- 851 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/07(水) 22:14:54 ]
- 命題
G を位数 m の巡回群とする。
n ≧ 1 を有理整数、 a を G の元とする。
d = gcd(n, m) とする。
x^n = a に解があるためには a^(m/d) = 1 が必要十分である。
このとき、この解の個数は d である。
証明
G の生成元を g とする。
a = g^i とかける。
x を G の元とし x^n = a とする。
x = g^y とすると g^(ny) = g^i となる。
よって x^n = a に解があるためには ny ≡ i (mod m) に解 y が
あることが必要十分である。
>>850 より、これは i ≡ 0 (mod d) と同値である。
容易にわかるように、これは a^(m/d) = 1 と同意である。
x^n = a に解があるとき、この解の個数は >>850 より d である。
証明終
