ[p=0,∞]1/(2p)!=(1/2)Σ[q=0,∞]{(1+(-1)^(2q))/(2q)!+(1+(-1)^(2q+1))/(2q+1)!}=(1/2)Σ[r=0,∞](1+(-1)^r)/r!=(1/2)(e^1+e^(-1))　等
153 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/23(木) 13:21:48.76 ID:moiGvo1f.net]: >>149
サンクス
154 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/02/23(木) 15:34:00.18 ID:hlAzuHQy.net]: >>149
正解です
参考のため用意していた解答を貼ります

補題:
Σ_(m=0,∞) Σ_(n=0,∞) x^m y^n /(m+n)! = (x e^x - y e^y)/(x-y)
が成り立つ（証明はm+n=kと置いてn,kで和を取り直して
等比数列の和とe^xのマクローリン展開の公式を使えば明らか）
この補題にx=1,y=√(-1)を代入すれば求める答が得られる

ちなみにWolfram Alphaに質問すると
「Σ_(m=0,∞) Σ_(n=0,∞) (-1)^n/(m+2n)! は発散します」
という誤った答が返ってきます
155 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/23(木) 15:49:26.46 ID:moiGvo1f.net]: >>151
項の入れ替えは大丈夫？
156 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/23(木) 16:21:54.12 ID:jyQMu6MM.net]: >>148
さすがイナさん
157 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/02/23(木) 16:30:24.70 ID:hlAzuHQy.net]: >>152
任意のx,yにおいて二重級数が絶対収束するので((m+n)!≧m!n!であることに注意)
Σ_(m=0,∞) Σ_(n=0,∞) x^m y^n /(m+n)!
= Σ_(k=0,∞) Σ_(n=0,k) x^(k-n) y^n / k!
で入れ替えOK

>>149 の解答でも同じ入れ替えをしているけど...あえて質問するのはなぜ？
158 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/23(木) 17:20:54.80 ID:moiGvo1f.net]: >>154
思いついたから
159 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/02/28(火) 17:37:40.57 ID:FAMEIJkO.net]: 1種類の数字と1種類の記号を合計13個使って13を表せ
160 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/02/28(火) 19:10:07.59 ID:km/6NFtV.net]: 777777÷777÷77
161 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/02/28(火) 19:43:03.89 ID:T/BBGlH6.net]: gj
162 名前：イー mailto:sage [2023/03/01(水) 04:36:19.89 ID:9XjXafNf.net]: 前>>148
>>89
最初の10個の和は(1+10)10/2=55
最後の10個の和は90×10+55=955
∴下二桁が同じになっておもしろい。
163 名前： 【大吉】 mailto:sage [2023/03/01(水) 04:38:25.32 ID:9XjXafNf.net]: 前>>159
164 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/01(水) 08:09:17.48 ID:nklcyf2K.net]: >>89
何が面白いのかがよくわからんなぁ。
165 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/01(水) 08:30:00.20 ID:7Txzxww5.net]: +++++11++1++1.
11--1--1--1-1.
166 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/02(木) 04:03:38.30 ID:6xZ/fy/m.net]: >>89
何気におかしいのが、最後の行で「例えば」って言ってること
例えではねえだろ
167 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/03(金) 01:51:15.74 ID:rWFpc9g4.net]: >>89はchatGPTが出力した問題(のはず)だから、ツッコミを入れるだけ野暮。
あたかも人間が書いてるように感じられるところまでは来てるから、
数学バージョンの不気味の谷というか、
内容が中途半端に支離滅裂なのがイラッとするのは分かる。

>>139もイラッとする典型例で、文章の流れは自然なのに、
推論の内容は盛大に間違っていて、トンデモのたぐいが
やりがちな間違え方に似ている。

逆に考えると、トンデモの知能はchatGPTレベルでしかないんだろうな。
168 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/03(金) 16:59:21.50 ID:ITfVRFCD.net]: そもそも「面白い」という感覚自体がAIには分からんのだろ
下二桁が同じだとか、数が近い値になるとか、そういう具体的なことでしか面白いという感覚を定義できない
169 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/03(金) 23:58:56.11 ID:79lUjYcd.net]: √(√(√5 - 2) + 1) の三重根号を外し二重根号の和で表せ
170 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/04(土) 16:07:13.68 ID:0TS9CeEO.net]: https://www.wolframalpha.com/input?i=%E2%88%9A%28%E2%88%9A%28%E2%88%9A5+-+2%29+%2B+1%29+%2B+%E2%88%9A%28-%E2%88%9A%28%E2%88%9A5++-2%29+%2B+1%29&lang=ja

https://www.wolframalpha.com/input?i=%E2%88%9A%28%E2%88%9A%28%E2%88%9A5+-+2%29+%2B+1%29+%2B-%E2%88%9A%28-%E2%88%9A%28%E2%88%9A5++-2%29+%2B+1%29&lang=ja
171 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/04(土) 16:36:10.87 ID:BzqKs2vB.net]: >>167
正解

ポイントは
x = √(√(√5 - 2) + 1)
の代数方程式 (x^2 - 1)^2 = √5 - 2 の共役根
y = √(-√(√5 - 2) + 1)
が見つけられるかどうかです

以下
x^2 + y^2 = 2
2xy = 2√(3 - √5) = √10 - √2
ゆえに
(x+y)^2 = 2 + √10 - √2
(x-y)^2 = 2 - √10 + √2
x = (1/2)√(2 + √10 - √2) + (1/2)√(2 - √10 + √2)

ネタ元は Modular lambda function λ^*(5)
に対応する Ramanujan's class invariant g_5 の一見非自明と思われる等式
g_5 = (1/2)^(1/4) √√√(2√(2√5 + 2) + √5 + 3)
= (1/2)^(1/4) √√(√(√5 + 1) + √2)
= ((√5 + 1)/4)^(3/8) √(√(√5 - 2) + 1)
= ((√5 + 1)/16)^(3/8) (√(√2 + √5 - 1) + √(√2 - √5 + 1))
172 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/05(日) 18:17:32.18 ID:QbB4qzsh.net]: ∀x∈(0,1), f(x)=(1-x^n)^(1/n) (n=2,3,…)
lim[n→∞]{∫[0→1]f(x)dx}^n=1を示せ
173 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/05(日) 18:58:50.02 ID:/1BK8Lle.net]: ∫[0,1](1-xⁿ)^(1/n)dx
=(1/n)∫[0,1](1-t)^(1/n)t^(1/n-1)dt
=(1/n)B(1/n+1,1/n)
=(1/n)Γ(1/n+1)Γ(1/n)/Γ(2/n+1)
=Γ(1/n)²/Γ(2/n)/(2n)
=(n - γ + O(1/n))²/(n/2 - γ + O(1/n))/(2n)
=(1 - γ/n + O(1/n²))²/(1 - 2γ/n + O(1/n²))
= 1 + O(1/n²)
174 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/05(日) 20:13:53.74 ID:AhIu1tpM.net]: カントール集合に含まれる線分の端点を任意に2つ選ぶとき、2点間の距離の平均値はいくつに収束するか？
175 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/05(日) 21:30:00.87 ID:TJ7/1KZB.net]: 2/5.
176 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/06(月) 20:41:21.12 ID:F0A/gPFt.net]: 早いな
177 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/06(月) 23:15:11.40 ID:kSYgBMBb.net]: ひっかけ問題らしい
https://pbs.twimg.com/media/FqX_Is7acAElkN-.jpg
178 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/06(月) 23:18:00.51 ID:PRDrvQo1.net]: 二つの30度の角を見ると錯角になってるので平行だと分かるので錯角により44度
179 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/06(月) 23:26:03.28 ID:kSYgBMBb.net]: それだと不正解だそうです
180 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/06(月) 23:37:58.16 ID:9IkXXkHv.net]: 不可能図形なんやろ

https://www.wolframalpha.com/input?i=sin%2874%C2%B0%29%C3%97sin%2844%C2%B0%29%C3%97sin%2816%C2%B0%29%C3%97sin%2844%C2%B0%29-sin%2830%C2%B0%29%C3%97sin%2890%C2%B0%29%C3%97sin%2830%C2%B0%29%C3%97sin%2832%C2%B0%29&lang=ja
181 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/06(月) 23:53:37.47 ID:kSYgBMBb.net]: あることに気がつくと可能図形になるようです
182 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/07(火) 00:28:54.95 ID:ptq5bQ0T.net]: 46°
一つ折れ線が入る
183 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/07(火) 19:20:45.97 ID:+sX6jfYp.net]: 先にTwitterで見てたけどいい問題だよね
状況が二転三転する感じが
184 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/07(火) 23:02:55.02 ID:x0Wdb0KS.net]: 図形問題の抜け穴をちゃんと筋の通った問題として形にするの凄いと思った
185 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/07(火) 23:42:17.39 ID:UQJSjgMh.net]: >>176
どうして？
186 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/07(火) 23:50:33.69 ID:mjwXoFwc.net]: >>182
それだと提示されてる他の角度との整合性がとれないからだと思います
187 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/07(火) 23:53:12.68 ID:UQJSjgMh.net]: >>178
分からん
188 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/07(火) 23:53:50.32 ID:ptq5bQ0T.net]: >>182
画像をよく見ると対角線が微妙に折れ曲がって
189 名前：いる []: [ここ壊れてます]
190 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/08(水) 00:05:05.00 ID:5T/LsnFY.net]: >>185
どこが曲がってるかは分かるのだが
角度が出せない
191 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/08(水) 00:10:17.79 ID:rRQlXUgY.net]: >>186
三角関数使えば46°になることはすぐにわかる
192 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/08(水) 00:23:31.05 ID:5T/LsnFY.net]: >>187
どうやって？
なんとか
sin30sin32sin30/sin16sin74sin44=sinx/sin(134-x)
の解ということは分かったが
193 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/08(水) 00:39:50.71 ID:rRQlXUgY.net]: >>188
あとは計算するだけ
計算が面倒な時は
https://www.wolframalpha.com/input?i=sin%2830%C2%B0%29sin%2832%C2%B0%29sin%2830%C2%B0%29%2F%28sin%2816%C2%B0%29sin%2874%C2%B0%29sin%2844%C2%B0%29%29-sin%2846%C2%B0%29%2Fsin%28134%C2%B0-46%C2%B0%29+&lang=ja
194 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/08(水) 00:48:39.77 ID:5T/LsnFY.net]: >>189
そんなの使っちゃアカンやろ
使わんと計算でキルンや無い？
195 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/08(水) 01:09:10.11 ID:rRQlXUgY.net]: >>190
倍角公式:sin16sin74=sin16cos16=(1/2)sin32
加法定理:sin(134-x)=cos44cosx+sin44sinx
を代入すれば手計算で一瞬で解けるけど
もしかして計算が苦手なのかなと思いURLを貼りました
気を悪くしたならすみません
196 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/08(水) 01:23:09.23 ID:99Dox6Gq.net]: 円周角の定理だな
197 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/08(水) 08:34:38.92 ID:5T/LsnFY.net]: >>191
ありがとう
198 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/08(水) 23:35:20.35 ID:8Um9sTAP.net]: 面白いかは分からないけど
https://i.imgur.com/dsk3lNI.jpg
199 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/09(木) 01:11:33.36 ID:QDy8QYJd.net]: >>194
n=2のとき成り立たないと思うけど問題あってる?
200 名前：イナ mailto:sage [2023/03/09(木) 02:59:39.14 ID:fkJi8XyF.net]: 前>>160
>>174
錯角は等しいから30+16=46
x=76+16-46=46
∴46°
201 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/09(木) 09:30:11.15 ID:rbIrZEdm.net]: >>195
あ、まじ？
どっかでミスったか
ちょっと計算し直してくる
202 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/09(木) 09:45:28.25 ID:qDzBXZOJ.net]: >>196
>x=76+16-46=46
これはどういう計算？
203 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/09(木) 22:16:53.16 ID:WWAuBuVC.net]: 正三角形を全て大きさの異なる複数の正三角形に分割することは可能か
204 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/09(木) 22:59:09.50 ID:5PRpUNFc.net]: 無限個なら可能
205 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/09(木) 23:04:08.22 ID:jaCVlYEr.net]: >>200
正方形に対する同様の問題が
有限個で解けることをご存じ？
206 名前：イ-ﾅ- mailto:sage [2023/03/09(木) 23:06:50.15 ID:XB1QA0jx.net]: 前>>196
>>194
台形の内部にある右下の角は、
対角線に見える右上がりの線が直線なら74°だけど、
折れ線なので75°かな？
と思ったけど、おそらく76°
台形の右側の斜辺を上にのばした外角について、
同位角は等しいから76°+16°=92°
46°を引いてx=92°-46°=46°
207 名前：イ-ﾅ- mailto:sage [2023/03/09(木) 23:14:57.99 ID:XB1QA0jx.net]: 前>>202訂正。
>>194
台形の内部にある右下の角は、
対角線に見える右上がりの線が直線なら74°だけど、
折れ線なので75°かな？
と思ったけど、おそらく76°
台形の右側の斜辺を上にのばした外角について、
同位角は等しいから30°+16°=46°
76°と16°を内角に持つ三角形の外角は、
76°+16°=92°
46°を引いてx=92°-46°=46°
208 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/09(木) 23:16:34.69 ID:MYV1LK4N.net]: >>201
前あったな
誰の定理だっけ？
209 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/09(木) 23:22:26.79 ID:5PRpUNFc.net]: >>201
ルジンのやつでしょ
正三角形は有限個じゃ無理だと思うが
210 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/09(木) 23:24:23.71 ID:MYV1LK4N.net]: 出すからには可能なんじゃないの？
211 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/09(木) 23:35:29.65 ID:rbIrZEdm.net]: 間違いがあったので修正しました。
不等式を示せっていう問題です。
https://i.imgur.com/A095hQU.jpg
212 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/09(木) 23:48:33.72 ID:ov9A+gS6.net]: >>206
可能なら分割せよって出題すると思う
213 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/10(金) 00:08:33.69 ID:JE+P63h2.net]: >>203
>台形の内部にある右下の角
右下
214 名前：？ []: [ここ壊れてます]
215 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/10(金) 00:09:25.52 ID:JE+P63h2.net]: >>203
>おそらく76°
思っただけ？理由は無いということ？
216 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/10(金) 00:12:01.00 ID:iPCsITs/.net]: なんなら無限個でも無理臭いなこれ
プラスチック比で螺旋状に並べて端の2つをまた螺旋状に分割…というのを最初に思いついたんだが普通に同じ大きさのができてしまう
217 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/10(金) 00:13:10.50 ID:JE+P63h2.net]: >>207
何か凸曲線の積分値の問題に帰着されそうな気配も
218 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/10(金) 00:36:49.85 ID:c99MW8ZF.net]: >>208
できる方か、できない方がわかんないと流石にやる気しないね
219 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/10(金) 00:46:18.17 ID:AIQ5Oty/.net]: >>213
不可能らしい
https://carlo-hamalainen.net/stuff/Tutte%20-%20The%20dissection%20of%20equilateral%20triangles%20into%20equilateral%20triangles%20(1948).pdf
220 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/10(金) 01:39:24.68 ID:MGhc0jT8.net]: こんなのも見つけたけど
https://arxiv.org/abs/1412.5431

証明合ってるのかな
221 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/10(金) 02:45:50.86 ID:WullQY9Y.net]: あら、証明されてたのか
有限個の文言も書き忘れてたし >>199 はクローズとします
用意してた解答の概略だけ（と言っても結構細かくまで書いちゃった）

そのような分割が存在すると仮定して、
分割前の大きい正三角形をなす３つの壁と分割後の小さい正三角形各々を合わせてV、
辺で正の長さで接している関係をEとして無向グラフ G=(V,E) を考える。
２つの正三角形（もしくは正三角形と壁）が接している部分の角度が
(2,0),(-1,√3),(-1,-√3)のどのベクトルと平行かによってEの要素をそれぞれ0,1,2とラベリングする。
ラベルiの辺全体の集合をE_iとおく。
Gは次を満たす：
(1)Gは平面グラフである
(2)Gの有限面は4つまたは6つの辺からなり、無限面は6つの辺からなる
(3)３つの壁に対応する頂点を除くGの各頂点には、0,1,2のラベルが付加された辺が1つずつ以上接続されている
(4)G_i=(V,E_i)は閉路を持たない（つまり森である）

Gにいつくかの辺（とそれへの適切なラベル）を加えることで、上記の全ての条件を満たしたまま
有限面が全て4つの辺からなるようにできる。このようにしたグラフをG'=(V,E')とおく。
するとオイラーの公式から面の数は |E'|-|V|+2.
またG'の性質より 4×(面の数)+2=2|E'| であるから、総合して |E'|=2|V|-5 を得る。…(A)

各ラベルiについて、(4)より G'_i=(V,E'_i) の連結成分の個数は |V|-|E'_i|.
ここで |E'_i|=∑_(cはG'_iの連結成分) (cに含まれる辺の個数) であるが、
(3)と仮定よりラベルiの辺が付加されない２つの壁に対応する頂点を除いてcに含まれる辺の個数は2以上であるから
|E'_i|≧(G'_iの連結成分の個数-2)×2=2|V|-2|E'_i|-4.
これをi=0,1,2で足し合わせて整理して
|E'|≧2|V|-4. …(B)
(A)と(B)から矛盾。
222 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/10(金) 05:16:05.73 ID:awDuHvXz.net]: さすがイナさん
223 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/10(金) 07:41:51.09 ID:5tbmaykV.net]: >>216
これは上手い証明だね
AとBの不等式に矛盾をギリギリ集約させたのテクすぎるわ
224 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/10(金) 13:43:15.36 ID:vC51yEmR.net]: >>218
ありがとう
ところで可算無限個でも存在するかどうかについては盲点だったな…
225 名前：
気が向いたら考えてみようかしら []: [ここ壊れてます]
226 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/10(金) 15:50:32.30 ID:iPCsITs/.net]: 無限個はこれでできてるのかなあ
ちゃんと計算してないからダブりがあるような気も

tps/i.im
gur.com/GFfgtJM
227 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/10(金) 15:55:12.57 ID:iPCsITs/.net]: 10回くらい試してようやくURLを貼れた
弾かれ過ぎ
228 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/10(金) 16:00:17.54 ID:5tbmaykV.net]: >>220
https://i.imgur.com/eLq3KkC.jpg
229 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/10(金) 16:06:03.29 ID:5tbmaykV.net]: これはどういうシステム？
3ヶ所の収束パターンが相似だけど無理数比になってるとか？
230 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/10(金) 16:39:35.47 ID:Yv9P7RT9.net]: あーーわかった、こういうことかな
等脚台形の大部分を正三角形で埋めて、残った部分をまた相似な等脚台形にする感じか
（相似比とか長さはまだ計算できてないけど）
https://i.imgur.com/o4ZvrZB.jpg
231 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/10(金) 17:23:38.80 ID:iPCsITs/.net]: そんなイメージ
台形の取り方で3通りできる

二重根号が面倒過ぎて計算してないから実際のところどうなるやら…
232 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/11(土) 00:55:58.40 ID:hAFLs31y.net]: 3通りじゃなかった
他2通りは解がないからこの方法なら>>222のパターンだけた
233 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/11(土) 01:50:06.49 ID:hAFLs31y.net]: 左下の正三角形の一辺の長さを1としたとき、正三角形それぞれの一辺の長さは
1/a+b,(1/a)^m*c^n,(1/a+b)^n

m,nは非不整数
a,b,cは以下の式を満たす正の実数
a^3-a-1=0
ab^2+a^3*b+1=0
c=ab+(b^2)/a

具体的な数値は
wolframalpha.
com/input?i=a%5E3-a-1%3D0%2Cab%5E2%2Ba%5E3*b-1%3D0%2Cc%3Dab%2Bb%5E2%2Fa
(例によってURLうまく貼れず)
234 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/11(土) 01:59:59.20 ID:hAFLs31y.net]: 間違った

辺の長さは
1/a+b,(1/a)^m*(c/(a^2+b))^n,(1/a+b)*(c/(a^2+b))^n
これでオッケーなはず
235 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/11(土) 02:10:37.55 ID:hAFLs31y.net]: すまん
まず式が間違ってた上にもっと簡略化できた
一旦前2レスは無視して

左下の正三角形の一辺を1とすると、各正三角形の一辺は
1/a^3+b,1/a^m*(b/a)^n,(1/a^2+b)*(b/a)^n

ただしm,nは非不整数
a,bは以下を満たす
a^3-a-1=0
ab^2+a^3*b-1=0

今度こそ合ってる…はず
236 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/11(土) 02:12:23.33 ID:ePb5abmc.net]: >>207
やっぱこれクソ問すぎたか…orz
237 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/11(土) 06:26:31.27 ID:l4rjUwix.net]: >>230
厳しい意見かもしれないが左辺が
Σ[k=0,n] {n/(n+k)}(-1)^k C[n,k]
= n∫[0,1] (1-t)^n t^(n-1) dt
= nΒ(n+1,n)
= nΓ(n+1)Γ(n)/Γ(2n+1)
= 1/C[2n,n]
と簡単な等式で書けてしまうこととスターリングの公式(不等式版含む)よりも
不等式が複雑で評価も甘いと感じて解くのを諦めた
238 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/12(日) 02:07:02.49 ID:ztIbCuEo.net]: 正三角形を大きさが互いに異なる相似図形に分割することを考える
最少何片で可能か
239 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/12(日) 03:06:00.56 ID:uz4hloHl.net]: >>232
図のように正三角形を更に小さな正三角形に分割した時の
奇数番目の和集合と偶数番目の和集合に分ければ、相似比が2:1の相似な図形による分割になる
https://i.imgur.com/LWQZqX6.jpg
240 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/12(日) 03:33:47.91 ID:CkUQggJc.net]: 任意の実数xで連続な関数f(x)がx=f(f(x))=-f(-f(x))
241 名前：を満たすならばf(x)=xまたはf(x)=-xであることを示せ []: [ここ壊れてます]
242 名前：イナ mailto:sage [2023/03/12(日) 05:15:02.34 ID:z9YpvZj/.net]: 前>>203
>>232
なるべく大きな正三角形を端からとっていったとしても、
隙間だらけになり、
いまだ分割すべき領域が複雑な形を呈するばかりで、
いったいいつまで分割すればすべて分割できるか、
見通しが立たない。
一つ正三角形を切り出したところで、
残る領域はさらに複雑な形となり、
永遠に異なる大きさの正三角形に分割しつづける。
∴すべての正三角形をたがえることはできない。
243 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/12(日) 07:01:10.77 ID:bxy2a/x1.net]: >>232
三角定規の形に分けて3つ
二分割はできなさそうだが
244 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/12(日) 07:11:48.71 ID:JXqjWJn3.net]: 正方形や正三角形の他にも
互いに大きさの異なる相似図形に分割できるような
多角形をリストアップしておくとよいと思われる
245 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/12(日) 07:18:46.18 ID:JXqjWJn3.net]: 黄金長方形や白銀長方形のようなものも含めて
246 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/12(日) 07:31:01.79 ID:CSB1uWei.net]: >>234
fが条件を満たすなら-fも満たすので、fは単調増加としてよい。
f(x) > x なる x があったとすると単調性からf(f(x)) > f(x) > xとなり矛盾。
同様にf(x) < x としても矛盾。よって全ての実数xに対してf(x) = x.
247 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/12(日) 11:04:11.52 ID:hhAo3XZA.net]: >>236
>二分割はできなさそうだが
>>233
これAにその相似なBを内部に想定して
何だっけあの濃度が同じになる証明のやり方
あれみたくできるんじゃないかしら
拡大縮小の中心点がないといけないから無理かな？
248 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/12(日) 15:33:39.43 ID:CkUQggJc.net]: >>239
-xも満たしますよ
249 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/12(日) 16:04:32.85 ID:0ulZNFX1.net]: その場合は-f(x) = xなので抜けなし
250 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/12(日) 16:10:42.38 ID:hhAo3XZA.net]: >>240
たとえば半径1の円の半径を直径にする半径1／2の円を考えて
その又半径を直径にする半径1／4の円を考えてって続けていくみたいな
251 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/12(日) 16:13:25.83 ID:CkUQggJc.net]: >>242
あ、そういうことですかなるほど
252 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/12(日) 16:13:35.58 ID:hhAo3XZA.net]: 最初の2円が1点でしか接してないから
できる図形も切り紙細工みたいな点でしか繋がってないヤツになっちゃうけど
253 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/13(月) 04:32:37.53 ID:n+pbcqkY.net]: >>236
境界での重複は許すってことなら >>233 でいい
許さないならそもそもできるのかな？
254 名前：イナ mailto:sage [2023/03/13(月) 05:57:30.42 ID:CJkC6Tym.net]: 前>>235
>>210
思っただけじゃなく、正解を、いや正解になりうる答えをみつけたんだ。あくまで思った時点では75°
答えは76°
あってるかどうかは、わからないけどたぶんあってる。左上が二等辺三角形なら確実、だったような。
255 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/13(月) 08:20:33.99 ID:lSMnrs67.net]: >>247
それじゃ正解じゃ無いしｗ
256 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/13(月) 12:06:51.44 ID:Xp6w5ZwJ.net]: 4^4^4^4^4^4^4^4^m(m∈ℕ)を47で割った余を求めよ
257 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/13(月) 12:48:45.07 ID:VzW3c1NZ.net]: >>249
42m (mod 47)
258 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/13(月) 12:50:32.86 ID:VzW3c1NZ.net]: >>250
これは間違い
259 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/13(月) 12:56:20.36 ID:ROTGusi+.net]: ^の優先順位は
右？左？
260 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/13(月) 14:04:09.45 ID:Xp6w5ZwJ.net]: >>252
4^(4^(4^(…
261 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/13(月) 14:28:59.15 ID:pclRTyoZ.net]: それを狙って嵌め殺すことだけが目的の非常に面白い問題
262 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/13(月) 16:41:56.16 ID:Xp6w5ZwJ.net]: ちなみに作ったのは京大に特色で入って現在院生の人
263 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/13(月) 17:06:02.20 ID:k0JUwNo5.net]: 京大で何やってんだか
264 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/13(月) 17:28:02.80 ID:G4+tQu/6.net]: mod 47
[(0,1),(1,4),(2,16),(3,17),(4,21),(5,37),(6,7),(7,28),(8,18),(9,25),(10,6),(11,24),(12,2),(13,8),(14,32),(15,34),(16,42),(17,27),(18,14),(19,9),(20,36),(21,3),(22,12),(23,1),(24,4),(25,16),(26,17),(27,21),(28,37),(29,7),(30,28),(31,18),(32,25),(33,6),(34,24),(35,2),(36,8),(37,32),(38,34),(39,42),(40,27),(41,14),(42,9),(43,36),(44,3),(45,12),(46,1)]
mod 46
[(0,1),(1,4),(2,16),(3,18),(4,26),(5,12),(6,2),(7,8),(8,32),(9,36),(10,6),(11,24),(12,4)]
mod 11
[(0,1),(1,4),(2,5),(3,9),(4,3),(5,1)]
mod 5
[(0,1),(1,4),(2,1)]
mod 2
[(0,1),(1,0),(2,0)]

4^4^.. ≡0 ( mod 2 ) ( for ≧ 1 4s )
4^4^.. ≡ 1 ( mod 5 ) ( for ≧ 2 4s )
4^4^.. ≡ 4 ( mod 11 ) ( for ≧ 3 4s )
4^4^.. ≡ 26 ( mod 46 ) ( for ≧ 4 4s )
4^4^.. ≡ 17 ( mod 47 ) ( for ≧ 5 4s )
265 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/14(火) 03:56:14.64 ID:Ef0XjUer.net]: >>257
あってはいるけど数学のすの字も感じられないね
266 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/14(火) 09:48:19.99 ID:nGPQrxEc.net]: >>258
数学を感じる解答よろ
267 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/14(火) 12:55:21.17 ID:GdMduXe/.net]: たまには軽めの問題も

実数上の実関数fであって、全ての実数x,yに対して次を満たすようなものを全て求めよ
[f(x)] + y = [x] + f(y)
268 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/14(火) 13:15:52.79 ID:3bba9Maw.net]: f(x) ] - [ x ] = f(y) - y
整数nをn = [ f(0) ] - [ 0 ]として任意のyで
f(y) = y + n
すなわち∃n∈ℤ∀y f(y) = y + n
これが十分である事は容易
269 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/14(火) 15:02:25.37 ID:GdMduXe/.net]: 正解
270 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/14(火) 16:45:11.50 ID:w+m7vwmg.net]: >>258
え？そうかな
271 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/15(水) 19:21:59.03 ID:6IKccv2Y.net]: エレガントに解けって問題に書いてたならわからんでもないが
272 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/15(水) 21:28:25.41 ID:7eayElVY.net]: エレガントじゃないって理由でバツにされるのかｗ
273 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/15(水) 21:36:03.68 ID:GqxaXVBM.net]: フェルマーの小定理を教わった後、それを利用して何か面白い問題はできないかなと考えて、作り出された問題と想像される。
274 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/15(水) 21:46:38.49 ID:kD6pQkYo.net]: 割と面白い問題だった
275 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/15(水) 21:58:50.21 ID:gIEjgltY.net]: ワイが前に似たような問題をこのスレで出題したんたけどな…
276 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/16(木) 00:09:50.02 ID:HqQgytwE.net]: n を 2 以上の整数とする。任意の素数 p に対して {p^(n + 1)}/(p+1) は n^2で割り切れないことを証明せよ
277 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/16(木) 00:10:30.29 ID:HqQgytwE.net]: n を 2 以上の整数とする。任意の素数 p に対して {(p^n) + 1}/(p+1) は n^2で割り切れないことを証明せよ
278 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/16(木) 00:57:49.40 ID:vI3siBeo.net]: nは奇数？
279 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/16(木) 01:12:26.53 ID:HqQgytwE.net]: まあnは奇数である必要がありますね
280 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/16(木) 01:55:27.69 ID:/maCrjJu.net]: nは奇数としてよい
r | n を奇素数としG を ℤ/rℤ の乗法群とする
vをr進付値とする
p=rのときは明らかにv(pⁿ+1) = 0である
p≠rとして-pの類のGでの位数をmとする
m | n でなければv((-p)ⁿ -1) = 0である
m | n とすればmはφ(r)の約数だからm<r≦nである
よってrは(-p)ⁿ-1の原始素因子でなくv((-p)ⁿ-1)≦1である(∵ [1] のλₙが素数になる証明)
以上によりpⁿ+1がnと共通素因子を持つとしてもその多重度は1以下である□

[1] https://integers.ハテナプログ.com/entry/2016/12/30/183841

ハテナプログ=hatenablog
281 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/16(木) 21:29:42.03 ID:mZophMhk.net]: 全てのnの素因子rに対して-pのℤ/rℤの乗法群における位数はnの約数でなければならない
特に(n,φ(r))の約数でなければならない
特に最小素因子rについては1でなければならない
r | -p-1
∴v((-p)ⁿ-1) = v((-p)-1) + v(n)
∴v((-p)ⁿ-1) - v((-p)-1) = v(n) < 2v(n)
282 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/19(日) 14:47:19.98 ID:87XzvWOJ.net]: ∫_(0,∞) sin(x log(x)) dx は広義リーマン積分として収束するか？
283 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/19(日) 16:15:01.27 ID:fF+iyqPP.net]: xlog(x) = t の逆関数をx=g(t)として
(1+log(x))dx = dt
dx = 1/(1+log(g(t))) dt
(1+log(x))g'(t)=1
∫sin(x log(x))dx = ∫sin(t)/(1+log(g(t))) dt

∫[nπ-π/2,nπ+π/2]sin(t)/(1+log(g(t))) dt
= [ -cos(t)/(1+log(g(t))) ]...
- ∫[...]cos(t)/(x(1+log(x))³)dt
= - ∫[...]cos(t)/(x(1+log(x))³)dt

∫[0,∞]1/(x(1+log(x))³)dt
=∫[1,∞](1+log(x))/(x(1+log(x))³)dx
は絶対収束(∵log(x) = uで容易に確認できる)
284 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/19(日) 16:32:15.24 ID:87XzvWOJ.net]: 「収束する」で正解です

手持ちの解答

(0,1)区間では収束するので(1,∞)区間で考える
∫_(1,∞) sin(x log(x)) dx
= Σ[n=0,∞] (-1)^n ∫_(nπ/W(nπ),(nπ+π)/W(nπ+π)) |sin(x log(x))| dx
= Σ[n=0,∞] (-1)^n ∫_(nπ,nπ+π) |sin(t)/(1+W(t))| dt
(WはランベルトのW関数)

1/(1+W(t))は単調減少でt→∞で0に収束
⇒∫_(nπ,nπ+π) |sin(t)/(1+W(t))| dtは単調減少列でn→∞で0に収束
⇒交代級数Σ[n=0,∞] (-1)^n ∫_(nπ,nπ+π) |sin(t)/(1+W(t))| dt は収束

ちなみに∫_(0,∞) sin(x+log(x)) dxは収束しません

またwolfram alphaはこの手の収束判定を間違えます
285 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/21(火) 00:49:47.78 ID:vvy3wuAb.net]: Σ[n=1,∞] n/sinh(n/2) はほとんどπ^2-1で差は10^(-14)以下であることを示せ

参考概算値
3.14<π<3.15, 0.69<log2<0.7, 2.3<log10<2.31
を使って手計算でお願いします
286 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/21(火) 01:09:15.60 ID:QwY3hSRl.net]: >>278
まさか真値がπ²-1とか？
287 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/21(火) 01:14:58.97 ID:JZXD2d54.net]: 大先生によると第15位からズレてるな
288 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/21(火) 01:16:52.17 ID:JZXD2d54.net]: という事は例によってラマヌジャン系か
そんなの自分で思いつくわけないやん
結局lost bookかららしいとこ探すだけの作業になってしまう
289 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/21(火) 01:39:11.38 ID:vvy3wuAb.net]: 手元の２つの想定解答ではラマヌジャンはたぶん関係してない
290 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/21(火) 01:52:09.44 ID:P05e5wdu.net]: どっかから拾ってきたんやろ？
この手のやつは大概ラマヌジャン系だよ
291 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/22(水) 16:53:17.89 ID:hT17/Ic5.net]: imτ>0であるτに対してJacobiの虚数変換公式から

θ₄(v/τ,-1/τ) = exp(-πi/4)√τ exp(πiv²/τ)θ₂(v,τ)

対数微分をとって

θ₄'/θ₄(v/τ,-1/τ)/τ = 2πiv/τ + θ₂'/θ₂(v,τ)

微分して

(θ₄'/θ₄)'(v/τ,-1/τ)/τ² = 2πi/τ + (θ₂'/θ₂)'(v,τ)‥①

ここでθₖの対数微分から

(θ₄'/θ₄)'(v,-1/τ) = 4π²Σn/sinh(nπi/τ)cos(2πnv)
(θ₂'/θ₂)'(v,-1/τ) = -π²cos(πv)‥②
　　　　+8π²Σn/(exp(-2πinτ)-1)cos(2πnv)‥③

特にv=0,τ=2πiのとき①,②,③より

-Σn/sinh(n/2) = 1 - π² + 8π²Σn/(exp(4π²n)-1)

ここで
| 8π²Σn/(exp(4π²n)-1) |
≦ 8π²Σexp(-4π²n)
= 8π²/(exp(4π²)-1)
= 5.651071634102E-16

より主張を得る□
292 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/22(水) 16:53:47.91 ID:hT17/Ic5.net]: 参考

https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%BC%E3%82%BF%E9%96%A
293 名前：2%E6%95%B0 []: [ここ壊れてます]
294 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/22(水) 18:01:05.90 ID:LvTiJzUw.net]: 訂正

| 8π²Σn/(exp(4π²n)-1) |
≦ 8π²Σn exp(-4π²n)
= 8π²exp(-4π²)/(1-exp(-4π²))²
= 5.651071634102E-16
295 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/22(水) 18:38:15.16 ID:heD+uH5O.net]: 正解

想定解答は
f(x) = x/sinh(x/2), x≠0
f(0) = 2
と置くとPoisson summation formulaから
Σ[n=-∞,∞] f(n) = Σ[k=-∞,∞] F(k)
ここでFはfのフーリエ変換で
F(t) = ∫[-∞,∞] f(x) e^(-2πitx) dx
= 2π^2/cosh^2(2π^2 t)
ゆえに誤差は
|Σ[k≧1] F(k)| < 8π^2Σ[k≧1]e^(-4π^2 k) = 8π^2e^(-4π^2)/(1-e^(-4π^2)),
log_10(|Σ[k≧1] F(k)|) < log_10(8×10) + (-4π^2+log(1/(1-e^(-4π^2))))/log10
< 1+0.7×3/2.3+(-4×3.14^2+0.7)/2.31 < -14.8

別解はAbel-Plana formulaと虚軸積分の留数置き換えより
∫[0,∞] x/sinh(x/2) dx - Σ[n=1,∞] n/sinh(n/2)
= 1 + 8π^2Σ[k=1,∞] n(-1)^n/(e^(4π^2 n)-1)
後は同様

ネタ元は
Pi: a source book, Springer (1997) p.689
"The following is not an identity but is correct to over 42 billion digits:
{(1/10^5)Σ[n=-∞,∞] e^(-n^2/10^10)}^2 = π."
のテータ関数をランベルト級数に変えて簡略化したもの
296 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/22(水) 19:25:39.44 ID:cDwJGp5g.net]: 岩波　数学公式II(82頁)　に
　Σ[n=1,∞]n cosech nx = (π^2-2x)/(4x^2)　,但し x は正実数
を見ゆ
297 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/22(水) 19:30:47.28 ID:5KHlGhXS.net]: すげえな
もちろん上の計算で誤差項は0ではないからその公式間違ってることになるわな
298 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/22(水) 20:19:46.26 ID:bDeZL3iL.net]: >>284でv=0,τ=πi/xにすると

Σn/sinh(nx)
　　= π²/(4x²) - 1/(2x)
　　　- 2π²/x²Σ(-1)ⁿn/(exp(2π²n/x)-1)
　　= (π²-2x)/(4x²)
　　　- 2π²/x²Σ(-1)ⁿn/(exp(2π²n/x)-1)

やね
299 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/22(水) 22:17:21.87 ID:heD+uH5O.net]: >>288
これは知らなかった
過去のスレで指摘されてるが数学公式IIIには2ページ目(無限乗積)から誤りがある
300 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/24(金) 06:57:23.80 ID:8twBajXO.net]: f(n)=n/sinh(n/2)と置くと、
Sum(n=1,∞)f(n)=π^2-1+ε
になるという主張。

Integrate(n=0,∞)f(n)dn=π^2
これを台形則で近似すると
Integrate(n=0,∞)f(n)dn≒f(0)/2+f(1)+f(2)+・・・=1+Sum(n=1,∞)f(n)=π^2+ε
(f(0)は極限を取った)

こういうからくりだね。
301 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/24(金) 19:31:44.25 ID:ad0vxxRX.net]: >>292
その通りです

しかしテータ関数の計算で出てくる類似の問題
Σ[n=1,∞] n/(e^n-1) はほとんどπ^2/6-11/24で誤差は2.83×10^(-16)以下を示せ
は積分近似の評価ではたぶん解けません

また
Σ[n=1,∞] n/sinh(πn/4) = π/(2(2^(1/4)-1)Γ(3/4)^4) - 1/π
は等式です
この値は4-2/πに近いから
π/(2(2^(1/4)-1)Γ(3/4)^4) + 1/πはほとんど整数
という遊びができます
302 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/28(火) 19:50:24.11 ID:ckhPX0Pw.net]: 三辺の長さが連続する整数であり、面積も整数となる三角形について、一の位が3である辺が必ず含まれることを示せ
303 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/28(火) 21:20:53.88 ID:IEMUy1Qd.net]: 3辺を2n-1,2n,2n+1 ( n∈ℤ/2 ) とおく
S = n√(3(n²-1)) ∈ ℤよりn∈ℤ
m = √(3(n²-1))は代数的整数である有理数だから整数でこれをmとすれば
m²-3n² = -3
これを解いて
(m₀, n₀) = (0,1)
(mₖ₊₁, nₖ₊₁) = (mₖ+3nₖ, mₖ+2nₖ)
が整数解の全体
nₖ≡1 ( mod 5 ) ( k≡0 ( mod 3 ) )
2 ( mod 5 ) ( k≡1,2 ( mod 3 ) )
だから特にn≡1,2 ( mod 5 )
n ≡ 1 ( mod 5 )のとき2n+1 ≡ 3 ( mod 10 )
n ≡ 2 ( mod 5 )のとき2n-1 ≡ 3 ( mod 10 )
304 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/29(水) 16:57:43.08 ID:hAnAS8Li.net]: pを奇素数、ℚₚを有理数体ℚのp進付値による完備化とする
u,vがpの倍数でない整数のとき方程式

　ux²+vy² = 1

はℚₚで解を持つ事を示せ
305 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/30(木) 13:13:23.31 ID:K7Q+lGyy.net]: (ux²+vy²-z²)ᵖ⁻¹-1について考える
306 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/30(木) 16:50:53.60 ID:FIHeBSy3.net]: 66,203,335,759,2227,3663,7249,80,252,420,882,2770,4618,9126

の数字の和を使って22999をピッタリ作りたい
この時、解は存在するか。
数字は重複して何度でも使用して良いが、使う回数は少なければ少ないほど良い。
18-(使用した数字の合計個数)をこの問題の得点とする

という問題誰かといてください！
307 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/30(木) 16:53:45.16 ID:lj6RYqkx.net]: 問題自体はちっとも面白くもないどころか超絶クソつまらないから、面白い解き方を用意してるのかな？
308 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/30(木) 16:58:25.09 ID:4/R63Sw+.net]: プログラムおじさんを思い出す
309 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/30(木) 17:15:43.35 ID:K7Q+lGyy.net]: 計算機使うしかないやろ
無視していいんちゃう？
310 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/30(木) 17:54:10.14 ID:oX9aOCco.net]: 貼ってきた

https://mevius.5ch.net/test/read.cgi/tech/1668333636/583 プログラミングのお題スレ Part21
311 名前：１３２人目の素数さん [2023/03/30(木) 19:29:21.21 ID:4/R63Sw+.net]: イナさんが来るまで待っとけ
312 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/30(木) 20:44:58.57 ID:A7hGz0/N.net]: >>298
大きい数字の順に
2,0,0,1,0,0,0,0,1,0,2,0,2,0
2,0,0,0,0,1,2,0,0,0,3,0,0,0
1,1,0,0,0,2,2,0,0,0,0,2,0,0
313 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/31(金) 12:15:28.45 ID:+ENk0GO+.net]: 7個の和の形が3通り
314 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/31(金) 20:44:10.15 ID:b2/saV94.net]: https://ideone.com/0QwQ5y
315 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/31(金) 20:57:40.88 ID:cl2a06dx.net]: 乙
316 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/01(土) 00:00:01.03 ID:+JPtoebw.net]: a^3+b^3+c^3+d^3+e^3=0.
|a|,|b|,|c|,|d|,|e|:prime.
317 名前：イナ mailto:sage [2023/04/01(土) 09:21:53.50 ID:CkqsC6TM.net]: 前>>247
>>298
22999≡67(mod252)
≡(mod882)
∴可能または可能性がある。
318 名前：イナ mailto:sage [2023/04/01(土) 09:22:46.15 ID:CkqsC6TM.net]: 前>>247
>>298
22999≡67(mod252)
≡67(mod882)
∴可能または可能性がある。
319 名前：イナ mailto:sage [2023/04/01(土) 14:17:34.41 ID:utD0NHVw.net]: 前>>310
>>298
66+203+2227+3663+252+420・13+882+9126+80・14=22999
999の発車時刻に間にあいそう。
320 名前：１３２人目の素数さん [2023/04/01(土) 16:53:52.45 ID:bI0VvYmQ.net]: https://i.imgur.com/4XVVkbK.jpg
321 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/01(土) 17:28:55.32 ID:qksdz5RP.net]: su=-tもあり？
322 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/01(土) 17:31:56.76 ID:qksdz5RP.net]: あ、f(x)は全ての点で連続か
323 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/01(土) 17:39:28.85 ID:qksdz5RP.net]: g(x) = tf(x)とおく
tx = sg(g(ux))
xt/(su)= g(g(x))
k = t/suとすればk≠1
g(g(x)) = kx‥①
g(0) = aとすれば
k×0 = g(a)
g(0) = ka
∴ a = 0
①を微分して
g'(g(0))g'(0) = k
g'(0)²=k
∴ k>0
(i) k<1のとき
g(g(...g(x)) = kⁿ(g(x)) = g(kⁿx))
g(x)/x = g(kⁿx)/(kⁿx)
右辺がn→0で収束するからg(0)=0
∴f(0) = 0
∴g(x)/x = g'(0) : const.
(ii) k>1のとき
g(x)の逆関数をh(x)とすれば
h(h(kx)) = x
x/
324 名前：k = h(h(x)) []: [ここ壊れてます]
325 名前：１３２人目の素数さん [2023/04/01(土) 23:26:06.32 ID:bI0VvYmQ.net]: 手持ちの解答は
x=sf(tf(ux))
tx/s=tf(tf(ux))
f(tx/s)=f(tf(tf(ux)))
sf(tx/s)=sf(tf(u(tf(ux)/u)))
suf(tx/s)=tf(ux)
suf(tx/su)/t=f(x)
suf(0)/t=f(0)
su≠tよりf(0)=0
k=su/tとおくとk≠1
f'(0)の存在性から与式を微分してx=0のときを考えるとk>0
kf(x/k)=f(x)=f(kx)/k
k>1ならf(x)/x={f(x/k^n)-f(0)}/{(x/k^n)-0}→f'(0)(n→∞)
0<k<1ならf(x)/x={f(k^n x)-f(0)}/{k^n x-0}→f'(0) (n→∞)
つまりk>0,k≠1でf(x)/x=f'(0)～

みたいな感じでした
326 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/02(日) 07:58:39.13 ID:xsM+EIK+.net]: https://ideone.com/jXliyA
327 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/02(日) 09:53:23.15 ID:MbNplWOs.net]: >>308
mod2,9,7を考えれば5つの変数のうち値が±2,±3,±7であるものが
少なくとも1つずつ存在しなければならないことがわかる。
あとは x^3+y^3=±8±27±343 の解を全列挙して |x|,|y| が両方素数になるものを探せば良い。
てことで誰かあとよろ
328 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/02(日) 10:56:46.10 ID:QnSZ21FT.net]: でもmod 13で考えると
[0,1,8,1,12,8,8,5,5,1,12,5,12]
になって±8±27±8 ≡ ±1, ±17, ±15 ( mod 13 )になって
x³+y³ ≡ ±1, ±17, ±15 ( mod 13 )
結局x,yのどっちかは±13になる
結局 x³=±8±27±343±2197だけど解ないんじゃない？
329 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/02(日) 13:34:26.35 ID:bSmfYSFC.net]: 間違った

d³+e³ = 8 - 343 - 27 (d³≡1, e³≡1 ( mod 13) )
d³+e³ = 8 - 343 + 27 (d³≡-1, e³≡-8 ( mod 13 )

がありうるわ
330 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/02(日) 13:49:19.90 ID:bSmfYSFC.net]: けどどのみち解なしになる希ガス
大先生は解なしって言ってる
331 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/02(日) 14:37:24.90 ID:bSmfYSFC.net]: 解なしかな

https://ideone.com/mrcZkM
332 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/03(月) 20:37:33.19 ID:GO6hH9fw.net]: 整数の範囲では解なしかな
333 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/04(火) 12:28:20.32 ID:O+vmhO2Z.net]: 受験数学じゃないから解なしも立派な答え、というか受験数学でも解なし禁止されてるわけじゃないけどな
まぁこの手の問題で解なしは評価低いのはその通りだけど
334 名前： 【月】 mailto:sage [2023/04/04(火) 18:40:36.64 ID:mf5JFqy5.net]: 前>>311
>>298
18-9=9
獲得した得点は9点ですね。
335 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/04(火) 22:02:27.52 ID:+q8yeTnH.net]: 絶対値2,3,7が奇数個
2^3 + 3^3 + 7^3 < 11^3 - 7^3
2^3 + 3^3 + 7^3 < 13^3 - 11^3
====> 絶対値は全て7以下

絶対値が以下になる場合だけ考えればいい
2 2 2 3 7
2 3 3 3 7
2 3 5 5 7
2 3 7 7 7

2^3 + 3^3 + 5^3 + 5^3 < 7^3
より、上3個は消える

2^3 + 3^3 + 7^3 < 7^3 + 7^3
より、4個目も消える
336 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/04(火) 22:14:18.96 ID:bqD3JsEh.net]: やっぱり全部素数ないやろ

https://ideone.com/bagnMh
337 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/04(火) 22:27:14.87 ID:bqD3JsEh.net]: ああ、計算機の結果信じてないんじゃなくて計算機使わなくても示せるって話か
338 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/05(水) 04:05:10.28 ID:ajlAfxI/.net]: >>308の書き方だと複素数もありえるけどそれだと簡単過ぎよな
339 名前：１３２人目の素数さん [2023/04/06(木) 12:50:27.15 ID:F07fF5ql.net]: x^9-x^3(xは自然数)は、504のばいすうであることを示せ!
340 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/06(木) 14:05:59.93 ID:Tnv9B2rO.net]: x^3(x^6-1)が7×8×9の倍数であることを示す
xが7,2,3の倍数であるときは良いのでそうでないとき、
x^6-1はフェルマーの小定理から7の倍数であり
x^6-1の因子x^2-1は8の倍数であり
x^6-1=(x^3-1)(x^3+1)はどちらかの因子が9の倍数である
341 名前：１３２人目の素数さん [2023/04/08(土) 13:21:45.34 ID:s1r9XZlr.net]: 1から37までの37個の整数の中から、どの2個も差が3以上であるような7個の整数
(�
342 名前：�:2,6,13,20,23,32,36)の選び方は何通りか。 []: [ここ壊れてます]
343 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/08(土) 14:15:07.39 ID:Q70wcSnh.net]: 1～25からa,b,c,d,e,f,g選んだ各場合に
a,b+2,c+4,d+6,e+8,f+10,g+12を対応させて一対一対応
∴ ₂₅C₇
344 名前：１３２人目の素数さん [2023/04/08(土) 14:42:53.45 ID:fnVYAere.net]: 問題には４種類ある
・一見面白そうで本当に面白い問題
・一見面白そうで実はつまらない問題
・一見つまらなそうで実は面白い問題
・一見つまらなそうで本当につまらない問題
345 名前：１３２人目の素数さん [2023/04/08(土) 17:57:25.50 ID:zOrdo7yE.net]: >>333
正解！
346 名前：１３２人目の素数さん [2023/04/09(日) 10:16:34.37 ID:n/e1kFvs.net]: n色のおはじきをランダムに並べます。
(A)直線に並べたとき
(B)円状に並べたとき
隣り合う同じ色のおはじきが存在しない確率をそれぞれA[n],B[n]とします。
A[∞]>1/3を示し、B[∞]を求めてください。
347 名前：１３２人目の素数さん [2023/04/09(日) 10:19:26.61 ID:n/e1kFvs.net]: >>336
n色のおはじきを2つずつです。すみません。
348 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/09(日) 11:01:30.47 ID:1f1rub38.net]: >>336
349 名前：安積永盛駅 [2023/04/09(日) 11:09:09.20 ID:bLY8p2Uj.net]: 円周率を無理矢理正方形の比にして3.14の場合(1対0.725)とその時は出たsin cos tanを使ってその比を円周率の比がどんな正方形であっても対応できるようにさせる問題
350 名前：１３２人目の素数さん [2023/04/09(日) 18:13:39.87 ID:Ub6foG9f.net]: 330の問題俺が作ったんだけど
面白い？
面白さ度の点数ちょうだい
351 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/09(日) 19:22:30.80 ID:AV8tmYBx.net]: 受験問題を10とすると>>330は18くらい
352 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/09(日) 19:30:53.34 ID:xKCrWMla.net]: (2n-1)!Bₙ
= Σ[k =0,n] ₙCₖ(-1)ᵏ(2n-k-1)!2ᵏ
までは容易(∵包除原理)
積分表示して
(2n-1)!Bₙ
= ∫[0,∞]t²ⁿ⁻¹(1-2/t)ⁿe⁻ᵗdt
= ∫[0,∞]tⁿ⁻¹(t-2)ⁿe⁻ᵗdt
このt:0～2の部分の寄与→0は容易だからt→t+2として
(2n-1)!Bₙ
= e⁻²∫[0,∞](t+2)ⁿ⁻¹tⁿe⁻ᵗdt
= e⁻²Σ[k=0,n-1]ₙ₋₁Cₖ2ᵏ(2n-1-k)!
第k項は
(2n-2)(2n-4)..(2n-2k)(2n-1-k)!/k!
である
ここで
0 < (2n-1)! - (2n-2)(2n-4)..(2n-2k)(2n-k-1)!
= (2n-1)!( 1 - (2n-2)(2n-4)..(2n-2k)/((2n-1)(2n-2)..(2n-k))
< (2n-1)!( 1 - (2n-2k)ᵏ/(2n-1)ᵏ)
< (2n-1)! k(2n-1)ᵏ⁻¹(2k-1)/(2n-1)ᵏ)
だから
(2n-2)(2n-4)..(2n-2k)(2n-1-k)!/k!
< (2n-1)!/k! - k(2k-1)/(2n-1)ᵏ
よって
Σ(2n-2)(2n-4)..(2n-2k)(2n-1-k)!/k! → e
である
以上により
lim Bₙ = 1/e
353 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/09(日) 20:46:14.79 ID:xKCrWMla.net]: ちょい訂正

(2n-1)!/k!
> (2n-2)(2n-4)..(2n-2k)(2n-1-k)!/k!
> (2n-1)!/k! - (2n-1)!/(2n-k)(2k(k-1)+k)/k!
よって
Σ1/k!/e² > Bₙ > Σ1/k!/e² - 1/n×3e/e²
である
以上により
lim Bₙ = 1/e

つまり展開したk項
ₙ₋₁Cₖ(2n-k-1)!2ᵏ
はほぼほぼ(2n-1)!/k!になってる
この誤差項の評価すればでる
多分もっとカッコいいやり方あるんだろうけど思いつかん
困った時の力技
354 名前：１３２人目の素数さん [2023/04/09(日) 23:45:15.16 ID:Ub6foG9f.net]: >>341
実はこれ2009の京大文系の問題の改題なんだよね
もともとは9の倍数である事を示せだった

過去問やってたらあれこれ504で割り切れるじゃんって気づいた
355 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/10(月) 02:07:18.70 ID:8F4Uw8cx.net]: 逆に

係数が互いに素な多項式が整数代入で常に504の倍数になるならx^9-x^3を因子に持つ

と言えるか？
356 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/10(月) 03:00:58.72 ID:0xD8dq6c.net]: これだと全然ダメか

係数を0,±1に限定するか
係数は何も制限せずに(x^9-x^3)f(x)+504g(x)の形を�
357 名前：\想するべきか []: [ここ壊れてます]
358 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/10(月) 05:55:00.34 ID:QkMI7N+v.net]: x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6).
359 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/10(月) 06:24:44.51 ID:8XhWIpiL.net]: なるほどw

係数を0,±1に限定した場合はどうなるんだろう？
360 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/10(月) 14:28:18.90 ID:y9iUlmCp.net]: Z[x]のイデアルがある範囲の係数の元を持つかってのは偶然性が強すぎて(良くない意味で)難しい問題なのかな
生成元の個数とかを考えるべきか
361 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/10(月) 14:59:01.13 ID:QkMI7N+v.net]: x^9=x^4323(mod.x^9-x^3).
21x^8=x^8+x^14+x^20+...+x^128(mod.x^9-x^3).
175x^7=x^7+x^13+x^19+...+x^1051(mod.x^9-x^3).
735x^6=x^6+x^12+x^18+...+x^4410(mod.x^9-x^3).
1624x^5=x^5+x^11+x^17+...+x^9743(mod.x^9-x^3).
1764x^4=x^4+x^10+x^16+...+x^10582(mod.x^9-x^3).
720x^3=x^3+x^9+x^15+...+x^4317(mod.x^9-x^3).

x^3(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)
=x^4323+(x^8+x^14+x^20+...+x^128)+(x^7+x^13+x^19+...+x^1051)
+(x^6+x^12+x^18+...+x^4410)+(x^5+x^11+x^17+...+x^9743)
+(x^4+x^10+x^16+...+x^10582)+(x^3+x^9+x^15+...+x^4317)(mod.x^9-x^3).
362 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/10(月) 15:08:24.68 ID:y9iUlmCp.net]: なるほど、この問題の場合は次数を6ずつ上げて無理矢理ばらけさせれるのか
363 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/10(月) 19:07:55.94 ID:N2L37DPL.net]: こういうイデアルの生成元とかって研究されてるんかな
364 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/10(月) 20:30:00.85 ID:QkMI7N+v.net]: f(x)/504=a(0)1/0!+a(1)x/1!+a(2)x(x+1)/2!+a(3)x(x+1)(x+2)/3!+a(4)x(x+1)(x+2)(x+3)/4!+....
365 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/10(月) 22:00:16.03 ID:DC7yj0NH.net]: こういうのは小さい数字から調べるのが良い気がする

I_n := { f∈Z[x] : 全ての整数xについてf(x)∈(n) } とおくと
I_0 = {0}
I_1 = Z[x]
I_2 = (2, x^2-x)
I_3 = (3, x^3-x)
I_4 = (4, 2(x^2-x), x^4-x^2)
I_6 = (6, 3(x^2-x), x^3-x)
366 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/10(月) 22:05:05.29 ID:Sg6gxmgj.net]: 当たり前やん
メンバーシッププロブレム
もう解決済み
367 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/11(火) 00:04:45.80 ID:6iH+F49T.net]: >>353-355
面倒だけど帰納的に求めていく方法があるってことなんでしょうか？
368 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/11(火) 09:40:00.20 ID:8f+EfoSh.net]: f(x)
=a(0)504
+a(1)504x
+a(2)252x(x+1)
+a(3)84x(x+1)(x+2)
+a(4)21x(x+1)(x+2)(x+3)
+a(5)(21/5)x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)
+a(6)(7/10)x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)
+a(7)(1/10)x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)
+...
=b(0)504
+b(1)504x
+b(2)252x(x+1)
+b(3)84x(x+1)(x+2)
+b(4)21x(x+1)(x+2)(x+3)
+b(5)21x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)
+b(6)7x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)
+b(7)x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)
+....

(x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6),7x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5),21x(x+1)(x+2)(x+3),84x(x+1)(x+2),252x(x+1),504).
369 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/11(火) 13:20:00.47 ID:8f+EfoSh.net]: f(x)
=c(0)
+c(1)x
+c(2)x(x+1)
+c(3)x(x+1)(x+2)
+c(4)x(x+1)(x+2)(x+3)
+c(5)x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)
+c(6)x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)
+c(7)x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)
+....

f(0)=c(0).
c(0)=504d(0).
f(-1)=c(0)+c(1)(-1).
c(1)=504d(1).
f(-2)=c(0)+c(1)(-2)+c(2)2.
c(2)=252d(2).
f(-3)=...+c(3)(-6).
c(3)=84d(3).
f(-4)=...+c(4)24.
c(4)=21d(4).
f(-5)=...+c(5)(-120).
c(5)=21d(5).
f(-6)=...+c(6)720.
c(6)=7d(6).
f(-7)=...+c(7)(-5040).
c(7)=d(7).
...

f(x)
=d(0)504
+d(1)504x
+d(2)252x(x+1)
+d(3)84x(x+1)(x+2)
+d(4)21x(x+1)(x+2)(x+3)
+d(5)21x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)
+d(6)7x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)
+d(7)x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)
+....
370 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/11(火) 15:21:49.53 ID:sLXX9EQx.net]: >>356
そう、というかよく考えたらこの問題メンバーシッププロブレムにすらなってないわ
一般に

f(x)が全ての整数xで整数値をとる多項式
⇔ f(x)はC[ x,k ]の形の多項式のZ係数の線形結合

は受験数学でもお馴染みの話
なので

f(x)/504 = C[ x,k ]の形の多項式のZ係数の線形結合
⇔f(x) = 504C[ x,k ]の形の多項式のZ係数の線形結合

とかける事が必要十分だから504C[x,k]の全体がℤ係数ではるℤ[x]の部分空間を決定する問題でしかない
371 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/11(火) 15:40:28.10 ID:sLXX9EQx.net]: 訂正
ℤ[x]→ℤ/504ℤへのkernel
372 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/11(火) 18:05:24.51 ID:JVZTOJ+c.net]: 補題　任意の
373 名前：整数xに対して n | pₙ(x) (∵) 任意の加法付値vに対してv(x)>0のとき v( pₙ(x) ) ≧ Ψ(n) ≧ v(n) v(n) = 0のときはℤ/nℤにおいてxの類は可逆元でその位数はφ(n)の倍数だからx^φ(n) ≡ 1 ( mod n ) ∴ n | pₙ(x) ∴ v( pₙ(x) ) ≧ v(n) いずれかの場合でも v( pₙ(x) ) ≧ v(n)でこれが任意の加法付値vについて成立するからn | pₙ(x)□ εₖ : ℤ/nℤ[x] → ℤ/nℤをf(x)→f(k) (i.e. kを代入する準同型)とし、ε : ℤ/nℤ[x] → ℤ/nℤ^nをε₀～εₙ₋₁までの直積とする 補題によりεはℤ/nℤ[x] →ℤ/<nℤ[x] ,pₙ(x)>を通過する ここで環ℤ/<nℤ[x] ,pₙ(x)>は有限環であり誘導される写像ℤ/<nℤ[x] ,pₙ(x)>→ℤ/nℤ^nの核を決定するアルゴリズムが存在するのは明らか(全数テストすればいい) 結局εの核はこの誘導された準同型の核の代表元とpₙ(x)で生成される []: [ここ壊れてます]
374 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/11(火) 18:22:18.62 ID:swsSeW6W.net]: >>357-359
ありがとうございます
Q係数で考えればC[x,k]の線形和で書けて、そこから504倍した形をZ係数に入るように順次整理していくわけですね
375 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/11(火) 21:38:51.15 ID:w3zm+8jt.net]: Iₚ = < xᵖ-x, p >としてn = Πp^eₚとおくとき

ker εₙ ⊃ Π Iₚ^eₚ

は言えるけど逆は無理だしそんなキレイな表示はなさそう
計算するアルゴリズムはあるくらいで満足すべき問題かな
376 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/11(火) 23:30:00.86 ID:8f+EfoSh.net]: n/gcd(n,k!).
377 名前：１３２人目の素数さん [2023/04/19(水) 17:08:18.24 ID:Blul8RmB.net]: x^(2^n)-x^(2^(n-1))+1は既約であることを示せ

x^1024+x^512+1を因数分解せよ
378 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/19(水) 17:48:46.32 ID:jb1dMgkZ.net]: それどっかのyoutuberが「係数体指定しなきゃ問題にならん」と突っ込んでたな
379 名前：１３２人目の素数さん [2023/04/19(水) 18:43:02.24 ID:FPzR4f6G.net]: C係数ならガウスさんに喧嘩売ってるし
380 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/19(水) 19:33:31.23 ID:aUTmsTCi.net]: 係数は体じゃなくてもいいんだよ
381 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/19(水) 19:49:57.39 ID:jb1dMgkZ.net]: 係数体がℚなら
x^1024+x^512+1
＝(x^512-x^256+1)(x^256-x^128+1)(x^64-x^32+1)(x^32-x^16+1)(x^16-x^8+1)(x^8-x^4+1)(x^4-x^2+1)(x^2-x+1)(x²+x+1)
やな
382 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/19(水) 20:17:46.94 ID:pLOg+BPa.net]: 既約性がムズそう
383 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/19(水) 20:32:24.30 ID:nzmnJePl.net]: Cで分解できるのが明らかならわざわざ自明な解答の問題出すなんて想定することないでしょうに
意地悪な人たちだなあ
384 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/19(水) 21:47:17.01 ID:BejPxNvU.net]: この板は拗らした人が多いから
あんま気になさらずに
385 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/19(水) 22:58:05.74 ID:LwE5Rct/.net]: 一般にφₘ(x)を円分多項式としてmの素因子pをとるとき
φ_pⁿm(x) = φₘ(x^(pⁿ))
証明はζ=exp(2πi/m)とするとき[ℚ(ζ):ℚ] = φ(m) (このφはEuler tautient)からすぐ
386 名前：１３２人目の素数さん [2023/04/21(金) 06:29:10.79 ID:ITwm/hLC.net]: 一番意地悪なのはわざと係数の範囲を伏せて出題する人
387 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/21(金) 07:01:41.45 ID:NCBNaxYk.net]: 拗らしてんなぁ
388 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/21(金) 08:20:00.57 ID:nOMcc6md.net]: x^4-x^2+1=(x^2+1)^2.
389 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/21(金) 10:03:40.45 ID:T03DfNf3.net]: x⁴+x²+1 = (x²+x+1)(x²-x+1) は可約
x⁴-x²+1 はℚ上規約
390 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/21(金) 19:29:49.43 ID:ZFseRhOP.net]: (1) ∫[0,∞] 2/(x + eᵡ)dx = -2Σ[n≧1] (-1/n)ⁿn!/n を示せ
(2) | Σ[n≧N] (-1/n)ⁿn!/n | = O(exp(-N))を示せ( Stiring 可 )
391 名前：１３２人目の素数さん [2023/04/24(月) 23:48:18.48 ID:nFMlI5Fm.net]: f(x,y)=((x-1/2)^2+(y-3/2)^2)/2+xy-1/4とする

fがN×NからNへの全単射になることを示せ
392 名前：１３２人目の素数さん [2023/04/25(火) 08:57:46.46 ID:BQ8Aerno.net]: サイコロを5個投げて、出た目の和が13以上になる確率を求めよ。
393 名前：１３２人目の素数さん [2023/04/25(火) 18:09:04.88 ID:KUEPXxVe.net]: 4,5,6の3つの目がすべて出るまでサイコロを投げ続けるとき、サイコロを投げる回数の期待値を求めよ。
394 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/25(火) 19:21:00.18 ID:ZW0ajBpu.net]: 東工大の問題を大人気なく級数展開して解いたんだけど最初誤差項の評価でアホなことしてた
誤差項の評価なんぞ全くいらなかった

∫[0,∞] 1/(x + eᵡ)dx
= ∫[..] 1/(1 + xe⁻ᵡ)e⁻ᵡdx
= Σ∫[..] (-xe⁻ᵡ)ⁿe⁻ᵡdx
= Σ∫[..] (-x/(n+1))ⁿe⁻ᵡdx/(n+1)
= -Σ(-1/(n+1))ⁿ⁺¹∫[..] xⁿe⁻ᵡdx
= -Σ(-1/(n+1))ⁿ⁺¹n!
= -Σ[n≧1] (n-1)!/(-n)ⁿ
= ( 1 - 1/4 + 2/27 - 6/256 + 24/3125 - .. )
∴ 1 - 1/4 = 3/4 < ∫[0,∞] 1/(x + eᵡ)dx < 1
(∵級数2Σ[n≧1] n!/(-n)ⁿ⁺¹は絶対値が単調減少する交代級数である
実際
| (n-1)!/nⁿ | / | n!/(n+1)ⁿ⁺¹ |
= (n+1)ⁿ⁺¹ /( n×nⁿ ) = (1+1/n)ⁿ⁺¹ > 1
である
よって奇数項で打ち切った近似は上からの評価を与え、偶数項で打ち切った近似は下からの評価を与える)

∫[2023,∞] 1/(x + eᵡ)dx
< ∫[2023,∞] 1/(eᵡ)dx
= e⁻²⁰²³
< 1/4 ( ∵ e²⁰²³ > 2²⁰²³ > 4 )
∴ 3/4 - 1/4 < ∫[2023,∞] 1/(x + eᵡ)dx < 1 - 0
∴ 1 < ∫[0,2023] 2/(x + eᵡ)dx < 2
395 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/25(火) 19:22:21.31 ID:ZW0ajBpu.net]: 6/3 + 6/2 + 6/1
396 名前：１３２人目の素数さん [2023/04/25(火) 21:58:19.53 ID:lBQytcrD.net]: 1から37までの37個の整数の中から7個の整数を選ぶロト7において、
無作為に抽選された本数字7個のうち3個以上の数字が連続している確率を求めよ。
電卓使用可。
397 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/25(火) 22:53:58.87 ID:9O6cqREV.net]: ちょっと確率系のくだらないの禁止
398 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/26(水) 10:44:51.17 ID:Mp8rHuls.net]: >>379
変形すると
f(x,y) = 1 + (x+y)(x+y-1)/2 - y
になるので、自然数N≧2に対して {(x,y):自然数x,yの和はN} のfによる像は
Z ∩ ( (N-1)(N-2)/2 , N(N-1)/2 ]
となる。上記の集合は自然数全体の分割を与える。

なるほどなあ
399 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/26(水) 10:51:07.22 ID:h5x++qgU.net]: Goedelが作ったやつやな
400 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/28(金) 15:24:24.86 ID:OWOgLMAD.net]: >>384
約0.35%
401 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/28(金) 15:32:25.44 ID:OWOgLMAD.net]: >>380
1169/1296
402 名前：１３２人目の素数さん [2023/04/29(土) 03:43:10.52 ID:PE+ufgwL.net]: 合計が8以下となる異なる3個の自然数の組は(1,2,3)(1,2,4)(1,2,5)(1,3,4)の4通りですが、
合計が100以下となる異なる3個の自然数の組は何通りか。
403 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/29(土) 08:34:58.19 ID:DBrlgvW4.net]: ♯Ωᵉ
= ₙC₃
= (n(n-1)(n-2))/6
♯Ω⁽¹ ²⁾
= { (1,1,1)～(1,1,n-2),(2,2,n-4)～..(n-1,n-1,2)}
= n-2 + n-4 + .. + 2
= n(n-2)/4
♯Ω⁽¹ ² ³⁾
= ⌊n/3 ⌋
∴ ♯(Ω/S₃)
= ( (n(n-1)(n-2))/6 - 3n(n-2)/4 + 2⌊n/3 ⌋)/6

(100×99×98/6-3×100×98/4-2×33)/6
=25714
404 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/29(土) 08:44:39.72 ID:DBrlgvW4.net]: ♯Ωᵉ
= ₙC₃
= (n(n-1)(n-2))/6
♯Ω⁽¹ ²⁾
= { (1,1,1)～(1,1,n-2),(2,2,n-4)～..(n-1,n-1,2)}
= n-2 + n-4 + .. + 2
= n(n-2)/4
♯Ω⁽¹ ² ³⁾
= ⌊n/3 ⌋
∴ ♯(Ω/S₃)
= ( (n(n-1)(n-2))/6 - 3n(n-2)/4 + 2⌊n/3 ⌋)/6

(100×99×98/6-3×100×98/4+2×33)/6
=25,736
405 名前：１３２人目の素数さん [2023/04/29(土) 12:53:50.10 ID:PE+ufgwL.net]: >>388
理論的には約13.8%です。
ここまでの統計的にも、そんなもんです。
406 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/30(日) 09:45:32.04 ID:0fwaCOIg.net]: >>390
25736通り
407 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/30(日) 11:06:17.37 ID:0fwaCOIg.net]: >>393
こんな感じで
> replicate(10,sim(TRUE)) |> mean()
9 13 15 15 16 17 26 TRUE
6 10 11 22 27 30 37 FALSE
4 6 13 20 23 30 36 FALSE
1 19 20 23 27 28 28 FALSE
5 7 8 21 26 26 26 FALSE
3 4 10 13 17 30 34 FALSE
2 12 20 20 27 27 34 FALSE
5 8 9 16 20 31 36 FALSE
8 17 19 21 24 31 35 FALSE
3 13 14 22 30 32 36 FALSE
[1] 0.1
シミュレーションしてみると１０．９％くらいになったのだが？
408 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/30(日) 12:47:50.42 ID:0fwaCOIg.net]: １～６の６つの目がすべて出るまでサイコロを投げ続けたとき、サイコロを投げる回数を当てる賭けをする。
いくつにかけるのが最も有利か？
409 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/30(日) 13:20:35.87 ID:eB+1+q87.net]: A = { c = a+2, b = a + 1 }
B= { d = b+2, c = b + 1 }
C = { e = c+2, d = c + 1 }
D = { f = d+2, e = d + 1 }
E = { g = e+2, f = e + 1 }
♯A = ₃₅C₅
♯B \ A= ₃₄C₅
♯C \ A \ B = ₃₄C₅
♯D \ A \ B \ C = ₃₄C₅ - ₃₃C₃
♯E \ A \ B \ C \ D = ₃₄C₅ - ₃₃C₃ - ₃₂C₃
410 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/04/30(日) 14:00:31.55 ID:vKFr2Y2h.net]: A = { c = a+2, b = a + 1 }
B= { d = b+2, c = b + 1 }
C = { e = c+2, d = c + 1 }
D = { f = d+2, e = d + 1 }
E = { g = e+2, f = e + 1 }
♯A = ₃₅C₅
♯B \ A= ₃₄C₅
♯C \ A \ B = ₃₄C₅
♯D \ A \ B \ C = ₃₄C₅ - ₃₂C₃
♯E \ A \ B \ C \ D = ₃₄C₅ - ₃₂C₃ - ₃₁C₃
411 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/01(月) 00:05:49.19 ID:fLXmximT.net]: >>395
１～３７の数字から異なる７個を選ぶというルールだったので
シミュレーションをやり直すと
> replicate(k,sim()) |> mean()
[1] 0.138403

13.8％という値が得られた。
412 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/01(月) 04:29:15.07 ID:fLXmximT.net]: >>399
37C7を総当りで
1423241/10295472 = 1159/8384　= 0.1382395
413 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/01(月) 06:38:56.29 ID:fLXmximT.net]: ４個以上の数字が連続する確率は31/1887＝0.01642819と出た。
414 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/01(月) 10:46:44.88 ID:HLifFo+Q.net]: 計算機使っても答え出せないならもう何も書くな
お前にこのスレで何か書く資格はない
415 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/01(月) 12:01:17.56 ID:ylIQSmMY.net]: 1-(31C7+31C6×6+31C5×5C2+31C4×4)/37C7
416 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2023/05/02(火) 12:50:14.74 ID:e7n44T+d.net]: 前>>325
>>396
すべて出るには6個必要。
6個目出たとき2回以上出てるのが1/2とすると、
6×(1/2)=3
3回出てるのが1/3とすると、
6×(1/3)=2
6+3+2=11
∴11回に賭ける。
417 名前：１３２人目の素数さん [2023/05/03(水) 22:29:35.30 ID:k+oUndww.net]: sinxを微分するとcosxになる理由を誰か分かりやすく教えて欲しい
418 名前：１３２人目の素数さん [2023/05/04(木) 00:35:06.27 ID:eAYC7CNT.net]: >>405
円の接線は半径に直交するからだよ
419 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2023/05/04(木) 04:11:47.06 ID:QE2xNpdw.net]: 前>>404
>>405
y=sinxの傾きがyを微分したy'だから、
0≦x≦2πで描いて傾きを調べたらわかるんじゃないか？
たとえばsin0=0だけど、cos0=1だろう。
ちょうど斜め45°で原点を突っ切って右上がりを描いてる。
y'=cosxを自分で納得するまで描いてみればいい話。
420 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/05(金) 09:36:34.89 ID:kfscXaW1.net]: 凸多面体で全ての面が正多角形であるものを正凸多面体と呼びます
例えば底面が正n角形である柱や反角柱(上面、下面が正n角形で側面に2n個の正三角形を互い違いに貼り合わせた図形)�
421 名前：ﾍ正凸多面体です 正凸多面体でn≧12である正n角形をひとつの面として持つものは正n角柱か反n角柱である事を示してください []: [ここ壊れてます]
422 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/05(金) 09:42:15.93 ID:kfscXaW1.net]: ちなみにwikiには正凸多面体のリストがありますがそれ使うのはNG、ガリガリ初頭的に示して下さい
423 名前： 【大吉】 mailto:sage [2023/05/05(金) 12:48:53.78 ID:e0f5M+9I.net]: 前>>407
>>408
上底と下底が正n角形で、
上底と下底をどちらからかの無限遠方から重ねて見たときに、
底面が重ならないように片方を回転させると、
側面が曲面になるから正n角柱にも反n角柱にもならないが、
上底の一辺と下底の頂点または上底の頂点と下底の一辺を結び、
側面を合同なn個の三角形にすると、
無数の2n角柱らしき立体ができる。
424 名前： 【不如帰】 mailto:sage [2023/05/05(金) 12:51:26.77 ID:e0f5M+9I.net]: 前>>410訂正。
>>408
上底と下底が正n角形で、
上底と下底をどちらからかの無限遠方から重ねて見たときに、
底面が重ならないように片方を回転させると、
側面が曲面になるから正n角柱にも反n角柱にもならないが、
上底の一辺と下底の頂点または上底の頂点と下底の一辺を結び、
側面を合同な2n個の三角形にすると、
無数の2n角柱らしき立体ができる。
425 名前：１３２人目の素数さん [2023/05/05(金) 15:22:40.61 ID:Vsef6FE7.net]: 三角形Tの1つの辺の長さは平方数で,残りの辺の長さは素数である。また,Tの面積は整数で,外接円の直径は素数である。
Tの各辺の長さを求めよ。
426 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/05(金) 15:33:44.47 ID:tLBsboy/.net]: https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1680400564/326
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1680400564/643

出題者の用意した模範解答と
1字でも違うと0点にするそうです
レスバはまとめて1つのスレでするように
427 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/05(金) 15:54:20.44 ID:2AAD4l07.net]: >>411
じゃあ、その見つけたら反例をこんな反例見つけたらってwikiに殴り込みでもかけてきたらいい
428 名前： 【鳳凰】 mailto:sage [2023/05/05(金) 20:16:42.15 ID:Eycml3TW.net]: 前>>411
>>412三角形Tの1つの辺の長さは平方数で2^2=4
残りの辺の長さは素数で3と5
Tの面積は整数で(3×4)/2=6
外接円の直径は素数で5
∴Tの各辺の長さは3,4,5
このほかにはない。
429 名前：１３２人目の素数さん [2023/05/05(金) 21:15:24.91 ID:Vsef6FE7.net]: >>415
3,4,5以外の解が無いことを証明できていないので0点です。
430 名前：１３２人目の素数さん [2023/05/05(金) 22:29:04.54 ID:T1ogXenW.net]: 満点にはならんが0点もおかしい
431 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/05(金) 23:37:40.00 ID:WiDhalBC.net]: (0,2,2)
面積=0
外接円の直径=2

(4,7,11)
面積=0
外接円の直径=11
432 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/06(土) 03:29:19.58 ID:grwB0UzQ.net]: (4,7,11)は外接円なくない？
433 名前：１３２人目の素数さん [2023/05/06(土) 08:36:17.90 ID:fUjX5JYc.net]: 直線だね
434 名前：１３２人目の素数さん [2023/05/06(土) 10:23:08.38 ID:fUjX5JYc.net]: >>412
AB=n^2、AC=p、BC=q、外接円の直径=Rとおく。(p,q,Rは素数)
△ABCの面積S=1/2*(n^2*pq)/R
n^2がRで割り切れるときn^2>Rとなり不適
よってp=Rまたはq=Rのいずれかが成立する必要がある
いずれの場合も△ABCは直角三角形
n^4+p^2=q^2として一般性を失わない
p^2=(q-n^2)(q+n^2)であることから、q-n^2=1、q+n^2=p^2
q=(p-n)(p+n)であることから、p-n=1、p+n=qとなり、q=2n-1
よって2n-1-n^2=1となり、nは0でないことからn=2、p=3,q=5
AB=4,AC=3,BC=5
435 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/06(土) 12:20:20.46 ID:pIhw5+Is.net]: かけない待て待て
素数という条件を一回しか使ってないけどそれだけ満たす反例なら山のようにある

(1,1,0,True)
(5,3,4,True)
(145,17,144,True)
(4901,99,4900,True)
(166465,577,166464,True)
(5654885,3363,5654884,True)
(192099601,19601,192099600,True)
(6525731525,114243,6525731524,True)
(221682772225,665857,221682772224,True)
(7530688524101,3880899,7530688524100,True)
(255821727047185,22619537,255821727047184,True)

しかしこの中でpもqも素数を満たすのは(p,q) = (5,3)しかない
それを示さないと0点らしいぞ
436 名前：１３２人目の素数さん [2023/05/06(土) 15:31:24.52 ID:fUjX5JYc.net]: >>４22
全部5の倍数。
437 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/06(土) 17:52:09.33 ID:1y1gCDkM.net]: >>423
全部５の倍数になってないやん
系列で3個おきに5手割って1余るパターンが出てくる
小さい方は2個おきに３の倍数になる
結局6個おきにそれでは素数でない事が示せないのがでてくる
それを処理せんとダメなんやろな
できるかどうか知らんけど
438 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/06(土) 19:17:37.71 ID:1y1gCDkM.net]: とりあえず、おそらく誰でも辿り着くところは3辺をp,q,m²としてパラメータvによって

p = 2v²+2v+1, m²=2v(v+1), q=2v+1

と表示できる事、ただしパラメータvは
v/2 = y²、v+1 = x²
または
v = x²、(v+1)/2 = y²
となるときで
前者のときx² - 2y² = 1‥①
後者のときx - 2y² = -1‥②
というPell方程式解を(x,y)が満たすときでそれは
xₙ+√2yₙ = (1+√2)ⁿ
とおいたときのnが偶数のときが①の解の全体、nが奇数のときが②の全体
計算機で最初の10項計算させると

(1,1,0,True)
(5,3,4,True)
(145,17,144,True)
(4901,99,4900,True)
(166465,577,166464,True)
(5654885,3363,5654884,True)
(192099601,19601,192099600,True)
(6525731525,114243,6525731524,True)
(221682772225,665857,221682772224,True)
(7530688524101,3880899,7530688524100,True)

となる
n が3の倍数でなければpₙは5の倍数、nが奇数ならqₙが3の倍数となる
問題はnが6の倍数のとき
列挙すると

(1,1,0,True)
(192099601,19601,192099600,True)
(295218051329678401,768398401,295218051329678400,True)
(453690157176121613000576401,30122754096401,453690157176121613000576400,True)
(697229582647141045327149384731193601,1180872205318713601,697229582647141045327149384731193600,True)

さて必ずpₙ,qₙのいずれかは素数でない
こんなの示せる？
439 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/06(土) 19:30:00.53 ID:I1F6OJTW.net]: a(n)=((3+2r(2))^n+(3-2r(2))^n)/2.

a(n)|a((2k+1)n).

a(2n)=2a(n)^2-1.
a(1)=3.
a(2)=17=2(mod.5).
a(2^k)=2(mod.5).
c(2^k)=(a(2^k)^2+1)/2=0(mod.5).
440 名前：１３２人目の素数さん [2023/05/06(土) 19:37:14.86 ID:QgR4Wql9.net]: >>412
三辺をa,b,cとし　a,bが素数でcが平方数とする　
面積=abc/(2*外接円の直径)　が整数だからabcは直径の倍数
直径は素数だからa,bのどれかが直径
つまりTは直角三角形で、aを斜辺としておく
また、a,b,cのどれかが2の倍数だがaは斜辺で唯一の最大だから3以上
するとbが2かcが偶数平方だが　b^2=a^2-c^2≧3^2-2^2=5　よりbは2ではない
ゆえにcが偶数平方で　a=m^2+n^2　b=m^2-n^2　c=2mn
bは素数だからb=(m+n)(m-n)=b*1　ゆえにm=n+1　すると　a=c+1
aは4で割って1余る素数だから一意的に平方数の和で書けるから　m^2=c　n^2=1
するとn=1、m=2と決まり　a=5、b=3　c=4
441 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/06(土) 19:42:50.81 ID:1y1gCDkM.net]: >>426
コレは何？
ごめんわからん
もう少し行間書いて
442 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/06(土) 19:43:43.34 ID:grwB0UzQ.net]: >>425
ピタゴラス三角形の辺のうちどれかは必ず5の倍数になる
443 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/06(土) 19:44:14.01 ID:1y1gCDkM.net]: >>426
もっと言えばPell 方程式の解で小さい方から列挙した場合、実際pₙが５の倍数になつてないの出てきてるよね？
それはどこで除外されてるん？
444 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/06(土) 19:45:00.61 ID:I1F6OJTW.net]: a(6)=19601=1153a(2).
a(12)=768398401=1331713a(4).
a(18)=30122754096401=1536796801a(6)=1771926711553a(2).
a(24)=1180872205318713601=1773462177793a(8).
445 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/06(土) 19:45:16.81 ID:1y1gCDkM.net]: >>429
でもm²が５の倍数になったとて何も矛盾しないよね？
446 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/06(土) 19:46:23.32 ID:1y1gCDkM.net]: >>431
おお、なるほど
447 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/06(土) 19:58:09.22 ID:1y1gCDkM.net]: なるほど
pₙ = (vₙ+1)² + vₙ² = xₙ⁴ - 4yₙ⁴
だからFibonacci型になってるんやな
448 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2023/05/07(日) 11:03:42.98 ID:AxwjGyFD.net]: 前>>415　　　　　　　　　∩∩
結局3,4,5以外ないんでしょ ((-｡-)
449 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/07(日) 13:52:11.89 ID:v3PcHw88.net]: 違う
xₙ⁴+4yₙ⁴の方はこのままでは三項間の定数漸化式満たさない
4(xₙ⁴+4yₙ-3)にしないとダメだ
xₙ⁴-4yₙ⁴はこのままでLucas型
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
(3辺をpₙ,qₙ,m²ₙとして)
pell 方程式の解(xₙ,yₙ)を用いて
pₙ = xₙ⁴ + 4yₙ⁴、qₙ = | xₙ⁴ - 4yₙ⁴ |、mₙ² = 4(xₙyₙ)²
と表されるpₙ,qₙ,m²ₙを調べる
α=1+√2, β=1-√2とおけば
xₙ = ( αⁿ+βⁿ )/2. yₙ = ( αⁿ-βⁿ )/( α-β )
である
よってpₙは
((αⁿ+βⁿ)/2)⁴ + 4((αⁿ-βⁿ)/(α-β))⁴
= ( α⁴ⁿ + β⁴ⁿ )/8 + 3/4( αβ )²ⁿ
= ( α⁴ⁿ + β⁴ⁿ )/8 + 3/4
でありqₙは
| ((αⁿ+βⁿ)/2)⁴ - 4((αⁿ-βⁿ)/(α-β))⁴ |
= | ( α³ⁿβⁿ + αⁿβ³ⁿ )/2 |
= | (-1)ⁿ( α²ⁿ + β²ⁿ )/2 |
= ( α²ⁿ + β²ⁿ )/2
でありmₙは
2(αⁿ+βⁿ)/2)((αⁿ-βⁿ)/(α-β))
= ( α²ⁿ - β²ⁿ )/( α - β )
と表される
450 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/07(日) 13:52:19.39 ID:v3PcHw88.net]: 以上によりp'ₙ := 4pₙ-3, qₙ, mₙは漸化式
p'ₙ₊₂ = 34p'ₙ₊₁ - p'ₙ
qₙ₊₂ = 6qₙ₊₁ - qₙ
mₙ₊₂ = 6mₙ₊₁ - mₙ
を満たす( ∵ α⁴+β⁴=34, α²+β²=6, αβ=-1 )
ここでp'₀ ≡ 1 ( mod 5 ) p'₁ ≡ 2( mod 5 )から
p'₂ ≡ -p'₁ - p'₀ ≡ 2 ( mod 5 )
p'₃ ≡ -p'₂ - p'₁ ≡ 1 ( mod 5 )
p'₄ ≡ -p'₃ - p'₂ ≡ 2 ( mod 5 )
となり以下周期3でループする
特に3|̸n のときpₙ ≡ 0 ( mod 5 )である
一方で3倍角の公式
q₃ₙ
= ( α⁶ⁿ + β⁶ⁿ )/2
= ( ( α²ⁿ + β²ⁿ )³ - 3α²ⁿβ²ⁿ (α²ⁿ + β²ⁿ ) ) /2
= 4qₙ³ - 3qₙ
であり、よってqₙ | q₃ₙとqₙ≧3 (n≧1),q₀=1によりq₃ₙは素数ではない
451 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/07(日) 22:24:07.44 ID:LbGahhOb.net]: (1) a,b,c が正整数で a^2+b^2=c^2 を満たすなら 60|abc
(2) a,b,c が 60|abc を満たし、a,b,cのうち二つが素数なら、その二つの素数は2,3,5のいずれか
らを考慮するとTの三辺は3,4,5に限られる
452 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/08(月) 01:40:00.55 ID:eZihW8l6.net]: 11^2+60^2=61^2.
453 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/08(月) 01:41:01.37 ID:vBtIURae.net]: >>438
11,60,61
454 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/08(月) 01:41:58.24 ID:vBtIURae.net]: くっそ
1分早ければ
455 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/08(月) 08:58:56.74 ID:01e7VZgr.net]: p^2+(60n)^2=q^2
について考えれば十分ってことだな
456 名前：１３２人目の素数さん [2023/05/15(月) 18:15:12.65 ID:m6Up1w8L.net]: モンティ・ホール問題
457 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/15(月) 23:23:05.39 ID:bWIM9zlI.net]: 「0以上1未満の有理数をランダムに選んだとき、その数が有限小数である確率は？」
458 名前：１３２人目の素数さん [2023/05/15(月) 23:29:31.08 ID:5F6s6RCL.net]: >>441
１分でも遅い
459 名前：１３２人目の素数さん [2023/05/15(月) 23:30:00.54 ID:5F6s6RCL.net]: >>444
>ランダム
一様分布？
460 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/16(火) 00:11:05.40 ID:mBaybBT3.net]: 可算無限個からどうランダムに選ぶっちゅうんじゃ(´・ω・`)
461 名前：１３２人目の素数さん [2023/05/16(火) 07:52:55.97 ID:APIH8wdc.net]: >>447
あそうか
一様分布も無理よね
462 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/16(火) 08:00:30.16 ID:hzv96Gma.net]: 横からなんだけど
可算無限個に対して一様な確率って考えられないのか…
なんか不思議だね
463 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/16(火) 09:10:35.42 ID:1GZRwJ0W.net]: 超
464 名前：現実数使うとできるかも []: [ここ壊れてます]
465 名前：１３２人目の素数さん [2023/05/16(火) 09:52:04.60 ID:Ok9MvAXd.net]: どうやるの？
466 名前：１３２人目の素数さん [2023/05/16(火) 13:45:10.01 ID:uUyMutcW.net]: 素数が無限個あることを証明せよ
467 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/16(火) 14:15:52.54 ID:9lhYG3Ar.net]: ちなみに>>444は昨日ツイッターで見かけた話題をちょっと改変したやつなのだ
468 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/16(火) 14:17:09.63 ID:aKfc+dzN.net]: 素数の個数をNとする
A = Πp/(p-1)を考える
Aは2ᴺ以下である
2進数表示でk桁になる自然数2ᵏ～2ᵏ⁺¹-1の逆数の和は1/2以上だから2ᴺ⁺¹桁以下の数の逆数の和は2ᴺ以上
ここで
A > Π(1-(1/p)ᴺ⁺¹)/(1-1/p) = Π(1+1/p+..+1/pᴺ⁺¹)
ここで右辺を展開した和は全てのN+1桁以下の数の逆数が現れるから右辺は2ᴺ以上
左辺Aは2ᴺ以下
469 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/16(火) 14:17:46.56 ID:aKfc+dzN.net]: >>453
改変前はちゃんと問題になってたん？
470 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/16(火) 14:35:06.34 ID:9lhYG3Ar.net]: >>455
なってなかったから改変した
471 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/16(火) 14:54:04.64 ID:aKfc+dzN.net]: 改変してもなってないやんw
分布も与えず確率なんか求められるはずないやん？
指摘されてる通り「分布は普通コレ」なんてものも存在しない
尿瓶？
472 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/16(火) 15:07:53.96 ID:9lhYG3Ar.net]: いや、答えは分布がないから無理で正解なのよ

改変前の問題文が「循環小数である確率は？」で、文脈的に有限小数でないという意味っぽかったのだが
有限小数だって循環小数ではあるから(0が永遠に続くとも取れるし0.5=0.4999…のようにも表せる)
問題文としておかしいと思って>>444では「有限小数である確率は？」に直した
473 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/16(火) 15:25:18.39 ID:RI4JX6Q/.net]: なるほど、そゆことですかー
474 名前：１３２人目の素数さん [2023/05/16(火) 16:28:09.02 ID:uUyMutcW.net]: >>454わいが習ったやりかたは一から順番に素数をかけてそれにプラス1した数はどの素数で割ることもできないから。
ってことだったけど、これはこれで綺麗
475 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/16(火) 20:24:16.55 ID:nfPaHnop.net]: vを3進付値とするときn≧2に対してv(2^(3^n)-1) = n+1である
実際n=2の時は2^(3^2)-1 = 513 = 3³×19により成立
n=kで成立するとしてn=k+1の時は
2^(3^(k+1))-1
= ( 2^(3^k)-1 )( (2^(3^k))² + 2^(3^k) + 1 )
であるが仮定により2^(3^k)≡1 ( mod 9 )により
( (2^(3^k))² + 2^(3^k) + 1 )≡3 ( mod 9 )
となりv( 2^(3^k))² + 2^(3^k) + 1 ) = 1である
さらに帰納法の仮定よりv( 2^(3^k) -1 ) = k+1であるからn=k+1のときも成立する
特にv(2^(3^n)² + 2^(3^n) + 1) = 1と2^(3^n)² + 2^(3^n) + 1>3により^(3^n)² + 2^(3^n) + 1は3以外の素因子pを持つ
このときpは 2^(3^n) - 1の素因子ではない
何故ならば互除法により
( 2^(3^n) - 1, 2^(3^n)² + 2^(3^n) + 1 )
= ( 2^(3^n) - 1, 3 ) = 3
により2^(3^n) - 1と2^(3^n)² + 2^(3^n) + 1 は3以外の共通素因子を持ち得ない
以上により2^(3^(n+1))-1の素因子の数は2^(3^n)-1のそれより少なくとも大きくなる
∴2^(3^n)-1は少なくともn個の素因子を持つ
476 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/16(火) 21:02:21.40 ID:nfPaHnop.net]: 3!!!! (!がn個)をaₙとする
aₙ-1 < aₙだからaₙ-1 | aₙ! = aₙ₊₁である
aₙ-1 > 1だからaₙ-1は素因子を持つ
一方で互除法よりaₙ-1 とaₙは互いに素である
よってaₙ-1はaₙの素因子でない素因子を持つ
ここでaₙ₊₁=aₙ! はaₙとaₙ-1の公倍数であるからaₙ(aₙ-1)の倍数である
よってaₙ₊₁の素因子の数はaₙのそれより大きい
477 名前：１３２人目の素数さん [2023/05/16(火) 23:00:15.51 ID:LNw3oO9T.net]: >>461
フェルマー数が互いに素であることの証明をアレンジしてるんだね
478 名前：１３２人目の素数さん [2023/05/16(火) 23:08:13.18 ID:LNw3oO9T.net]: >>462
要するにnが2より大きい素数のときn!-1はnより大きい素因数を持つという話か
ユークリッドの証明をアレンジしたものだね
479 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/20(土) 17:40:33.54 ID:ISWKriTy.net]: 1からnまでの自然数が書かれたn枚のカードが2組みある。
この2n枚のカードを一列に並べるとき、同じ数字が書かれたカードが隣り合わないような並べ方は何通りか？
480 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/20(土) 18:12:29.00 ID:j1OP/I8v.net]: 同じ数字のカードは区別しない？
481 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/20(土) 19:34:02.17 ID:Z7ht1cah.net]: またΣ使っていいとかいうオチじゃないやろな
482 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/20(土) 20:05:27.06 ID:UAWbH+/0.net]: もしくはナントカ多項式とかねw
483 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/20(土) 20:55:56.98 ID:FLWn79YI.net]: >>465
昔に高校数学スレで出された問題
解は超幾何級数でしか表せない

数字を同一視し、置換関係のみを抽出したときの
場合の数は
a(1)=0, a(2)=1, a(n+2)=(2n+1)a(n+1)+a(n)
の解で a(n)={0, 1, 5, 36, 329, ...}
https://oeis.org/A278990
この数列の一般項は、初等的には書けない

1 から n のカード2組に対する解は
これに n の階乗を掛けて
n!・a(n)={0, 2, 15, 144, 1645, ...}
484 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/21(日) 05:45:21.30 ID:UkBjpmQR.net]: >>469
ケアレスミスがあった

a(1)=0, a(2)=1, a(n+2)=(2n+3)a(n+1)+a(n)
a(n)={0, 1, 5, 36, 329, ...}
https://oeis.org/A278990

解は n!・a(n)={0, 2, 30, 864, 39480, ...}
https://oeis.org/A114938
485 名前：１３２人目の素数さん [2023/05/21(日) 10:15:06.63 ID:QzwkXwze.net]: >>470
自分でケアレスミスって言っちゃう人って…
486 名前：１３２人目の素数さん [2023/05/21(日) 14:05:12.53 ID:1+shtUXm.net]: キーワードチェックしたか？
487 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/22(月) 17:14:05.16 ID:jvKSCKW6.net]: 円C1の中に、任意の3点を取って、その3点を通る冤罪C2がC1の内部にある確率を求めよ。
ただし任意の3点全てが同一直線上ある場合を除外する。
488 名前：１３２人目の素数さん [2023/05/22(月) 17:41:05.35 ID:XPuhhV7u.net]: 冤罪
489 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/22(月) 17:44:11.97 ID:jxSY70cn.net]: 分布の与え方わからん奴出題禁止
490 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/22(月) 18:32:59.82 ID:jvKSCKW6.net]: 答えは2/5ね
ベルトランのパラドックスみたいなやつとは無縁
491 名前：１３２人目の素数さん [2023/05/22(月) 20:50:00.30 ID:7scn4NWG.net]: >>473
3点は独立だろうけど
点の分布はどうするの？
492 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/22(月) 21:29:51.07 ID:Ry72qCfU.net]: ほっとけよ
分布って言われてわからん奴このスレで出題できるレベルにない
493 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/22(月) 21:30:28.04 ID:jvKSCKW6.net]: 円の中で一様だよｗ
494 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/22(月) 23:31:42.22 ID:AyXQDwbz.net]: 世界に一様分布しかないと思ってる時点で尿瓶クラス
495 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 08:20:51.95 ID:XIrcjRW7.net]: よっぽど特殊に作られた集合ならともかく
何も指定せず開集合上でランダムに取るってったらルベーグ測度で何の問題があるんだよ
違ったら違ったで指摘すればいいだけなのに
揚げ足取り好きな人いるよなあ
496 名前：１３２人目の素数さん [2023/05/23(火) 09:39:50.35 ID:kTyZUEZP.net]: >>481
そこを曖昧にすると厄介なことになる、というのがベルトランのパラドックス
497 名前：１３２人目の素数さん [2023/05/23(火) 10:02:37.32 ID:hrSr0XHN.net]: 同一直線上にある場合を除外するというのは標本空間から除外する(そもそもそのように点を選ぶことができない)ことではないの？
そうであれば円の内部に3点を独立かつ一様に取れるはずない
そうでなければ除外するの意味がわからん
498 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 11:09:59.16 ID:X0aYDUVZ.net]: よくこんなレベルでこのスレに出題しようとか思えるな
499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/24(水) 00:26:04.38 ID:9ReZecB/.net]: ３点が同一直線状にあるパターンなんて測度0でしかないんだから無
500 名前：視したらいいじゃないの 問題がnot for meなのはしょうがないけど 度を越して連投してる訳でもあるまいのに実力貶めて萎縮させる程のこと？ []: [ここ壊れてます]
501 名前：１３２人目の素数さん [2023/05/24(水) 01:10:26.49 ID:3jjTUc06.net]: 確かに叩くほどではないが本人も突っ張って素直に分布答えずに煽り入れてるのよなｗ
502 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/24(水) 18:16:54.87 ID:rOZzXr5q.net]: [定理]
平方数と立方数にはさまれた
唯一の数は26である

[証明]
k,xは自然数，kx≠0とする

x^3-(x+k)^2=2 から
x^3-x^2-k^2-2kx=2
x^3-x^2-2kx=k^2+2
x^2(x-1)-2kx=k^2+2
x{x(x-1)-2k}=k^2+2
x{x(x-1)-2k}=(k-1)(k-2)+3k
x{x(x-1)-2k}-3k=(k-1)(k-2)
{x{x(x-1)-2k}-3k}/(k-1)=(k-2)…‥①

①はk=2のとき、
x{x(x-1)-2k}-3k=0 となるので、
k=2が確定

x{x(x-1)-2k}-3k=0 にk=2を入力
x{x(x-1)-4}-6=0
x{x(x-1)-4}=6から、
∴x=3

∴整数解は、k=2,x=3
503 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/24(水) 18:26:20.85 ID:MmZPtB3W.net]: もうあきらめろよ
お前には無理
504 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/24(水) 18:58:36.66 ID:rOZzXr5q.net]: 嫉妬はよくない
505 名前：１３２人目の素数さん [2023/05/24(水) 19:00:54.78 ID:P6glq12k.net]: 一体なにに対する嫉妬だと言うんだ……
506 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/24(水) 19:14:26.29 ID:MmZPtB3W.net]: 高木クラスだが一応証明にはなってない事を理解できてるだけマシか
507 名前：１３２人目の素数さん [2023/05/24(水) 20:04:49.77 ID:JrBR2CLA.net]: >>487
>x{x(x-1)-2k}-3k=0 となるので、
>k=2が確定
なんで？
508 名前：１３２人目の素数さん [2023/05/24(水) 20:05:13.04 ID:YxakW/QV.net]: >>487

①はk=2のとき、
x{x(x-1)-2k}-3k=0 となるので、
k=2が確定

ここがおかしいですね
509 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/24(水) 20:21:56.66 ID:MmZPtB3W.net]: さすがに自分の書いた文章がおかしい事くらいは気づいてるんだと信じたい
それすらできないならもはや完全に高木クラス
510 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/24(水) 20:39:14.37 ID:jbq0E7QQ.net]: へえ
平方数の立方数で差が1になる組は8と9のみで
差が2になる組は25と27だけなんだな

じゃあ、
“差が3”の組も“探さん”とな
511 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/24(水) 20:50:13.13 ID:KBkqs58L.net]: >>491,494
大嘘を書くな、何故そこまで必至に工作活動をするのか
512 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/24(水) 21:09:50.58 ID:Tfm1zBgd.net]: かまってちゃんが他スレに進出
513 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/24(水) 22:06:28.47 ID:KBkqs58L.net]: 毎日誹謗中傷をされている被害者だ
514 名前：１３２人目の素数さん [2023/05/25(木) 00:15:12.95 ID:nt2mPlQp.net]: >>496
大嘘って何？
515 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/25(木) 03:03:22.59 ID:JLVAwEOS.net]: >>495
OEISによれば(±2)^2-(1)^3=3だけが解っぽいね
この形の問題はかなり難しい話のようだ
Mordell's equationと呼ばれていて例示だけで論文がたくさん書かれてる
立方数と平方数がどれくらい接近するかが未だ分かってないなんて整数論ヤバすぎぃ
516 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/25(木) 03:15:35.83 ID:JLVAwEOS.net]: [n^1.5]の振る舞いが謎すぎるのか
517 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/25(木) 04:20:13.21 ID:csTyjIsO.net]: >>499
私の論文が間違っているということ
518 名前：１３２人目の素数さん [2023/05/25(木) 06:31:01.78 ID:nt2mPlQp.net]: >>502
間違っている部分が指摘されているけど？
519 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/25(木) 07:13:35.63 ID:csTyjIsO.net]: >>503
どこに？
520 名前：１３２人目の素数さん [2023/05/25(木) 07:20:22.97 ID:bTasq+pF.net]: こんな問題を考えてみた
521 名前：好きに整数m,nを与えよ この問題の得点はn/(m^3-n^2)とする (ただし分母はゼロにならないように与えるものとする) []: [ここ壊れてます]
522 名前：１３２人目の素数さん [2023/05/25(木) 07:27:12.04 ID:nt2mPlQp.net]: >>504
>>492,493
523 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/25(木) 07:50:54.13 ID:csTyjIsO.net]: >>506
私は487ではない
524 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/25(木) 08:14:04.51 ID:a+QOXdEN.net]: [定理]
平方数と立方数にはさまれた
唯一の数は26である

[証明]
k,xは自然数，kx≠0とする

x^3-(x+k)^2=2 から
x^3-x^2-k^2-2kx=2
x^3-x^2-2kx=k^2+2
x^2(x-1)-2kx=k^2+2…‥①
x{x(x-1)-2k}=k^2+2
x{x(x-1)-2k}=(k-1)(k-2)+3k
x{x(x-1)-2k}-3k=(k-1)(k-2)
{x{x(x-1)-2k}-3k}/(k-2)=(k-1)…‥②
{x{x(x-1)-2k}-3k}/(k-1)=(k-2)…‥③

①よりkは偶数

②はk≧4のとき、
左辺{x{x(x-1)-2k}-3k}/(k-2)が偶数
右辺(k-1)が奇数であることと矛盾
したがって、k=2が確定

③にk=2を入力
x{x(x-1)-2k}-3k=0
x{x(x-1)-4}-6=0
x{x(x-1)-4}=6から、
∴x=3

∴整数解は、k=2,x=3
525 名前：１３２人目の素数さん [2023/05/25(木) 08:16:35.86 ID:nt2mPlQp.net]: >>508
>②はk≧4のとき、
>左辺{x{x(x-1)-2k}-3k}/(k-2)が偶数
なんで？
526 名前：１３２人目の素数さん [2023/05/25(木) 08:18:14.45 ID:nt2mPlQp.net]: 偶数を偶数で割って必ず偶数？
527 名前：１３２人目の素数さん [2023/05/25(木) 08:24:02.38 ID:bTasq+pF.net]: 何回指摘しても、また間違った証明を書き込みに来そう
528 名前：１３２人目の素数さん [2023/05/25(木) 08:34:50.86 ID:nt2mPlQp.net]: >>507
失礼しました
529 名前：１３２人目の素数さん [2023/05/25(木) 08:34:57.72 ID:bTasq+pF.net]: 505の問題、分子を√mにしたらガチヤバ予想になるのか
その場合、wikiによると人類は50点くらいしか取れてなくて、何点まで取れるか未だに不明っぽいな
530 名前：１３２人目の素数さん [2023/05/25(木) 08:53:08.01 ID:c0pYxYBm.net]: ガチヤバは貴方の頭です
531 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/25(木) 08:56:56.08 ID:a+QOXdEN.net]: xが奇数設定するの忘れた
532 名前：１３２人目の素数さん [2023/05/25(木) 08:59:12.29 ID:DEzOtSIf.net]: >>514
あれ、なんかミスってた？
533 名前：１３２人目の素数さん [2023/05/25(木) 10:12:23.94 ID:c0pYxYBm.net]: >>516
すまん>>508がレス乞食やりだしたと勘違いした
534 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/25(木) 14:21:22.10 ID:z9nTYZJf.net]: 自分で正しい証明が書けるようになるのが数学学習の一区切りだけど、そのためにはまず何より「今目の前にある証明があってるのか間違ってるのか」が判断できるようにならんと何も始まらん
それすらできないお話にも何にもならんレベル
535 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/25(木) 15:37:30.34 ID:oi3WEgOQ.net]: x^3-(x+k)^2=-2の場合が考慮されていない
536 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/25(木) 17:28:12.11 ID:DN8R2v8w.net]: >>513
あとは和 Σ_(n,m:整数、n^2≠m^3)1/|n^2-m^3| の収束性あたりも闇深そうな雰囲気
この辺の問題は未来にタイムスリップしてでも結末を聞いてみたいけど
果たして人間が解決できるか…
537 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/25(木) 18:54:20.83 ID:bZrLQ6e7.net]: イージー
100≦m^2/(m^3-n^2)

ハード
100≦m/(m^3-n^2)

エイリアン
100≦√m/(m^3-n^2)
538 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/26(金) 01:17:46.72 ID:qsPQolav.net]: これを平方数、立方数に限らず一般の累乗数に拡張しても面白い

例えば差が6の累乗数のペアは未だ見つかっていないとか
539 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/26(金) 05:27:34.33 ID:bViMEZiH.net]: マジか
やっぱり乗法的に定義された数の加法的性質は闇だね
近いうちに大きなパラダイムが起きて一挙に謎が解けたりしないかな、そういう妄想すらしたくなる
もちろんIUTTにも期待しているけどね
540 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/26(金) 09:57:50.37 ID:DTlRig/m.net]: クソ問も大量に埋まってそうなんだよなあ

例えば
(m+n)^n=n^(m-n)+m
を満たす自然数m,nの組を1つ求めよ

p^(p-q)+p=q^(p+q)+q
を満たす素数p,qの組を1つ求めよ

と出されたとしてまあ解く気にならんだろう
この例は小さい数なので解けなくもないだろうが、多少大きめの数でやられたらまず無理だ
541 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/26(金) 10:06:37.39 ID:a9lNwe1s.net]: 数学で見た目には美しいけど現代数学の力ではどうしようもない問題あるなんかいくらでもある
そんなものあげつらってできないできないいうのが数学の目的ではない
その中からちゃんと今我々の獲得した知恵で新たになんとかなりそうなやつを探していくのが数学
それが分かってないアンポンタンのこんなん思いつきました～がやめられないアホ数知れず
542 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/26(金) 10:18:19.06 ID:1QAZEDHN.net]: (m,n)=(1,1)
(p,q)=(5,2)か

そういう問題で答えが大きい数のみになってるってなかなか無いんじゃないか
指数部分もパラメータにすると制約がきつくなりすぎるイメージ
543 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/26(金) 10:25:08.11 ID:Gm+fQWPL.net]: >>526
ああそうか、(1,1)もあるな
想定としては(10,3)だった
何も考えずに出すとこういうことになるとは
544 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/26(金) 14:03:06.78 ID:gW5O+/iX.net]: [定理]
平方数と立方数にはさまれた
唯一の数は26である

[証明]
k,xは自然数，kx≠0とする

x^3-(x+k)^2=2

を成立させる唯一の方法は、
原始ピタゴラス数の性質により、

(k+x)^2=x^2+{2(x^2-1)}

となる場合のみである
この時、x^3=3x^2 が成立する

x^3=x(x^2)なので、
∴x=3

x^3-(x+k)^2=2 から
∴k=2
545 名前：１３２人目の素数さん [2023/05/26(金) 14:14:56.57 ID:U3OwFy89.net]: 「x^3-(x+k)^2=2

を成立させる唯一の方法は、
原始ピタゴラス数の性質により、

(k+x)^2=x^2+{2(x^2-1)}」
もう少し丁寧にお願いします
546 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/26(金) 14:39:21.08 ID:gW5O+/iX.net]: 隣接する二つの三角数の二乗の差は
立方数である

隣接する二つの三角数で、
差が二倍となる組は3と6のみである

table[x(x+1)/2,{x,1,100}]

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66,
78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190,
210, 231, 253, 276, 300, 325, 351,
378, 406, 435, 465, 496, 528, 561,
595, 630, 666, 703, 741, 780, 820,
861, 903, 946, 990, 1035, 1081,
1128, 1176, 1225, 1275, 1326,
1378, 1431, 1485, 1540, 1596,
1653, 1711, 1770, 1830, 1891,
1953, 2016, 2080, 2145, 2211,
2278, 2346, 2415, 2485, 2556,
2628, 2701, 2775, 2850, 2926,
3003, 3081, 3160, 3240, 3321,
3403, 3486, 3570, 3655, 3741,
3828, 3916, 4005, 4095, 4186,
4278, 4371, 4465, 4560, 4656,
4753, 4851, 4950, 5050
547 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/26(金) 14:40:35.81 ID:+Y6NUYig.net]: >>528
もし何かの問題への回答（の一部）ならレス番参照つけてね
あるいは問題を出したいなら明示的に問題として出してね
どちらの趣旨の投稿にも見えないけど認識合ってるならスレチなので他所でやってね
548 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/26(金) 14:44:04.52 ID:gW5O+/iX.net]: >>529 だそうです
549 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/26(金) 15:05:25.83 ID:ygRxvgTn.net]: もう構わない以外ではないかもね
高木と一緒
550 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/26(金) 15:13:53.42 ID:ygRxvgTn.net]: 受験問題、受験縛りでも無しでもどうぞ

次の３つのルール(I),(II),(III)に従って三角形ABCの頂点上でコマを動かす事を考える
(I) 時刻0においてコマは頂点Aに位置している
(II) 時刻0にサイコロを振り、出た目が偶数なら時刻1でBに、出た目が奇数ならCにコマを移動させる
(II) n=1,2,..に対して、時刻nにサイコロを振り、出た目が3の倍数でなければ時刻n+1にコマを時刻n-1に位置していた頂点に移動させ、出た目が3の倍数であれば時刻n+1にコマを時刻n-1にも時刻nにも位置していなかった頂点に移動させる
時刻nにAに位置する確率をpₙとする
以下の問いに答えよ
(1) p₂,p₃を求めよ
(2) n=1,2...に対してpₙ₊₁をpₙ, pₙ₋₁で表せ
(3) 極限値lim pₙ
551 名前：を求めよ []: [ここ壊れてます]
552 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/26(金) 15:36:21.56 ID:gW5O+/iX.net]: なんというつまらなさ
553 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/26(金) 15:58:35.36 ID:ygRxvgTn.net]: >>535
よくそのレベルのカスみたいな数学力でプロの数学者の作った問題に文句つけられるもんやな
まぁその性格故に能無しなんやろけど
554 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/27(土) 00:39:36.90 ID:rGI7FUNO.net]: >>536
受験範囲縛りで点数が適当にバラけるように作ったのが受験問題
プロの数学者が作ろうが面白くない問題なぞいくらでもある。
555 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/27(土) 09:31:31.33 ID:oxQLkCIC.net]: >>537
まぁお前にはこの問題の面白さはわからんやろ
クズレスのレベル見てたらお前のカスみたいな数学力は透けて見えるからな
黙っとけや能無し
556 名前：１３２人目の素数さん [2023/05/27(土) 14:39:30.93 ID:TtZ2G3JO.net]: p[2]=p(A→非A→A)=1*2/3=2/3　
p[3]=p(A→非A→非A→A)=1*1/3*1/3=1/9

nを2以上とする
時点nでA以外にいるという条件の下で次にAに移る確率をr[n]とする
p[n+1]=(1-p[n])*r[n]　(1-p[n])(1-r[n])=1-p[n]-p[n+1]

時点nでAにいる条件下で時点n+2でAにいる確率は
時点n+1でどちらかに移動してから元位置に戻る確率だから1*2/3
時点nでA以外にいる条件下で時点n+2でAにいる確率は
時点n+1でA以外に行き次にAに行くので(1-r[n])*1/3

ゆえにp[n+2]=p[n]*2/3+(1-p[n])*(1-r[n])*1/3＝{2p[n]+1-p[n]-p[n+1]}/3
q[n]=p[n]-1/3と置くと　q[n+2]=q[n]/3-q[n+1]/3
足して-1/3，掛けて-1/3になる数をa,bとし
q[n+2]-(a+b)q[n+1]+abq[n]=0
q[n+2]-aq[n+1]=b{q[n+1]-aq[n]}=b^(n-1){q[3]-aq[2]}=b^(n-1)(-2/9-a/3)
n=1でも成り立つ　同様に
q[n+2]-bq[n+1]=a^(n-1){q[3]-bq[2]}=a^(n-1)(-2/9-b/3)
(b-a)q[n+1]=a^(n-1)(2/9+b/3)-b^(n-1)(2/9+a/3)
√13/3*q[n+1]=a^(n-1)(2/9+(-1+√13)/18)-b^(n-1)(2/9-(1+√13)/18)
=a^(n-1)(3+√13)/18-b^(n-1)(3-√13)/18
={(-1-√13)/6}^(n-1)*(3+√13)/18-{(-1+√13)/6}^(n-1)*(3-√13)/18
q[n+1]={(-1-√13)/6}^(n-1)*(3/√13+1)/6-{(-1+√13)/6}^(n-1)*(3/√13-1)/6
p[n]=1/3+{(-1-√13)/6}^(n-2)*(3/√13+1)/6-{(-1+√13)/6}^(n-2)*(3/√13-1)/6
nは2以上で成り立つ　│(-1±√13)/6│<1だから極限は1/3
557 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/27(土) 15:23:01.92 ID:nwkRy7a8.net]: >>539
正解
元ネタ2020京大特色入試

https://youtu.be/_mJVPyjt4FQ

まぁよくある確立漸化式で取り立てて他の確率漸化式と変わらないように見えて、実は流石にうまくできてる
時刻nにおける“状態”を幾つでも設定してでかい遷移行列作ってガチャガチャやれば解けるんだけど、そんな事しなくてもスッキリ解けますよ、できます？という問題
状態山のように作って漸化式巨大にしただけの問題ならバカでも作れるけど、うまいルート見つけたら気持ちよくスッキリ解ける美しい問題を作るのは中々センスが必要
そういう違いがわかるやつにはわかる問題
まぁ解く方はもちろん解けりゃなんでもいいんだけどな
作る側が唸る問題
こういう筋のいい問題がサラッと作れるのが京大はさすがというところ

━━━━━━━━━━
Eₙを時刻nでAにいる事象としてEₙ∩Eₙ₊₁=Φであるから
Eₙ₊₁ = ( Eₙ₋₁∩Eₙ₊₁ ) ∪ ( (Eₙ₋₁∪Eₙ)ᶜ∩Eₙ₊₁ )
∴ pₙ₊₁ = P( Eₙ₊₁ ∧ Eₙ₋₁ ) + P( Eₙ₊₁ ∧ not ( Eₙ₋₁ ∨ Eₙ ) )
= P( Eₙ₋₁ ) P( Eₙ₊₁ | Eₙ₋₁ )
+ P( ￢ ( Eₙ₋₁ ∨ Eₙ ) ) P( Eₙ₊₁ | ￢ ( Eₙ₋₁ ∨ Eₙ ) )
= pₙ₋₁ × 2/3
+ ( 1 - ( pₙ₋₁ + pₙ ) ) × 1/3
= -1/3pₙ + 1/3pₙ₋₁ + 1/3
qₙ = pₙ-1/3とおいて
qₙ₊₁ = -1/3qₙ+1/3qₙ₋₁
α, β をt²+1/3t-1/3 = 0の2解としてu,vを qₙ= u αⁿ+
558 名前：v βⁿ が= 0,1で成立するようにとれば、漸化式から全てのnで成立 | α|,|β|<1よりlim qₙ=0 ∴ lim pₙ = 1/3 []: [ここ壊れてます]
559 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/27(土) 19:30:25.55 ID:Xaqa5rwN.net]: >>538
このスレで俺の書き込みは537だけだがな
エスパーお疲れさま♪
560 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/27(土) 22:36:12.48 ID:WFJLv3Fu.net]: 541もだから2つだぞ
561 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/27(土) 23:53:12.10 ID://8dJZcs.net]: なんか…数年前と雰囲気変わったよねここ
喧嘩っ早くなったというか
それだけ色んな人が来るくらい人気のスレになったってことでもあるんだろうけど
562 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/28(日) 14:21:23.69 ID:faBmo6fJ.net]: 多分有名問題

m×nマスのチェス盤の好きな場所にナイトを置きそこからスタートしてナイトを動かす、動かせる位置はチェスのナイトの動きで水平方向±2, 垂直方向±1 または水平方向±1, 垂直方向±2 (つまり桂馬の動き)
ただし同じマスは2回通過できない
m×nマス全部回れれば成功
(問題)
m,nが十分大きな整数ならうまくやれば必ず成功できる事を示せ
563 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/28(日) 18:31:32.94 ID:CGpdQ8v4.net]: 元の位置に戻る必要はない？
564 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/28(日) 19:21:22.02 ID:7wiapSPG.net]: ないです
奇数×奇数ならそもそも戻れませんがどちらか偶数なら戻る解もあるかも
565 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/29(月) 02:50:05.12 ID:ImnbydaP.net]: 1回の移動ごとに盤の白黒が入れ替わるからね
奇数マスでループは不可能
566 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/30(火) 16:27:50.90 ID:pqx902Pr.net]: >>544
やっぱり有名問題だった

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Knight%27s_tour

によると

Schwenk[10] proved that for any m × n board with m ≤ n, a closed knight's tour is always possible unless one or more of these three conditions are met:
1. m and n are both odd
2. m = 1, 2, or 4
3. m = 3 and n = 4, 6, or 8.

らしい
他にも色々書いてあるんだけど、この

4×n ( n≧4 )のとき周回する解がないの証明がわからん
どなたか分かります？
567 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/30(火) 16:33:07.09 ID:pqx902Pr.net]: それともまさかとは思うけどあくまで「ここの条件の例外なら必ず周回する解がある」が示されてるだけで「4×n (n≧4)の場合周回する解は持ち得ないか？」は未解決って事あり得る？ないよねぇ？
568 名前：１３２人目の素数さん [2023/05/30(火) 17:30:00.53 ID:H3AiioMD.net]: 面白い問題おしえて～な 33問目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1598637093/
25-28
569 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/30(火) 18:11:36.48 ID:wna3Zlcd.net]: そう、周期的でない解が存在するのはすぐ証明できる
てか、1実際構成法与えれば終わりだから
難しいのは「周期的なものは存在しない」の証明
どうやるんだか
570 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/31(水) 09:42:17.05 ID:JvryPUHo.net]: ごめん、見落としてた

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1598637093/28 面白い問題おしえて～な 33問目

に証明ついてるな
素晴らしい
571 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/31(水) 11:33:08.61 ID:D00OlzqZ.net]: 次は、７×７チェス盤のナイト巡回問題の解のうち、始点が角で、終点(=49)がいずれかの角の斜め隣のものを示した。
もし同じ型の盤が並んでいれば、終点から隣の盤の角に飛び移ることができ�
572 名前：驕B 01 26 09 06 03 14 11 　　　 01 30 09 06 03 14 11 　　　 01 32 09 06 03 14 11 28 49 02 13 10 07 04 　　　 32 27 02 13 10 07 04 　　　 34 29 02 13 10 07 04 25 22 27 08 05 12 15 　　　 29 22 31 08 05 12 15 　　　 31 22 33 08 05 12 15 48 29 24 21 16 31 44 　　　 26 33 28 21 16 37 46 　　　 28 35 30 21 16 39 48 23 36 39 30 43 20 17 　　　 23 42 25 36 45 20 17 　　　 23 44 25 38 47 20 17 38 47 34 41 18 45 32 　　　 34 49 40 43 18 47 38 　　　 36 27 42 45 18 49 40 35 40 37 46 33 42 19 　　　 41 24 35 48 39 44 19 　　　 43 24 37 26 41 46 19 次は、５×５チェス盤のナイト巡回問題の解二つと、７×５チェス盤の解三つを示した。これらも、終点から隣の盤の角へ飛べる。 01 10 25 20 03 　　　 01 14 09 20 03 　　　 01 28 11 06 03 22 17 　　　 01 26 09 06 03 20 15 　　　 01 30 11 06 03 24 13 24 19 02 09 14 　　　 22 19 02 15 10 　　　 12 35 02 21 16 07 04 　　　 10 07 02 19 14 35 04 　　　 32 19 02 23 12 07 04 11 08 15 04 21 　　　 13 08 21 04 25 　　　 27 32 29 10 05 18 23 　　　 25 30 27 08 05 16 21 　　　 29 22 31 10 05 14 25 18 23 06 13 16 　　　 18 23 06 11 16 　　　 30 13 34 25 20 15 08 　　　 28 11 32 23 18 13 34 　　　 18 33 20 27 16 35 08 07 12 17 22 05 　　　 07 12 17 24 05 　　　 33 26 31 14 09 24 19 　　　 31 24 29 12 33 22 17 　　　 21 28 17 34 09 26 15 これらを組み合わせれば、非負整数a,b,c,dを使って、m=5a+7b、n=5c+7dと表せるm,n(※)に対して、 >>544の要求を具体例を以て示すのに必要な十分な材料となる。 (※):13以下では5,7,10,12のみ。14以上では16,18,23以外全て []: [ここ壊れてます]
573 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/31(水) 11:53:43.76 ID:D00OlzqZ.net]: ７×５チェス盤の解一つを追加提出

01 14 11 06 03 20 31
12 25 02 21 32 07 04
15 22 13 10 05 30 19
26 35 24 17 28 33 08
23 16 27 34 09 18 29
574 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/31(水) 12:56:51.87 ID:E3uoc3Sk.net]: 正解
私も5と7でやりました
ちなみにKnight Tourの最終的な解

Schwenk[10] proved that for any m × n board with m ≤ n, a closed knight's tour is always possible unless one or more of these three conditions are met:
1. m and n are both odd
2. m = 1, 2, or 4
3. m = 3 and n = 4, 6, or 8.
Cull et al. and Conrad et al. proved that on any rectangular board whose smaller dimension is at least 5, there is a (possibly open) knight's tour.[4][11] For any m × n board with m ≤ n, a knight's tour is always possible unless one or more of these three conditions are met:
1. m = 1 or 2
2. m = 3 and n = 3, 5, or 6[12]
3. m = 4 and n = 4.[13]

も同様な構成でできますがサイズが小さい場合の例外処理が邪魔くさくなります
575 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/01(木) 22:24:53.80 ID:G+2hvAMK.net]: サイコロをn回降った時、出目の積が2^nで割り切れるが2^(n+1)で割りきれない確率pを示せ
576 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/01(木) 23:14:33.16 ID:C+E0JFvU.net]: p=うんち
577 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/01(木) 23:27:22.90 ID:0zBOumDs.net]: 4がk回出て、2か6が合わせてn-2k回出ればよい　kは0から[n/2]まで
p=Σ[k=0,[n/2]](1/6)^k*(2/6)^(n-2k)
=(1/3)^nΣ[k=0,[n/2]](1/6)^k*(6/2)^(2k)
=(1/3)^nΣ[k=0,[n/2]](9/6)^k
=(1/3)^n(1-(3/2)^([n/2]+1))/(1-3/2)
=2/3^n((3/2)^([n/2]+1)-1)
578 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/01(木) 23:56:52.02 ID:4zqgj+yX.net]: p(n)=(1/6^n) Σ[k=0,[n/2]] {C[n,k]*C[2(n-k),n]*2^k}
p(1)=(1/6)C[1,0]*C[2,1]*2^0=1/3
p(2)=(1/36){C[2,0]*C[4,2]*2^0+C[2,1]*C[2,2]*2^1}=(1/36)(6+4)=5/18
p(3)=(1/216){C[3,0]*C[6,3]*2^0+C[3,1]*C[4,3]*2^1}=(1/216)(20+24)=11/54
p(4)=107/648
p(5)=263/1944
579 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/02(金) 00:13:46.11 ID:YTZ1L53Y.net]: (1/2+x/3+x²)ⁿのn次の係数
あるいは
(1/(2x)+1/3+x)ⁿの定数項
Σ
580 名前：とか使わな無理やろ []: [ここ壊れてます]
581 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/05(月) 02:59:12.49 ID:DHKuXQUT.net]: Knight tourの問題
Wikipedia のKnight tourの項によると3×3,3×5,5×3,3×6,6×3,4×4はKnight tourを持たず、3×8,8×3はclosed Knight tourを持たない
もう有限ケースだけだし計算機使えば簡単に確認できる
計算機使わない証明もできなくはない
しかしカッコいいスパッとした気持ちいい証明が思いつかん
なんかいい方法はないものか
582 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/05(月) 19:54:55.88 ID:i9ubmcxH.net]: 元の出題(>>544)では「十分大きな」場合を聞いてたから
てっきり十分大きい場合には比較的簡単に示す技があるのかと思ったんだけど違うんかな
583 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/05(月) 23:30:03.76 ID:z3B9Kt7g.net]: すごく面白い問題思いついたよ
584 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/06(火) 13:57:30.87 ID:sbS+zP1I.net]: 同大の正七角形で平面を敷き詰めることを考える
以下の3つを充填率が高い順に並べよ

A．正七角形に外接する最小のホームベース型五角形(直角が2つあり、直角同士が隣り合っている五角形)を平面に充填することを考え、正七角形をその通りに配置する

B．正七角形に外接する最小の平行六角形を平面に充填することを考え、正七角形をその通りに配置する

C．正七角形6つをドーナツ型(穴は凹十角形)に配置することを繰り返す
585 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/06(火) 16:49:37.19 ID:AfLu8Dgl.net]: いかにもテキトー感満載なんやけど
答えあんの？
586 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/06(火) 17:13:26.32 ID:ULAKsTRK.net]: >>563=>>564　?
587 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/06(火) 18:02:49.87 ID:2uhGwpQI.net]: >>565
>いかにもテキトー感満載
確か円筒に球を何個詰め込めるかって問題も
いかにもテキトー感満艦飾だけど
世紀の難問として研究されてたらしいが
588 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/06(火) 18:04:16.67 ID:sbS+zP1I.net]: 答えはある
綺麗な解き方があるかは知らない
563とは別人

本来は画像を3枚貼る予定だったけど何故か貼れなかったので仕方なく文章で説明したから問題のイメージが伝わってないかも
589 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/06(火) 19:31:35.35 ID:wecerQDv.net]: 解はあるやろ
そんなもん答え持ってるうちに入らん
ちゃんとexplicitに問いた答え持ってんのかつて話
590 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/06(火) 21:05:18.51 ID:sbS+zP1I.net]: 作図して概算で解いたので正確な計算はしてない
だから記号を選ぶだけの当てずっぽうでも1/6で当たる形式にした
591 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/06(火) 21:15:32.69 ID:ULAKsTRK.net]: 自力で解けない出題禁止なんですが
592 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/06(火) 21:39:54.47 ID:yzJ8joL6.net]: 尿瓶臭い
お前に数学は無理
593 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/06(火) 22:03:34.74 ID:sbS+zP1I.net]: 概算で解くことは自力で解いたことにならないの？
594 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/06(火) 22:06:40.50 ID:8PI/3n9X.net]: なぜダメだと言われてるのかわからないのがお前の限界なんだよ
スレ荒れるから消えてくれ
595 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/06(火) 22:16:53.03 ID:sbS+zP1I.net]: 正直全くわからない
充填率を求めよという問題なら正確に算出する必要があるので酷い問題だが、大小を比べよという問題なのだから概算で求めても全く問題ないと思う

迷惑だったようなので消える
596 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/06(火) 22:49:32.34 ID:6Wc3yfES.net]: 「√7^√8と√8^√7のどちらが大きいか答えよ。ただし出題者は概算で解きました」
597 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/07(水) 11:11:56.13 ID:b/tlZD3t.net]: e^7>(3^7/10)^7>1046>2^10　log2<7/10
7^5=16807　2^14=16384　7^5/2^14=1+423/16384
log(7^5/2^14)=log(1+423/16384)>423/16384-(423/16384)^2/2
598 名前：>1/40 5log7>14log2+1/40=14log2+7/10/28>14log2+log2/28=393/28*log2 log7/log8>(393/28)/3/5=131/140>√(7/8) []: [ここ壊れてます]
599 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/07(水) 11:28:29.23 ID:4DuQ/wjh.net]: だから自分に合わない問題なら反応しなけりゃいいのにって…
600 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/07(水) 12:21:31.50 ID:sKLo6Z1A.net]: 解答ない問題は迷惑
601 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/07(水) 13:08:14.74 ID:b/tlZD3t.net]: >>570のだからの意味が分からん
602 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/07(水) 13:12:06.99 ID:74CDODrX.net]: >>577

>>576は例えだから考えなくていい
603 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/07(水) 13:47:28.16 ID:Nzx3H1hl.net]: 未解決問題の完全解決は「ありがためいわく」らしい
604 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/07(水) 14:39:15.76 ID:h7I37Yvy.net]: >>581
それにしては良い問題
√ 7<e<√8
でびみょーン
605 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/07(水) 14:54:00.74 ID:pte5stk/.net]: >>582
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1681098776/
606 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/07(水) 17:17:13.06 ID:4DuQ/wjh.net]: 人の力量推し量れるぐらいに数学できるなら例の問題が
「計算や評価は面倒そうだが最終目的が大小評価だから、
解答が用意されているかどうかとは独立に、どんなに汚くなろうが力ずくで解くことは可能」
な類いであることは想像できるでしょうに

その上で「解答無いならやーめた」以上の中傷する必要がどこにあるのさ
身を引くこと覚えてよ
607 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/07(水) 17:23:13.27 ID:sKLo6Z1A.net]: なぜ尿瓶のこういう「こんな問題作ってみました」がダメなのかわからんアホが尿瓶本人以外にもいるんやな
尿瓶はまぁ数学の勉強した事ないからしょうがないとしても、数学ちょっとでも齧ってこんな尿瓶レベルの書き込みするやつはもう全く見込みがない
608 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/07(水) 19:03:48.05 ID:4DuQ/wjh.net]: はいでた「〇〇がわからないようじゃ」構文
そうやって >>88 でもうまいこと短く言い返した気になってたんでしょ知ってる
「見込み」って言葉も好きよねあなた
問題が面白いかどうかなんて人によるのにさあ
しつこく連投してる訳でもあるまいに、このスレに投稿するために何の「見込み」が必要だって言うんだよ？
そんな自分の好みや「レベル」に達してる投稿以外受けつけない閉鎖的な場所にしたい？
609 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/07(水) 19:13:14.51 ID:yV+3bXi9.net]: [定理]
平方数と立方数にはさまれた
唯一の数は26である

[証明]
k,l,m,n,xは自然数，klmnx≠0とする

x^3-(x+k)^2=2…‥①
x^3-x^2-k^2-2kx=2
x^3-x^2-k^2=2kx+2
x^2(x-1)-k^2=2(kx+1)…‥②
x^2(x-1)/2-(k^2)/2=kx+1…‥③

②より、kは偶数，kx+1は奇数

③より、
x^2(x-1)/2は奇数
x^2は奇数，(x-1)/2も奇数
したがって,(x-1)は奇数の二倍
つまり、xは4の倍数-1

x=4n-1，k=2mとおく
x^3-(x+k)^2=2…‥① に代入

(4n-1)^3-(4n-1+2m)^2=2 から、
m^2+m(4n-1)-16n^3+16n^2-5n=-1
m^2+m(4n-1)=16n^2(n-1)+5n-1
m(m+4n-1)=16n^2(n-1)+5n-1…‥④

④より、
右辺はnが偶数のとき奇数
左辺は常に偶数
したがってnは奇数
つまり、xは8の倍数-5 となる

x=8l-5，k=2mとおく
x^2(x-1)/2-(k^2)/2=kx+1…‥③ に代入

(8l-5)^2(4l-3)-2m^2=2m(8l-5)+1
(8l-5)^2(4l-3)=2m^2+2m(8l-5)+1
(8l-5)^2(4l-3)=2m(m+8l-5)+1
(8l-5)^2={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)
64l^2-80l+25={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)
16l(4l-5)+25={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)
{2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)-16l(4l-5)=25…‥⑤

⑤は、l=m=1のとき、
原始ピタゴラス数の等式
3^2+4^2=5^2を満たす

つまり⑤は、
l=1，m=1しか解が存在しない
l=m=1を、x=8l-5，k=2mに代入

∴整数解は、k=2,x=3
610 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/07(水) 19:52:39.70 ID:pZ9CyWCO.net]: >>587
やっぱりお前尿瓶級だよ
何年か数学は勉強したのかもしれんが金ドフに捨てただけだったんだな
611 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/07(水) 20:14:47.82 ID:4DuQ/wjh.net]: >>589
いよいよ言葉の勢いが加速してきたね、見てて面白い
内容に反論できないからかレッテル貼りや中傷以外のレス見ないもんね君から

存在すらも気づかないくらい君の内面にべったりこびりついた必然性のない「べき論」に君はいつ気がつくのかなあ
612 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/07(水) 22:29:01.86 ID:5w2xptf/.net]: >>590
じゃあ尿瓶の問題解いてやれば？
カス同士仲良くなる
613 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/07(水) 22:35:35.21 ID:4DuQ/wjh.net]: >>591
君が尿瓶と呼んでいそうな人の問題はnot for meだから触れてないだけなんだけど
何で私が解かなきゃならない？

何度も言ってるよね「自分が面白いと思わなければ言及しなければいい」って
あまりに目につくぐらい連投するようになったらそこで手を打てばいい
レス消費したらまた新しいの作ればいい

きっと君の中ではいつま何かがつっかかって
ついつい自分の都合の悪い投稿にはレスせずにはいられないみたいだけど
いつになったらその肝の部分を説明してくれるかなあ
614 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/07(水) 22:47:20.79 ID:5w2xptf/.net]: 何度言っても同じ
お前が書いてる内容でお前の数学力は透けて見えるわ
何より“数学という学問そのもの”に対する哲学がポンコツすぎて話にならんわ
解けやポンコツの問題ポンコツどうして仲良く傷舐め合っとけカス
615 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/07(水) 23:39:27.45 ID:ckrtvwtB.net]: そもそもこの人出題者じゃないよね？
616 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/07(水) 23:59:09.73 ID:4DuQ/wjh.net]: ……もういいや、言うこと同じだしあまり続けても荒らしになる

んじゃお口直しに簡単めの問題（過去に同じの出してたら申し訳ない）
□□
□□□
↑この形のパネルを縦7×横15の長方形に隙間、はみ出し、重複無く敷き詰めることは可能か。
回転、反転はアリ。□は一辺1の正方形とする
617 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/08(木) 01:45:52.35 ID:WXs3lpAq.net]: Ω⊂R^2をコンパクト集合とする

argmax{d(x,∂Ω) | x∈ Ω}の2次元ルベーグ測度は必ず0か？

ただし、d(x,∂Ω)は、点xからΩの境界∂Ωまでの距離、
min{|x-y| | y∈Ω}のこととする
618 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/08(木) 03:31:34.51 ID:CIWDTy7u.net]: argmax？
619 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/08(木) 03:48:17.86 ID:WXs3lpAq.net]: >>597
argmaxはmaxを達成する元を集めた集合のことです

今回の場合は、M := max{d(x,∂Ω) | x∈Ω}として、
{y∈Ω | d(y,∂Ω) = M}のことです
620 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/08(木) 04:02:12.92 ID:H0CD3gW2.net]: あああえくくけけけせせつててて
ああええくくけけすせせつつてて
いいええくこここすすせつつとと
いいおおききここすすたたたとと
いうおおきききししそたたちとな
ううおかかささししそそちちなな
ううかかかさささしそそちちなな
621 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/08(木) 05:01:02.71 ID:042Oya+0.net]: m = max{ d(x,∂Ω) }
A = { x∈Ω | d(x,∂Ω) = m }
とおき、μ(A) > 0と仮定する
Lebesgue の密度定理よりa∈Aで
lim[t→0] μ(A∩Bₜ(a))/μ(Bₜ(a)) = 1
がa.e a∈Ωで成立する
特にそのようなaを必ず取ることができる
このときb∈∂Ωをa∈∂Bₘ(b)ととることができる
このときint(Bₘ)の点pにおいてはd(p,b) < mとなり特にpはAに属さない
よってA∩Bₘ(b) = Φである
一方で十分小さいe>0に対してμ(Bₑ(a)∩Bₘ(b))>1/4μ(Bₑ(a))である
よって
622 名前：特にμ(Bₑ(a)＼Bₘ(b))≦3/4μ(Bₑ(a))であるからμ(A∩Bₑ(a))≦3/4μ(Bₑ(a))となるがこれはaの取り方に矛盾する []: [ここ壊れてます]
623 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/08(木) 06:41:51.77 ID:phnTwAJa.net]: >>599
不可能系かと思ったら出来るんかいw
624 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/08(木) 08:11:09.71 ID:C/3a+m9T.net]: >>599
うおっ早い、正解です

以前出した縦5×横奇数が不可能であることを示すやつ絡みで
ギリギリNGにならないサイズでどうなるかを問う問題でした
625 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/08(木) 09:09:45.79 ID:pFXqv4En.net]: これは可能であるのがいつか完全に決定されてるやつですか？
626 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/08(木) 09:50:41.61 ID:NfC5ZdCg.net]: 長方形だけなら決定されてる、というかできるはず
今軽く確かめてみたけど可能パターンの構成も
不可能パターンの証明もそんなに難しくないし、規則性もわかりやすい
627 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/08(木) 11:47:38.72 ID:uL3vuZMi.net]: 答え見てどうやってこんなの思いつくの系

x∈ℂとk∈ℕ∪{0}に対して
(x)ₖ = x(x+1)(x+2)...(x+k-1)
とする(名前忘れたけど何とか記号)
c, a+b-c-n+1が非負整数でなく、nが非負整数のとき
Σ[k=0,∞](a)ₖ(b)ₖ(-n)ₖ/( a+b-c-n+1 )ₖ
= (c-a)ₙ(c-b)ₙ/( (c)ₙ(c-a-b)ₙ )
を示せ

(注意) まず思いつかないと思います
知らないと無理なやつです
でも数学を愛する者は無理と言われても挑戦する生き物だと思います
628 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/08(木) 13:18:21.38 ID:7hqDHWvz.net]: >>605
a, b, cの範囲は複素数？
629 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/08(木) 13:30:00.32 ID:AuST1Udv.net]: factor(
1*1*1/1/1
-3*a*b/c/(a+b-c-2)
+3*a*(a+1)*b*(b+1)/c/(c+1)/(a+b-c-2)/(a+b-c-1)
-1*a*(a+1)*(a+2)*b*(b+1)*(b+2)/c/(c+1)/(c+2)/(a+b-c-2)/(a+b-c-1)/(a+b-c)
)

((- b + c) (- b + c + 1) (- b + c + 2) (- a + c) (- a + c + 1)

(- a + c + 2)) / ((- a - b + c + 1) (- a - b + c + 2) (- a - b + c)

(c + 1) (c + 2) c)
630 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/08(木) 13:38:45.73 ID:ZmNBeJUm.net]: >>606
はい、問題文にある例外を除く複素数です
631 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/08(木) 13:40:01.66 ID:AuST1Udv.net]: factor(
1*1*1/1/1/0!
+a*b*(-3)/c/(a+b-c-2)/1!
+a*(a+1)*b*(b+1)*(-3)*(-2)/c/(c+1)/(a+b-c-2)/(a+b-c-1)/2!
+a*(a+1)*(a+2)*b*(b+1)*(b+2)*(-3)*(-2)*(-1)/c/(c+1)/(c+2)/(a+b-c-2)/(a+b-c-1)/(a+b-c)/3!
)

((- b + c) (- b + c + 1) (- b + c + 2) (- a + c) (- a + c + 1)

(- a + c + 2)) / ((- a - b + c + 1) (- a - b + c + 2) (- a - b + c)

(c + 1) (c + 2) c)
632 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/08(木) 13:54:15.61 ID:YL+fO1D7.net]: ガンマ関数のにおいがプンプンする
633 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/08(木) 17:02:28.78 ID:29eNVYCi.net]: >>573
コンピュータにやらせるのを自力って言うの？
634 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/08(木) 18:07:28.74 ID:2d3l+15K.net]: 自力でコンピュータにやらせる
635 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/08(木) 22:43:15.41 ID:mPPV7WOr.net]: コンピュータとはどこにも書いてないから暗算で解いた説
636 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/09(金) 17:02:47.43 ID:jIRTZCzs.net]: >>600
素晴らしいお見事正解です
637 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/10(土) 22:34:26.98 ID:GOc7/LHm.net]: >>605
まぁコレノーヒントでは絶対無理なやつです
そもそもコレ「こんなん思いつかん、なんとかならんのか」と今も“New proof”みたいな論文が出てるやつなので
概略書いとくので挑戦して見てください

(1) まずEulerの積分表示
₂F₁(a,b,c;z)
= 1/B(a,c-a)∫[0,1]xᵃ⁻¹(1-x)ᶜ⁻ᵃ⁻¹(1-zx)⁻ᵇdx
を示す
(2) (1)を用いて
・(Gauss's summation theorem)
₂F₁(a,b,c;1)
= Γ(c)Γ(c-a-b) /( Γ(c-a)Γ(c-b) )
・(Pfaff's transform )
₂F₁(a,b,c,z) = (1-z)⁻ᵃ₂F₁(a,c-b,c,z/(z-1))
・(Euler's transform )
( 1-x )ᵃ⁺ᵇ⁻ᶜ₂F₁(a,b
638 名前：;c;x) = ₂F₁(c-a,c-b;c;x) を示す (3) Euler's transform ( 1-x )ᵃ⁺ᵇ⁻ᶜ₂F₁(a,b;c;x) = ₂F₁(c-a,c-b;c;x) のn次のMaclaurin展開の n次の係数×k!/(c-a-b)ₙ を計算 右辺のそれは (c-a)ₙ(c-b)ₙ/( (c)ₙ(c-a-b)ₙ ) となる事は自明 左辺のそれが ₃F₂(a,b,-n; c,1+a+b-c-n;1) になる事を示す []: [ここ壊れてます]
639 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/10(土) 23:18:53.09 ID:eMrrLAi7.net]: 左辺の分母にcがなくて右辺の分母にcがあるんだから成り立つわけない
640 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/10(土) 23:23:42.01 ID:ZsbUuNGT.net]: アレ？
書き損じてるかな？
どの式ですか？
641 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/10(土) 23:27:30.45 ID:ZsbUuNGT.net]: ちなみにもう隠すのも面倒なので公式は

₃F₂(a,b,c;d,e;z)
= Σ[k=0,∞] (a)ₖ(b)ₖ(c)ₖ/( (d)ₖ(e)ₖk! ) zᵏ

とした時の
₃F₂(a,b,-n; c,1+a+b-c-n;1)
= (c-a)ₙ(c-b)ₙ /( (c)ₙ(c-a-b)ₙ )
です
642 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/10(土) 23:31:16.40 ID:ZsbUuNGT.net]: 今見返して見たけど全部左辺の分母cあると思うけど？
643 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/11(日) 03:05:22.91 ID:QDhkbxgs.net]: >>602
5×奇数が不可能の証明はどれくらいしんどいんですか？
644 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/11(日) 06:30:00.85 ID:UWZZjvLk.net]: 1+ab(-1)/(a+b-c)=(ab-a-b+c)/(c-a-b)=(abc-ac-bc+c^2)/(c(c-a-b)).

(c-a)(c-b)/(c(c-a-b))=(ab-ac-bc+c^2)/(c(c-a-b)).
645 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/11(日) 07:41:12.69 ID:5Pa/8xB3.net]: n=1のときは

LHS
=₃F₂(a,b,-1; c,1+a+b-c-1;1)
= 1 + ab(-1)/( c(a+b-c) )
= (c(a+b-c) - ab)/( c(a+b-c) )
= ( -c²+(a+b)-ab)/( c(a+b-c) )
= (c-a)(c-b)/( c( c-a-b)
= RHS
646 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/11(日) 09:10:12.45 ID:kWaN+X5j.net]: >>620
気づけばかなり簡単に解ける、ただ気づかなくとも確か過去スレで誰かがやってたみたいに
プログラミングで言うところの動的計画法のような方法で力ずくで解くことも可能
647 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/11(日) 09:15:11.16 ID:XQjhZOeR.net]: >>623
気づけば簡単の方おながいします
自分の証明はあげたら2、3レスかかるスレ汚しにしかならないやつでしかないのであげるのやめときます
もうそろそろ模範解答上がっていい頃ではないでしょうか？
648 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/11(日) 12:51:43.90 ID:7q5WBCiX.net]: >>624
□□□□□
□■□■□
□□□□□
□■□■□
□□□□□
……………
□□□□□
□■□■□
□□□□□
5×(2n+1)の長方形の一部を上のように規則的に塗ると、
敷き詰められたどのパネルも１つ以上の塗られた■を覆うことになる
■の個数は2nであるから、長方形に敷くことができるパネルの個数は2n以下でなければならないが、
これでは面積 5(2n+1) の長方形を覆いきることは不可能。
649 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/11(日) 13:16:59.75 ID:iPjr8RkU.net]: >>625
なるほろ、素晴らしい
650 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/12(月) 08:19:11.82 ID:7YO3SYBm.net]: >621 は >605 で >622 は >618 だから別の問題
651 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/12(月) 09:29:42.84 ID:5V8L4ijV.net]: あぁ、確かに分母に(c)ₖとk!抜けてるわ
元ネタはPfaff-Saalschütz Theoremで別スレで出てたから出した、示すべき式は

₃F₂(a,b,-n; c,1+a+b-c-n;1)
= (c-a)ₙ(c-b)ₙ /( (c)ₙ(c-a-b)ₙ )

ただし

₃F₂(a,b,c;d,e;z)
= Σ[k=0,∞] (a)ₖ(b)ₖ(c)ₖ/( (d)ₖ(e)ₖ k!) zᵏ

証明は色々あるようです、new proofとかelementary proof とかもっといい方法ないかと今も話題になる定理
ひとつは上の方で書いた奴
色々準備がいるけどそれらの準備もこの辺の話で重要なやつばっかりで面白いのでやってみて下さい
652 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/12(月) 15:44:45.79 ID:loEIwldi.net]: これはどうだ

0=∞=1
653 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/15(木) 00:55:02.83 ID:awGKodij.net]: 半径1の円内に、交わりのない二つの図形A,Bを描く
このとき、
(Aの境界の長さ)÷(Aの面積) + (Bの境界の長さ)÷(Bの面積)
の最小値を求めよ.
654 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/15(木) 01:11:04.82 ID:x705moPX.net]: 最大最小値を求めよって問題、それを解く必然性が感じられない問題はつまらないよね。
655 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/15(木) 08:33:04.65 ID:Rtk3XKJn.net]: そうかね？素人的には>>630は面白そうだけど
いや俺には解けないけどね
656 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/15(木) 10:28:37.12 ID:LwZ1L6lJ.net]: てか同じような問題、前に出た記憶
657 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/19(月) 15:37:05.99 ID:RX208XEC.net]: 出てた記憶はあるけど何スレ目だったかな
結構前だった気がする
658 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/21(水) 02:25:22.78 ID:wn/367VJ.net]: 機体トラブルで酸欠状態に
僅か１０分しかなく、必死で家族が待つ地球へ戻ろうとする様を描いています。
想像してみてください。//youtu.be/oWs3yvVADVg
659 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/21(水) 19:33:51.73 ID:UUjJzsky.net]: [0,1]区間上のリプシッツ連続関数列{f_N}およびfについて、

直線x=0,x=1およびグラフy=f_N(x)とグラフy=f(x)が囲う領域の面積が0に収束することを面積収束(L^1収束)と呼ぶ.

また、グラフy=f_N(x)の弧長がグラフy=f(x)の弧長に収束することを弧長収束と呼ぶ.

(1)f_Nがfに一様収束しているならば、面積収束しているか？

(2) f_Nがfに一様収束しているならば、弧長収束しているか？

(3)f_Nがfに面積収束していてかつ弧長収束しているならば、一様収束しているか？
660 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/21(水) 20:14:57.52 ID:LpGKB/Tf.net]: 6.30857969452464
661 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/21(水) 21:16:45.37 ID:T/SaKvjO.net]: >>636
弧長収束って収束概念になってないじゃないか
662 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/21(水) 21:24:27.64 ID:6LOQdlxs.net]: >>638
もちろん何か位相があってそれに伴った収束概念ではないですが(もしかしたら関数空間に適切な同値関係を入れたら正当化出来るかも？)、弧長という実数が収束するという事に単に呼び名を付けただけという事でお願いします
663 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/21(水) 22:03:48.60 ID:T/SaKvjO.net]: 解答なしの投げっぱなし問題と推測する
664 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/21(水) 22:07:38.08 ID:6LOQdlxs.net]: >>640
解答は普通にあります
665 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/22(木) 01:51:15.32 ID:A5vGvYrh.net]: >>636
fもリプシッツ連続？
666 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/22(木) 10:46:38.47 ID:wtuRvVDS.net]: >>642
すみません、記載してませんでしたがfもリプシッツ連続関数です
667 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/22(木) 13:04:26.39 ID:uug7bkV1.net]: ヘルダーだけだと反例とかが作れる？
668 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/22(木) 17:36:01.28 ID:ctQAVZ4/.net]: >>644
そもそもリプシッツ条件にしたのは、グラフの弧長を定義出来るという意味でしかないので、関数の滑らかさの条件はあまり本質的じゃないですね
669 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/22(木) 18:36:38.41 ID:DpNBsEi0.net]: あまりはっきりしない答えだな
670 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/22(木) 22:12:41.90 ID:VLSUuA2H.net]: 連続ではないが弧長が定まる場合とかは除外してるのね
671 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/23(金) 13:20:22.53 ID:wk2EqNea.net]: ∀ε>0 ∃δₙ>0 ∀|x-y|<δₙ | fₙ(x) - fₙ(y) | < ε

このδₙはnに無関係にとれるは仮定してはダメなん？
672 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/23(金) 17:07:38.74 ID:ydzI7L6Z.net]: >>636
yes no yes
最後はあんま自信ないが
673 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/24(土) 12:33:33.39 ID:Cwy7RbmW.net]: >>646
すみません　どんなヘルダーでもいい訳ではないですね
答えるとαが2以上のαヘルダーならおkのはずです

>>647
とりあえずそういう追加条件無しで解けます
674 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/24(土) 12:34:25.90 ID:Cwy7RbmW.net]: >>649
実はこれで正解�
675 名前：ﾈんですが証明もお願いします []: [ここ壊れてます]
676 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/24(土) 12:36:22.94 ID:Cwy7RbmW.net]: (3)のヒントとしては、関数解析でよく使われる不等式を使います
677 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/24(土) 12:37:13.92 ID:Cwy7RbmW.net]: >>650
>>647へのレスではなくて>>648へのレスでした
678 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/24(土) 12:39:56.49 ID:Cwy7RbmW.net]: >>650
間違えましたαが1以上でした
679 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/24(土) 12:45:15.35 ID:Cwy7RbmW.net]: リプシッツ以上になるので当たり前っちゃ当たり前でしたね
680 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/24(土) 16:02:49.62 ID:xOJSX+PL.net]: とは言われても関数解析なんか勉強した事ないから“よく使われる不等式”なんて言われてピンとくるもんないな
と言うか関数解析なんか不等式だらけやん
681 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/24(土) 16:12:52.91 ID:xOJSX+PL.net]: てか滑らかさの仮定がないなら長さは∫√(1+(f'(x))²dxではないんやな
長さの定義は何？
682 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/24(土) 16:25:58.18 ID:+r1V2edI.net]: >>657
リプシッツ連続であれば弱微分が定義できるので
その積分の定義で問題無いです
683 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/24(土) 16:59:03.82 ID:tYRlrUP8.net]: A君とB君で、３×３のマスでビンゴゲームを行う

（i）最初に揃った列が中心のマスを通っていればA君の勝ち
(ii)最初に揃った列が正方形の辺であればＢ君の勝ち
(i)と(ii)が同時に満たされた場合は引き分けとする

Ａ君とＢ君のどちらが有利か
684 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/24(土) 17:14:19.42 ID:bi55xTDo.net]: >>658
イヤ、弱微分って超関数の意味なんでしょ？
できたところでf'(x)を各点ごとに二乗して1足して√とるなんか無理やん
定義書いてください
685 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/24(土) 17:46:20.66 ID:6/zbwCDo.net]: 弧長収束とか言ってる馬鹿に構うな
どうせ用意した解答も間違っている
686 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/24(土) 18:09:31.93 ID:+BGgKnKc.net]: いや、普通に解けるし、問題設定も一般化できる。

問題の設定が本質を突いてない中途半端な状態なので、
>>661みたいに怪訝な顔をされるのは仕方がないが、もったいないな。
687 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/24(土) 18:13:46.93 ID:+r1V2edI.net]: >>660
f∈L^1について、任意のテスト関数φに対して
∫ fφ’ dx = -∫gφ dxなるg∈L^1が存在していれば、gをfの弱微分といいます　L^1関数は「ほとんんど全ての点で一致」という同値類で割っている
リプシッツ関数uはほとんど全ての点で微分可能だから弱微分関数u’は一意的に定義出来る(ほとんど全ての点で一致ならば同値のため)

なので積分∫√(1+u’(x)^2)dxは問題なく定義出来ます

>>661
弧長収束の呼称だけで馬鹿と決めつけるのはあまりに狭量な考えでしかない
そもそも弧長という「実数列」が収束している
あと例え何か位相に伴った収束でなくとも、「～収束」という概念は普通に数学界に存在する

普通に君は失礼なので私の解答がもし正しければ全力で謝ってください
688 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/24(土) 18:27:55.27 ID:+r1V2edI.net]: リプシッツじゃなく、普通にC^1にすれば混乱しなかったのかな？
689 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/24(土) 18:59:21.41 ID:+BGgKnKc.net]: 俺が解いたときの弧長の定義は

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%A7%E9%95%B7

これを採用した。

L(C)＝sup_{…}Σ[i＝0～n－1] d(f(t_i),f(t_{i＋1))

と書いてあるやつね。積分による計算は、普通はこの定義から導出されるので、
積分の方で定義しちゃうのは一般性が低くなるだけ。
690 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/24(土) 19:00:09.97 ID:bi55xTDo.net]: >>663
「リプシッツ関数がほとんどの点で微分可能だから長さが定義できる」
と
「弱微分は定義できるので長さが定義できる」
は話し全然違うやん？
少なくとも後者は嘘やん
691 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/24(土) 19:05:17.84 ID:bi55xTDo.net]: ともかくwikipediaのソボレフ空間の項やリプシッツ関数の項に書いてあるページで使えそうな奴って本問題のいわゆるリプシッツ定数が一様に有界である事を仮定してるんだけど、その仮定なくて成立するの？
692 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/24(土) 20:30:07.24 ID:+BGgKnKc.net]: >>636の(3)を一般化した問題を出題してみる。まずは準備から。

定義(閉区間の分割の定義)
Rの有界閉区間 I＝[a,b] を任意に取る。m≧1 として、点列 {t_i}_{i＝0～m} が
a＝t_0≦t_1≦t_2≦…≦t_m＝b を満たすとき、{t_i}_{i＝0～m} のことを I の分割と呼ぶ。
Iの分割全体の族を M_I と表記し、M_I の元のことを Δ と表記する。
Δ＝{t_i}_{i＝0～m}∈M_I に対して、|Δ|：＝max{t_{i＋1}－t_i｜0≦i≦m－1} と置く。

定義(全変動の定義)
(X,d)は距離空間とする。写像 f:[0,1]→X と [a,b]⊂[0,1] とΔ＝{t_i}_{i＝0～m}∈M_{[a,b]} に対して

f(Δ)：＝Σ[i＝0～m－1]d(f(t_i),f(t_{i＋1}))

と定義する。そして V_f([a,b])：＝sup{ f(Δ)｜Δ∈M_{[a,b]} } と定義する。
V_f([a,b]) は＋∞を込めて [0,＋∞] の中に必ず値が定まることに注意せよ。
V_f([a,b]) のことを、fの[a,b]上での全変動と呼ぶ。
V_f([a,b])＜＋∞ のとき、f は [a,b]上で有界変動であると呼ぶ。
693 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/24(土) 20:32:25.81 ID:+BGgKnKc.net]: 定義(ある種の収束性の定義)
(X,d)は距離空間とする。a＜b は実数とする。
写像 f_n：[a,b]→X (n≧1)と写像 f：[a,b]→X は、次の条件を満たすとする：

・任意の狭義単調増加な正整数の列 {n_k}_{k≧1} に対して、
　ある狭義単調増加な正整数の列 {k_l}_{l≧1} と、
　 [0,1]上で稠密なある A⊂[0,1] が存在して、A上の各点収束の意味で
　 lim[l→∞] d(f_{n_{k_l}}(a),f(a))＝0 (∀a∈A) が成り立つ。

全く同じことだが、次が成り立つとする：

・ f_n の任意の部分列 f_{n_k} に対して、その更なる適切な部分列 f_{n_{k_l}} と
　 [0,1]上で稠密なある A⊂[0,1] が存在して、A上の各点収束の意味で
　 lim[l→∞] d(f_{n_{k_l}}(a),f(a))＝0 (∀a∈A) が成り立つ。

この条件を満たすとき、f_n ＝＞ f in [a,b] と書くことにする。
694 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/24(土) 20:34:18.53 ID:+BGgKnKc.net]: 準備は以上。ここからが問題。

問題1
(X,d) は完備な距離空間とする。写像 f_n,f：[0,1]→X は

・ f_n ＝＞ f in [0,1],
・ f は[0,1]上で連続

を満たすとする。このとき、[0,＋∞] の中で
liminf[n→∞] V_{f_n}([0,1]) ≧ V_f([0,1]) が成り立つことを示せ。

問題2
(X,d) は完備な距離空間とする。f_n,f：[0,1]→X は

・ f_n ＝＞ f in [0,1],
・ f は[0,1]上で連続,
・ V_f([0,1])＜＋∞,
・ lim[n→∞] V_{f_n}([0,1]) ＝ V_f([0,1])

を満たすとする。このとき、f_n は f に一様収束することを示せ。すなわち、
lim[n→∞] sup_{t∈[0,1]} d(f_n(t),f(t)) ＝ 0 が成り立つことを示せ。
695 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/24(土) 20:36:12.68 ID:+BGgKnKc.net]: 補足
X＝R^2 として、その距離関数 d は通常のユークリッド距離を採用する。
f：[0,1]→R に対して、g(t)：＝(t,f(t)) として g：[0,1]→ X を定めるとき、
V_g([0,1])∈[0,＋∞] が定まる。この V_g([0,1]) は、
xy平面上の y＝f(x) (0≦x≦1) のグラフを曲線として見たときの
「曲線の長さ」の定義そのものである。

また、f_n,f：[0,1]→R が L^1関数で lim[n→∞]∫[0,1]|f_n(t)－f(t)|dt＝0 を満たす場合には、
g(t)：＝(t,f(t)), g_n(t)：＝(t,f_n(t)) として g_n,g：[0,1]→ X を定めるとき、
g_n ＝＞ g in [0,1] が成り立つことが証明できる。

従って、上記の「問題2」は>>636の(3)の一般化になっている。
696 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/24(土) 20:59:15.37 ID:bi55xTDo.net]: 準備の段階からよくわからん

任意の部分列に対してある稠密なAが存在してA上各点収束

ならその“任意の部分列”に“全体”を適用してそれに対して“各点収束する稠密なA”がとれることになるけど、だったら最初から

ある稠密なAで各点収束してる

で終わりじゃないの？
697 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/24(土) 21:33:06.20 ID:+BGgKnKc.net]: >>672
全体である f_n そのものに対して条件を適用すると、
f_n のある
698 名前：部分列 f_{n_k} とある稠密な A が存在して、 f_{n_k} は A 上で各点収束することになる。 つまり、lim_k f_{n_k}(a)＝f(a) (∀a∈A) が成り立つことになる。 だからと言って、f_n 全体に対して lim_n f_n(a)＝f(a) (∀a∈A) が成り立っているわけではない。 []: [ここ壊れてます]
699 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/24(土) 21:46:13.49 ID:+BGgKnKc.net]: >>672
＞任意の狭義単調増加な正整数の列 {n_k}_{k≧1} に対して、
＞ある狭義単調増加な正整数の列 {k_l}_{l≧1} と、
＞[0,1]上で稠密なある A⊂[0,1] が存在して、A上の各点収束の意味で
＞lim[l→∞] d(f_{n_{k_l}}(a),f(a))＝0 (∀a∈A) が成り立つ。

今の場合、f_n 全体を適用したいので、1行目で任意に取ってよいとされている {n_k}_k には
n_k＝k (k≧1) という列を指定することになる(これで f_k 全体が適用対象になる)。

すると、ある狭義単調増加な正整数の列 {k_l}_{l≧1} と、
[0,1]上で稠密なある A⊂[0,1] が存在して、A上の各点収束の意味で
lim[l→∞] d(f_{n_{k_l}}(a),f(a))＝0 (∀a∈A) が成り立つ。
今の場合、n_k＝k だから、n_{k_l}＝ k_l であり、
よって lim[l→∞] d(f_{k_l}(a),f(a))＝0 (∀a∈A) が成り立つ。
つまり、f_k の部分列 f_{k_l} (k≧1) は A 上で各点収束する。

だからといって、f_k そのものが A上で各点収束しているわけではない。
700 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/24(土) 21:46:16.73 ID:47Ot2ibq.net]: なるほど、了解
701 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/25(日) 12:24:04.97 ID:VWtds/WD.net]: >>636
もしかしてこれ見て思いついた？
https://medaka.5ch.net/test/read.cgi/gaysaloon/1676014422/212

もしかして、あなたホモ？
702 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/27(火) 21:56:40.22 ID:FLDtTQTc.net]: C^∞級関数f:R→Rについて、n階微分の絶対値が必ず1以下で、f’(0)=1のとき、f(x)=sin xとなることを示せ.
703 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/27(火) 22:43:26.95 ID:oAH1DfZc.net]: f(x)=定数は？
704 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/27(火) 22:45:24.14 ID:oAH1DfZc.net]: あっ見間違えた恥ずかしい
705 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/27(火) 22:59:09.44 ID:FLDtTQTc.net]: nは任意ということでお願いします
706 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/27(火) 23:09:37.78 ID:01EkGoww.net]: >>676
えぇ…
それ見て思いついたらホモとするなら
それ知ってる676ｯﾁｬﾏもホモとなるじゃないか…
…なんだこれは…同好会員同士の邂逅じゃないか…
…たまげたなぁ…
707 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/27(火) 23:39:02.64 ID:SGQWWwVG.net]: >>677
最近Twitterで話題になってたな
論文ネタだったと思うけど簡単に示せるんだろうか
708 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/28(水) 02:39:11.70 ID:OIQ2QHGQ.net]: 任意は0以上だよね？
709 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/28(水) 08:13:59.73 ID:RUPZS2qa.net]: >>683
0以上ですね
710 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/28(水) 08:58:24.11 ID:RUPZS2qa.net]: >>682
向こうはn階積分の有界性を課しますが、こちらは課しません

でもヒント無いとさすがにシンドイので流れを言います

・fは正則関数F:C→Cに拡張出来ることを示す

・a∈(-π/2,π/2)として、複素関数F(z)/((z-a)^2 cos(z))
に対して留数定理を使い、
(d/dz) F(z)/cos(z) |_(z=a) = Σ_(k=-∞)^∞ (-1)^k F(kπ+π/2)/(kπ+π/2-a)^2
を示す
711 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/28(水) 09:23:48.85 ID:caZV8++p.net]: え？n階微分が全部有界じゃないの？
712 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/28(水) 09:26:36.20 ID:caZV8++p.net]: イヤ、零点が周期的を示すとこがミソちゃうの？
そこのヒントじゃなかつたらヒンになってない
713 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/28(水) 09:40:37.92 ID:gowAFZ9l.net]: >>686
n階積分「も」ですね
向こうはn階積分およびn階微分の一様有界性を課してますが
こちらは積分の一様有界性はいりません

>>687
多分それは別の証明法じゃないですか？
714 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/28(水) 10:29:24.72 ID:BdEx9z/K.net]: 元の証明法というのがなにかはわからないけどそもそもテイラーの定理

f(x) = Σ[0～n-1]f⁽ᵏ⁾(0)/k!xᵏ + f⁽ⁿ⁾(θ(x)x)/n!xⁿ ∃θ(x)∈(0,1)

から全ての階数の微分の絶対値が1以下なら実解析的まで自明やん
なので整関数までは当たり前
なので因数分解定理零点の位置で決まる
それが周期的にしか現れ得ない事の証明をどうするかじゃないの？
715 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/28(水) 10:35:10.65 ID:gowAFZ9l.net]: >>689
もちろん解析級なの�
716 名前：ﾍすぐに導けます でもその先の証明は>>685の留数定理から導ける命題により、零点関係なく示せます []: [ここ壊れてます]
717 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/28(水) 10:56:58.30 ID:/9YrhXnx.net]: そう、実解析的までほぼ自明なのに
「まず複素平面に拡張可能であるのを示せます」
とかいみ不明
いちびってるとしか思えん
718 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/28(水) 11:09:55.54 ID:gowAFZ9l.net]: >>691
重要なのは>>685の2番目の命題

あなたは慣れているから要らないのかもしれないけど、整関数であるコメントをして、複素積分しても大丈夫という確認をしているという意味合いに過ぎない
719 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/28(水) 11:12:17.47 ID:2nKmPUtA.net]: 出典教えてくれ
君みたいな出し惜しみする人と対話したくない
720 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/28(水) 11:12:20.31 ID:gowAFZ9l.net]: 配慮のつもりなのに、「いちびってる」は心外だなあ
721 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/28(水) 11:15:14.78 ID:gowAFZ9l.net]: あんまり自分の考え、視野が他の人でもそうだと思わない方がいいよ
>>693
このスレの住民はあなただけじゃないでしょ
私はあなただけに対して出題してるつもりはないです
722 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/28(水) 11:18:16.75 ID:WmZvbn86.net]: スルーしとけ
723 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/28(水) 12:38:51.04 ID:Cu14/wER.net]: 対話したくないならしなければいいのに
724 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/28(水) 12:42:28.24 ID:2nKmPUtA.net]: >>695
出典は？他の話は要らない
725 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/28(水) 12:54:16.62 ID:44xLiPCs.net]: >>686の考えはおそらくこうだろ

この手の問題は零点の周期性を示す問題のはずだ！(←この時点で己の考えに固執しきっていて頭悪い)
なのに出されたヒントは零点の周期性からほど遠い！
だからコイツは証明を理解してないか、意地悪をしているはず！
出典だけよこせ！対話したくない！
726 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/28(水) 13:22:31.14 ID:BdEx9z/K.net]: なんか知らんけどオレと誰か別の奴混同してる奴いるな
想像力逞しいのはいい事かもしれんけど
727 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/28(水) 13:48:16.89 ID:ZIo9PLoO.net]: サインコサイン関数は微分方程式から定義するやり方が循環論法にならずに済み、それで零点の存在も言える。
728 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/28(水) 14:21:20.94 ID:gowAFZ9l.net]: >>696
了解です

とりあえず言えることは>>685さえ認めてしまえば、
あとは高校数学レベルの知識で解けます(最後一致の定理使うのでそれ以外は)
729 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/28(水) 14:29:15.13 ID:gowAFZ9l.net]: それにしても本質的にはただ任意階の微分の一様有界性しか課していないのに、それが三角関数にしかならないというのは個人的には直感に反する不思議な命題

リウヴィルの定理とかに通ずるものがありそう
730 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/28(水) 15:39:12.85 ID:JHPhmOve.net]: ヘルダー空間の言葉で書くなら
C^(∞,0)(R)={a*sin(・)+b | a,b∈R}ってことかな
もっと言えば
C^(∞,0)(R)～R^2
731 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/28(水) 15:53:14.65 ID:47jqTt0B.net]: 絶対値1以下の幅に対してf'(0)をピッタリ1と定めてるのもミソなのかな
絶対値を2以下にまで広げたりf'(0)の制約を取っ払ったりした途端解がブワッと増えそう
732 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/28(水) 20:16:06.11 ID:okd6BWj4.net]: ちょっと実軸から上げた線上と下げた線上での∫F(z)/(cos(z)(z-a)²)dzが死んでくれないなぁ
733 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/28(水) 21:09:37.60 ID:TjSLEQNa.net]: >>705
少なくとも任意微分の一様有界性だけの条件だと
Σ[k=1,N] a[k]*sin(b[k]x) + a[0]
(|b[k]|≦1) みたいな関数は全部okになってしまうな
734 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/28(水) 21:25:37.25 ID:Wlz ]: [ここ壊れてます]
735 名前：bTzJH.net mailto: いわゆる因数分解定理のexp(pz+q)のパートのpの虚部の絶対値が1以下を示せばいいはず []: [ここ壊れてます]
736 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/28(水) 22:02:44.41 ID:yF6bKD5J.net]: g(x)がL²(ℝ)、そのFourier変換をh(x)とする
gⁿ⁾(x)が有界→supp h(x)⊂[-1,1]とか言えないもんかな
737 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/28(水) 23:06:59.91 ID:CKYIxa7x.net]: >>693みたいな人昔はこのスレにはいなかったよね
すぐ出典教えろだの答え教えろだの言う人
738 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/28(水) 23:22:29.48 ID:/TtVPQ72.net]: >>677
0階微分も？
739 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/28(水) 23:26:22.06 ID:/TtVPQ72.net]: あ0もか
740 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/29(木) 00:56:10.84 ID:nbKTkCrm.net]: >>685のヒントは左辺-右辺が
1/(2πi)∫[Γ]f(z)/(z-a)²cos(z))dz
ただし積分路は-∞-i→∞-iと∞+i→-∞+iの合併とやるんだろうけどそこからがわからん
もちろんこの積分値が0である事を示したいわけで積分路を+i∞と-i∞の方に離していくんだろうけどその時のf(x)の発散がexp(imz)で抑えられる事を示さんといかん
それをf⁽ⁿ⁾(x)の有界性から示すんだろうけどそこからわからん
741 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/29(木) 01:20:55.31 ID:7GvkHqrb.net]: >>713
積分経路としてはnπ(±1±i)を頂点にもつ正方形(n→∞)で問題ないです

まさしく|f(z)|≦exp(|Im(z)|)を示す必要がありますが
ヒントとしてはテイラー展開です
742 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/29(木) 08:08:21.15 ID:OdxUbeBI.net]: 最初の経路はそこでいいやろけど右辺も留数定理ちゃうの？
743 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/29(木) 08:09:26.87 ID:OdxUbeBI.net]: つうかよくよく考えたら位数有限で十分な気もする
744 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/29(木) 08:09:32.89 ID:OdxUbeBI.net]: つうかよくよく考えたら位数有限で十分な気もする
745 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/29(木) 08:15:31.23 ID:OdxUbeBI.net]: 間違った
位数2未満
つまりlim[|z|≦R] |f(z)|R⁻ᵗ = 0 if t<2
746 名前：１３２人目の素数さん [2023/06/29(木) 08:17:54.07 ID:7GvkHqrb.net]: >>715
もちろん右辺も留数定理から導いてますよ

なので経路はnπ(±1±i) (n→∞)を頂点に持つ正方形です
747 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/29(木) 08:18:00.28 ID:OdxUbeBI.net]: あかん、まだ違う
lim |f(z)| exp(-Rᵗ) = 0 ( if t < 2 )
まぁつまり因数分解定理のexpの肩が一次式が示せればよい
748 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/29(木) 08:18:26.85 ID:OdxUbeBI.net]: >>719
イヤ、つたわんなからもういい
749 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/29(木) 16:23:39.47 ID:OdxUbeBI.net]: G(z)が位数1の整関数でG(z)の因数分解のexpの肩の一次の係数の虚部の絶対値が1以下とする、特に|G(z)exp(z)| = O(imz)とする
このとき任意の2次子式(z-a)²に対して有理形関数G(z)/((z-a)²cos(z))と正の数tに対して積分路Γₜを
Γₜ = (-∞-it → ∞-it ) + (∞+it→-∞+it )で定め
Iₜ=1/(2πi)∫_Γₜ G(z)/(z-a)²cos(z))dzと定める
tを十分大きく取り帯領域にaを含むように取ればそれより大きなtではIₜの値は普遍であり、G(z)の大きさに関する仮定により
Iₜ = 0 ( for suff. large ∀t )
である
よってとくに

Res( G(z)/((z-a)²cos(z)), z = a )
= -Σ Res( G(z)/((z-a)²cos(z)), z = π/2 + kπ)

である
ここで

LHS = G(z)/cos(z)のz=aにおけるTayler exp. の一次の係数 = d/dz(G(z)/cos(z))_|z=a
RHS = Σ(-1)ᵏG(z)/(z-a)²_|z=π/2+kπ

である
∴この二つの値は仮定を満たす任意のG(z)で等しくなる
750 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/29(木) 20:59:43.79 ID:6L/hijHU.net]: 9-3÷1/3+1=?
751 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/29(木) 22:43:00.58 ID:Qcco/MtE.net]: だからF(π/2 + 2nπ) = 1, F(-π/2+2nπ) = -1くらいは言える
752 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/06/30(金) 00:13:29.00 ID:Xblppj/N.net]: なるほどやっと半分分かった
あとは| F( z ) | = O(exp(im z))�
753 名前：ﾇうするか []: [ここ壊れてます]
754 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/02(日) 16:50:01.84 ID:3l3+uNnN.net]: ダメだ
諦めた
>>685
の答えプリーズ
>>685の等式以降は簡単だけどこの等式の示し方がわからん
755 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/02(日) 17:17:56.40 ID:3l3+uNnN.net]: あ、イヤ、待て待て
f(x) = Σ f⁽ⁿ⁾(0)/n! xⁿ
使えば|f(x)| = O( exp( |x| ) )って当たり前か？
もちょっとお時間を
756 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/02(日) 17:59:22.90 ID:3l3+uNnN.net]: でけた
できると何を悩んでたんだろうと情けなくなる

過去レスのアンカー貼るのもめんどくさいのでまとめて
f(x) = Σf⁽ᵏ⁾(0)/k!xᵏ + f⁽ⁿ⁾(θ(x)x) (∃θ(x)∈(0,1))
によりf(x)は収束半径∞の実解析的関数でℂて定義された整関数としてよい
さらに任意の実数s,tとz = s+itに対して
f(z) = Σf⁽ᵏ⁾(s)/k! (it)ᵏ
であるから
|f(z)|= O( exp( |z| ) )
である
Γᵗ : ∞+it → -∞+it
としてa∈ℂとt > |im(a)|に対してcos(z)の零点を交わす長方形をうまくとって長方形の巾を広げていって
Res( f(z)/( (z-a)²cos(z)), z = a )
+ ΣRes( f(z)/( (z-a)²cos(z)), z = π/2 + πk )
= ∫[Γᵗ] f(z)/( (z-a)²cos(z))dz
- ∫[Γ⁻ᵗ] f(z)/( (z-a)²cos(z))dz
である
ここで|f(z)|= O( exp( |z| ) )であるから
lim[t→∞]∫[Γᵗ]～dz = lim[t→∞]∫[Γ⁻ᵗ]～dz = 0であるから
Res( f(z)/( (z-a)²cos(z)), z = a )
= - ΣRes( f(z)/( (z-a)²cos(z)), z = π/2 + πk )
である
よって
f'(a)/cos(a) + f(a)sin(a)/cos²(a)
= Σ(-1)ᵏf(π/2+kπ-a)/(kπ+π/2)²‥①
を得る
特にa=0を代入すればf'(0)=1により
1 = Σ(-1)ᵏf(π/2+kπ)/(kπ+π/2)²
≦ Σ1/(kπ+π/2)²
= 1
で等号成立する事が必要であるが等号成立は全てのkでf(π/2+kπ) = (-1)ᵏが成立するときでこれが必要である
これを①に代入して
f'(a)/cos(a) + f(a)sin(a)/cos²(a)
= Σ1/(kπ+π/2)² = 1/cos²(a)
を得る
この関数方程式によりf⁽ⁿ⁾(0)が全て帰納的に決定してf(x)は実解析的であったから
f(x) = c + sin(x)
が必要でx=±π/2で|f(x)|≦1よりc=0である□
757 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/02(日) 18:43:14.85 ID:3l3+uNnN.net]: | f(z) | の評価書き間違ってるわ
| f(z) | = O( | im(z) | )
でつ
758 名前：１３２人目の素数さん [2023/07/02(日) 19:29:58.28 ID:UDP4Qpzw.net]: >>728
お見事大正解です！！

>>714でも書きましたが、|f(z)|の評価はまさしくテイラー展開がミソでした []; [ここ壊れてます]
760 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/02(日) 20:44:40.44 ID:26RiRGWt.net]: 正解頂いたんですがウソ混じってました
f'(x) + f(x)tan(x) = 1/cos(x)
の一般解は

f(x) = sin(x) + C cos(x)

(by 大先生)でした(それくらい自分で解けとかは無しで)
からの最大値=√(1+C²)≦1よりC=0
761 名前：１３２人目の素数さん [2023/07/02(日) 21:23:57.23 ID:w5bCOYPT.net]: >>731
それについては微分方程式を解く必要はなくて、

等式から、a∈(-π/2, π/2)に対して
(d/dz) (F(z)/cos(z)) |_(z=a) = (d/dz) (sin(z)/cos(z)) |_(z=a) より、ある定数cが存在して

F(a)/cos(a) = sin(a)/cos(a) + c
となるので、F(a)=sin(a)+c*cos(a)、
F(π/2)=1かつF’(π/2)=cより、maxF≦1から、c=0

としても問題ありません
762 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/02(日) 21:38:41.54 ID:26RiRGWt.net]: でも解いた方が早くない？
まぁ後はお好きにだけど
763 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/03(月) 09:01:39.70 ID:w8sREuGq.net]: >>732
失礼しました
やっと言いたい事わかった
要するにこの問題「～であるf(x)を求めよ」ではなくて「～を満たすのはsin(x)だけである事を示せ」で実は「f(x)=sin(x)が解である」が最大のヒントになってるのね
活用できるポイントが上の解答なら3箇所ある
まず
f'(a)/cos(a) + f(a)sin(a)/cos²(a)
= Σ(-1)ᵏf(π/2+kπ-a)/(kπ+π/2-a)²
の右辺が1/cos²(a)になる事がノーヒントなら因数分解定理知らないとまず分からないけどf(a)=sin(a)のとき成立する式とわかってれば
1+tan²(a)
= Σ(-1)ᵏf(π/2+kπ-a)/(kπ+π/2-a)²
と気づけるし、コレに気づけばその前のとこにある
1 = Σ1/(kπ+π/2)²
もζ(2)=π²/6しらなくても自動的に気づける(逆にこの証明がζ(2)=π²/6の別証にもなってる)
最後の微分方程式
f'(x) = -tan(x)f(x) + 1/cos(x)
も特殊解探すのに演算子法もラプラス変換も使う必要もなくsin(x)をそのまま特殊解として使えるわけね
この出題の形式でうまいこと難易度設定してたわけだ
全く気づかなかった
764 名前：１３２人目の素数さん [2023/07/03(月) 11:44:34.45 ID:AZB3ijuc.net]: 改めて聞くが出典を教えてくれ
765 名前：１３２人目の素数さん [2023/07/03(月) 12:35:00.36 ID:2GAoEYwF.net]: >>735
出典はこちらの2番目の定理です
https://ncatlab.org/toddtrimble/published/Characterization+of+sine

H. DelangeのCaractérisations des fonctions circulaires(1967)が元論文になります

>>682で言われていたのはこのサイトの3番目の主張の「Roeの定理」になります

こちらは今回の証明とは全く独立でフーリエ解析を使い証明するそうです

今回の定理がsinのリウヴィルの定理的特徴付けと思えば、
上記サイトの1番目のsinの特徴付けはボーア・モレルップの定理みたいで面白い
766 名前：１３２人目の素数さん [2023/07/03(月) 12:57:48.67 ID:3zthXVdF.net]: ありがとうございます。
767 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/03(月) 13:55:16.23 ID:w8sREuGq.net]: そうなんよね
今回のもFourier解析するのかと思ってそっち方向でずっと考えてたんだよな
つまりf(x)のFourier変換のsuppが|ξ|≦1に収まる事を示せるはずとずっと粘ったんだけどダメだった
違う設定ならそっちでもいけるのか、はたまた俺の実力不足かorz
768 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/03(月) 17:37:12.41 ID:/ABMlVCt.net]: この問題、以下の条件まで緩めることが可能？

f：R→R はC^∞級で、sup[x∈R, n≧0]|f^{(n)}(x)|＜＋∞ かつ
f'(0)＝sup[x∈R]|f(x)| を満たすとする。
このとき、f(x)＝f'(0)*sin x (x∈R) が成り立つ。
769 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/03(月) 17:48:27.10 ID:w8sREuGq.net]: g(x) = f(x)/f'(0)とればいいんじゃないの？
770 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/03(月) 18:05:50.69 ID:/ABMlVCt.net]: そのように取っても、もともとの問題に完全に帰着されるわけではなくて、

g：R→R はC^∞級で、sup[x∈R, n≧0]|g^{(n)}(x)|＜＋∞ かつ
sup[x∈R]|g(x)|＝1, g'(0)＝1 を満たすとする。
このとき、f(x)＝sin x (x∈R) が成り立つ。

という問題になる。もともとの問題では sup[x∈R, n≧0]|g^{(n)}(x)|≦1 だったのが、
sup[x∈R, n≧0]|g^{(n)}(x)|＜＋∞ に変更されている。この変更は危ない可能性がある。
なぜなら、「1」をぴったり attain することが証明の中で重要だから。

それでも例の証明は通用するよね？っていう質問。

なぜなら、1 を attain する部分は sup[x∈R]|g(x)|＝1, g'(0)＝1 という条件で
使われているだけに見えるので。
771 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/03(月) 18:49:07.44 ID:6EuANVN/.net]: それなら
sin(x) + cos(x/10)とかでダメなのでは？
772 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/03(月) 18:55:17.00 ID:/ABMlVCt.net]: >>742
f(x)＝sin(x) + cos(x/10)と置くとき、sup[x∈R, n≧0]|f^{(n)}(x)|＜＋∞ は成り立つが、

f'(0)＝sup[x∈R]|f(x)|

は成り立たないのでは？
773 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/03(月) 19:31:08.59 ID:37XtYgZI.net]: 数学科に進学する女性の割合を増やすにはどうすれば良いか？
774 名前：１３２人目の素数さん [2023/07/03(月) 19:51:53.05 ID:3zthXVdF.net]: 女性にとって自分が出した答は誰が何を言おうと正しい。
数学はそれを否定してくるから嫌いになる。
775 名前：１３２人目の素数さん [2023/07/03(月) 20:30:13.11 ID:kkE0CYKE.net]: >>739
この主張は正しいはず
なんなら等号じゃなくともf’(0) ≧ sup[x∈R]|f(x)| でおk []; [ここ壊れてます]
777 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/03(月) 21:14:14.07 ID:6EuANVN/.net]: アカン
何が問題なのかさっぱり分からん
元の問題と何が変わってんの？
778 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/03(月) 21:24:08.68 ID:6EuANVN/.net]: ああ、やっとわかった
n階微分の制限なくして|f(x)|≦～だけにするのね
そこ１でいいやん
779 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/03(月) 21:25:38.72 ID:6EuANVN/.net]: >>746
正しいの？
もちろん仮定それだけなら上の方のHintの式の導出も無理だよね？
780 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/03(月) 21:28:05.42 ID:6EuANVN/.net]: あ、違う
n階微分の条件もそのままやん？
何が違うか分からん
781 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/03(月) 21:28:22.90 ID:/ABMlVCt.net]: >n階微分の制限なくして|f(x)|≦～だけにするのね

なくしてない。sup[x∈R, n≧0]|f^{(n)}(x)|＜＋∞ と書いてあるでしょ。
782 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/03(月) 21:30:23.91 ID:/ABMlVCt.net]: 元の問題：
f：R→R はC^∞級で、sup[x∈R, n≧0]|f^{(n)}(x)|≦1 かつ
f'(0)＝1 を満たすとする。このとき、f(x)＝sin x (x∈R) が成り立つ。

条件を緩めた問題(>>741バ－ジョン)：
f：R→R はC^∞級で、sup[x∈R, n≧0]|f^{(n)}(x)|＜＋∞ かつ
sup[x∈R]|f(x)|＝1, f'(0)＝1 を満たすとする。このとき、f(x)＝sin x (x∈R) が成り立つ。

条件を緩める前だと

・ |f(x)|≦1, |f'(x)|≦1, |f''(x)|≦1, |f'''(x)|≦1, … かつ f'(0)＝1

と言っている。条件を緩めたあとは、何らかの定数C＞0に対して

・|f(x)|≦C, |f'(x)|≦C, |f''(x)|≦C, |f'''(x)|≦C, … かつ |f(x)|≦1 かつ f'(0)＝1

と言っている。後者で f(x)/C を考えても、前者に完全に帰着させることはできない。
783 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/03(月) 21:36:31.96 ID:6EuANVN/.net]: だからそれでなんでsin(x)+cos(x/10)が反例になってないの？
コレ何回微分しても±cos(x)±(1/10)ᵏsin(x/10)か±sin(x)±(1/10)ᵏcos(x/10)しか出てこないやん？
||f⁽ⁿ⁾(x)|有界やん？
784 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/03(月) 21:40:18.14 ID:/ABMlVCt.net]: >>753
f(x)＝sin(x)+cos(x/10) の場合だと、

・|f(x)|≦C, |f'(x)|≦C, |f''(x)|≦C, |f'''(x)|≦C, … かつ |f(x)|≦1 かつ f'(0)＝1

という条件における一番最後の

「 |f(x)|≦1 かつ f'(0)＝1 」

が成り立ってない。正確には

「 |f(x)|≦1 」

の部分が成り立ってない。wolfram でプロットすると、f(x)＝2 あたりまで増加する。
785 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/03(月) 21:42:35.89 ID:6EuANVN/.net]: あぁそこか、
|f(x)|だけは有界だけでなく|f(x)|≦1を要求するのね
786 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/03(月) 21:44:17.85 ID:6EuANVN/.net]: >>746
コレは正しい根拠はあるの？
証明持ってるの？
勘？
787 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/03(月) 21:49:45.93 ID:6EuANVN/.net]: 少なくとも上で上がってる証明はアウトやね
肝は| f(x) | = O( exp( im x ) |だけどその仮定だと| f(x) | = O( exp( M im x ) |までしかいえない(ただしM = sup { | f⁽ⁿ⁾(x)| })
するとf(x)/(cos(x)(x-a)²)の分子の発散の位数が分母cos(x)の発散の位数より強い事が可能だから上の証明はそのままは通用しない
別証持ってるん？
788 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/03(月) 21:56:44.41 ID:/ABMlVCt.net]: >>757
少しは落ち着いたらどうだ。さっきから勘違いが酷すぎるぞ。
まるでchatgptみたいな間違え方してるよ。

|f^{(k)}(x)|≦M が一様に成り立つとする。z＝s＋it に対して

f(z)＝Σ[k＝0～∞] f^{(k)}(s)/k! (it)^k

であるから、

|f(z)|≦Σ[k＝0～∞] M /k! |t|^k ＝ M e^{|t|}

である。つまり｜f(z)｜＝O(e^{｜Im(z)｜}) である。

君は | f(x) | = O( exp( M im x ) と言っているが、
なぜ M が e の指数の肩に乗ってるんだよ。計算ミスってレベルじゃねーぞ。
789 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/03(月) 21:58:37.14 ID:6EuANVN/.net]: あ、ほんとだ
すまんいえてるな
しかしお前その言い方何？
オレがミスってイラついたのはわかるがその言い方はあるんか？
790 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/03(月) 22:06:36.30 ID:/ABMlVCt.net]: >>759
いくら何でも間違いの回数が多すぎる。

・何が問題なのかさっぱり分からん　元の問題と何が変わってんの？
・ああ、やっとわかった　n階微分の制限なくして|f(x)|≦～だけにするのね
・あ、違う　n階微分の条件もそのままやん？　何が違うか分からん
・だからそれでなんでsin(x)+cos(x/10)が反例になってないの？
・あぁそこか、|f(x)|だけは有界だけでなく|f(x)|≦1を要求するのね

ここまで勘違いを繰り返してやっと条件の違いを理解したと思ったら、今度は

・ | f(x) | = O( exp( M im x ) |までしかいえない

という勘違い。さすがにおかしいだろ。一歩進むごとに毎回転んでるがな。
勘違いの質がマジでchatgptなんだよ。
791 名前：１３２人目の素数さん [2023/07/03(月) 22:08:10.94 ID:3xVguZ4n.net]: 喧嘩しないで！！
792 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/03(月) 22:09:55.3 ]: [ここ壊れてます]
793 名前：8 ID:6EuANVN/.net mailto: ああそうかい
悪いのは頭悪いオレなわけやな
ならええわそれで
もちろんオレにも言い分あるけど言い出すと止まらなくなるからわめとくわ
オレの勘違いで絡むかたちになったことは申し訳なかったから謝っとくわ
すまんかった
お前は好きにしろや []: [ここ壊れてます]
794 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/03(月) 22:10:39.09 ID:Rb779309.net]: なんか結果だけ欲しくてクレクレやってるように見えるんだよなあ
もっとじっくり考えてみるとか、間違っていると思ったら自分の方が間違えてないか
勘違いしていないか相手のレスを見返してみるとかしてる？

しかもそこまでミス連発したら普通はごめんの一言も出るもんだと思うけど
それも最後の最後まで無し、加えて悪びれもせず逆ギレって何一体？
落ち着いて深く考えるのがそんなに嫌い？
795 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/03(月) 22:27:45.81 ID:6EuANVN/.net]: まぁなんであかんやろと直感的に思ったか書いとくわ
上の方でも書いたがこれはFourier変換の方から攻めるアプローチもあるんだよ
| f⁽ⁿ⁾(x) | ≦ M という条件からf(x)の超関数としての*ノルムというのがM以下が出る、M=1なら*ノルムも≦1
するとそのFourier変換の*ノルムも≦1
f⁽ⁿ⁾(x)のfourier変換はξⁿ𝔽(f)でその*ノルムが1以下なら𝔽が通常の関数で表示される場合にはsupp(𝔽(f))⊂[-1,1]になる
するとそれを逆変換で戻した時fはexpitx) |t|>1の成分は含んでいない事になり|f(z)| = I(exp(im z) |が言える、ただし残念ながらfは超関数なのでそのFourier変換𝔽(f)も超関数になり今やったsuppの議論はそこまで明らかでないからそのままでは通用しない
まぁ逃げれるとは思ってるけど微妙
問題はそこか≦1でなく≦Mになると*normもM以下までしかいえなくなる
そしてそれはf(x)の持ってる高周波成分の限界に直結するんだよ
オレはこっちの証明がダメになるから載せた方の証明もダメになるようなハヤトチリしたんだよ
それといくらなんでも数値を1から変えてそのまま証明が通用する話を“一般化”と言って出題してくる奴がいるなんてまさか思わなかったもんでね
当然載せた方の証明も破綻するんやろとハヤトチリしたんだよ
それとおれ誤ったやろ
もうええわ
796 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/03(月) 22:40:58.35 ID:6EuANVN/.net]: アレ？
この言い訳もおかしいなw
よく考えたら*ノルム有限だけから|ξ|>1の成分0出るわw
797 名前：１３２人目の素数さん [2023/07/03(月) 23:39:43.00 ID:ZNwEPV9C.net]: ほんと被害妄想酷いなコイツ……
言い方云々言い出すならまず自分の言い方を改めたらどうなん？
798 名前：１３２人目の素数さん [2023/07/04(火) 00:02:02.25 ID:m6sWqMgg.net]: >>760
確かにｗ
799 名前：１３２人目の素数さん [2023/07/04(火) 00:02:46.11 ID:m6sWqMgg.net]: >>766
確かにｗ
800 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/04(火) 00:05:12.29 ID:I2B3Q8Iy.net]: もはやこの関西弁の人の喧嘩芸はこの板の名物だろw
この板で数学できる側の人なことは確かなんだけどね
801 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/04(火) 01:58:14.83 ID:NmlRwPoY.net]: もういいよ
お前の勝ちだよ
アホは寝るわ
よかったな勝てて
アホ懲らしめてよかったね
802 名前：１３２人目の素数さん [2023/07/04(火) 06:48:33.52 ID:YpRPYLRJ.net]: >>770
また来たらまた叩くよ
803 名前：１３２人目の素数さん [2023/07/04(火) 08:21:01.32 ID:vVG4qlZN.net]: あほあほマン
804 名前：１３２人目の素数さん [2023/07/05(水) 17:08:12.71 ID:s/fDAmGv.net]: ||f^(n)||_∞の有界性のみで
>>707こういうsinの有限和以外の反例ってある？
805 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/06(木) 16:05:47.84 ID:RCRTSTk0.net]: 1のn乗根を1,ω,ω^2,…ω^(n-1)とする。
任意の整数係数の多項式f(x)について、

f(x)f(ωx)f((ω^2)
806 名前：x)…f((ω^(n-1))x) は整数係数の多項式となり、かつ次数がnの倍数でない項は0となることを示せ 例えば、n=3、f(x) = 2x^2 + x + 2 のとき、 f(x)f(ωx)f((ω^2)x) = 8x^6 - 11x^3 + 8　となり、次数が3の倍数でない項が全て0である整数係数の多項式となる []: [ここ壊れてます]
807 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/06(木) 17:07:03.75 ID:yft4fGU/.net]: g(x)=f(x)f(ωx)f((ω^2)x)…f((ω^(n-1))x) =Σa_i x^iとして

g(ωx)-g(x)=0よりΣa_i(ω^i-1)x^i=0
iがnの倍数でないときω^i-1≠0よりa_i=0
808 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/06(木) 17:57:02.24 ID:5XXuZOXu.net]: >>773
f(x)=(1-cos(x))/x (x≠0の時), 0 (x=0の時)
も満たしそう
おそらくだけど関数 g:R→R s.t. (g(x)≠0 ならば x∈[0,1]) が絶対可積分なら
f(x) = ∫_(0≦t≦1) sin(tx) dt も条件を満たすと思う
809 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/06(木) 18:03:38.25 ID:5XXuZOXu.net]: >>776
Oh 間違えたgどこにあるねん
f(x) = ∫_(0≦t≦1) g(t)sin(tx) dt です
810 名前：１３２人目の素数さん [2023/07/07(金) 02:00:07.61 ID:MWjdk2lW.net]: >>776,>>777
おおおおなるほど素晴らしい
ありがとう

確かに微分の数値実験する限りはずっと有界だな
1番目はライプニッツの公式使うんかな？
2番目はどれだけ微分しても、
≦∫_0^1 |g(t)|dtで評価出来るし確かにそうだね

となると本質的にf’(0)=||f||_∞って条件は重要なんだな
811 名前：１３２人目の素数さん [2023/07/07(金) 14:14:27.72 ID:RU4yLdjT.net]: 並行移動で考えれば
||f’||_∞≧||f||_∞で十分なのか
「sup_n ||f^(n)||_∞ < ∞かつ||f’||_∞≧||f||_∞ならば
∃a,b∈R s.t. f(x)=a*sin(x+b)」
812 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/09(日) 14:26:32.29 ID:LN2pvCHa.net]: 素数の逆数和が発散することを示せ
813 名前：１３２人目の素数さん [2023/07/09(日) 18:51:15.10 ID:ej0yhGnM.net]: log(n番目の素数)<n番目の素数以下の自然数の逆数和
<Π[i=1,n]Σ[j=0,∞]1/(i番目の素数)^j
=Π[i=1,n]1/(1-1/(i番目の素数))
=2Π[i=2,n](1+1/(i番目の素数-1))
<2Π[i=1,n-1](1+1/(i番目の素数))
=2e^{Σ[i=1,n-1]log(1+1/(i番目の素数))}
<2e^{Σ[i=1,n-1]1/(i番目の素数)}

Σ[i=1,n]1/(i番目の素数)>log{log√(n番目の素数)}→∞(n→∞)
814 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/09(日) 22:03:38.11 ID:mke9NfP2.net]: これは別の問題？
それともその主張から上が示せるの？
どちらにしてもすぐには分からないが…
815 名前：１３２人目の素数さん [2023/07/09(日) 22:15:34.15 ID:ej0yhGnM.net]: 同じ問題
816 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/09(日) 22:44:19.41 ID:mke9NfP2.net]: 主張の証明と元問題の導出を詳しく
817 名前：１３２人目の素数さん [2023/07/10(月) 02:33:47.88 ID:5MKY9VbH.net]: n番目の素数以下の自然数はn番目以下の素数で素因数分解できる数に含まれ
二行目を展開した各項はn番目以下の素数で素因数分解できる数の逆数だから
n番目の素数以下の自然数の逆数和は二行目よりも小さい
818 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/10(月) 03:26:02.82 ID:5Rfne2d/.net]: なんか怪しいな
ちゃんと式で書いてほしい
819 名前：１３２人目の素数さん [2023/07/10(月) 11:00:44.14 ID:5MKY9VbH.net]: どこが怪しいの？
820 名前：１３２人目の素数さん [2023/07/10(月) 11:03:56.81 ID:ZdIxQpUM.net]: >>786
しっしっ
821 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/10(月) 11:40:58.50 ID:Z+tgEwRg.net]: >>787
二行目を展開って二行目も展開も何を指してるのか分からん
822 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/10(月) 11:44:39.29 ID:edHZcqD2.net]: >>781
やや見にくいがようやく追えた（個人的には最後の式の直前だけでも「よって」みたいな日本語クッションあると嬉しいかも）
最後の式は、Σでiが動く範囲を変えたら中辺もnからn+1に変える必要があるから、正確にはこうかな？
Σ[i=1,n]1/(i番目の素数)>log{log√(n+1番目の素数)}→∞(n→∞)
823 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/10(月) 11:47:35.28 ID:edHZcqD2.net]: >>790
ああいや、Σとる範囲を増やしても不等式は保たれるから別にいいのか…忘れてくれ
824 名前：１３２人目の素数さん [2023/07/10(月) 11:51:38.00 ID:5MKY9VbH.net]: >>789
二行目はΠ[i=1,n]Σ[j=0,∞]1/(i番目の素数)^jのこと
展開はこれを
825 名前：和の形にバラすこと []: [ここ壊れてます]
826 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/10(月) 11:58:17.15 ID:Z+tgEwRg.net]: 自分は追えてないので全部式で書いてほしい
827 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/10(月) 14:56:24.75 ID:yN2X6TRH.net]: >>785
これだと発散したい和を上から評価してしまうことになるよね
828 名前：１３２人目の素数さん [2023/07/10(月) 15:17:16.91 ID:5MKY9VbH.net]: >>794
ならないよ
829 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/10(月) 15:17:39.43 ID:fKySuEJa.net]: ああ、いや分かった
log(1+x) < xを途中で使うんだね
830 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/10(月) 15:25:36.79 ID:fKySuEJa.net]: にしても>>781と>>785だけだとさすがに説明少なすぎる
普通にこれだけならバツだな
831 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/10(月) 15:33:11.99 ID:j5VlO7tA.net]: >>797 = ID:6EuANVN/
832 名前：１３２人目の素数さん [2023/07/10(月) 15:33:29.77 ID:+iRQCKdG.net]: 普通に×って
お前ここはテストの解答用紙じゃねえよ
833 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/10(月) 15:50:28.23 ID:fKySuEJa.net]: >>798
自分はその人じゃないよ
まぁ同じだったとしても今それ関係ないよね

>>799
有名な発散だし証明なんてググればすぐ出るから
答え方が重要な問題なのかと思ったんだよ
でも上のはググった証明を断片的に書いただけに見えるし
証明としても不完全すぎる
834 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/10(月) 15:59:42.46 ID:j5VlO7tA.net]: 全部できてるが.
何行目から何行目ができていない?
835 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/10(月) 16:08:55.03 ID:wCTVppeo.net]: 断片的すぎて不完全って話
836 名前：１３２人目の素数さん [2023/07/10(月) 16:11:02.54 ID:5MKY9VbH.net]: どこが断片的なの？
837 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/10(月) 16:28:14.63 ID:887aP2sD.net]: 三行目から元の問題示すところ全く書いてないよね
838 名前：１３２人目の素数さん [2023/07/10(月) 18:34:39.74 ID:/XlNiGX9.net]: ID:fKySuEJa
君数学に向いてないよ。
最先端の研究者の論文なんて論理的にめちゃくちゃだよ。
839 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/10(月) 18:53:41.97 ID:+i9Sb2qx.net]: なんでも行間読めってのは違うだろ
標準的な議論であったり全体のバランスのために割愛することはあるけど上のはそういうレベルじゃない
840 名前：１３２人目の素数さん [2023/07/10(月) 19:28:54.02 ID:j5VlO7tA.net]: 行間なんてないな
841 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/10(月) 19:32:33.42 ID:w6LhIMN/.net]: あ、そうですか
まぁ特にオリジナルな証明でも無いようだしどうでもいいや
842 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/10(月) 19:36:37.81 ID:w6LhIMN/.net]: あ、いや、スマンw
janeで781が一行目しか表示されていなかったことに気付いた
ブラウザから見たら式全部書いてんじゃん…
お騒がせしました
本当に申し訳ない
843 名前：１３２人目の素数さん [2023/07/10(月) 19:50:53.76 ID:/XlNiGX9.net]: >>808-809
死ね
844 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/10(月) 19:56:34.69 ID:w6LhIMN/.net]: すべてはjaneのせいだ！\ｿｳﾀﾞｿｳﾀﾞ－/
しかし安心したまえ
janeは全責任を負い、逝ったようだ…
845 名前：１３２人目の素数さん [2023/07/12(水) 19:00:16.48 ID:ZzAbCFCF.net]: janeは遠くに行ってしまったけれどお前ら生きてるか
846 名前：１３２人目の素数さん [2023/07/12(水) 19:00:39.59 ID:ZzAbCFCF.net]: 次の(n-1)次多項式が(n-1)個の実解を持つことを示せ
Σ[1≦i≦n] Π[1≦j≦n, j≠i] (x-j)

上の多項式は例えばn=3のとき
(x-1)(x-2)+(x-2)(x-3)+(x-3)(x-1)
である
847 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/12(水) 19:29:05.11 ID:qdq5S66z.net]: 正になって負になって正になって負になって正になるんじゃよ
848 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/12(水) 19:34:55.18 ID:ZzAbCFCF.net]: そりゃあ(n-1)個のゼロテンがあるということだから、それはそうなんだけどねw
849 名前：１３２人目の素数さん [2023/07/12(水) 20:35:43.75 ID:ctE6oFYt.net]: 両辺(x-1)×...×(x-n)で割った後の話でしょ
典型問題だから受験戦線潜り抜けてきた人間は即答やろ
850 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/12(水) 20:53:35.77 ID:ZzAbCFCF.net]: 割らなくてもjとj+1代入したときに符号変わるのすぐ分かるんだけどもね
851 名前： 【大凶】 mailto:sage [2023/07/14(金) 00:00:58.47 ID:udY//wq ]: [ここ壊れてます]
852 名前：V.net mailto: >>630
2π/｛π-(π/2-1/4)｝+π/(π/2-1/4)
=2π/(π/2+1/4)+π/(π/2-1/4)
=(24π^2-4π)/(4π^2-1)
=5.82934925542…… []: [ここ壊れてます]
853 名前：１３２人目の素数さん [2023/07/15(土) 20:12:22.19 ID:EbaiM7SN.net]: 次の不等式を示せ

(a-b)^6+(a-c)^6+(a-d)^6+(b-c)^6+(b-d)^6+(c-d)^6
≧
3(((a-b)(b-c)(c-a))^2+((b-c)(c-d)(d-b))^2+((c-d)(d-a)(a-c))^2+((d-a)(a-b)(b-d))^2)
854 名前：１３２人目の素数さん [2023/07/17(月) 12:54:49.90 ID:1sKu4j61.net]: x = a-d、y=b-d、z = c-dとおく
x≧y≧zとして良い

(d/dx)^2( x^6 + y^6 + z^6 + (x-y)^6 + (y-z)^6 + (z-x)^6-3(x^2y2(x-y)^2+y^2z^2(y-z)^2+z^2x^2(z-x)^2) )
=
90 x^4 - 120 x^3 (y + z) + 144 x^2 (y^2 + z^2) - 84 x (y^3 + z^3) + 24 (y^4 + z^4)
≧ 90x^4-120x^3y+40x^2y^2
+ 90x^4-120x^3z+40x^2z^2
+ 24y^4-84x^3y+73.5x^2y^2
+ 24z^4-84x^3z+73.5x^2z^2
≧0
d/dx( x^6 + y^6 + z^6 + (x-y)^6 + (y-z)^6 + (z-x)^6-3(x^2y2(x-y)^2+y^2z^2(y-z)^2+z^2x^2(z-x)^2) )
=
18 x^5 - 30 x^4 (y + z) + 48 x^3 (y^2 + z^2) - 42 x^2 (y^3 + z^3) + 24 x (y^4 + z^4) - 6 y^5 - 6 z^5
x=yのとき
= {12 z^4 (y^2 - y z) + 12 z^2 (y^2 - y z)^2 + 4 (y^2 - y z)^3 + 3 z^6
≧0
x=yのときの( x^6 + y^6 + z^6 + (x-y)^6 + (y-z)^6 + (z-x)^6-3(x^2y2(x-y)^2+y^2z^2(y-z)^2+z^2x^2(z-x)^2) )
=
12 z^4 (y^2 - y z) + 12 z^2 (y^2 - y z)^2 + 4 (y^2 - y z)^3 + 3 z^6
≧0
855 名前：１３２人目の素数さん [2023/07/17(月) 15:55:30.30 ID:N+/RO75c.net]: >>820
おお、乙です
上手い示し方ですね

実は(左辺)-(右辺)が平方和の形に書けるので是非それも考えてみてください
856 名前：１３２人目の素数さん [2023/07/17(月) 16:15:39.10 ID:RhFPD6YA.net]: あ、正数係数の平方和です
857 名前：１３２人目の素数さん [2023/07/17(月) 17:09:58.01 ID:1uN7qfwO.net]: 90x^4を2回使うというアホミスしてるorz
そもそも大先生使うなら２階微分なんか必要なかった
一階微分の段階でyzで割り切れる項が全滅してて
事実上2変数、そこからx/y=t+1と置換したら全係数+
以下x=yの場合以降はそのまま

d/dx( x^6 + y^6 + z^6 + (x-y)^6 + (y-z)^6 + (z-x)^6-3(x^2y2(x-y)^2+y^2z^2(y-z)^2+z^2x^2(z-x)^2) )
=
18 x^5 - 30 x^4 (y + z) + 48 x^3 (y^2 + z^2) - 42 x^2 (y^3 + z^3) + 24 x (y^4 + z^4) - 6 y^5 - 6 z^5
=
3 (3 x^5 - 10 x^4 y + 16 x^3 y^2 - 14 x^2 y^3 + 8 x y^4 - 2 y^5)
+
3 (3 x^5 - 10 x^4 y + 16 x^3 y^2 - 14 x^2 y^3 + 8 x y^4 - 2 y^5)

3 x^5 - 10 x^4 y + 16 x^3 y^2 - 14 x^2 y^3 + 8 x z^4 - 2 y^5
= 3y^5( 3 t^5 + 5 t^4 + 6 t^3 + 4 t^2 + 3 t + 1 ) ( t = x/y + 1 )
=
3 t^5 + 5 t^4 + 6 t^3 + 4 t^2 + 3 t + 1
≧ 0
858 名前：１３２人目の素数さん [2023/07/17(月) 17:13:35.84 ID:1uN7qfwO.net]: てかそもそも項一個忘れてるorz
なかったことに
859 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/17(月) 17:22:06.89 ID:+KsfNZHv.net]: あらま、
こちらも細かいところチェック出来てませんでした
860 名前：１３２人目の素数さん [2023/07/17(月) 18:52:19.10 ID:OjGZT8Ms.net]: 再挑戦
まずAM≧GMより
x^6 + y^6 + z^6 + (x-y)^6 + (y-z)^6 + (z-x)^6-3(x^2y2(x-y)^2+y^2z^2(y-z)^2+z^2x^2(z-x)^2 +(x-y)^2(y-z)^2(z-x)^2)
≧
x^6 + y^6 + z^6 -3(x^2y2(x-y)^2+y^2z^2(y-z)^2+z^2x^2(z-x)^2)
から大先生に微分をお願い
d/dx ( x^6 + y^6 + z^6 -3(x^2y2(x-y)^2+y^2z^2(y-z)^2+z^2x^2(z-x)^2) )
=
6 x^5 - 12 x^3 (y^2 + z^2) + 18 x^2 (y^3 + z^3) - 6 x y^4 - 6 x z^4
=
6(x^5/2 -2x^3y^2+3x^2y^2-xy^4)
+(x^5/2 -2x^3z^2+3x^2z^2-xz^4)
=
1/2 (t^5 + 5 t^4 + 6 t^3 + 4 t^2 + 3 t + 1)
+
1/2 (u^5 + 5 u^4 + 6 u^3 + 4 u^2 + 3 u+ 1)
≧0 (ただしx/y = t+1, x/z= u+ 1 )
x=yのとき x^6 + y^6 + z^6 -3(x^2y2(x-y)^2+y^2z^2(y-z)^2+z^2x^2(z-x)^2)
=
2 y^6 - 6 y^4 z^2 + 12 y^3 z^3 - 6 y^2 z^4 + z^6
= (y^2 - z^2)^3×2 + 12 y^3 z^3
= (2 v^6 + 12 v^5 + 24 v^4 + 28 v^3 + 24 v^2 + 12 v + 3)y^6
≧
0
861 名前：１３２人目の素数さん [2023/07/17(月) 19:10:58.36 ID:4V8My4cd.net]: 再考、乙です！
862 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2023/07/19(水) 14:24:00.23 ID:8QrVJ1Xs.net]: 前>>818
>>630の答えは境界線が90°でT字型に交わるから、
5.82934925542……で正解じゃないのかい？
4π(6π-1)/｛(2π-1)(2π+1)｝
こうか？
863 名前：１３２人目の素数さん [2023/07/25(火) 21:59:12.95 ID:V+7mwio7.net]: Σ[n=1,∞]1/(n^2*C[2n,n])を求めよ。
864 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/25(火) 22:31:14.16 ID:qXIdpARe.net]: https://www.wolframalpha.com/input?i=%CE%A3%5Bn%3D1%2C%E2%88%9E%5D1%2F%28n%5E2*C%5B2n%2Cn%5D%29&lang=ja
865 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/26(水) 01:44:42.17 ID:BTqkydQI.net]: Eテレでガチ問題出てた
https://pbs.twimg.com/media/F1zz8DYX0AQRxLe.jpg
866 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/27(木) 19:20:27.23 ID:J5dqSdsO.net]: Σ[n=1,∞]1/(n^4 C[2n,n]) = 17π^4/3240 が成り立つことを証明せよ
867 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/07/31(月) 23:01:20.23 ID:t2WIcfXm.net]: 905：ウィズコロナの名無しさん：[sage]：2023/07/31(月) 22:28:55.07 ID:Zb/rsFU20
123456789＋912345678＋891234567＋789123456＋678912345を9で割ったあまりは?

開成中の問題　勿論力技で解いたら時間切れになる。
868 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/01(火) 07:26:56.28 ID:yZ+ysv1Z.net]: 1+9+8+7+6=31≡4 (mod 9)
2+1+9+8+7=27≡0 (mod 9)
3+2+1+9+8=23≡5 (mod 9)
4+3+2+1+9=19≡1 (mod 9)
5+4+3+2+1=15≡6 (mod 9)
6+5+4+3+2=20≡2 (mod 9)
7+6+5+4+3=25≡7 (mod 9)
8+7+6+5+4=30≡3 (mod 9)
9+8+7+6+5=35≡8 (mod 9)

405≡0 (mod 9)
162≡0 (mod 9)
738≡0 (mod 9)
869 名前：832 mailto:sage [2023/08/01(火) 17:37:46.27 ID:4lfRSsZc.net]: >>832 の問題解いてる人いる？
いないようなら想定解答貼り付けるけど
870 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/01(火) 20:08:21.45 ID:UIiO+bwg.net]: 前>>828
>>833
いずれの数も9で割り切れる。
∴余りは0
871 名前：１３２人目の素数さん [2023/08/01(火) 20:28:37.38 ID:erXC+KuH.net]: >>835
お願い
872 名前：832 mailto:sage [2023/08/01(火) 20:54:05.59 ID:4lfRSsZc.net]: >>837
想定解答は、arcsin^2のマクローリン展開:
2arcsin^2(x/2) = Σ[n=1,∞]x^(2n)/(n^2 C[2n,n])
から和を積分に置き換えて
正三角形の対称性1-e^(iπ/3)=e^(-iπ/3)を用いて積分路を迂回させ
簡単な多項式の積分に持ち込む方法です。

S = Σ[n=1,∞]1/(n^4 C[2n,n])
= 4∫[0,1](∫[0,y]2arcsin^2(x/2)/xdx)/ydy
= 8∫[0,1]arcsin^2(x/2)/x(∫[x,1]dy/y)dx
= 4∫[0,1]arcsin^2(x/2) d/dx(-log^2(x)) dx
= 8∫[0,π/6] t log^2(2sin t) dt
= (8/3)∫[0,π/6] im[(it + log(2sin t))^3 - (it)^3] dt
= (8/3)∫[0,π/6] im[(log(1-e^(2it)) + iπ/2)^3 - (it)^3] dt
= (8/3)I + (2/3)(π/6)^4 - (8/3)(π/2)^3(π/6)
ここに
I = im∫[0,π/6] [(log(1-e^(2it)) + iπ/2)^3 - (iπ/2)^3] dt
= im∫[0,1-e^(iπ/3)] [(log(z) + iπ/2)^3 - (iπ/2)^3] dz/(2i(z-1))
積分を1-e^(iπ/3)=e^(-iπ/3)であることに注意して0→1と1→e^(-iπ/3)の2つに分解
I = J+k
ここに
J = im∫[0,1] [(log(x) + iπ/2)^3 - (iπ/2)^3]/(2i(x-1)) dx
= (1/2)∫[0,1]log^3(x)/(1-x) dx - (3/2)(π/2)^2∫[0,1]log(x)/(1-x) dx
= (1/2)(-3!ζ(4)) - (3/2)(π/2)^2(-1!ζ(2))
= 7π^4/240
K = im∫[1,e^(-iπ/3)] [(log(z) + iπ/2)^3 - (iπ/2)^3]/(2i(z-1)) dz
変数変換z→1/zの後に実軸対称で積分を反転
K = -im∫[1,e^(-iπ/3)] [(log(z) + iπ/2)^3 - (iπ/2)^3]/(2iz(z-1)) dz
= -K + im∫[1,e^(-iπ/3)] [(log(z) + iπ/2)^3 - (iπ/2)^3]/(2iz) dz
= -K + im∫[0,-iπ/3] [(u + iπ/2)^3 - (iπ/2)^3]/(2i) du
= -K - (1/8)[(π/6)^4-(π/2)^4] - (1/2)(π/2)^3(π/3)
∴
K = -17π^4/2592
S = (8/3)(7π^4/240-17π^4/2592) + (2/3)(π/6)^4 - (8/3)(π/2)^3(π/6)
= 17π^4/3240

参考文献
Alfred van der Poorten, Some wonderful formulae...
Footnotes to Apery's proof of the irrationality of ζ(3),
Seminaire Delange-Pisot-Poitou. Theorie des nombres, 20, no 2 (1978-1979).
873 名前：１３２人目の素数さん [2023/08/01(火) 23:34:53.18 ID:yTgZ7qaj.net]: >>821
これの答えも書いちゃうと

>>819の左辺-右辺=1/2Σ[sym.](a-b)^2(b-c)^4
874 名前：１３２人目の素数さん [2023/08/02(水) 02:47:11.72 ID:JCtQRdtj.net]: 追加問題

>>819
実はこの不等式、右辺の係数3を5に変えても成り立つ
左辺-右辺を正係数の平方和にすることで示せ
875 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/03(木) 11:08:01.97 ID:mWUYcy0L.net]: どっかの模試の問題
①(0,0)スタート
②一回毎に↑↓→←に1移動、確率1/4
③2m回移動
において
A:(2m-4,0)に到達
B:途中でx=-1になる
C:途中でy=-1になる
として条件付き確率

P( C | A ∧ not B )

を求める問題
ゴリゴリやれば解けるし模範解答もゴリゴリやってるんだけど、それにしては解がメッチャキレイ
なんかエレガントな解答あるんかな？
876 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/07(月) 03:30:26.84 ID:89Vu7a0i.net]: n:自然数のとき
n+1～2nの積を2^(n+1)で割ったあまりを求めよ
877 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/07(月) 06:20:00.68 ID:ARIlWbUv.net]: (2n)!/n!=(2n-1)!!2^n.
878 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/07(月) 13:39:26.71 ID:Tj3HdrJy.net]: 正解
元ネタ
https://youtu.be/Zf8_HOZfqaM
879 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/08(火) 00:04:48.70 ID:ZK+htbTp.net]: 曲線C:y=x²/2上の動点Pに対してPを通るCの法線上のy<x²/2の側にPQ==1となるようにとる
Pのx座標が0<x<1の範囲で動くとする
(1)Pの軌跡の長さを求めよ
(2)線分PQの通過領域の面積を求めよ
880 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/08(火) 21:44:39.78 ID:BbvqaBJZ.net]: >>841 考えてて思いついたんだけど、これって有名問題？

x = 0 でスタートして、コイン投げて表なら+1裏なら-1進むというのを2n回繰り返したとき、
A: 最終的にx = 0
B: 一連の2n回の移動中、常にx座標が非負（x=-1にならない）
とする。P(B|A) を求めよ。
881 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/08(火) 22:14:51.38 ID:hT4CkDvb.net]: >>846
カタラン数で検索

経路の数（＝カタラン数）：
C(n)＝(2n)!/(n!(n+1)!)
確率 P(B|A)：
C(n)/combin[2n,n]＝1/(n+1)
882 名前：１３２人目の素数さん [2023/08/08(火) 22:47:24.84 ID:4Vf/OcYE.net]: >>841
2m回目にA(2m-4,0)に居る？ではなくて2m-4～2m回目のどこかでA(2m-4.0)を通ればいい？
883 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/09(水) 01:37:56.38 ID:JxRGQF0V.net]: >>847
ありがとう、答えも合ってます

>>841
答えは (2m+1)/(6m) で合ってる？
「2m回目に(2m-4,0)に居る」だと思ってゴリゴリやったんだけど計算に自信はない
884 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2023/08/09(水) 12:34:14.96 ID:NIreWgEc.net]: 前>>836
>>845(1)
(0,0)と(1,1)の最短距離は√2=1.41421356……
四分円でつなぐなら2π/4=1.57079632……
放物線なら√3=1.7320508……と推定される。
885 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2023/08/09(水) 14:21:03.18 ID:hn2iEM9m.net]: 前>>850
>>845(2)
(1,1)は((5+2√5)/5,(5-√5)/5)と、
(0,0)は(0,-1)と長さ1の直線でつなぐことができ、
端点(0,-1)と((5+2√5)/5,(5-√5)/5)を放物線でつなぐと、
求める領域の面積は、PQの中点の軌跡の長さ×1すなわち
PQの中点の軌跡の長さそのものである。
(1)より一辺1の正方形内を充填する放物線の長さは√3と推定された。
点Qの軌跡はy=x^2の軌跡に対し、
x方向に(5+2√5)/5倍
y方向に(10-√5)/5倍
PQの中点の軌跡はy=x^2に対し、
x方向に(5+2√5)/10倍
y方向に(10-√5)/10倍
これらを掛けあわせて√　をとれば、
√3√(5+2√5)(10-√5)/10=√(120+45√5)/10
1.48533854386……
もう少し広く見えるけど、こんなものか。
886 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2023/08/09(水) 15:21:53.69 ID:NIreWgEc.net]: 前>>851訂正。
>>845
(1,1)は((5+2√5)/5,(5-√5)/5)と、
(0,0)は(0,-1)と長さ1の直線でつなぐことができ、
端点(0,-1)と((5+2√5)/5,(5-√5)/5)を放物線でつなぐと、
求める領域の面積は、PQの中点の軌跡の長さ×1すなわち
PQの中点の軌跡の長さそのものである。
(1)より一辺1の正方形内を充填する放物線の長さは√3と推定された。
点Qの軌跡はy=x^2の軌跡に対し、
x方向に(5+2√5)/5倍
y方向に(10-√5)/5倍
PQの中点の軌跡はy=x^2に対し、
x方向に(1+√5/5)倍
y方向に(3/2+√5/10)倍
これらを掛けあわせて√　をとれば、
√3√｛(1+√5/5)(3/2+√5/10)｝
=2.73555873141……
887 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/09(水) 18:56:44.62 ID:D+59rpwK.net]: >>849

(2m-1)/(3m)のハズ
バイト先の生徒さんが受けた模試(多分駿台模試)なんだけど今解答ないので間違ってるかも
888 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2023/08/09(水) 19:48:47.08 ID:Cbqhk4HO.net]: 前>>852訂正の予定。
(1,1)じゃなくて(1,1/2)だった。
もっとP,Qの軌跡は短くなって領域の面積は小さくなる。
889 名前：１３２人目の素数さん [2023/08/09(水) 22:09:09.51 ID:UzCvYTp/.net]: >>853
>>848に答えて
890 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/09(水) 22:33:58.37 ID:JklhS6XF.net]: >>855
終了地点が(2m-4,0)です
891 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2023/08/09(水) 23:11:57.43 ID:Cbqhk4HO.net]: 前>>854訂正。あってるかな。
>>845
(1)
(0,0)と(1,1/2)の最短距離は√(5/4)=√5/2=1.1180339……
四分円ならぬ楕円の1/4でつなぐなら、
単位円の周の1/4に対して縦方向に1/2、横方向に1だから、
2π/4√｛(1/2)・1｝=π√2/4=1.1……
放物線なら√3√｛(1/2)・1｝=√6/2=1.2695……と推定される。
(2)
(1,1/2)におけるy=(1/2)x^2の接線の傾きは、
y'=(1/2)2x=xにx=1を代入しy'=1
(1,1/2)におけるy=(1/2)x^2の法線の傾きは-1
(1,1/2)は((2+√2)/2,(1-√2)/2)と、
(0,0)は(0,-1)と長さ1の直線でつなぐことができ、
端点(0,-1)と((2+√2)/2,(1-√2)/2)を放物線でつなぐと、
求める領域の面積は、PQの中点の軌跡の長さ×1すなわち
PQの中点の軌跡の長さそのものである。
(1)より一辺1の正方形内を充填する放物線の長さは√3と推定された。
点Qの軌跡はy=x^2の軌跡に対し、
x方向に(2+√2)/2倍
y方向に(1+√2)/2倍
PQの中点の軌跡はy=x^2に対し、
x方向に(4+√2)/4倍
y方向に(2+√2)/4倍
これらを掛けあわせて√　をとれば、
√3√｛(4+√2)/4)(2+√2)/4)｝
=√｛3(10+6√2)｝/4
=√(30+18√2)/4
=1.86171701869……
892 名前：【大凶】 mailto:sage [2023/08/10(木) 00:26:37.20 ID:bEYy+Id6.net]: 前>>857
>>845(1)
(0,0)と(1,1/2)の最短距離は√(5/4)=√5/2=1.1180339……
四分円ならぬ楕円の1/4でつなぐなら、
単位円の周の1/4に対して縦方向に1/2、横方向に1だから、
2π/4√｛(1/2)・1｝=π√2/4=1.1……
放物線なら√3√｛(1/2)・1｝=√6/2=1.2695……と推定される。
(2)
(1,1/2)におけるy=(1/2)x^2の接線の傾きは、
y'=(1/2)2x=xにx=1を代入しy'=1
(1,1/2)におけるy=(1/2)x^2の法線の傾きは-1
(1,1/2)は((2+√2)/2,(1-√2)/2)と、
(0,0)は(0,-1)と長さ1の直線でつなぐことができ、
端点(0,-1)と((2+√2)/2,(1-√2)/2)を放物線でつなぐと、
求める領域の面積は、
(0,3/2)を中心とした半径(5/2),中心角π/4の扇形から、
(0,3/2)を中心とした半径(3/2),中心角π/4の扇形を除いた面積だから、
半径(5/2)の八分円から半径(3/2)の八分円を引き、
(π/8)｛(5/2)^2-(3/2)^2｝
=(π/8)(4/2)^2
=π/2
=1.57079632679……
893 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2023/08/10(木) 01:36:55.76 ID:blo/NRmJ.net]: 前>>858扇形なわけない。訂正。
>>857で中点の軌跡の長さを√6/2にする。
894 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/10(木) 01:37:55.94 ID:hEpfXdNk.net]: >>655
答え今ないのですが計算機で数えてみたらやはり(2m-1)/(3m)のようです
m=2のときA ∧ notB とA ∧ notB ∧ Cをリストアップしたリストもつけました
10/20 = 1/2 = (2×2-1)/(3×2)になってます

https://ideone.com/YxQvKP
895 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2023/08/10(木) 01:47:58.64 ID:blo/NRmJ.net]: 前>>859訂正。
>>845(2)
縦倍率と横倍率を掛け合わせ√　をとると、
√(15√2+18)/4=1.56551116723……
896 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2023/08/10(木) 02:50:30.34 ID:blo/NRmJ.net]: 前>>861
>>845
(1)
(0,0)と(1,1/2)の最短距離は√(5/4)=√5/2=1.1180339……
四分円ならぬ楕円の1/4でつなぐなら、
単位円の周の1/4に対して縦方向に1/2、横方向に1だから、
2π/4√｛(1/2)・1｝=π√2/4=1.1……
放物線なら√3√｛(1/2)・1｝=√6/2=1.2695……と推定される。
(2)
(1,1/2)におけるy=(1/2)x^2の接線の傾きは、
y'=(1/2)2x=xにx=1を代入しy'=1
(1,1/2)におけるy=(1/2)x^2の法線の傾きは-1
(1,1/2)は((2+√2)/2,(1-√2)/2)と、
(0,0)は(0,-1)と長さ1の直線でつなぐことができ、
端点(0,-1)と((2+√2)/2,(1-√2)/2)を放物線でつなぐと、
求める領域の面積は、PQの中点の軌跡の長さ×1すなわち
PQの中点の軌跡の長さそのものである。
(1)より縦1/2,横1の長方形内を充填する放物線の長さは√6/2と推定された。
PQの中点の軌跡は縦(2-√2)/4-(-1/2)=(4-√2)4
横(4+√2)/4の長方形内を充填する放物線だから、
y=x^2/2に対し、
x方向に(4+√2)/4(倍)
y方向に｛(4-√2)/4｝/(1/2)=(4-√2)/2(倍)
これらを掛けあわせて√　をとれば、
(√6/2)√[｛(4+√2)/4｝｛(4-√2)/2｝]
=√｛(3/2)(14/8)｝
=√(21/8)
=√42/4
=1.6201851746……
897 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2023/08/10(木) 03:06:09.25 ID:blo/NRmJ.net]: 前>>862
>>845(1)訂正。
√6/2=1.22474487139……
898 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/11(金) 12:34:42.03 ID:hY9SuugI.net]: >>545

(2)計算機で出した近似値
899 名前： https://ideone.com/y7Kiic これが何かです []: [ここ壊れてます]
900 名前：１３２人目の素数さん [2023/08/11(金) 13:28:36.63 ID:dvI2t9yX.net]: それぞれ4本ずつ辺を持つ17点同士がその辺で結ばれている。2本以下の辺をたどることで任意の2点間を移動できるように辺を取ることはできるか？
901 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/11(金) 21:23:54.46 ID:2RK7qnbm.net]: 正三角柱と正五角柱点と辺のなすグラフGとHを用意する
それぞれの頂点はA×{0,1}～C×{0,1}の6点とD×{0,1}～H×{0,1}の10点とする
A×i-D×i、B×i-E×i、C×i-F×i、の6本の辺を追加すればこれら12点は全て分岐数4になる
頂点Iを追加してIとG×i、H×iの4点を結べば全ての頂点の分岐は4分岐になる
この時頂点IからB×iまでは4本の辺を渡らなければ移動出来ない
902 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/12(土) 01:09:51.62 ID:uL+D5RFs.net]: もしかして

k正則グラフの直径が2以下なら頂点数は2ᵏ以下である事を示せ

かな？
k=4の場合は泥臭く場合わけして示せたけど一般に成り立つのかな
903 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/12(土) 01:25:38.26 ID:c6dnwQHQ.net]: 違った
4正則グラフで直径2の頂点数の最大は15らしい
答え載ってる資料見つけたけどもちょっと考えたい人のためにあげるの保留
904 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/12(土) 02:00:07.80 ID:ZzOTLx8+.net]: 問題を17点にしてるということは2^4以下だとキレイに示せたりするってことなんかな？
905 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/12(土) 02:13:05.99 ID:mr9Reb8o.net]: 俺の見つけた資料によると

k正則グラフで直径2以下のグラフの頂点数の最大値をnₖとするとき

　5(k-1) ≦ nₖ ≦ k²+1

らしいk = 2の時はn₂=5で正五角形のなすグラフ、k=3のときはnₖ=10でペーターセングラフというものになるらしい
k=4の時は15≦n₄≦17だけと正解はn₄=15
見つけた資料ではn₄≠17,16と順に示してるけどめっちゃ泥臭い
906 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/12(土) 02:23:02.84 ID:AEJqltte.net]: なるほど
907 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/12(土) 02:24:24.55 ID:AEJqltte.net]: ところで>>840は考えてくれてる人いるんかな？
908 名前：１３２人目の素数さん [2023/08/12(土) 12:07:19.44 ID:fSxIxjFN.net]: >>865の想定解は、題意のような辺の取り方があると仮定すると
(1)17点のうちの任意の点について元の点に戻ってくる最短経路の辺の数がちょうど5に定まること(6以上だと対面の点に2辺以内で移動できず、4以下だと2辺の移動で自分以外の16点をカバー出来なくなる)
(2)(1)から、任意の1辺について、その辺を1辺に持つ五角形の総数が2×2=4で求まること
(3)(2)から、グラフ全体の中にある異なる五角形の数が(4×((17×4)/2))/5=27.2で整数でないことから仮定が矛盾する。

上の一般化で、1点の持つ辺の数がn,直径k,点の数N= (n×(n-1)^k-2)/(n-2)の場合について、N×(n/2)×(n-1)^kが2k+1で割りきれない時は題意の辺のとり方が存在しないことが分かります。

>>870 ペーターセングラフって言うんですね。これを見つけたので一般化した辺の結び方を探したけど上手く行きませんでした。せめてn=5,k=2,N=26の時だけでも分かるといいんですが。
909 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/12(土) 12:33:03.27 ID:JuBrRQ9d.net]: それより>>865の問題文はない
もう少し他人にちゃんと伝わる文章が書けるようにならんとアカン
910 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/12(土) 22:48:38.81 ID:ZlXk3woI.net]: >>841 の問題をこのスレ用に手直ししてみた

・xy座標で(0,0)からスタート
・1回毎に確率1/4で上下左右に1移動
・n回移動後に(k,k)に到着する確率をp[n,k]とする
このとき
Σ[n=0,∞](p[n,0]-p[n,1]) = 4/π
Σ[n=0,∞](p[n,0]-p[n,2]) = (4/π)(1+1/3)
......
Σ[n=0,∞](p[n,0]-p[n,k]) = (4/π)(1+1/3+1/5+...+1/(2k-1))
を示せ
911 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/13(日) 00:06:54.88 ID:448Vrj6Y.net]: >>873
(2)の任意の1辺についてその辺を1辺に持つ五角形の総数が2×2=4というのがよくわからないので解説してほしい
912 名前：１３２人目の素数さん [2023/08/13(日) 17:10:49.01 ID:WMGNPiHq.net]: >>876
すみません。3×3=9の間違いでした。5で割り切れるかどうかには影響出ません。

2点P,Qが辺で結ばれていて、Pと結ばれているQ以外の3点をP1,P2,P3、同様にQについてQ1,Q2,Q3とする。P´∈{P1,P2,P3}からQ´∈{Q1,Q2,Q3}への最短の移動経路について、距離が1と仮定すると四角形PP´Q´Qが存在して(1)に矛盾。また最短の移動経路が2つ以上あると仮定すると、その最短経路の組み合わせで四角形が作れるため矛盾するので、最短経路は距離が2でただ一つに定まる。よって辺PQを通る五角形の総数はは3×3=9。一般の場合も同じです。
913 名前：１３２人目の素数さん [2023/08/13(日) 18:42:43.78 ID:0+0ZU+iv.net]: 「核の3本柱」強化を表明　プーチン大統領　新型ICBM「近く実戦配備」

ロシアのプーチン大統領はICBM=大陸間弾道ミサイルなど「核の3本柱」を
強化していく考えを示しました。
「最重要課題はロシアの安全と世界の安定を保証する、核の3本柱の発展である」
プーチン大統領は21日、モスクワのクレムリンで軍大学校の卒業生らを前に演説し、
▼ICBM、▼核ミサイル搭載潜水艦、▼長距離爆撃機で構成される核の3本柱を
強化していく考えを示しました。
そのうえで、“10個以上の核弾頭を搭載可能とされる新型のICBM「サルマト」が
近く実戦配備される”としています。
914 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/13(日) 21:32:04.29 ID:ckn5vHuT.net]: >>877
理解しました！
解説ありがとうございます
915 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/14(月) 01:57:58.90 ID:F+99PP7t.net]: >>840
右辺-左辺 = (1/4)Σ[sym.](a-b)^2(2(a-c)^2(a-d)^2+(c-d)^4)
916 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/14(月) 02:03:33.67 ID:F+99PP7t.net]: 訂正：左辺-右辺=(1/4)Σ[sym.](a-b)^2(2(a-c)^2(a-d)^2+(c-d)^4)

この問題、なんか背景とかあるん？
917 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/14(月) 05:04:15.44 ID:+q4+5tdd.net]: >>881
おお、正解です！
背景というかキッカケは>>813のn=4のとき変数をa_i(1≦i≦4)として実際に判別式D≧0を計算してみたら
その過程で(a_i-a_j)^2の対称式たちの間の変な関係式がたくさん出てきて、そこからですね
918 名前：１３２人目の素数さん [2023/08/14(月) 08:35:54.74 ID:PlnTtXOql]: 男のクセに歌とか歌う時点で身の毛か゛よた゛つほと゛キモチワルイものを枕営業がと゛うたら耳を疑うな，炎上商法た゛ろうけと゛．遠い国の争い同様
と゛うて゛もいい話だか゛．國連のショタコン担当か゛人権がと゛うたらノコノコ地球破壞しなか゛ら介入しにきて、そんなことだから国連はクソの役にも
立たない何ひとつ価値生産できない税金泥棒集団た゛と言われんた゛ろ．家て゛オ├ナしくしている者の生活どころか地球
919 名前：まて゛破壊しながら人を殺し まくって私腹を肥やしてるテ囗リス├放置しておいて，わざわさ゛出向いて何か巻き込まれてるバ力の人権カ゛－とか救いようか゛ないな、力による 一方的な現状変更によって大量破壊兵器であるクソ航空機倍増させて閑静な住宅地から都心まで騒音まみれにして静音が生命線の知的産業壞滅 させて子供の学習環境破壞して，鉄道のз〇倍以上もの莫大な温室効果カ゛スまき散らして気侯変動させて海水温上昇させて．かつてない量の 水蒸気を曰本列島に供給させて土砂崩れ，洪水，暴風．突風，灼熱地獄にと住民の生命と財産を徹底的に破壞して世界最惡の脱炭素拒否のテ□ 國家に送られる化石賞連続受賞にバ力丸出しプ□パガンダ放送て゛國民を洗脳し続けるテロ政府にΑΒСＤ包囲網のような制裁を科すのが先た゛ろ 創価学會員は．何百万人も殺傷して損害を与えて私腹を肥やし続けて逮捕者まで出てる世界最惡の殺人腐敗組織公明党を 池田センセ─がロをきけて容認するとか本気で思ってるとしたら侮辱にもほと゛があるそ゛！ ｈтｔＰｓ：／／ｉ、ｉｍｇｕｒ，соｍ／hnli1ga.jpeg []: [ここ壊れてます]
920 名前：１３２人目の素数さん [2023/08/16(水) 17:52:16.28 ID:GxX9M8xR.net]: xyz=(x^3+y^3+z^3-p^3)/3を満たす素数の組(x,y,z,p)を求めよ。
921 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/16(水) 19:21:42.12 ID:T1Z+MZvS.net]: p^3=(x+y+z)((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)/2

p=2のとき、x,y,z=2,3,3
pが奇素数のとき、x,y,zすべてが奇素数だと右辺は偶数になり不適なので、そのうち2つは2となる
例えばy=z=2とすればp^3=(x+4)(x-2)^2
しかしx-2=1、x-2=pどちらも不適なのでこの場合は解なし
922 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/18(金) 18:24:32.45 ID:EAKbBUi9.net]: >>875 を考えてくれている人いますか？
いないようなら想定解あげましょうか？
923 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2023/08/20(日) 18:44:19.92 ID:17D84Wm+.net]: 前>>863
>>845(2)
放物線の内側の面積は押しのけた長方形の面積の2/3だから、
大きい放物線部分に台形部分を足し、
小さい放物線部分を引くと、
(2/3)[1｛(1-√2)/2-(-1)｝]
+(1/2)｛1+(2+√2)/2｝｛1/2-(1-√2)/2｝
-(2/3)(1/2)1
=(3-√2)/3+(1+2√2)/4-1/3
=(2-√2)/3+(1+2√2)/4
=(8-4√2+3+6√2)/12
=(11+2√2)/12
924 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2023/08/21(月) 01:44:44.58 ID:CVLFYpDG.net]: 前>>887
>>845(1)は(2)と同じ値でいいんでしょうか？
放物線の長さと、放物線に挟まれた領域の面積、幅が1なら同じ値になるということでしょうか？
925 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/21(月) 07:22:45.41 ID:sMHHQRsn.net]: >>845
(1)
∫[0,1]√(1+x^2)dx
= (1/2)(√2+log(1+√2))
(2)
線分PQの微小平行移動と微小回転の積分と考える
∫(微小平行移動の面積＋微小回転の面積)
= (曲線Cのx=0～1までの長さ)×1 + (半径1角45°の扇形の面積)
= (1/2)(√2+log(1+√2)) + π/8
= 1.540492656...
926 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2023/08/21(月) 23:29:51.09 ID:tcbB5L1p.net]: 前>>888
y=x^2/2とy=-x+3/2のグラフを描くと、
放物線の0＜x＜1の部分をいくらx軸上にのばしても、
絶対に1.5まではのびない。
1.15236892706……が正しいと思う。
927 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/22(火) 01:08:36.27 ID:C1b/IKQY.net]: >>845 をゴリゴリ計算してみた

Pの座標を(t,t^2/2)とするとQの座標は(t+t/√(1+t^2),t^2/2-1/√(1+t^2))と求まる
(Qの軌跡は放物線ではない)

(2)
(Pのt=0～1の軌跡とx軸とx=1で囲まれる面積)
= ∫[0,1](t^2/2)dt
= 1/6

(Qのt=0～1の軌跡とx軸とx=1+1/√2で囲まれる面積)
= ∫[0,1]|t^2/2-1/√(1+t^2)| d(t+t/√(1+t^2))
= ∫[0,1](-t^2/2+1/√(1+t^2))(1+1/(1+t^2)^(3/2))dt
= (1/24)(2+6√2+3π+12log(1+√2))

したがってPQの軌跡の面積はこの二つの値と二つの三角形の和と差で以下のようになる
1/6 + (1/24)(2+6√2+3π+12log(1+√2)) + (1/2)^2/2 - (1/√2-1/2)^2/2
= (1/8)(π+4√2+4log(1+√2))
= 1.54049265639504319...
928 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2023/08/22(火) 12:25:10.21 ID:APjAbs4o.net]: 前>>890訂正。
最初の大きいほうの長方形で横(2+√2)2を掛け忘れてた。
Qの軌跡が放物線だとしたら、
放物線の内側の面積は押しのけた長方形の面積の2/3だから、
大きい放物線部分に台形部分を足し、
小さい放物線部分を引くと、
(2/3)[｛(1-√2)/2-(-1)｝｛(2+√2)/2｝]
+(1/2)｛1+(2+√2)/2｝｛1/2-(1-√2)/2｝
-(2/3)(1/2)1
=｛(3-√2)+(3-√2)√2｝/6+(1+2√2)/4-1/3
=(3+2√2-2-2)/6+(1+2√2)/4
=(4√2-2+3+6√2)/12
=(10√2-1)/12
=1.09517796864……
Qの軌跡が放物線でないとしたら、これより少し広い。
P,Qの座標をPQ=1に代入し、Qの軌跡がわかれば、
面積はわかるはず。
929 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2023/08/22(火) 13:55:06.49 ID:51BD1sqJ.net]: 前>>892訂正。
(2) Qの軌跡が放物線だとしたら、
放物線の内側の面積は押しのけた長方形の面積の2/3だから、
大きい放物線部分に台形部分を足し、
小さい放物線部分を引くと、
(2/3)[｛(1-√2)/2-(-1)｝｛(2+√2)/2｝]
+(1/2)｛1+(2+√2)/2｝｛1/2-(1-√2)/2｝
-(2/3)(1/2)1
=(2/3)｛(3-√2)/2｝｛(2+√2)/2｝
+(1/2)｛(4+√2)/2｝(√2/2)
-1/3
=(3-√2)(2+√2)/6
+(1+2√2)/4
-1/3
=(4+√2)/6+(1+2√2)/4-1/3
=(2+√2)/6+(1+2√2)/4
=(4+2√2+3+6√2)/12
=(7+8√2)/12
=1.52614237492……
Qの軌跡が放物線でないとしたらこれよりやや広い。
930 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/23(水) 13:44:59.89 ID:qCa8qLKX.net]: >>891
正解です。

想定解

一般に

定理　凸集合K,Lと正の実数a,bにたいして凸集合aK+bLを

aK+bL = { R | OR→ = aOP→+bOQ→ ∃P∈K, ∃Q∈L }

とするときある多項式P(x,y)が存在して

Area(aK + bL) = P(x,y)

をみたす、特にLが単位円のときP(1,t)は二次式

P(1,t) = at^2 + bt + c

とおくとき

a = π、b = Kの周長、c = Kの面積

である。

をもちいて

K = { 0≦x≦1、x^2/2≦y≦1-(1-x)^2 }、L:単位円

とすれば
求める面積は(Area(K+L)-3π/4)/2
= (π+√2 + sinh^(-1)(1) -3π/4)/2
= 1/sqrt(2) + π/8 + 1/2 sinh^(-1)(1)
= 1.540492656...
931 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/23(水) 22:36:10.05 ID:RsiKTYyX.net]: >>875
誰も解答しないので想定解書きます(みんなくだらない問題と思ったのかな)

・想定解答
n回移動後に(j,k)に到着する確率をp[n,j,k]と置きなおす。仮定より
p[n+1,j,k] = (1/4)(p[n,j-1,k] + p[n,j+1,k] + p[n,j,k-1] + p[n,j,k+1])
そしてp[n,j,k]の特性関数
P[n,x,y] = Σ[j,k∈Z] p[n,j,k] e^(ijx+iky), i=√-1
を考えると
P[n+1,x,y] = (1/4)(e^(+ix) + e^(-ix) + e^(+iy) + e^(-iy))P[n,x,y]
= ((cosx+cosy)/2)P[n,x,y]
が成り立ち、これは簡単に解けて
P[n,x,y] = ((cosx+cosy)/2)^n
反転公式より
p[n,j,k] = 1/(2π)^2∫∫[-π,π]^2 ((cosx+cosy)/2)^n e^(-ijx-iky) dxdy
あとは計算するだけ
Σ[n=0,∞](p[n,0,0]-p[n,k,k])
= Σ[n=0,∞]1/(2π)^2∫∫[-π,π]^2 ((cosx+cosy)/2)^n (1-cos(kx+ky)) dxdy
= 1/(2π)^2∫∫[-π,π]^2 (1-cos(kx+ky))/(1-(cosx+cosy)/2) dxdy (x=u+v,y=u-v,積分領域は対称性から同じ)
= 1/(2π)^2∫∫[-π,π]^2 (1-cos(2ku))/(1-cosu cosv) dvdu
= 1/(2π)∫[-π,π](1-cos(2ku))/|sin u| du
= S[k],
S[0
932 名前：] = 0, S[k+1]-S[k] = 1/(2π)∫[-π,π](cos(2ku)-cos(2ku+2u))/|sin u| du = 1/(2π)∫[-π,π](2sin(2ku+u)sin u)/|sin u| du, = (4/π)(1/(2k+1)) よって S[k] = (4/π)Σ[m=1,k]1/(2m-1) []: [ここ壊れてます]
933 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2023/08/25(金) 22:48:38.80 ID:KpSSCLTN.net]: 前>>892
>>845(1)
(1)y'=x
∫[x=0→1]√(1+x^2)dx
=[x√(1+x^2)](x=0→1)-∫[x=0→1]｛x(x/√(1+x^2)｝
※部分積分=[上げてそのまま]-∫(上げて下げる)dx
=√2-∫[x=0→1]｛x^2/√(1+x^2)｝dx
=√2-∫[x=0→1]｛(1+x^2)/√(1+x^2)｝dx+∫[x=0→1]｛1/√(1+x^2)｝dx
=√2-∫[x=0→1]√(1+x^2)dx+∫[x=0→1]｛1/√(1+x^2)｝dx
2∫[x=0→1]√(1+x^2)dx=√2+∫[x=0→1]｛1/√(1+x^2)｝dx
※同形出現→左辺に移行
x=tanθとおくとx=sinθ/cosθだから、
dx/dθ=｛(sinθ)'cosθ-sinθ(cosθ)'｝/cos^2θ
=｛cosθ・cosθ-sinθ(-sinθ)｝/cos^2θ
=(cos^2θ+sin^2θ)/cos^2θ
=1/cos^2θ
dx=(1/cos^2θ)dθ
∫[x=0→1]｛1/√(1+x^2)｝dx
=∫[θ=0→π/4]｛1/√(1+sin^2θ/cos^2θ)｝(1/cos^2θ)dθ
=∫[θ=0→π/4]｛1/(1/cosθ)｝(1/cos^2θ)dθ
=∫[θ=0→π/4](1/cosθ)dθ
※ここでなぜか=∫[θ=0→π/4]cosθdθとなったんで、
=[sinθ](θ=π/4)
=√2/2
2∫[x=0→1]√(1+x^2)dx=√2+∫[x=0→1]｛1/√(1+x^2)｝dx
2∫[x=0→1]√(1+x^2)dx=√2+√2/2
∫[x=0→1]√(1+x^2)dx=√2/2+√2/4
=3√2/4
=1.06066017178……
絶対に間違えてるんだけど、いい値なんだよこれ。
934 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2023/08/25(金) 22:54:36.41 ID:KpSSCLTN.net]: 前>>896却下。
(0,0)と(1,1/2)の距離が、
√｛1+(1/2)^2｝=√5/2
=1.11803398875
放物線のほうが弛んでるからこれより少し長い。
935 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/26(土) 06:02:51.05 ID:4IVC4qh8.net]: ∫[0,1]√(1+x^2)dx
= ∫[1,1+√2] 1/2(t + 1/t) 1/2(1 + 1/t^2)dt
= 1/4∫[1,1+√2] (t + 2/t + 1/t^3)dt
= 1/4 [t^2/2+ 2log(t)-1/(2t^2) ) ]_1^(1+√2)
= 1/√2 + 1/2 log(1 + √2)
936 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2023/08/26(土) 11:13:38.96 ID:4AUBl7mI.net]: 前>>897
>>845
(1)y'=x
∫[x=0→1]√(1+x^2)dx
=[x√(1+x^2)](x=0→1)-∫[x=0→1]｛x(x/√(1+x^2)｝
=√2-∫[x=0→1]｛x^2/√(1+x^2)｝dx
=√2-∫[x=0→1]｛(1+x^2)/√(1+x^2)｝dx+∫[x=0→1]｛1/√(1+x^2)｝dx
=√2-∫[x=0→1]√(1+x^2)dx+∫[x=0→1]｛1/√(1+x^2)｝dx
2∫[x=0→1]√(1+x^2)dx=√2+∫[x=0→1]｛1/√(1+x^2)｝dx
x=tanθとおくとx=sinθ/cosθだから、
dx/dθ=｛(sinθ)'cosθ-sinθ(cosθ)'｝/cos^2θ
=｛cosθ・cosθ-sinθ(-sinθ)｝/cos^2θ
=(cos^2θ+sin^2θ)/cos^2θ
=1/cos^2θ
dx=(1/cos^2θ)dθ
∫[x=0→1]｛1/√(1+x^2)｝dx
=∫[θ=0→π/4]｛1/√(1+sin^2θ/cos^2θ)｝(1/cos^2θ)dθ
=∫[θ=0→π/4]｛1/(1/cosθ)｝(1/cos^2θ)dθ
=∫[θ=0→π/4](1/cosθ)dθ
=∫[θ=0→π/4]｛cosθ/(1-sin^2θ)｝dθ
=∫[θ=0→π/4](1/2)｛cosθ/(1-sinθ)+cosθ/(1+sinθ)｝dθ
=(1/2)log｛1+sin(π/4)｝-(1/2)log｛1-sin(π/4)｝
=(1/2)log｛(1+√2/2)/(1-√2/2)｝
=(1/2)log｛(2+√2)/(2-√2)｝
=(1/2)log｛(2+√2)^2/(2^2-2)｝
=(1/2)log｛(6+4√2)/2｝
=(1/2)log(3+2√2)
2∫[x=0→1]√(1+x^2)dx=√2+(1/2)log(3+2√2)
∫[x=0→1]√(1+x^2)dx=√2/2+(1/4)log(3+2√2)
=0.89849462385……
√｛1^+(1/2)^2｝=√5/2
=1.1180……
より短いのはおかしい。
937 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2023/08/26(土) 14:23:55.86 ID:8zl+X33H.net]: 前>>899
>>898
なんで1より短いの？
√5/2=1.118……より長いはずなのに。
938 名前：１３２人目の素数さん [2023/08/26(土) 15:20:00.74 ID:+h5LVyVk.net]: log(2)=0.6931471805599453094172321214581765680755001343602552541206800094933936219696947156058633269964186875....
log(10,2)=0.3010299956639811952137388947244930267681898814621085413104274611271081892744245094869272521181861720....
939 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/26(土) 17:00:07.70 ID:FrVsQoVC.net]: >>900
google電卓はlogを常用対数、lnを自然対数として扱います。

>>なんで1より短いの？
あなたは√2/2+(1/4)log(3+2√2)の値を知りたくて電卓を使いましたが、
その電卓はlogを常用対数だと認識して誤った答えを返しました。
正しく電卓を使うためには√2/2+(1/4)ln(3+2√2)と入力しましょう。

なお、ここは電卓の使い方を学ぶスレではありません。
940 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2023/08/26(土) 23:43:44.61 ID:ZEV1BuLc.net]: 前>>900
>>845(1)底をeにしてみると、
√2/2+(1/4)log(3+2√2)=√2/2+(1/4)log(e)(3+2√2)
=1.3399202158……
941 名前：【吉】 mailto:sage [2023/08/27(日) 00:20:12.36 ID:zHzL89Py.net]: 前>>904修正。
>>845(1)
∫[x=0→1]√(1+x^2)dx=√2/2+(1/4)log(3+2√2)
=√2/2+(1/4)｛log(3+2√2)/log(e)｝
=1.1477935747……
942 名前：【小吉】 mailto:sage [2023/08/27(日) 00:22:25.57 ID:zHzL89Py.net]: 前>>904
アンカー訂正。
943 名前：【大吉】 mailto:sage [2023/08/27(日) 00:26:34.00 ID:zHzL89Py.net]: ∫[x=0→1]√(1+x^2)dx=√2/2+(1/4)log(3+2√2)
=√2/2+(1/4)｛log(3+2√2)/log(e)｝
=1.1477935747……＜1.18……=√5/2
違うな。1.18を少し超えなきゃ。
944 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/27(日) 00:36:17.48 ID:je6VS+wW.net]: >>906
わざとですか？

〇√5/2 = 1.118……
×√5/2 = 1.18……

>∫[x=0→1]√(1+x^2)dx=√2/2+(1/4)log(3+2√2)
>=√2/2+(1/4)｛log(3+2√2)/log(e)｝
>=1.1477935747……
であなたの答えは正解です。

なお、ここはおかしな解答を競い合うスレではありません。
945 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2023/08/27(日) 01:07:54.33 ID:zHzL89Py.net]: 前>>904じゃあなかったことにします。
>>845(2)
(1)で求めた値に、
単位円の八分円の扇形を足すと、
√2/2+(1/4)(log(3+2√2)/log(e))+π/8
=1.5404926564……
946 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/27(日) 14:53:29.44 ID:ft8Rs1GN.net]: まぁしかし面積が弧長×道幅＋π×道幅²になるとこまではわかてっるんやな
イナにしては上出来
947 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2023/08/27(日) 20:06:06.16 ID:zHzL89Py.net]: 道幅^2まではわかてっはいなかたかなぁ。
948 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/30(水) 22:10:28.19 ID:7YgCo3jF.net]: >>841 関連で

2次元格子上で(0,0)スタート
一回毎に↑↓→←に1移動、確率1/4
n回移動

において(j,k)に到達する確率（n-j-kは偶数と仮定）を計算すると
p[n,j,k] = 1/(2π)^2∫∫[-π,π]^2 ((cosx+cosy)/2)^n e^(-ijx-iky) dxdy
= {1/(2π)∫[-π,π] (cosu)^n e^(-i(j+k)u) du}{1/(2π)∫[-π,π] (cosv)^n e^(-i(j-k)v) dv}
= (1/4)^n C[n,(n-j-k)/2] C[n,(n-j+k)/2]
になるけど、これを組合せ論的に示すにはどうすればいい？
949 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/31(木) 18:46:53.84 ID:Ph6D7dHa.net]: >>911
A, B を位数 (n-j-k)/2, (n-j+k)/2 の I={1,…,n} の部分集合として、i番目の動きを
AかつBのとき←
AかつB^cのとき↓
A^cかつBのとき↑
A^cかつB^cのとき→
で定めると(j,k)に到達する経路になる

自分としては>>911の計算の詳細というかそれを計算すれば良いという理由が知りたい
950 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/31(木) 19:40:02.13 ID:BYJPeYT7.net]: >>912
解答ありがとう。

> 自分としては>>911の計算の詳細というかそれを計算すれば良いという理由が知りたい
n回移動後に(j,k)に到着する確率をp[n,j,k]とすると漸化式
p[n+1,j,k] = (1/4)(p[n,j-1,k] + p[n,j+1,k] + p[n,j,k-1] + p[n,j,k+1])
が成り立ち、これを解けば答えが出る。
そこでp[n,j,k]の（確率）特性関数
P[n,x,y] = Σ[j,k∈Z] p[n,j,k] e^(ijx+iky), i=√-1
を考えると漸化式は
P[n+1,x,y] = (1/4)(e^(+ix) + e^(-ix) + e^(+iy) + e^(-iy))P[n,x,y]
= ((cosx+cosy)/2)P[n,x,y]
に置き換わり
P[n,x,y] = ((cosx+cosy)/2)^n
と解くことができて、特性関数の反転公式から
p[n,j,k] = 1/(2π)^2∫∫[-π,π]^2 ((cosx+cosy)/2)^n e^(-ijx-iky) dxdy
・・・
と求まる。
951 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/02(土) 09:07:41.75 ID:oSeqtTot.net]: >>913
ありがとう。確率の特性関数勉強してみる。
952 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/05(火) 22:19:58.55 ID:oPk9i1yg.net]: 次の条件を満たす多項式p(A,B,C,U,V,W)が存在することを示せ

(1)任意の四面体OABCに対して

vol(OABC)=p(OA,OB,OC,BC,CA,AB)

が成立する

(2) p(a,b,c,u,v,w) > 0である正の数a,b,c,u,v,wに対してあるし、ある四面体OABCで

　(a,b,c,u,v,w) = (OA,OB,OC,BC,CA,AB)

を満たすものがとれる
953 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/05(火) 23:06:26.92 ID:xX2BMYj3.net]: >915
p(x,√2,√2,2,√5,√5) = (√(x^2-1))/3 になったんだけどなんかミス？
954 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/06(水) 01:32:49.94 ID:k6rcFOYC.net]: 失礼
p(～)=体積^2
です
955 名前：１３２人目の素数さん [2023/09/06(水) 23:33:47.16 ID:fofhFXbt.net]: (1)はまぁ有名な話ではあるけど(2)は知らなかった
かなり面白そう
一般次元でもそうなってるのかね？
956 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/07(木) 05:09:55.81 ID:inDHGvc0.net]: 914は?
957 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/07(木) 05:11:56.28 ID:inDHGvc0.net]: 914は嘘
958 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/07(木) 07:03:25.82 ID:nlCt1dpI.net]: ん？
(1)は916で訂正されてるけど(2)が嘘ってこと？
959 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/07(木) 15:26:09.25 ID:s/jz/njx.net]: p(x,√2,√2,2,√5,√5) = -(x^2-10x+9)/6のハズ
960 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/07(木) 15:29:33.70 ID:q9uk8fnI.net]: p(x,√2,√2,2,√5,√5) = -(x^4-10x^2+9)/6のハズ
961 名前：915 mailto:sage [2023/09/07(木) 21:39:11.94 ID:AmBJmo29.net]: 915は計算ミスった
そのままだと根号出てくるって言いたかっただけだから放っておいたけど
962 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/08(金) 08:00:00. ]: [ここ壊れてます]
963 名前：87 ID:EWijtJoo.net mailto: p(1,1,3,1,5,3)>0. []: [ここ壊れてます]
964 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/08(金) 09:51:08.43 ID:6mOWtUJI.net]: >>925
ほんとだw
全然ダメじゃん
(2)が成り立つならかなり興味深い問題だったんだがテキトー出題だったのかな
965 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/08(金) 11:34:52.51 ID:9iPe1rQy.net]: ホントですね
撤回します
966 名前：１３２人目の素数さん [2023/09/08(金) 11:37:51.39 ID:7F+hpkHG.net]: それぞれが100と互いに素で、相異なる100以下の自然数からなる組で、和が100の倍数となるものは何通りか．
967 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/08(金) 11:50:21.35 ID:/XXO6ejH.net]: なんだよ出題厨ここにも来るようになったのかよ…
968 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/08(金) 16:56:48.36 ID:DqN62kRc.net]: >>925
なんで全角文字やめたの？
969 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/08(金) 18:37:36.11 ID:jVREaWZf.net]: サトマイ（統計学専門家の女性）が真面目に「ウンコ」連発してる動画が笑える

【ひろゆきさんのツイート】ウンコ漏らしたことがある人の方が年収高いを解説
https://youtu.be/bIoxVkh8XVQ
970 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/09(土) 09:49:49.11 ID:E1ozKZjY.net]: 複素数w,x,y,zが
(w+x+y+z)^2=4(w^2+x^2+y^2+z^2)
(w+x+y+z)^3=16(w^3+x^3+y^3+z^3)
|w-x|≦|w-y|≦|w-z|=2
をみたしているとき|y-z|を求めよ。
971 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/09(土) 15:11:15.95 ID:IrYMb4eb.net]: >>1

>面白い数学の問題を紹介して解き合うスレです
>質問スレではありません
>出題者が答えを知らない問題はお控えください
972 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/09(土) 15:39:21.74 ID:q9bPC3PQ.net]: pが正で二つの面の三角形が存在するなら四面体が存在する.
一つだと不明.
973 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/10(日) 08:00:00.18 ID:Fgq4CAGy.net]: [w^2]=(1/4)[w]^2.
[w^3]=(1/16)[w]^3.

[w^2]=[w]^2-2[wx].
[w^3]=[w]^3-3[w][wx]+3[wxy].

[wx]=(3/8)[w]^2.
[wxy]=(1/16)[w]^3.

s=(1/4)[w].
[w]=4s.
[wx]=6s^2.
[wxy]=4s^3.
t^4=s^4-[wxyz].
[wxyz]=s^4-t^4.

(X-w)(X-x)(X-y)(X-z)=X^4-4sX^3+6s^2X^2-4s^3X+s^4-t^4=(X-s)^4-t^4.

{w,x,y,z}={s+t,s+ti,s-t,s-ti}.
974 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/10(日) 09:00:00.55 ID:Fgq4CAGy.net]: (w-(w+x+y+z)/4)^4-(x-(w+x+y+z)/4)^4
=((w-x)(y+z)/8)((w+x+y+z)^2-4(w^2+x^2+y^2+z^2))
-((w-x)/48)((w+x+y+z)^3-16(w^3+x^3+y^3+z^3)).
975 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:46:03.77 ID:B/xQsm4+.net]: 集合
976 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:46:23.90 ID:B/xQsm4+.net]: 亜群
977 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:46:39.01 ID:B/xQsm4+.net]: 半群
978 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:46:52.17 ID:B/xQsm4+.net]: モノイド
979 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:47:00.54 ID:B/xQsm4+.net]: 群
980 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:48:15.57 ID:B/xQsm4+.net]: 可換群
981 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:48:28.62 ID:B/xQsm4+.net]: 加法群
982 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:49:58.89 ID:B/xQsm4+.net]: 環
983 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:50:21.99 ID:B/xQsm4+.net]: 単位的環
984 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:51:04.55 ID:B/xQsm4+.net]: 整域
985 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:51:15.22 ID:B/xQsm4+.net]: 体
986 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:51:31.50 ID:B/xQsm4+.net]: 有限体
987 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:51:44.56 ID:B/xQsm4+.net]: 集合
988 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:51:58.46 ID:B/xQsm4+.net]: 亜群
989 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:52:15.89 ID:B/xQsm4+.net]: 半群
990 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:52:25.44 ID:B/xQsm4+.net]: モノイド
991 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:52:33.49 ID:B/xQsm4+.net]: 群
992 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:52:54.59 ID:B/xQsm4+.net]: 可換群
993 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:53:05.11 ID:B/xQsm4+.net]: 加法群
994 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:53:12.91 ID:B/xQsm4+.net]: 環
995 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:53:37.92 ID:B/xQsm4+.net]: 単位的環
996 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:54:09.75 ID:B/xQsm4+.net]: 整域
997 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:54:17.20 ID:B/xQsm4+.net]: 体
998 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:54:27.21 ID:B/xQsm4+.net]: 有限体
999 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:56:09.42 ID:B/xQsm4+.net]: 集合
1000 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:56:38.71 ID:B/xQsm4+.net]: 亜群
1001 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:56:50.00 ID:B/xQsm4+.net]: 半群
1002 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:56:59.47 ID:B/xQsm4+.net]: モノイド
1003 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:57:07.40 ID:B/xQsm4+.net]: 群
1004 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:57:22.48 ID:B/xQsm4+.net]: 単位的半群
1005 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:57:41.43 ID:B/xQsm4+.net]: 可換群
1006 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:57:56.01 ID:B/xQsm4+.net]: 加法群
1007 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:58:04.09 ID:B/xQsm4+.net]: 環
1008 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:58:20.22 ID:B/xQsm4+.net]: 単位的環
1009 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:58:44.59 ID:B/xQsm4+.net]: 整域
1010 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:58:54.63 ID:B/xQsm4+.net]: 体
1011 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:59:05.68 ID:B/xQsm4+.net]: 有限体
1012 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:01:31.72 ID:B/xQsm4+.net]: 有理席数環
1013 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:01:49.90 ID:B/xQsm4+.net]: 有理整数環
1014 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:03:41.08 ID:B/xQsm4+.net]: 除法の原理
1015 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:04:36.28 ID:B/xQsm4+.net]: 整除の一意性
1016 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:05:33.52 ID:B/xQsm4+.net]: Landauの記号
1017 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:05:56.42 ID:B/xQsm4+.net]: bはaで整除される
1018 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:06:07.41 ID:B/xQsm4+.net]: 割り切れる
1019 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:06:22.16 ID:B/xQsm4+.net]: a|b
1020 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:07:02.50 ID:B/xQsm4+.net]: 約数
1021 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:07:12.96 ID:B/xQsm4+.net]: 倍数
1022 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:08:44.04 ID:B/xQsm4+.net]: 公約数
1023 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:08:55.49 ID:B/xQsm4+.net]: 公倍数
1024 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:09:05.39 ID:B/xQsm4+.net]: 最大公約数
1025 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:09:20.13 ID:B/xQsm4+.net]: 最小公倍数
1026 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:09:39.48 ID:B/xQsm4+.net]: GCD
1027 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:09:55.41 ID:B/xQsm4+.net]: LCM
1028 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:10:09.77 ID:B/xQsm4+.net]: (a, b)
1029 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:10:23.31 ID:B/xQsm4+.net]: [a, b]
1030 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:11:49.89 ID:B/xQsm4+.net]: Euclidの互除法
1031 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:12:00.61 ID:B/xQsm4+.net]: 互いに素
1032 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:12:22.86 ID:B/xQsm4+.net]: 対ごとに互いに素
1033 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:13:31.30 ID:B/xQsm4+.net]: 割られる数と割る数
1034 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:13:50.38 ID:B/xQsm4+.net]: 割る数と剰余
1035 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:14:08.36 ID:B/xQsm4+.net]: 商は関係ない
1036 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:14:41.92 ID:B/xQsm4+.net]: 割る数と剰余は関係ある
1037 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:15:47.25 ID:B/xQsm4+.net]: 剰余は割る数より小さい
1038 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:17:39.91 ID:B/xQsm4+.net]: A=Bc+r、0≤r<B
とすると
1039 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:18:09.93 ID:B/xQsm4+.net]: (A, B)=(B, r)
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