- 589 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/03(土) 17:55:59 ]
- 命題
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。
I = [a, r + fω] を R の原始イデアルの標準基底による
表示とする(>>430)。
このとき判別式 D の２次形式 ax^2 + bxy + cy^2 があり、
r + fω = (-b + √D)/2 となる。
証明
α = a
β = r + fω とおく。
>>438 より N(I) = a だから
a = (αα')/N(I) である。
>>588 より
b = -(αβ' + βα')/N(I) = -(β' + β)
c = (ββ')/N(I) = (ββ')/a
とおけば、f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 の判別式は D である。
一方、a(X - β/a)(X - β'/a) = aX^2 + bX^2 + c となる。
よって β/a は aX^2 + bX^2 + c の根である。
よって β/a = (-b ± √D)/2a であるが、
√m の規約(>>273)より β/a = (-b + √D)/2a となる。
よって r + fω = (-b + √D)/2 となる。
証明終
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