- 805 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/03(土) 21:19:18 ]
- 補題
G を群とする。
x を G の元で位数が n とする。
y を G の元で位数が m とする。
gcd(n, m) = 1 で、xy = yx なら
z = xy の位数は nm である。
証明
xy = yx だから z^(nm) = (xy)^(nm) = (x^(nm))(y^(nm)) = 1 である。
r ≧ 1 を有理整数として z^r = 1 とする。
r が nm で割れることを示せばよい。
z^(rm) = 1
だから
(x^(rm))(y^(rm)) = 1
ここで
y^(rm) = 1
だから
x^(rm) = 1
よって rm は n で割れる。gcd(n, m) = 1 だから r は n で割れる。
同様に、r は m で割れる。
gcd(n, m) = 1 だから r は nm で割れる。
証明終
