代数的整数論　004

98 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/11/28(火) 20:39:27 ] 補題 f(X) ∈ Z[X] を次数 m ≧ 1 の有理整数係数の多項式とする。 f'(X) をその導多項式とする。つまり f'(X) = df(X)/dx である。 p を有理素数とする。 ある有理整数 n ≧ 1 に対して合同方程式 f(X) ≡ 0 (mod p^n) が根 a を持ち、f'(a) が p で割れないなら、 f(X) ≡ 0 (mod p^(n+1)) は b ≡ a (mod p^n) となる根 b を持つ。このような b は mod p^(n+1) で一意に決まる。 証明 f(a) ≡ 0 (mod p^n) だから、f(a) は p^n で割れる。 よって f(a) = (p^n)t となる有理整数 t がある。 >>97 より x を任意の有理整数とすると、 f(a + (p^n)x) ≡ f(a) + f'(a)(p^n)x (mod p^(n+1)) である。 よって f(a + (p^n)x) = f(a) + f'(a)(p^n)x + (p^(n+1))r となる有理整数 r がある。 よって f(a + (p^n)x) = (p^n)(t + f'(a)x + pr) 仮定より f'(a) ≡ 0 (mod p) でないから x に関する一次合同方程式 t + f'(a)x ≡ 0 (mod p) は解け、その解 x は mod p で一意に決まる。 b = a + (p^n)x とおけばよい。 証明終

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