- 640 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/10(土) 17:40:32 ]
- 命題
L = [α, β] を2次体 Q(√m) の格子(>>636)とする。 τ = β/α とし、aτ^2 + bτ + c = 0 とする。 ここで a, b, c は有理整数で gcd(a, b, c) = 1 である。 このとき (L : L) = [1, aτ] である。 証明 L = [α, β] = α[1, τ] だから >>639 より (L : L) = ([1, τ] : [1, τ]) γ ∈ ([1, τ] : [1, τ]) とすると、 γ ∈ [1, τ] より γ = m + nτ、m ∈ Z、n ∈ Z と書ける。 γτ ∈ [1, τ] だから γτ = mτ + nτ^2 である。 一方、aτ^2 + bτ + c = 0 だから τ^2 = (-b/a)τ - c/a よって γτ = mτ + nτ^2 = -cn/a + (m - (bn/a))τ ∈ [1, τ] よって -cn ≡ 0 (mod a) -bn ≡ 0 (mod a) よって gcd(a, b, c) = 1 より n ≡ 0 (mod a) となる。 よって γ ∈ [1, aτ] である。 よって ([1, τ] : [1, τ]) ⊂ [1, aτ] である。 一方、aτ^2 = -c - bτ だから aτ∈ ([1, τ] : [1, τ]) よって [1, aτ] ⊂ ([1, τ] : [1, τ]) 以上から (L : L) = [1, aτ] である。 証0明終
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