- 585 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/03(土) 13:43:51 ]
- 補題
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、
D をその判別式(>>424)とする。
R = [1, (D + √D)/2] である。
証明
２次体 Q(√m) の判別式を d とする。
D = (f^2)d である(>>425)。
(1) m ≡ 1 (mod 4) のとき
ω = (1 + √m)/2 であり、d = m である。
D = (f^2)m より
(D + √D)/2 = (D + f√m)/2
= (D - f)/2 + f(1 + √m)/2
= (D - f)/2 + fω
m ≡ 1 (mod 4) だから
D = (f^2)m ≡ f^2 ≡ f (mod 2)
よって (D - f)/2 は有理整数である。
よって [1, fω] = [1, (D + √D)/2] である。
(2) m ≡ 2 (mod 4) または m ≡ 3 (mod 4) のとき
ω = √m であり、d = 4m である。
D = 4(f^2)m より
(D + √D)/2 = (4(f^2)m + 2f√m)/2
= 2(f^2)m + f√m = 2(f^2)m + fω
よって [1, fω] = [1, (D + √D)/2] である。
証明終
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