互いに素な有理整数 s と t があり、 A = as^2 + bst + ct^2 が m と素になる。
証明 p を m の任意の素因数とする。
a と p が素なら s ≡ 1 (mod p), t ≡ 0 (mod p) とする。 このとき A ≡ a (mod p) だから A は p と素である。
a ≡ 0 (mod p) で c が p と素なら s ≡ 0 (mod p), t ≡ 1 (mod p) とする。 このとき A ≡ c (mod p) だから A は p と素である。
a ≡ 0 (mod p) で c ≡ 0 (mod p) なら gcd(a, b, c) = 1 より b は p と素である。 s ≡ 1 (mod p), t ≡ 1 (mod p) とする。 このとき A ≡ b (mod p) だから A は p と素である。
中国式剰余定理より m の各素因数 p に対して 上記の合同式を満たす s と t が存在して、A は m と素になる。 gcd(s, t) = r とする。 r = 1 なら s, t が求めるものである。 r ≠ 1 なら s = rs', t = rt' とおけば A = r^2(a(s')^2 + bs't' + c(t')^2) A/r^2 = a(s')^2 + bs't' + c(t')^2 となり A/r^2 は m と素である。 よって s' と t' が求めるものである。 証明終
