- 480 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/20(土) 08:41:19 ]
- 命題
A を環、p を A の素イデアルとする。
J を A_p の準素イデアルで pA_p に属するとする。
I を J の標準射 A → A_p による逆像とする。
このとき I は p に属する準素イデアルである。
証明
φ: A → A_p を標準射とする。
a ∈ A、x ∈ A - I で ax ∈ I とする。
φ(ax) ∈ J で φ(x) ∈ A_p - J だから
φ(a^n) ∈ J となる n ＞ 0 がある。
a^n ∈ I だから I は準素イデアルである。
次に p = rad(I) を示す。
a ∈ rad(I) なら a^n ∈ I となる n ＞ 0 がある。
φ(a^n) ∈ J だから φ(a) ∈ pA_p である。
よって a ∈ p である。
逆に a ∈ p なら φ(a) ∈ pA_p だから φ(a^n) ∈ J となる
n ＞ 0 がある。a^n ∈ I だから a ∈ rad(I) である。
証明終
