- 880 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/10(土) 23:23:47 ]
- [Dirichlet の整数論講義より]
今度は n ≧ 3 のとき a を奇数として合同方程式 x^2 ≡ a (mod 2^n) を考える。 x^2 ≡ a (mod 2^n) に解 c があるとする。 c^2 - a = (2^n)h とする。 x = c + (2^(n-1))y とおく。 x^2 = c^2 + (2^n)cy + (2^(2n-2))y^2 x^2 - a = (2^n)h + (2^n)cy + (2^(2n-2))y^2 n ≧ 3 だから 2n - 2 ≧ n + 1 よって x^2 - a ≡ (2^n)(h + cy) (mod 2^(n+1)) よって h + cy ≡ 0 (mod 2) なら x^2 ≡ a (mod 2^(n+1)) である。 c が奇数だから h + cy ≡ 0 (mod 2) となる y は存在する。 以上から x^2 ≡ a (mod 2^n) に解があれば、 x^2 ≡ a (mod 2^(n+1)) に解があることがわかった。
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