- 453 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/14(日) 10:42:03 ]
- 命題
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とする。
I ≠ 0 を Z[ω] のイデアルで fZ[ω] と素とする。
I_0 = R ∩ I とおく。
このとき、I_0 は正則な R-イデアルで (I_0)Z[ω] = I となる。
証明(Hilbert の Zahlbericht の定理 64 の証明を拝借)
(I_0)Z[ω] = J とおく。
I は fZ[ω] と素だから I + fZ[ω] = Z[ω] である。
よって α + fβ = 1 となる α ∈ I と β ∈ Z[ω] がある。
α = 1 - fβ ∈ R だから α ∈ I_0 ⊂ J である。
よって J + fZ[ω] = Z[ω] である。
つまり、J は fZ[ω] と素である。
一方、(fZ[ω])I ⊂ R だから (fZ[ω])I ⊂ I_0 ⊂ J である。
従って、>>175 より (fZ[ω])I = JL となる Z[ω] のイデアル L が
存在する。
J は fZ[ω] と素であるから、I ⊂ J である。
J ⊂ I であるから I = J となる。
証明終
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