- 418 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/31(日) 11:02:47 ]
- 命題
D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) とする。
このとき、D = (f^2)d と書ける。
ここで f は有理整数 f ＞ 0 であり d はある２次体 Q(√m) の
判別式である。
証明
D ≡ 0 (mod 4) なら、D/4 に >>417 を適用して D = 4(g^2)m となる。
ここで g は有理整数 g ＞ 0 であり、
m ≠ 1 は平方因子を持たない有理整数である。
m ≡ 1, 2, 3 (mod 4) であるが m ≡ 1 (mod 4) なら
m は２次体 Q(√m) の判別式である。
この場合、f = 2g, d = m とすればよい。
m ≡ 2, 3 (mod 4) なら、4m は２次体 Q(√m) の判別式である。
この場合、f = g, d = 4m とすればよい。
D ≡ 1 (mod 4) なら、D に >>417 を適用して D = (f^2)m となる。
f^2 ≡ 0 または 1 (mod 4) だが f^2 ≡ 0 (mod 4) なら
D ≡ 0 (mod 4) となるから f^2 ≡ 1 (mod 4) である。
したがって D ≡ m (mod 4) となり、m ≡ 1 (mod 4) である。
よって m は ２次体 Q(√m) の判別式である。
証明終
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