- 327 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/22(金) 23:36:32 ]
- 補題
a と b を有理整数として a ＞ 0 とする。
-a ≦ 2ak + b ＜ a となる有理整数 k が一意に存在する。
証明
有理整数の割り算の剰余定理の一種だが、改めて証明しよう。
集合 { n ∈ Z ; 2an ≦ b } の最大値を m とする。
2am ≦ b ＜ 2a(m + 1) = 2am + 2a だから区間 [2am, 2am + 2a) を
２等分して
2am ≦ b ＜ 2am + a または 2am + a ≦ b ＜ 2am + 2a である。
前者の場合 0 ≦ b - 2am ＜ a
後者の場合 -a ≦ b - 2a(m + 1) ＜ a
よって k = -m または k = -(m + 1) とおけばよい。
一意性の証明が残っている。
-a ≦ 2ak + b ＜ a かつ -a ≦ 2al + b ＜ a とする。
-a ＜ -2al - b ≦ a だから
-2a ＜ 2a(k - l) ＜ 2a となる。
対称的に -2a ＜ 2a(l - k) ＜ 2a となる。
よって 2a|k - l| ＜ 2a だから |k - l| ＜ 1 となる。
k と l は有理整数だから k = l である。
証明終
|
 |
