- 364 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/24(日) 14:10:05 ]
- ttp://arxiv.org/abs/math.NT/0606547
Representing primes as x^2 + 5y^2 :
an inductive proof that Euler missed
によると、Cox の Primes of the forms x^2 + ny^2 という本に
>>168 の予想に関連した歴史が書いてあるそうである。
上記の論文の前書きによると(それは Cox からの引用)、
Fermat は以下の予想をした
(1) それぞれ ≡ 3, 7 mod 20 となる二つの素数の積は x^2 + 5y^2 と
書ける。
Euler は、以下の二つの予想をしたが証明は出来なかった。
(2) p ≡ 1, 9 mod 20 となる素数 p は p = x^2 + 5y^2 と書ける。
(3) p ≡ 3, 7 mod 20 となる素数 p に対して 2p = x^2 + 5y^2と書ける。
Lagrange と Legendre は上記の問題を解くため２次形式と種の理論を
展開して (2) と次の (4) を証明した
(4) p ≡ 3, 7 mod 20 となる素数は p = 2x^2 + 2xy + 3y^2 と書ける。
すると (1) と (3) は (2) と (4) と次の恒等式から得られる。
(2x^2 + 2xy + 3y^2)(2a^2 + 2ab + 3b^2)
= (2ax + bx + ay + 3by)^2 + 5(bx − ay)^2
2(2x^2 + 2xy + 3y^2) = (2x + y)^2 + 5y^2
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